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분수의 비교. 분수의 비교

두 분수에서 같은 분모분자가 큰 것이 더 크고, 분자가 작은 것이 더 작습니다.. 실제로 분모는 전체 값이 몇 부분으로 나누어졌는지를 나타내고, 분자는 그러한 부분이 몇 부분으로 나누어졌는지를 나타냅니다.

우리는 각 원 전체를 같은 숫자로 나눈 것으로 나타났습니다 5 , 하지만 그들은 가져갔어 다른 수량부품 : 그들은 더 많은 부분을 차지했고 더 큰 부분이 밝혀졌습니다.

분자가 같은 두 분수 중에서 분모가 작은 분수가 더 크고, 분모가 큰 분수가 더 작습니다.사실 하나의 원을 다음과 같이 나누면 8 부품, 다른 하나는 5 각 원에서 한 부분을 가져옵니다. 어느 부분이 더 커질까요?

물론, 다음으로 나누어진 원에서 5 부속! 이제 그들이 원이 아니라 케이크를 나누고 있다고 상상해 보세요. 5분의 1과 8분의 1 중 어떤 작품을 선호하시나요? 아니면 어떤 작품을 공유하시겠습니까?

다른 분자를 사용하여 분수를 비교하려면 다른 분모, 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄인 다음 동일한 분모를 가진 분수를 비교해야 합니다.

예. 공통 분수를 비교해보세요:

이 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄여보겠습니다. NOZ(4 ; 6)=12. 우리는 각 분수에 대한 추가 요인을 찾습니다. 첫 번째 부분의 경우 추가 요소 3 (12: 4=3 ). 두 번째 부분의 경우 추가 요소 2 (12: 6=2 ). 이제 두 결과 분수의 분자를 동일한 분모와 비교합니다. 첫 번째 분수의 분자가 두 번째 분수의 분자보다 작기 때문에 ( 9<10) 이면 첫 번째 분수 자체가 두 번째 분수보다 작습니다.

소수뿐만 아니라 분수도 비교할 수 있습니다. 결국 분수는 예를 들어 자연수와 같은 숫자입니다. 분수를 비교하는 규칙만 알면 됩니다.

분모가 같은 분수를 비교합니다.

두 분수의 분모가 같으면 해당 분수를 쉽게 비교할 수 있습니다.

분모가 같은 분수를 비교하려면 분자를 비교해야 합니다. 분자가 더 큰 분수는 더 큽니다.

예를 살펴보겠습니다:

분수 \(\frac(7)(26)\)와 \(\frac(13)(26)\)을 비교하세요.

두 분수의 분모는 동일하고 26이므로 분자를 비교합니다. 숫자 13은 7보다 큽니다. 우리는 다음을 얻습니다.

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

동일한 분자를 사용하여 분수를 비교합니다.

분수의 분자가 같으면 분모가 작은 분수가 더 큽니다.

이 규칙은 삶의 예를 통해 이해할 수 있습니다. 우리에겐 케이크가 있어요. 5~11명의 손님이 우리를 방문할 수 있습니다. 손님이 5명이 오면 케이크를 5등분으로 나누고, 손님이 11명이 오면 케이크를 11등분합니다. 이제 어떤 경우에 손님당 더 큰 케이크 조각이 있을 것인지 생각해 보십시오. 물론 손님 5명이 도착하면 더 큰 케이크가 나올 것입니다.

아니면 또 다른 예입니다. 사탕이 20개 있어요. 사탕을 4명의 친구에게 균등하게 줄 수도 있고, 10명의 친구에게 균등하게 나누어 줄 수도 있습니다. 어떤 경우에 각 친구가 더 많은 사탕을 갖게 될까요? 물론, 4명의 친구에게만 나누면 각 친구의 사탕 수가 더 많아집니다. 이 문제를 수학적으로 확인해 보겠습니다.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

이전에 이 분수를 풀면 \(\frac(20)(4) = 5\) 및 \(\frac(20)(10) = 2\)라는 숫자를 얻게 됩니다. 우리는 5 > 2를 얻습니다.

