유리 방정식을 푸는 방법. 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘

계속 이야기해 볼까요 방정식 풀기. 이 기사에서는 다음에 대해 자세히 설명합니다. 유리 방정식그리고 하나의 변수로 유리방정식을 푸는 원리. 먼저, 유리성이라고 불리는 방정식의 유형을 파악하고 전체 유리성 및 분수 유리성 방정식에 대한 정의를 제공하고 예를 들어 보겠습니다. 다음으로 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 얻고, 물론 필요한 모든 설명과 함께 일반적인 예에 ​​대한 솔루션을 고려할 것입니다.

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명시된 정의를 기반으로 유리 방정식의 몇 가지 예를 제공합니다. 예를 들어, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, 는 모두 유리방정식입니다.

표시된 예에서 다른 유형의 방정식뿐만 아니라 유리 방정식도 하나의 변수를 사용하거나 2개, 3개 등을 사용할 수 있음이 분명합니다. 변수. 다음 단락에서는 하나의 변수를 사용하여 유리 방정식을 푸는 방법에 대해 설명합니다. 두 변수의 방정식 풀기그리고 그들 큰 수특별한 관심을 받을 자격이 있습니다.

유리 방정식은 미지 변수의 수로 나누는 것 외에도 정수와 분수로 나누어집니다. 이에 상응하는 정의를 제시해 보겠습니다.

정의.

유리 방정식은 다음과 같습니다. 전체, 왼쪽과 오른쪽이 모두 정수 유리식인 경우.

정의.

유리 방정식의 부분 중 적어도 하나가 분수 표현인 경우, 그러한 방정식을 호출합니다. 부분적으로 합리적인(또는 분수 합리적).

전체 방정식에는 변수에 의한 나눗셈이 포함되지 않는다는 것이 분명합니다. 반대로 분수 유리 방정식에는 반드시 변수(또는 분모에 있는 변수)에 의한 나눗셈이 포함됩니다. 따라서 3 x+2=0이고 (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– 이것은 전체 유리 방정식이고 두 부분 모두 전체 표현입니다. A와 x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5는 분수 유리 방정식의 예입니다.

결론적으로 지금까지 알려진 1차방정식과 2차방정식은 모두 유리방정식이라는 점에 주목하자.

전체 방정식 풀기

전체 방정식을 푸는 주요 접근법 중 하나는 방정식을 동등한 방정식으로 줄이는 것입니다. 대수 방정식. 이는 항상 다음과 같은 등가 방정식 변환을 수행하여 수행할 수 있습니다.

• 먼저, 원래 정수 방정식의 우변에 있던 표현식을 반대 부호를 사용하여 좌변으로 옮겨 우변에 0을 얻습니다.
• 그 후, 방정식의 왼쪽에 결과가 나타납니다. 표준보기.

결과는 원래 정수 방정식과 동일한 대수 방정식입니다. 따라서 가장 간단한 경우 전체 방정식을 푸는 것은 1차 또는 2차 방정식을 푸는 것으로 축소되고, 일반적인 경우에는 다음을 푸는 것으로 축소됩니다. 대수 방정식학위 n. 명확성을 위해 예제에 대한 솔루션을 살펴보겠습니다.

예.

전체 방정식의 근을 찾아보세요 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

해결책.

이 전체 방정식의 해를 등가 대수 ​​방정식의 해로 줄여보겠습니다. 이를 위해 먼저 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮기고 결과적으로 방정식에 도달합니다. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. 둘째, 필요한 작업을 수행하여 왼쪽에 형성된 표현식을 표준 형식의 다항식으로 변환합니다. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. 따라서 원래의 정수 방정식을 푸는 것은 2차 방정식 x 2 −5·x−6=0을 푸는 것으로 축소됩니다.

우리는 판별식을 계산합니다 D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, 이는 양수입니다. 이는 방정식에 두 개의 실수 근이 있음을 의미하며, 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 이를 찾습니다.

완전히 확신하려면 해보자 방정식의 발견된 근을 확인. 먼저 루트 6을 확인하고 원래 정수 방정식의 변수 x 대신 이를 대체합니다. 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, 이는 동일하며 63=63입니다. 이것은 유효한 수치 방정식이므로 x=6이 실제로 방정식의 근입니다. 이제 루트 −1을 확인합니다. 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, 여기서 0=0 입니다. x=−1일 때 원래 방정식도 올바른 수치 등식으로 바뀌므로 x=−1도 방정식의 근이 됩니다.

답변:

6 , −1 .

여기서, "전체 방정식의 차수"라는 용어는 대수 방정식의 형태로 전체 방정식을 표현하는 것과 연관되어 있다는 점도 주목해야 합니다. 해당 정의를 제시해 보겠습니다.

정의.

전체 방정식의 힘등가 대수 ​​방정식의 차수라고 합니다.

이 정의에 따르면 이전 예의 전체 방정식은 2차를 갖습니다.

이것은 전체 유리 방정식 풀이의 끝일 수도 있었습니다. 알려진 바와 같이, 두 번째보다 높은 차수의 대수 방정식을 푸는 것은 상당한 어려움과 관련이 있으며 네 번째보다 높은 차수 방정식의 경우에는 없습니다. 일반 공식뿌리 따라서 세 번째, 네 번째 등의 전체 방정식을 풀려면 높은 학위종종 다른 해결 방법을 사용해야 합니다.

그러한 경우, 다음을 기반으로 전체 유리 방정식을 푸는 접근 방식은 다음과 같습니다. 인수분해 방법. 이 경우 다음 알고리즘이 준수됩니다.

• 먼저 방정식의 오른쪽에 0이 있는지 확인하고 이를 위해 전체 방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 옮깁니다.
• 그런 다음 왼쪽의 결과 표현식은 여러 요소의 곱으로 표시되므로 몇 가지 간단한 방정식 세트로 이동할 수 있습니다.

전체 방정식을 인수분해를 통해 해결하기 위해 주어진 알고리즘은 예제를 통한 자세한 설명이 필요합니다.

예.

전체 방정식을 풀어보세요 (엑스 2 −1)·(엑스 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

해결책.

먼저 평소와 같이 기호를 변경하는 것을 잊지 않고 방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 옮깁니다. (엑스 2 −1)·(엑스 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . 여기서 결과 방정식의 왼쪽을 표준 형식의 다항식으로 변환하는 것은 바람직하지 않다는 것이 매우 명백합니다. 왜냐하면 이렇게 하면 형식의 4차 대수 방정식이 제공되기 때문입니다. x4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, 해결책이 어렵습니다.

반면에, 결과 방정식의 왼쪽에서 x 2 −10 x+13 을 얻을 수 있으므로 이를 곱으로 표시할 수 있다는 것이 분명합니다. 우리는 (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. 결과 방정식은 원래의 전체 방정식과 동일하며, 다시 두 개의 이차 방정식 x 2 −10·x+13=0 및 x 2 −2·x−1=0의 집합으로 대체될 수 있습니다. 판별식을 통해 알려진 근 공식을 사용하여 근을 찾는 것은 어렵지 않습니다. 이는 원래 방정식의 원하는 근입니다.

답변:

전체 유리 방정식을 푸는 데에도 유용합니다. 새로운 변수를 도입하는 방법. 어떤 경우에는 원래 전체 방정식의 차수보다 차수가 낮은 방정식으로 이동할 수 있습니다.

예.

유리 방정식의 실제 근을 찾아보세요 (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

해결책.

