입구간단한 로그 방정식을 푼다. 로그 표현. 예
로그 방정식미지수(x)와 이를 사용한 표현이 로그 함수의 부호 아래에 있는 방정식입니다. 로그 방정식을 풀 때는 사용자가 이미 및 에 익숙하다고 가정합니다.
로그 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?
가장 간단한 방정식은 로그 a x = b, 여기서 a와 b는 숫자이고 x는 알 수 없는 숫자입니다.
로그 방정식 풀기 x = a b 제공됨: a > 0, a 1.
x가 로그 외부 어딘가에 있는 경우(예: log 2 x = x-2) 이러한 방정식은 이미 혼합이라고 불리며 이를 해결하려면 특별한 접근 방식이 필요합니다.
이상적인 경우는 로그 기호 아래에 숫자만 있는 방정식을 발견한 경우입니다(예: x+2 = log 2 2). 여기서는 이를 풀기 위해 로그의 속성을 아는 것만으로도 충분합니다. 그러나 그러한 행운은 자주 일어나지 않으므로 더 어려운 일에 대비하십시오.
하지만 먼저 시작해보자 간단한 방정식. 이를 해결하기 위해서는 가장 많은 것을 갖는 것이 바람직하다. 일반적인 생각로그에 대해서.
간단한 로그 방정식 풀기
여기에는 log 2 x = log 2 16 유형의 방정식이 포함됩니다. 육안으로는 로그 부호를 생략하면 x = 16이 되는 것을 볼 수 있습니다.
보다 복잡한 로그 방정식을 풀기 위해 일반적으로 일반적인 방정식을 푸는 것으로 축소됩니다. 대수 방정식또는 가장 간단한 로그 방정식 log a x = b의 해법입니다. 가장 간단한 방정식에서는 이것이 하나의 움직임으로 발생하므로 이를 가장 단순하다고 부릅니다.
위의 로그 삭제 방법은 로그 방정식과 부등식을 해결하는 주요 방법 중 하나입니다. 수학에서는 이 연산을 강화라고 합니다. 이러한 유형의 작업에는 특정 규칙이나 제한 사항이 있습니다.
- 로그는 동일한 수치 기반을 갖습니다.
- 방정식의 양쪽에 있는 로그는 자유입니다. 즉, 계수나 기타 다양한 종류의 표현식이 없습니다.
방정식 log 2 x = 2log 2 (1 - x) 전위가 적용 가능하지 않다고 가정해 보겠습니다. 오른쪽의 계수 2는 이를 허용하지 않습니다. 다음 예에서 log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x)도 제한 사항 중 하나를 충족하지 않습니다. 왼쪽에 두 개의 로그가 있습니다. 하나만 있다면 완전히 다른 문제가 될 것입니다!
일반적으로 방정식의 형식이 다음과 같은 경우에만 로그를 제거할 수 있습니다.
로그 a (...) = 로그 a (...)
물론 모든 표현식을 괄호 안에 넣을 수 있습니다. 이는 강화 작업에 전혀 영향을 미치지 않습니다. 그리고 로그를 제거한 후에도 선형, 2차, 지수 등 더 간단한 방정식이 남게 됩니다. 이를 해결하는 방법을 이미 알고 계시기를 바랍니다.
또 다른 예를 들어보겠습니다:
로그 3 (2x-5) = 로그 3 x
강화를 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
로그 3(2x-1) = 2
로그의 정의에 따르면, 즉 로그는 로그 기호 아래에 있는 표현식을 얻기 위해 밑을 올려야 하는 숫자입니다. (4x-1), 우리는 다음을 얻습니다:
이번에도 우리는 아름다운 답변을 받았습니다. 여기서는 로그를 제거하지 않고 수행했지만 로그는 어떤 숫자에서든 정확히 필요한 숫자로 만들 수 있기 때문에 여기서도 전위화를 적용할 수 있습니다. 이 방법은 로그 방정식, 특히 부등식을 해결하는 데 매우 유용합니다.
전위화를 사용하여 로그 방정식 log 3 (2x-1) = 2를 풀어보겠습니다.
숫자 2를 로그로 상상해 봅시다. 예를 들어 이 로그는 3 9입니다. 왜냐하면 3 2 =9이기 때문입니다.
그런 다음 log 3 (2x-1) = log 3 9 그리고 다시 동일한 방정식 2x-1 = 9를 얻습니다. 모든 것이 명확해지기를 바랍니다.
그래서 우리는 실제로 매우 중요한 가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 살펴보았습니다. 로그 방정식 풀기, 심지어 가장 끔찍하고 뒤틀린 것조차도 결국에는 항상 가장 간단한 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다.
위에서 수행한 모든 작업에서 우리는 한 가지를 매우 놓쳤습니다. 중요한 점, 이는 미래에 결정적인 역할을 할 것입니다. 사실 모든 로그 방정식의 해는 가장 기본적인 방정식이라 할지라도 두 개의 동일한 부분으로 구성됩니다. 첫 번째는 방정식 자체의 해법이고, 두 번째는 허용값 범위(APV)를 사용하는 것입니다. 이것이 바로 우리가 마스터한 첫 번째 부분입니다. 위에서 DL의 예어떤 식으로든 답변에 영향을 미치지 않으므로 고려하지 않았습니다.
또 다른 예를 들어보겠습니다:
로그 3(x 2 -3) = 로그 3(2x)
겉으로 보기에 이 방정식은 매우 성공적으로 풀 수 있는 기본 방정식과 다르지 않습니다. 그러나 그렇지 않습니다. 아니요, 물론 우리는 그것을 해결할 것입니다. 그러나 C 등급 학생과 우수 학생 모두 즉시 빠지는 작은 매복이 포함되어 있기 때문에 잘못되었을 가능성이 큽니다. 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.
방정식의 근이나 근이 여러 개인 경우 근의 합을 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다.
로그 3(x 2 -3) = 로그 3(2x)
우리는 강화를 사용하는데, 여기서는 허용됩니다. 결과적으로 우리는 평소와 같은 결과를 얻습니다. 이차 방정식.
방정식의 근원 찾기:
그것은 두 개의 뿌리로 밝혀졌습니다.
답: 3과 -1
언뜻보기에 모든 것이 정확합니다. 하지만 결과를 확인하고 이를 원래 방정식에 대입해 보겠습니다.
x 1 = 3부터 시작해 보겠습니다.
로그 3 6 = 로그 3 6
검사에 성공했습니다. 이제 대기열은 x 2 = -1입니다.
로그 3(-2) = 로그 3(-2)
알았어, 그만해! 외부에서는 모든 것이 완벽합니다. 한 가지 - 음수에는 로그가 없습니다! 이는 근 x = -1이 방정식을 푸는 데 적합하지 않음을 의미합니다. 따라서 정답은 우리가 쓴 것처럼 2가 아니라 3이 될 것입니다.