이것은 동일한 분자를 가진 분수를 비교하는 규칙입니다.

또 다른 예를 살펴보겠습니다.

분자 \(\frac(1)(17)\) 와 \(\frac(1)(15)\) 가 동일한 분수를 비교합니다.

분자가 동일하므로 분모가 작은 분수가 더 큽니다.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

분모와 분자가 다른 분수를 비교합니다.

분모가 다른 분수를 비교하려면 분수를 로 줄인 다음 분자를 비교해야 합니다.

분수 \(\frac(2)(3)\)와 \(\frac(5)(7)\)을 비교하세요.

먼저 분수의 공통분모를 찾아보겠습니다. 숫자 21과 같습니다.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)

그런 다음 분자 비교로 넘어갑니다. 분모가 같은 분수를 비교하는 규칙입니다.

\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

비교.

가분수는 항상 고유분수보다 큽니다.가분수는 1보다 크고, 진분수는 1보다 작기 때문입니다.

예:
분수 \(\frac(11)(13)\)와 \(\frac(8)(7)\)을 비교하세요.

분수 \(\frac(8)(7)\)는 옳지 않으며 1보다 큽니다.

\(1 < \frac{8}{7}\)

분수 \(\frac(11)(13)\)는 정확하며 1보다 작습니다. 비교해 보겠습니다.

\(1 > \frac(11)(13)\)

우리는 \(\frac(11)(13)을 얻습니다.< \frac{8}{7}\)

관련 질문:
분모가 다른 분수를 어떻게 비교하나요?
답변: 분수를 공통 분모로 가져온 다음 분자를 비교해야 합니다.

분수를 비교하는 방법은 무엇입니까?
대답: 먼저 어떤 범주 분수가 속하는지 결정해야 합니다. 공통 분모가 있는지, 공통 분자가 있는지, 공통 분모와 분자가 없는지, 아니면 가분수와 가분수가 있는지를 결정해야 합니다. 분수를 분류한 후 적절한 비교 규칙을 적용합니다.

동일한 분자를 사용하여 분수를 비교하는 것은 무엇입니까?
답: 분수의 분자가 같으면 분모가 작은 분수가 더 큽니다.

예시 #1:
분수 \(\frac(11)(12)\)와 \(\frac(13)(16)\)을 비교하세요.

해결책:
동일한 분자나 분모가 없기 때문에 다른 분모와 비교하는 규칙을 적용합니다. 우리는 공통분모를 찾아야 합니다. 공통분모는 96이 됩니다. 분수를 공통분모로 줄여보겠습니다. 첫 번째 분수 \(\frac(11)(12)\)에 추가 인수 8을 곱하고 두 번째 분수 \(\frac(13)(16)\)에 6을 곱합니다.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)

분수를 분자와 비교하면, 분자가 클수록 분수가 더 커집니다.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\끝(정렬)\)

예시 #2:
적절한 분수를 1과 비교하시겠습니까?

해결책:
적절한 분수는 항상 1보다 작습니다.

작업 #1:
아들과 아버지는 축구를 하고 있었습니다. 아들은 어프로치 10번 중 5번을 성공시켰다. 그리고 아빠는 5번의 접근 중 3번을 성공시켰습니다. 누구의 결과가 더 좋나요?

해결책:
아들은 가능한 접근 방식 10개 중 5개를 성공시켰습니다. 이를 분수 \(\frac(5)(10)\)로 적어보겠습니다.
아빠는 가능한 접근 방법 5개 중 3개를 성공시켰습니다. 이를 분수 \(\frac(3)(5)\)로 적어보겠습니다.

분수를 비교해 보겠습니다. 분자와 분모가 서로 다르므로 이를 하나의 분모로 줄여보겠습니다. 공통분모는 10이 됩니다.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

답: 아빠가 더 나은 결과를 얻으셨습니다.

이번 시간에는 분수를 서로 비교하는 방법을 배워보겠습니다. 이것은 매우 유용한 기술, 이는 더 복잡한 문제 전체를 해결하는 데 필요합니다.