이 전체 유리 방정식을 대수 방정식으로 줄이는 것은 가볍게 말하면 별로 좋은 생각이 아닙니다. 이 경우 우리는 다음을 갖지 않는 4차 방정식을 풀어야 하기 때문입니다. 합리적인 뿌리. 따라서 다른 솔루션을 찾아야 합니다.

여기서는 새로운 변수 y를 도입하고 x 2 +3·x 표현식을 그것으로 대체할 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 대체는 전체 방정식 (y+1) 2 +10=−2·(y−4) 로 이어지며, 이는 표현식 −2·(y−4)를 왼쪽으로 이동한 후 표현식을 변환한 후입니다. 거기에서 형성된 는 2차 방정식 y 2 +4·y+3=0으로 감소됩니다. 이 방정식 y=−1 및 y=−3의 근은 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어 Vieta 정리의 역수 정리를 기반으로 선택할 수 있습니다.

이제 새로운 변수를 도입하는 방법의 두 번째 부분, 즉 역치환을 수행하는 단계로 넘어갑니다. 역치환을 수행한 후 두 방정식 x 2 +3 x=−1 및 x 2 +3 x=−3을 얻습니다. 이는 x 2 +3 x+1=0 및 x 2 +3 x+3으로 다시 쓸 수 있습니다. =0 . 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 첫 번째 방정식의 근을 찾습니다. 그리고 두 번째 이차 방정식판별식이 음수이기 때문에(D=3 2 −4·3=9−12=−3 ) 실근이 없습니다.

답변:

일반적으로 우리가 높은 수준의 전체 방정식을 다룰 때, 우리는 이를 해결하기 위해 항상 비표준 방법이나 인위적인 기술을 찾을 준비가 되어 있어야 합니다.

분수 유리 방정식 풀기

먼저, p(x)와 q(x)가 정수 유리식인 형식의 분수 유리 방정식을 푸는 방법을 이해하는 것이 유용할 것입니다. 그런 다음 다른 분수 유리 방정식의 해를 표시된 유형의 방정식 해로 줄이는 방법을 보여줍니다.

방정식을 푸는 한 가지 접근 방식은 다음 진술을 기반으로 합니다. v가 0이 아닌 숫자인 경우(그렇지 않으면 정의되지 않은 를 만나게 됩니다) 숫자 분수 u/v는 분자가 다음과 같은 경우에만 0과 같습니다. 0과 같음즉, u=0인 경우에만 해당됩니다. 이 진술 덕분에 방정식을 푸는 것은 두 가지 조건 p(x)=0 및 q(x)≠0을 충족하는 것으로 축소됩니다.

이 결론은 다음과 같습니다. 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘. 형식의 분수 유리 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.

• 전체 유리 방정식 p(x)=0 을 푼다;
• 발견된 각 근에 대해 조건 q(x)≠0이 충족되는지 확인합니다.
• 만약 참이라면, 이 근은 원래 방정식의 근이 됩니다;
• 만족되지 않으면 이 근은 외부입니다. 즉, 원래 방정식의 근이 아닙니다.

분수 유리 방정식을 풀 때 발표된 알고리즘을 사용하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

방정식의 근을 찾아보세요.

해결책.

이것은 분수 유리 방정식이며 형식입니다. 여기서 p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0입니다.

이러한 유형의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘에 따르면 먼저 방정식 3 x−2=0을 풀어야 합니다. 이것은 근이 x=2/3인 선형 방정식입니다.

이 근을 확인하는 것이 남아 있습니다. 즉, 조건 5 x 2 −2≠0을 만족하는지 확인하는 것입니다. 우리는 숫자 2/3을 x 대신에 5 x 2 −2라는 표현으로 대체하고 를 얻습니다. 조건이 충족되었으므로 x=2/3이 원래 방정식의 근이 됩니다.

답변:

2/3 .

약간 다른 위치에서 분수 유리 방정식을 푸는 데 접근할 수 있습니다. 이 방정식은 원래 방정식의 변수 x에 대한 정수 방정식 p(x)=0과 동일합니다. 즉, 당신은 이것에 충실할 수 있습니다 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘 :

• 방정식 p(x)=0 을 푼다;
• 변수 x의 ODZ를 찾습니다.
• 그 지역에 뿌리를 내리다 허용 가능한 값, - 그들은 원래 분수 유리 방정식의 원하는 근입니다.

예를 들어, 이 알고리즘을 사용하여 분수 유리 방정식을 풀어보겠습니다.

예.

방정식을 풀어보세요.

해결책.

먼저, 이차방정식 x 2 −2·x−11=0을 푼다. 그 근은 짝수 번째 계수에 대한 근 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, 그리고 .

둘째, 원래 방정식에 대한 변수 x의 ODZ를 찾습니다. 이는 x 2 +3·x≠0인 모든 숫자로 구성되며 이는 x·(x+3)≠0과 동일하며 x≠0, x≠−3입니다.

첫 번째 단계에서 찾은 루트가 ODZ에 포함되어 있는지 확인하는 작업이 남아 있습니다. 분명히 그렇습니다. 따라서 원래의 분수 유리 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

답변:

이 접근법은 ODZ를 쉽게 찾을 수 있는 경우 첫 번째 방법보다 수익성이 더 높으며, 방정식 p(x) = 0의 근이 무리수(예: 합리적이지만 분자가 크고 분자가 비교적 큰 경우)에 특히 유용합니다. /또는 분모(예: 127/1101 및 −31/59)입니다. 이는 그러한 경우 조건 q(x)≠0을 확인하는 데 상당한 계산 노력이 필요하고 ODZ를 사용하여 외부 근을 제외하는 것이 더 쉽다는 사실 때문입니다.

다른 경우, 방정식을 풀 때, 특히 방정식 p(x) = 0의 근이 정수인 경우, 주어진 알고리즘 중 첫 번째 알고리즘을 사용하는 것이 더 유리합니다. 즉, ODZ를 찾아 방정식을 푸는 것보다, 전체 방정식 p(x)=0의 근을 바로 구한 후, q(x)≠0 조건이 만족되는지 확인하는 것이 바람직하다. 이 ODZ에서 p(x)=0입니다. 이는 일반적으로 DZ를 찾는 것보다 확인하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

지정된 뉘앙스를 설명하기 위해 두 가지 예의 솔루션을 고려해 보겠습니다.

예.

방정식의 근을 찾아보세요.

해결책.

먼저, 전체 방정식의 근을 찾아봅시다 (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, 분수의 분자를 사용하여 구성됩니다. 이 방정식의 좌변은 곱, 우변은 0이므로 인수분해를 통해 방정식을 푸는 방법에 따르면 이 방정식은 4개의 방정식 2 x−1=0 , x−6= 의 집합과 같습니다. 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . 이 방정식 중 3개는 선형이고 하나는 2차 방정식입니다. 첫 번째 방정식에서 x=1/2, 두 번째 방정식에서 - x=6, 세 번째 방정식에서 - x=7, x=−2, 네 번째 방정식에서 - x=−1을 찾습니다.

근을 찾으면 원래 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분모가 사라지는지 확인하는 것이 매우 쉽지만 반대로 ODZ를 결정하는 것은 그렇게 간단하지 않습니다. 5차 대수 방정식. 그러므로 우리는 루트를 확인하기 위해 ODZ 찾기를 포기할 것입니다. 이를 위해 표현식의 변수 x 대신 하나씩 대체합니다. x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, 대입 후 얻은 값을 0과 비교합니다. (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

따라서 1/2, 6 및 −2는 원래 분수 유리 방정식의 원하는 근이고 7과 −1은 외부 근입니다.

