단순 적분 계산. 부정 적분 찾기: 시작, 해법의 예. 부정 적분 풀기

수학이라는 과학에서 적분을 푸는 과정을 통합이라고 합니다. 적분을 사용하면 면적, 부피, 신체 질량 등 몇 가지 물리량을 찾을 수 있습니다.

적분은 무한적이거나 정적일 수 있습니다. 정적분의 형태를 고려하고 그 물리적 의미를 이해해 봅시다. $$ \int ^a _b f(x) dx $$ 형식으로 표시됩니다. 부정적분에서 정적분을 작성하는 독특한 특징은 적분 a와 b의 한계가 있다는 것입니다. 이제 우리는 이것이 왜 필요한지, 그리고 정적분이 실제로 무엇을 의미하는지 알아 보겠습니다. 기하학적 의미에서 이러한 적분은 곡선 f(x), 선 a 및 b, Ox 축으로 둘러싸인 그림의 면적과 같습니다.

그림 1에서 정적분은 회색으로 표시된 영역과 동일하다는 것이 분명합니다. 간단한 예를 통해 이를 확인해 보겠습니다. 적분법을 이용하여 아래 이미지에서 그림의 넓이를 구한 후, 길이에 너비를 곱하는 일반적인 방법으로 계산해 보겠습니다.

그림 2에서 $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $라는 것이 분명합니다. 이제 이를 적분의 정의로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ 일반적인 방법으로 검사해 보겠습니다. 우리의 경우 길이 = 3, 그림의 너비 = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ 원하는 대로 보세요, 모든 것이 완벽하게 맞습니다.

문제가 발생합니다: 부정 적분을 푸는 방법과 그 의미는 무엇입니까? 이러한 적분을 푸는 것은 역도함수를 찾는 것입니다. 이 과정은 도함수를 찾는 것과 반대입니다. 역도함수를 찾으려면 수학 문제를 해결하는 데 도움을 주거나 적분의 속성과 가장 간단한 기본 함수의 적분표를 독립적으로 암기해야 합니다. $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(여기서) F(x) $는 $ f(x), C = const $의 역도함수입니다.

적분을 풀려면 변수에 대해 $ f(x) $ 함수를 적분해야 합니다. 함수가 표 형식인 경우 답변은 적절한 형식으로 작성됩니다. 그렇지 않은 경우, 프로세스는 까다로운 수학적 변환을 통해 $ f(x) $ 함수에서 표 형식 함수를 얻는 것으로 귀결됩니다. 이에 대한 다양한 방법과 속성이 있으며 이에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다.

그럼 이제 인형의 적분을 풀기 위한 알고리즘을 만들어 볼까요?

적분 계산 알고리즘

1. 정적분인지 아닌지 알아봅시다.
2. 정의되지 않은 경우 함수 $ f(x) $의 표 형식으로 이어지는 수학적 변환을 사용하여 피적분 함수 $ f(x) $의 역도함수 $ F(x) $를 찾아야 합니다.
3. 정의된 경우 2단계를 수행한 다음 한계 $ a $ 및 $ b $를 역도함수 $ F(x) $에 대체해야 합니다. "Newton-Leibniz Formula" 기사에서 이를 수행하기 위해 어떤 공식을 사용해야 하는지 알아볼 수 있습니다.

솔루션의 예

따라서 인형의 적분을 푸는 방법을 배웠으며 적분을 푸는 예가 정리되었습니다. 우리는 물리적, 기하학적 의미를 배웠습니다. 해결 방법은 다른 기사에서 설명합니다.

"라는 주제에 대한 연구를 시작하겠습니다. 무기한 적분", 또한 가장 단순한 (그리고 그렇게 단순하지 않은) 적분에 대한 솔루션의 자세한 예를 분석할 것입니다. 늘 그렇듯이, 우리의 임무는 적분을 푸는 방법을 배우는 것입니다.

자료를 성공적으로 익히려면 무엇을 알아야 합니까? 적분법에 대처하려면 최소한 중급 수준에서 도함수를 구할 수 있어야 합니다. 수십 개 또는 더 나은 수백 개의 독립적으로 발견된 파생 상품이 벨트 아래에 있다면 경험 낭비가 아닐 것입니다. 최소한 가장 단순하고 가장 일반적인 기능을 구별하기 위해 작업을 혼동해서는 안됩니다.

기사가 적분에 관한 것이라면 파생 상품이 그것과 무슨 관련이 있는 것 같습니까?! 여기에 문제가 있습니다. 사실 도함수를 찾는 것과 부정 적분(미분 및 적분)을 찾는 것은 덧셈/뺄셈 또는 곱셈/나눗셈과 같은 두 가지 상호 역작용입니다. 따라서 파생 상품을 찾는 기술과 경험이 없으면 불행하게도 앞으로 나아갈 수 없습니다.

이와 관련하여 다음과 같은 교재가 필요합니다. 파생상품표그리고 적분표.

부정적분을 배울 때 어려운 점은 무엇입니까? 파생 상품에 엄격하게 5가지 미분 규칙, 파생 상품 표 및 상당히 명확한 동작 알고리즘이 있는 경우 적분에서는 모든 것이 다릅니다. 수십 가지의 통합 방법과 기술이 있습니다. 그리고 적분 방법이 처음에 잘못 선택되면(즉, 해결 방법을 모르는 경우) 적분은 실제 퍼즐처럼 문자 그대로 며칠 동안 "찔려" 다양한 기술과 요령을 찾아내려고 할 수 있습니다. 어떤 사람들은 그것을 좋아하기도 합니다.

그건 그렇고, 우리는 (인문학을 전공하지 않은) 학생들로부터 다음과 같은 의견을 자주 들었습니다. “저는 극한이나 도함수를 푸는 데 전혀 관심이 없었지만 적분은 완전히 다른 문제입니다. 흥미롭습니다. 항상 복잡한 적분을 "해킹"하려는 욕구. 멈추다. 블랙 유머는 이제 그만, 이러한 매우 무한한 적분으로 넘어가겠습니다.

이를 해결하는 방법은 여러 가지가 있는데, 찻주전자는 어디서부터 부정적분 연구를 시작해야 할까요? 우리 생각에는 적분법에는 다른 모든 것이 회전하는 세 개의 기둥 또는 일종의 "축"이 있습니다. 우선, 가장 간단한 적분(이 기사)을 잘 이해해야 합니다.

