방정식 시스템을 해결하는 방법. 매트릭스와 그 종류. 역행렬을 찾는 옵션

이 기사에서는 방정식 시스템과 그 해를 정의하는 개념을 소개합니다. 자주 발생하는 시스템 솔루션 사례가 고려됩니다. 제공된 예는 솔루션을 자세히 설명하는 데 도움이 됩니다.

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방정식 시스템의 정의

방정식 시스템을 정의하려면 레코드 유형과 의미라는 두 가지 사항에 주의를 기울여야 합니다. 이를 이해하려면 각 유형에 대해 자세히 설명해야 하며 방정식 시스템의 정의에 도달할 수 있습니다.

예를 들어, 두 방정식 2 x + y = − 3 및 x = 5를 취한 후 다음과 같이 중괄호로 결합해 보겠습니다.

2 x + y = - 3, x = 5.

중괄호로 결합된 방정식은 방정식 시스템의 기록으로 간주됩니다. 그들은 주어진 시스템의 방정식에 대한 솔루션 세트를 정의합니다. 모든 결정은 모두의 결정이어야 합니다. 주어진 방정식.

즉, 이는 첫 번째 방정식의 모든 해가 시스템에 의해 결합된 모든 방정식의 해가 된다는 것을 의미합니다.

정의 1

방정식 시스템- 이것은 중괄호로 통합된 특정 수의 방정식으로, 방정식에 대한 많은 솔루션을 가지며 동시에 전체 시스템에 대한 솔루션입니다.

방정식 시스템의 주요 유형

방정식 시스템과 같이 방정식의 유형은 꽤 많습니다. 문제를 쉽게 풀고 공부할 수 있도록 특정 특성에 따라 그룹으로 나누어져 있습니다. 이는 개별 유형의 방정식 시스템을 고려하는 데 도움이 될 것입니다.

우선, 방정식은 방정식의 수에 따라 분류됩니다. 방정식이 하나만 있다면, 일반 방정식, 그 이상이 있으면 두 개 이상의 방정식으로 구성된 시스템을 다루는 것입니다.

또 다른 분류는 변수의 수에 관한 것입니다. 변수의 수가 1이면 미지수가 하나인 방정식 시스템을 다루고, 변수가 2이면 변수가 2개인 방정식 시스템을 다루고 있다고 말합니다. 예를 살펴 보겠습니다.

x + y = 5, 2 x - 3 y = 1

분명히 방정식 시스템에는 두 개의 변수 x와 y가 포함됩니다.

이러한 방정식을 작성할 때 레코드에 있는 모든 변수의 수가 계산됩니다. 각 방정식에 이들의 존재는 필요하지 않습니다. 하나 이상의 방정식에는 하나의 변수가 있어야 합니다. 방정식 시스템의 예를 생각해 봅시다

2 x = 11, x - 3 z 2 = 0, 2 7 x + y - z = - 3

이 시스템에는 3개의 변수 x, y, z가 있습니다. 첫 번째 방정식에는 명시적인 x와 암시적인 y 및 z가 있습니다. 암시적 변수는 계수가 0인 변수입니다. 두 번째 방정식에는 x와 z가 있고 y는 암시적 변수입니다. 그렇지 않으면 다음과 같이 쓸 수 있습니다

2 x + 0 y + 0 z = 11

그리고 다른 방정식은 x + 0 · y − 3 · z = 0입니다.

방정식의 세 번째 분류는 유형입니다. 학교에서 일어난다 간단한 방정식 2개의 시스템으로 시작하는 방정식 시스템 선형 방정식두 개의 변수로 . 이는 시스템에 2개의 선형 방정식이 포함되어 있음을 의미합니다. 예를 들어

2 x - y = 1, x + 2 y = - 1 및 - 3 x + y = 0. 5 , x + 2 2 3 y = 0

이것은 가장 간단한 선형 방정식입니다. 다음으로, 3개 이상의 알 수 없는 항목이 포함된 시스템을 만날 수 있습니다.

9학년에서는 두 개의 변수와 비선형 변수를 사용하여 방정식을 푼다. 전체 방정식에서는 복잡도를 높이기 위해 차수가 증가합니다. 이러한 시스템을 특정 수의 방정식과 미지수를 포함하는 비선형 방정식 시스템이라고 합니다. 그러한 시스템의 예를 살펴 보겠습니다.

x 2 - 4 x y = 1, x - y = 2 및 x = y 3 x y = - 5

둘 다 두 개의 변수를 갖는 시스템이며 둘 다 비선형입니다.

해결할 때 발생할 수 있는 문제 분수 유리 방정식. 예를 들어

x + y = 3, 1 x + 1 y = 2 5

어떤 것을 지정하지 않고 단순히 방정식 시스템이라고 부를 수 있습니다. 시스템 자체의 유형은 거의 지정되지 않습니다.

상위 학년에서는 비합리 방정식, 삼각 방정식, 지수 방정식을 공부하게 됩니다. 예를 들어,

x + y - x · y = 5, 2 · x · y = 3, x + y = 5 · π 2, sin x + cos 2 y = - 1, y - log 3 x = 1, x y = 3 12.

고등 교육 기관에서는 선형 대수 방정식(SLAE) 시스템에 대한 솔루션을 연구하고 연구합니다. 이러한 방정식의 왼쪽에는 1차 다항식이 포함되고 오른쪽에는 일부 숫자가 포함됩니다. 학교와 다른 점은 변수 수와 방정식 수가 임의적일 수 있으며 대부분 일치하지 않는다는 것입니다.

방정식 시스템 풀기

정의 2

두 변수를 사용하여 연립방정식 풀기대체될 때 각 방정식을 올바른 수치 부등식으로 바꾸는 변수 쌍입니다. 즉, 주어진 시스템의 각 방정식에 대한 솔루션입니다.

예를 들어, 한 쌍의 값 x = 5와 y = 2는 방정식 x + y = 7, x - y = 3의 해입니다. 방정식을 대입하면 참이 되기 때문입니다. 수치적 불평등 5 + 2 = 7 및 5 − 2 = 3. x = 3과 y = 0 쌍을 대체하면 대체가 올바른 방정식을 제공하지 않기 때문에 시스템이 해결되지 않습니다. 즉, 3 + 0 = 7을 얻습니다.

하나 이상의 변수를 포함하는 시스템에 대한 정의를 공식화해 보겠습니다.

정의 3

변수가 하나인 연립방정식 풀기– 이는 시스템 방정식의 근이 되는 변수의 값으로, 이는 모든 방정식이 올바른 수치 등식으로 변환됨을 의미합니다.

하나의 변수 t를 갖는 방정식 시스템의 예를 고려해 보겠습니다.

t 2 = 4, 5 (t + 2) = 0

숫자 - 2는 방정식의 해입니다. 왜냐하면 (− 2) · 2 = 4이고 5 · (− 2 + 2) = 0이 진정한 수치 동등이기 때문입니다. t = 1에서는 대체 시 두 개의 잘못된 등식 12 = 4 및 5 · (1 + 2) = 0을 얻기 때문에 시스템이 해결되지 않습니다.

정의 4

세 개 이상의 변수가 있는 시스템 풀기그들은 시스템의 모든 방정식을 올바른 등식으로 바꾸는 각각 3개, 4개 및 추가 값을 호출합니다.

변수 x = 1, y = 2, z = 0의 값이 있는 경우 이를 방정식 2 · x = 2, 5 · y = 10, x + y + z = 3의 시스템으로 대체합니다. 우리는 2 · 1 = 2, 5 · 2 = 10 및 1 + 2 + 0 = 3을 얻습니다. 이는 이러한 수치적 불평등이 정확하다는 것을 의미합니다. 그리고 값 (1, 0, 5)은 해결책이 될 수 없습니다. 왜냐하면 값을 대체하면 두 번째 값과 세 번째 값이 올바르지 않기 때문입니다. 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3.

