거듭제곱 방정식과 표현. 지수 방정식 풀기. 기초

강의: “해결 방법 지수 방정식».

1 . 지수 방정식.

지수에 미지수가 포함된 방정식을 지수 방정식이라고 합니다. 그 중 가장 간단한 것은 방정식 ax = b입니다. 여기서 a > 0, a ≠ 1입니다.

1) b에서< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0인 경우, 함수의 단조성과 근 정리를 사용하면 방정식은 고유한 근을 갖습니다. 그것을 찾으려면 b는 b = aс, аx = bс ó x = c 또는 x = logab 형식으로 표현되어야 합니다.

대수 변환에 의한 지수 방정식은 다음 방법을 사용하여 풀 수 있는 표준 방정식으로 이어집니다.

1) 1염기로 환원하는 방법

2) 평가 방법;

3) 그래픽 방법;

4) 새로운 변수를 도입하는 방법;

5) 인수분해 방법;

6) 지수 – 거듭제곱 방정식;

7) 매개변수를 사용하여 시연합니다.

2 . 1염기로 환원하는 방법.

이 방법은 다음과 같은 거듭제곱의 속성을 기반으로 합니다. 두 거듭제곱이 같고 밑수가 같으면 지수가 동일합니다. 즉, 방정식을 다음 형식으로 줄여야 합니다.

예. 방정식을 푼다:

1 . 3x = 81;

방정식의 우변을 81 = 34 형식으로 표현하고 원래 3 x = 34와 동등한 방정식을 작성해 보겠습니다. x = 4. 답: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">그리고 지수 3x+1 = 3 – 5x; 8x =에 대한 방정식으로 넘어가겠습니다. 4; x = 0.5. 답: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

숫자 0.2, 0.04, √5 및 25는 5의 거듭제곱을 나타냅니다. 이를 활용하여 원래 방정식을 다음과 같이 변환해 보겠습니다.

, 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2에서 우리는 해 x = -1을 찾습니다. 답: -1.

5. 3x = 5. 로그의 정의에 따르면 x = log35입니다. 답: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, 즉 png" width="181" height="49 src="> 따라서 x – 4 =0, x = 4 형식으로 방정식을 다시 작성해 보겠습니다. 답: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. 거듭제곱의 특성을 사용하여 방정식을 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, 3∙3x = 9, 3x+1 형식으로 작성합니다. = 32, 즉 x+1 = 2, x =1. 답: 1.

문제은행 1호.

방정식을 푼다:

테스트 번호 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) 뿌리 없음
	1) 7;1 2) 뿌리 없음 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

테스트 번호 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) 뿌리 없음 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 평가 방법.

근정리: 함수 f(x)가 구간 I에서 증가(감소)하면 숫자 a는 이 구간에서 f가 취하는 임의의 값이며 방정식 f(x) = a는 구간 I에서 단일 근을 갖습니다.

추정 방법을 사용하여 방정식을 풀 때 이 정리와 함수의 단조성 속성이 사용됩니다.

예. 방정식 풀기: 1. 4x = 5 – x.

해결책. 방정식을 4x +x = 5로 다시 작성해 보겠습니다.

1. x = 1이면 41+1 = 5, 5 = 5가 참입니다. 이는 1이 방정식의 근이 됨을 의미합니다.

함수 f(x) = 4x – R에서 증가하고 g(x) = x – R에서 증가 => h(x)= f(x)+g(x)는 R에서 증가합니다. 증가 함수의 합은 다음과 같습니다. 그러면 x = 1은 방정식 4x = 5 – x의 유일한 근입니다. 답: 1.

2.

해결책. 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. .

1. x = -1이면 , 3 = 3은 참입니다. 이는 x = -1이 방정식의 근임을 의미합니다.

2. 그 사람이 유일한 사람이라는 것을 증명하십시오.

3. 함수 f(x) = - R에서 감소하고, g(x) = - x – R에서 감소=> h(x) = f(x)+g(x) – R에서 감소합니다. 기능 감소. 이는 근 정리에 따르면 x = -1이 방정식의 유일한 근임을 의미합니다. 답: -1.

문제은행 2호. 방정식을 풀어보세요

a) 4x + 1 =6 – x;

비)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. 새로운 변수를 도입하는 방법.

이 방법은 단락 2.1에 설명되어 있습니다. 새로운 변수의 도입(대체)은 일반적으로 방정식 항의 변환(단순화) 후에 수행됩니다. 예를 살펴 보겠습니다.

예. 아르 자형방정식을 푼다: 1. .

방정식을 다르게 다시 작성해 보겠습니다. https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

해결책. 방정식을 다르게 다시 작성해 보겠습니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - 적합하지 않음을 지정합시다.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - 비합리적인 방정식. 우리는

방정식의 해는 x = 2.5 ≤ 4입니다. 이는 2.5가 방정식의 근임을 의미합니다. 답: 2.5.

해결책. 방정식을 다음 형식으로 다시 작성하고 양변을 56x+6 ≠ 0으로 나눕니다. 방정식을 얻습니다.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

이차 방정식의 근은 t1 = 1 및 t2입니다.<0, т. е..png" width="200" height="24">.

해결책 . 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

그리고 이는 2차 동차 방정식이라는 점에 유의하세요.

방정식을 42x로 나누면 다음을 얻습니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> 를 바꾸자.

답: 0; 0.5.

문제은행 3호. 방정식을 풀어보세요

비)

G)

테스트 번호 3 답변 선택으로. 최소 수준.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) 루트 없음 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) 뿌리 없음 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

테스트 번호 4 답변 선택으로. 일반 수준.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) 뿌리 없음

5. 인수분해 방법.

1. 방정식을 푼다: 5x+1 - 5x-1 = 24.

해결책..png" width="169" height="69"> , 어디에서

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

해결책. 방정식의 왼쪽에 괄호 중 6x를 넣고 오른쪽에 2x를 넣습니다. 방정식 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x를 얻습니다.

모든 x에 대해 2x >0이므로 해를 잃을 염려 없이 이 방정식의 양변을 2x로 나눌 수 있습니다. 우리는 3x = 1ó x = 0을 얻습니다.

3.

해결책. 인수분해 방법을 사용하여 방정식을 풀어보겠습니다.

이항식의 제곱을 선택해보자

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2는 방정식의 근입니다.

방정식 x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

테스트 번호 6 일반 수준.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3,4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. 지수 – 거듭제곱 방정식.

지수 방정식 옆에는 소위 지수 거듭제곱 방정식, 즉 (f(x))g(x) = (f(x))h(x) 형식의 방정식이 있습니다.

f(x)>0이고 f(x) ≠ 1인 것으로 알려진 경우 방정식은 지수 방정식과 마찬가지로 지수 g(x) = f(x)를 동일시하여 해결됩니다.

조건이 f(x)=0 및 f(x)=1의 가능성을 배제하지 않으면 지수 방정식을 풀 때 이러한 경우를 고려해야 합니다.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

해결책. x2 +2x-8 – 모든 x에 대해 의미가 있습니다. 이는 다항식이므로 방정식이 전체와 동일함을 의미합니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

비)

7. 매개변수가 있는 지수 방정식.

1. 방정식 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1)에는 매개변수 p의 어떤 값에 대한 고유한 해가 있습니까?

해결책. 대체 2x = t, t > 0을 도입하면 방정식 (1)은 t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0의 형식을 취합니다. (2)

방정식 (2)의 판별식 D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

방정식 (1)은 방정식 (2)에 하나의 양의 근이 있는 경우 고유한 해를 갖습니다. 이는 다음과 같은 경우에 가능합니다.