먼저, 분수 평등의 정의를 상기시켜 드리겠습니다.

분수 a /b와 c /d는 ad = bc이면 같다고 합니다.

5/8 = 15/24, 5 24 = 8 15 = 120이므로;
3/2 = 27/18, 3 18 = 2 27 = 54이기 때문입니다.

다른 모든 경우에는 분수가 동일하지 않으며 다음 설명 중 하나가 해당됩니다.

분수 a/b는 분수 c/d보다 큽니다.
분수 a /b는 분수 c /d보다 작습니다.

a /b − c /d > 0인 경우 분수 a /b는 분수 c /d보다 크다고 합니다.

x /y − s /t인 경우 분수 x /y는 분수 s /t보다 작다고 합니다.< 0.

지정:

따라서 분수를 비교하는 것은 분수를 빼는 것으로 귀결됩니다. 질문: "이상"(>) 및 "이하"(>) 표기와 혼동하지 않는 방법<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

갈까마귀의 벌어진 부분은 항상 더 큰 숫자를 향합니다.
갈까마귀의 날카로운 코는 항상 낮은 숫자를 가리킵니다.

숫자를 비교해야 하는 문제에서는 종종 숫자 사이에 "∨" 기호가 배치됩니다. 이것은 코를 아래로 한 갈가마귀인데, 이는 암시하는 것처럼 보입니다. 숫자 중 더 큰 숫자가 아직 결정되지 않았습니다.

일. 숫자 비교:

정의에 따라 서로 분수를 뺍니다.

각 비교에서 우리는 분수를 공통 분모로 줄여야 했습니다. 구체적으로는 십자형 방법을 사용하여 최소 공배수를 찾는 것입니다. 나는 의도적으로 이러한 점에 초점을 맞추지 않았지만 명확하지 않은 것이 있으면 "분수 덧셈 및 뺄셈"강의를 살펴보십시오. 매우 쉽습니다.

소수의 비교

소수의 경우 모든 것이 훨씬 간단합니다. 여기서는 아무것도 뺄 필요가 없습니다. 숫자만 비교하면 됩니다. 숫자의 유효 부분이 무엇인지 기억해 두는 것이 좋습니다. 잊어버린 분들을 위해 "소수 곱하기 및 나누기" 수업을 반복하는 것이 좋습니다. 이 과정에도 몇 분 밖에 걸리지 않습니다.

다음과 같은 소수 자릿수가 포함된 경우 양의 소수 X는 양의 소수 Y보다 큽니다.

분수 X에서 이 자리의 숫자는 분수 Y의 해당 숫자보다 큽니다.

분수 X와 Y에서 이보다 높은 모든 숫자는 동일합니다.

12.25 > 12.16. 처음 두 자리는 같고(12 = 12), 세 번째 자리는 더 큽니다(2 > 1).
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

즉, 소수점 이하 자릿수를 하나씩 살펴보며 차이점을 찾아봅니다. 이 경우 더 큰 숫자는 더 큰 분수에 해당합니다.

그러나 이 정의에는 설명이 필요합니다. 예를 들어 소수점 이하 자릿수를 쓰고 비교하는 방법은 무엇입니까? 기억하세요: 십진수 형식으로 작성된 숫자에는 왼쪽에 0이 추가될 수 있습니다. 다음은 몇 가지 예입니다.

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (우리 얘기 중이야고위직에 대해).
2300.5 > 0.0025, 왜냐하면 0.0025 = 0000.0025 - 왼쪽에 0이 3개 추가되었습니다. 이제 차이가 첫 번째 숫자인 2 > 0에서 시작되는 것을 볼 수 있습니다.

물론, 0이 있는 주어진 예에는 명백한 과잉이 있었지만 요점은 정확히 이것입니다: 왼쪽의 누락된 비트를 채우고 비교하십시오.

일. 분수 비교:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

정의에 따르면 다음과 같습니다.