방정식 시스템에는 해가 전혀 없거나 무한한 수의 해가 있을 수 있습니다. 이는 이 주제에 대한 심층적인 연구를 통해 확인할 수 있습니다. 우리는 방정식 시스템이 모든 방정식에 대한 해 집합의 교차점이라는 결론에 도달할 수 있습니다. 몇 가지 정의를 확장해 보겠습니다.

정의 5

호환되지 않음연립방정식은 해가 없을 때 호출되고, 그렇지 않으면 호출됩니다. 관절.

정의 6

불확실한무한한 수의 해가 있을 때 시스템이 호출됩니다. 확실한한정된 수의 솔루션이 있거나 솔루션이 없는 경우.

이러한 용어는 고등 교육 프로그램을 위한 것이므로 학교에서는 거의 사용되지 않습니다. 교육 기관. 등가 시스템에 익숙해지면 방정식 시스템을 푸는 데 대한 기존 지식이 깊어집니다.

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시스템을 해결하다두 개의 미지수가 있는 경우 - 이는 주어진 방정식을 각각 만족하는 변수 값의 모든 쌍을 찾는 것을 의미합니다. 이러한 각 쌍을 호출합니다. 시스템 솔루션.

예:
값 쌍 ​​\(x=3\);\(y=-1\)은 첫 번째 시스템에 대한 솔루션입니다. 왜냐하면 이 3과 마이너스 1을 시스템에 \(x\) 및 \ 대신 대체할 때 때문입니다. (y\)이면 두 방정식 모두 올바른 등식 \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( 경우)\)

하지만 \(x=1\); \(y=-2\) - 치환 후 두 번째 방정식이 "수렴하지 않기" 때문에 첫 번째 시스템에 대한 해가 아닙니다. \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(건수)\)

이러한 쌍은 종종 더 짧게 작성된다는 점에 유의하십시오. "\(x=3\); \(y=-1\)" 대신 다음과 같이 작성합니다: \((3;-1)\).

선형 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?

선형 방정식 시스템을 푸는 세 가지 주요 방법이 있습니다.

1. 대체 방법.

\(\begin(케이스)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(케이스)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(케이스)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(건수)\)\(\Leftrightarrow\)

이 변수 대신 결과 표현식을 시스템의 다른 방정식으로 대체하십시오.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(사례)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(사례)\)

   두 번째 방정식에서는 각 항이 짝수이므로 \(2\)로 나누어 방정식을 단순화합니다.
   

   \(\begin(사례)13x+9y=17\\6x-y=13\end(사례)\)

   이 시스템은 다음 방법 중 하나로 해결할 수 있지만 여기서는 대체 방법이 가장 편리한 것 같습니다. 두 번째 방정식에서 y를 표현해보자.
   

   \(\begin(케이스)13x+9y=17\\y=6x-13\end(케이스)\)

   첫 번째 방정식에 \(y\) 대신 \(6x-13\)을 대입해 보겠습니다.
   

   \(\begin(케이스)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(케이스)\)

   첫 번째 방정식은 일반적인 방정식으로 바뀌었습니다. 해결해 봅시다.

   먼저 괄호를 열어 보겠습니다.
   

   \(\begin(케이스)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(케이스)\)

   \(117\)을 오른쪽으로 이동시켜 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.

   \(\begin(케이스)67x=134\\y=6x-13\end(케이스)\)

   첫 번째 방정식의 양변을 \(67\)로 나누어 보겠습니다.

   \(\begin(케이스)x=2\\y=6x-13\end(케이스)\)

   만세, \(x\)를 찾았습니다! 그 값을 두 번째 방정식에 대입하고 \(y\)를 찾아보겠습니다.

   \(\begin(케이스)x=2\\y=12-13\end(케이스)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(케이스)x=2\\y=-1\end(케이스 )\)

   답을 적어보자.

선형 대수 방정식(SLAE) 시스템을 푸는 것은 의심할 여지 없이 선형 대수 과정에서 가장 중요한 주제입니다. 수학의 모든 분야에서 발생하는 수많은 문제는 선형 방정식 시스템의 해결로 귀결됩니다. 이러한 요소가 이 기사의 이유를 설명합니다. 기사의 자료는 도움을 받아 다음을 수행할 수 있도록 선택되고 구성되었습니다.

• 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 최적의 방법을 선택하고,
• 선택한 방법의 이론을 연구하고,
• 일반적인 예와 문제에 대한 자세한 솔루션을 고려하여 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

기사 자료에 대한 간략한 설명입니다.

먼저 필요한 모든 정의, 개념을 제공하고 표기법을 소개합니다.

다음으로, 방정식의 수가 미지 변수의 수와 동일하고 고유한 해를 갖는 선형 대수 방정식 시스템을 해결하는 방법을 고려할 것입니다. 먼저 Cramer의 방법에 초점을 맞추고, 두 번째로 이러한 연립방정식을 풀기 위한 행렬법을 보여주고, 세 번째로 Gauss 방법(미지 변수를 순차적으로 제거하는 방법)을 분석합니다. 이론을 통합하기 위해 여러 SLAE를 다양한 방식으로 해결할 것입니다.

그 후, 우리는 선형 대수 방정식의 시스템을 푸는 것으로 넘어갈 것입니다 일반적인 견해, 방정식의 개수가 미지 변수의 개수와 일치하지 않거나 시스템의 주요 행렬이 특이 행렬인 경우. SLAE의 호환성을 확립할 수 있는 Kronecker-Capelli 정리를 공식화해 보겠습니다. 행렬의 기초 마이너 개념을 사용하여 시스템의 솔루션(호환 가능한 경우)을 분석해 보겠습니다. 또한 가우스 방법을 고려하고 예제에 대한 솔루션을 자세히 설명합니다.

우리는 선형 대수 방정식의 균질 및 비균질 시스템의 일반 솔루션의 구조에 대해 확실히 설명할 것입니다. 기본 솔루션 시스템의 개념을 제시하고 기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 SLAE의 일반 솔루션이 어떻게 작성되는지 보여 드리겠습니다. 더 나은 이해를 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

결론적으로 우리는 선형 방정식으로 축소할 수 있는 방정식 시스템과 SLAE가 발생하는 솔루션의 다양한 문제를 고려할 것입니다.

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정의, 개념, 지정.

우리는 다음 형식의 n개의 미지 변수(p는 n과 같을 수 있음)를 갖는 p 선형 대수 방정식 시스템을 고려할 것입니다.

알 수 없는 변수 - 계수(일부 실수 또는 복소수) - 자유 항(실수 또는 복소수).

이러한 형태의 녹음 SLAE를 SLAE라고 합니다. 동등 어구.

안에 행렬 형태이 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
어디 - 시스템의 주요 행렬 - 알 수 없는 변수의 열 행렬 - 자유 항의 열 행렬

자유 항의 행렬 열을 행렬 A에 (n+1)번째 열로 추가하면 소위 다음을 얻습니다. 확장 행렬선형 방정식 시스템. 일반적으로 확장 행렬은 문자 T로 표시되며 자유 용어 열은 나머지 열과 수직선으로 구분됩니다.

선형 대수 방정식 시스템 풀기시스템의 모든 방정식을 항등식으로 바꾸는 알 수 없는 변수의 값 집합이라고 합니다. 알 수 없는 변수의 주어진 값에 대한 행렬 방정식도 항등식이 됩니다.

연립방정식에 적어도 하나의 해가 있는 경우 이를 다음이라고 합니다. 관절.

방정식 시스템에 해가 없으면 이를 호출합니다. 비관절.

SLAE에 고유한 솔루션이 있는 경우 이를 SLAE라고 합니다. 확실한; 솔루션이 두 개 이상인 경우 – 불확실한.