1. D = 0, 즉 p = 1이면 방정식 (2)는 t2 – 2t + 1 = 0 형식을 취하므로 t = 1이므로 방정식 (1)은 고유한 해 x = 0을 갖습니다.

2. p1이면 9(p – 1)2 > 0이면 방정식 (2)는 두 개의 서로 다른 근 t1 = p, t2 = 4p – 3을 갖습니다. 문제의 조건은 일련의 시스템에 의해 충족됩니다.

t1과 t2를 시스템에 대입하면 다음과 같습니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

해결책. 허락하다 그러면 방정식 (3)은 t2 – 6t – a = 0 형식을 취합니다. (4)

방정식 (4)의 적어도 하나의 근이 조건 t > 0을 만족하는 매개변수 a의 값을 찾아보겠습니다.

함수 f(t) = t2 – 6t – a를 소개하겠습니다. 다음과 같은 경우가 가능합니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} 이차 삼항식에프(티);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

사례 2. 방정식 (4)는 다음과 같은 경우 고유한 양의 해를 갖습니다.

D = 0, a = – 9이면 방정식 (4)는 (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1의 형식을 취합니다.

사례 3. 방정식 (4)에는 두 개의 근이 있지만 그 중 하나가 부등식 t > 0을 만족하지 않습니다. 이는 다음과 같은 경우에 가능합니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

따라서 a 0의 경우 방정식 (4)는 단일 양의 근을 갖습니다. . 그러면 방정식 (3)에는 고유한 해가 있습니다.

언제< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

만약< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9이면 x = – 1입니다.

a  0이면

방정식 (1)과 (3)을 푸는 방법을 비교해 보겠습니다. 방정식 (1)을 풀 때 판별식은 완전 제곱인 이차 방정식으로 축소되었습니다. 따라서, 이차방정식의 근에 대한 공식을 이용하여 식(2)의 근을 즉시 계산하고, 이들 근에 대한 결론을 도출하였다. 방정식 (3)은 판별식이 완전제곱식이 아닌 2차 방정식 (4)로 축소되었으므로 방정식 (3)을 풀 때 2차 삼항식의 근 위치에 대한 정리를 사용하는 것이 좋습니다. 그리고 그래픽 모델. 방정식 (4)는 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다.

좀 더 풀어보자 복잡한 방정식.

문제 3: 방정식 풀기

해결책. ODZ: x1, x2.

대체품을 소개하겠습니다. 2x = t, t > 0이라고 하면 변환 결과 방정식은 t2 + 2t – 13 – a = 0의 형식을 취합니다. (*) 적어도 하나의 근이 있는 a의 값을 찾아 보겠습니다. 방정식 (*)은 t > 0 조건을 충족합니다.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

답: a > – 13, a  11, a  5이면 a – 13이면

a = 11, a = 5이면 근이 없습니다.

서지.

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3. Guzeev 및 조직적 훈련 형태.

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수학, 1997 No. 3.

24 Okunev 수업을 위해, 아이들! M. 교육, 1988

25. Yakimanskaya - 학교에서의 학습 중심.

26. 수업 시간에 제한을 두십시오. M. 지식, 1975

지수 방정식 풀기. 예.

주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)

무슨 일이야? 지수 방정식? 이것은 미지수(x)와 이를 이용한 표현식이 포함된 방정식입니다. 지표어느 정도. 그리고 거기에만! 그건 중요해.

여기 있습니다 지수 방정식의 예:

3 x 2 x = 8 x+3

메모! 도 기준(아래) - 숫자만. 안에 지표도(위) - X를 사용한 다양한 표현입니다. 갑자기 X가 방정식의 지표가 아닌 다른 곳에 나타나는 경우, 예를 들면 다음과 같습니다.

이것은 방정식이 될 것입니다 혼합형. 이러한 방정식에는 이를 해결하기 위한 명확한 규칙이 없습니다. 지금은 고려하지 않겠습니다. 여기서 우리는 다룰 것입니다 지수 방정식 풀기가장 순수한 형태로.

사실, 순수한 지수 방정식조차도 항상 명확하게 풀리는 것은 아닙니다. 그러나 풀 수 있고 풀어야 하는 특정 유형의 지수 방정식이 있습니다. 이것이 우리가 고려할 유형입니다.

간단한 지수 방정식을 푼다.

먼저 아주 기본적인 문제를 해결해 보겠습니다. 예를 들어:

아무런 이론이 없더라도 간단한 선택으로 x = 2라는 것이 분명합니다. 더 이상은 없겠죠!? X의 다른 값은 작동하지 않습니다. 이제 이 까다로운 지수 방정식의 해를 살펴보겠습니다.

우리는 무엇을 했나요? 사실 우리는 같은 베이스(트리플)를 그냥 버렸습니다. 완전히 버려졌습니다. 그리고 좋은 소식은 우리가 딱 맞았다는 것입니다!

실제로, 지수방정식에 왼쪽과 오른쪽이 있다면 똑같다숫자에 관계없이 숫자를 제거하고 지수를 균등화할 수 있습니다. 수학은 허용합니다. 훨씬 간단한 방정식을 푸는 것이 남아 있습니다. 대단해요, 그렇죠?)

그러나 다음 사항을 확실히 기억합시다. 왼쪽과 오른쪽의 베이스 번호가 완벽하게 분리되어 있어야만 베이스 제거가 가능합니다!이웃과 계수가 없습니다. 방정식에서 말해보자:

2 x +2 x+1 = 2 3 또는

두 개는 제거할 수 없습니다!

글쎄, 우리는 가장 중요한 것을 마스터했습니다. 악에서 나아가는 방법 실증적 표현더 간단한 방정식으로.

"지금이 바로 그때다!" - 당신이 말했잖아요. "누가 시험과 시험에 대해 이렇게 원시적인 교훈을 주겠습니까!?"

나는 동의해야 한다. 아무도 그것을주지 않을 것입니다. 하지만 이제 까다로운 예제를 풀 때 어디를 목표로 해야 하는지 알 수 있습니다. 왼쪽과 오른쪽에 동일한 기본번호가 있는 형태로 가져와야 합니다. 그러면 모든 것이 더 쉬워질 것입니다. 사실 이것은 수학의 고전입니다. 원본 예제를 가져와서 원하는 예제로 변환합니다. 우리를정신. 물론 수학의 법칙에 따릅니다.

가장 단순한 것으로 줄이기 위해 추가적인 노력이 필요한 예를 살펴보겠습니다. 그들에게 전화하자 간단한 지수 방정식.

간단한 지수 방정식을 푼다. 예.

지수 방정식을 풀 때 주요 규칙은 다음과 같습니다. 정도에 따른 행동.이러한 조치에 대한 지식이 없으면 아무것도 작동하지 않습니다.

정도에 따른 행동에는 개인적인 관찰과 독창성을 더해야 합니다. 동일한 기본 번호가 필요합니까? 따라서 예시에서 명시적이거나 암호화된 형식으로 이를 찾습니다.

이것이 실제로 어떻게 수행되는지 볼까요?

예를 들어 보겠습니다.

2 2x - 8 x+1 = 0

첫 번째 예리한 시선은 다음과 같습니다. 근거.그들은... 그들은 다릅니다! 2와 8. 하지만 낙담하기에는 이르다. 그걸 기억할 시간이야

2와 8은 정도의 친척입니다.) 다음과 같이 쓰는 것이 가능합니다.

8 x+1 = (2 3) x+1

각도 연산의 공식을 떠올려 보면 다음과 같습니다.

(an) m = a nm ,

이것은 훌륭하게 작동합니다.

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

원래 예제는 다음과 같이 시작되었습니다.

2 2x - 2 3(x+1) = 0

우리는 환승한다 2 3 (x+1)오른쪽으로(아무도 수학의 기본 연산을 취소하지 않았습니다!) 다음과 같은 결과를 얻습니다.

2 2x = 2 3(x+1)

그게 거의 전부입니다. 베이스 제거:

우리는 이 괴물을 해결하고

이것이 정답입니다.