0.029 > 0.007. 처음 두 자리가 일치하면(00 = 00) 차이가 시작됩니다(2 > 0).
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0.00003 > 0.0000099. 여기서는 0을 주의 깊게 계산해야 합니다. 두 분수의 처음 5자리 숫자는 0이지만 첫 번째 분수에는 3이 있고 두 번째 분수에는 0이 있습니다. 분명히 3 > 0입니다.
1700.1 > 0.99501. 두 번째 분수를 0000.99501로 다시 작성하고 왼쪽에 3개의 0을 추가해 보겠습니다. 이제 모든 것이 명확해졌습니다. 1 > 0 - 차이는 첫 번째 숫자에서 감지됩니다.

불행하게도 주어진 비교 방식은 소수보편적이지 않습니다. 이 방법은 비교만 가능합니다. 양수. 일반적인 경우 작동 알고리즘은 다음과 같습니다.

양의 분수는 항상 음의 분수보다 큽니다.
위의 알고리즘을 사용하여 두 개의 양수 분수를 비교합니다.
두 개의 음수 분수는 같은 방식으로 비교되지만 결국 부등호가 반전됩니다.

글쎄, 나쁘지 않지? 이제 살펴 보겠습니다. 구체적인 예-그리고 모든 것이 명확해질 것입니다.

일. 분수 비교:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
-0.192 > -0.39. 분수는 음수이고 두 번째 자리는 다릅니다. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > −11,3. 정수항상 더 부정적입니다.
19.032 > 0.091. 차이가 이미 첫 번째 숫자에서 발생하는지 확인하려면 두 번째 분수를 00.091 형식으로 다시 작성하는 것으로 충분합니다.
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. 차이점은 첫 번째 범주에 있습니다.

안에 일상 생활우리는 종종 분수 수량을 비교해야 합니다. 대부분의 경우 이로 인해 어려움이 발생하지 않습니다. 실제로 모든 사람은 사과 반 개가 1/4보다 크다는 것을 이해합니다. 하지만 이를 수학적 표현으로 쓰면 혼란스러울 수 있습니다. 다음을 사용하여 수학적 규칙, 이 작업에 쉽게 대처할 수 있습니다.

분모가 같은 분수를 비교하는 방법

이러한 분수는 비교하기 가장 편리합니다. 이 경우 다음 규칙을 사용하십시오.

분모는 같지만 분자가 다른 두 분수 중에서 분자가 더 큰 분수는 더 크고, 분자가 작은 분수는 더 작습니다.

예를 들어 분수 3/8과 5/8을 비교해 보세요. 이 예에서는 분모가 동일하므로 이 규칙을 적용합니다. 삼<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

실제로 피자 두 개를 8조각으로 자르면 조각의 3/8은 항상 5/8보다 작습니다.

분자가 같고 분모가 다른 분수 비교하기

이 경우 분모 지분의 크기가 비교됩니다. 적용할 규칙은 다음과 같습니다.

두 분수의 분자가 같으면 분모가 더 작은 분수가 더 큽니다.

예를 들어 분수 3/4과 3/8을 비교해 보세요. 이 예에서는 분자가 동일하므로 두 번째 규칙을 사용합니다. 분수 3/4는 분수 3/8보다 분모가 더 작습니다. 따라서 3/4>3/8

실제로, 피자 3조각을 4등분해서 먹으면, 피자 3조각을 8등분해서 먹는 것보다 포만감이 더 커집니다.

분자와 분모가 다른 분수 비교하기

우리는 세 번째 규칙을 적용합니다:

분모가 다른 분수를 비교하려면 분모가 같은 분수도 비교해야 합니다. 이렇게 하려면 분수를 공통 분모로 줄이고 첫 번째 규칙을 사용해야 합니다.

예를 들어, 분수와 를 비교해야 합니다. 더 큰 분수를 결정하기 위해 이 두 분수를 공통 분모로 줄입니다.

이제 두 번째 추가 요소인 6:3=2를 찾아보겠습니다. 우리는 그것을 두 번째 분수 위에 씁니다: