입구삼각형은 이등변 부등변형이거나 등변형입니다. 삼각형. 전체 강의 – 지식 하이퍼마켓
삼각형은 변이 3개(또는 각이 3개) 있는 다각형입니다. 삼각형의 변은 종종 반대 꼭지점을 나타내는 큰 글자에 해당하는 작은 글자로 표시됩니다.
예각삼각형세 각이 모두 예각인 삼각형을 삼각형이라고 한다.
둔각삼각형각 중 하나가 둔각인 삼각형을 삼각형이라고 합니다.
정삼각형각 중 하나가 직각, 즉 90°인 삼각형을 삼각형이라고 합니다. 직각을 이루는 변 a, b를 변이라고 합니다. 다리; 직각 반대편의 변 c를 호출합니다. 빗변.
이등변 삼각형두 변이 같은 삼각형(a = c)이라고 합니다. 이 같은 변을이라고합니다. 옆쪽, 제3자가 호출됩니다. 삼각형의 기초.
정삼각형모든 변이 동일한 삼각형(a = b = c)을 삼각형이라고 합니다. 이 경우 삼각형에서는 변(abc) 중 어느 것도 동일하지 않습니다. 정삼각형.
삼각형의 주요 특징
임의의 삼각형에서:
삼각형의 평등의 징후
삼각형은 합동이며, 이 경우 그들은 각각 동일합니다:
직각 삼각형의 평등 신호
두 직각삼각형은 동일하며, 이 경우 다음 기준 중 하나가 수행됩니다.
키삼각형는 임의의 꼭지점에서 수직으로 떨어뜨려진 수직선입니다. 반대쪽(또는 계속). 이 쪽을 이라고 합니다 삼각형의 기초. 삼각형의 세 고도는 항상 한 지점에서 교차합니다. 삼각형의 직교 중심.
예각삼각형의 수심은 삼각형의 내부에 위치하고 둔각삼각형의 수심은 외부에 위치합니다. 직각삼각형의 수심은 꼭지점과 일치한다 직각.
중앙값- 삼각형의 각 꼭지점과 반대변의 중앙을 연결하는 선분입니다. 삼각형의 세 중선은 한 점에서 교차하며, 이 점은 항상 삼각형 내부에 위치하며 질량 중심입니다. 이 점은 정점부터 계산하여 각 중앙값을 2:1의 비율로 나눕니다.
이등분- 이것은 꼭지점에서 교차점까지의 각도 이등분선의 세그먼트입니다. 반대쪽. 삼각형의 세 이등분선은 한 점에서 교차하며, 이 점은 항상 삼각형 내부에 있고 내접원의 중심입니다. 이등분선은 뒷면을 인접 변에 비례하는 부분으로 나눕니다.
중앙값 수직는 수직선이다 중간점세그먼트(측면). 삼각형의 중앙수직 세 개가 외접원의 중심인 한 점에서 교차합니다.
안에 예각삼각형이 점은 삼각형 내부, 둔각 삼각형 - 외부, 직사각형 삼각형 - 빗변 중앙에 있습니다. 수심, 질량 중심, 외접원 중심 및 내접원 중심은 정삼각형에서 독점적으로 일치합니다.
피타고라스 공리
안에 정삼각형빗변 길이의 제곱은 다리 길이의 제곱의 합과 같습니다.
피타고라스 공리의 확인
빗변 AB를 변으로 사용하여 정사각형 AKMB를 만들어 봅시다. 그런 다음 직각 삼각형 ABC의 변을 계속해서 변이 a + b와 같은 정사각형 CDEF를 얻습니다. 이제 정사각형 CDEF의 면적은 (a + b) 2와 같다는 것이 분명합니다. 반면에 이 면적은 네 개의 직각 삼각형과 정사각형 AKMB의 면적의 합과 같습니다. 단어,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
그리고 우리는:
c 2 = a 2 + b 2 .
무작위 삼각형의 종횡비
일반적인 경우(임의의 삼각형의 경우)에는 다음이 있습니다.
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
여기서 C는 변 a와 b 사이의 각도입니다.