그런 다음 수업을 자세히 진행해야 합니다. 이것이 가장 중요한 기술입니다! 아마도 적분에 관한 모든 기사 중에서 가장 중요한 기사일 것입니다. 셋째, 꼭 읽어보세요. 부품 방식에 의한 통합, 다양한 종류의 기능을 통합하기 때문입니다. 적어도 이 세 가지 교훈을 익히면 더 이상 두 가지 교훈을 얻지 못할 것입니다. 몰랐어도 용서받을 수 있어 삼각 함수의 적분, 분수의 적분, 분수-유리 함수의 적분, 비합리적 함수의 적분(근), 그러나 교체 방법이나 부품 통합 방법으로 "문제가 발생"하면 매우 나쁠 것입니다.

그럼 간단하게 시작해 보겠습니다. 적분표를 살펴보겠습니다. 도함수와 마찬가지로 몇 가지 적분 규칙과 일부 기본 함수의 적분 표를 볼 수 있습니다. 모든 테이블 적분(및 실제로 모든 부정 적분)의 형식은 다음과 같습니다.

표기법과 용어를 즉시 이해해 보겠습니다.

– 필수 아이콘.

– 피적분 함수(문자 "s"로 작성됨).

– 차동 아이콘. 이것이 무엇인지 곧 살펴보겠습니다. 가장 중요한 것은 적분을 작성할 때와 솔루션 중에 이 아이콘을 잃지 않는 것이 중요하다는 것입니다. 눈에 띄는 결함이 있을 것입니다.

– 적분의 적분 또는 "채우기".

– 역도함수기능.

– . 여기서 가장 중요한 것은 무한 적분에서 상수가 답에 추가된다는 것입니다.

부정 적분을 푸는 것은 다음을 찾는 것을 의미합니다.많은 원시 기능주어진 적분으로부터

항목을 다시 살펴보겠습니다.

적분표를 살펴보겠습니다.

무슨 일이야? 우리에겐 왼쪽 부품이 있어요 로 변하다다른 기능에: .

정의를 단순화해 보겠습니다.

부정 적분 풀기 - 이는 정의되지 않은(상수까지) 함수로 변환하는 것을 의미합니다. , 몇 가지 규칙, 기술 및 테이블을 사용합니다.

예를 들어 테이블 적분을 생각해보십시오. . 무슨 일이에요? 기호 표기법은 많은 원시 기능으로 발전했습니다.

도함수와 마찬가지로 적분을 구하는 방법을 배우기 위해서는 이론적 관점에서 적분함수나 역도함수가 무엇인지 알 필요는 없습니다. 몇 가지 공식적인 규칙에 따라 변환을 수행하는 것만으로도 충분합니다. 그래서 혹시라도 적분이 왜 로 바뀌는지 이해할 필요는 전혀 없습니다. 이 공식과 다른 공식을 당연하게 받아들일 수 있습니다. 누구나 전기를 사용하지만 전자가 전선을 통해 어떻게 이동하는지 생각하는 사람은 거의 없습니다.

미분과 적분은 반대 작업이므로 올바르게 발견된 역도함수에 대해 다음이 적용됩니다.

즉, 정답을 미분하면 원래의 피적분 함수를 얻어야 합니다.

같은 테이블 적분으로 돌아가자 .

이 공식의 타당성을 확인해 보겠습니다. 우리는 우변의 미분을 취합니다:

원래 피적분 함수입니다.

그런데 함수에 항상 상수가 할당되는 이유가 더 명확해졌습니다. 미분하면 상수는 항상 0으로 변합니다.

부정 적분 풀기-찾다 라는 뜻이에요 많은 모든 사람단지 하나의 기능이 아닌 역도함수입니다. 고려 중인 표 예에서 , , 등 – 이 모든 함수는 적분에 대한 해입니다. 해결책은 무한히 많으므로 간단히 적어보겠습니다.

따라서 모든 부정 적분은 확인하기 매우 쉽습니다. 이는 다양한 유형의 수많은 적분에 대한 일부 보상입니다.

구체적인 예를 고려해 보겠습니다. 도함수를 연구할 때처럼 두 가지 적분 규칙부터 시작하겠습니다.

- 끊임없는 기음은 적분 부호에서 제외될 수 있습니다(그리고 그래야 합니다).

– 두 함수의 합(차)의 적분은 두 적분의 합(차)과 같습니다. 이 규칙은 여러 용어에 대해 유효합니다.

보시다시피 규칙은 기본적으로 파생 상품과 동일합니다. 때때로 그들은 불려진다. 선형성 속성완전한.

실시예 1

부정적분을 구합니다.

.

점검을 수행하십시오.

해결책:처럼 변환하는 것이 더 편리합니다.

(1) 규칙 적용 . 차등 아이콘을 적어 두는 것을 잊어버렸습니다. dx각 적분 아래. 왜 각각 아래에 있습니까? dx– 이것은 본격적인 승수입니다.자세히 설명하면 첫 번째 단계는 다음과 같이 작성되어야 합니다.

.

(2) 규칙에 따르면 우리는 모든 상수를 적분의 부호 너머로 이동합니다. 마지막 학기에 참고하세요 tg 5는 상수입니다. 우리도 그것을 꺼냅니다.

또한, 이 단계에서 우리는 통합을 위한 뿌리와 힘을 준비합니다. 미분과 마찬가지로 근은 다음과 같은 형태로 표현되어야 합니다. . 분모에 있는 근과 거듭제곱을 위로 이동합니다.

메모:도함수와 달리 적분의 근은 항상 다음 형식으로 축소되어서는 안 됩니다. , 각도를 위로 이동합니다.

예를 들어, - 이것은 이미 계산된 기성 테이블 적분이며 다음과 같은 모든 종류의 중국 트릭입니다. 전혀 불필요합니다. 비슷하게: – 이것은 또한 테이블 적분 형식으로 분수를 표현하는 데 의미가 없습니다. . 테이블을주의 깊게 연구하십시오!

(3) 모든 적분은 표 형식입니다. 다음 공식을 사용하여 테이블을 사용하여 변환을 수행합니다. , 그리고

거듭제곱 함수의 경우 - .

테이블 적분은 거듭제곱 함수 공식의 특별한 경우라는 점에 유의해야 합니다. .

끊임없는기음 표현식 끝에 한 번만 추가하면 충분합니다.

(각 적분 뒤에 두는 대신).