시스템의 모든 방정식의 자유항이 0인 경우 , 시스템이 호출됩니다. 질의, 그렇지 않으면 - 이질적인.

선형 대수 방정식의 기본 시스템을 해결합니다.

시스템의 방정식 수가 미지 변수의 수와 같고 주 행렬의 행렬식이 아닌 경우 0과 같음, 그런 다음 그러한 SLAE를 호출합니다. 초등학교. 이러한 방정식 시스템은 고유한 해를 가지며, 동차 시스템의 경우 모든 미지 변수는 0과 같습니다.

우리는 고등학교 때부터 그러한 SLAE를 연구하기 시작했습니다. 문제를 풀 때 우리는 하나의 방정식을 선택하고, 하나의 미지 변수를 다른 방정식으로 표현하고 이를 나머지 방정식에 대입한 다음, 다음 방정식을 선택하고, 다음 미지 변수를 표현하고 이를 다른 방정식에 대체하는 등의 작업을 수행했습니다. 또는 그들은 추가 방법을 사용했습니다. 즉, 일부 알려지지 않은 변수를 제거하기 위해 두 개 이상의 방정식을 추가했습니다. 이러한 방법은 본질적으로 Gauss 방법을 수정한 것이므로 자세히 설명하지 않겠습니다.

선형 방정식의 기본 시스템을 푸는 주요 방법으로는 Cramer 방법, 행렬 방법 및 Gauss 방법이 있습니다. 그것들을 정리해보자.

Cramer의 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

선형 대수 방정식 시스템을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.

여기서 방정식의 수는 미지 변수의 수와 같고 시스템의 주 행렬의 행렬식은 0과 다릅니다.

시스템의 주요 행렬의 결정자가 되도록 하고, - 대체에 의해 A로부터 얻은 행렬의 행렬식 첫째, 둘째, ..., n번째열을 자유 멤버 열에 각각:

이 표기법을 사용하면 미지 변수는 다음과 같은 Cramer 방법의 공식을 사용하여 계산됩니다. . 이것이 Cramer의 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템의 해를 구하는 방법입니다.

예.

크레이머의 방법 .

해결책.

시스템의 주요 매트릭스는 다음과 같은 형식을 갖습니다. . 행렬식을 계산해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

시스템의 주 행렬의 행렬식은 0이 아니므로 시스템은 Cramer의 방법으로 찾을 수 있는 고유한 해를 갖습니다.

필요한 행렬식을 구성하고 계산해 봅시다 (행렬 A의 첫 번째 열을 자유 항의 열로 대체하고, 행렬식은 두 번째 열을 자유 항의 열로 대체하고, 행렬 A의 세 번째 열을 자유 항의 열로 대체하여 행렬식을 얻습니다.) :

수식을 사용하여 알려지지 않은 변수 찾기 :

답변:

Cramer 방법의 주요 단점(단점이라고 할 수 있는 경우)은 시스템의 방정식 수가 3개보다 많은 경우 행렬식을 계산하는 것이 복잡하다는 것입니다.

행렬 방법(역행렬 사용)을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템을 해결합니다.

선형 대수 방정식 시스템이 행렬 형식으로 주어지며, 여기서 행렬 A는 n x n 차원을 갖고 행렬식은 0이 아닙니다.

, 행렬 A는 가역행렬이므로, 즉 역행렬이 있습니다. 등식의 양쪽에 왼쪽을 곱하면 알 수 없는 변수의 행렬 열을 찾는 공식을 얻습니다. 이것이 행렬 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템에 대한 솔루션을 얻은 방법입니다.

예.

선형 방정식 시스템 풀기 매트릭스 방법.

해결책.

방정식 시스템을 행렬 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

왜냐하면

그러면 SLAE는 행렬 방법을 사용하여 풀 수 있습니다. 역행렬을 사용하여 이 시스템의 해는 다음과 같이 찾을 수 있습니다. .

행렬 A의 요소에 대한 대수적 보수의 행렬을 사용하여 역행렬을 구성해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

역행렬을 곱하여 알려지지 않은 변수의 행렬을 계산하는 것이 남아 있습니다. 무료 회원의 매트릭스 열에 (필요한 경우 기사 참조):

답변:

또는 다른 표기법으로 x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1입니다.

행렬 방법을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템에 대한 해를 찾을 때 주요 문제는 특히 3차보다 높은 차수의 정사각 행렬의 경우 역행렬을 찾는 것이 복잡하다는 것입니다.

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푼다.

n개의 알 수 없는 변수가 있는 n개의 선형 방정식 시스템에 대한 해를 찾아야 한다고 가정합니다.
주 행렬의 행렬식은 0과 다릅니다.

가우스 방법의 본질알 수 없는 변수를 순차적으로 제거하는 것으로 구성됩니다. 첫 번째 x 1은 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 제외되고, 그런 다음 x 2는 세 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외되는 식으로, 알 수 없는 변수 x n만 남을 때까지 계속됩니다. 마지막 방정식. 미지의 변수를 순차적으로 제거하기 위해 시스템 방정식을 변환하는 과정을 호출합니다. 직접 가우스 방법을 사용하여. 완료 후 앞으로 스트로크가우시안 방법을 사용하면 마지막 방정식에서 xn을 찾고, 이 값을 사용하여 두 번째 방정식에서 xn-1을 계산하는 식으로 첫 번째 방정식에서 x1을 찾습니다. 계의 마지막 방정식에서 첫 번째 방정식으로 이동할 때 미지수를 계산하는 과정을 소위 가우스 방법의 반대.

알려지지 않은 변수를 제거하는 알고리즘에 대해 간략하게 설명하겠습니다.

우리는 항상 시스템의 방정식을 교환함으로써 이를 달성할 수 있기 때문에 이라고 가정합니다. 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 알 수 없는 변수 x 1을 제거해 보겠습니다. 이를 위해 시스템의 두 번째 방정식에 를 곱한 첫 번째 방정식을 세 번째 방정식에 추가하고 첫 번째 방정식에 를 곱한 다음 n번째 방정식에 를 곱한 첫 번째 방정식을 추가합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디서 그리고 .

시스템의 첫 번째 방정식에서 x 1을 다른 미지 변수로 표현하고 결과 표현식을 다른 모든 방정식에 대입했다면 동일한 결과에 도달했을 것입니다. 따라서 변수 x 1은 두 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 비슷한 방식으로 진행하지만 그림에 표시된 결과 시스템의 일부만 사용합니다.

이를 위해 시스템의 세 번째 방정식에 를 곱한 두 번째 방정식을 추가합니다. 네 번째 방정식를 곱한 두 번째 방정식을 추가하고 n번째 방정식에 를 곱한 두 번째 방정식을 추가합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디서 그리고 . 따라서 변수 x 2는 세 번째부터 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로, 알려지지 않은 x 3을 제거하고 그림에 표시된 시스템 부분과 유사하게 작동합니다.

따라서 시스템이 다음 형식을 취할 때까지 가우스 방법의 직접적인 진행을 계속합니다.

이 순간부터 우리는 가우스 방법의 반대를 시작합니다. 마지막 방정식에서 xn을 다음과 같이 계산하고, 얻은 xn 값을 사용하여 두 번째 방정식에서 xn-1을 찾는 식으로 첫 번째 방정식에서 x 1을 찾습니다. .

예.

선형 방정식 시스템 풀기 가우스 방법.

해결책.

시스템의 두 번째 및 세 번째 방정식에서 미지 변수 x 1을 제외해 보겠습니다. 이를 위해 두 번째 및 세 번째 방정식의 양쪽에 첫 번째 방정식의 해당 부분을 각각 곱한 값을 추가합니다.

