입구빗변에 대한 인접한 다리의 비율을 찾는 방법. 정의와 가치의 영역이 증가하고 감소합니다. 접선 함수 그래프, y = tan x
직각삼각형 풀이 문제를 고찰할 때 사인과 코사인의 정의를 암기하는 기술을 제시하겠다고 약속했습니다. 이를 사용하면 어느 쪽이 빗변에 속하는지(인접 또는 반대) 항상 빠르게 기억할 수 있습니다. 너무 오래 미루지 않기로 했고, 필요한 재료아래 내용을 꼭 읽어주세요 😉
사실 저는 10-11학년 학생들이 이러한 정의를 기억하는 데 어려움을 겪는 것을 반복해서 관찰했습니다. 그들은 다리가 빗변을 의미한다는 것을 아주 잘 기억합니다.- 그들은 잊어버리고 혼란스러운. 시험에서 알 수 있듯이 실수의 대가는 상실점입니다.
제가 직접 제시하는 정보는 수학과 관련이 없습니다. 그녀는 연결되어 있습니다 상상력이 풍부한 사고, 그리고 언어적, 논리적 의사소통 방법을 사용합니다. 그게 바로 내가 기억하는 방식이야, 영원히정의 데이터. 잊어버린 경우 제시된 기술을 사용하여 언제든지 쉽게 기억할 수 있습니다.
사인과 코사인의 정의를 다시 한번 말씀드리겠습니다. 정삼각형:
코사인 예각직각 삼각형에서 빗변에 대한 인접한 다리의 비율은 다음과 같습니다.
공동직각 삼각형의 예각은 빗변에 대한 대변의 비율입니다.
그렇다면 코사인이라는 단어와 어떤 연관성이 있습니까?
아마 다들 자기만의 것이 있을 거예요 😉링크를 기억하세요:
따라서 그 표현은 즉시 당신의 기억 속에 나타날 것입니다.
«… 빗변에 대한 ADJACENT 다리의 비율».
코사인을 결정하는 문제가 해결되었습니다.
직각삼각형에서 사인의 정의를 기억하고 코사인의 정의를 기억해야 한다면 직각삼각형의 예각의 사인이 빗변에 대한 대변의 비율이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 결국 다리는 두 개뿐입니다. 인접한 다리가 코사인으로 "점유"되면 반대쪽 다리만 사인으로 남습니다.
탄젠트와 코탄젠트는 어떻습니까? 혼란은 똑같습니다. 학생들은 이것이 다리의 관계라는 것을 알고 있지만 문제는 어느 쪽이 어느 쪽을 가리키는지, 즉 인접한 쪽의 반대쪽인지 아니면 그 반대인지 기억하는 것입니다.
정의:
접선직각 삼각형의 예각은 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다.
코탄젠트직각 삼각형의 예각은 인접한 변과 대변의 비율입니다.
기억하는 방법? 두 가지 방법이 있습니다. 하나는 언어-논리적 연결을 사용하고 다른 하나는 수학적 연결을 사용합니다.
수학적 방법
그러한 정의가 있습니다 - 예각의 탄젠트는 각도의 사인과 코사인의 비율입니다.
*공식을 외우면 직각삼각형의 예각의 탄젠트가 대변과 인접변의 비율이라는 것을 항상 알 수 있습니다.
비슷하게.예각의 코탄젠트는 각도의 코사인과 사인의 비율입니다.
그래서! 이러한 공식을 기억하면 다음 사항을 항상 확인할 수 있습니다.
- 직각삼각형의 예각의 접선은 대변과 인접변의 비율입니다.
- 직각 삼각형의 예각의 코탄젠트는 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율입니다.
단어-논리적 방법
탄젠트에 대해서. 링크를 기억하세요:
즉, 접선의 정의를 기억해야 할 경우 이러한 논리적 연결을 이용하면 접선이 무엇인지 쉽게 기억할 수 있습니다.