이 예에서는 2의 거듭제곱을 아는 것이 도움이 되었습니다. 우리 확인됨 8개에는 암호화된 2개가 있습니다. 이 기술(공통 근거의 암호화 다른 숫자)는 지수 방정식에서 매우 인기 있는 기법입니다! 예, 로그에서도 마찬가지입니다. 숫자에서 다른 숫자의 힘을 인식할 수 있어야 합니다. 이는 지수 방정식을 푸는 데 매우 중요합니다.

사실은 숫자를 어떤 거듭제곱으로든 높이는 것은 문제가 되지 않는다는 것입니다. 종이에도 곱하면 끝입니다. 예를 들어 누구나 3의 5승을 올릴 수 있습니다. 곱셈표를 알고 있으면 243이 계산됩니다.) 그러나 지수 방정식에서는 거듭제곱할 필요가 없는 경우가 훨씬 더 많지만 그 반대도 마찬가지입니다... 알아보기 숫자는 어느 정도인가?숫자 243 뒤에 숨겨져 있습니다. 또는 343... 여기서는 어떤 계산기도 도움이 되지 않습니다.

숫자의 위력은 눈으로 봐야 알죠... 연습해볼까요?

어떤 거듭제곱과 숫자가 무엇인지 결정합니다.

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

답변(물론 엉망입니다!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

자세히 보면 알 수 있다 이상한 사실. 작업보다 훨씬 더 많은 답변이 있습니다! 글쎄요... 예를 들어 2 6, 4 3, 8 2 - 모두 64입니다.

당신이 숫자에 대한 친숙함에 대한 정보를 기록했다고 가정합시다.) 또한 우리가 사용하는 지수 방정식을 풀기 위해 모두수학적 지식의 재고. 중학생과 중학생도 포함됩니다. 고등학교에 바로 가지 않았죠?)

예를 들어, 지수 방정식을 풀 때 공통 인수를 괄호 안에 넣는 것이 도움이 되는 경우가 많습니다(7학년 여러분!). 예를 살펴보겠습니다:

3 2x+4 -11 9 x = 210

그리고 다시 한 번, 첫눈에 기초가 보입니다! 각도의 기준이 다릅니다... 3과 9. 그러나 우리는 그들이 동일하기를 원합니다. 글쎄, 이 경우에는 욕구가 완전히 충족되었습니다!) 왜냐하면:

9 x = (3 2) x = 3 2x

학위 처리에 동일한 규칙을 사용합니다.

3 2x+4 = 3 2x 3 4

훌륭합니다. 다음과 같이 적어보세요.

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 그럼 다음은!? 3개는 버릴 수 없어요... 막다른 골목인가요?

별말씀을요. 가장 보편적이고 강력한 의사결정 규칙을 기억하세요 모든 사람수학 과제:

무엇이 필요한지 모른다면 할 수 있는 일을 하세요!

보세요, 모든 것이 잘 될 것입니다).

이 지수 방정식에는 무엇이 들어있나요? 할 수 있다하다? 예, 왼쪽에는 괄호에서 꺼내달라고 요청합니다! 3 2x의 전체 승수는 이를 분명히 암시합니다. 시도해 봅시다. 그러면 다음을 보게 될 것입니다:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

예시가 점점 더 좋아지고 있어요!

근거를 제거하려면 계수가 없는 순수한 등급이 필요하다는 것을 기억합니다. 70이라는 숫자가 우리를 괴롭힌다. 따라서 방정식의 양변을 70으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

이런! 모든 것이 좋아졌습니다!

이것이 최종 답변입니다.

그러나 동일한 기준으로 택시를 탈 수는 있지만 제거는 불가능합니다. 이는 다른 유형의 지수 방정식에서도 발생합니다. 이 유형을 마스터합시다.

지수 방정식을 풀 때 변수를 대체합니다. 예.

방정식을 풀어 봅시다:

4 x - 3 2 x +2 = 0

첫째 - 평소와 같이. 하나의 기지로 넘어 갑시다. 듀스로.

4 x = (2 2) x = 2 2x

우리는 방정식을 얻습니다.

2 2x - 3 2 x +2 = 0

그리고 이곳이 우리가 어울리는 곳이에요. 이전 기술은 어떻게 보더라도 작동하지 않습니다. 우리는 우리 무기고에서 또 다른 강력하고 보편적인 방법을 꺼내야 할 것입니다. 그것은 ~라고 불린다 변수 교체.

방법의 본질은 놀라울 정도로 간단하다. 하나의 복잡한 아이콘(이 경우 - 2 x) 대신에 또 다른 간단한 아이콘(예: - t)을 작성합니다. 이렇게 무의미해 보이는 교체가 놀라운 결과로 이어집니다!) 모든 것이 명확해지고 이해가 쉬워집니다!

그러니 보자

그러면 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

우리 방정식에서는 모든 거듭제곱을 x로 t로 대체합니다.

글쎄요, 생각나시나요?) 아직 이차방정식을 잊어버리셨나요? 판별식을 통해 풀면 다음을 얻습니다.

여기서 가장 중요한 것은 일어나는 일처럼 멈추지 않는 것입니다... 이것은 아직 답이 아닙니다. 우리에게는 t가 아닌 x가 필요합니다. X로 돌아가자. 우리는 역 교체를합니다. t 1에 대한 첫 번째:

그건,

루트가 하나 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다:

흠... 왼쪽에 2개, 오른쪽에 1개... 문제인가요? 별말씀을요! 단위가 다음과 같다는 점을 기억하는 것만으로도 충분합니다. 어느숫자를 0으로 거듭제곱합니다. 어느. 필요한 것은 무엇이든 설치해 드립니다. 우리는 2가 필요합니다. 수단:

이제 그게 다입니다. 우리는 2개의 루트를 얻었습니다:

이것이 답입니다.

~에 지수 방정식 풀기마지막에는 가끔 어색한 표정을 짓기도 합니다. 유형:

7은 단순한 힘으로는 2로 변환될 수 없습니다. 그들은 친척이 아닙니다... 우리가 어떻게 그럴 수 있습니까? 헷갈리시는 분들도 계시겠지만... 그런데 이 사이트에서 "로그란 무엇인가?"라는 주제를 읽은 사람은 , 그냥 미소를 지으며 절대 정답을 확고한 손으로 적습니다.

통합 국가 시험의 "B"과제에는 그러한 답이 있을 수 없습니다. 특정 번호가 필요합니다. 하지만 작업 "C"에서는 쉽습니다.

이 단원에서는 가장 일반적인 지수 방정식을 푸는 예를 제공합니다. 주요 사항을 강조해 보겠습니다.

실용적인 팁:

1. 우선 살펴보겠습니다. 근거도. 우리는 그것들을 만드는 것이 가능한지 궁금합니다. 동일한.적극적으로 활용해 보도록 하겠습니다. 정도에 따른 행동. x가 없는 숫자도 거듭제곱으로 변환될 수 있다는 것을 잊지 마세요!

2. 우리는 왼쪽과 오른쪽에 다음이 있을 때 지수 방정식을 형태로 가져오려고 합니다. 똑같다어떤 권력의 숫자. 우리는 사용 정도에 따른 행동그리고 채권 차압 통고.숫자로 셀 수 있는 것은 우리도 센다.

3. 두 번째 팁이 작동하지 않으면 변수 대체를 사용해 보세요. 그 결과는 쉽게 풀 수 있는 방정식이 될 수 있습니다. 가장 자주 - 정사각형. 또는 분수로, 역시 제곱으로 줄어듭니다.

4. 지수 방정식을 성공적으로 풀려면 몇 가지 숫자의 거듭제곱을 눈으로 볼 수 있어야 합니다.

평소와 같이 수업이 끝나면 약간의 결정을 내리도록 초대됩니다.) 스스로. 단순한 것부터 복잡한 것까지.

지수 방정식 풀기:

더 어렵다:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

뿌리의 산물 찾기:

2 3 + 2 x = 9

일어난?