이곳은 우리가 잊고 있던 ODZ가 치명적인 역할을 한 곳입니다.
허용되는 값의 범위에는 허용되거나 원래 예에 적합한 x 값이 포함된다는 점을 상기시켜 드리겠습니다.
ODZ가 없으면 모든 방정식의 모든 솔루션, 심지어 절대적으로 정확한 솔루션도 50/50 복권으로 변합니다.
겉보기에 초보적인 예를 해결하는 데 어떻게 잡힐 수 있습니까? 그러나 정확히 강화 순간에. 로그가 사라졌고 모든 제한이 적용되었습니다.
이 경우 어떻게 해야 합니까? 로그 제거를 거부하시겠습니까? 그리고 이 방정식 풀기를 완전히 거부합니까?
아니요, 우리는 유명한 노래의 실제 영웅처럼 우회할 것입니다!
로그 방정식을 풀기 전에 ODZ를 적어 보겠습니다. 하지만 그 후에는 우리 방정식을 사용하여 마음이 원하는 모든 것을 할 수 있습니다. 답변을 받은 후 ODZ에 포함되지 않은 루트를 버리고 최종 버전을 기록합니다.
이제 ODZ를 어떻게 녹음할지 결정해 봅시다. 이를 위해 원래 방정식을 주의 깊게 조사하고 x로 나누기, 루트 등 방정식에서 의심스러운 부분을 찾습니다. 방정식을 풀 때까지 우리는 x가 무엇인지 알지 못하지만, 대입하면 0으로 나누거나 추출하는 x가 있다는 것을 확실히 알고 있습니다. 제곱근~에서 음수, 분명히 답변으로 적합하지 않습니다. 따라서 이러한 x는 허용되지 않으며 나머지는 ODZ를 구성합니다.
동일한 방정식을 다시 사용해 보겠습니다.
로그 3(x 2 -3) = 로그 3(2x)
로그 3(x 2 -3) = 로그 3(2x)
보시다시피 0으로 나누기가 없습니다. 제곱근또한 그렇지 않지만 로그 본문에 x가 포함된 표현식이 있습니다. 로그 내부의 표현식은 항상 >0이어야 한다는 점을 즉시 기억해 봅시다. 이 조건을 ODZ 형식으로 작성합니다.
저것들. 아직 아무것도 해결하지 못했지만 전체 하위 대수 표현에 대한 필수 조건을 이미 작성했습니다. 중괄호는 이러한 조건이 동시에 충족되어야 함을 의미합니다.
ODZ가 기록되었지만 결과적으로 발생하는 불평등 시스템을 해결하는 것도 필요하며 이것이 바로 우리가 할 일입니다. 우리는 x > v3라는 답을 얻습니다. 이제 우리는 어느 x가 우리에게 적합하지 않은지 확실히 알고 있습니다. 그런 다음 위에서 했던 것처럼 로그 방정식 자체를 풀기 시작합니다.
x 1 = 3 및 x 2 = -1이라는 답을 받으면 x1 = 3만이 우리에게 적합하다는 것을 쉽게 알 수 있으며 이를 최종 답으로 기록합니다.
미래를 위해 다음 사항을 기억하는 것이 매우 중요합니다. 로그 방정식을 2단계로 해결합니다. 첫 번째는 방정식 자체를 푸는 것이고, 두 번째는 ODZ 조건을 푸는 것입니다. 두 단계 모두 서로 독립적으로 수행되며 답을 작성할 때만 비교됩니다. 불필요한 것을 모두 버리고 정답을 적어보세요.
자료를 강화하려면 다음 비디오를 시청하는 것이 좋습니다.
비디오는 로그 해결의 다른 예를 보여줍니다. 방정식을 구하고 실제로 구간 방법을 연구합니다.
이 질문에, 로그 방정식을 푸는 방법지금은 여기까지입니다. 로그에 의해 무언가가 결정되는 경우. 방정식이 여전히 불분명하거나 이해하기 어려운 경우 댓글에 질문을 적어주세요.
참고: 사회 교육 아카데미(ASE)는 신입생을 받아들일 준비가 되어 있습니다.
이 단원에서는 로그에 대한 기본적인 이론적 사실을 검토하고 가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 고려할 것입니다.
중심 정의, 즉 로그의 정의를 떠올려 보겠습니다. 결정과 관련이 있습니다 지수 방정식. 이 방정식은 단일 근을 가지며, 이를 밑수 a에 대한 b의 로그라고 합니다.
정의:
밑수 a에 대한 b의 로그는 b를 얻기 위해 밑수 a를 올려야 하는 지수입니다.
우리가 당신에게 상기시켜 드리겠습니다 기본 로그 항등.
식(식 1)은 방정식(식 2)의 근입니다. x 대신 표현식 1의 값 x를 표현식 2로 대체하고 주요 로그 항등식을 얻습니다.
따라서 우리는 각 값이 값과 연관되어 있음을 알 수 있습니다. b를 x()로, c를 y로 표시하여 로그 함수를 얻습니다.
예를 들어: 
로그 함수의 기본 속성을 기억해 보겠습니다.
로그 아래에는 로그의 밑수로서 엄격하게 긍정적인 표현이 있을 수 있으므로 여기서 다시 한 번 주목해 보겠습니다.
쌀. 1. 다양한 밑수의 로그 함수 그래프
함수의 그래프는 검정색으로 표시됩니다. 쌀. 1. 인수가 0에서 무한대로 증가하면 함수는 마이너스에서 플러스 무한대로 증가합니다.
함수의 그래프는 빨간색으로 표시됩니다. 쌀. 1.
이 기능의 속성:
도메인: ;
값 범위: ;
이 함수는 전체 정의 영역에서 단조롭습니다. 단조적으로(엄격하게) 증가하면, 더 높은 가치인수는 함수의 더 큰 값에 해당합니다. 단조적으로(엄격하게) 감소하는 경우 인수의 값이 클수록 함수의 값이 작아집니다.
로그 함수의 속성은 다양한 로그 방정식을 푸는 열쇠입니다.
가장 간단한 로그 방정식을 생각해 봅시다. 일반적으로 다른 모든 로그 방정식은 이 형식으로 축소됩니다.
로그의 밑과 로그 자체가 동일하므로 로그 아래의 함수도 동일하지만 정의 영역을 놓쳐서는 안 됩니다. 로그 아래에는 양수만 나타날 수 있습니다.
우리는 함수 f와 g가 동일하다는 것을 알았으므로 ODZ를 준수하려면 부등식 중 하나를 선택하는 것으로 충분합니다.
따라서 방정식과 부등식이 있는 혼합 시스템이 있습니다.
일반적으로 부등식을 풀 필요는 없습니다. 방정식을 풀고 발견된 근을 부등식에 대입하여 검사를 수행하는 것으로 충분합니다.