답변:

1/2 , 6 , −2 .

예.

분수 유리 방정식의 근을 찾아보세요.

해결책.

먼저 방정식의 근을 찾아보자. (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. 이 방정식은 제곱 5 x 2 −7 x−1=0 및 선형 x−2=0의 두 방정식 세트와 동일합니다. 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 두 개의 근을 찾고 두 번째 방정식에서 x=2를 얻습니다.

발견된 x 값에서 분모가 0이 되는지 확인하는 것은 상당히 불쾌합니다. 그리고 원래 방정식에서 변수 x의 허용 값 범위를 결정하는 것은 매우 간단합니다. 따라서 우리는 ODZ를 통해 행동할 것입니다.

우리의 경우 원래 분수 유리식의 변수 x의 ODZ는 x 2 +5·x−14=0 조건을 만족하는 숫자를 제외한 모든 숫자로 구성됩니다. 이 이차 방정식의 근은 x=−7 및 x=2이며, 여기에서 ODZ에 대한 결론을 도출합니다. ODZ는 모든 x로 구성됩니다.

찾은 근과 x=2가 허용 가능한 값 범위에 속하는지 확인하는 작업이 남아 있습니다. 근은 속하므로 원래 방정식의 근이고 x=2는 속하지 않으므로 외부 근입니다.

답변:

또한 형식의 분수 유리 방정식에서 분자에 숫자가 있는 경우, 즉 p(x)가 어떤 숫자로 표시되는 경우를 별도로 살펴보는 것도 유용할 것입니다. 여기서

• 이 숫자가 0이 아닌 경우 방정식에는 근이 없습니다. 분수는 분자가 0인 경우에만 0과 같기 때문입니다.
• 이 숫자가 0이면 방정식의 근은 ODZ의 숫자입니다.

예.

해결책.

방정식 왼쪽에 있는 분수의 분자에는 0이 아닌 숫자가 포함되어 있으므로 x에 대해 이 분수의 값은 0과 같을 수 없습니다. 따라서 이 방정식에는 근이 없습니다.

답변:

뿌리가 없습니다.

예.

방정식을 풀어보세요.

해결책.

이 분수 유리 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분자는 0을 포함하므로 이 분수의 값은 그것이 의미가 있는 모든 x에 대해 0입니다. 즉, 이 방정식의 해는 이 변수의 ODZ에서 나온 임의의 x 값입니다.

허용 가능한 값의 범위를 결정하는 것은 남아 있습니다. 여기에는 x 4 +5 x 3 ≠0인 x의 모든 값이 포함됩니다. 방정식 x 4 +5 x 3 =0의 해는 0과 −5입니다. 이 방정식은 방정식 x 3 (x+5)=0과 동일하고 두 방정식 x의 조합과 동일하기 때문입니다. 3 =0 및 x +5=0, 여기서 이러한 근이 표시됩니다. 따라서 허용 가능한 값의 원하는 범위는 x=0 및 x=−5를 제외한 모든 x입니다.

따라서 분수 유리 방정식에는 0과 -5를 제외한 모든 숫자인 무한히 많은 해가 있습니다.

답변:

마지막으로 임의 형식의 분수 유리 방정식을 푸는 방법에 대해 이야기할 시간입니다. r(x)=s(x)로 쓸 수 있습니다. 여기서 r(x)와 s(x)는 유리식이고 그 중 적어도 하나는 분수입니다. 앞을 내다보면 그들의 해결책이 우리에게 이미 친숙한 형식의 방정식을 푸는 것으로 귀결된다고 가정해 보겠습니다.

반대 부호를 사용하여 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 항을 전달하면 등가 방정식이 되는 것으로 알려져 있으므로 방정식 r(x)=s(x)는 방정식 r(x)−s(x)와 동일합니다. )=0.

우리는 또한 이 표현식과 동일하게 모든 가 가능하다는 것을 알고 있습니다. 따라서 우리는 항상 방정식 r(x)−s(x)=0의 왼쪽에 있는 유리식을 형식의 동일하게 동일한 유리 분수로 변환할 수 있습니다.

그래서 우리는 원래의 분수 유리 방정식 r(x)=s(x)에서 방정식으로 이동하고, 위에서 알아낸 것처럼 그 해는 방정식 p(x)=0을 푸는 것으로 줄어듭니다.

그러나 여기서는 r(x)−s(x)=0을 로 바꾸고 p(x)=0으로 바꾸면 변수 x의 허용 값 범위가 확장될 수 있다는 사실을 고려해야 합니다. .

결과적으로 원래 방정식 r(x)=s(x)와 우리가 도달한 방정식 p(x)=0은 동일하지 않은 것으로 판명될 수 있으며 방정식 p(x)=0을 풀면 근을 얻을 수 있습니다. 이는 원래 방정식 r(x)=s(x) 의 외부 근이 됩니다. 확인을 수행하거나 원래 방정식의 ODZ에 속하는지 확인하여 답에 관련 없는 근을 식별하고 포함하지 않을 수 있습니다.

이 정보를 다음과 같이 요약해 보겠습니다. 분수 유리 방정식 r(x)=s(x)를 풀기 위한 알고리즘. 분수 유리 방정식 r(x)=s(x) 를 풀려면 다음이 필요합니다.

• 반대 기호를 사용하여 오른쪽에서 표현식을 이동하여 오른쪽에서 0을 얻습니다.
• 방정식의 왼쪽에서 분수와 다항식을 사용하여 연산을 수행하여 이를 유리 분수 형식으로 변환합니다.
• 방정식 p(x)=0을 풉니다.
• 외부 근을 원래 방정식에 대입하거나 원래 방정식의 ODZ에 속하는지 확인하여 외부 근을 식별하고 제거합니다.

더 명확하게 하기 위해 분수 유리 방정식을 푸는 전체 체인을 보여 드리겠습니다.
.

주어진 정보 블록을 명확히 하기 위해 솔루션 프로세스에 대한 자세한 설명과 함께 여러 예의 솔루션을 살펴보겠습니다.

예.

분수 유리 방정식을 푼다.

해결책.

우리는 방금 얻은 솔루션 알고리즘에 따라 행동하겠습니다. 먼저 방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 항을 이동하고 결과적으로 방정식으로 이동합니다.

두 번째 단계에서는 결과 방정식의 왼쪽에 있는 분수 유리식을 분수 형태로 변환해야 합니다. 이를 위해 유리 분수를 공통 분모로 줄이고 결과 표현식을 단순화합니다. 그래서 우리는 방정식에 도달합니다.

다음 단계에서는 방정식 −2·x−1=0을 풀어야 합니다. 우리는 x=−1/2를 찾았습니다.

발견된 숫자 −1/2가 원래 방정식의 외부 근이 아닌지 확인하는 것이 남아 있습니다. 이를 위해 원래 방정식의 변수 x의 VA를 확인하거나 찾을 수 있습니다. 두 가지 접근 방식을 모두 살펴보겠습니다.

확인부터 시작하겠습니다. 변수 x 대신 숫자 −1/2를 원래 방정식에 대입하면 동일한 결과인 −1=−1을 얻습니다. 대체는 올바른 수치적 동등성을 제공하므로 x=−1/2는 원래 방정식의 근입니다.