그럼 가장 복잡한 예(그러나 마음속으로 결정했습니다...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

더 흥미로운 점은 무엇입니까? 그럼 여기 당신에게 있습니다 나쁜 예. 난이도가 높아져서 꽤 유혹적입니다. 이 예에서 당신을 구하는 것은 독창성과 모든 수학적 문제를 해결하기 위한 가장 보편적인 규칙이라는 것을 암시하겠습니다.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

휴식을 위한 더 간단한 예):

9 2 x - 4 3 x = 0

그리고 디저트로. 방정식의 근의 합을 구합니다.

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

예 예! 이것은 혼합형 방정식입니다! 이 강의에서는 고려하지 않았습니다. 왜 고려해야합니까? 해결해야합니다!) 이 수업은 방정식을 해결하기에 충분합니다. 글쎄, 당신은 독창성이 필요합니다... 그리고 7학년이 당신을 도울 수 있습니다 (이것이 힌트입니다!).

답변(세미콜론으로 구분되어 혼란스럽게 표시됨):

1; 2; 삼; 4; 해결책이 없습니다. 2; -2; -5; 4; 0.

모든 것이 성공적입니까? 엄청난.

문제가 있나요? 괜찮아요! 특별 조항 555에서 이러한 모든 지수 방정식은 다음과 같이 해결됩니다. 자세한 설명. 무엇을, 왜, 왜. 그리고 물론 모든 종류의 지수 방정식 작업에 대한 귀중한 추가 정보도 있습니다. 이 분들 뿐만이 아닙니다.)

고려해야 할 마지막 재미있는 질문입니다. 이번 강의에서는 지수 방정식을 다루었습니다. 여기서는 왜 ODZ에 대해 한마디도 하지 않았나요?그런데 방정식에서 이것은 매우 중요한 것입니다...

이 사이트가 마음에 드신다면...

그건 그렇고, 당신을 위한 몇 가지 흥미로운 사이트가 더 있습니다.)

예제 풀이를 연습하고 자신의 레벨을 알아볼 수 있습니다. 즉시 검증으로 테스트합니다. 배우자 - 관심을 가지고!)

함수와 파생물에 대해 알아볼 수 있습니다.

장비:

• 컴퓨터,
• 멀티미디어 프로젝터,
• 화면,
• 부록 1(PowerPoint 슬라이드 프레젠테이션) "지수 방정식을 푸는 방법"
• 부록 2(“3”과 같은 방정식을 풀면 다른 기지학위”를 Word에서)
• 부록 3(Word의 유인물 실무).
• 부록 4(숙제용 Word 유인물)

수업 중

1. 조직단계

• 수업 주제 메시지(칠판에 적음),
• 10~11학년 일반 수업의 필요성:

학생들의 적극적인 학습을 준비하는 단계

되풀이

정의.

지수 방정식은 지수가 있는 변수를 포함하는 방정식입니다(학생의 답변).

선생님의 메모. 지수 방정식은 초월 방정식 클래스에 속합니다. 이 발음하기 어려운 이름은 일반적으로 그러한 방정식을 공식 형태로 풀 수 없다는 것을 암시합니다.

컴퓨터의 수치적 방법을 통해서만 대략적으로 풀 수 있습니다. 하지만 시험 과제는 어떻습니까? 비결은 시험관이 분석적 해결책을 허용하는 방식으로 문제의 틀을 잡는 것입니다. 즉, 이 지수 방정식을 가장 간단한 지수 방정식으로 줄이는 동일한 변환을 수행할 수 있습니다(그리고 수행해야 합니다!). 이 가장 간단한 방정식은 다음과 같습니다. 가장 간단한 지수 방정식. 해결되고 있어요 로그로.

지수 방정식을 푸는 상황은 문제 작성자가 특별히 고안한 미로를 통과하는 여행을 연상시킵니다. 이러한 매우 일반적인 주장에서 매우 구체적인 권장 사항이 따릅니다.

지수 방정식을 성공적으로 풀려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 모든 지수 항등식을 적극적으로 알 수 있을 뿐만 아니라 이러한 항등식을 정의하는 변수 값 세트를 찾아서 이러한 항등식을 사용할 때 불필요한 근을 얻지 않고 더욱이 솔루션을 잃지 않도록 합니다. 방정식에.

2. 모든 지수적 정체성을 적극적으로 알아야 합니다.

3. 명확하고 상세하며 오류 없이 방정식의 수학적 변환을 수행합니다(부호 변경을 잊지 않고 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 용어를 이동하고 분수를 공통 분모로 가져오는 등). 이것을 수학적 문화라고 합니다. 동시에 계산 자체는 자동으로 수동으로 수행되어야 하며 머리는 솔루션의 일반적인 안내 스레드에 대해 생각해야 합니다. 변환은 가능한 한 신중하고 자세하게 이루어져야 합니다. 그래야만 정확하고 오류 없는 결정이 보장됩니다. 그리고 기억하세요: 작은 산술 오류는 원칙적으로 분석적으로 풀 수 없는 초월 방정식을 생성할 수 있습니다. 당신은 길을 잃고 미궁의 벽에 부딪힌 것으로 밝혀졌습니다.

4. 문제 해결 방법을 알아보세요(즉, 해결 미로를 통과하는 모든 경로를 알고 있습니다). 각 단계에서 올바르게 탐색하려면 다음을 수행해야 합니다(의식적으로든 직관적으로든!):

• 정의하다 방정식 유형;
• 해당 유형을 기억하세요 해결 방법작업.

연구 자료의 일반화 및 체계화 단계.

교사는 컴퓨터를 사용하는 학생들과 함께 모든 유형의 지수 방정식과 이를 해결하는 방법을 검토하고 컴파일합니다. 일반적인 계획. (사용된 훈련 컴퓨터 프로그램 L.Ya. Borevsky "수학 코스 - 2000", PowerPoint 프레젠테이션의 저자는 T.N입니다. 쿠프초바.)

쌀. 1.그림은 모든 유형의 지수 방정식의 일반적인 다이어그램을 보여줍니다.

이 도표에서 볼 수 있듯이, 지수방정식을 푸는 전략은 우선 주어진 지수방정식을 방정식으로 환원하는 것이다. 동일한 기준으로 , 그리고 – 그리고 동일한 정도 표시기를 사용합니다.

밑수와 지수가 동일한 방정식을 받은 후 이 지수를 새 변수로 바꾸고 이 새 변수에 대한 간단한 대수 방정식(일반적으로 분수 유리수 또는 이차 방정식)을 얻습니다.

이 방정식을 풀고 역대입을 하면 다음과 같이 풀 수 있는 일련의 간단한 지수 방정식이 생성됩니다. 일반적인 견해로그를 사용합니다.

(부분) 거듭제곱의 곱만 발견되는 방정식이 눈에 띕니다. 지수 항등식을 사용하면 이러한 방정식을 즉시 하나의 기준으로, 특히 가장 간단한 지수 방정식으로 줄일 수 있습니다.

세 가지 다른 밑수를 사용하여 지수 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

(교사가 L.Ya. Borevsky "수학 과정 - 2000"의 교육용 컴퓨터 프로그램을 가지고 있다면 당연히 디스크로 작업하고, 그렇지 않은 경우 각 책상에 대해 이러한 유형의 방정식을 인쇄할 수 있습니다. 아래에 제시되어 있습니다.)

쌀. 2.방정식을 풀 계획을 세웁니다.

쌀. 삼.방정식 풀기 시작

쌀. 4.방정식 풀이를 마칩니다.

실무적인 일을 하고 있다

방정식의 유형을 결정하고 해결하십시오.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

수업 요약

수업에 대한 채점.

수업 종료

선생님을 위해

답안 구성을 연습하세요.

운동:방정식 목록에서 지정된 유형의 방정식을 선택하십시오(표에 답 번호 입력).

