일반 사인 공식. 사인과 코사인을 사용하여 탄젠트와 코탄젠트 구하기. 자, 원에서 점 찾기를 연습하면서 이 공식을 시험해 봅시다.

학생들이 가장 어려워하는 수학 분야 중 하나는 삼각법입니다. 이는 놀라운 일이 아닙니다. 이 지식 영역을 자유롭게 마스터하려면 공간적 사고, 공식을 사용하여 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 찾는 능력, 표현을 단순화하고 숫자 pi를 사용할 수 있는 능력이 필요합니다. 계산. 또한 정리를 증명할 때 삼각법을 사용할 수 있어야 하며 이를 위해서는 개발된 수학적 기억이나 복잡한 논리 체인을 도출하는 능력이 필요합니다.

삼각법의 기원

이 과학에 익숙해지기 위해서는 사인, 코사인 및 각도 탄젠트의 정의부터 시작해야 하지만 먼저 삼각법이 일반적으로 수행하는 작업을 이해해야 합니다.

역사적으로 이 수리과학 분야의 주요 연구 대상은 직각삼각형이었습니다. 90도 각도가 있으면 두 변과 한 각도 또는 두 각도와 한 변을 사용하여 문제의 그림의 모든 매개 변수 값을 결정할 수 있는 다양한 작업을 수행할 수 있습니다. 과거에 사람들은 이 패턴을 발견하고 건물 건설, 항해, 천문학, 심지어 예술 분야에서도 적극적으로 사용하기 시작했습니다.

첫 단계

처음에 사람들은 직각삼각형의 예만을 사용하여 각도와 변의 관계에 대해 이야기했습니다. 그런 다음 사용 범위를 확장할 수 있는 특별한 공식이 발견되었습니다. 일상 생활이 수학 분야.

오늘날 학교의 삼각법 연구는 직각삼각형으로 시작되며, 그 후 학생들은 습득한 물리학 지식을 사용하고 추상적인 문제를 해결합니다. 삼각 방정식, 고등학교부터 시작되는 작업입니다.

구형 삼각법

나중에 과학이 다음 단계의 발전에 도달했을 때 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 공식이 구면 기하학에 사용되기 시작했습니다. 여기서는 다른 규칙이 적용되고 삼각형 각도의 합은 항상 180도 이상입니다. 이 섹션은 학교에서 공부하지 않지만 적어도 그 존재에 대해 알아야합니다. 지구의 표면, 그리고 다른 행성의 표면은 볼록합니다. 이는 모든 표면 표시가 3차원 공간에서 "호 모양"이 된다는 것을 의미합니다.

지구본과 실을 가져 가세요. 실이 팽팽해지도록 지구본의 두 지점에 실을 연결합니다. 참고하세요 - 호 모양을 취했습니다. 구형 기하학은 측지학, 천문학 및 기타 이론 및 응용 분야에서 사용되는 이러한 형태를 다룹니다.

정삼각형

삼각법을 사용하는 방법에 대해 조금 배웠으므로 사인, 코사인, 탄젠트가 무엇인지, 도움을 받아 수행할 수 있는 계산 및 사용할 수식을 더 자세히 이해하기 위해 기본 삼각법으로 돌아가겠습니다.

첫 번째 단계는 직각삼각형과 관련된 개념을 이해하는 것입니다. 첫째, 빗변은 90도 각도의 반대편입니다. 가장 길다. 피타고라스 정리에 따르면 그 수치는 다른 두 변의 제곱합의 루트와 같다는 것을 기억합니다.

예를 들어 두 변의 길이가 각각 3센티미터와 4센티미터라면 빗변의 길이는 5센티미터가 됩니다. 그건 그렇고, 고대 이집트인들은 약 4500년 전에 이것에 대해 알고 있었습니다.

직각을 이루는 나머지 두 변을 다리라고 합니다. 또한 직교 좌표계에서 삼각형 각도의 합은 180도라는 것을 기억해야 합니다.

정의

마지막으로 기하학적 기초에 대한 확실한 이해를 통해 사인, 코사인 및 각도 탄젠트의 정의를 살펴볼 수 있습니다.

각도의 사인은 비율입니다. 반대편(즉, 반대편 원하는 각도) 빗변으로. 각도의 코사인은 비율입니다. 인접한 다리빗변에.

사인이나 코사인은 1보다 클 수 없다는 점을 기억하세요! 왜? 빗변은 기본적으로 가장 길기 때문에 다리의 길이에 관계없이 빗변보다 짧으므로 비율은 항상 동일합니다. 1개 미만. 따라서 문제에 대한 답에서 1보다 큰 값을 갖는 사인 또는 코사인을 얻으면 계산이나 추론에서 오류를 찾으십시오. 이 답변은 분명히 잘못된 것입니다.

마지막으로 각도의 탄젠트는 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다. 사인을 코사인으로 나누면 같은 결과가 나옵니다. 보세요: 공식에 따라 변의 길이를 빗변으로 나눈 다음 두 번째 변의 길이로 나누고 빗변을 곱합니다. 따라서 우리는 접선의 정의와 동일한 관계를 얻습니다.

