입구두 숫자 사이의 평균값입니다. 산술 평균과 그 속성. 판매 지역별 무역 회사 "Vesna"의 매장 분포, 평방피트 중
이 용어에는 다른 의미가 있습니다. 평균 의미를 참조하세요.평균(수학과 통계에서) 숫자 집합 - 모든 숫자의 합을 해당 숫자로 나눈 것입니다. 이는 중심경향을 측정하는 가장 일반적인 척도 중 하나입니다.
이는 피타고라스 학파에 의해 (기하 평균 및 조화 평균과 함께) 제안되었습니다.
산술 평균의 특별한 경우는 평균(일반 모집단)과 표본 평균(표본)입니다.
소개
데이터 세트를 나타내자 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, 엑스 N), 표본 평균은 일반적으로 변수 (x ̅ (\displaystyle (\bar (x))) 위에 수평 막대로 표시되며 " 엑스줄로").
그리스 문자 μ는 전체 인구의 산술 평균을 나타내는 데 사용됩니다. 평균값이 결정되는 확률 변수의 경우 μ는 다음과 같습니다. 확률 평균또는 무작위 변수의 수학적 기대. 세트인 경우 엑스확률적 평균 μ를 갖는 난수 모음입니다. 임의의 샘플에 대해 엑스 나이 집합에서 μ = E( 엑스 나)는 이 표본의 수학적 기대값입니다.
실제로 μ와 x̅ (\displaystyle (\bar (x)))의 차이점은 전체가 아닌 샘플을 볼 수 있기 때문에 μ가 일반적인 변수라는 것입니다. 일반 인구. 따라서 표본이 (확률 이론의 관점에서) 무작위로 표현되면 x̅ (\displaystyle (\bar (x))) (그러나 μ는 아님)은 표본에 대한 확률 분포를 갖는 무작위 변수로 처리될 수 있습니다( 평균의 확률 분포).
이 두 수량은 모두 같은 방식으로 계산됩니다.
X ̅ = 1n ∑ i = 1n x i = 1n (x 1 + ⋯ + xn) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)
만약에 엑스는 랜덤 변수이고 수학적 기대값은 다음과 같습니다. 엑스수량을 반복적으로 측정할 때 값의 산술 평균으로 간주될 수 있습니다. 엑스. 이것이 율법의 발현이다 큰 숫자. 따라서 표본 평균은 알려지지 않은 기대값을 추정하는 데 사용됩니다.
평균은 초등학교 대수학에서 입증되었습니다. N+ 평균보다 높은 숫자 1개 N숫자는 새 숫자가 이전 평균보다 큰 경우에만, 새 숫자가 평균보다 작은 경우에만 감소하고, 새 숫자가 평균과 같은 경우에만 변경되지 않습니다. 더 N, 새로운 평균과 이전 평균의 차이가 작을수록.
거듭제곱 평균, 콜모고로프 평균, 조화 평균, 산술-기하 평균 및 다양한 가중 평균(예: 가중 산술 평균, 가중 기하 평균, 가중 조화 평균)을 포함하여 여러 가지 다른 "평균"을 사용할 수 있습니다.
예
- 세 개의 숫자의 경우 숫자를 더하고 3으로 나누어야 합니다.
- 숫자 4개의 경우 숫자를 더한 후 4로 나누어야 합니다.
또는 더 간단하게: 5+5=10, 10:2. 우리는 2개의 숫자를 더하고 있었기 때문에, 이는 우리가 더한 숫자의 수를 의미하므로 그 숫자로 나눕니다.
연속확률변수
연속적으로 분포된 양 f (x) (\displaystyle f(x))에 대해 구간 [ a ; b ] (\displaystyle )은 정적분을 통해 결정됩니다.
F (x) ̅ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) 에프엑스(f(x)dx)
평균 사용의 몇 가지 문제
견고성 부족
주요 기사: 통계의 견고성산술 평균은 종종 평균 또는 중심 경향으로 사용되지만 이 개념은 강력한 통계가 아닙니다. 즉, 산술 평균은 "큰 편차"에 크게 영향을 받습니다. 왜도 계수가 큰 분포의 경우 산술 평균이 "평균" 개념과 일치하지 않을 수 있으며 견고한 통계(예: 중앙값)의 평균 값이 중앙값을 더 잘 설명할 수 있다는 점은 주목할 만합니다. 성향.
전형적인 예는 평균 소득을 계산하는 것입니다. 산술 평균은 중위수로 잘못 해석될 수 있으며, 이는 실제보다 소득이 높은 사람이 더 많다는 결론으로 이어질 수 있습니다. “평균” 소득은 대부분의 사람들이 이 수치 근처의 소득을 갖고 있다는 의미로 해석됩니다. 이 "평균"(산술 평균의 의미에서) 소득은 대부분의 사람들의 소득보다 높습니다. 왜냐하면 평균과의 편차가 큰 높은 소득으로 인해 산술 평균이 크게 왜곡되기 때문입니다(반대로 중위 소득의 평균 소득은 그러한 왜곡에 "저항"합니다). 그러나 이 "평균" 소득은 중위 소득에 가까운 사람의 수에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다(그리고 모달 소득에 가까운 사람의 수에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다). 그러나 '평균'과 '대부분의 사람'이라는 개념을 가볍게 받아들이면 대부분의 사람의 소득이 실제보다 높다는 잘못된 결론을 내릴 수 있습니다. 예를 들어, 워싱턴 주 메디나의 "평균" 순이익에 대한 보고서는 주민들의 모든 연간 순이익에 대한 산술 평균으로 계산되며 놀랍게도 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 큰 숫자빌게이츠 때문이다. 표본(1, 2, 2, 2, 3, 9)을 고려하십시오. 산술 평균은 3.17인데 6개 중 5개가 이 평균보다 낮습니다.