1. 세 가지 다른 학위 기준
2. 두 가지 다른 밑수 - 다른 지수
3. 거듭제곱의 기초 - 한 숫자의 거듭제곱
4. 같은 기초 - 다른 지수
5. 동일한 도 기준 - 동일한 도 표시기
6. 권력의 산물
7. 두 가지 다른 학위 기반 - 동일한 지표
8. 가장 간단한 지수 방정식

1. (힘의 산물)

2. (동일한 기초 – 다른 지수)

지수 방정식이란 무엇입니까? 예.

그래서, 지수 방정식... 다양한 방정식에 대한 일반 전시회에서 새롭고 독특한 전시물입니다!) 거의 항상 그렇듯이, 새로운 수학 용어의 핵심 단어는 그것을 특징짓는 해당 형용사입니다. 그래서 여기에 있습니다. "지수 방정식"이라는 용어의 핵심 단어는 다음과 같습니다. "표시". 무슨 뜻이에요? 이 말은 미지의(x)가 위치한다는 뜻이다. 어떤 학위로든.그리고 거기에만! 이것은 매우 중요합니다.

예를 들어, 다음과 같은 간단한 방정식이 있습니다.

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

아니면 심지어 이런 괴물들도 있습니다:

2 사인 x = 0.5

즉시 한 가지 중요한 사항에 주의를 기울이시기 바랍니다. 원인도 (하단) – 숫자만. 하지만 지표도(위) - X를 사용한 다양한 표현입니다. 물론입니다.) 모든 것은 특정 방정식에 따라 다릅니다. 갑자기 x가 표시기(예: 3 x = 18 + x 2) 외에 방정식의 다른 위치에 나타나면 해당 방정식은 이미 방정식이 됩니다. 혼합형. 이러한 방정식에는 이를 해결하기 위한 명확한 규칙이 없습니다. 따라서 이 단원에서는 이에 대해 고려하지 않습니다. 학생들의 기쁨을 위해.) 여기에서는 "순수한" 형태의 지수 방정식만 고려할 것입니다.

일반적으로 말하면, 순수 지수 방정식이 전부는 아니며 항상 그런 것은 아니지만 명확하게 풀 수 있습니다. 그러나 다양한 지수 방정식 중에서 풀 수 있고 풀어야 하는 특정 유형이 있습니다. 우리가 고려할 것은 이러한 유형의 방정식입니다. 그리고 예시도 꼭 풀어보겠습니다.) 그럼 이제 편안히 쉬고 출발하겠습니다! 컴퓨터 슈팅 게임에서와 마찬가지로 우리의 여행은 여러 레벨을 거쳐 진행됩니다.) 초급부터 단순까지, 단순부터 중급까지, 중급부터 복잡한까지. 그 과정에서 비표준 사례를 해결하는 기술과 방법과 같은 비밀 레벨도 여러분을 기다립니다. 대부분의 학교 교과서에서는 읽지 않는 것들... 글쎄요, 물론 마지막에는 숙제의 형태로 최종 보스가 여러분을 기다립니다.)

레벨 0. 가장 간단한 지수 방정식은 무엇입니까? 간단한 지수 방정식을 푼다.

먼저, 솔직한 초보적인 내용을 살펴보겠습니다. 어딘가에서 시작해야 하는 거죠, 그렇죠? 예를 들어 다음 방정식은 다음과 같습니다.

2×=2 2

아무런 이론이 없어도 단순한 논리와 상식 x = 2임은 분명합니다. 다른 방법은 없겠죠? X의 다른 의미는 적합하지 않습니다. 이제 주목해 보겠습니다. 결정의 기록이 멋진 지수 방정식은 다음과 같습니다.

2×=2 2

엑스 = 2

우리에게 무슨 일이 일어났나요? 그리고 다음과 같은 일이 일어났습니다. 우리는 실제로 그것을 가져갔고... 그냥 같은 베이스(2개)를 버렸습니다! 완전히 버려졌습니다. 그리고 좋은 소식은 우리가 목표를 달성했다는 것입니다!

예, 그렇습니다. 지수 방정식에 왼쪽과 오른쪽이 있다면 똑같다어떤 거듭제곱이든 숫자를 사용하면 이 숫자를 버리고 간단히 지수를 동일시할 수 있습니다. 수학에서는 허용됩니다.) 그런 다음 지표를 별도로 사용하여 훨씬 간단한 방정식을 풀 수 있습니다. 좋아요, 그렇죠?

다음은 모든(예, 정확히 무엇이든!) 지수 방정식을 풀기 위한 핵심 아이디어입니다. 사용하여 정체성 변화방정식의 왼쪽과 오른쪽이 일치하는지 확인해야 합니다. 똑같다 다양한 힘의 기본 숫자. 그런 다음 동일한 밑수를 안전하게 제거하고 지수를 동일시할 수 있습니다. 그리고 더 간단한 방정식으로 작업하십시오.

이제 철칙을 기억해 봅시다. 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 있는 숫자에 염기 번호가 있는 경우에만 동일한 염기를 제거하는 것이 가능합니다. 자랑스러운 외로움 속에서.

화려한 고립 속에서, 그것은 무엇을 의미하는가? 이는 이웃과 계수가 없음을 의미합니다. 설명하겠습니다.

예를 들어, Eq.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

3개는 제거할 수 없습니다! 왜? 왜냐하면 왼쪽에는 어느 정도 외로운 3명이 있는 것이 아니라 일하다 3·3x-5 . 추가 3개는 간섭합니다. 계수는 이해합니다.)

방정식에 대해서도 마찬가지입니다.

5 3 x = 5 2 x +5 x

여기에서도 모든 기본은 동일합니다. 5입니다. 하지만 오른쪽에는 5의 단일 거듭제곱이 없습니다. 거듭제곱의 합이 있습니다!

간단히 말해서, 우리는 지수 방정식이 다음과 같을 때만 동일한 밑을 제거할 권리가 있습니다.

ㅏ에프 (엑스) = g (엑스)

이러한 유형의 지수 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 가장 단순한. 아니면 과학적으로, 표준적인 . 그리고 우리 앞에 어떤 복잡한 방정식이 있더라도 우리는 어떤 식으로든 그것을 가장 간단한(정규) 형식으로 축소할 것입니다. 또는 어떤 경우에는 전체이런 유형의 방정식. 그러면 가장 간단한 방정식을 다음과 같은 일반 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

F(x) = g(x)

그게 다야. 이는 동등한 변환이 됩니다. 이 경우 f(x)와 g(x)는 x가 있는 모든 표현식이 될 수 있습니다. 무엇이든.

아마도 특히 호기심이 많은 학생은 궁금해할 것입니다. 왜 우리는 왜 그렇게 쉽고 간단하게 왼쪽과 오른쪽의 동일한 밑수를 버리고 지수를 동일시합니까? 직관은 직관이지만 어떤 방정식에서 어떤 이유로 이 접근 방식이 잘못된 것으로 판명되면 어떻게 될까요? 동일한 근거를 버리는 것이 항상 합법적입니까?불행하게도 이에 대한 엄격한 수학적 답변은 관심 물어보세요당신은 아주 깊고 진지하게 다이빙해야합니다 일반 이론장치 및 기능 동작. 그리고 좀 더 구체적으로 - 현상에서 엄격한 단조로움.특히 엄격한 단조로움 지수 함수와이= 엑스. 지수 방정식의 해법의 기초가 되는 것은 지수 함수와 그 속성이기 때문에 그렇습니다.) 이 질문에 대한 자세한 답변은 다양한 함수의 단조성을 사용하여 복잡한 비표준 방정식을 푸는 데 전념하는 별도의 특별 강의에서 제공됩니다.)

지금 이 점을 자세히 설명하는 것은 무미건조하고 무거운 이론으로 일반 학생의 마음을 놀라게 하고 미리 겁을 줄 뿐입니다. 안 할게요.) 왜냐하면 우리의 주요 이 순간일 - 지수방정식 푸는 법을 배워보세요!가장 간단한 것! 그러니 아직은 걱정하지 말고 같은 이유를 과감히 버리자. 이것 할 수 있다, 제 말을 믿으세요!) 그런 다음 등가 방정식 f(x) = g(x)를 풉니다. 일반적으로 원래 지수보다 간단합니다.

물론 사람들은 지수에 x가 없는 방정식과 방정식을 푸는 방법을 이미 알고 있다고 가정합니다.) 여전히 방법을 모르는 분들은 이 페이지를 닫고 관련 링크를 따라가서 내용을 채우시기 바랍니다. 오래된 공백. 안 그러면 힘들어지겠죠...

나는 기초를 제거하는 과정에서 나타날 수 있는 비합리적, 삼각법 및 기타 잔인한 방정식에 대해 말하는 것이 아닙니다. 하지만 놀라지 마십시오. 지금은 정도에 따른 노골적인 잔인성을 고려하지 않습니다. 아직은 너무 이르습니다. 우리는 가장 간단한 방정식에 대해서만 훈련할 것입니다.)

이제 가장 간단한 것으로 줄이기 위해 추가적인 노력이 필요한 방정식을 살펴보겠습니다. 구별을 위해 이렇게 부르자. 단순 지수 방정식. 그럼 다음 레벨로 넘어가 볼까요!

레벨 1. 간단한 지수 방정식. 정도를 알아보자! 자연 지표.

지수 방정식을 풀 때 중요한 규칙은 다음과 같습니다. 학위를 다루는 규칙. 이러한 지식과 기술이 없으면 아무것도 작동하지 않습니다. 아아. 따라서 학위에 문제가 있으면 먼저 환영합니다. 또한 . 이러한 변환(두 개!)은 일반적으로 모든 수학 방정식을 풀기 위한 기초입니다. 그리고 실증적인 것뿐만이 아닙니다. 그러니 잊어버리신 분들은 링크도 살펴보세요. 그냥 거기에 올려놓은 게 아닙니다.

그러나 권력을 이용한 작전과 정체성 변화만으로는 충분하지 않습니다. 개인적인 관찰과 독창성도 필요합니다. 우리에게도 같은 이유가 필요하지 않습니까? 그래서 우리는 예시를 검토하고 명시적이거나 위장된 형태로 그것들을 찾아봅니다!

예를 들어 다음 방정식은 다음과 같습니다.

3 2 x – 27 x +2 = 0

먼저 살펴보세요 근거. 그들은 다르다! 3시 27분. 그러나 당황하고 절망하기에는 아직 이르다. 그걸 기억할 시간이야

27 = 3 3

3번과 27번은 친척 관계입니다! 그리고 가까운 것.) 따라서 우리는 다음과 같이 쓸 권리가 있습니다.

27 x +2 = (3 3) x+2

이제 우리가 알고 있는 지식을 연결해 보겠습니다. 정도에 따른 행동(그리고 나는 당신에게 경고했습니다!). 매우 유용한 공식이 있습니다:

(am)n = amn

이제 실행해 보면 아주 훌륭하게 작동합니다.

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

이제 원래 예는 다음과 같습니다.

3 2 x - 3 3(x +2) = 0

좋아요, 학위의 기초가 평준화되었습니다. 그것이 우리가 원했던 것입니다. 전투의 절반이 완료되었습니다.) 이제 기본 신원 변환을 시작합니다. 3 3(x +2)를 오른쪽으로 이동합니다. 누구도 수학의 기본 연산을 취소하지 않았습니다. 그렇습니다.) 우리는 다음을 얻습니다.

3 2 x = 3 3(x +2)

이러한 유형의 방정식은 우리에게 무엇을 제공합니까? 그리고 이제 우리의 방정식이 축소되었다는 사실 정식 형식으로: 왼쪽과 오른쪽의 거듭제곱은 같은 숫자(3)입니다. 더욱이 세 사람 모두 훌륭한 고립 상태에 있습니다. 트리플을 자유롭게 제거하고 다음을 얻으십시오.

2x = 3(x+2)

우리는 이것을 해결하고 다음을 얻습니다:

X = -6

그게 다야. 이것이 정답입니다.)

이제 해결책을 생각해 봅시다. 이 예에서 우리를 구한 것은 무엇입니까? 세 가지 힘에 대한 지식이 우리를 구했습니다. 정확히 어떻게요? 우리 확인됨숫자 27에는 암호화된 3개가 포함되어 있습니다! 이 트릭(다른 숫자로 동일한 베이스를 인코딩)은 지수 방정식에서 가장 인기 있는 방법 중 하나입니다! 가장 인기 있는 것이 아니라면 말이죠. 예, 그런데 마찬가지입니다. 이것이 바로 관찰과 숫자에서 다른 숫자의 거듭제곱을 인식하는 능력이 지수 방정식에서 매우 중요한 이유입니다!

실용적인 조언:

인기있는 숫자의 힘을 알아야 합니다. 얼굴에!

물론 누구나 2의 7승, 3의 5승을 올릴 수 있습니다. 내 마음 속에는 아니지만 적어도 초안에는 있습니다. 그러나 지수 방정식에서는 128 또는 243과 같이 숫자 뒤에 숨겨진 숫자와 거듭제곱을 알아내는 것이 훨씬 더 자주 필요합니다. 그리고 이것은 단순한 올리기보다 더 복잡합니다. 당신도 동의할 것이다. 그들이 말하는 것처럼 차이를 느껴보세요!

직접 학위를 인정하는 능력은 이 레벨뿐만 아니라 다음 레벨에서도 유용할 것이므로, 여기 여러분을 위한 작은 작업이 있습니다:

어떤 거듭제곱과 숫자가 무엇인지 결정합니다.

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

답변(물론 무작위로):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

예 예! 과제보다 답이 더 많다고 놀라지 마세요. 예를 들어 2 8, 4 4 및 16 2는 모두 256입니다.

레벨 2. 단순 지수 방정식. 정도를 알아보자! 음수 및 분수 표시기.

이 수준에서 우리는 이미 학위에 대한 지식을 최대한 활용하고 있습니다. 즉, 우리는 이 매혹적인 과정에 음수 및 분수 지표를 포함합니다! 예 예! 우리 힘을 키워야지, 그렇지?

예를 들어, 다음과 같은 끔찍한 방정식이 있습니다.

다시 말하지만, 첫 눈에는 기초가 보입니다. 이유는 다릅니다! 그리고 이번에는 서로 전혀 유사하지도 않습니다! 5와 0.04... 그리고 베이스를 제거하려면 동일한 베이스가 필요합니다... 어떻게 해야 할까요?

괜찮아요! 사실 모든 것이 동일합니다. 단지 5와 0.04 사이의 연결이 시각적으로 잘 보이지 않는다는 것뿐입니다. 어떻게 나갈 수 있나요? 일반 분수로 숫자 0.04로 넘어가겠습니다! 그러면 모든 것이 잘 될 것입니다.)

0,04 = 4/100 = 1/25

우와! 0.04는 1/25인 것으로 밝혀졌습니다! 글쎄, 누가 생각이나 했겠어!)

그래서 방법? 이제 숫자 5와 1/25 사이의 연관성을 더 쉽게 알 수 있나요? 그게 다야 ...

그리고 이제 학위에 따른 행동 규칙에 따라 부정적인 지표안정적으로 쓸 수 있습니다.

그거 좋네. 그래서 우리는 같은 기초에 도달했습니다 - 5. 이제 방정식의 불편한 숫자 0.04를 5 -2로 바꾸고 다음을 얻습니다.

다시, 학위 연산 규칙에 따라 이제 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

만일을 대비해 학위 처리에 대한 기본 규칙이 다음과 같은 경우에 유효하다는 점을 (아무도 모르는 경우) 상기시켜드립니다. 어느지표! 부정적인 것을 포함합니다.) 따라서 적절한 규칙에 따라 표시기 (-2)와 (x-1)을 자유롭게 취하고 곱하십시오. 우리의 방정식은 점점 더 좋아지고 있습니다.