가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 공식화해 보겠습니다.
로그의 밑을 균등화합니다.
하위 대수 함수를 동일시합니다.
점검을 수행하십시오.
구체적인 예를 살펴 보겠습니다.
예 1 - 방정식 풀기:
로그의 밑은 처음에는 동일합니다. 우리는 하위 로그 표현을 동일시할 권리가 있으며 ODZ를 잊지 말고 부등식을 구성하기 위해 첫 번째 로그를 선택합니다.
예 2 - 방정식 풀기:
이 방정식은 로그의 밑이 다음과 같다는 점에서 이전 방정식과 다릅니다. 1개 미만, 그러나 이는 어떤 식으로든 솔루션에 영향을 미치지 않습니다.
루트를 찾아 부등식에 대입해 보겠습니다.
잘못된 부등식을 받았습니다. 이는 발견된 루트가 ODZ를 충족하지 않음을 의미합니다.
예 3 - 방정식 풀기:
로그의 밑은 처음에는 동일합니다. 우리는 하위 로그 표현을 동일시할 권리가 있으며 ODZ를 잊지 말고 부등식을 구성하기 위해 두 번째 로그를 선택합니다.
루트를 찾아 부등식에 대입해 보겠습니다.
분명히 첫 번째 루트만이 DD를 만족합니다.
오늘 우리는 예비 변환이나 근 선택이 필요하지 않은 가장 간단한 로그 방정식을 푸는 방법을 배웁니다. 그러나 그러한 방정식을 푸는 방법을 배우면 훨씬 쉬울 것입니다.
가장 간단한 로그 방정식은 log a f (x) = b 형식의 방정식입니다. 여기서 a, b는 숫자(a > 0, a ≠ 1)이고 f(x)는 특정 함수입니다.
모든 로그 방정식의 특징은 로그 기호 아래에 변수 x가 존재한다는 것입니다. 이것이 문제에 처음 주어진 방정식이라면 가장 간단한 방정식이라고 합니다. 다른 로그 방정식은 특수 변환을 통해 가장 단순한 방정식으로 축소됩니다(“로그의 기본 속성” 참조). 그러나 수많은 미묘함을 고려해야 합니다. 추가 근이 발생할 수 있으므로 복잡한 로그 방정식은 별도로 고려됩니다.
그러한 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까? 등호 오른쪽에 있는 숫자를 왼쪽과 같은 밑수의 로그로 바꾸는 것으로 충분합니다. 그런 다음 로그의 부호를 제거할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다:
로그 a f (x) = b ⇒ 로그 a f (x) = 로그 a a b ⇒ f (x) = a b
갖다 일반 방정식. 그 근은 원래 방정식의 근입니다.
학위 취득
겉보기에 복잡하고 위협적으로 보이는 로그 방정식은 종종 개입하지 않고 문자 그대로 몇 줄로 해결됩니다. 복잡한 수식. 오늘 우리는 그러한 문제를 살펴볼 것입니다. 여기서 필요한 것은 공식을 정식 형식으로 조심스럽게 줄이고 로그 정의 영역을 검색할 때 혼동하지 않는 것입니다.
오늘은 제목에서 짐작하셨겠지만, 정식 형식으로의 전환 공식을 사용하여 로그 방정식을 풀어보겠습니다. 이 비디오 강의의 주요 "비결"은 학위를 가지고 작업하거나 오히려 근거와 주장에서 학위를 추론하는 것입니다. 규칙을 살펴보겠습니다:
마찬가지로 베이스에서 차수를 파생할 수 있습니다.
보시다시피, 로그 인수에서 차수를 제거할 때 단순히 앞에 추가 요소가 있는 경우 밑에서 차수를 제거하면 승수뿐만 아니라 반전된 인수도 얻게 됩니다. 이것을 기억해야합니다.
마지막으로 가장 흥미로운 점입니다. 이 공식을 결합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
물론 이러한 전환을 할 때 정의 범위의 확장 가능성 또는 반대로 정의 범위의 축소와 관련된 특정 함정이 있습니다. 스스로 판단하십시오.
로그 3 x 2 = 2 ∙ 로그 3 x
첫 번째 경우에 x가 0이 아닌 임의의 숫자일 수 있다면, 즉 요구사항 x ≠ 0이면 두 번째 경우에 우리는 x만으로 만족합니다. x는 같지 않을 뿐만 아니라 0보다 엄격하게 큽니다. 로그의 정의는 인수가 엄격하게 0보다 커야 한다는 것입니다. 따라서 저는 8~9학년 대수 과정에서 배운 멋진 공식을 상기시켜 드리겠습니다.
즉, 우리는 다음과 같이 공식을 작성해야 합니다.
로그 3 x 2 = 2 ∙ 로그 3 |x |
그러면 정의 범위가 좁아지지 않습니다.
하지만 오늘의 비디오 튜토리얼에는 사각형이 없습니다. 우리가 하는 일을 보면 뿌리만 보일 뿐입니다. 따라서 우리는 이 규칙을 적용하지 않을 것이지만, 적절한 순간에 볼 수 있도록 명심해야 합니다. 이차 함수인수나 로그 밑에서 이 규칙을 기억하고 모든 변환을 올바르게 수행할 것입니다.
따라서 첫 번째 방정식은 다음과 같습니다.
이 문제를 해결하기 위해 공식에 존재하는 각 용어를 주의 깊게 살펴볼 것을 제안합니다.
첫 번째 항을 유리수 지수를 갖는 거듭제곱으로 다시 작성해 보겠습니다.
두 번째 항인 log 3 (1 − x)를 살펴보겠습니다. 여기서는 아무것도 할 필요가 없습니다. 모든 것이 이미 여기에서 변환되었습니다.
마지막으로 0, 5입니다. 이전 수업에서 말했듯이 로그 방정식과 공식을 풀 때 소수에서 공통 분수로 이동하는 것이 좋습니다. 이렇게 해보자:
0,5 = 5/10 = 1/2
결과 항을 고려하여 원래 공식을 다시 작성해 보겠습니다.
로그 3 (1 − x ) = 1
이제 정식 형식으로 넘어가겠습니다.
로그 3 (1 − x ) = 로그 3 3
인수를 동일시하여 로그 기호를 제거합니다.
1 − x = 3
-x = 2
x = -2
그게 다입니다. 우리는 방정식을 풀었습니다. 그러나 여전히 안전하게 플레이하고 정의 영역을 찾아보겠습니다. 이를 위해 원래 공식으로 돌아가서 다음을 살펴보겠습니다.
1 – x > 0
-x > -1
엑스< 1
근 x = −2는 이 요구 사항을 충족하므로 x = −2는 원래 방정식의 해입니다. 이제 우리는 엄격하고 분명한 정당성을 얻었습니다. 그게 다야, 문제가 해결되었습니다.