이제 두 번째 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 다음을 곱하여 세 번째 방정식에서 x 2를 제거합니다.

이로써 가우스 방법의 전방향 스트로크가 완료되고 역방향 스트로크가 시작됩니다.

결과 방정식 시스템의 마지막 방정식에서 x 3을 찾습니다.

두 번째 방정식으로부터 우리는 를 얻습니다.

첫 번째 방정식에서 나머지 미지의 변수를 찾아 가우스 방법의 역을 완성합니다.

답변:

X 1 = 4, X 2 = 0, X 3 = -1.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 해결합니다.

일반적으로 시스템 p의 방정식 수는 미지 변수 n의 수와 일치하지 않습니다.

이러한 SLAE에는 솔루션이 없거나, 단일 솔루션이 있거나, 무한히 많은 솔루션이 있을 수 있습니다. 이 진술은 주 행렬이 정사각형 및 단수인 방정식 시스템에도 적용됩니다.

크로네커-카펠리 정리.

선형 방정식 시스템의 해를 찾기 전에 호환성을 확립해야 합니다. SLAE가 호환되는 경우와 일관성이 없는 경우에 대한 질문에 대한 대답은 다음과 같습니다. 크로네커-카펠리 정리:
n개의 미지수(p는 n과 동일할 수 있음)가 있는 p 방정식 시스템이 일관성을 유지하려면 시스템의 주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같아야 합니다. 즉, , 순위(A)=순위(T).

일례로 선형 방정식 시스템의 호환성을 결정하기 위해 Kronecker-Capelli 정리를 적용하는 것을 고려해 보겠습니다.

예.

선형 방정식 시스템이 다음을 가지고 있는지 알아보세요. 솔루션.

해결책.

. 미성년자를 경계하는 방법을 활용해보자. 두 번째 순서의 마이너 제로와는 다릅니다. 경계를 이루는 3차 미성년자를 살펴보겠습니다.

3차 경계에 있는 모든 마이너는 0이므로 주 행렬의 순위는 2와 같습니다.

확장된 행렬의 순위는 다음과 같습니다. 미성년자는 3차이므로 3과 같습니다.

제로와는 다릅니다.

따라서, 따라서 Rang(A)는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 원래 선형 방정식 시스템이 일관성이 없다는 결론을 내릴 수 있습니다.

답변:

시스템에는 해결책이 없습니다.

그래서 우리는 크로네커-카펠리 정리를 사용하여 시스템의 불일치를 확립하는 방법을 배웠습니다.

하지만 호환성이 확립된 경우 SLAE에 대한 솔루션을 찾는 방법은 무엇입니까?

이를 위해서는 행렬의 기저 마이너 개념과 행렬의 순위에 대한 정리가 필요합니다.

미성년자 최고 순위 0이 아닌 행렬 A를 호출합니다. 기초적인.

기초 마이너의 정의에 따르면 그 순서는 행렬의 순위와 동일합니다. 0이 아닌 행렬 A의 경우 여러 개의 기본 마이너가 있을 수 있습니다. 항상 하나의 기본 마이너가 있습니다.

예를 들어, 행렬을 고려해보세요 .

이 행렬의 세 번째 행 요소는 첫 번째 행과 두 번째 행의 해당 요소의 합이므로 이 행렬의 모든 3차 마이너는 0과 같습니다.

다음 2차 미성년자는 0이 아니므로 기본입니다.

미성년자 0과 같기 때문에 기본이 아닙니다.

행렬 순위 정리.

p x n 차 행렬의 순위가 r과 같으면 선택된 기저 마이너를 형성하지 않는 행렬의 모든 행(및 열) 요소는 다음을 형성하는 해당 행(및 열) 요소로 선형적으로 표현됩니다. 기초 마이너.

행렬 순위 정리는 우리에게 무엇을 말해주는가?

Kronecker-Capelli 정리에 따라 시스템의 호환성을 확립한 경우 시스템의 기본 행렬의 기본 마이너(차수는 r과 동일)를 선택하고 다음을 수행하는 모든 방정식을 시스템에서 제외합니다. 선택된 기초 미성년자를 형성하지 않습니다. 이러한 방식으로 얻은 SLAE는 폐기된 방정식이 여전히 중복되기 때문에 원래 방정식과 동일합니다(행렬 순위 정리에 따르면 나머지 방정식의 선형 조합입니다).

결과적으로 시스템의 불필요한 방정식을 버린 후에는 두 가지 경우가 가능합니다.

결과 시스템의 방정식 r의 수가 미지 변수의 수와 같으면 이는 명확해지며 유일한 해는 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법으로 찾을 수 있습니다.

예.

.

해결책.

시스템의 주요 매트릭스 순위 마이너가 2차이므로 2와 같습니다. 제로와는 다릅니다. 확장된 매트릭스 순위 유일한 3차 마이너가 0이므로 는 2와 같습니다.

위에서 고려한 2차 마이너는 0과 다릅니다. Kronecker–Capelli 정리에 기초하여 Rank(A)=Rank(T)=2이므로 원래 선형 방정식 시스템의 호환성을 주장할 수 있습니다.

기본 미성년자로서 우리는 . 이는 첫 번째 및 두 번째 방정식의 계수로 구성됩니다.


시스템의 세 번째 방정식은 기초 마이너 형성에 참여하지 않으므로 행렬 순위에 대한 정리를 기반으로 하는 시스템에서 이를 제외합니다.


그래서 우리는 얻었습니다 초등 시스템선형 대수 방정식. Cramer의 방법을 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다.


답변:

x 1 = 1, x 2 = 2.

결과 SLAE에서 방정식의 개수 r인 경우 적은 수알려지지 않은 변수 n, 방정식의 왼쪽에 기저 마이너를 형성하는 항을 남겨두고 나머지 항을 반대 부호를 사용하여 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다.

방정식의 왼쪽에 남아 있는 미지 변수(r개)를 호출합니다. 기본.

우변에 있는 알 수 없는 변수(n – r개 조각이 있음)를 호출합니다. 무료.

이제 우리는 자유 미지 변수가 임의의 값을 취할 수 있는 반면, r개의 주요 미지 변수는 고유한 방식으로 자유 미지 변수를 통해 표현될 것이라고 믿습니다. 그 표현은 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법을 사용하여 결과 SLAE를 풀어서 찾을 수 있습니다.

예를 들어 살펴 보겠습니다.

예.

선형 대수 방정식 시스템 풀기 .

해결책.

시스템의 주요 행렬의 순위를 찾아봅시다 미성년자를 경계하는 방법으로. 1 1 = 1을 1차의 0이 아닌 마이너로 가정해 보겠습니다. 이 마이너와 경계를 이루는 두 번째 순서의 0이 아닌 마이너 검색을 시작해 보겠습니다.


이것이 우리가 두 번째 순서의 0이 아닌 마이너를 찾은 방법입니다. 세 번째 순서의 0이 아닌 경계 미성년자를 검색해 보겠습니다.


따라서 메인 매트릭스의 랭크는 3이다. 확장 행렬의 순위도 3과 같습니다. 즉, 시스템이 일관성이 있습니다.

발견된 3차의 0이 아닌 마이너를 기본으로 사용합니다.

명확성을 위해 기본 마이너를 구성하는 요소를 표시합니다.


우리는 시스템 방정식의 왼쪽에 기저 마이너와 관련된 항을 남겨두고 반대 기호가 있는 나머지를 오른쪽으로 옮깁니다.


무료로 알려지지 않은 변수 x 2 및 x 5에 임의의 값을 부여해 보겠습니다. 즉, 다음을 받아들입니다. , 임의의 숫자는 어디에 있습니까? 이 경우 SLAE는 다음과 같은 형식을 취합니다.


Cramer의 방법을 사용하여 선형 대수 방정식의 결과 기본 시스템을 풀어 보겠습니다.