(4) 모든 거듭제곱이 다음 형식일 때 얻은 결과를 보다 간결한 형식으로 작성합니다.

다시 우리는 이를 근의 형태로 표현하고, 음의 지수를 사용하여 다시 분모로 거듭제곱을 재설정합니다.

시험. 확인을 수행하려면 수신된 답변을 구별해야 합니다.

초기 수신됨 적분, 즉 적분이 올바르게 발견되었습니다. 그들이 춤을 추었던 곳은 그들이 돌아온 곳입니다. 적분을 가진 이야기가 이렇게 끝나면 좋아요.

때때로 미분은 아니지만 미분은 답에서 가져오는 경우 부정 적분을 확인하는 데 약간 다른 접근 방식이 있습니다.

.

결과적으로 우리는 피적분 함수가 아니라 피적분 표현식을 얻습니다.

미분의 개념을 두려워하지 마십시오.

미분은 도함수에 다음을 곱한 것입니다. dx.

그러나 우리에게 중요한 것은 이론적 미묘함이 아니라 이 차이를 가지고 다음에 무엇을 할 것인가이다. 차이는 다음과 같이 드러납니다: 아이콘 디 그것을 제거하고 대괄호 위 오른쪽에 소수를 넣고 표현식 끝에 인수를 추가합니다 dx :

원본을 받음 적분즉, 적분이 올바르게 발견되었습니다.

보시다시피 미분은 미분을 찾는 것으로 귀결됩니다. 추가로 큰 괄호를 그리고 차등 아이콘을 드래그해야 하기 때문에 덜 확인하는 두 번째 방법이 마음에 듭니다. dx 점검이 끝날 때까지. 더 정확하거나 "더 존경할만한"것이지만.

사실 두 번째 검증 방법에 대해서는 침묵이 가능했다. 요점은 방법에 있는 것이 아니라 우리가 차등을 여는 법을 배웠다는 사실에 있습니다. 다시.

그 차이는 다음과 같이 드러납니다.

1) 아이콘 디제거하다;

2) 괄호 위 오른쪽에 획(미분 표시)을 넣습니다.

3) 표현식 끝에 요소를 할당합니다. dx .

예를 들어:

이것을 기억하십시오. 이 기술은 곧 필요할 것입니다.

실시예 2

.

부정적분을 찾을 때 우리는 항상 확인하려고 노력합니다.게다가 이에 대한 좋은 기회가 있습니다. 고등 수학의 모든 유형의 문제가 이러한 관점에서 나오는 선물은 아닙니다. 제어 작업에서는 검사가 필요하지 않은 경우가 많다는 것은 중요하지 않습니다. 초안에서 검사를 수행하는 것을 방해하는 사람은 없습니다. 시간이 부족한 경우(예: 시험 중 등)에만 예외를 적용할 수 있습니다. 개인적으로 저는 항상 적분을 확인하는데, 확인이 부족한 것은 해킹 작업이자 제대로 완료되지 않은 작업이라고 생각합니다.

실시예 3

부정 적분을 구합니다:

. 점검을 수행하십시오.

해결책: 적분을 분석하면 적분 아래에 두 함수의 곱과 전체 표현식의 지수가 있다는 것을 알 수 있습니다. 아쉽게도 통합전투 분야에서는 아니요좋고 편안하다 곱과 몫을 통합하는 공식형식: 또는 .

따라서 곱이나 몫이 주어질 때 피적분 함수를 합으로 변환하는 것이 가능한지 확인하는 것이 항상 의미가 있습니까? 고려중인 예는 가능한 경우이다.

먼저 완전한 솔루션을 제시할 것이며 의견은 아래와 같습니다.

초기 수신됨 적분, 이는 적분이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

테스트하는 동안 항상 함수를 원래 형식으로 "패킹"하는 것이 좋습니다. 이 경우 함수를 괄호에서 꺼내 약식 곱셈 공식을 반대 방향으로 적용합니다.

실시예 4

부정 적분 찾기

점검을 수행하십시오.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 답과 완전한 해결책은 수업 마지막 부분에 있습니다.

실시예 5

부정 적분 찾기

. 점검을 수행하십시오.

이 예에서 피적분 함수는 분수입니다. 피적분함수에서 분수를 볼 때 가장 먼저 생각해야 할 질문은 "어떻게든 이 분수를 제거하거나 적어도 단순화할 수 있습니까?"입니다.

분모에 "X"라는 단일 루트가 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 현장에 있는 사람은 전사가 아닙니다. 즉, 분자를 분모로 나눌 수 있습니다.

함수의 도함수에 관한 기사에서 여러 번 논의되었기 때문에 분수 거듭제곱을 사용하는 동작에 대해서는 언급하지 않습니다.

다음과 같은 예를 보고 아직도 당황스럽다면

그리고 어떤 경우에도 정답은 나오지 않고,

또한 솔루션에는 규칙 적용이라는 한 단계가 누락되어 있습니다. , . 일반적으로 적분을 푸는 데 약간의 경험이 있으면 이러한 규칙은 명백한 사실로 간주되므로 자세히 설명하지 않습니다.

실시예 6

부정적분을 구합니다. 점검을 수행하십시오.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 답과 완전한 해결책은 수업 마지막 부분에 있습니다.

일반적으로 적분의 분수를 사용하면 모든 것이 그렇게 간단하지는 않습니다. 일부 유형의 분수 통합에 대한 추가 자료는 기사에서 찾을 수 있습니다. 일부 분수의 통합. 그러나 위 기사로 넘어가기 전에 다음 내용을 숙지해야 합니다. 부정적분의 치환 방법. 요점은 미분 또는 변수 대체 방법에 함수를 포함시키는 것이 다음과 같다는 것입니다. 요점주제 연구에서 "대체 방법에 대한 순수 작업"뿐만 아니라 다른 많은 유형의 적분에서도 발견되기 때문입니다.

솔루션 및 답변:

예 2: 해결책:

예 4: 해결책:

이 예에서는 축약된 곱셈 공식을 사용했습니다.

예 6: 해결책:

적분 풀기. 적분을 푸는 방법을 알려드립니다.