추가로 사이트에서:
기하학 과학은 삼각형, 정사각형, 정육면체가 무엇인지 알려줍니다. 안에 현대 세계예외없이 모든 사람이 학교에서 공부합니다. 또한 삼각형이 무엇이고 어떤 성질을 가지고 있는지 직접적으로 연구하는 과학이 바로 삼각법이다. 그녀는 데이터와 관련된 모든 현상을 자세히 탐구합니다. 오늘 우리 기사에서는 삼각형이 무엇인지 이야기하겠습니다. 그 유형은 아래에 설명되어 있으며, 이와 관련된 몇 가지 정리도 있습니다.
삼각형이란 무엇입니까? 정의
이것은 평평한 다각형입니다. 이름에서 알 수 있듯이 세 개의 모서리가 있습니다. 또한 3개의 변과 3개의 정점이 있으며, 첫 번째는 세그먼트이고 두 번째는 점입니다. 두 각도가 무엇인지 알면 숫자 180에서 처음 두 각도의 합을 빼서 세 번째 각도를 찾을 수 있습니다.
삼각형에는 어떤 종류가 있나요?
다양한 기준에 따라 분류될 수 있습니다.
먼저 예각형, 둔각형, 직사각형형으로 나누어진다. 전자는 예각, 즉 90도보다 작은 각도를 갖습니다. 둔각에서는 각도 중 하나가 둔각입니다. 즉, 하나는 90도 이상이고 나머지 두 개는 예각입니다. 예각삼각형에는 정삼각형도 포함됩니다. 이러한 삼각형은 모든 변과 각이 동일합니다. 그들은 모두 60도와 같습니다. 이는 모든 각도의 합(180)을 3으로 나누면 쉽게 계산할 수 있습니다.
정삼각형
직각삼각형이 무엇인지 이야기하지 않는 것은 불가능합니다.
이러한 그림은 한 각도가 90도(직선)와 같습니다. 즉, 두 변이 수직입니다. 나머지 두 각도는 예각입니다. 그것들은 같을 수 있고, 그러면 이등변이 될 것입니다. 피타고라스의 정리는 직각삼각형과 관련이 있습니다. 이를 사용하면 처음 두 가지를 알고 세 번째 측면을 찾을 수 있습니다. 이 정리에 따르면 한쪽 다리의 제곱과 다른 쪽 다리의 제곱을 더하면 빗변의 제곱을 얻을 수 있습니다. 다리의 제곱은 빗변의 제곱에서 알려진 다리의 제곱을 빼서 계산할 수 있습니다. 삼각형이 무엇인지 말하면서 이등변삼각형도 떠올릴 수 있습니다. 이것은 두 변의 크기가 같고 두 각도도 같은 경우입니다.
다리와 빗변이란 무엇입니까?
다리는 90도 각도를 이루는 삼각형의 변 중 하나입니다. 빗변은 직각 반대쪽에 있는 나머지 변입니다. 그것에서 다리 위로 수직을 낮출 수 있습니다. 태도 인접한 다리빗변을 코사인이라고 하고 그 반대를 사인이라고 합니다.
- 그 특징은 무엇입니까?
직사각형이에요. 다리는 3개와 4개이고, 빗변은 5개이다. 주어진 삼각형의 다리가 3과 4인 것을 보면 빗변은 5와 같을 것이라고 확신할 수 있습니다. 또한 이 원리를 사용하면 두 번째가 4이고 빗변이 5이면 다리가 3과 같다는 것을 쉽게 결정할 수 있습니다. 이 진술을 증명하기 위해 피타고라스의 정리를 적용할 수 있습니다. 두 다리가 3과 4이면 9 + 16 = 25, 25의 근은 5, 즉 빗변은 5입니다. 이집트 삼각형은 또한 변이 6, 8인 직각삼각형입니다. 그리고 10; 9, 12, 15 및 기타 숫자는 3:4:5 비율입니다.
삼각형이 또 무엇이 될 수 있을까요?
삼각형은 내접하거나 외접할 수도 있습니다. 원이 설명되는 그림을 내접이라고 합니다. 모든 정점은 원 위에 있는 점입니다. 외접삼각형은 원이 내접된 삼각형이다. 모든 측면이 특정 지점에서 접촉됩니다.