따라서, .

답변에 알 수 없는 무료 변수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.

답변:

임의의 숫자는 어디에 있습니까?

요약해보자.

일반 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위해 먼저 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 호환성을 결정합니다. 기본 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같지 않으면 시스템이 호환되지 않는다고 결론을 내립니다.

기본 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같으면 기본 마이너를 선택하고 선택된 기본 마이너의 형성에 참여하지 않는 시스템의 방정식을 폐기합니다.

기본 마이너의 순서가 알려지지 않은 변수의 수와 같으면 SLAE는 우리에게 알려진 모든 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.

기초 미성년자의 차수가 알려지지 않은 변수의 수보다 적다면 시스템 방정식의 왼쪽에 주요 알려지지 않은 변수가 있는 항을 남겨두고 나머지 항을 오른쪽으로 옮기고 임의의 값을 제공합니다. 무료 알려지지 않은 변수. 결과 선형 방정식 시스템에서 우리는 주요 미지수를 찾습니다. 메소드별 변수 Cramer, 행렬 방법 또는 Gaussian 방법.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법.

가우스 방법은 호환성을 먼저 테스트하지 않고도 모든 종류의 선형 대수 방정식 시스템을 해결하는 데 사용할 수 있습니다. 알 수 없는 변수를 순차적으로 제거하는 과정을 통해 SLAE의 호환성과 비호환성에 대한 결론을 도출할 수 있으며, 솔루션이 존재하면 이를 찾는 것도 가능해집니다.

계산적인 관점에서는 가우스 방법이 더 바람직합니다.

조심해 자세한 설명일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 해결하기 위한 가우스 방법 기사의 예를 분석했습니다.

기본 해 시스템의 벡터를 사용하여 동차 및 비동차 선형 대수 시스템에 대한 일반 해를 작성합니다.

이 섹션에서는 무한한 수의 해를 갖는 선형 대수 방정식의 동차 및 비동차 동시 시스템에 대해 설명합니다.

먼저 동종 시스템을 다루겠습니다.

솔루션의 기본 시스템 n개의 미지 변수를 갖는 p 선형 대수 방정식의 동차 시스템은 이 시스템의 (n – r) 선형 독립 해의 모음입니다. 여기서 r은 시스템의 주 행렬의 기저 마이너 차수입니다.

동종 SLAE의 선형 독립 해를 X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) 은 차원 n의 열 행렬로 나타냅니다. 1) 에 의해 이 동종 시스템의 일반 해는 임의의 상수 계수 C 1, C 2, ..., C (n-r)을 갖는 기본 해 시스템 벡터의 선형 조합으로 표시됩니다.

동질적인 선형 대수 방정식 시스템의 일반해(oroslau)라는 용어는 무엇을 의미합니까?

의미는 간단합니다. 공식이 모든 것을 설정합니다. 가능한 해결책즉, 원래 SLAE, 즉 임의의 상수 C 1, C 2, ..., C (n-r) 값 세트를 취하여 공식을 사용하여 원래의 동종 SLAE에 대한 솔루션 중 하나를 얻습니다.

따라서 기본 솔루션 시스템을 찾으면 이 동종 SLAE의 모든 솔루션을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

동질적인 SLAE에 대한 솔루션의 기본 시스템을 구축하는 과정을 보여드리겠습니다.

우리는 원래 선형 방정식 시스템의 기초 마이너를 선택하고, 시스템에서 다른 모든 방정식을 제외하고, 자유 미지 변수를 포함하는 모든 항을 반대 부호가 있는 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다. 자유 미지 변수에 1,0,0,...,0 값을 부여하고 예를 들어 Cramer 방법을 사용하여 어떤 방식으로든 선형 방정식의 기본 시스템을 풀어 주요 미지수를 계산해 보겠습니다. 그러면 기본 시스템의 첫 번째 솔루션인 X(1)이 생성됩니다. 무료 미지수에 0,1,0,0,…,0 값을 제공하고 주요 미지수를 계산하면 X(2)를 얻습니다. 등. 0.0,…,0.1 값을 자유 미지수에 할당하고 주요 미지수를 계산하면 X(n-r)을 얻습니다. 이러한 방식으로 동종 SLAE에 대한 솔루션의 기본 시스템이 구축되고 이에 대한 일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식으로 작성될 수 있습니다.

선형 대수 방정식의 불균일 시스템의 경우 일반 해는 다음 형식으로 표시됩니다. 여기서 는 해당 동차 시스템의 일반 해이고 는 원래 불균일 SLAE의 특정 해입니다. 이는 자유 미지수에 값을 제공하여 얻습니다. ​0,0,…,0 및 주요 미지수의 값을 계산합니다.

예를 살펴 보겠습니다.

예.

해의 기본 시스템과 선형 대수 방정식의 동차 시스템의 일반 해 찾기 .

해결책.

선형 방정식의 동차 시스템의 기본 행렬의 순위는 항상 확장 행렬의 순위와 같습니다. 마이너 경계법을 이용하여 메인행렬의 랭크를 구해보자. 1차의 0이 아닌 마이너로서 시스템의 주 행렬의 요소 a 1 1 = 9를 사용합니다. 두 번째 차수의 0이 아닌 경계에 있는 마이너를 찾아보겠습니다.

0이 아닌 2차의 마이너가 발견되었습니다. 0이 아닌 것을 찾기 위해 경계를 이루는 3차 미성년자를 살펴보겠습니다.

모든 3차 경계 마이너는 0이므로 기본 및 확장 행렬의 순위는 2와 같습니다. 을 보자. 명확성을 위해 이를 구성하는 시스템 요소를 살펴보겠습니다.

원본 SLAE의 세 번째 방정식은 기본 마이너 구성에 참여하지 않으므로 제외될 수 있습니다.

주요 미지수를 포함하는 항은 방정식의 우변에 남겨두고 자유 미지수가 있는 항은 우변으로 옮깁니다.

원래의 동차 선형 방정식 시스템에 대한 기본 해 시스템을 구축해 보겠습니다. 이 SLAE의 기본 솔루션 시스템은 두 가지 솔루션으로 구성됩니다. 원래 SLAE에는 4개의 미지 변수가 포함되어 있고 기본 마이너의 차수는 2와 같기 때문입니다. X (1)을 찾기 위해 무료 미지 변수에 x 2 = 1, x 4 = 0 값을 제공한 다음 방정식 시스템에서 주요 미지수를 찾습니다.
.

이 기사의 자료는 방정식 시스템을 처음 접하기 위한 것입니다. 여기에서는 방정식 시스템의 정의와 그 해를 소개하고 가장 일반적인 유형의 방정식 시스템도 고려합니다. 평소와 같이 설명적인 예를 제시하겠습니다.

페이지 탐색.

방정식 시스템이란 무엇입니까?

우리는 방정식 시스템의 정의에 점진적으로 접근할 것입니다. 첫째, 두 가지 점을 나타내는 것이 편리하다고 가정 해 보겠습니다. 첫째, 녹음 유형, 둘째, 이 녹음에 담긴 의미입니다. 차례로 살펴보고 방정식 시스템의 정의에 대한 추론을 일반화해 보겠습니다.

우리 앞에 몇 개가 있게 해주세요. 예를 들어, 2 x+y=−3 및 x=5라는 두 방정식을 생각해 보겠습니다. 아래에 하나씩 쓰고 왼쪽에 중괄호를 사용하여 결합해 보겠습니다.

한 열에 배열되고 왼쪽에 중괄호로 통합된 여러 방정식인 이 유형의 레코드는 방정식 시스템의 레코드입니다.

그러한 항목은 무엇을 의미합니까? 그들은 각 방정식의 해인 시스템의 방정식에 대한 모든 해의 집합을 정의합니다.