적분은 합계의 확장된 수학적 개념입니다. 적분 풀기또는 그것을 찾는 것을 통합이라고 합니다. 적분을 사용하면 면적, 부피, 질량 등과 같은 수량을 찾을 수 있습니다. 적분 풀기(적분)은 미분의 역연산이다. 적분이 무엇인지 더 잘 이해하기 위해 다음 형식으로 표현해 보겠습니다. 상상하다. 우리는 몸을 가지고 있지만 아직 그것을 설명할 수 없으며, 그것이 어떤 기본 입자를 가지고 있고 어떻게 위치하는지만 알 수 있습니다. 신체를 하나의 전체로 조립하려면 기본 입자를 통합하여 부품을 단일 시스템으로 병합해야 합니다. 함수 y=f(x)의 기하학적 형태에서 적분은 곡선, x축, 2개의 수직선 x=a 및 x=b로 둘러싸인 그림의 영역을 나타냅니다.

따라서 음영처리된 부분의 면적은 a부터 b까지의 범위에 있는 함수의 적분값이 됩니다. 믿을 수 없습니까? 어떤 기능이 있는지 확인해 보겠습니다. 가장 간단한 것을 y=3으로 가정하겠습니다. 함수를 a=1, b=2 값으로 제한해 보겠습니다. 빌드해 봅시다: 따라서 제한된 그림은 직사각형입니다. 직사각형의 면적은 길이와 너비의 곱과 같습니다. 우리의 경우 길이 3, 너비 1, 면적 3*1=3입니다. 통합을 사용하여 구성에 의존하지 않고 동일한 문제를 해결해 보겠습니다. 보시다시피 대답은 같았습니다. 적분을 해결하는 것은 일부 기본 부분을 하나로 모으는 것입니다. 영역의 경우, 무한한 너비의 스트립이 합산됩니다. 적분은 정적 또는 부정적일 수 있습니다. 정적분을 푼다는 것은 주어진 한계 내에서 함수의 값을 찾는 것을 의미합니다. 부정 적분을 푸는 것은 역도함수를 찾는 것으로 귀결됩니다. F(x)는 역도함수입니다. 역도함수를 미분하여 원래의 피적분 표현을 얻습니다. 적분을 올바르게 풀었는지 확인하기 위해 결과 답을 미분하고 이를 원래 표현식과 비교합니다. 이에 대한 주요 기능과 역도함수는 표에 나와 있습니다.

적분을 풀기 위한 역도함수 표

적분을 풀기 위한 기본 기술: 적분을 푼다는 것은 변수에 대한 함수를 통합하는 것을 의미합니다. 적분이 표 형식이면 적분을 해결하는 방법에 대한 문제가 해결되었다고 말할 수 있습니다. 그렇지 않은 경우 적분을 풀 때 주요 작업은 이를 표 형식으로 줄이는 것입니다. 먼저 적분의 기본 속성을 기억해야 합니다.

이러한 기본 사항만 알면 간단한 적분을 풀 수 있습니다. 그러나 대부분의 적분은 복잡하며 이를 해결하려면 추가적인 기술을 사용해야 한다는 점을 이해해야 합니다. 아래에서는 적분을 해결하는 주요 예를 살펴보겠습니다. 일반적인 정보에 대한 리셉션이 제공됩니다. 예시 솔루션 없음기사에 과부하가 걸리지 않도록. 기사를 읽은 후 5분 안에 모든 복잡한 적분을 해결하는 방법을 배울 수는 없지만 올바르게 형성된 이해 프레임워크는 적분 해결 기술을 학습하고 개발하는 데 몇 시간의 시간을 절약할 수 있다는 점을 이해해야 합니다.

적분을 풀기 위한 기본 기술

1. 변수 교체.
이 기술을 수행하려면 파생상품을 찾는 데 능숙한 기술이 필요합니다.

2. 완성부분적으로. 다음 수식을 사용하십시오. 이 공식을 적용하면 풀 수 없어 보이는 적분을 해결할 수 있습니다.

3. 완성분수 유리 함수. - 분수를 가장 간단한 형태로 분해 - 완전한 정사각형을 선택합니다. - 분자에 분모의 미분을 만듭니다.

4. 완성분수 비합리 함수. - 루트 아래의 완전한 사각형을 선택합니다. - 분자에 급진적 표현 미분을 만듭니다. 5. 삼각함수 통합. 형태의 표현을 통합할 때 제품에 대한 확장식을 적용합니다. 표현식의 경우 m-홀수, n-모두, d(cosx)를 생성합니다. 우리는 sin 2 +cos 2 =1 m,n – even, sin 2 x=(1-cos2x)/2 및 cos 2 x=(1+cos2x)/2라는 항등식을 사용합니다. - tg 2 x=1/cos 2 x – 1 속성을 적용합니다.

1. 적분의 본질을 이해하라. 적분의 기본 본질과 그 해결책을 이해하는 것이 필요합니다. 적분은 본질적으로 통합 대상의 기본 부분의 합입니다. 함수 적분에 대해 이야기하는 경우 적분은 함수 그래프, x축 및 적분 경계 사이의 그림 영역입니다. 적분이 무한한 경우, 즉 적분의 경계가 표시되지 않은 경우 해결책은 역도함수를 찾는 것입니다. 적분이 명확하면 경계 값을 발견된 함수로 대체해야 합니다. 2. 역도함수 표와 적분의 기본 성질을 활용하는 연습. 역도함수 테이블을 사용하는 방법을 배워야 합니다. 다양한 기능에 대해 역도함수를 찾아 표에 입력합니다. 테이블에 적분이 있으면 그것이 해결되었다고 말할 수 있습니다. 3. 적분 문제를 해결하는 기술을 이해하고 기술을 개발합니다.적분이 표 형식이 아닌 경우 해당 해는 표 형식 적분 중 하나의 형식으로 축소됩니다. 이를 위해 우리는 기본 속성과 솔루션 기술을 사용합니다. 기술을 적용하는 일부 단계에서 어려움과 오해가 있는 경우, 이 특정 기술을 더 자세히 이해하고 유사한 계획의 예를 살펴보고 교사에게 문의하십시오. 추가적으로 적분을 푼 후첫 번째 단계에서 솔루션을 확인하는 것이 좋습니다. 이를 위해 결과 표현식을 미분하고 이를 원래 적분과 비교합니다. 몇 가지 예를 사용하여 주요 사항을 살펴보겠습니다.

적분 풀이의 예

예 1: 적분 풀기: 적분은 무한정입니다. 우리는 역도함수를 찾습니다. 이를 위해 합의 적분을 적분의 합으로 분해합니다. 각 적분은 표 형식입니다. 표의 역도함수를 살펴보겠습니다. 적분의 해: 해를 확인해 봅시다(도함수 찾기).