위치는 어떻게 되나요?
모든 그림의 면적은 제곱 단위(제곱미터, 제곱밀리미터, 제곱센티미터, 제곱데시미터 등)로 측정됩니다. 이 값은 삼각형의 유형에 따라 다양한 방법으로 계산할 수 있습니다. 각도가 있는 도형의 면적은 그 변에 반대쪽 모서리에서 떨어뜨린 수직선을 곱하고 이 도형을 2로 나누어 구할 수 있습니다. 두 변을 곱하여 이 값을 찾을 수도 있습니다. 그런 다음 이 숫자에 이 변 사이에 위치한 각도의 사인을 곱하고 이 결과를 2로 나눕니다. 삼각형의 모든 변을 알지만 각도를 모르면 다른 방법으로 넓이를 찾을 수 있습니다. 이렇게하려면 둘레의 절반을 찾아야합니다. 그런 다음 이 숫자에서 서로 다른 변을 교대로 빼고 결과 4개의 값을 곱합니다. 다음으로 나온 번호에서 찾아보세요. 내접 삼각형의 면적은 모든 변을 곱하고 결과 숫자를 그 주위에 외접하는 숫자로 나누고 4를 곱하여 구할 수 있습니다.
외접 삼각형의 면적은 다음과 같이 구합니다. 둘레의 절반에 그 안에 새겨진 원의 반지름을 곱합니다. 그렇다면 그 면적은 다음과 같이 구할 수 있습니다. 변을 제곱하고 결과 숫자에 3의 루트를 곱한 다음 이 숫자를 4로 나눕니다. 비슷한 방법으로 모든 변이 동일한 삼각형의 높이를 계산할 수 있습니다. 이렇게 하려면 그 중 하나에 3의 루트를 곱한 다음 이 숫자를 2로 나누어야 합니다.
삼각형과 관련된 정리
이 그림과 관련된 주요 정리는 위에서 설명한 피타고라스 정리와 코사인입니다. 두 번째 (사인)는 임의의 변을 반대 각도의 사인으로 나누면 그 주위에 설명된 원의 반지름에 2를 곱한 값을 얻을 수 있다는 것입니다. 세 번째(코사인)는 두 변의 제곱의 합에서 곱을 빼고 두 변 사이에 있는 각도의 코사인을 곱하면 세 번째 변의 제곱을 얻는다는 것입니다.
달리 트라이앵글 - 그게 뭐죠?
많은 사람들이 이 개념에 직면했을 때 처음에는 이것이 일종의 기하학 정의라고 생각하지만 전혀 그렇지 않습니다. 달리의 삼각형은 일반 이름유명한 예술가의 삶과 밀접하게 연결된 세 곳. 그 "봉우리"는 살바도르 달리가 살았던 집, 그가 아내에게 준 성, 초현실주의 그림 박물관입니다. 이 장소들을 둘러보는 동안 많은 것을 배울 수 있습니다. 흥미로운 사실전 세계적으로 알려진 이 독특하고 창의적인 예술가에 대해 알아보세요.
삼각형 3개의 변(또는 3개의 각)을 가진 다각형입니다. 삼각형의 변은 종종 소문자(a, b, c)로 지정됩니다. 대문자, 반대 정점(A, B, C)을 나타냅니다.
삼각형의 세 각이 모두 예각이면 예각삼각형.
삼각형의 각 중 하나가 맞으면 정삼각형. 직각을 이루고 있는 변을 변이라고 합니다. 다리. 직각의 반대쪽을 이라고 합니다 빗변.
삼각형의 각 중 하나가 둔각이면 둔각삼각형.
이등변 삼각형, 양측이 동일한 경우; 이 동일한 변을 측면이라고 하고 세 번째 변을 삼각형의 밑변이라고 합니다.
정삼각형, 모든 변이 동일한 경우.
삼각형의 기본 속성
임의의 삼각형에서:
1. 큰 쪽의 반대쪽에는 더 큰 각도가 있고 그 반대도 마찬가지입니다.
2. 같은 각도는 같은 변의 반대편에 있고, 그 반대도 마찬가지입니다.
특히 정삼각형의 모든 각도는 동일합니다.
3. 삼각형 내각의 합은 180°입니다.
마지막 두 속성으로부터 정변의 모든 각도는 다음과 같습니다.
삼각형은 60°입니다.
4. 삼각형의 변 중 하나를 계속해서 바깥 쪽을 얻습니다.
모서리. 삼각형의 외부 각도는 내부 각도의 합과 같습니다.
인접하지 않습니다.
5. 삼각형의 한 변은 다른 두 변의 합보다 작으며 더 큽니다.
그들의 차이점.
삼각형의 평등 신호.
삼각형은 각각 같으면 합동입니다.
A) 두 변과 그 사이의 각도
b) 두 개의 모서리와 이에 인접한 측면;
c) 세면.
직각 삼각형의 평등 신호.
다음 조건 중 하나가 참이면 두 직각삼각형은 합동입니다.
1) 다리가 동일합니다.
2) 한 삼각형의 다리와 빗변은 다른 삼각형의 다리와 빗변과 같습니다.
3) 한 삼각형의 빗변과 예각은 다른 삼각형의 빗변과 예각과 같습니다.
4) 한 삼각형의 다리와 인접한 예각은 다른 삼각형의 다리와 인접한 예각과 같습니다.
5) 한 삼각형의 다리와 반대쪽 예각은 다른 삼각형의 다리 및 반대쪽 예각과 같습니다.
삼각형 높이는 임의의 꼭지점에서 반대편(또는 그 연속)으로 떨어지는 수직선입니다. 이 변을 삼각형의 밑변이라고 합니다. 삼각형의 세 고도는 항상 한 지점에서 교차합니다. 삼각형의 직교 중심. 예각삼각형의 수심은 삼각형의 내부에 있고, 둔각삼각형의 수심은 외부에 있습니다. 직각 삼각형의 수심은 직각의 꼭지점과 일치합니다.
중앙값삼각형의 꼭지점과 반대쪽 변의 중앙을 연결하는 선분입니다. 삼각형의 세 중선은 한 점에서 교차하며, 이 점은 항상 삼각형 내부에 있으며 그 점은 무게중심. 이 점은 정점부터 계산하여 각 중앙값을 2:1의 비율로 나눕니다.
이등변삼각형의 중앙값의 속성입니다.이등변삼각형에서 밑변에 그려진 중앙값은 이등분선과 고도입니다.
이등분- 이것은 꼭지점에서 반대편과의 교차점까지의 각도의 이등분선입니다. 삼각형의 세 이등분선은 한 점에서 교차하며, 이 점은 항상 삼각형 내부에 있고 내접원의 중심. 이등분선은 반대쪽을 인접한 변에 비례하는 부분으로 나눕니다.
중앙값 수직세그먼트(측면)의 중간점에서 그린 수직입니다. 삼각형의 세 개의 수직 중선은 한 점에서 교차합니다. 외접원의 중심.예각 삼각형에서 이 점은 삼각형 내부에 있습니다. 둔각으로 - 외부; 직사각형의 - 빗변의 중간에. 수심, 무게중심, 외심, 내접원은 정삼각형에서만 일치합니다.
삼각형의 중간선두 변의 중간점을 연결하는 부분입니다.
삼각형의 정중선의 성질. 주어진 두 변의 중점을 연결하는 삼각형의 중심선은 세 번째 변과 평행하고 그 절반과 같습니다.
피타고라스의 정리.직각 삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다리 길이의 제곱의 합과 같습니다. c 2 = a 2 + b 2 .
피타고라스 정리의 증명너는 볼 수있어 여기.
사인의 정리. 삼각형의 변은 반대 각도의 사인에 비례합니다 .
코사인 정리.삼각형의 한 변의 제곱은 두 변 사이의 각도의 코사인 곱의 두 배를 제외하고 다른 두 변의 제곱의 합과 같습니다. .
사인 정리와 코사인 정리의 증명너는 볼 수있어 여기.
삼각형의 각도의 합에 관한 정리.삼각형의 내각의 합은 180°입니다.
삼각형 외부 각도 정리. 삼각형의 외각은 인접하지 않은 두 내각의 합과 같습니다.
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기본 속성이 연구되었지만 때로는 이 주제에 대한 지식이 불완전합니다. 삼각형의 유형에 따라 처음에 해당 속성이 결정됩니다. 그러나 이 견해는 여전히 혼합되어 있다. 그러므로 이제 이 주제에 대해 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.
삼각형의 유형은 각도의 각도 측정에 따라 다릅니다. 이 수치는 예각, 직사각형 및 둔각입니다. 모든 각도가 90도를 초과하지 않으면 그림을 예각이라고 안전하게 부를 수 있습니다. 삼각형의 한 각도 이상이 90도라면 직사각형 아종을 다루는 것입니다. 따라서 다른 모든 경우에는 고려 중인 각도를 둔각이라고 합니다. 예각 하위 유형에는 많은 문제가 있습니다.이등분선, 중앙값 및 고도의 교차점의 내부 위치입니다. 다른 경우에는 이 조건이 충족되지 않을 수 있습니다. 삼각형 도형의 유형을 결정하는 것은 어렵지 않습니다. 예를 들어 각 각도의 코사인을 아는 것만으로도 충분합니다. 값이 0보다 작으면 삼각형은 어떤 경우에도 둔감합니다. 영점 표시기의 경우 그림의 각도가 직각입니다. 모두 양수 값각도 보기를 보고 있음을 알려줍니다.
정삼각형을 언급하지 않을 수 없습니다. 중앙값, 이등분선, 높이의 모든 교차점이 일치하는 가장 이상적인 관점입니다. 내접원과 외접원의 중심도 같은 위치에 있습니다. 문제를 해결하려면 각도가 처음에 주어지고 나머지 두 측면이 알려져 있기 때문에 한쪽만 알아야 합니다. 즉, 그림은 하나의 매개변수로만 지정됩니다. 그들은 존재한다 주요 특징- 밑면의 두 변과 각도가 동일합니다.
때때로 주어진 변을 가진 삼각형이 존재하는지에 대한 의문이 제기됩니다. 실제로 당신은 그것이 적합한지 묻습니다. 이 설명주요 유형 아래. 예를 들어, 두 변의 합이 세 번째 변보다 작으면 실제로 그러한 수치는 전혀 존재하지 않습니다. 작업에서 변의 길이가 3,5,9인 삼각형 각도의 코사인을 구하라는 메시지가 표시되면 복잡한 수학적 기술 없이도 명백한 내용을 설명할 수 있습니다. A 지점에서 B 지점으로 이동한다고 가정해 보겠습니다. 직선 거리는 9km입니다. 그러나 상점의 C 지점으로 가야 한다는 것을 기억했습니다. A에서 C까지의 거리는 3km, C에서 B까지의 거리는 5km입니다. 따라서 매장을 이동할 때 걷는 시간은 1km 줄어드는 것으로 나타났습니다. 하지만 C 지점은 직선 AB에 위치하지 않기 때문에 추가 거리를 걸어야 합니다. 여기에는 모순이 있습니다. 물론, 조건부 설명. 수학은 모든 유형의 삼각형이 기본 항등식을 따른다는 것을 증명하는 여러 가지 방법을 알고 있습니다. 두 변의 합을 말한다. 더 길게제삼.
모든 유형에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
1) 모든 각의 합은 180도입니다.
2) 세 높이가 모두 교차하는 지점인 직교 중심이 항상 존재합니다.
3) 내각의 꼭지점에서 그린 세 개의 중앙값은 모두 한 곳에서 교차합니다.
4) 어떤 삼각형 주위에도 원을 그릴 수 있습니다. 접촉점이 3개만 있고 바깥쪽을 넘어 확장되지 않도록 원을 내접할 수도 있습니다.
이제 당신은 그들이 가지고 있는 주요 속성에 대해 잘 알고 있습니다. 다른 종류삼각형. 앞으로는 문제를 해결할 때 무엇을 다루고 있는지 이해하는 것이 중요합니다.