이제 ODZ를 통해 알고리즘의 마지막 지점이 어떻게 수행되는지 보여드리겠습니다. 원래 방정식의 허용값 범위는 -1과 0을 제외한 모든 숫자의 집합입니다(x=-1 및 x=0에서는 분수의 분모가 사라집니다). 이전 단계에서 찾은 근 x=−1/2는 ODZ에 속하므로 x=−1/2는 원래 방정식의 근입니다.

답변:

−1/2 .

또 다른 예를 살펴보겠습니다.

예.

방정식의 근을 찾아보세요.

해결책.

분수 유리 방정식을 풀어야 합니다. 알고리즘의 모든 단계를 살펴보겠습니다.

먼저, 항을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하면 가 됩니다.

둘째, 왼쪽에 형성된 표현식을 변환합니다. 결과적으로 우리는 방정식 x=0에 도달합니다.

그 뿌리는 분명합니다. 그것은 0입니다.

네 번째 단계에서는 발견된 근이 원래의 분수 유리 방정식과 관련이 없는지 여부를 알아내는 것이 남아 있습니다. 이를 원래의 방정식에 대입하면 식이 된다. 분명히 0으로 나누기가 포함되어 있기 때문에 의미가 없습니다. 여기서 우리는 0이 외부 근이라는 결론을 내립니다. 따라서 원래 방정식에는 근이 없습니다.

7은 식으로 이어진다. 이것으로부터 우리는 좌변의 분모의 표현이 우변의 표현과 동일해야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이제 우리는 트리플의 양쪽에서 뺍니다: . 비유하자면, 어디에서, 그리고 더 멀리.

확인 결과, 발견된 두 근이 모두 원래 분수 유리 방정식의 근인 것으로 나타났습니다.

답변:

서지.

• 대수학:교과서 8학년용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• 모르드코비치 A.G.대수학. 8 학년. 오후 2시 1부. 학생들을 위한 교과서 교육 기관/ A.G. 모르드코비치. - 11판, 삭제됨. - M .: Mnemosyne, 2009. - 215 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-01155-2.
• 대수학: 9학년: 교육적. 일반 교육용 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2009. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-021134-5.

유리 및 분수 유리 방정식에 대해 알아보고, 정의를 제공하고, 예를 제공하고, 가장 일반적인 유형의 문제를 분석해 봅시다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

유리식: 정의 및 예

합리적인 표현에 대한 지식은 학교 8학년부터 시작됩니다. 이때 대수학 수업에서 학생들은 노트에 유리식을 포함하는 방정식을 사용한 과제를 점점 더 많이 접하기 시작합니다. 그것이 무엇인지에 대한 기억을 새롭게 해보자.

정의 1

유리 방정식는 양변에 유리식을 포함하는 방정식입니다.

다양한 매뉴얼에서 다른 공식을 찾을 수 있습니다.

정의 2

유리 방정식- 이것은 왼쪽에 유리식이 포함되고 오른쪽에 0이 포함되는 방정식입니다.

유리 방정식에 대해 우리가 제공한 정의는 동일한 것에 대해 이야기하기 때문에 동일합니다. 우리 말의 정확성은 합리적인 표현에 대해 다음과 같은 사실로 확인됩니다. 피그리고 큐방정식 피 = Q그리고 P – Q = 0동등한 표현이 될 것입니다.

이제 예제를 살펴보겠습니다.

실시예 1

유리 방정식:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

유리 방정식은 다른 유형의 방정식과 마찬가지로 1부터 여러 개의 변수를 포함할 수 있습니다. 먼저 살펴보겠습니다. 간단한 예, 방정식에는 변수가 하나만 포함됩니다. 그런 다음 작업을 점차 복잡하게 만들기 시작할 것입니다.

유리 방정식은 정수와 분수라는 두 개의 큰 그룹으로 나뉩니다. 각 그룹에 어떤 방정식이 적용되는지 살펴보겠습니다.

정의 3

유리 방정식은 왼쪽과 오른쪽에 유리식 전체가 포함되어 있으면 정수가 됩니다.

정의 4

유리 방정식은 부분 중 하나 또는 둘 모두에 분수가 포함되어 있으면 분수입니다.

분수 유리 방정식은 반드시 변수로 나누기를 포함하거나 변수가 분모에 존재합니다. 전체 방정식을 작성할 때 그러한 구분은 없습니다.

실시예 2

3×+2=0그리고 (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– 전체 유리 방정식. 여기서 방정식의 양쪽은 정수 표현식으로 표시됩니다.

1 x - 1 = x 3 및 x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5분수 유리 방정식입니다.

전체 유리 방정식에는 1차 방정식과 2차 방정식이 포함됩니다.

전체 방정식 풀기

이러한 방정식을 푸는 것은 일반적으로 이를 동등한 대수 방정식으로 변환하는 것으로 귀결됩니다. 이는 다음 알고리즘에 따라 등가 방정식 변환을 수행하여 달성할 수 있습니다.

• 먼저 방정식의 오른쪽에 0을 얻습니다. 이를 위해서는 방정식의 오른쪽에 있는 표현식을 왼쪽으로 이동하고 부호를 변경해야 합니다.
• 그런 다음 방정식 왼쪽의 표현식을 표준 형식의 다항식으로 변환합니다.

우리는 대수 방정식을 구해야 합니다. 이 방정식은 원래 방정식과 동일합니다. 쉬운 경우를 통해 문제를 해결하기 위해 전체 방정식을 선형 또는 이차 방정식으로 줄일 수 있습니다. 일반적으로 우리는 대수 방정식을 푼다. N.

실시예 3

전체 방정식의 근을 찾는 것이 필요합니다 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

해결책

동등한 대수 방정식을 얻기 위해 원래 표현식을 변환해 보겠습니다. 이를 위해 방정식의 오른쪽에 포함된 식을 왼쪽으로 옮기고 기호를 반대 식으로 바꿉니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

이제 좌변의 표현식을 표준 형식의 다항식으로 변환하고 다음을 생성해 보겠습니다. 필요한 조치이 다항식을 사용하면:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

우리는 원래 방정식의 해를 다음 형식의 이차 방정식의 해로 줄이는 데 성공했습니다. x 2 − 5 x − 6 = 0. 이 방정식의 판별식은 양수입니다. D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .이는 두 개의 실제 뿌리가 있음을 의미합니다. 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 찾아보겠습니다.

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 또는 x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 또는 x 2 = - 1

풀이 과정에서 찾은 방정식의 근이 올바른지 확인해 보겠습니다. 이를 위해 우리가 받은 숫자를 원래 방정식으로 대체합니다. 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3그리고 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​​​· (− 1) − 1) − 3. 첫 번째 경우 63 = 63 , 두 번째에는 0 = 0 . 뿌리 엑스 = 6그리고 x = − 1실제로 예제 조건에 제공된 방정식의 근입니다.

답변: 6 , − 1 .

"전체 방정식의 차수"가 무엇을 의미하는지 살펴보겠습니다. 전체 방정식을 대수적 형태로 표현해야 하는 경우 이 용어를 자주 접하게 됩니다. 개념을 정의해보자.

정의 5

전체 방정식의 차수는 원래 정수 방정식과 동등한 대수 방정식의 차수입니다.

위 예의 방정식을 보면 다음을 설정할 수 있습니다. 이 전체 방정식의 차수는 두 번째입니다.

우리 과정이 2차 방정식을 푸는 것으로 제한되어 있다면 주제에 대한 토론이 거기서 끝날 수 있습니다. 그러나 그렇게 간단하지는 않습니다. 3차 방정식을 푸는 데에는 어려움이 따릅니다. 그리고 4차 이상의 방정식에는 일반적인 루트 공식이 전혀 없습니다. 이와 관련하여 3차, 4차 및 기타 차수의 전체 방정식을 풀려면 여러 가지 다른 기술과 방법을 사용해야 합니다.

전체 유리 방정식을 푸는 데 가장 일반적으로 사용되는 접근 방식은 인수분해 방법을 기반으로 합니다. 이 경우의 동작 알고리즘은 다음과 같습니다.

• 레코드의 오른쪽에 0이 남도록 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동합니다.
• 우리는 왼쪽의 표현식을 요인의 곱으로 표현한 다음 몇 가지 더 간단한 방정식 세트로 이동합니다.

실시예 4

방정식 (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) 의 해를 구합니다.

해결책

반대 기호를 사용하여 레코드의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 이동합니다. (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. 좌변을 표준 형식의 다항식으로 변환하는 것은 4차 대수 방정식을 제공한다는 사실 때문에 부적절합니다. x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. 변환이 쉽다고 해서 그러한 방정식을 풀 때 발생하는 모든 어려움이 정당화되는 것은 아닙니다.

반대 방향으로 가는 것이 훨씬 쉽습니다. 괄호에서 공통 인수를 빼겠습니다. x 2 − 10 x + 13 .그래서 우리는 다음 형식의 방정식에 도달합니다. (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. 이제 결과 방정식을 두 개의 이차 방정식 세트로 대체합니다. x 2 − 10 x + 13 = 0그리고 x 2 − 2 x − 1 = 0판별식을 통해 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2의 근을 찾습니다.

답변: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

같은 방식으로 새로운 변수를 도입하는 방법을 사용할 수 있습니다. 이 방법을 사용하면 원래 정수 방정식의 차수보다 낮은 차수를 갖는 등가 방정식으로 이동할 수 있습니다.

실시예 5

방정식에 뿌리가 있나요? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

해결책

이제 전체 유리 방정식을 대수 방정식으로 줄이려고 하면 유리근이 없는 4차 방정식을 얻게 됩니다. 따라서 다른 방향으로 가는 것이 더 쉬울 것입니다. 방정식의 표현식을 대체할 새 변수 y를 도입합니다. x 2 + 3 x.

이제 우리는 전체 방정식을 다룰 것입니다 (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). 방정식의 오른쪽을 반대 부호를 사용하여 왼쪽으로 이동하고 필요한 변환을 수행해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다: 와이 2 + 4 와이 + 3 = 0. 이차방정식의 근을 찾아봅시다: y = - 1그리고 y = - 3.

이제 역 교체를 해보겠습니다. 우리는 두 개의 방정식을 얻습니다. x 2 + 3 x = − 1그리고 x 2 + 3 · x = − 3 . x 2 + 3 x + 1 = 0으로 다시 작성해 보겠습니다. x 2 + 3 x + 3 = 0. 우리는 얻은 방정식에서 첫 번째 방정식의 근을 찾기 위해 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용합니다. - 3 ± 5 2. 두 번째 방정식의 판별식은 음수입니다. 이는 두 번째 방정식에 실제 근이 없음을 의미합니다.

답변:- 3 ± 5 2

높은 수준의 전체 방정식은 문제에 꽤 자주 나타납니다. 그들을 두려워할 필요가 없습니다. 문제를 해결하려면 여러 가지 인위적인 변환을 포함하여 비표준 방법을 사용할 준비가 되어 있어야 합니다.

분수 유리 방정식 풀기

p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘으로 이 하위 주제에 대한 고려를 시작할 것입니다. 피(x)그리고 q(x)– 전체 합리적 표현. 다른 분수 유리 방정식의 해는 항상 표시된 유형의 방정식의 해로 축소될 수 있습니다.

방정식 p (x) q (x) = 0을 풀기 위해 가장 일반적으로 사용되는 방법은 다음 설명을 기반으로 합니다. 너 v, 어디 V- 이것은 0과 다른 숫자이며, 분수의 분자가 0인 경우에만 0과 같습니다. 위 진술의 논리에 따라 방정식 p (x) q (x) = 0에 대한 해가 두 가지 조건을 충족하도록 축소될 수 있다고 주장할 수 있습니다. p(x)=0그리고 q(x) ≠ 0. 이는 p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 구성하기 위한 기초입니다.

• 전체 유리 방정식의 해를 찾아라 p(x)=0;
• 솔루션 중에 발견된 근에 대해 조건이 충족되는지 확인합니다. q(x) ≠ 0.

이 조건이 충족되면 발견된 루트입니다. 그렇지 않으면 루트는 문제에 대한 해결책이 아닙니다.

실시예 6

방정식 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 의 근을 찾아봅시다.

해결책

우리는 p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 다루고 있습니다. 여기서 p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0입니다. 선형 방정식 풀기 시작합시다 3 x − 2 = 0. 이 방정식의 근은 다음과 같습니다. 엑스 = 2 3.

찾은 루트가 조건을 만족하는지 확인해 봅시다 5 x 2 − 2 ≠ 0. 이를 수행하려면 표현식에 숫자 값을 대체하십시오. 우리는 다음을 얻습니다: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

조건이 충족되었습니다. 그것은 다음을 의미합니다 엑스 = 2 3는 원래 방정식의 근입니다.

답변: 2 3 .

분수 유리 방정식 p (x) q (x) = 0을 풀기 위한 또 다른 옵션이 있습니다. 이 방정식은 전체 방정식과 동일하다는 것을 기억하십시오 p(x)=0원래 방정식의 변수 x의 허용 값 범위에 대해. 이를 통해 방정식 p (x) q (x) = 0을 풀 때 다음 알고리즘을 사용할 수 있습니다.

• 방정식을 풀다 p(x)=0;
• 변수 x의 허용 값 범위를 찾으십시오.
• 우리는 변수 x의 허용 가능한 값 범위에 있는 근을 원래 분수 유리 방정식의 원하는 근으로 취합니다.

실시예 7

방정식 x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0을 풉니다.

해결책

먼저 이차방정식을 풀어보겠습니다. x 2 − 2 x − 11 = 0. 근을 계산하기 위해 짝수 번째 계수에 대한 근 공식을 사용합니다. 우리는 얻는다 D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12, x = 1 ± 2 3 입니다.

이제 원래 방정식에 대한 변수 x의 ODZ를 찾을 수 있습니다. 이것들은 모두 해당 숫자입니다. x 2 + 3 x ≠ 0. 와 똑같다 x (x + 3) ≠ 0, 여기서 x ≠ 0, x ≠ − 3입니다.

이제 해의 첫 번째 단계에서 얻은 근 x = 1 ± 2 3이 변수 x의 허용 값 범위 내에 있는지 확인해 보겠습니다. 우리는 그들이 들어오는 것을 봅니다. 이는 원래의 분수 유리 방정식이 두 개의 근 x = 1 ± 2 3을 갖는다는 것을 의미합니다.

답변: x = 1 ± 2 3

설명된 두 번째 해법은 변수 x의 허용값 범위를 쉽게 찾을 수 있는 경우와 방정식의 근이 첫 번째 해법보다 간단합니다. p(x)=0비합리적이다. 예를 들어 7 ± 4 · 26 9입니다. 근은 유리수일 수 있지만 분자나 분모가 큽니다. 예를 들어, 127 1101 그리고 − 31 59 . 상태를 확인하는 시간을 절약해줍니다. q(x) ≠ 0: ODZ에 따라 적합하지 않은 뿌리를 제외하는 것이 훨씬 쉽습니다.