"적분"이라는 단어는 라틴어 일체형(integral)에서 유래되었습니다. 이 이름은 17세기에 제안되었습니다. 위대한 라이프니츠(그리고 뛰어난 수학자) I. 베르누이의 학생. 현대적 의미에서 일체형이란 무엇입니까? 아래에서는 이 질문에 대한 포괄적인 답변을 제공하려고 노력할 것입니다.

적분 개념 출현의 역사적 배경

17세기 초. 선도적인 과학자들은 일부 수량의 다른 수량에 대한 의존성을 연구하는 데 필요한 수많은 물리적(주로 기계적) 문제를 고려하고 있었습니다. 가장 명백하고 시급한 문제는 어떤 순간에 신체의 고르지 못한 움직임의 순간 속도를 결정하는 것과 그러한 움직임 중 일정 시간 동안 신체가 이동한 거리를 찾는 역문제였습니다. 오늘날 우리는 이동 속도의 적분이 무엇인지 이미 알고 있습니다. 이것이 이동 거리입니다. 그러나 그것을 계산하는 방법에 대한 이해, 매 순간의 속도를 아는 것은 즉시 나타나지 않았습니다.

처음에는 속도에 대한 경로와 같은 물리량의 종속성을 고려하여 함수 y = f(x)의 수학적 개념이 형성되었습니다. 다양한 함수의 특성에 대한 연구는 수학적 분석의 탄생으로 이어졌습니다. 과학자들은 다양한 기능의 특성을 연구하는 방법을 적극적으로 찾고 있습니다.

적분과 미분 계산은 어떻게 이루어졌나요?

데카르트가 분석 기하학의 기초를 만들고 데카르트 좌표계의 축에서 기능적 종속성을 그래픽으로 묘사하는 능력이 출현한 후 연구자들은 두 가지 주요 새로운 문제에 직면했습니다. 임의의 지점에서 곡선에 접선을 그리는 방법과 좌표축에 평행한 이 곡선과 직선으로 경계가 지정된 그림의 영역을 찾는 방법. 뜻밖에도 그 중 첫 번째는 순간 속도를 구하는 것과 같고, 두 번째는 이동 거리를 구하는 것과 같다는 것이 밝혀졌습니다. 결국 고르지 못한 움직임 중에는 직교 좌표축의 "거리"와 "시간"이 곡선으로 표시되었습니다.

17세기 중반 라이프니츠와 뉴턴의 천재성. 이 두 가지 문제를 모두 해결할 수 있는 방법이 만들어졌습니다. 한 지점에서 곡선에 대한 접선을 그리려면 고려 중인 지점에서 이 곡선을 설명하는 소위 함수의 도함수 값을 찾아야 하며 이 값은 다음과 같은 것으로 나타났습니다. 함수의 변화율, 즉 신체의 순간 속도 자체인 "속도 경로" 의존성과 관련하여.

곡선으로 둘러싸인 영역을 찾으려면 정확한 값을 제공하는 특정 적분을 계산해야 했습니다. 미분과 적분은 고등 수학의 가장 중요한 분야인 현대 수학적 분석의 기초가 되는 미적분과 적분의 기본 개념입니다.

곡선 아래 영역

그렇다면 정확한 값을 결정하는 방법은 무엇입니까? 적분을 통해 계산하는 과정을 아주 기초부터 차근차근 공개해보겠습니다.

f를 구간에서 연속인 함수로 둡니다. 아래 그림에 표시된 곡선 y = f(x)를 생각해 보세요. 곡선), x축, x = a 및 x = b 선으로 둘러싸인 영역의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 즉, 그림에서 음영처리된 부분의 면적이다.

가장 간단한 경우는 f가 상수 함수인 경우입니다. 즉, 곡선은 아래 그림과 같이 수평선 f(X) = k입니다. 여기서 k는 상수이고 k ≥ 0입니다.

이 경우 곡선 아래 영역은 높이가 k이고 너비가 (b - a)인 직사각형이므로 해당 영역은 k · (b - a)로 정의됩니다.

삼각형, 사다리꼴, 반원과 같은 다른 간단한 도형의 면적은 면적 측정법의 공식으로 제공됩니다.

임의의 연속 곡선 y = f(x) 아래의 면적은 정적분으로 주어지며, 이는 일반 적분과 같은 방식으로 작성됩니다.

리만합

적분이 무엇인지에 대한 자세한 답변을 살펴보기 전에 몇 가지 기본 아이디어를 강조해 보겠습니다.

먼저, 곡선 아래 영역은 충분히 작은 너비 Δx의 특정 수 n개의 수직 줄무늬로 나뉩니다. 다음으로, 각 수직 줄무늬는 높이 f(x), 너비 Δx, 면적 f(x)dx를 갖는 수직 직사각형으로 대체됩니다. 다음 단계는 리만 합(Riemann sum)이라고 불리는 모든 직사각형의 면적의 합을 구하는 것입니다(아래 그림 참조).

너비 Δx의 직사각형을 그릴 때 높이를 각 스트립의 왼쪽 가장자리에 있는 함수 값과 동일하게 설정할 수 있습니다. 즉, 너비 Δx의 위쪽 짧은 변의 가장 왼쪽 점이 곡선에 놓이게 됩니다. 더욱이, 함수가 커지고 곡선이 볼록해지는 섹션에서는 모든 직사각형이 이 곡선 아래에 있습니다. 즉, 그 합은 확실히 이 섹션의 곡선 아래의 정확한 면적보다 작습니다(아래 그림 참조). 이 근사 방법을 왼쪽이라고 합니다.

원칙적으로, 너비 Δx의 위쪽 짧은 변의 가장 오른쪽 점이 곡선 위에 놓이도록 대략적인 직사각형을 그릴 수 있습니다. 그러면 아래 그림과 같이 곡선 위에 있게 되며 이 섹션의 대략적인 영역은 정확한 값보다 커집니다. 이 방법을 오른 손잡이라고합니다.

그러나 우리는 각각의 근사 직사각형의 높이를 취할 수도 있습니다. 이는 해당 스트립 Δx i 내부의 임의의 지점 x* i에서 함수의 일부 값과 간단히 같습니다(아래 그림 참조). 이 경우 모든 스트라이프의 너비가 동일하지 않을 수도 있습니다.

리만 합(Riemann sum)을 작성해 보겠습니다.