다른 말로 표현해도 나쁠 것 없습니다. 첫 번째 방정식의 일부 해가 시스템의 다른 모든 방정식의 해라고 가정해 보겠습니다. 따라서 시스템 기록은 단지 이를 의미합니다.

이제 우리는 방정식 시스템의 정의를 적절하게 받아들일 준비가 되었습니다.

정의.

방정식 시스템호출 레코드는 서로 아래에 위치한 방정식으로, 왼쪽에 중괄호로 통합되어 있으며, 이는 시스템의 각 방정식에 대한 해이기도 한 방정식에 대한 모든 해의 집합을 나타냅니다.

유사한 정의가 교과서에 나와 있지만 일반적인 경우가 아니라 두 가지 경우에 대해 나와 있습니다. 유리 방정식두 개의 변수로.

주요 유형

무한한 수의 다양한 방정식이 있다는 것이 분명합니다. 당연히 이를 사용하여 컴파일된 방정식 시스템도 무한히 많습니다. 따라서 방정식 시스템을 연구하고 작업하는 편의를 위해 유사한 특성에 따라 그룹으로 나눈 다음 개별 유형의 방정식 시스템을 고려하는 것이 좋습니다.

첫 번째 분할은 시스템에 포함된 방정식의 수로 나타납니다. 두 개의 방정식이 있으면 두 개의 방정식 시스템이 있다고 말할 수 있고, 세 개가 있으면 세 개의 방정식 시스템이 있다고 말할 수 있습니다. 이 경우 본질적으로 시스템이 아니라 방정식 자체를 다루고 있기 때문에 하나의 방정식 시스템에 대해 이야기하는 것이 의미가 없다는 것이 분명합니다.

다음 나눗셈은 시스템의 방정식을 작성하는 데 관련된 변수의 수를 기반으로 합니다. 변수가 하나 있으면 변수가 하나인 방정식 시스템(하나의 미지수가 있음)을 다루고, 변수가 두 개 있으면 변수가 두 개인 방정식 시스템(미지수가 두 개 있음)을 처리합니다. 예를 들어, 는 두 변수 x와 y를 갖는 방정식 시스템입니다.

이는 기록에 관련된 모든 다양한 변수의 수를 나타냅니다. 각 방정식의 기록에 한 번에 모두 포함될 필요는 없습니다. 최소한 하나의 방정식에 존재하면 충분합니다. 예를 들어, 는 세 개의 변수 x, y 및 z를 갖는 방정식 시스템입니다. 첫 번째 방정식에는 변수 x가 명시적으로 존재하고 y와 z는 암시적이며(이 변수는 0이라고 가정할 수 있음) 두 번째 방정식에는 x와 z가 있지만 변수 y는 명시적으로 제시되지 않습니다. 즉, 첫 번째 방정식은 다음과 같이 볼 수 있습니다. , 그리고 두 번째 – x+0·y−3·z=0입니다.

방정식 시스템이 다른 세 번째 점은 방정식 자체의 유형입니다.

학교에서 방정식 시스템에 대한 연구는 다음과 같이 시작됩니다. 두 변수의 두 선형 방정식 시스템. 즉, 이러한 시스템은 두 개의 선형 방정식을 구성합니다. 다음은 몇 가지 예입니다. 그리고 . 그들은 방정식 시스템 작업의 기본을 배웁니다.

더 복잡한 문제를 풀 때 세 개의 미지수가 있는 세 개의 선형 방정식 시스템을 접할 수도 있습니다.

또한 9학년에서는 비선형 방정식이 두 변수가 있는 두 방정식 시스템에 추가됩니다. 대부분은 2차 전체 방정식이며 덜 자주 사용됩니다. 높은 학위. 이러한 시스템을 비선형 방정식 시스템이라고 합니다. 필요한 경우 방정식과 미지수의 수가 지정됩니다. 이러한 비선형 방정식 시스템의 예를 보여드리겠습니다. 그리고 .

그리고 시스템에는 예를 들어 . 이는 일반적으로 어떤 방정식을 지정하지 않고 단순히 방정식 시스템이라고 합니다. 여기서는 대부분의 방정식 시스템이 단순히 "방정식 시스템"으로 지칭되며 필요한 경우에만 설명이 추가된다는 점에 주목할 가치가 있습니다.

고등학교에서는 자료를 공부하면서 비합리적, 삼각함수, 대수적, 지수 방정식 : , , .

1학년 대학 커리큘럼을 더 자세히 살펴보면 선형 대수 방정식(SLAE) 시스템, 즉 왼쪽에 1차 다항식이 포함된 방정식의 연구와 해법에 중점을 두고 있습니다. 오른쪽에는 특정 숫자가 포함되어 있습니다. 그러나 학교와 달리 더 이상 두 개의 변수가 있는 두 개의 선형 방정식을 사용하지 않고 임의의 수의 변수가 있는 임의의 수의 방정식을 사용하며 이는 종종 방정식 수와 일치하지 않습니다.

연립방정식의 해는 무엇입니까?

"방정식 시스템의 해"라는 용어는 방정식 시스템을 직접적으로 의미합니다. 학교에서는 두 개의 변수를 사용하여 방정식 시스템을 푸는 것에 대한 정의가 제공됩니다. :

정의.

두 변수를 사용하여 연립방정식 풀기시스템의 각 방정식을 올바른 방정식으로 바꾸는 이러한 변수의 값 쌍, 즉 시스템의 각 방정식에 대한 해를 호출합니다.

예를 들어, 한 쌍의 변수 값 x=5, y=2((5, 2)로 쓸 수 있음)는 정의에 따라 방정식 시스템에 대한 해입니다. 왜냐하면 시스템의 방정식은 x= 5, y=2가 이에 대입되어 각각 올바른 수치 동등성 5+2=7 및 5−2=3으로 변합니다. 그러나 x=3, y=0 값 쌍은 이 시스템의 솔루션이 아닙니다. 왜냐하면 이 값을 방정식에 대입하면 첫 번째 값이 잘못된 평등 3+0=7로 바뀌기 때문입니다.

변수가 1개인 시스템뿐만 아니라 3개, 4개 등의 시스템에 대해서도 유사한 정의를 공식화할 수 있습니다. 변수.

정의.

변수가 하나인 연립방정식 풀기시스템의 모든 방정식의 근본이 되는 변수의 값이 있을 것입니다. 즉, 모든 방정식을 올바른 수치 평등으로 바꾸는 것입니다.

예를 들어 보겠습니다. 다음 형식의 변수 t가 하나인 연립방정식을 생각해 보세요. . (−2) 2 =4와 5·(−2+2)=0이 모두 진정한 수치 동등이기 때문에 숫자 −2가 그 해입니다. 그리고 t=1은 시스템에 대한 해가 아닙니다. 이 값을 대체하면 두 개의 잘못된 등식 1 2 =4 및 5·(1+2)=0이 제공되기 때문입니다.

정의.

3, 4 등으로 시스템을 해결합니다. 변수 3, 4 등으로 불린다. 변수의 값은 각각 시스템의 모든 방정식을 진정한 평등으로 바꿉니다.

따라서 정의에 따르면 변수 x=1, y=2, z=0 값의 3배는 시스템에 대한 해입니다. , 2·1=2, 5·2=10, 1+2+0=3이 진정한 수치동등이기 때문입니다. 그리고 (1, 0, 5)는 이 시스템의 해가 아닙니다. 왜냐하면 이러한 변수 값을 시스템의 방정식에 대입하면 두 번째 변수가 잘못된 평등 5·0=10으로 바뀌고 세 번째도 1+0+5=3입니다.

연립방정식에는 해가 없을 수도 있고, 유한한 수의 해(예: 1, 2, ...)를 가질 수도 있고, 무한히 많은 해를 가질 수도 있습니다. 주제를 더 깊이 파고들면 이 내용을 보게 될 것입니다.