모두! 외로운 파이브 외에 좌우 세력에는 다른 것이 없습니다. 방정식은 표준 형식으로 축소됩니다. 그런 다음 - 널링 트랙을 따라. 5를 제거하고 지표를 동일시합니다.

엑스 2 –6 엑스+5=-2(엑스-1)

예제가 거의 해결되었습니다. 남은 것은 초등학교 중학교 수학뿐입니다. 괄호를 (올바르게!) 열고 왼쪽에 있는 모든 것을 수집하세요.

엑스 2 –6 엑스+5 = -2 엑스+2

엑스 2 –4 엑스+3 = 0

우리는 이것을 풀고 두 개의 뿌리를 얻습니다.

엑스 1 = 1; 엑스 2 = 3

그게 다야.)

이제 다시 생각해 봅시다. 이 예에서 우리는 다시 같은 숫자를 다른 각도로 인식해야 했습니다! 즉, 숫자 0.04에서 암호화된 5를 보려면. 그리고 이번에는 마이너스 등급!우리는 이것을 어떻게 했습니까? 즉시 - 절대 안돼요. 그러나 전환 후 소수 0.04를 공분수 1/25로 나누면 끝입니다! 그리고 모든 결정은 시계처럼 진행되었습니다.)

따라서 또 다른 친환경적인 실용적인 조언입니다.

지수 방정식에 소수 분수가 포함되어 있으면 소수 분수에서 일반 분수로 이동합니다. 안에 일반 분수많은 인기 숫자의 힘을 인식하는 것이 훨씬 쉽습니다! 인식 후에는 분수에서 음의 지수가 있는 거듭제곱으로 이동합니다.

이 트릭은 지수 방정식에서 매우 자주 발생한다는 점을 명심하세요! 그러나 그 사람은 주제에 있지 않습니다. 예를 들어 그는 숫자 32와 0.125를 보고 화를 냅니다. 그 사람도 모르는 사이에 이것은 하나의 동일한 둘이고 정도만 다를 뿐입니다... 하지만 당신은 이미 알고 있습니다!)

방정식을 푼다:

안에! 조용한 공포처럼 보이지만... 그러나 겉모습은 속이고 있다. 이것은 어려운 일임에도 불구하고 가장 간단한 지수 방정식입니다. 모습. 이제 보여드리겠습니다.)

먼저 밑수와 계수의 모든 숫자를 살펴보겠습니다. 물론 그들은 다릅니다. 그렇습니다. 하지만 우리는 여전히 위험을 감수하고 이를 실현하도록 노력할 것입니다. 동일한! 에 도달하려고 노력하자 다른 힘의 같은 숫자. 또한, 그 수는 가능한 한 작은 것이 바람직하다. 그럼 디코딩을 시작하겠습니다!

음, 4개를 사용하면 모든 것이 즉시 명확해집니다. 2 2입니다. 그러니까 그건 이미 있는 일이군요.)

0.25의 일부로 여전히 불분명합니다. 확인이 필요합니다. 실용적인 조언을 사용합시다 - 소수에서 일반 분수로 이동하십시오:

0,25 = 25/100 = 1/4

이미 훨씬 나아졌습니다. 왜냐하면 이제 1/4이 2 -2라는 것이 명확하게 보이기 때문입니다. 좋습니다. 숫자 0.25도 2와 비슷합니다.)

여태까지는 그런대로 잘됐다. 그러나 최악의 숫자가 남아 있습니다. 2의 제곱근!이 고추는 어떻게 할까요? 2의 거듭제곱으로도 표현될 수 있나요? 그리고 누가 알겠어요...

자, 학위에 관한 지식의 보고로 다시 뛰어들어 봅시다! 이번에는 우리의 지식을 추가로 연결합니다. 뿌리에 대해서. 9학년 과정에서 당신과 나는 원할 경우 어떤 뿌리라도 언제든지 학위로 바뀔 수 있다는 것을 배웠어야 했습니다. 분수 표시기가 있습니다.

이와 같이:

우리의 경우:

우와! 2의 제곱근은 2 1/2이라는 것이 밝혀졌습니다. 그게 다야!

괜찮아! 우리의 불편한 숫자는 모두 실제로 암호화된 2로 밝혀졌습니다.) 어딘가 매우 정교하게 암호화되어 있다고 주장하지 않습니다. 하지만 우리는 이러한 암호를 해결하는 데 있어 전문성도 향상하고 있습니다! 그러면 모든 것이 이미 분명해졌습니다. 방정식에서 숫자 4, 0.25 및 2의 근을 2의 거듭제곱으로 바꿉니다.

모두! 예제의 모든 각도의 기본은 동일해졌습니다. 2개입니다. 이제 각도가 포함된 표준 동작이 사용됩니다.

오전앤 = 오전 + N

a m:an = a m-n

(am)n = amn

왼쪽의 경우 다음을 얻습니다.

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

오른쪽의 경우 다음과 같습니다.

이제 우리의 사악한 방정식은 다음과 같습니다.

이 방정식이 어떻게 생겼는지 정확히 이해하지 못한 사람들을 위해 여기서 질문은 지수 방정식에 관한 것이 아닙니다. 문제는 정도에 따른 행동에 관한 것입니다. 고민이신 분들께 긴급히 복습해 달라고 부탁드렸어요!

여기가 결승선입니다! 지수방정식의 정식 형태를 얻었습니다! 그래서 방법? 모든 것이 그렇게 무섭지 않다고 확신했습니까? ;) 두 개를 제거하고 표시기를 동일시합니다.

해결하는 일만 남았다 일차 방정식. 어떻게? 물론 동일한 변환의 도움으로.) 무슨 일이 일어날지 결정하세요! 양변에 2를 곱하고(분수 3/2를 제거하기 위해) X가 있는 항을 왼쪽으로 이동하고 X가 없는 항을 오른쪽으로 이동하고 비슷한 항을 가져와 세어보세요. 그러면 행복해질 것입니다!

모든 것이 아름답게 나타나야 합니다.

X=4

이제 해결책을 다시 생각해 봅시다. 이 예에서는 제곱근 에게 지수가 1/2인 도. 더욱이, 그러한 교활한 변화만이 우리가 모든 곳에서 동일한 기반(2개)에 도달하는 데 도움이 되어 상황을 구했습니다! 그리고 그렇지 않다면 우리는 영원히 얼어붙을 기회를 갖게 될 것이며 결코 이 예에 대처하지 못할 것입니다. 그렇습니다...

그러므로 우리는 다음과 같은 실용적인 조언을 무시하지 않습니다.

지수 방정식에 근이 포함되어 있으면 근에서 분수 지수가 있는 거듭제곱으로 이동합니다. 이러한 변환만이 추가 상황을 명확하게 하는 경우가 많습니다.

물론, 음수 및 분수 거듭제곱은 훨씬 더 복잡합니다. 자연도. 적어도 시각적 인식, 특히 오른쪽에서 왼쪽으로 인식하는 관점에서!

예를 들어 2의 -3승 또는 4의 -3/2승을 직접적으로 높이는 것은 그리 큰 문제가 아니라는 것이 분명합니다. 아시는 분들을 위해.)

하지만 예를 들어 가서 즉시 깨닫습니다.

0,125 = 2 -3

또는

여기서는 연습과 풍부한 경험만이 지배합니다. 그렇습니다. 그리고 물론, 분명한 생각은, 음수 및 분수 학위는 무엇입니까?그리고 - 실용적인 조언! 응, 응, 그 사람들도 마찬가지야 녹색.) 나는 그들이 다양한 학위 전체를 더 잘 탐색하고 성공 가능성을 크게 높이는 데 여전히 도움이 되기를 바랍니다! 그러니 그들을 무시하지 맙시다. 나는 헛된 것이 아니다 녹색가끔 씁니다.)