두 번째 작업으로 넘어가겠습니다.
각 용어를 개별적으로 살펴보겠습니다.
첫 번째 것을 작성해 보겠습니다.
우리는 첫 번째 용어를 변형했습니다. 우리는 두 번째 용어로 작업합니다.
마지막으로 등호 오른쪽에 있는 마지막 항은 다음과 같습니다.
결과 공식의 항 대신 결과 표현식을 대체합니다.
로그 3 x = 1
표준 형식으로 넘어가겠습니다.
로그 3 x = 로그 3 3
우리는 로그 기호를 제거하여 인수를 동일시하고 다음을 얻습니다.
엑스 = 3
다시 말하지만, 안전을 위해 원래 방정식으로 돌아가서 살펴보겠습니다. 원래 수식에서 변수 x는 인수에만 존재하므로,
x > 0
두 번째 로그에서 x는 근 아래에 있지만 다시 인수에서 근은 0보다 커야 합니다. 즉, 근호 표현은 0보다 커야 합니다. 우리는 근 x = 3을 봅니다. 분명히, 이 요구 사항을 충족합니다. 따라서 x = 3은 원래 로그 방정식의 해입니다. 그게 다야, 문제가 해결되었습니다.
오늘의 비디오 튜토리얼에는 두 가지 핵심 사항이 있습니다.
1) 로그 변환을 두려워하지 말고, 특히 기본 공식을 기억하면서 로그 부호에서 거듭제곱을 빼는 것을 두려워하지 마세요. 논증에서 거듭제곱을 제거할 때 변경 없이 단순히 빼냅니다. 승수로 사용되며 베이스에서 거듭제곱을 제거하면 이 거듭제곱이 반전됩니다.
2) 두 번째 요점은 표준 형식 자체와 관련이 있습니다. 우리는 로그 방정식 공식의 변환이 끝날 때 표준 형식으로 전환했습니다. 다음 공식을 상기시켜 드리겠습니다.
a = 로그 b b a
물론, "모든 숫자 b"라는 표현은 로그 기반에 부과된 요구 사항을 충족하는 숫자를 의미합니다.
1 ≠ b > 0
그러한 b에 대해서는 우리가 이미 기초를 알고 있으므로 이 요구 사항은 자동으로 충족됩니다. 그러나 그러한 b(이 요구 사항을 충족하는 모든 것)에 대해 이 전환이 수행될 수 있으며 로그 부호를 제거할 수 있는 표준 형식을 얻게 됩니다.
정의 영역과 추가 뿌리 확장
로그 방정식을 변환하는 과정에서 정의 영역의 암묵적인 확장이 발생할 수 있습니다. 종종 학생들은 이를 알아차리지도 못하는데, 이는 실수와 오답으로 이어집니다.
가장 단순한 디자인부터 시작해 보겠습니다. 가장 간단한 로그 방정식은 다음과 같습니다.
로그 a f(x) = b
x는 하나의 로그 중 하나의 인수에만 존재한다는 점에 유의하세요. 그러한 방정식을 어떻게 해결합니까? 우리는 정식 형식을 사용합니다. 이를 위해 숫자 b = log a a b를 상상해 보십시오. 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.
로그 a f (x) = 로그 a a b
이 항목을 표준 형식이라고 합니다. 오늘 수업뿐만 아니라 모든 독립적인 테스트 작업에서도 접하게 될 모든 로그 방정식을 줄여야 합니다.
표준 형식에 도달하는 방법과 사용할 기술은 실습의 문제입니다. 이해해야 할 가장 중요한 점은 그러한 기록을 받는 즉시 문제가 해결되었다고 생각할 수 있다는 것입니다. 다음 단계는 다음과 같이 작성하는 것이기 때문입니다.
에프(x) = ab
즉, 로그 기호를 제거하고 단순히 인수를 동일시합니다.
왜 이 얘기가 다 나오나요? 사실은 표준 형식이 가장 단순한 문제뿐만 아니라 다른 모든 문제에도 적용 가능하다는 것입니다. 특히 오늘 우리가 결정할 것입니다. 한번 살펴보자.
첫 번째 작업:
이 방정식의 문제점은 무엇입니까? 사실은 함수가 한 번에 두 개의 로그에 있다는 것입니다. 문제는 단순히 한 로그에서 다른 로그를 빼면 가장 간단하게 줄일 수 있습니다. 그러나 정의 영역에 문제가 발생합니다. 추가 루트가 나타날 수 있습니다. 이제 로그 중 하나를 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
이 항목은 정식 형식과 훨씬 더 유사합니다. 그러나 한 가지 더 뉘앙스가 있습니다. 정식 형식에서는 인수가 동일해야 합니다. 그리고 왼쪽에는 3진법의 로그가 있고 오른쪽에는 1/3진법의 로그가 있습니다. 그는 이 기지들을 같은 숫자로 가져와야 한다는 것을 알고 있습니다. 예를 들어, 부정적인 힘이 무엇인지 기억해 봅시다.
그런 다음 로그 외부의 "-1" 지수를 승수로 사용합니다.
참고: 베이스에 있던 정도가 뒤집어서 분수로 변합니다. 우리는 서로 다른 진수를 제거하여 거의 표준적인 표기법을 얻었지만 그 대가로 오른쪽에 "-1" 인수를 얻었습니다. 이 요소를 거듭제곱으로 바꾸어 논증에 포함시켜 보겠습니다.
물론, 정식 형식을 받은 후 우리는 대담하게 로그 기호를 지우고 인수를 동일시합니다. 동시에, "-1"제곱으로 올리면 분수가 단순히 뒤집어지고 비율이 얻어짐을 상기시켜 드리겠습니다.
비례의 기본 속성을 사용하여 이를 십자형으로 곱해 보겠습니다.
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
위의 2차 방정식이 있으므로 Vieta의 공식을 사용하여 이를 풉니다.
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
그게 다야. 방정식이 풀렸다고 생각하시나요? 아니요! 이러한 해법의 경우 원래 방정식에 변수 x를 갖는 두 개의 로그가 있으므로 0점을 받게 됩니다. 그러므로 정의 영역을 고려할 필요가 있다.
그리고 이것이 재미가 시작되는 곳입니다. 대부분의 학생들은 혼란스러워합니다. 로그 정의 영역은 무엇입니까? 물론 모든 인수(두 개가 있음)는 0보다 커야 합니다.
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
이러한 불평등 각각을 풀어 직선으로 표시하고 교차한 다음 교차점에 어떤 뿌리가 있는지 확인해야 합니다.