방정식 시스템의 정의와 해당 솔루션을 고려하면 방정식 시스템에 대한 솔루션은 모든 방정식의 솔루션 집합의 교차점이라는 결론을 내릴 수 있습니다.

결론적으로 몇 가지 관련 정의는 다음과 같습니다.

정의.

비관절, 솔루션이 없으면 시스템이 호출됩니다. 관절.

정의.

방정식 시스템은 다음과 같습니다. 불확실한, 무한히 많은 솔루션이 있는 경우 확실한, 유한한 수의 솔루션이 있거나 솔루션이 전혀 없는 경우.

예를 들어 이러한 용어는 교과서에 소개되어 있지만 학교에서는 거의 사용되지 않으며 고등 교육 기관에서는 더 자주 듣습니다.

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방정식 시스템은 다양한 프로세스의 수학적 모델링을 위해 경제 부문에서 널리 사용됩니다. 예를 들어 생산 관리 및 계획, 물류 경로(운송 문제) 또는 장비 배치 문제를 해결할 때.

방정식 시스템은 수학뿐만 아니라 물리학, 화학, 생물학에서도 인구 규모를 찾는 문제를 해결할 때 사용됩니다.

선형 방정식 시스템은 공통 솔루션을 찾는 데 필요한 여러 변수가 있는 두 개 이상의 방정식입니다. 모든 방정식이 진정한 평등이 되거나 수열이 존재하지 않음을 증명하는 일련의 숫자입니다.

선형 방정식

ax+by=c 형식의 방정식을 선형이라고 합니다. x, y 지정은 값을 찾아야 하는 미지수이고, b, a는 변수의 계수이고, c는 방정식의 자유항입니다.
방정식을 플로팅하여 풀면 직선처럼 보이고 모든 점은 다항식의 해가 됩니다.

선형 방정식 시스템의 유형

가장 간단한 예는 두 개의 변수 X와 Y를 갖는 선형 방정식 시스템으로 간주됩니다.

F1(x, y) = 0 및 F2(x, y) = 0. 여기서 F1,2는 함수이고 (x, y)는 함수 변수입니다.

연립방정식 풀기 - 이는 시스템이 진정한 동등성으로 바뀌는 값(x, y)을 찾거나 x와 y의 적절한 값이 존재하지 않음을 설정하는 것을 의미합니다.

한 점의 좌표로 작성된 한 쌍의 값(x, y)을 선형 방정식 시스템의 해라고 합니다.

시스템에 하나의 공통 솔루션이 있거나 솔루션이 존재하지 않는 경우 해당 시스템을 동등하다고 합니다.

선형 방정식의 동차 시스템은 우변이 0인 시스템입니다. 등호 뒤의 오른쪽 부분이 값을 가지거나 함수로 표현된다면, 그러한 체계는 이질적이다.

변수의 수는 2개보다 훨씬 많을 수 있습니다. 그러면 3개 이상의 변수가 있는 선형 방정식 시스템의 예에 대해 이야기해야 합니다.

시스템을 접할 때 학생들은 방정식의 수가 반드시 미지수의 수와 일치해야 한다고 가정하지만 그렇지 않습니다. 시스템의 방정식 수는 변수에 의존하지 않으며 원하는 만큼 방정식이 있을 수 있습니다.

방정식 시스템을 풀기 위한 간단하고 복잡한 방법

이러한 시스템을 해결하기 위한 일반적인 분석 방법은 없습니다. 모든 방법은 수치해를 기반으로 합니다. 학교 수학 과정에서는 순열, 대수적 추가, 대체, 그래픽 및 행렬 방법, 가우스 방법에 의한 솔루션과 같은 방법을 자세히 설명합니다.

해결 방법을 가르칠 때 주요 임무는 시스템을 올바르게 분석하고 각 예에 대한 최적의 해결 알고리즘을 찾는 방법을 가르치는 것입니다. 중요한 것은 각 방법에 대한 규칙과 동작의 체계를 암기하는 것이 아니라 특정 방법을 사용하는 원리를 이해하는 것입니다.

7학년 프로그램의 선형 방정식 시스템의 예 풀기 중등 학교아주 간단하고 아주 자세하게 설명되어 있습니다. 어느 수학 교과서에서든 이 부분은 충분히 주의를 기울인다. Gauss and Cramer 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템의 예를 푸는 것은 고등 교육 첫해에 더 자세히 연구됩니다.

대체 방법을 사용하여 시스템 해결

대체 방법의 동작은 한 변수의 값을 두 번째 변수로 표현하는 것을 목표로 합니다. 표현식은 나머지 방정식에 대입된 후 변수가 하나인 형태로 축소됩니다. 시스템의 알 수 없는 항목 수에 따라 작업이 반복됩니다.

대체 방법을 사용하여 클래스 7의 선형 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션을 제공하겠습니다.

예제에서 볼 수 있듯이 변수 x는 F(X) = 7 + Y로 표현되었습니다. 결과 표현식은 X 대신 시스템의 두 번째 방정식에 대입되어 두 번째 방정식에서 하나의 변수 Y를 얻는 데 도움이 되었습니다. . 이 예제를 푸는 것은 쉬우며 Y 값을 얻을 수 있습니다. 마지막 단계는 얻은 값을 확인하는 것입니다.

선형 방정식 시스템의 예를 치환으로 푸는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 방정식은 복잡할 수 있으며 두 번째 미지수로 변수를 표현하는 것은 추가 계산에 너무 번거로울 수 있습니다. 시스템에 3개 이상의 미지수가 있는 경우 대체를 통해 해결하는 것도 비현실적입니다.

선형 불균일 방정식 시스템의 예에 대한 해법:

대수적 덧셈을 이용한 해법

덧셈법을 사용하여 연립방정식의 해를 찾을 때 방정식은 항별로 더해지고 다양한 숫자가 곱해집니다. 수학적 연산의 궁극적인 목표는 하나의 변수로 방정식을 만드는 것입니다.

용도 이 방법연습과 관찰이 필요하다. 변수가 3개 이상인 경우 덧셈법을 사용하여 연립방정식을 푸는 것은 쉽지 않습니다. 대수적 덧셈은 방정식에 분수와 소수가 포함되어 있을 때 사용하면 편리합니다.

솔루션 알고리즘:

1. 방정식의 양변에 특정 숫자를 곱합니다. 결과적으로 산술 동작변수의 계수 중 하나는 1과 같아야 합니다.
2. 결과 표현식 용어를 용어별로 추가하고 미지수 중 하나를 찾습니다.
3. 결과 값을 시스템의 두 번째 방정식에 대입하여 나머지 변수를 찾습니다.

새로운 변수를 도입하여 해결하는 방법

시스템이 2개 이하의 방정식에 대한 해를 구해야 하는 경우 새 변수를 도입할 수 있습니다. 미지수의 수도 2개를 넘지 않아야 합니다.

이 방법은 새 변수를 도입하여 방정식 중 하나를 단순화하는 데 사용됩니다. 도입된 미지수에 대해 새 방정식을 풀고 결과 값을 사용하여 원래 변수를 결정합니다.

이 예는 새로운 변수 t를 도입함으로써 시스템의 첫 번째 방정식을 표준 방정식으로 줄이는 것이 가능하다는 것을 보여줍니다. 이차 삼항식. 판별식을 구하면 다항식을 풀 수 있습니다.

잘 알려진 공식 D = b2 - 4*a*c를 사용하여 판별식의 값을 찾아야 합니다. 여기서 D는 원하는 판별식이고, b, a, c는 다항식의 인수입니다. 주어진 예에서는 a=1, b=16, c=39이므로 D=100입니다. 판별식이 0보다 크면 두 가지 해가 있습니다: t = -b±√D / 2*a, 판별식이 0보다 작으면 하나의 해가 있습니다: x = -b / 2*a.