그러나 음수와 분수 등의 낯선 힘을 가지고도 서로 알게 된다면 지수 방정식을 푸는 능력이 엄청나게 확장될 것이며 거의 모든 유형의 지수 방정식을 다룰 수 있게 될 것입니다. 글쎄요, 그렇지 않다면 모든 지수 방정식의 80%는 확실합니다! 예, 예, 농담이 아닙니다!

따라서 지수 방정식 소개의 첫 번째 부분은 논리적 결론에 도달했습니다. 그리고 중급 운동으로 저는 전통적으로 약간의 자기 성찰을 제안합니다.)

연습 1.

그래서 부정을 해독하는 것에 대한 나의 말과 분수 거듭제곱헛된 것이 아닙니다. 플레이하는 것이 좋습니다 작은 게임!

숫자를 2의 거듭제곱으로 표현합니다.

답변(혼란):

일어난? 엄청난! 그런 다음 전투 임무를 수행합니다. 가장 간단하고 간단한 지수 방정식을 풀어보세요!

작업 2.

방정식을 풀어보세요(모든 답은 엉망입니다!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

답변:

엑스 = 16

엑스 1 = -1; 엑스 2 = 2

엑스 = 5

일어난? 실제로 훨씬 더 간단합니다!

그런 다음 다음 게임을 해결합니다.

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x ·7 x

답변:

엑스 1 = -2; 엑스 2 = 2

엑스 = 0,5

엑스 1 = 3; 엑스 2 = 5

그리고 이 예들은 하나 남았나요? 엄청난! 당신은 성장하고 있습니다! 다음은 간식으로 즐길 수 있는 몇 가지 예입니다.

답변:

엑스 = 6

엑스 = 13/31

엑스 = -0,75

엑스 1 = 1; 엑스 2 = 8/3

그리고 이게 결정됐나요? 글쎄요, 존경합니다! 모자를 벗습니다.) 그러니 그 교훈은 헛되지 않았고, 첫 번째 수준지수 방정식을 푸는 것은 성공적으로 마스터한 것으로 간주될 수 있습니다. 다음 단계와 더 복잡한 방정식이 앞서 있습니다! 그리고 새로운 기술과 접근 방식. 그리고 비표준적인 예. 그리고 새로운 놀라움도 있습니다.) 이 모든 내용은 다음 강의에서 다루겠습니다!

뭔가 잘못됐나요? 이는 문제가 에 있을 가능성이 가장 높다는 것을 의미합니다. 아니면 . 아니면 동시에 둘 다. 나는 여기서 무력하다. 나는 들어갈 수 있다 다시 한번제가 제안할 수 있는 것은 한 가지뿐입니다. 게으르지 말고 링크를 따라가세요.)

계속됩니다.)

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먼저 권력의 기본 공식과 그 속성을 기억해 봅시다.

숫자의 곱 ㅏ자체적으로 n번 발생하면 이 표현식을 a a … a=an으로 쓸 수 있습니다.

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (an) m = nm

5. a n b n = (ab) n

7. an / a m = an - m

거듭제곱 또는 지수 방정식– 변수가 거듭제곱(또는 지수)이고 밑이 숫자인 방정식입니다.

지수 방정식의 예:

이 예에서는 숫자 6이 밑수이며 항상 아래쪽에 있습니다. 엑스학위 또는 지표.

지수 방정식의 더 많은 예를 들어보겠습니다.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

이제 지수 방정식이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다.

간단한 방정식을 생각해 봅시다:

2 x = 2 3

이 예는 머리 속에서도 풀 수 있습니다. x=3임을 알 수 있다. 결국, 왼쪽과 오른쪽이 같아지려면 x 대신 숫자 3을 넣어야 합니다.
이제 이 결정을 공식화하는 방법을 살펴보겠습니다.

2 x = 2 3
엑스 = 3

그러한 방정식을 풀기 위해 우리는 제거했습니다. 동일한 근거(즉, 2) 남은 것을 적었습니다. 이것이 도입니다. 우리는 우리가 찾고 있던 답을 얻었습니다.

이제 우리의 결정을 요약해 보겠습니다.

지수 방정식을 풀기 위한 알고리즘:
1. 확인해야 할 사항 똑같다방정식의 밑이 오른쪽과 왼쪽에 있는지 여부. 이유가 동일하지 않은 경우 이 예를 해결할 수 있는 옵션을 찾고 있습니다.
2. 베이스가 같아진 후, 같게 하다학위를 취득하고 결과로 나온 새로운 방정식을 푼다.

이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

간단한 것부터 시작해 보겠습니다.

왼쪽과 오른쪽에 있는 베이스는 숫자 2와 같습니다. 이는 베이스를 버리고 그 힘을 동일하게 할 수 있음을 의미합니다.

x+2=4 가장 간단한 방정식이 얻어집니다.
x=4 – 2
x=2
답: x=2

다음 예에서는 밑이 3과 9로 서로 다른 것을 볼 수 있습니다.

3 3x - 9 x+8 = 0

먼저 9를 오른쪽으로 이동하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

이제 동일한 기반을 만들어야 합니다. 우리는 9=3 2라는 것을 알고 있습니다. 거듭제곱 공식(an) m = a nm을 사용해 보겠습니다.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16을 얻습니다.

3 3x = 3 2x+16 이제 왼쪽과 오른쪽의 밑변이 동일하고 3과 같다는 것이 분명합니다. 이는 밑변을 버리고 각도를 동일시할 수 있음을 의미합니다.

3x=2x+16 가장 간단한 방정식을 얻습니다.
3x - 2x=16
x=16
답: x=16.

다음 예를 살펴보겠습니다.

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

먼저, 베이스 2번과 4번 베이스를 살펴보겠습니다. 그리고 우리는 그것들이 동일해야 합니다. 우리는 공식 (an) m = a nm을 사용하여 4개를 변환합니다.

4 x = (2 2) x = 2 2x

그리고 우리는 또한 하나의 공식 a n a m = a n + m을 사용합니다:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

방정식에 추가:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 하지만 다른 숫자 10과 24는 우리를 어떻게 해야 할까요? 자세히 살펴보면 왼쪽에 2 2x가 반복되어 있음을 알 수 있습니다. 답은 다음과 같습니다. 괄호 안에 2 2x를 넣을 수 있습니다.

2 2x (2 4 - 10) = 24

괄호 안의 표현식을 계산해 보겠습니다.

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

전체 방정식을 6으로 나눕니다.

4=2 2를 상상해 봅시다:

2 2x = 2 2 염기는 동일하므로 이를 버리고 각도를 동일시합니다.
2x = 2는 가장 간단한 방정식입니다. 2로 나누면 이렇게 됩니다.
엑스 = 1
답: x = 1.

방정식을 풀어 봅시다:

9 x – 12*3 x +27= 0

변환해보자:
9 x = (3 2) x = 3 2x

우리는 방정식을 얻습니다.
3 2x - 12 3 x +27 = 0

우리의 밑수는 동일하며 3과 같습니다. 이 예에서 처음 3개는 두 번째(단지 x)보다 두 배(2x)의 차수를 가짐을 알 수 있습니다. 이런 경우에는 해결할 수 있습니다. 교체 방법. 숫자를 가장 작은 각도로 바꿉니다.

그러면 3 2x = (3 x) 2 = t 2

방정식의 모든 x 거듭제곱을 t로 바꿉니다.

티 2 - 12티+27 = 0
우리는 얻는다 이차 방정식. 판별식을 통해 풀면 다음을 얻습니다.
D=144-108=36
티 1 = 9
t2 = 3

변수로 돌아가기 엑스.

t 1을 취하십시오:
티 1 = 9 = 3 x

그건,

3×=9
3×=3 2
x 1 = 2

루트가 하나 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다:
티 2 = 3 = 3 x
3×=3 1
x 2 = 1
답: x 1 = 2; x 2 = 1.

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