복리
주요 기사: 투자 수익숫자라면 곱하다, 하지만 겹, 산술평균이 아닌 기하평균을 사용해야 합니다. 대부분이 사건은 금융 투자 수익을 계산할 때 발생합니다.
예를 들어, 주식이 첫 해에 10% 하락하고 두 번째 해에 30% 상승한 경우 해당 2년 동안의 "평균" 증가를 산술 평균(−10% + 30%) / 2으로 계산하는 것은 올바르지 않습니다. = 10%; 이 경우 정확한 평균은 복합 연간 성장률로 제공되며, 이는 연간 성장률이 약 8.16653826392% ≒ 8.2%에 불과합니다.
그 이유는 백분율이 매번 새로운 시작점을 갖기 때문입니다. 즉, 30%는 30%입니다. 첫 해 초의 가격보다 적은 숫자에서:어떤 주식이 30달러에서 시작하여 10% 하락했다면 두 번째 해 초에는 27달러의 가치가 있습니다. 만약 주가가 30% 상승했다면 두 번째 해 말에는 35.1달러의 가치가 있을 것입니다. 이 성장의 산술 평균은 10%인데, 2년 동안 주가가 5.1달러만 올랐기 때문에, 평균 키 8.2%에서 최종 결과는 $35.1입니다.
[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. 같은 방법으로 평균을 사용하면 산술 값 10%이면 실제 값을 얻을 수 없습니다: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
2년 말 복리: 90% * 130% = 117%, 즉 총 증가율은 17%이고, 연평균 복리 이자는 117% ≒ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\대략 108.2\%) , 즉 연평균 8.2% 증가한 수치입니다.
지도
주요 기사: 목적지 통계주기적으로 변하는 일부 변수(예: 위상 또는 각도)의 산술 평균을 계산할 때는 특별한 주의가 필요합니다. 예를 들어, 1°와 359°의 평균은 1 Ø + 359 Ø 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°입니다. 이 숫자는 두 가지 이유로 올바르지 않습니다.
- 첫째, 각도 측정값은 0° ~ 360°(또는 라디안으로 측정할 경우 0 ~ 2π) 범위에 대해서만 정의됩니다. 따라서 동일한 숫자 쌍은 (1° 및 −1°) 또는 (1° 및 719°)로 쓸 수 있습니다. 각 쌍의 평균값은 다릅니다: 1 Ø + (− 1 Ø) 2 = 0 Ø (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 Ø + 719 Ø 2 = 360 Ø (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ 동그라미 )) .
- 둘째, 이 경우, 0°(360°와 동일) 값은 기하학적으로 더 나은 평균이 됩니다. 숫자가 다른 값보다 0°에서 덜 벗어나기 때문입니다(값 0°의 차이가 가장 작음). 비교하다:
- 숫자 1°는 0°에서 단 1°만 벗어납니다.
- 숫자 1°는 계산된 평균 180° x 179°에서 벗어납니다.
위 공식을 사용하여 계산된 순환 변수의 평균 값은 실제 평균에 비해 수치 범위의 중간으로 인위적으로 이동됩니다. 따라서 평균은 다른 방식으로 계산됩니다. 즉, 분산이 가장 작은 숫자(중심점)를 평균값으로 선택합니다. 또한 뺄셈 대신 모듈러 거리(즉, 원주 거리)를 사용합니다. 예를 들어, 1°와 359° 사이의 모듈 거리는 358°가 아니라 2°입니다(359°와 360° 사이의 원에서==0° - 1도, 0°와 1° 사이 - 총 1°) - 2 °).
4.3. 평균값. 평균값의 본질과 의미
평균 사이즈통계에서 질적으로 동질적인 인구의 단위당 다양한 특성의 값을 반영하여 특정 장소 및 시간 조건에서 현상의 일반적인 수준을 특성화하는 일반적인 지표입니다. 경제 실무에서는 평균값으로 계산되는 다양한 지표가 사용됩니다.
예를 들어, 근로자 소득에 대한 일반 지표 주식회사(JSC)는 근로자 1인의 평균 소득으로, 기금 비율에 따라 결정됩니다. 임금검토 대상 기간(연도, 분기, 월)에 대한 JSC 근로자 수에 대한 사회적 지급.
평균을 계산하는 것은 일반적인 일반화 기술 중 하나입니다. 평균 지표는 연구 대상 인구의 모든 단위에 대한 공통(전형적)을 반영하는 동시에 개별 단위의 차이를 무시합니다. 모든 현상과 그 발전에는 조합이 있습니다. 사고그리고 필요한.평균을 계산할 때 대수의 법칙의 작용으로 인해 무작위성이 상쇄되고 균형이 맞춰지므로 현상의 중요하지 않은 특징, 각 특정 사례의 특성의 정량적 값에서 추상화하는 것이 가능합니다. . 개별 값의 무작위성과 변동을 추상화하는 능력은 평균의 과학적 가치에 있습니다. 일반화하다인구의 특성.
일반화가 필요한 경우 이러한 특성을 계산하면 속성의 다양한 개별 값이 대체됩니다. 평균전체 현상 집합을 특징짓는 지표로, 개별 현상에서는 보이지 않지만 대중 사회 현상에 내재된 패턴을 식별할 수 있습니다.
평균은 연구되는 현상의 특징적이고 전형적인 실제 수준을 반영하고 이러한 수준과 시간과 공간의 변화를 특징 짓습니다.
평균은 그것이 발생하는 조건에서 프로세스 법칙의 요약 특성입니다.
4.4. 평균의 종류와 계산 방법
평균 유형의 선택이 결정됩니다. 경제 내용특정 지표 및 초기 데이터. 각각의 특정 경우에 평균값 중 하나가 사용됩니다. 산술, 가르모닉, 기하학, 2차, 3차등. 나열된 평균은 클래스에 속합니다. 차분한평균.
검정력 평균 외에도 구조적 평균은 통계 실무에서 사용되며 최빈값과 중앙값으로 간주됩니다.
전력 평균에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다.
산술 평균
평균의 가장 일반적인 유형은 다음과 같습니다. 평균 산수.전체 인구에 대한 다양한 특성의 양이 개별 단위의 특성 값의 합인 경우에 사용됩니다. 사회 현상은 다양한 속성의 양의 가산성(전체성)이 특징입니다. 이는 산술 평균의 적용 범위를 결정하고 일반적인 지표로서 그 보급률을 설명합니다. 예를 들어 총 임금 기금은 임금의 합계입니다. 모든 근로자의 총 수확량은 전체 파종 기간 동안 생산된 생산량의 합계입니다.
산술 평균을 계산하려면 모든 특성 값의 합을 해당 숫자로 나누어야 합니다.
산술 평균은 다음 형식으로 사용됩니다. 단순 평균과 가중 평균.초기 정의 형식은 단순 평균입니다.
단순 산술 평균평균화되는 특성의 개별 값의 단순 합계를 이러한 값의 총 수로 나눈 것과 같습니다(특성의 그룹화되지 않은 개별 값이 있는 경우에 사용됩니다).
어디 
- 변수(변형)의 개별 값 중
- 인구의 단위 수.
또한 합계 한계는 공식에 표시되지 않습니다. 예를 들어, 15명의 작업자가 각각 몇 개의 부품을 생산했는지 알고 있다면 한 명의 작업자(기계공)의 평균 생산량을 찾아야 합니다. 특성의 개별 값이 PC로 제공됩니다.:
21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
단순 산술 평균은 공식 (4.1), 1 pc를 사용하여 계산됩니다.
다른 횟수로 반복되거나 가중치가 다른 옵션의 평균을 호출합니다. 가중.가중치는 모집단의 여러 그룹에 있는 단위 수입니다(동일한 옵션이 하나의 그룹으로 결합됨).
산술 평균 가중- 그룹화된 값의 평균 - 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
, (4.2)
어디 
- 가중치(동일 기호의 반복 빈도)
-
특징의 크기와 빈도의 곱의 합;
-
총 인구 단위 수.
위에서 설명한 예를 사용하여 산술 가중 평균을 계산하는 기술을 설명합니다. 이를 위해 소스 데이터를 그룹화하여 테이블에 배치합니다. 4.1.
표 4.1
부품생산을 위한 인력배분
공식 (4.2)에 따르면 가중 산술 평균은 다음과 같습니다.
어떤 경우에는 가중치가 절대값이 아닌 상대적 값(단위의 백분율 또는 분수)으로 표시될 수 있습니다. 그러면 산술 가중 평균의 공식은 다음과 같습니다.
어디 
- 특수성, 즉 전체 합계에서 각 주파수가 차지하는 비율
빈도를 분수(계수)로 계산하면 
= 1이고 산술 가중 평균 공식의 형식은 다음과 같습니다.
그룹 평균에서 가중 산술 평균 계산 
다음 공식에 따라 수행됩니다.
,
어디 에프- 각 그룹의 단위 수.
그룹 평균으로부터 산술 평균을 계산한 결과가 표에 나와 있습니다. 4.2.
표 4.2
평균 근속 기간별 근로자 분포
이 예에서 옵션은 개별 근로자의 근속 기간에 대한 개별 데이터가 아니라 각 작업장의 평균입니다. 천칭 에프상점의 근로자 수입니다. 따라서 기업 전체에서 근로자의 평균 업무 경험은 다음과 같습니다.
.
분포 계열의 산술 평균 계산
평균화되는 특성 값이 간격("from - to") 형식으로 지정되는 경우, 즉 분포의 간격 계열을 사용하면 산술 평균을 계산할 때 이러한 간격의 중간점이 그룹의 특성 값으로 간주되어 이산 계열이 형성됩니다. 다음 예를 고려하십시오(표 4.3).
간격 값을 평균 값/(단순 평균)으로 대체하여 간격 계열에서 이산 계열로 이동해 보겠습니다.
표 4.3
JSC 근로자의 월급 수준별 분포
|
근로자 그룹 |
근로자 수 |
간격의 중간 |
|
|
임금, 문지름. |
사람들, 에프 |
장애., 엑스 |
|
|
900 이상 |
|||
열린 간격(첫 번째 및 마지막)의 값은 조건부로 인접한 간격(두 번째 및 두 번째)과 동일합니다.
이러한 평균 계산을 사용하면 그룹 내 특성 단위의 균일한 분포에 대해 가정이 이루어지기 때문에 약간의 부정확성이 허용됩니다. 그러나 간격이 좁고 간격의 단위가 많을수록 오류는 더 작아집니다.
간격의 중간점을 찾은 후에는 이산 계열에서와 동일한 방식으로 계산이 수행됩니다. 즉, 옵션에 빈도(가중치)를 곱하고 곱의 합을 빈도(가중치)의 합으로 나눕니다. , 천 루블:
.
그래서, 평균 수준 JSC 근로자의 보수는 729 루블입니다. 달마다.
산술 평균을 계산하는 데는 많은 시간과 노력이 소요되는 경우가 많습니다. 그러나 많은 경우 해당 속성을 사용하면 평균 계산 절차가 단순화되고 용이해질 수 있습니다. 산술 평균의 몇 가지 기본 속성을 (증명 없이) 제시해 보겠습니다.
속성 1. 특성의 모든 개별 값(예: 모든 옵션) 감소 또는 증가 나횟수 다음으로 평균값 새로운 특성은 이에 따라 감소하거나 증가합니다. 나한 번.
속성 2. 평균화되는 특성의 모든 변형이 감소하는 경우숫자 A만큼 바느질하거나 늘리면 산술 평균이 해당됩니다.실제로는 같은 숫자 A만큼 감소하거나 증가합니다.
속성 3. 평균화된 모든 옵션의 가중치가 감소하는 경우 또는 증가 에게 시간이 지나면 산술 평균은 변하지 않습니다.
평균 가중치로 절대 지표 대신 전체 합계(점유율 또는 백분율)에서 특정 가중치를 사용할 수 있습니다. 이는 평균 계산을 단순화합니다.
평균 계산을 단순화하기 위해 옵션 및 빈도 값을 줄이는 경로를 따릅니다. 가장 큰 단순화는 다음과 같이 달성됩니다. ㅏ빈도가 가장 높은 중앙 옵션 중 하나의 값은 / - 간격 값(동일한 간격을 갖는 계열의 경우)으로 선택됩니다. 수량 A를 기준점이라고 부르므로 이 평균을 계산하는 방법을 "조건부 0에서 계산하는 방법" 또는 "순간의 방식으로."
모든 옵션이 있다고 가정하자 엑스처음에는 같은 숫자 A만큼 감소한 다음 나한 번. 우리는 새로운 옵션의 분포에 대한 새로운 변형 시리즈를 얻습니다. 
.
그 다음에 새로운 옵션다음과 같이 표현됩니다:
,
그리고 그들의 새로운 산술 평균 
, -첫 주문 순간-공식:
.
이는 원래 옵션의 평균과 동일하며 먼저 ㅏ,그리고 나서 나한 번.
실제 평균을 얻으려면 1차 모멘트가 필요합니다. 중 1 , 곱하기 나그리고 추가하세요 ㅏ:
.
변화 계열로부터 산술 평균을 계산하는 이 방법을 "순간의 방식으로."이 방법은 동일한 간격으로 행에 사용됩니다.
모멘트 방법을 사용한 산술 평균 계산은 표의 데이터에 설명되어 있습니다. 4.4.
표 4.4
2000년 고정생산자산(FPF) 가치에 따른 지역 내 중소기업 분포.
|
OPF 가치, 천 루블에 따른 기업 그룹. |
기업수 에프 |
간격의 중간점 엑스 |
|
|
|
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 |
||||
첫 번째 주문 순간 찾기
.
그런 다음 A = 19를 취하고 다음을 알 수 있습니다. 나= 2, 계산하다 엑스,천 루블.:
평균값의 유형 및 계산 방법
통계 처리 단계에서는 다양한 연구 문제가 설정될 수 있으며, 이를 해결하려면 적절한 평균을 선택해야 합니다. 이 경우 다음 규칙을 따라야 합니다. 평균의 분자와 분모를 나타내는 양은 논리적으로 서로 관련되어야 합니다.
- 전력 평균;
- 구조적 평균.
다음을 소개해보자 기호:
평균이 계산되는 수량
평균. 위의 막대는 개별 값의 평균화가 발생함을 나타냅니다.
빈도(개별 특성 값의 반복성).
다양한 평균은 다음에서 파생됩니다. 일반식전력 평균:
(5.1)
k = 1일 때 - 산술 평균; k = -1 - 조화 평균; k = 0 - 기하 평균; k = -2 - 제곱 평균 제곱근.
평균값은 단순하거나 가중될 수 있습니다. 가중 평균이는 속성 값의 일부 변형이 서로 다른 숫자를 가질 수 있으므로 각 옵션에 이 숫자를 곱해야 한다는 점을 고려한 값입니다. 즉, "척도"는 서로 다른 그룹의 집계 단위 수입니다. 각 옵션은 빈도에 따라 "가중치"가 적용됩니다. 주파수 f는 다음과 같습니다. 통계적 가중치또는 평균 체중.
산술 평균- 가장 일반적인 유형의 평균입니다. 그룹화되지 않은 통계 데이터에 대해 계산을 수행할 때 평균 항을 구해야 하는 경우에 사용됩니다. 산술 평균은 특성의 평균 값으로, 집합체에서 특성의 총량이 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.
산술 평균 공식( 단순한) 형식을 갖습니다.
여기서 n은 인구 규모입니다.
예를 들어 기업 직원의 평균 급여는 산술 평균으로 계산됩니다.
여기서 결정 지표는 각 직원의 급여와 기업 직원 수입니다. 평균을 계산할 때 임금 총액은 동일하게 유지되었지만 모든 직원에게 균등하게 분배되었습니다. 예를 들어, 직원이 8명인 소규모 회사의 직원 평균 급여를 계산해야 합니다.
평균값을 계산할 때 평균화되는 특성의 개별 값이 반복될 수 있으므로 계산은 평균 크기그룹화된 데이터를 사용하여 생성됩니다. 이 경우 우리 얘기 중이야사용에 대해 산술 평균 가중, 이는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
(5.3)
그래서 우리는 증권거래소에서 주식회사의 평균주가를 계산해야 합니다. 해당 거래는 5일(5건) 이내에 이루어진 것으로 알려졌으며, 판매율로 판매된 주식 수는 다음과 같이 분배되었습니다.
1 - 800ak. - 1010 문지름.
2 - 650ak. - 990 문지름.
3 - 700ak. - 1015 문지름.
4 - 550ak. - 900 문지름.
5 - 850ak. - 1150 문지름.
평균 주식 가격을 결정하는 초기 비율은 총 거래 금액(TVA)과 판매 주식 수(KPA)의 비율입니다.
이제 이야기 해 봅시다 평균을 계산하는 방법.
고전적인 방식으로 일반 이론통계는 평균값을 선택하는 규칙의 한 가지 버전을 제공합니다.
먼저, 평균값(AFV)을 계산하기 위한 올바른 논리 공식을 만들어야 합니다. 각 평균값에는 계산을 위한 논리 공식이 항상 하나만 있으므로 여기서 실수하기는 어렵습니다. 그러나 우리는 분자(분수의 맨 위에 있는 것)에는 모든 현상의 합계가 있고 분모(분수의 맨 아래에 있는 것)에는 총 요소 수가 있다는 것을 항상 기억해야 합니다.
논리 공식이 컴파일된 후에는 규칙을 사용할 수 있습니다(이해를 돕기 위해 규칙을 단순화하고 단축하겠습니다).
1. 소스 데이터(빈도에 따라 결정됨)에 논리식의 분모가 포함된 경우 가중 산술 평균 공식을 사용하여 계산이 수행됩니다.
2. 원본 데이터에 논리식의 분자가 있는 경우 가중 조화 평균 공식을 사용하여 계산이 수행됩니다.
3. 문제가 논리식의 분자와 분모를 모두 나타내는 경우(이런 일은 거의 발생하지 않음) 이 공식이나 간단한 산술 평균 공식을 사용하여 계산을 수행합니다.
이것은 평균을 계산하기 위해 올바른 공식을 선택하는 고전적인 아이디어입니다. 다음으로 평균값 계산 문제를 해결할 때의 일련의 작업을 제시합니다.
평균값 계산 문제를 해결하기 위한 알고리즘
A. 평균값 계산 방법 결정 - 단순 또는 가중치 . 데이터가 표로 표현된 경우에는 가중치 방식을 사용하고, 데이터가 단순 열거형으로 표현된 경우에는 단순 계산 방법을 사용합니다.
B. 기호를 정의하거나 배열합니다. 엑스 - 옵션, 에프 - 빈도 . 옵션은 어떤 현상에 대해 평균값을 구하려는 것입니다. 테이블의 나머지 데이터는 빈도가 됩니다.
B. 평균값 계산 형식을 결정합니다. 산술 또는 조화 . 결정은 빈도 열을 사용하여 수행됩니다. 빈도가 명시적인 수량으로 지정되는 경우 산술 형식이 사용됩니다(조건부로 단어 조각, 요소 수 "조각"으로 대체 가능). 주파수가 명시적인 수량으로 지정되지 않고 복잡한 표시기(평균 수량과 주파수의 곱)로 지정되는 경우 고조파 형식이 사용됩니다.
가장 어려운 것은 특히 그러한 문제에 경험이 없는 학생의 경우 어디에 얼마만큼의 양이 제공되는지 추측하는 것입니다. 이러한 상황에서는 다음 방법 중 하나를 사용할 수 있습니다. 일부 작업(경제적)의 경우 수년간의 실무를 통해 개발된 설명이 적합합니다(포인트 B.1). 다른 상황에서는 B.2 지점을 사용해야 합니다.
B.1 주파수가 화폐 단위(루블)로 제공되면 조화 평균이 계산에 사용됩니다. 이 진술은 항상 참입니다. 식별된 주파수가 화폐로 제공되면 다른 상황에서는 이 규칙이 적용되지 않습니다.
B.2 이 기사 위에 표시된 평균값 선택 규칙을 사용하십시오. 빈도가 평균값을 계산하기 위한 논리식의 분모로 주어지면 산술 평균 형식을 사용하여 계산합니다. 빈도가 평균값을 계산하기 위한 논리식의 분자로 주어지면 다음을 사용하여 계산합니다. 조화 평균 형태.
이 알고리즘을 사용하는 예를 살펴보겠습니다.
A. 데이터가 일렬로 표시되기 때문에 간단한 계산 방식을 사용합니다.
B.V. 우리는 연금 금액에 대한 데이터만 가지고 있으며 이는 우리의 선택이 될 것입니다 - x. 데이터는 단순 숫자(12명)로 표시되며 계산에는 단순 산술 평균을 사용합니다.
연금 수급자의 평균 연금은 9208.3 루블입니다.
B. 우리는 찾아야 하기 때문에 평균 크기자녀당 지불액이 있는 경우 옵션은 첫 번째 열에 있으며 거기에 x를 지정하면 두 번째 열은 자동으로 빈도 f가 됩니다.
B. 빈도(어린이 수)는 명시적인 수량으로 제공됩니다(러시아어 관점에서 볼 때 이것은 조각이라는 단어로 대체할 수 있지만 실제로는 매우 편리합니다. 확인), 이는 가중 산술 평균이 계산에 사용됨을 의미합니다.
동일한 문제는 공식적 방법이 아닌 테이블 형식, 즉 중간 계산의 모든 데이터를 테이블에 입력하여 해결할 수 있습니다.
결과적으로 지금 해야 할 일은 두 합계를 올바른 순서로 분리하는 것뿐입니다.
한 달에 어린이 당 평균 지불액은 1,910 루블이었습니다.
A. 데이터를 표로 제시하였기 때문에 가중치를 적용하여 계산하였습니다.
B. 빈도(생산 비용)는 암시적 수량으로 제공됩니다(빈도는 루블 알고리즘 B1)의 포인트는 가중 조화 평균이 계산에 사용된다는 것을 의미합니다. 일반적으로 생산 비용은 본질적으로 제품 단위 비용에 해당 제품 수를 곱하여 얻은 복잡한 지표이며 이것이 조화 평균값의 본질입니다.
산술평균 공식을 사용하여 이 문제를 해결하려면 생산 비용 대신 해당 비용을 갖는 제품 수가 있어야 합니다.
계산 후 얻은 분모의 합은 410(120+80+210)이며 이는 생산된 총 제품 수입니다.
제품 단위당 평균 비용은 314.4 루블이었습니다.
A. 데이터를 표로 제시하였기 때문에 가중치를 적용하여 계산하였습니다.
B. 제품 단위당 평균 비용을 찾아야하므로 옵션은 첫 번째 열에 있으며 거기에 x를 지정하고 두 번째 열은 자동으로 빈도 f가됩니다.
B. 빈도(총 결석 횟수)는 암묵적 양(결석 횟수와 해당 결석 횟수를 나타내는 학생 수의 두 지표의 곱)으로 제공되며, 이는 가중 조화 평균이 사용됨을 의미합니다. 계산을 위해. 우리는 알고리즘 B2의 포인트를 사용할 것입니다.
산술평균 공식을 이용하여 이 문제를 풀기 위해서는 총 결석 횟수 대신 학생 수가 있어야 한다.
학생당 평균 결석 횟수를 계산하기 위한 논리 공식을 만듭니다.
작업 조건별 빈도 총 누락 횟수입니다. 논리식에서 이 표시는 분자에 있습니다. 즉, 조화 평균 공식을 사용한다는 의미입니다.
31(18+8+5)을 계산한 후 분모의 합이 전체 학생 수임을 참고하시기 바랍니다.
학생 1인당 평균 결석일수는 13.8일입니다.
여러 직원이 작업을 완료하는 데 걸리는 평균 일수를 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다. 또는 10년의 시간 간격을 계산하려고 합니다. 특정 날짜의 평균 기온입니다. 여러 가지 방법으로 일련의 숫자의 평균을 계산합니다.
평균은 통계 분포에서 일련의 숫자 중심이 위치하는 중심 경향 측정값의 함수입니다. 세 가지가 중심 경향의 가장 일반적인 기준입니다.
평균산술 평균은 일련의 숫자를 더한 다음 해당 숫자의 수를 나누어 계산합니다. 예를 들어 2, 3, 3, 5, 7, 10의 평균은 30을 6.5로 나눈 값입니다.
중앙값일련의 숫자의 평균 수입니다. 숫자의 절반은 중앙값보다 큰 값을 갖고, 숫자의 절반은 중앙값보다 작은 값을 갖습니다. 예를 들어 2, 3, 3, 5, 7, 10의 중앙값은 4입니다.
방법숫자 그룹에서 가장 일반적인 숫자입니다. 예를 들어 모드 2, 3, 3, 5, 7 및 10 - 3입니다.
일련의 숫자의 대칭 분포인 중심 경향의 세 가지 측정값은 동일합니다. 여러 숫자의 비대칭 분포에서는 서로 다를 수 있습니다.
같은 행이나 열에 인접한 셀의 평균을 계산합니다.
다음과 같이하세요:
무작위 셀의 평균 계산
이 작업을 수행하려면 다음 기능을 사용하십시오. 평균. 아래 표를 빈 종이에 복사하세요.
가중평균 계산
총생산그리고 금액. v이 예에서는 세 번의 구매에 걸쳐 지불된 평균 단가를 계산합니다. 여기서 각 구매는 서로 다른 단가의 서로 다른 단위 수에 대한 것입니다.
아래 표를 빈 종이에 복사하세요.
0 값을 제외한 숫자의 평균 계산
이 작업을 수행하려면 다음 기능을 사용하세요. 평균그리고 만약에. 아래 표를 복사하고, 이 예에서는 이해하기 쉽도록 빈 종이에 복사해 두는 것을 명심하세요.
산술 평균은 주어진 데이터 배열의 평균값을 나타내는 통계 지표입니다. 이 표시기는 분수로 계산되며, 분자는 배열의 모든 값의 합이고 분모는 숫자입니다. 산술평균은 일상적인 계산에 사용되는 중요한 계수입니다.
계수의 의미
산술 평균은 데이터를 비교하고 허용 가능한 값을 계산하기 위한 기본 지표입니다. 예를 들어, 여러 상점에서 특정 제조업체의 맥주 캔을 판매합니다. 그러나 한 상점에서는 67 루블, 다른 상점에서는 70 루블, 세 번째 상점에서는 65 루블, 마지막 상점에서는 62 루블이 들었습니다. 가격은 매우 다양하므로 구매자는 제품을 구매할 때 비용을 비교할 수 있도록 캔의 평균 비용에 관심을 가질 것입니다. 해당 도시의 맥주 캔 평균 가격은 다음과 같습니다.
평균 가격 = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 루블.
평균 가격을 알면 제품을 구매하는 것이 수익성이 있는 곳과 초과 지불해야 하는 곳을 쉽게 결정할 수 있습니다.
산술 평균은 동질적인 데이터 세트를 분석하는 경우 통계 계산에 지속적으로 사용됩니다. 위의 예에서 이는 동일한 브랜드의 맥주 캔 가격입니다. 그러나 다른 제조업체의 맥주 가격이나 맥주와 레모네이드의 가격을 비교할 수는 없습니다. 이 경우 가치의 확산이 더 커지고 평균 가격이 흐려지고 신뢰할 수 없으며 계산의 의미 자체가 달라지기 때문입니다. 캐리커처 수준으로 왜곡될 것"이라고 말했다. 평온병원 근처야." 이종 데이터 세트를 계산하기 위해 각 값이 자체 가중치 계수를 받을 때 가중치 산술 평균이 사용됩니다.
산술 평균 계산
계산 공식은 매우 간단합니다.
P = (a1 + a2 + … an) / n,
여기서 an은 수량의 값이고, n은 값의 총 개수입니다.
이 지표는 어떤 용도로 사용될 수 있나요? 그것의 첫 번째이자 명백한 용도는 통계입니다. 거의 모든 통계 연구에서는 산술 평균을 사용합니다. 그것은 수 평균 연령러시아의 결혼, 학생의 과목 평균 성적 또는 일일 평균 식료품 지출. 위에서 언급했듯이 가중치를 고려하지 않고 평균을 계산하면 이상하거나 터무니없는 값이 생성될 수 있습니다.
예를 들어, 대통령 러시아 연방통계에 따르면 러시아인의 평균 급여는 27,000 루블이라고 성명을 발표했습니다. 대부분의 러시아 거주자에게는 이러한 수준의 급여가 터무니없는 것처럼 보였습니다. 계산할 때 과두제, 산업 기업의 수장, 대규모 은행가의 소득과 교사, 청소부 및 판매자의 급여를 다른 한편으로 고려하는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 예를 들어 회계사와 같은 한 전문 분야의 평균 급여조차도 모스크바, 코스트로마 및 예카테린부르크에서는 심각한 차이가 있습니다.
이질적인 데이터의 평균을 계산하는 방법
급여 상황에서는 각 값의 가중치를 고려하는 것이 중요합니다. 이는 과두제와 은행가의 급여가 예를 들어 0.00001의 가중치를 받고 영업 사원의 급여는 0.12라는 것을 의미합니다. 이것은 예상치 못한 숫자이지만 러시아 사회에서 과두제와 판매원이 널리 퍼져 있음을 대략적으로 보여줍니다.
따라서 이질적인 데이터 세트의 평균 또는 평균값의 평균을 계산하려면 산술 가중 평균을 사용해야합니다. 그렇지 않으면 러시아에서 27,000 루블의 평균 급여를 받게됩니다. 당신의 모습을 알고 싶다면 평균 평점수학 또는 선택한 하키 선수가 득점한 평균 골 수를 계산하는 경우 산술 평균 계산기가 적합합니다.
우리 프로그램은 산술 평균을 계산하는 간단하고 편리한 계산기입니다. 계산을 수행하려면 매개변수 값만 입력하면 됩니다.
몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
평균점수 계산
많은 교사들은 산술 평균 방법을 사용하여 과목의 연간 성적을 결정합니다. 아이가 수학에서 3, 3, 5, 4의 4분의 1 점수를 받았다고 상상해 봅시다. 교사는 그 아이에게 연간 몇 점을 주나요? 계산기를 사용하여 산술 평균을 계산해 봅시다. 시작하려면 적절한 수의 필드를 선택하고 표시되는 셀에 등급 값을 입력하십시오.
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
교사는 학생에게 유리하게 값을 반올림하고 학생은 해당 학년도에 B를 받게 됩니다.
먹은 사탕의 계산
산술 평균의 부조리함을 몇 가지 설명해 보겠습니다. Masha와 Vova가 사탕 10개를 가지고 있다고 상상해 봅시다. Masha는 사탕 8개를 먹었고 Vova는 2개만 먹었습니다. 각 어린이는 평균 몇 개의 사탕을 먹었습니까? 계산기를 사용하면 아이들이 평균 5개의 사탕을 먹었다는 사실을 쉽게 계산할 수 있는데, 이는 전혀 사실이 아니며 상식. 이 예는 의미 있는 데이터 세트에 산술 평균이 중요하다는 것을 보여줍니다.
결론
산술 평균의 계산은 많은 과학 분야에서 널리 사용됩니다. 이 지표는 통계 계산뿐만 아니라 물리학, 기계, 경제, 의학 또는 금융 분야에서도 널리 사용됩니다. 산술 평균 계산과 관련된 문제를 해결하려면 계산기를 보조 도구로 사용하세요.
무엇보다도 eq. 실제로는 단순 산술 평균과 가중 산술 평균으로 계산할 수 있는 산술 평균을 사용해야 합니다.
산술평균(SA)-N가장 일반적인 유형의 평균입니다. 전체 인구에 대한 다양한 특성의 양이 개별 단위의 특성 값의 합인 경우에 사용됩니다. 사회 현상은 다양한 특성의 가산성(전체성)을 특징으로 하며, 이는 SA의 적용 범위를 결정하고 일반적인 지표로서 SA의 유병률을 설명합니다. 예를 들어, 일반 급여 기금은 모든 직원의 급여를 합한 것입니다.
SA를 계산하려면 모든 특성 값의 합계를 해당 숫자로 나누어야 합니다. SA는 2가지 형태로 사용됩니다.
먼저 간단한 산술 평균을 고려해 보겠습니다.
1-CA 단순 (초기, 정의 형식)은 평균화되는 특성의 개별 값의 단순 합계를 이러한 값의 총 수로 나눈 것과 같습니다(특성의 그룹화되지 않은 인덱스 값이 있을 때 사용됨).
수행된 계산은 다음 공식으로 일반화될 수 있습니다.
(1)
어디 
- 다양한 특성의 평균값, 즉 단순 산술 평균
요약, 즉 개별 특성을 추가하는 것을 의미합니다.
엑스- 변형이라고 불리는 다양한 특성의 개별 값
N - 인구 단위 수
예 1, 15명의 작업자가 각각 몇 개의 부품을 생산했는지 알 수 있는 경우, 한 명의 작업자(기계공)의 평균 생산량을 구해야 합니다. 일련의 산업이 주어졌습니다. 속성 값, 개: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
단순 SA는 공식 (1), PC로 계산됩니다.
실시예2. 무역회사에 포함된 20개 매장에 대한 조건부 데이터를 기반으로 SA를 계산해보자(Table 1). 1 번 테이블
판매 지역별 무역 회사 "Vesna"의 매장 분포, 평방피트 중
|
매장번호 |
매장번호 | ||
평균 매장 면적을 계산하려면 ( 
) 모든 매장의 면적을 더하고 결과 결과를 매장 수로 나누어야 합니다.
따라서 이 소매 기업 그룹의 평균 매장 면적은 71평방미터입니다.
따라서 단순 SA를 결정하려면 해당 속성의 모든 값의 합계를 해당 속성을 소유한 단위 수로 나누어야 합니다.
2
어디 에프 1
,
에프 2
,
… ,에프 N
–
무게(동일 기호의 반복 빈도); – 특징의 크기와 빈도의 곱의 합 – 총 인구 단위 수.
(2)
어디 엑스- 옵션;
에프- 빈도(무게).
Weighted SA는 옵션과 해당 빈도의 곱의 합을 모든 빈도의 합으로 나눈 몫입니다. 주파수( 에프) SA 수식에 나타나는 것은 일반적으로 호출됩니다. 저울, 그 결과 가중치를 고려하여 계산된 SA를 가중치라고 합니다.
위에서 설명한 예제 1을 사용하여 가중치 SA를 계산하는 기술을 설명합니다. 이를 위해 초기 데이터를 그룹화하여 테이블에 배치합니다.
그룹화된 데이터의 평균은 다음과 같이 결정됩니다. 먼저 옵션에 빈도를 곱한 다음 제품을 더하고 결과 합계를 빈도의 합으로 나눕니다.
공식(2)에 따르면 가중 SA는 PC와 동일합니다. 
피
판매 면적, 평방피트별 Vesna 매장 분포 중
따라서 결과는 동일했습니다. 그러나 이는 이미 가중 산술 평균 값입니다.
이전 예에서는 절대 빈도(점포 수)를 알고 있는 경우 산술 평균을 계산했습니다. 그러나 많은 경우 절대빈도는 존재하지 않으나 상대빈도가 알려져 있거나, 흔히 부르는 것처럼 비율을 나타내는 주파수 또는전체 세트의 주파수 비율.
SA 가중치 사용량을 계산할 때 주파수주파수를 여러 자리의 큰 숫자로 표현하면 계산을 단순화할 수 있습니다. 계산은 동일하게 진행되나, 평균값이 100배로 증가하므로 결과를 100으로 나누어야 합니다.
그러면 산술 가중 평균의 공식은 다음과 같습니다.
어디 디- 빈도, 즉. 모든 주파수의 총합에서 각 주파수가 차지하는 비율.
(3)예시 2에서는 먼저 Vesna 회사의 전체 매장 수에서 그룹별 매장 점유율을 확인합니다. 따라서 첫 번째 그룹의 비중은 10%에 해당합니다. 
. 우리는 다음 데이터를 얻습니다 표3