방정식의 근이 다음과 같은 경우 p(x)=0정수인 경우 p (x) q (x) = 0 형식의 방정식을 풀기 위해 설명된 알고리즘 중 첫 번째를 사용하는 것이 더 편리합니다. 전체 방정식의 근을 더 빠르게 찾아보세요 p(x)=0그런 다음 조건이 충족되는지 확인합니다. q(x) ≠ 0, ODZ를 찾은 다음 방정식을 푸는 대신 p(x)=0이 ODZ에서. 이는 일반적으로 DZ를 찾는 것보다 확인하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

실시예 8

방정식의 근을 구합니다 (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

해결책

전체 방정식을 살펴보는 것부터 시작하겠습니다. (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0그리고 그 뿌리를 찾는다. 이를 위해 인수분해를 통해 방정식을 푸는 방법을 적용합니다. 원래 방정식은 4개의 방정식 세트 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0과 동일하며, 그 중 3개는 선형이고 하나는 이차적입니다. 근 찾기: 첫 번째 방정식에서 엑스 = 1 2, 두 번째부터 – 엑스 = 6, 세 번째부터 – x = 7 , x = − 2 , 네 번째부터 – x = − 1.

얻은 뿌리를 확인해 봅시다. ADL을 결정합니다. 이 경우우리에게는 어렵습니다. 이를 위해서는 5차 대수 방정식을 풀어야 하기 때문입니다. 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분모가 0이 되어서는 안 되는 조건을 확인하는 것이 더 쉬울 것입니다.

표현식에서 변수 x의 근을 교대로 대체해 보겠습니다. x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112그 값을 계산합니다.

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

수행된 검증을 통해 원래 분수 유리 방정식의 근이 1 2, 6이고 − 2 .

답변: 1 2 , 6 , - 2

실시예 9

분수 유리 방정식 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0의 근을 구합니다.

해결책

방정식 작업을 시작해 보겠습니다. (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. 그 뿌리를 찾아보자. 이 방정식을 이차 방정식과 방정식의 조합으로 상상하는 것이 더 쉽습니다. 선형 방정식 5 x 2 − 7 x − 1 = 0그리고 x − 2 = 0.

근을 찾기 위해 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용합니다. 우리는 첫 번째 방정식에서 두 개의 근 x = 7 ± 69 10을 얻고 두 번째 방정식에서 엑스 = 2.

조건을 확인하기 위해 근의 값을 원래 방정식에 대입하는 것은 상당히 어려울 것입니다. 변수 x의 ODZ를 결정하는 것이 더 쉬울 것입니다. 이 경우 변수 x의 ODZ는 조건을 만족하는 숫자를 제외한 모든 숫자이다. x 2 + 5 x − 14 = 0. 우리는 다음을 얻습니다: x ∈ - , - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + .

이제 우리가 찾은 근이 변수 x의 허용값 범위에 속하는지 확인해 보겠습니다.

근 x = 7 ± 69 10이 속하므로 원래 방정식의 근이 됩니다. 엑스 = 2- 속하지 않으므로 외래근이다.

답변: x = 7 ± 69 10 .

p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식의 분자에 숫자가 포함되는 경우를 별도로 살펴 보겠습니다. 이러한 경우 분자에 0이 아닌 숫자가 포함되어 있으면 방정식에는 근이 없습니다. 이 숫자가 0이면 방정식의 근은 ODZ의 숫자가 됩니다.

실시예 10

분수 유리 방정식 - 3, 2 x 3 + 27 = 0을 풉니다.

해결책

방정식 왼쪽에 있는 분수의 분자에 0이 아닌 숫자가 포함되어 있으므로 이 방정식에는 근이 없습니다. 이는 x 값이 없을 때 문제 설명에 주어진 분수의 값이 0과 같지 않음을 의미합니다.

답변:뿌리가 없습니다.

실시예 11

방정식 0 x 4 + 5 x 3 = 0을 풉니다.

해결책

분수의 분자에는 0이 포함되어 있으므로 방정식의 해는 변수 x의 ODZ에서 나온 임의의 값 x가 됩니다.

이제 ODZ를 정의해 보겠습니다. 여기에는 x의 모든 값이 포함됩니다. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. 방정식의 해법 x 4 + 5 x 3 = 0~이다 0 그리고 − 5 , 이 방정식은 다음 방정식과 동일하기 때문에 x 3 (x + 5) = 0, 이는 다시 두 방정식 x 3 = 0과 엑스 + 5 = 0, 이러한 뿌리가 보이는 곳. 우리는 허용 가능한 값의 원하는 범위가 다음을 제외한 모든 x라는 결론에 도달했습니다. 엑스 = 0그리고 x = − 5.

분수 유리 방정식 0 x 4 + 5 · x 3 = 0은 0과 - 5 이외의 숫자인 무한한 수의 해를 갖는 것으로 나타났습니다.

답변: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

이제 임의 형식의 분수 유리 방정식과 이를 해결하는 방법에 대해 이야기해 보겠습니다. 그들은 다음과 같이 쓸 수 있습니다 r(x) = s(x), 어디 r(x)그리고 에스(엑스)– 유리식, 그리고 그 중 적어도 하나는 분수입니다. 이러한 방정식을 푸는 것은 p(x) q(x) = 0 형식의 방정식을 푸는 것으로 줄어듭니다.

우리는 방정식의 오른쪽에서 반대 부호를 사용하여 표현식을 왼쪽으로 옮겨서 등가 방정식을 얻을 수 있다는 것을 이미 알고 있습니다. 이는 방정식이 r(x) = s(x)방정식과 같습니다 r(x) − s(x) = 0. 우리는 또한 유리식을 유리 분수로 변환하는 방법에 대해서도 이미 논의했습니다. 덕분에 방정식을 쉽게 변환할 수 있습니다. r(x) − s(x) = 0 p (x) q (x) 형식의 동일한 유리 분수로 변환됩니다.

그래서 우리는 원래의 분수 유리 방정식에서 벗어납니다. r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 형태의 방정식으로, 우리는 이미 푸는 방법을 배웠습니다.

다음에서 전환할 때 다음 사항을 고려해야 합니다. r(x) − s(x) = 0 p(x)q(x) = 0으로 그리고 나서 p(x)=0변수 x의 허용 값 범위 확장을 고려하지 않을 수도 있습니다.

원래 방정식이 그럴 가능성이 매우 높습니다. r(x) = s(x)방정식 p(x)=0변환의 결과로 그들은 더 이상 동등하지 않게 됩니다. 그러면 방정식의 해는 p(x)=0우리에게 낯선 뿌리를 줄 수 있다 r(x) = s(x). 이와 관련하여 각각의 경우 위에 설명된 방법 중 하나를 사용하여 검증을 수행해야 합니다.

주제를 더 쉽게 연구할 수 있도록 모든 정보를 다음 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘으로 요약했습니다. r(x) = s(x):

• 반대 기호를 사용하여 오른쪽에서 표현식을 전송하고 오른쪽에서 0을 얻습니다.
• 원래 표현식을 유리 분수 p (x) q (x) 로 변환하여 분수와 다항식을 사용하여 순차적으로 연산을 수행합니다.
• 방정식을 풀다 p(x)=0;
• 우리는 ODZ에 속하는지 확인하거나 원래 방정식으로 대체하여 외부 근을 식별합니다.