리만 합에서 정적분으로의 전환

고등 수학에서는 근사 직사각형의 수 n이 무제한으로 증가하면 최대 너비가 0이 되는 경향이 있고 리만 합 An은 특정 한계 A에 가까워지는 경향이 있다는 정리가 입증되었습니다. 숫자 A는 다음과 같습니다. 근사 직사각형을 형성하는 모든 방법과 x* i 점 선택에 대해서도 동일합니다.

정리에 대한 시각적 설명은 아래 그림에 나와 있습니다.

직사각형의 폭이 좁을수록 계단 모양의 면적이 곡선 아래 면적에 가까워지는 것을 알 수 있습니다. 직사각형의 개수가 n→무엇일 때, 폭은 Δx i →0이고, 합의 A n의 한계 A는 수치적으로 필요한 면적과 같습니다. 이 극한은 함수 f(x)의 정적분입니다.

수정된 이탤릭체 S인 적분 기호는 라이프니츠에 의해 도입되었습니다. J. B. Fourier는 적분 표기법 위와 아래에 극한을 두는 것을 제안했습니다. x의 시작값과 끝값이 명확하게 표시됩니다.

정적분의 기하학적, 기계적 해석

통합이 무엇인지에 대한 질문에 대한 자세한 답변을 제공하려고 노력해 봅시다. 그 안에 있는 양의 함수 f(x)의 구간에 대한 적분을 고려하고, 상한이 하한 a보다 크다고 가정합니다.

함수 f(x)의 세로 좌표가 내부에서 음수인 경우 적분의 절대값은 가로축과 그래프 사이의 면적과 같습니다. y=f(x), 적분 자체는 음수입니다.

그래프 y=f(x)와 세그먼트의 가로축이 단일 또는 반복적으로 교차하는 경우 아래 그림과 같이 적분을 계산하려면 피감수가 다음과 같은 차이를 결정해야 합니다. 가로축 위에 위치한 섹션의 전체 면적과 같고, 감수는 그 아래에 있는 플롯의 전체 면적과 같습니다.

따라서 위 그림에 표시된 함수의 경우 a에서 b까지의 정적분은 (S1 + S3) - (S2 + S4)와 같습니다.

정적분의 기계적 해석은 기하학적 해석과 밀접한 관련이 있습니다. "리만 합" 부분으로 돌아가 그림에 표시된 그래프가 물질 점의 고르지 않은 움직임에 대한 속도 함수 v=f(t)를 표현한다고 상상해 보십시오(x축은 시간 축입니다). 그런 다음 리만 합을 형성할 때 구성한 너비 Δt를 갖는 근사 직사각형의 영역은 시점 Δt의 경로, 즉 v(t*)Δt를 대략적으로 표현합니다.

t 1 =a에서 t 2 =b까지의 세그먼트에 있는 직사각형 영역의 총합은 시간 t 2 - t 1 동안의 경로 s와 그 한계, 즉 a에서 b까지의 (정의된) 적분을 대략적으로 표현합니다. dt에 의한 함수 v = f(t )의 경로 s의 정확한 값을 제공합니다.

정적분의 미분

지정으로 돌아가면 a = const이고 b는 일부 독립 변수 x의 특정 값이라고 가정하는 것이 가능합니다. 그런 다음 특정 숫자의 상한 x̃를 갖는 정적분은 x̃의 함수로 변합니다. 이 적분은 아래 그림에서 점 aABb로 표시된 곡선 아래 그림의 면적과 같습니다.

고정된 선 aA와 움직이는 선 Bb를 사용하면 이 영역은 f(x̃)의 함수가 되고 Δx̃의 증분은 여전히 ​​x축을 따라 플롯되며 함수 f(x̃)의 증분은 다음의 증분입니다. 곡선 아래의 면적.

변수 x̃ = b에 약간의 작은 증분 Δx̃을 주었다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 그림 aABb의 면적 증가는 직사각형(그림에 음영 처리됨) Bb∙Δx̃ 면적과 곡선 아래 그림 BDC 면적의 합입니다. 직사각형의 면적은 Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃와 같습니다. 즉, 독립 변수 증가의 선형 함수입니다. 도형 BDC의 면적은 직사각형의 면적인 BDCK = Δx̃∙Δy에 비해 확실히 작으며, Δx̃ →0으로 갈수록 더욱 빠르게 감소합니다. 이는 f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃가 가변 면적 aABb의 미분, 즉 정적분의 미분임을 의미합니다.

이것으로부터 우리는 적분 계산이 주어진 미분 표현에서 함수를 찾는 것으로 구성된다는 결론을 내릴 수 있습니다. 적분법은 정확히 알려진 미분을 사용하여 그러한 함수를 찾는 방법 시스템입니다.

적분의 기본관계

이는 차별화와 통합의 관계를 연결하고 기능의 차별화에 반대되는 작용, 즉 통합이 있음을 보여줍니다. 또한 함수 f(x)가 연속인 경우 이 수학적 연산을 함수에 적용하면 해당 함수에 대해 역도함수인 함수의 전체 앙상블(집합, 집합)을 찾을 수 있습니다(또는 그렇지 않으면 함수의 부정 적분을 찾을 수 있음). ).

함수 F(x)가 함수 f(x)의 적분 결과를 나타낸다고 가정합니다. 두 번째 함수를 통합한 결과로 이 두 함수 사이의 대응 관계는 다음과 같이 표시됩니다.

보시다시피, 적분 기호에는 적분의 제한이 없습니다. 이는 유한 적분에서 무한 적분으로 변환됨을 의미합니다. '무한'이라는 말은 이 경우 적분 연산의 결과가 하나가 아닌 여러 개의 함수라는 뜻이다. 결국 함수 F(x) 자체 외에도 마지막 표현식은 함수 F(x)+C(여기서 C = const)에 의해 충족됩니다. 이는 역도함수 앙상블의 상수 항이 임의로 지정될 수 있음을 의미합니다.

함수에 의해 정의된 적분이 숫자라면, 부정적분은 함수, 더 정확하게는 이들의 집합이라는 점이 강조되어야 합니다. "적분"이라는 용어는 두 가지 유형의 적분을 찾는 작업을 정의하는 데 사용됩니다.

통합의 기본 규칙

이는 해당 차별화 규칙과 정반대입니다. 부정 적분은 어떻게 취합니까? 특정 기능을 사용하여 이 절차의 예를 살펴보겠습니다.