결과 시스템에 대한 해는 추가 방법으로 찾습니다.

시스템 해결을 위한 시각적 방법

3개 방정식 시스템에 적합합니다. 이 방법은 좌표축에 시스템에 포함된 각 방정식의 그래프를 구성하는 것으로 구성됩니다. 곡선의 교차점의 좌표는 다음과 같습니다. 일반 결정시스템.

그래픽 방법에는 여러 가지 뉘앙스가 있습니다. 시각적인 방법으로 선형 방정식 시스템을 푸는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예제에서 볼 수 있듯이 각 라인에 대해 두 개의 점이 구성되었으며 변수 x의 값은 0과 3으로 임의로 선택되었습니다. x 값을 기반으로 y 값이 발견되었습니다. 3과 0. 좌표가 (0, 3)과 (3, 0)인 점을 그래프에 표시하고 선으로 연결했습니다.

두 번째 방정식에 대해 단계를 반복해야 합니다. 선의 교차점은 시스템의 해입니다.

다음 예에서는 다음을 찾아야 합니다. 그래픽 솔루션선형 방정식 시스템: 0.5x-y+2=0 및 0.5x-y-1=0.

예제에서 볼 수 있듯이 그래프가 평행하고 전체 길이를 따라 교차하지 않기 때문에 시스템에는 솔루션이 없습니다.

예제 2와 3의 시스템은 유사하지만 구성해 보면 솔루션이 다르다는 것이 분명해집니다. 시스템에 솔루션이 있는지 여부를 말하는 것이 항상 가능한 것은 아니라는 점을 기억해야 합니다. 그래프를 구성하는 것은 항상 필요합니다.

매트릭스와 그 종류

행렬은 선형 방정식 시스템을 간결하게 작성하는 데 사용됩니다. 행렬은 숫자로 채워진 특별한 유형의 테이블입니다. n*m에는 n - 행과 m - 열이 있습니다.

행렬은 열과 행의 개수가 같을 때 정사각형입니다. 행렬-벡터는 행 수가 무한히 많은 하나의 열로 구성된 행렬입니다. 대각선 중 하나를 따라 1이 있고 다른 0 요소가 있는 행렬을 항등이라고 합니다.

역행렬은 곱하면 원래의 행렬이 단위 행렬로 변하는 행렬입니다. 이러한 행렬은 원래의 정사각형 행렬에만 존재합니다.

연립방정식을 행렬로 변환하는 규칙

방정식 시스템과 관련하여 방정식의 계수와 자유 항은 행렬 번호로 작성됩니다. 하나의 방정식은 행렬의 한 행입니다.

행의 요소 중 하나 이상이 0이 아닌 경우 행렬 행은 0이 아닌 것으로 간주됩니다. 따라서 방정식 중 하나에서 변수 수가 다른 경우 누락된 미지수 대신 0을 입력해야 합니다.

행렬 열은 변수와 엄격하게 일치해야 합니다. 이는 변수 x의 계수가 하나의 열에만 기록될 수 있음을 의미합니다. 예를 들어 첫 번째 열에는 알 수 없는 y의 계수가 두 번째 열에만 기록될 수 있습니다.

행렬을 곱할 때 행렬의 모든 요소에 숫자가 순차적으로 곱해집니다.

역행렬을 찾는 옵션

역행렬을 찾는 공식은 매우 간단합니다. K -1 = 1 / |K|, 여기서 K -1은 역행렬이고 |K| 는 행렬의 행렬식입니다. |K| 가 0이 아니어야 합니다. 그러면 시스템에 솔루션이 있습니다.

행렬식은 2x2 행렬에 대해 쉽게 계산됩니다. 대각선 요소를 서로 곱하기만 하면 됩니다. "3x3" 옵션의 경우 공식 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + 3b 2c 1 . 수식을 사용할 수도 있고, 요소의 열 수와 행 수가 작업에서 반복되지 않도록 각 행과 각 열에서 하나의 요소를 가져와야한다는 것을 기억할 수 있습니다.

행렬 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템의 예 풀기

해를 찾는 매트릭스 방법을 사용하면 변수와 방정식이 많은 시스템을 풀 때 번거로운 항목을 줄일 수 있습니다.

예에서 nm은 방정식의 계수이고, 행렬은 벡터입니다. x n은 변수이고, bn은 자유항입니다.

가우스 방법을 사용한 시스템 해결

안에 고등 수학 Gaussian 방법은 Cramer 방법과 함께 연구되며, 시스템에 대한 해를 찾는 과정을 Gauss-Cramer 해법이라고 합니다. 이러한 방법은 선형 방정식이 많은 시스템의 변수를 찾는 데 사용됩니다.

가우스 방법은 치환 및 대수적 덧셈에 의한 해법과 매우 유사하지만 더 체계적입니다. 학교 과정에서는 3차 및 4차 방정식 시스템에 가우스 방법에 의한 솔루션이 사용됩니다. 이 방법의 목적은 시스템을 역된 사다리꼴 형태로 줄이는 것입니다. 대수적 변환과 치환을 통해 한 변수의 값은 시스템의 방정식 중 하나에서 발견됩니다. 두 번째 방정식은 2개의 미지수가 있는 표현식이고, 3과 4는 각각 3개와 4개의 변수가 있습니다.

시스템을 설명된 형태로 만든 후 추가 솔루션은 알려진 변수를 시스템 방정식으로 순차적으로 대체하는 것으로 축소됩니다.

7학년 학교 교과서에는 가우스 방법에 의한 해결의 예가 다음과 같이 설명되어 있습니다.

예에서 볼 수 있듯이 단계 (3)에서 두 개의 방정식이 얻어졌습니다: 3x 3 -2x 4 =11 및 3x 3 +2x 4 =7. 방정식 중 하나를 풀면 변수 xn 중 하나를 찾을 수 있습니다.

본문에 언급된 정리 5는 시스템의 방정식 중 하나를 동등한 방정식으로 대체하면 결과 시스템도 원래 시스템과 동등하다는 것을 나타냅니다.

가우스 방법은 학생들이 이해하기 어렵습니다. 고등학교, 그러나 가장 많은 것 중 하나입니다 흥미로운 방법수학과 물리학 수업의 고급 학습 프로그램에 등록한 어린이의 독창성을 개발합니다.

기록의 용이성을 위해 일반적으로 다음과 같이 계산이 수행됩니다.

방정식과 자유 항의 계수는 행렬 형태로 작성되며, 행렬의 각 행은 시스템의 방정식 중 하나에 해당합니다. 방정식의 왼쪽과 오른쪽을 분리합니다. 로마 숫자는 시스템의 방정식 수를 나타냅니다.

먼저 작업할 행렬을 기록한 다음 행 중 하나에서 수행되는 모든 작업을 기록합니다. 결과 행렬은 "화살표" 기호 뒤에 작성되며 결과가 나올 때까지 필요한 대수 연산이 계속됩니다.

결과는 대각선 중 하나가 1이고 다른 모든 계수가 0인 행렬이어야 합니다. 즉, 행렬이 단위 형태로 축소됩니다. 방정식의 양쪽에 숫자를 사용하여 계산을 수행하는 것을 잊지 마십시오.

이 기록 방법은 덜 번거롭고 알려지지 않은 수많은 항목을 나열하여 주의가 산만해지는 것을 방지합니다.

솔루션 방법을 자유롭게 사용하려면 주의와 약간의 경험이 필요합니다. 모든 방법이 적용되는 것은 아닙니다. 해결책을 찾는 일부 방법은 인간 활동의 특정 영역에서 더 선호되는 반면 다른 방법은 교육 목적으로 존재합니다.