솔직히 말해서 이 기술은 존재할 권리가 있고 신뢰할 수 있으며 정답을 얻을 수 있지만 불필요한 단계가 너무 많습니다. 그럼 우리의 솔루션을 다시 살펴보고 범위를 정확히 어디에 적용해야 합니까? 즉, 정확히 언제 여분의 뿌리가 나타나는지 명확하게 이해해야 합니다.
- 처음에는 두 개의 로그가 있었습니다. 그런 다음 그 중 하나를 오른쪽으로 이동했지만 정의 영역에는 영향을 미치지 않았습니다.
- 그런 다음 밑에서 거듭제곱을 제거하지만 여전히 두 개의 로그가 있고 각 로그에는 변수 x가 있습니다.
- 마지막으로 통나무 표지판을 지우고 클래식을 얻습니다. 분수 유리 방정식.
정의의 범위가 확장되는 것은 마지막 단계입니다! 로그 기호를 제거하고 분수-유리 방정식으로 이동하자마자 변수 x에 대한 요구 사항이 극적으로 변경되었습니다!
결과적으로 정의 영역은 솔루션의 시작 부분이 아니라 언급된 단계(인수를 직접 동일시하기 전)에서만 고려할 수 있습니다.
여기에 최적화의 기회가 있습니다. 한편으로는 두 인수가 모두 0보다 커야 합니다. 반면에 우리는 이러한 주장을 더 동일시합니다. 따라서 그 중 적어도 하나가 긍정적이면 두 번째도 긍정적일 것입니다!
따라서 두 가지 불평등을 동시에 충족하도록 요구하는 것은 과잉이라는 것이 밝혀졌습니다. 이 분수 중 하나만 고려하는 것으로 충분합니다. 어느 것? 더 간단한 것. 예를 들어 오른쪽 분수를 살펴보겠습니다.
(x − 5)/(2x − 1) > 0
이는 전형적인 분수 합리적 불평등입니다. 간격 방법을 사용하여 이를 해결합니다.
표지판을 배치하는 방법? 우리의 모든 근보다 분명히 더 큰 숫자를 선택해 봅시다. 예를 들어, 10억으로 분수를 대체합니다. 우리는 양수를 얻습니다. 루트 x = 5의 오른쪽에 더하기 기호가 있습니다.
그런 다음 기호는 번갈아 표시됩니다. 왜냐하면 어디에도 다양성의 뿌리가 없기 때문입니다. 우리는 함수가 양수인 구간에 관심이 있습니다. 따라서 x ∈ (−무한대; −1/2)∪(5; +무한대)입니다.
이제 답을 기억해 봅시다: x = 8 및 x = 2. 엄밀히 말하면 이것은 아직 답이 아니며 답의 후보일 뿐입니다. 지정된 세트에 속하는 것은 무엇입니까? 물론 x = 8입니다. 그러나 x = 2는 정의 영역 측면에서 우리에게 적합하지 않습니다.
전체적으로 첫 번째 로그 방정식의 답은 x = 8이 됩니다. 이제 우리는 정의 영역을 고려한 유능하고 기초가 튼튼한 솔루션을 갖게 되었습니다.
두 번째 방정식으로 넘어가겠습니다.
로그 5 (x − 9) = 로그 0.5 4 − 로그 5 (x − 5) + 3
방정식에 소수 부분이 있으면 이를 제거해야 함을 상기시켜 드리겠습니다. 즉, 0.5를 공분수로 다시 써보겠습니다. 우리는 이 밑을 포함하는 로그가 쉽게 계산된다는 것을 즉시 알 수 있습니다.
이것은 매우 중요한 순간입니다! 기본과 인수 모두에 학위가 있는 경우 다음 공식을 사용하여 이러한 학위의 표시기를 파생할 수 있습니다.
원래의 로그 방정식으로 돌아가서 다시 작성해 보겠습니다.
로그 5(x − 9) = 1 − 로그 5(x − 5)
우리는 표준 형식에 매우 가까운 디자인을 얻었습니다. 그러나 우리는 등호 오른쪽에 있는 용어와 빼기 기호로 인해 혼란을 겪습니다. 하나를 밑수 5에 대한 로그로 표현해 보겠습니다.
로그 5 (x − 9) = 로그 5 5 1 − 로그 5 (x − 5)
오른쪽의 로그를 뺍니다(이 경우 인수가 나누어집니다).
로그 5 (x − 9) = 로그 5 5/(x − 5)
아주 멋진. 그래서 우리는 정식 형식을 얻었습니다! 로그 기호를 지우고 인수를 동일시합니다.
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
이것은 십자형으로 곱하면 쉽게 풀 수 있는 비율입니다.
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
분명히, 우리는 축소된 이차 방정식을 가지고 있습니다. Vieta의 공식을 사용하면 쉽게 풀 수 있습니다.
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
우리는 두 개의 뿌리를 얻었습니다. 그러나 이는 최종 답변이 아니라 단지 후보일 뿐입니다. 로그 방정식에는 정의 영역도 확인해야 하기 때문입니다.
상기시켜드립니다. 언제 검색할 필요가 없습니다. 모든인수 중 0보다 클 것입니다. 하나의 인수(x − 9 또는 5/(x − 5))가 0보다 크도록 요구하는 것으로 충분합니다. 첫 번째 인수를 고려하십시오.
x − 9 > 0
x > 9
분명히 x = 10만이 이 요구 사항을 충족합니다. 이것이 최종 답변입니다. 모든 문제가 해결되었습니다.
다시 한 번, 오늘 수업의 핵심 생각은 다음과 같습니다.
- 변수 x가 여러 로그에 나타나자마자 방정식은 더 이상 기본이 아니며 이에 대한 정의 영역을 계산해야 합니다. 그렇지 않으면 답에 추가 루트를 쉽게 쓸 수 있습니다.
- 부등식을 즉시 작성하지 않고 로그 표시를 제거하는 순간에 정확하게 작성하면 도메인 자체 작업이 크게 단순화될 수 있습니다. 결국, 인수가 서로 동일할 때 인수 중 하나만 0보다 크도록 요구하는 것으로 충분합니다.
물론 부등식을 형성하기 위해 어떤 주장을 사용할지는 우리 스스로 선택하므로 가장 간단한 주장을 선택하는 것이 논리적입니다. 예를 들어, 두 번째 방정식에서 우리는 인수 (x − 9)를 선택했습니다. 선형 함수, 분수 유리수 두 번째 인수와 반대입니다. 동의하세요. 부등식 x − 9 > 0을 푸는 것이 5/(x − 5) > 0보다 훨씬 쉽습니다. 결과는 동일하지만.
이 설명은 ODZ 검색을 크게 단순화하지만 주의하세요. 인수가 정확하게 일치하는 경우에만 두 부등식 대신 하나의 부등식을 사용할 수 있습니다. 서로 동등하다!
물론 이제 누군가는 이렇게 묻습니다. 무엇이 다르게 일어나는가? 네, 가끔요. 예를 들어, 단계 자체에서 변수가 포함된 두 개의 인수를 곱할 때 불필요한 근이 나타날 위험이 있습니다.
스스로 판단하십시오. 먼저 각 인수가 0보다 커야 하지만 곱한 후에는 곱이 0보다 커도 충분합니다. 결과적으로, 이들 분수 각각이 음수인 경우는 누락됩니다.
따라서 복잡한 로그 방정식을 이해하기 시작한 경우 어떤 상황에서도 변수 x가 포함된 로그를 곱하지 마십시오. 이로 인해 불필요한 근이 나타나는 경우가 너무 많습니다. 한 단계 더 나아가 한 용어를 다른 쪽으로 이동하고 표준 형식을 만드는 것이 좋습니다.
글쎄, 그러한 로그를 곱하지 않고는 무엇을 할 수 없는지 다음 비디오 강의에서 논의하겠습니다. :)
방정식의 거듭제곱에 대해 다시 한 번
오늘 우리는 로그 방정식, 더 정확하게는 로그의 논증과 밑수에서 거듭제곱을 제거하는 것과 관련된 다소 미끄러운 주제를 조사할 것입니다.
실수 로그 방정식을 풀 때 발생하는 대부분의 어려움은 짝수 거듭제곱에서 발생하기 때문에 짝수 거듭제곱 제거에 대해서도 이야기할 것이라고 말하고 싶습니다.
정식 형식부터 시작하겠습니다. log a f (x) = b 형식의 방정식이 있다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 b = log a a b 공식을 사용하여 숫자 b를 다시 씁니다. 다음이 밝혀졌습니다.
로그 a f (x) = 로그 a a b
그런 다음 인수를 동일시합니다.
에프(x) = ab
두 번째 공식을 표준 형식이라고 합니다. 언뜻보기에는 아무리 복잡하고 무섭게 보일지라도 로그 방정식을 줄이려고 노력하는 것은 바로 이것입니다.
그럼 한번 시도해 보겠습니다. 첫 번째 작업부터 시작해 보겠습니다.
서문: 내가 말했듯이, 모든 것은 소수로그 방정식에서는 이를 일반 방정식으로 변환하는 것이 좋습니다.
0,5 = 5/10 = 1/2
이 사실을 고려하여 방정식을 다시 작성해 보겠습니다. 1/1000과 100은 모두 10의 거듭제곱이라는 점에 유의하세요. 그런 다음 인수와 로그 밑에서까지 거듭제곱을 꺼내보겠습니다.
그리고 여기에서 많은 학생들이 "오른쪽 모듈은 어디서 왔나요?"라는 질문을 가지고 있습니다. 실제로 단순히 (x − 1)이라고 쓰면 어떨까요? 물론 이제 우리는 (x − 1)을 쓸 것이지만 정의 영역을 고려하면 그러한 표기법에 대한 권리가 제공됩니다. 결국, 또 다른 로그에는 이미 (x − 1)이 포함되어 있으므로 이 표현식은 0보다 커야 합니다.
그러나 로그의 밑에서 제곱을 제거할 때 우리는 정확히 모듈을 밑으로 남겨두어야 합니다. 이유를 설명하겠습니다.
사실, 수학적 관점에서 학위를 취득하는 것은 뿌리를 내리는 것과 같습니다. 특히, (x − 1) 2라는 표현을 제곱하면 본질적으로 두 번째 근을 취하게 됩니다. 그러나 제곱근은 모듈러스에 지나지 않습니다. 정확히 기준 치수, 표현식 x − 1이 음수이더라도 제곱하면 "마이너스"가 여전히 소진되기 때문입니다. 루트를 추가로 추출하면 마이너스 없이 양수를 얻을 수 있습니다.
일반적으로 공격적인 실수를 피하려면 다음 사항을 영원히 기억하십시오.
동일한 거듭제곱으로 거듭제곱된 모든 함수의 짝수 거듭제곱의 근은 함수 자체와 동일하지 않고 모듈러스와 동일합니다.
로그 방정식으로 돌아가 보겠습니다. 모듈에 관해 말하면서 저는 모듈을 고통 없이 제거할 수 있다고 주장했습니다. 이것은 사실이다. 이제 그 이유를 설명하겠습니다. 엄밀히 말하면 우리는 두 가지 옵션을 고려해야 했습니다.
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
이러한 각 옵션을 해결해야 합니다. 그러나 한 가지 문제가 있습니다. 원래 공식에는 모듈러스 없이 함수 (x − 1)가 이미 포함되어 있다는 것입니다. 그리고 로그 정의 영역을 따르면, 우리는 즉시 x − 1 > 0이라고 쓸 수 있습니다.
이 요구 사항은 솔루션 프로세스에서 수행하는 모듈 및 기타 변환에 관계없이 충족되어야 합니다. 따라서 두 번째 옵션을 고려할 필요가 없습니다. 결코 발생하지 않습니다. 이 불평등 부분을 해결하면서 몇 가지 숫자를 얻더라도 최종 답에는 여전히 포함되지 않습니다.
이제 우리는 로그 방정식의 표준 형식에서 문자 그대로 한 단계 떨어져 있습니다. 단위를 다음과 같이 표현해보자.
1 = 로그 x − 1 (x − 1) 1
또한 오른쪽에 있는 인수 −4를 인수에 도입합니다.
로그 x − 1 10 −4 = 로그 x − 1 (x − 1)
우리 앞에는 로그 방정식의 정식 형태가 있습니다. 로그 기호를 제거합니다.
10 −4 = x − 1
그러나 밑이 함수(소수가 아님)였으므로 추가로 이 함수가 0보다 크고 1이 아니어야 합니다. 결과 시스템은 다음과 같습니다.
요구사항 x − 1 > 0이 자동으로 충족되므로(결국 x − 1 = 10 −4) 부등식 중 하나가 시스템에서 삭제될 수 있습니다. x − 1 = 0.0001이므로 두 번째 조건도 지울 수 있습니다.< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0.0001 = 1.0001
이는 로그 정의 영역의 모든 요구 사항을 자동으로 충족하는 유일한 근입니다(그러나 문제의 조건에서 명백히 충족되므로 모든 요구 사항이 제거되었습니다).
따라서 두 번째 방정식은 다음과 같습니다.
3 로그 3 x x = 2 로그 9 x x 2
이 방정식은 이전 방정식과 근본적으로 어떻게 다른가요? 로그의 밑(3x 및 9x)이 그렇지 않다는 사실에 의해서만 자연도서로. 따라서 이전 솔루션에서 사용한 전환은 불가능합니다.
최소한 학위는 없애자. 우리의 경우 유일한 정도는 두 번째 인수에 있습니다.
3 로그 3 x x = 2 ∙ 2 로그 9 x |x |
그러나 변수 x도 밑수에 있으므로 모듈러스 기호를 제거할 수 있습니다. x > 0 ⇒ |x| =x. 로그 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.
3 로그 3 x x = 4 로그 9 x x
우리는 인수는 동일하지만 밑이 다른 로그를 얻었습니다. 다음에 무엇을할지? 여기에는 많은 옵션이 있지만 그중 가장 논리적인 두 가지 옵션만 고려할 것이며 가장 중요한 것은 대부분의 학생들에게 빠르고 이해하기 쉬운 기술이라는 것입니다.
우리는 이미 첫 번째 옵션을 고려했습니다. 불분명한 상황에서는 로그를 다음에서 변환합니다. 가변 베이스영구적인 기초에. 예를 들어 듀스로. 전환 공식은 간단합니다.
물론 변수 c의 역할은 정규수(1 ≠ c > 0)여야 합니다. 이 경우 c = 2라고 가정합니다. 이제 우리 앞에는 일반적인 분수 유리 방정식이 있습니다. 왼쪽의 모든 요소를 수집합니다.
분명히 log 2 x 요소는 첫 번째와 두 번째 분수에 모두 존재하므로 제거하는 것이 좋습니다.
로그 2 x = 0;
3 로그 2 9x = 4 로그 2 3x
각 로그를 두 가지 용어로 나눕니다.
로그 2 9x = 로그 2 9 + 로그 2 x = 2 로그 2 3 + 로그 2 x;
로그 2 3x = 로그 2 3 + 로그 2 x
다음 사실을 고려하여 평등의 양면을 다시 작성해 보겠습니다.
3 (2 로그 2 3 + 로그 2 x ) = 4 (로그 2 3 + 로그 2 x )
6 로그 2 3 + 3 로그 2 x = 4 로그 2 3 + 4 로그 2 x
2 로그 2 3 = 로그 2 x
이제 남은 것은 로그 기호 아래에 2를 입력하는 것입니다(이것은 거듭제곱으로 변합니다: 3 2 = 9).
로그 2 9 = 로그 2 x
고전적인 정식 형식이 나오기 전에 로그 기호를 제거하고 다음을 얻습니다.
예상대로 이 근은 0보다 큰 것으로 나타났습니다. 정의 영역을 확인하는 것이 남아 있습니다. 이유를 살펴보겠습니다:
그러나 루트 x = 9는 이러한 요구 사항을 충족합니다. 따라서 이것이 최종 결정입니다.
결론 이 결정간단합니다. 긴 레이아웃에 겁먹지 마세요! 처음에 우리는 새로운 기지를 무작위로 선택했고 이로 인해 프로세스가 상당히 복잡해졌습니다.
그러나 질문이 생깁니다. 근거는 무엇입니까? 최적의? 이에 대해서는 두 번째 방법에서 이야기하겠습니다.
원래 방정식으로 돌아가 보겠습니다.
3 로그 3x x = 2 로그 9x x 2
3 로그 3x x = 2 ∙ 2 로그 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 로그 3 x x = 4 로그 9 x x
이제 조금 생각해 봅시다. 어떤 숫자나 함수가 최적의 기초가 될까요? 그것은 분명하다 최선의 선택 c = x가 있을 것입니다 - 인수에 이미 무엇이 포함되어 있습니까? 이 경우 공식 log a b = log c b /log c a는 다음과 같은 형식을 취합니다.
즉, 표현이 단순히 반전된 것입니다. 이 경우 논거와 근거가 바뀌게 됩니다.
이 공식은 매우 유용하며 복잡한 로그 방정식을 푸는 데 자주 사용됩니다. 그러나 이 공식을 사용할 때 매우 심각한 함정이 하나 있습니다. 기준 대신 변수 x를 대체하면 이전에는 관찰되지 않았던 제한 사항이 적용됩니다.
원래 방정식에는 그러한 제한이 없었습니다. 따라서 x = 1인 경우를 별도로 확인해야 합니다. 이 값을 방정식에 대입합니다.
3 로그 3 1 = 4 로그 9 1
우리는 올바른 수치 평등을 얻습니다. 따라서 x = 1은 근입니다. 우리는 솔루션의 시작 부분에서 이전 방법에서 정확히 동일한 루트를 찾았습니다.
그러나 이제 이 특별한 경우를 별도로 고려했으므로 x ≠ 1이라고 안전하게 가정합니다. 그러면 로그 방정식은 다음 형식으로 다시 작성됩니다.
3로그 x 9x = 4로그 x 3x
이전과 동일한 공식을 사용하여 두 로그를 모두 확장합니다. 로그 x x = 1입니다.
3 (로그 x 9 + 로그 x x ) = 4 (로그 x 3 + 로그 x x )
3로그 x 9 + 3 = 4 로그 x 3 + 4
3 로그 x 3 2 − 4 로그 x 3 = 4 − 3
2로그 x 3 = 1
그래서 우리는 표준 형식에 이르렀습니다.
로그 x 9 = 로그 x x 1
x=9
우리는 두 번째 루트를 얻었습니다. 이는 x ≠ 1 요구 사항을 충족합니다. 따라서 x = 1과 함께 x = 9가 최종 답입니다.
보시다시피 계산량이 약간 감소했습니다. 그러나 실제 로그 방정식을 풀 때는 각 단계를 그렇게 자세히 설명할 필요가 없기 때문에 단계 수도 훨씬 적습니다.
오늘 수업의 핵심 규칙은 다음과 같습니다. 문제에 동일한 차수의 근이 추출되는 짝수 차수가 포함되어 있으면 출력은 모듈러스가 됩니다. 그러나 로그 정의 영역에 주의를 기울이면 이 모듈을 제거할 수 있습니다.
하지만 조심하세요. 이 수업이 끝나면 대부분의 학생들은 모든 것을 이해했다고 생각합니다. 그러나 실제 문제를 해결할 때 전체 논리 체인을 재현할 수는 없습니다. 결과적으로 방정식은 불필요한 근을 얻게 되며 답은 잘못된 것으로 판명됩니다.
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지침
주어진 대수식을 쓰시오. 표현식에서 10의 로그를 사용하는 경우 표기법은 단축되어 다음과 같습니다. lg b는 다음과 같습니다. 십진 로그. 로그의 밑수가 e인 경우 다음 표현식을 작성하십시오. ln b – 자연로그. any의 결과는 숫자 b를 얻기 위해 밑수를 올려야 하는 거듭제곱으로 이해됩니다.
두 함수의 합을 구하려면 간단히 함수를 하나씩 미분하고 결과를 더하면 됩니다. (u+v)" = u"+v";
두 함수의 곱의 도함수를 찾을 때 첫 번째 함수의 도함수에 두 번째 함수를 곱하고 두 번째 함수의 도함수에 첫 번째 함수를 곱한 값을 더해야 합니다. (u*v)" = u"*v +v"*u;
두 함수의 몫의 도함수를 찾으려면 피제수 함수를 곱한 피제수 도함수의 곱에서 피제수 함수를 곱한 제수 도함수의 곱을 빼고 나누어야 합니다. 이 모든 것은 제수 함수의 제곱에 의한 것입니다. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
주어진다면 복잡한 기능, 그러면 다음의 도함수를 곱해야 합니다. 내부 기능그리고 외부의 파생물. y=u(v(x))라고 하면 y"(x)=y"(u)*v"(x)입니다.
위에서 얻은 결과를 사용하면 거의 모든 기능을 구별할 수 있습니다. 그럼 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *엑스));
한 지점에서 도함수를 계산하는 것과 관련된 문제도 있습니다. 함수 y=e^(x^2+6x+5)가 주어지면 x=1 지점에서 함수의 값을 찾아야 합니다.
1) 함수의 도함수를 구합니다: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) 함수의 값을 계산합니다. 주어진 포인트 y"(1)=8*e^0=8
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출처:
- 상수의 미분
그렇다면 차이점은 무엇입니까? 비합리적인 방정식합리적으로? 알 수 없는 변수가 제곱근 기호 아래에 있으면 방정식은 비합리적인 것으로 간주됩니다.
지침
이러한 방정식을 푸는 주요 방법은 양변을 구성하는 방법입니다. 방정식광장으로. 하지만. 이것은 자연스러운 일입니다. 가장 먼저 해야 할 일은 표지판을 제거하는 것입니다. 이 방법은 기술적으로 어렵지는 않지만 때로는 문제가 발생할 수 있습니다. 예를 들어 방정식은 v(2x-5)=v(4x-7)입니다. 양변을 제곱하면 2x-5=4x-7이 됩니다. 그러한 방정식을 푸는 것은 어렵지 않습니다. x=1. 하지만 1등은 주어지지 않을 것이다. 방정식. 왜? x 값 대신 1을 방정식에 대입하면 오른쪽과 왼쪽에 의미가 없는 표현식이 포함됩니다. 이 값은 제곱근에는 유효하지 않습니다. 따라서 1은 외부 근이므로 이 방정식에는 근이 없습니다.
따라서 비합리 방정식은 양변을 제곱하는 방법을 사용하여 해결됩니다. 그리고 방정식을 풀고 나면 불필요한 뿌리를 잘라낼 필요가 있습니다. 이렇게 하려면 찾은 근을 원래 방정식으로 대체하십시오.
다른 것을 고려해보세요.
2х+vх-3=0
물론 이 방정식은 이전 방정식과 동일한 방정식을 사용하여 풀 수 있습니다. 화합물 이동 방정식를 제곱근이 없는 값으로 오른쪽으로 이동시킨 다음 제곱법을 사용합니다. 결과 유리 방정식과 근을 푼다. 하지만 또 다른 더 우아한 것도 있습니다. 새 변수를 입력하세요. vх=y. 따라서 2y2+y-3=0 형식의 방정식을 받게 됩니다. 즉, 일반적인 이차 방정식입니다. 그 뿌리를 찾아보세요; y1=1 및 y2=-3/2. 다음으로 두 가지를 해결하세요. 방정식 vх=1; vх=-3/2. 두 번째 방정식에는 근이 없습니다. 첫 번째 방정식에서는 x=1이라는 것을 알 수 있습니다. 뿌리를 확인하는 것을 잊지 마십시오.
신원을 해결하는 것은 매우 간단합니다. 이렇게하려면 다음을 수행해야합니다. 정체성 변화목표가 달성될 때까지. 따라서 가장 간단한 방법의 도움으로 산술 연산당면한 과제가 해결될 것입니다.
필요할 것이예요
- - 종이;
- - 펜.
지침
이러한 변환 중 가장 간단한 것은 대수적 약식 곱셈(예: 합의 제곱(차이), 제곱의 차이, 합의(차이), 합의 세제곱(차이))입니다. 그 외에도 많고, 삼각법 공식, 이는 본질적으로 동일한 ID입니다.
실제로 두 항의 합의 제곱은 첫 번째 항의 제곱에 두 번째 항의 곱의 두 배를 더하고 두 번째 항의 제곱을 더한 것과 같습니다. 즉, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
둘 다 단순화
솔루션의 일반 원칙
교과서대로 반복하기 수학적 분석또는 고등 수학, 이는 확실한 적분입니다. 알려진 바와 같이, 정적분의 해는 도함수가 피적분 함수를 제공하는 함수입니다. 이 기능역도함수라고 합니다. 이 원리를 바탕으로 주요 적분이 구성됩니다.이 경우에 적합한 테이블 적분 중 어느 것이 피적분 함수의 유형인지 결정하십시오. 이를 즉시 결정하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 피적분 함수를 단순화하기 위해 여러 번 변환한 후에만 표 형식이 눈에 띄는 경우가 많습니다.
변수 교체 방법
피적분 함수가 다음과 같은 경우 삼각 함수, 인수에 다항식이 포함된 경우 변수 대체 방법을 사용해 보세요. 이를 수행하려면 피적분 인수의 다항식을 새로운 변수로 바꾸십시오. 새로운 변수와 기존 변수 간의 관계를 기반으로 새로운 통합 한계를 결정합니다. 이 식을 미분하여 에서 새로운 미분을 구합니다. 그래서 당신은 얻을 것이다 새로운 종류이전 적분의 표 형식에 가깝거나 심지어 해당하는 적분입니다.제2종 적분 풀기
적분이 두 번째 종류의 적분, 즉 적분의 벡터 형식인 경우 이러한 적분에서 스칼라 적분으로 전환하기 위한 규칙을 사용해야 합니다. 그러한 규칙 중 하나는 Ostrogradsky-Gauss 관계입니다. 이 법칙을 통해 특정 벡터 함수의 회전자 자속에서 주어진 벡터장의 발산에 대한 삼중 적분으로 이동할 수 있습니다.적분 한계 대체
역도함수를 찾은 후에는 적분의 한계를 대체해야 합니다. 먼저, 역도함수 식에 상한값을 대입합니다. 당신은 어떤 번호를 얻을 것입니다. 다음으로, 결과 숫자에서 하한에서 얻은 다른 숫자를 역도함수로 뺍니다. 적분의 한계 중 하나가 무한대라면 이를 다음과 같이 대체하면 됩니다. 역도함수 기능한계까지 가서 표현이 추구하는 것이 무엇인지 찾아야합니다.적분이 2차원이거나 3차원인 경우 적분을 평가하는 방법을 이해하려면 적분의 한계를 기하학적으로 표현해야 합니다. 실제로, 3차원 적분의 경우 적분의 한계는 적분되는 부피를 제한하는 전체 평면일 수 있습니다.