시각적으로 일련의 작업은 다음과 같습니다.

r(x) = s(x) → r(x) - s(x) = 0 → p(x) q(x) = 0 → p(x) = 0 → 제거 외부 근

실시예 12

분수 유리 방정식 x x + 1 = 1 x + 1 을 풉니다.

해결책

방정식 x x + 1 - 1 x + 1 = 0으로 넘어가겠습니다. 방정식 왼쪽의 분수 유리식을 p (x) q (x) 형식으로 변환해 보겠습니다.

이렇게 하려면 유리 분수를 공통 분모로 줄이고 표현식을 단순화해야 합니다.

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

방정식 - 2 x - 1 x (x + 1) = 0의 근을 찾으려면 방정식을 풀어야 합니다. − 2 x − 1 = 0. 우리는 하나의 루트를 얻습니다 x = - 1 2.

우리가 해야 할 일은 어떤 방법을 사용하여 확인하는 것뿐입니다. 두 가지를 모두 살펴보겠습니다.

결과 값을 원래 방정식에 대입해 보겠습니다. 우리는 - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1을 얻습니다. 우리는 올바른 수치적 평등에 도달했습니다 − 1 = − 1 . 그것은 다음을 의미합니다 x = − 1 2는 원래 방정식의 근입니다.

이제 ODZ를 통해 확인해 보겠습니다. 변수 x의 허용 값 범위를 결정합시다. 이는 − 1과 0(x = − 1 및 x = 0에서 분수의 분모가 사라짐)을 제외하고 전체 숫자 집합이 됩니다. 우리가 얻은 뿌리 x = − 1 2 ODZ에 속해 있습니다. 즉, 원래 방정식의 근이 됩니다.

답변: − 1 2 .

실시예 13

방정식 x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x의 근을 구합니다.

해결책

우리는 분수 유리 방정식을 다루고 있습니다. 따라서 우리는 알고리즘에 따라 행동할 것입니다.

반대 기호를 사용하여 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동해 보겠습니다. x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

필요한 변환을 수행해 보겠습니다. x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

우리는 방정식에 도달 엑스 = 0. 이 방정식의 근은 0입니다.

이 근이 원래 방정식에 관계가 없는지 확인해 보겠습니다. 값을 원래 방정식으로 대체해 보겠습니다. 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. 보시다시피 결과 방정식은 의미가 없습니다. 이는 0이 외부 근이고 원래 분수 유리 방정식에는 근이 없음을 의미합니다.

답변:뿌리가 없습니다.

알고리즘에 다른 동등한 변환을 포함하지 않았다고 해서 해당 변환을 사용할 수 없다는 의미는 아닙니다. 알고리즘은 보편적이지만 제한이 아닌 도움을 주기 위해 설계되었습니다.

실시예 14

방정식 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 풀기

해결책

가장 쉬운 방법은 주어진 분수 유리 방정식을 알고리즘에 따라 푸는 것입니다. 하지만 또 다른 방법이 있습니다. 그것을 고려해 봅시다.

오른쪽과 왼쪽에서 7을 빼면 다음과 같습니다: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

이것으로부터 우리는 왼쪽 분모의 표현이 오른쪽 숫자의 역수, 즉 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7과 같아야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

양변에서 3을 뺍니다: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. 비유하자면 2 + 1 5 - x 2 = 7 3입니다. 여기서 1 5 - x 2 = 1 3이고 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2입니다.

발견된 근이 원래 방정식의 근인지 확인하기 위해 검사를 수행해 보겠습니다.

답변: x = ± 2

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정수 표현식은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산을 사용하여 숫자와 리터럴 변수로 구성된 수학적 표현식입니다. 정수에는 0이 아닌 숫자로 나누는 표현식도 포함됩니다.

분수 유리식의 개념

분수 표현은 숫자와 문자 변수를 사용하여 수행되는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산과 0이 아닌 숫자로 나누는 연산 외에도 문자 변수를 사용하여 표현식으로 나누는 작업도 포함하는 수학적 표현입니다.

유리식은 모두 정수식과 분수식입니다. 유리 방정식은 왼쪽과 오른쪽이 유리식인 방정식입니다. 유리 방정식에서 왼쪽과 오른쪽 변이 정수 표현식이면 이러한 유리 방정식을 정수라고 합니다.

유리 방정식에서 왼쪽이나 오른쪽이 분수 표현인 경우 이러한 유리 방정식을 분수라고 합니다.

분수 유리식의 예

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

분수 유리 방정식을 푸는 방식

1. 방정식에 포함된 모든 분수의 공통분모를 찾으세요.

2. 방정식의 양변에 공통 분모를 곱합니다.

3. 결과 전체 방정식을 푼다.

4. 근을 확인하고 공통분모를 사라지게 만드는 근을 제외하세요.

분수 유리 방정식을 풀고 있으므로 분수의 분모에 변수가 있을 것입니다. 이는 그들이 공통 분모가 될 것임을 의미합니다. 그리고 알고리즘의 두 번째 지점에서 공통 분모를 곱하면 외부 뿌리가 나타날 수 있습니다. 공통 분모가 0이 되는 경우, 이는 이를 곱하는 것이 의미가 없음을 의미합니다. 따라서 결국에는 얻은 뿌리를 확인하는 것이 필요합니다.

예를 살펴보겠습니다:

분수 유리 방정식을 푼다: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

우리는 일반적인 계획을 고수할 것입니다. 먼저 모든 분수의 공통 분모를 찾으십시오. 우리는 x*(x-5)를 얻습니다.

각 분수에 공통 분모를 곱하고 결과 전체 방정식을 작성하십시오.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

결과 방정식을 단순화해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

우리는 간단한 축소된 이차 방정식을 얻습니다. 우리는 알려진 방법 중 하나를 사용하여 이를 풀고 근 x=-2 및 x=5를 얻습니다.

이제 얻은 솔루션을 확인합니다.

공통분모에 숫자 -2와 5를 대입합니다. x=-2에서 공통분모 x*(x-5)는 사라지지 않습니다(-2*(-2-5)=14). 이는 숫자 -2가 원래 분수 유리 방정식의 근이 된다는 것을 의미합니다.

x=5에서 공통분모 x*(x-5)는 0이 됩니다. 따라서 이 숫자는 0으로 나누기가 발생하므로 원래 분수 유리 방정식의 근이 아닙니다.

이번 글에서는 보여드리겠습니다 7가지 유형의 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘, 변수를 변경하여 2차로 줄일 수 있습니다. 대부분의 경우 교체로 이어지는 변형은 매우 사소하지 않으며 스스로 추측하기가 매우 어렵습니다.

각 방정식 유형에 대해 변수를 변경하는 방법을 설명한 다음 해당 비디오 튜토리얼에서 자세한 솔루션을 보여 드리겠습니다.

계속해서 방정식을 직접 풀 수 있는 기회가 주어지며, 비디오 강의를 통해 해법을 확인할 수 있습니다.

그럼 시작해 보겠습니다.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

방정식의 왼쪽에는 4개의 괄호의 곱이 있고 오른쪽에는 숫자가 있습니다.

1. 자유 항의 합이 동일하도록 괄호를 2개로 그룹화해 보겠습니다.

2. 그것들을 곱하세요.

3. 변수의 변화를 소개하겠습니다.

방정식에서 (-1)+(-4)=(-7)+2이므로 첫 번째 대괄호를 세 번째 대괄호로, 두 번째 대괄호를 네 번째 대괄호로 그룹화합니다.