일반적인 전력 함수를 살펴보겠습니다.

적분 가능한 함수 표현의 각 항에 대해 이 작업을 수행한 후(둘 이상이 있는 경우) 끝에 상수를 추가합니다. 상수 값의 미분을 취하면 그 값이 파괴된다는 점을 기억하세요. 따라서 어떤 함수의 적분을 취하면 이 상수가 복원됩니다. 상수를 알 수 없기 때문에 C라고 부릅니다. 어떤 숫자든 가능합니다! 그러므로 우리는 부정적분에 대해 무한한 수의 표현식을 가질 수 있습니다.

간단한 부정 적분을 살펴보겠습니다. 그 예는 아래에 나와 있습니다.

함수의 적분을 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다.

f(x) = 4x 2 + 2x - 3.

첫 번째 용어부터 시작하겠습니다. 2의 지수를 보고 1만큼 증가시킨 다음 첫 번째 항을 결과 3의 지수로 나눕니다. 4(x 3) / 3을 얻습니다.

그런 다음 다음 멤버를 보고 똑같이 합니다. 지수가 1이므로 결과 지수는 2가 됩니다. 따라서 이 항을 2로 나눕니다: 2(x 2) / 2 = x 2.

마지막 항에는 인수 x가 있지만 우리는 그것을 볼 수 없습니다. 마지막 항은 (-3x 0)으로 생각할 수 있습니다. 이는 (-3)∙(1)과 같습니다. 적분의 법칙을 사용하면 지수에 1을 더해 1제곱한 다음 마지막 항을 1로 나눕니다. 3x를 얻습니다.

이 통합 규칙은 n = - 1(0으로 나눌 수 없기 때문에)을 제외하고 n의 모든 값에 적용됩니다.

우리는 적분을 찾는 가장 간단한 예를 살펴보았습니다. 일반적으로 적분을 푸는 것은 쉬운 일이 아니며, 이미 수학에서 축적된 경험이 큰 도움이 됩니다.

통합 테이블

위 섹션에서 우리는 각 미분 공식에서 해당 통합 공식이 얻어지는 것을 확인했습니다. 따라서 가능한 모든 옵션이 오랫동안 획득되어 적절한 테이블로 컴파일되었습니다. 아래 적분 표에는 기본 대수 함수를 통합하기 위한 공식이 포함되어 있습니다. 이 공식은 마음 속으로 알아야 하며, 연습을 통해 통합되면서 점차적으로 암기해야 합니다.

또 다른 적분 표에는 기본 삼각 함수가 포함되어 있습니다.

정적분을 계산하는 방법

이를 수행하고 적분하는 방법, 즉 무한 적분을 찾는 방법을 아는 것은 매우 간단하다는 것이 밝혀졌습니다. 그리고 적분미분학의 창시자인 뉴턴과 라이프니츠의 공식이 이에 도움이 됩니다.

이에 따르면, 원하는 적분의 계산은 부정한 값을 찾는 첫 번째 단계로 구성되며, x를 대입하여 발견된 역도함수 F(x)의 값을 계산합니다. x는 먼저 상한값과 같고 그 다음 하한값과 같습니다. 마지막으로 이러한 값의 차이를 결정합니다. 이 경우 상수 C를 적을 필요는 없습니다. 왜냐하면 뺄셈을 수행하면 사라집니다.

자세한 솔루션이 포함된 몇 가지 통합을 살펴보겠습니다.

하나의 반파 정현파 아래 영역의 면적을 구해 봅시다.

쌍곡선 아래의 음영처리된 면적을 계산해 봅시다.

이제 자세한 솔루션으로 적분을 고려해 보겠습니다. , 첫 번째 예에서는 가산성 속성을 사용하고 두 번째 예에서는 중간 통합 변수를 대체합니다. 분수 유리 함수의 정적분을 계산해 보겠습니다.

y=(1+t)/t 3 t=1에서 t=2까지.

이제 중간 변수를 도입하여 적분을 단순화하는 방법을 보여 드리겠습니다. (x+1) 2 의 적분을 계산해야 한다고 가정합니다.

부적절한 적분에 대하여

우리는 연속적인 함수 f(x)의 유한 구간에 대한 정적분에 대해 이야기했습니다. 그러나 많은 특정 문제로 인해 적분의 개념을 극한(하나 또는 둘 다)이 무한대와 같은 경우 또는 불연속 함수의 경우로 확장해야 할 필요성이 발생합니다. 예를 들어 좌표축에 점근적으로 접근하는 곡선 아래 면적을 계산하는 경우입니다. 이 경우 적분의 개념을 확장하기 위해 근사 직사각형의 리만 합을 계산할 때 극한까지의 통과 외에도 한 단계가 더 수행됩니다. 이러한 이중 통과를 한계까지 수행하면 부적절한 적분이 얻어집니다. 대조적으로, 위에서 논의된 모든 적분은 고유라고 불립니다.

학생과 학생이 자신이 다룬 자료를 통합할 수 있도록 웹사이트에 온라인으로 통합합니다. 적분 풀이를 시작할 때마다 해당 유형을 식별해야 하며, 이것이 없으면 테이블 형식 방법으로 간주하지 않는 한 어떤 방법도 사용할 수 없습니다. 주어진 예에서 모든 테이블 적분이 명확하게 표시되는 것은 아닙니다. 때로는 역도함수를 찾기 위해 원래 함수를 변환해야 합니다. 실제로 적분을 푸는 것은 원래 함수, 즉 무한 함수 계열의 역도함수를 찾는 문제를 해석하는 것으로 귀결되지만 적분의 한계가 주어지면 뉴턴-라이프니츠 공식에 따르면 하나의 단일 함수만 남습니다. 계산을 적용해야 합니다. 비공식적으로 온라인 적분은 적분 한계 내에서 함수 그래프와 x축 사이의 영역입니다. 하나의 변수에 대한 복소 적분을 평가하고 그 답을 문제의 추가 솔루션과 연관시켜 보겠습니다. 그들이 말했듯이 피적분 함수에서 직접 찾을 수 있습니다. 분석의 주요 정리에 따르면 적분은 미분의 역연산으로, 미분 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다. 기술적인 세부 사항에 따라 통합 작업에 대한 여러 가지 정의가 있습니다. 그러나 이들은 모두 호환 가능합니다. 즉, 주어진 기능에 적용할 수 있는 두 가지 통합 방법은 동일한 결과를 제공합니다. 가장 간단한 것은 리만 적분입니다. 이는 정적분 또는 부정적분입니다. 비공식적으로, 한 변수의 적분은 그래프 아래의 영역(함수의 그래프와 x축 사이에 둘러싸인 그림)으로 도입될 수 있습니다. 이 영역을 찾으려고 할 때 특정 수의 수직 직사각형으로 구성된 그림을 고려할 수 있습니다. 그 밑면은 함께 통합 세그먼트를 형성하고 세그먼트를 적절한 수의 작은 세그먼트로 나누어 얻습니다. 계산기는 동작에 대한 자세한 설명과 함께 무료로 적분을 해결합니다! 함수에 대한 온라인 부정적분은 주어진 함수의 모든 역도함수 집합입니다. 함수가 정의되고 일정한 간격으로 연속되는 경우 해당 함수에 대한 역도함수(또는 역도함수 계열)가 있습니다. 이 문제에 신중하게 접근하고 수행된 작업에서 내면의 만족을 경험하는 것이 좋습니다. 그러나 고전적인 방법과 다른 방법을 사용하여 적분을 계산하면 때로는 예상치 못한 결과가 나오므로 이에 놀라서는 안 됩니다. 나는 이 사실이 현재 일어나고 있는 일에 긍정적인 반향을 불러일으키게 되어 기쁩니다. 완전하고 상세한 단계별 솔루션이 포함된 정적분 및 부정적분 목록입니다. 온라인에서 부정 적분을 찾는 것은 고등 수학과 기타 과학 기술 분야에서 매우 일반적인 문제입니다. 기본 통합 방법. 실수가 발견되기 전에 완성된 건물을 생각해 보십시오. 온라인으로 적분 풀기 - 다양한 유형의 적분(부정, 정, 부적절한)에 대한 자세한 솔루션을 받게 됩니다. 함수의 적분은 수열의 합과 유사합니다. 비공식적으로 말하면, 명확한 적분은 함수 그래프의 일부 영역입니다. 종종 그러한 적분은 물체가 동일한 밀도의 유사한 물체보다 얼마나 무거운지를 결정하며, 표면이 물을 흡수하지 않기 때문에 물체의 모양은 중요하지 않습니다. 모든 중학생은 온라인에서 필수 요소를 찾는 방법을 알고 있습니다. 학교 커리큘럼을 기반으로 이 수학 섹션도 연구되지만 자세히는 아니지만 복잡하고 중요한 주제의 기본만 연구합니다. 대부분의 경우 학생들은 도함수 및 극한 통과와 같은 중요한 주제가 선행되는 광범위한 이론으로 적분을 공부하기 시작합니다. 이는 또한 극한이기도 합니다. 적분 풀이는 간단한 함수의 가장 기본적인 예부터 점진적으로 시작하여 지난 세기와 훨씬 이전에 제안된 많은 접근법과 규칙의 사용으로 끝납니다. 적분 미적분은 lyceum 및 학교, 즉 중등 교육 기관에서 교육 목적으로 사용됩니다. 저희 웹사이트는 항상 귀하를 도울 것이며 온라인으로 통합 문제를 해결하는 것이 귀하에게 일반화될 것이며 가장 중요한 것은 이해할 수 있는 작업이 될 것입니다. 이 자료를 바탕으로 이 수학 섹션에서 쉽게 완벽함을 얻을 수 있습니다. 예를 들어 부품별 통합 또는 체비쇼프 방법 적용과 같이 단계별로 연구하는 규칙을 이해하면 최대 포인트 수에 대한 모든 테스트를 쉽게 해결할 수 있습니다. 그렇다면 잘 알려진 적분표를 사용하여 어떻게 적분을 계산할 수 있지만 해법이 정확하고 정확하며 가능한 가장 정확한 답을 얻을 수 있습니까? 이것을 배우는 방법과 일반 신입생이 가능한 한 짧은 시간에 할 수 있습니까? 이 질문에 긍정적으로 대답해 봅시다 - 당신은 할 수 있습니다! 동시에, 당신은 어떤 예도 풀 수 있을 뿐만 아니라, 높은 자격을 갖춘 엔지니어의 수준에 도달할 수 있을 것입니다. 비밀은 그 어느 때보다 간단합니다. 최대한의 노력을 기울이고 자기 준비에 필요한 시간을 투자해야 합니다. 불행히도 아직 아무도 다른 방법을 생각해 내지 못했습니다! 그러나 언뜻보기에 모든 것이 흐릿한 것은 아닙니다. 이 질문으로 저희 서비스 사이트에 연락하시면 저희 사이트가 매우 빠른 속도와 흠잡을 데 없는 정확한 답변으로 온라인에서 적분을 자세하게 계산할 수 있기 때문에 귀하의 삶을 더 쉽게 만들어 드릴 것입니다. 기본적으로 적분은 인수 비율이 시스템 전체의 안정성에 어떻게 영향을 미치는지 결정하지 않습니다. 적분의 기계적 의미는 물체의 부피를 결정하고 물체의 질량을 계산하는 것과 같은 많은 응용 문제에 있습니다. 이러한 계산에는 삼중 적분과 이중 적분이 포함됩니다. 우리는 온라인 통합 솔루션이 숙련된 교사의 감독과 수많은 점검을 통해서만 수행된다고 주장합니다. 우리는 강의에 참석하지 않고 이유 없이 건너뛰는 학생들의 성적과 그들이 어떻게 찾을 수 있는지에 대해 자주 질문을 받습니다. 적분 자체. 우리는 학생들이 자유로운 사람들이고 외부에서 공부할 수 있고 집에서 편안하게 시험이나 시험을 준비할 수 있다고 대답합니다. 몇 초 만에 우리 서비스는 누구나 변수에 대한 주어진 함수의 적분을 계산하는 데 도움을 줄 것입니다. 얻은 결과는 역도함수를 미분하여 확인해야 합니다. 이 경우 적분 해의 상수는 0이 됩니다. 이 규칙은 분명히 모든 사람에게 적용됩니다. 단 몇 초 만에 단계별 답변을 제공하는 사이트는 많지 않으며, 가장 중요하게는 정확도가 높고 편리한 형식으로 제공됩니다. 그러나 기성 서비스를 사용하여 시간 테스트를 거쳐 온라인에서 수천 개의 해결 사례를 테스트하여 통합을 찾는 것이 어떻게 가능한지 잊어서는 안 됩니다.