"...인접한 변에 대한 반대쪽의 비율"
코탄젠트에 대해 이야기하면 탄젠트의 정의를 기억하면 코탄젠트의 정의를 쉽게 말할 수 있습니다.
“...인접한 면과 반대쪽의 비율”
웹사이트에는 탄젠트와 코탄젠트를 기억하는 흥미로운 방법이 있습니다. " 수학적 탠덤 " , 바라보다.
보편적인 방법
그냥 외워두시면 됩니다.그러나 실습에서 알 수 있듯이 언어-논리적 연결 덕분에 사람은 수학적 정보뿐만 아니라 오랫동안 정보를 기억합니다.
자료가 귀하에게 도움이 되었기를 바랍니다.
감사합니다, Alexander Krutitskikh
추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.
사인, 코사인, 탄젠트, 각도의 코탄젠트는 직각삼각형을 이해하는 데 도움이 됩니다.
직각삼각형의 변을 뭐라고 부르나요? 맞습니다, 빗변과 다리: 빗변은 직각 반대편에 있는 변입니다(이 예에서는 \(AC\) 변입니다). 다리는 나머지 두 변 \(AB\) 및 \(BC\)입니다(옆에 있는 변). 직각) 그리고 각도 \(BC\)에 상대적인 다리를 고려하면 다리 \(AB\)는 인접한 다리이고 다리 \(BC\)는 반대쪽 다리입니다. 이제 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지에 대한 질문에 답해 보겠습니다.
각도의 사인– 빗변에 대한 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
우리의 삼각형에서는:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
각도의 코사인– 빗변에 대한 인접한(닫힌) 다리의 비율입니다.
우리의 삼각형에서는:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
각도의 탄젠트– 반대쪽(먼 쪽)과 인접한 쪽(가까운 쪽)의 비율입니다.
우리의 삼각형에서는:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
각도의 코탄젠트– 인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.
우리의 삼각형에서는:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
이러한 정의가 필요합니다 기억하다! 어느 다리를 무엇으로 나누어야 할지 기억하기 쉽도록 하기 위해서는 접선그리고 코탄젠트다리만 앉고 빗변은 공동그리고 코사인. 그런 다음 일련의 연관을 생각해 낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
코사인→터치→터치→인접;
코탄젠트→터치→터치→인접.
우선, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 삼각형의 변의 비율이 (같은 각도에서) 이들 변의 길이에 의존하지 않는다는 것을 기억해야 합니다. 믿을 수 없어? 그런 다음 그림을 보고 확인하십시오.
예를 들어 각도 \(\beta\) 의 코사인을 생각해 보세요. 정의에 따르면 삼각형 \(ABC\)에서 다음과 같습니다. \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), 그러나 삼각형 \(AHI \)에서 각도 \(\beta \)의 코사인을 계산할 수 있습니다. \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). 보시다시피, 변의 길이는 다르지만 한 각도의 코사인 값은 같습니다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 각도의 크기에만 의존합니다.
정의를 이해했다면 계속해서 통합하세요!
아래 그림에 표시된 삼각형 \(ABC \)에 대해 다음을 찾습니다. \(\sin \ \알파 ,\ \cos \ \알파 ,\ tg\ \알파 ,\ ctg\ \알파 \).
\(\begin(배열)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(배열) \)
글쎄요, 이해하셨나요? 그런 다음 직접 시도해 보십시오. 각도 \(\beta \) 에 대해서도 동일하게 계산하십시오.
답변: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
단위(삼각) 원
각도와 라디안의 개념을 이해하면서 반지름이 \(1\) 인 원을 고려했습니다. 그러한 원을 호출합니다. 하나의. 삼각법을 공부할 때 매우 유용할 것입니다. 그러므로 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.
보시다시피 이 원은 데카르트 좌표계로 구성됩니다. 원 반경 1과 같다, 원의 중심은 원점에 있지만 반지름 벡터의 초기 위치는 \(x\) 축의 양의 방향을 따라 고정됩니다(이 예에서는 반지름 \(AB\)임).
원의 각 점은 \(x\) 축 좌표와 \(y\) 축 좌표라는 두 숫자에 해당합니다. 이 좌표 번호는 무엇입니까? 그리고 일반적으로 그들은 당면한 주제와 어떤 관련이 있습니까? 이렇게 하려면 고려된 직각삼각형에 대해 기억해야 합니다. 위 그림에서 두 개의 완전한 직각삼각형을 볼 수 있습니다. 삼각형 \(ACG\) 을 고려하십시오. \(CG\)가 \(x\) 축에 수직이므로 직사각형입니다.
삼각형 \(ACG \)에서 \(\cos \ \alpha \)는 무엇입니까? 좋아요 \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). 또한, \(AC\)는 단위원의 반지름, 즉 \(AC=1\)이라는 것을 알고 있습니다. 이 값을 코사인 공식에 대입해 보겠습니다. 일어나는 일은 다음과 같습니다.
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
삼각형 \(ACG \)에서 \(\sin \ \alpha \)는 무엇과 같습니까? 물론이죠. \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! 이 공식에 반경 \(AC\) 값을 대입하면 다음을 얻습니다.
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
그렇다면 원에 속한 점 \(C\)의 좌표는 무엇인지 알 수 있나요? 글쎄요? \(\cos \ \alpha \)와 \(\sin \alpha \)가 단지 숫자라는 것을 알게 되면 어떻게 될까요? \(\cos \alpha \)는 어떤 좌표에 해당합니까? 물론 좌표 \(x\) 입니다! 그리고 \(\sin \alpha \)는 어떤 좌표에 해당합니까? 그렇죠, 좌표 \(y\)! 그래서 요점은 \(C(x;y)=C(\cos \알파 ;\sin \알파) \).
그러면 \(tg \alpha \)와 \(ctg \alpha \)는 무엇입니까? 맞습니다. 탄젠트와 코탄젠트의 해당 정의를 사용하여 \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ㅏ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
각도가 더 크면 어떨까요? 예를 들어, 이 그림과 같습니다:
이 예에서는 무엇이 변경되었나요? 그것을 알아 봅시다. 이를 위해 다시 직각삼각형으로 돌아가 보겠습니다. 직각삼각형 \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : 각도(각 \(\beta \) 에 인접한 각도)를 생각해 보세요. 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 무엇입니까 \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\베타 \ \)? 맞습니다. 우리는 적절한 정의를 고수합니다. 삼각함수:
\(\begin(배열)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\각 ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(배열) \)
보시다시피 각도의 사인 값은 여전히 좌표 \(y\) 에 해당합니다. 각도의 코사인 값 – 좌표 \(x\) ; 해당 비율에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값. 따라서 이러한 관계는 반경 벡터의 모든 회전에 적용됩니다.
반경 벡터의 초기 위치는 \(x\) 축의 양의 방향을 따른다는 것이 이미 언급되었습니다. 지금까지 우리는 이 벡터를 시계 반대 방향으로 회전시켰습니다. 그러나 시계 방향으로 회전하면 어떻게 될까요? 특별한 것은 없습니다. 특정 값의 각도도 얻을 수 있지만 이는 음수일 뿐입니다. 따라서 반경 벡터를 시계 반대 방향으로 회전하면 다음을 얻습니다. 양의 각도, 그리고 시계방향으로 회전할 때 – 부정적인.
따라서 원 주위의 반지름 벡터의 전체 회전은 \(360()^\circ \) 또는 \(2\pi \) 입니다. 반경 벡터를 \(390()^\circ \) 또는 \(-1140()^\circ \)로 회전할 수 있습니까? 물론 가능합니다! 첫 번째 경우, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)따라서 반경 벡터는 한 바퀴 완전히 회전하고 \(30()^\circ \) 또는 \(\dfrac(\pi )(6) \) 위치에서 중지됩니다.
두 번째 경우에는 \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)즉, 반지름 벡터는 완전히 세 번 회전하고 \(-60()^\circ \) 또는 \(-\dfrac(\pi )(3) \) 위치에서 중지됩니다.
따라서 위의 예에서 우리는 각도가 \(360()^\circ \cdot m \) 또는 \(2\pi \cdot m \)(여기서 \(m \)은 임의의 정수임)만큼 다르다는 결론을 내릴 수 있습니다. 반경 벡터의 동일한 위치에 해당합니다.
아래 그림은 각도 \(\beta =-60()^\circ \) 를 보여줍니다. 같은 이미지가 모서리에 해당합니다. \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)등. 이 목록은 무기한으로 계속될 수 있습니다. 이 모든 각도는 일반 공식으로 쓸 수 있습니다 \(\beta +360()^\circ \cdot m\)또는 \(\beta +2\pi \cdot m \) (여기서 \(m \)은 정수임)
\(\begin(배열)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(배열) \)
이제 기본적인 삼각함수의 정의를 알고, 단위원, 값이 무엇인지 답해보십시오.
\(\begin(배열)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\텍스트(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(배열) \)
여기에 도움이 되는 단위원이 있습니다:
어려움이 있나요? 그럼 알아 봅시다. 그래서 우리는 다음을 알고 있습니다.
\(\begin(배열)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(배열)\)
여기에서 특정 각도 측정에 해당하는 점의 좌표를 결정합니다. 글쎄, 순서대로 시작하자 : 코너 \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)좌표가 \(\left(0;1 \right) \) 인 점에 해당하므로 다음과 같습니다.
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\오른쪽 화살표 \text(tg)\ 90()^\circ \)- 존재하지 않는다;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
또한 동일한 논리를 따르면 모서리가 \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )좌표가 있는 점에 대응 \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \오른쪽) \), 각각. 이를 알면 해당 지점의 삼각함수 값을 쉽게 결정할 수 있습니다. 먼저 직접 시도해보고 답을 확인해 보세요.
답변:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- 존재하지 않는다
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\오른쪽 화살표 \text(tg)\ 270()^\circ \)- 존재하지 않는다
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\오른쪽 화살표 \text(ctg)\ 2\pi \)- 존재하지 않는다
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- 존재하지 않는다
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
따라서 우리는 다음과 같은 표를 만들 수 있습니다.
이 값을 모두 기억할 필요는 없습니다. 단위원의 점 좌표와 삼각 함수 값 사이의 대응 관계를 기억하는 것으로 충분합니다.
\(\left.\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(기억하거나 표시할 수 있어야 합니다!! \) !}
그러나 각도의 삼각 함수 값과 \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)아래 표에 나와 있는 내용을 기억해야 합니다.
겁먹지 마세요. 이제 해당 값을 아주 간단하게 기억하는 한 가지 예를 보여 드리겠습니다.
이 방법을 사용하려면 세 가지 각도 측정 값 모두에 대한 사인 값을 기억하는 것이 중요합니다( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(삼)\)) 및 \(30()^\circ \) 의 각도 탄젠트 값. 이러한 \(4\) 값을 알면 전체 테이블을 복원하는 것이 매우 간단합니다. 코사인 값은 화살표에 따라 전송됩니다.
\(\begin(배열)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\end(배열)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), 이를 알면 다음에 대한 값을 복원할 수 있습니다. \(\텍스트(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). 분자 "\(1 \)"은 \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \)에 해당하고 분모 "\(\sqrt(\text(3)) \)"는 다음에 해당합니다. \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . 코탄젠트 값은 그림에 표시된 화살표에 따라 전송됩니다. 이것을 이해하고 화살표가 있는 다이어그램을 기억한다면 표에서 \(4\) 값만 기억하면 충분할 것입니다.
원 위의 한 점의 좌표
원 중심의 좌표, 반지름, 회전 각도를 알고 원 위의 점(좌표)을 찾는 것이 가능합니까? 물론 가능합니다! 그것을 꺼내자 일반식점의 좌표를 찾으려면. 예를 들어, 여기 우리 앞에 원이 있습니다.
우리에게 그 점이 주어졌습니다. \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- 원의 중심. 원의 반지름은 \(1.5\) 입니다. 점 \(O\)를 \(\delta\)도만큼 회전시켜 얻은 점 \(P\)의 좌표를 구해야 합니다.
그림에서 볼 수 있듯이 \(P\) 점의 좌표 \(x\)는 세그먼트 \(TP=UQ=UK+KQ\)의 길이에 해당합니다. \(UK\) 세그먼트의 길이는 원 중심의 좌표 \(x\)에 해당합니다. 즉, \(3\) 과 같습니다. 세그먼트 \(KQ\)의 길이는 코사인의 정의를 사용하여 표현될 수 있습니다.
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\오른쪽 화살표 KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
그러면 우리는 점 \(P\)에 대한 좌표를 얻습니다. \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
동일한 논리를 사용하여 점 \(P\) 에 대한 y 좌표 값을 찾습니다. 따라서,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
그래서, 일반적인 견해점의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
\(\begin(배열)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(배열) \), 어디
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - 원 중심의 좌표,
\(r\) - 원의 반경,
\(\delta\) - 벡터 반경의 회전 각도.
보시다시피, 우리가 고려하고 있는 단위원의 경우 중심 좌표가 0이고 반경이 1이기 때문에 이러한 공식이 크게 줄어듭니다.
\(\begin(배열)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(배열) \)
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먼저, 반지름이 1이고 중심이 (0;0)인 원을 생각해 보세요. 임의의 αЄR에 대해 0A와 0x 축 사이 각도의 라디안 측정값이 α와 같도록 반경 0A를 그릴 수 있습니다. 시계 반대 방향은 양의 방향으로 간주됩니다. 반경 A의 끝 부분에 좌표 (a,b)가 있다고 가정합니다.
사인의 정의
정의: 설명된 방식으로 구성된 단위 반경의 세로좌표와 동일한 숫자 b는 sinα로 표시되며 각도 α의 사인이라고 합니다.
예: 사인 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
코사인의 정의
정의: 설명된 방식으로 구성된 단위 반경 끝의 가로좌표와 동일한 숫자 a는 cosα로 표시되며 각도 α의 코사인이라고 합니다.
예: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
이 예에서는 단위 반지름 끝과 단위원의 좌표를 기준으로 각도의 사인 및 코사인 정의를 사용합니다. 보다 시각적으로 표현하려면 단위원을 그리고 그 위에 해당 점을 그린 다음 가로좌표를 세어 코사인을 계산하고 세로좌표를 계산하여 사인을 계산해야 합니다.
탄젠트 정의
정의: x≠π/2+πk, kЄZ에 대한 함수 tgx=sinx/cosx를 각도 x의 코탄젠트라고 합니다. 함수 tgx의 정의 영역은 x=π/2+πn, nЄZ를 제외한 모든 실수입니다.
예: tg0 tgπ = 0 0 = 0
이 예는 이전 예와 유사합니다. 각도의 탄젠트를 계산하려면 점의 세로 좌표를 가로 좌표로 나누어야 합니다.
코탄젠트의 정의
정의: x≠πk, kЄZ에 대한 함수 ctgx=cosx/sinx를 각도 x의 코탄젠트라고 합니다. 함수 ctgx =의 정의 영역은 점 x=πk, kЄZ를 제외한 모든 실수입니다.
정삼각형을 사용한 예를 살펴보겠습니다.
코사인, 사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지 더 명확하게 설명합니다. 각도 y가 있는 정삼각형을 사용하는 예를 살펴보겠습니다. 측면 a,b,c. 빗변 c, 다리 a 및 b 각각. 빗변 c와 다리 b y 사이의 각도입니다.
정의:각도 y의 사인은 빗변에 대한 대변의 비율입니다: siny = a/c
정의:각도 y의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다. cosy= in/c
정의:각도 y의 접선은 인접 변에 대한 반대 변의 비율입니다: tgy = a/b
정의:각도 y의 코탄젠트는 인접한 변과 반대쪽 변의 비율입니다. ctgy= in/a
사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 삼각 함수라고도 합니다. 각 각도에는 자체 사인과 코사인이 있습니다. 그리고 거의 모든 사람은 자신만의 탄젠트와 코탄젠트를 가지고 있습니다.
각도가 주어지면 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 우리에게 알려지는 것으로 믿어집니다! 그 반대. 사인이나 기타 삼각 함수가 주어지면 각도를 알 수 있습니다. 각 각도에 대해 삼각 함수가 작성된 특수 테이블도 만들어졌습니다.
과학으로서의 삼각법은 고대 동양에서 유래되었습니다. 최초의 삼각법 비율은 천문학자들이 정확한 달력과 별의 방향을 만들기 위해 파생되었습니다. 이러한 계산은 구면 삼각법과 관련이 있으며 학교 과정에서는 평면 삼각형의 변과 각도의 비율을 연구합니다.
삼각법은 삼각 함수의 속성과 삼각형의 변과 각도 사이의 관계를 다루는 수학의 한 분야입니다.
서기 1000년 문화와 과학의 전성기 동안 지식은 고대 동양에서 그리스로 퍼졌습니다. 그러나 삼각법의 주요 발견은 아랍 칼리프 시대 사람들의 장점입니다. 특히, 투르크멘 과학자 al-Marazwi는 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 함수를 도입하고 사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값에 대한 최초의 표를 작성했습니다. 사인과 코사인의 개념은 인도 과학자들에 의해 도입되었습니다. 삼각법은 유클리드(Euclid), 아르키메데스(Archimedes), 에라토스테네스(Eratosthenes)와 같은 고대의 위대한 인물들의 작품에서 많은 주목을 받았습니다.
삼각법의 기본 수량
숫자 인수의 기본 삼각 함수는 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트입니다. 그들 각각은 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 등 자체 그래프를 가지고 있습니다.
이 수량의 값을 계산하는 공식은 피타고라스 정리를 기반으로 합니다. 이등변 직각 삼각형의 예를 사용하여 증거가 제공되기 때문에 "피타고라스 바지는 모든 방향에서 동일합니다"라는 공식으로 학생들에게 더 잘 알려져 있습니다.
사인, 코사인 및 기타 관계는 직각삼각형의 예각과 변 사이의 관계를 설정합니다. 각도 A에 대한 이러한 양을 계산하는 공식을 제시하고 삼각 함수 간의 관계를 추적해 보겠습니다.
보시다시피 tg와 ctg는 역함수. 변 a를 사인 A와 빗변 c의 곱으로, 변 b를 cos A * c로 상상하면 탄젠트와 코탄젠트에 대해 다음 공식을 얻을 수 있습니다.
삼각원
언급된 수량 간의 관계를 그래픽으로 표현하면 다음과 같습니다.
둘레, in 이 경우는 0°에서 360°까지의 각도 α의 가능한 모든 값을 나타냅니다. 그림에서 볼 수 있듯이 각 함수는 음수 또는 양수 값각도의 크기에 따라. 예를 들어, α가 원의 1/4과 2/4에 속하는 경우, 즉 0°에서 180° 범위에 있는 경우 sin α에는 "+" 기호가 표시됩니다. 180°에서 360°까지의 α(III 및 IV 분기)의 경우 sin α는 음수 값만 될 수 있습니다.
특정 각도에 대한 삼각표를 작성하고 수량의 의미를 알아보세요.
30°, 45°, 60°, 90°, 180° 등과 같은 α 값을 특수 사례라고 합니다. 이에 대한 삼각 함수 값이 계산되어 특수 테이블 형태로 표시됩니다.
이 각도는 무작위로 선택되지 않았습니다. 표의 π 지정은 라디안을 나타냅니다. Rad는 원호의 길이가 반지름에 해당하는 각도입니다. 이 값은 보편적인 의존성을 확립하기 위해 도입되었습니다. 라디안으로 계산할 때 반경의 실제 길이(cm)는 중요하지 않습니다.
삼각 함수 표의 각도는 라디안 값에 해당합니다.
따라서 2π가 완전한 원, 즉 360°라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다.
삼각 함수의 속성: 사인과 코사인
사인과 코사인, 탄젠트와 코탄젠트의 기본 속성을 고려하고 비교하려면 해당 기능을 그리는 것이 필요합니다. 이는 2차원 좌표계에 위치한 곡선 형태로 수행될 수 있습니다.
사인과 코사인의 속성 비교표를 고려하십시오.
| 사인파 | 코사인 |
|---|---|
| y = 사인x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, x = πk인 경우, 여기서 k ϵ Z | cos x = 0, x = π/2 + πk인 경우, 여기서 k ϵ Z |
| sin x = 1, x = π/2 + 2πk인 경우, 여기서 k ϵ Z | cos x = 1, x = 2πk에서, 여기서 k ϵ Z |
| sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk에서, 여기서 k ϵ Z | cos x = - 1, x = π + 2πk의 경우, 여기서 k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, 즉 함수가 홀수입니다. | cos (-x) = cos x, 즉 함수는 짝수입니다. |
| 함수는 주기적이며 가장 작은 주기는 2π입니다. | |
| sin x › 0, x는 1분기와 2분기 또는 0° ~ 180°(2πk, π + 2πk)에 속합니다. | cos x › 0, x는 I 및 IV 분기에 속하거나 270° ~ 90°(- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x 〈 0, x는 3/4 및 4/4 또는 180° ~ 360°(π + 2πk, 2π + 2πk)에 속합니다. | cos x 〈 0, x는 2분기와 3분기 또는 90° ~ 270°에 속함(π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| 구간 증가 [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | 간격 [-π + 2πk, 2πk]에 따라 증가 |
| 간격 [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]에 따라 감소 | 간격에 따라 감소 |
| 도함수(sin x)' = cos x | 미분 (cos x)' = - 죄 x |
함수가 짝수인지 아닌지를 결정하는 것은 매우 간단합니다. 삼각량의 표시가 있는 삼각법 원을 상상하고 OX 축을 기준으로 그래프를 정신적으로 "접는" 것만으로도 충분합니다. 부호가 일치하면 함수는 짝수이고, 그렇지 않으면 홀수입니다.
라디안의 도입과 사인파 및 코사인파의 기본 속성 목록을 통해 다음 패턴을 제시할 수 있습니다.
공식이 맞는지 확인하는 것은 매우 쉽습니다. 예를 들어 x = π/2의 경우 사인은 1이고 x = 0의 코사인은 1입니다. 확인은 표를 참조하거나 주어진 값에 대한 함수 곡선을 추적하여 수행할 수 있습니다.
탄젠트소이드와 코탄젠트소이드의 특성
탄젠트 및 코탄젠트 함수의 그래프는 사인 및 코사인 함수와 크게 다릅니다. tg와 ctg 값은 서로 상반됩니다.
- Y = 황갈색 x.
- 탄젠트는 x = π/2 + πk에서 y 값으로 향하는 경향이 있지만 절대 도달하지 않습니다.
- 접선의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
- Tg (- x) = - tg x, 즉 함수는 홀수입니다.
- Tg x = 0, x = πk인 경우.
- 기능이 증가하고 있습니다.
- Tg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)의 경우.
- x ϵ의 경우 Tg x 0(— π/2 + πk, πk).
- 미분(tg x)' = 1/cos 2 x.
아래 텍스트에서 코탄젠토이드의 그래픽 이미지를 고려하십시오.
코탄젠토이드의 주요 특성:
- Y = 유아용 침대 x.
- 사인 및 코사인 함수와 달리 탄젠토이드에서 Y는 모든 실수 집합의 값을 취할 수 있습니다.
- 코탄젠토이드는 x = πk에서 y 값을 얻으려는 경향이 있지만 결코 그 값에 도달하지 않습니다.
- 코탄젠토이드의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
- Ctg (- x) = - ctg x, 즉 함수가 홀수입니다.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk인 경우.
- 기능이 감소하고 있습니다.
- Ctg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)의 경우.
- x ϵ(π/2 + πk, πk)의 경우 Ctg x 〈 0입니다.
- 미분(ctg x)' = - 1/sin 2 x 정확함
공동직각 삼각형의 예각 α는 비율입니다. 반대다리에서 빗변으로.
이는 다음과 같이 표시됩니다: sin α.
코사인직각 삼각형의 예각 α는 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.
cos α로 지정됩니다.
접선예각 α는 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다.
이는 다음과 같이 지정됩니다: tg α.
코탄젠트예각 α는 인접면과 반대면의 비율입니다.
ctg α로 지정됩니다.
각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 각도의 크기에만 의존합니다.
규칙:
기초적인 삼각법 정체성직각삼각형에서:
(α - 다리 반대쪽 예각 비 그리고 다리 옆에 ㅏ . 옆 와 함께 – 빗변. β – 두 번째 예각).
비 | 사인 2 α + cos 2 α = 1 | |
ㅏ | 1 | |
비 | 1 | |
ㅏ | 1 1 | |
죄 α |
예각이 커질수록죄 α 와tanα가 증가하고,cos α가 감소합니다.
예각 α의 경우:
사인(90° – α) = cos α
cos(90° – α) = 사인 α
예-설명:
직각삼각형 ABC를 넣어보자
AB = 6,
기원전 = 3,
각도 A = 30°.
각도 A의 사인과 각도 B의 코사인을 알아봅시다.
해결책 .
1) 먼저 각도 B의 값을 찾습니다. 여기서는 모든 것이 간단합니다. 직각 삼각형에서 예각의 합은 90°이므로 각도 B = 60°입니다.
B = 90° – 30° = 60°.
2) sin A를 계산해 봅시다. 사인은 빗변에 대한 대변의 비율과 같다는 것을 알고 있습니다. 각도 A의 경우 반대쪽 다리태양의 측면입니다. 그래서:
기원전 3 1
죄 A = -- = - = -
AB 6 2
3) 이제 cos B를 계산해 봅시다. 우리는 코사인이 빗변에 대한 인접한 다리의 비율과 같다는 것을 알고 있습니다. 각도 B의 경우 인접한 다리는 동일한 변 BC입니다. 이는 다시 BC를 AB로 나누어야 함을 의미합니다. 즉, 각도 A의 사인을 계산할 때와 동일한 작업을 수행해야 합니다.
기원전 3 1
왜냐하면 B = -- = - = -
AB 6 2
결과는 다음과 같습니다.
죄 A = cos B = 1/2.
사인 30° = 코사인 60° = 1/2.
이로 인해 직각 삼각형에서 한 예각의 사인은 다른 예각의 코사인과 같고 그 반대도 마찬가지입니다. 이것이 바로 우리의 두 공식이 의미하는 바입니다:
사인(90° – α) = cos α
cos(90° – α) = 사인 α
이것을 다시 확인해 봅시다:
1) α = 60°라고 하자. α 값을 사인 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.
사인(90° – 60°) = cos 60°.
사인 30° = 코사인 60°.
2) α = 30°라고 하자. α 값을 코사인 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.
cos(90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(삼각법에 대한 자세한 내용은 대수학 섹션을 참조하세요.)