이 시점에서 변수 대체가 명확해집니다.

우리는 방정식을 얻습니다

답변:

2 .

이 유형의 방정식은 한 가지 차이점을 제외하고 이전 방정식과 유사합니다. 방정식의 오른쪽에는 숫자와 의 곱이 있습니다. 그리고 이는 완전히 다른 방식으로 해결됩니다.

1. 자유 조건의 곱이 동일하도록 괄호를 두 개로 그룹화합니다.

2. 각 괄호 쌍을 곱합니다.

3. 각 요인에서 x를 빼냅니다.

4. 방정식의 양변을 로 나눕니다.

5. 변수의 변화를 소개합니다.

이 방정식에서는 첫 번째 대괄호를 네 번째 대괄호로, 두 번째 대괄호를 세 번째 대괄호로 그룹화합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

각 괄호에서 계수와 자유 항은 동일합니다. 각 괄호에서 요소를 추출해 보겠습니다.

x=0은 원래 방정식의 근이 아니므로 방정식의 양변을 로 나눕니다. 우리는 다음을 얻습니다:

우리는 방정식을 얻습니다.

답변:

3 .

두 분수의 분모는 다음과 같습니다. 정사각형 삼항식, 최고차 계수와 자유 항은 동일합니다. 두 번째 유형의 방정식에서와 같이 괄호에서 x를 제거해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

각 분수의 분자와 분모를 x로 나눕니다.

이제 변수 대체를 도입할 수 있습니다.

변수 t에 대한 방정식을 얻습니다.

4 .

방정식의 계수는 중앙 계수에 대해 대칭입니다. 이 방정식은 반품 가능 .

그것을 해결하려면,

1. 방정식의 양변을 다음으로 나눕니다. (x=0이 방정식의 근이 아니기 때문에 이렇게 할 수 있습니다.) 다음을 얻습니다.

2. 다음과 같이 용어를 그룹화해 보겠습니다.

3. 각 그룹에서 괄호 안의 공통인수를 빼봅시다.

4. 대체품을 소개하겠습니다.

5. t를 통해 다음 표현식을 표현합니다.

여기에서

우리는 t에 대한 방정식을 얻습니다.

답변:

5. 동종 방정식.

지수, 대수 및 방정식을 풀 때 동질적인 구조를 갖는 방정식을 접할 수 있습니다. 삼각 방정식이므로 인식할 수 있어야 합니다.

동종 방정식의 구조는 다음과 같습니다.

이 등식에서 A, B, C는 숫자이고 사각형과 원은 동일한 표현을 나타냅니다. 즉, 동차 방정식의 왼쪽에는 다음을 갖는 단항식의 합이 있습니다. 같은 정도(이 경우 단항식의 차수는 2입니다.) 자유항은 없습니다.

해결하다 동차방정식, 양변을 다음으로 나눕니다.

주목! 미지수가 포함된 식으로 방정식의 우변과 좌변을 나누면 근을 잃을 수 있습니다. 그러므로 방정식의 양변을 나누는 식의 근이 원래 방정식의 근인지 확인하는 것이 필요하다.

첫 번째 길로 갑시다. 우리는 방정식을 얻습니다.

이제 변수 교체를 소개합니다.

표현식을 단순화하고 t에 대한 2차 방정식을 구해 보겠습니다.

답변:또는

7 .

이 방정식의 구조는 다음과 같습니다.

이를 해결하려면 방정식의 왼쪽에서 완전한 정사각형을 선택해야 합니다.

완전한 정사각형을 선택하려면 곱의 두 배를 더하거나 빼야 합니다. 그런 다음 합계 또는 차이의 제곱을 얻습니다. 이는 성공적인 변수 교체에 매우 중요합니다.

제품을 두 번 찾는 것부터 시작하겠습니다. 이것이 변수 교체의 핵심이 될 것입니다. 우리 방정식에서 곱의 두 배는 다음과 같습니다.

이제 합의 제곱 또는 차이 중 무엇이 더 편리한지 알아봅시다. 먼저 표현식의 합을 고려해 보겠습니다.

엄청난! 이 표현은 곱의 두 배와 정확히 같습니다. 그런 다음 괄호 안의 합계의 제곱을 얻으려면 이중 곱을 더하고 빼야 합니다.

해결책 분수 유리 방정식

참조 가이드

유리방정식은 좌변과 우변이 모두 유리식인 방정식이다.

(기억하세요: 유리수식은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 연산을 포함하여 근수가 없는 정수 및 분수식입니다. 예: 6x; (m – n)2; x/3y 등)

분수 유리 방정식은 일반적으로 다음 형식으로 축소됩니다.

어디 피(엑스) 그리고 큐(엑스)는 다항식입니다.

이러한 방정식을 풀려면 방정식의 양쪽에 Q(x)를 곱하면 외부 근이 나타날 수 있습니다. 따라서 분수 유리 방정식을 풀 때는 찾은 근을 확인하는 것이 필요합니다.

유리 방정식이 변수를 포함하는 표현식으로 나누어지지 않으면 전체 또는 대수 방정식이라고 합니다.

전체 유리 방정식의 예:

5x – 10 = 3(10 – x)

3배
- = 2x – 10
4

유리 방정식에 변수(x)를 포함하는 표현식으로 나누기가 있는 경우 방정식을 분수 유리라고 합니다.

분수 유리 방정식의 예:

15
x + - = 5x – 17
엑스

분수 유리 방정식은 일반적으로 다음과 같이 해결됩니다.

1) 분수의 공통 분모를 찾아 방정식의 양쪽에 이를 곱합니다.

2) 결과 전체 방정식을 푼다.

3) 분수의 공통 분모를 0으로 줄이는 것을 뿌리에서 제외합니다.

정수 및 분수 유리 방정식을 푸는 예.

예 1. 전체 방정식을 풀어 봅시다

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

해결책:

최소 공통 분모를 찾는 것입니다. 이것은 6입니다. 6을 분모로 나누고 결과 결과에 각 분수의 분자를 곱합니다. 우리는 다음과 같은 방정식을 얻습니다.

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

왼쪽과 오른쪽에 있기 때문에 같은 분모, 생략 가능합니다. 그러면 우리는 더 간단한 방정식을 얻습니다.

3(x – 1) + 4x = 5x.

괄호를 열고 비슷한 용어를 결합하여 문제를 해결합니다.

3x – 3 + 4x = 5x

3배 + 4배 – 5배 = 3

예제가 해결되었습니다.

예 2. 분수 유리 방정식 풀기

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

공통분모를 찾아보세요. 이것은 x(x – 5)입니다. 그래서:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

이제 분모는 ​​모든 표현에 동일하므로 다시 제거합니다. 유사한 용어를 줄이고 방정식을 0으로 동일시하고 이차 방정식을 얻습니다.

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

이차 방정식을 풀면 -2와 5의 근을 찾습니다.

이 숫자가 원래 방정식의 근인지 확인해 봅시다.

x = –2에서 공통분모 x(x – 5)는 사라지지 않습니다. 이는 -2가 원래 방정식의 근임을 의미합니다.

x = 5에서 공통분모는 0이 되고 3개의 표현식 중 2개는 의미가 없게 됩니다. 이는 숫자 5가 원래 방정식의 근이 아니라는 것을 의미합니다.

답: x = –2

더 많은 예시

예시 1.

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

답: -2,2;6.

예시 2.