따라서 코탄젠트는 모서리에 인접한 변과 반대쪽 변의 비율입니다. 하나를 접선으로 나누어도 동일한 결과를 얻습니다.

이제 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지에 대한 정의를 살펴보고 공식으로 넘어갈 수 있습니다.

가장 간단한 공식

삼각법에서는 공식 없이는 할 수 없습니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 찾는 방법은 무엇입니까? 그러나 이것이 바로 문제를 해결할 때 필요한 것입니다.

삼각법을 공부하기 시작할 때 알아야 할 첫 번째 공식은 각도의 사인과 코사인의 제곱의 합이 1과 같다는 것입니다. 이 공식은 피타고라스 정리의 직접적인 결과이지만, 변의 크기가 아닌 각도의 크기를 알아야 할 경우 시간이 절약됩니다.

많은 학생들은 학교 문제를 해결할 때 매우 인기 있는 두 번째 공식을 기억하지 못합니다. 1과 각도 탄젠트의 제곱의 합은 1을 각도의 코사인의 제곱으로 나눈 것과 같습니다. 자세히 살펴보십시오. 이것은 첫 번째 공식과 동일한 진술입니다. 항등식의 양쪽만 코사인의 제곱으로 나누어졌습니다. 간단한 수학적 연산이 가능하다는 것이 밝혀졌습니다. 삼각법 공식완전히 인식할 수 없습니다. 기억하십시오: 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 무엇인지, 변환 규칙 및 몇 가지 기본 공식을 알고 있으면 언제든지 필요한 추가 정보를 독립적으로 도출할 수 있습니다. 복잡한 수식종이에.

이중 각도 및 인수 추가에 대한 공식

배워야 할 두 가지 공식은 각도의 합과 차이에 대한 사인 및 코사인 값과 관련이 있습니다. 아래 그림에 나와 있습니다. 첫 번째 경우에는 사인과 코사인이 두 번 곱해지고 두 번째 경우에는 사인과 코사인의 쌍별 곱이 추가됩니다.

이중 각도 인수와 관련된 공식도 있습니다. 그것들은 이전 것에서 완전히 파생되었습니다. 훈련으로서 알파 각도를 취하여 직접 얻으려고 노력하십시오. 각도와 같다베타.

마지막으로 사인, 코사인, 탄젠트 알파의 거듭제곱을 줄이기 위해 이중 각도 공식을 다시 배열할 수 있습니다.

정리

기본 삼각법의 두 가지 주요 정리는 사인 정리와 코사인 정리입니다. 이러한 정리를 사용하면 사인, 코사인 및 탄젠트를 찾는 방법과 그림의 면적, 각 변의 크기 등을 쉽게 이해할 수 있습니다.

사인 정리는 삼각형의 각 변의 길이를 반대 각도로 나누면 같은 수가 나온다는 것입니다. 또한 이 숫자는 외접원, 즉 주어진 삼각형의 모든 점을 포함하는 원의 두 반지름과 같습니다.

코사인 정리는 피타고라스 정리를 일반화하여 이를 모든 삼각형에 투영합니다. 두 변의 제곱의 합에서 인접한 각도의 이중 코사인을 곱한 곱을 빼면 결과 값은 세 번째 변의 제곱과 같습니다. 따라서 피타고라스의 정리는 코사인 정리의 특별한 경우임이 밝혀졌습니다.

부주의한 실수

사인, 코사인, 탄젠트가 무엇인지 알더라도 방심이나 가장 간단한 계산의 오류로 인해 실수하기 쉽습니다. 이러한 실수를 피하기 위해 가장 인기 있는 실수를 살펴보겠습니다.

첫째, 최종 결과를 얻을 때까지 분수를 소수로 변환하면 안 됩니다. 답은 다음과 같이 남겨 둘 수 있습니다. 공통 분수, 조건에 달리 명시되지 않는 한. 이러한 변형을 실수라고 할 수는 없지만 문제의 각 단계에서 저자의 생각에 따라 줄여야 하는 새로운 뿌리가 나타날 수 있다는 점을 기억해야 합니다. 이 경우 불필요한 수학 연산에 시간을 낭비하게 됩니다. 이는 3의 근이나 2의 근과 같은 값의 경우 특히 그렇습니다. 모든 단계에서 문제에서 발견되기 때문입니다. "못생긴" 숫자를 반올림하는 경우에도 마찬가지입니다.

또한 코사인 정리는 모든 삼각형에 적용되지만 피타고라스 정리는 적용되지 않습니다! 실수로 두 변의 곱과 두 변 사이의 각도의 코사인을 곱한 값을 빼는 것을 잊어버리면 완전히 잘못된 결과를 얻을 뿐만 아니라 주제에 대한 이해가 완전히 부족함을 보여줍니다. 이것은 부주의한 실수보다 더 나쁜 것입니다.

셋째, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에 대해 30도 및 60도 각도 값을 혼동하지 마십시오. 사인 30도는 코사인 60과 같고 그 반대도 마찬가지이므로 이 값을 기억하십시오. 혼동하기 쉽기 때문에 필연적으로 잘못된 결과를 얻게 됩니다.

애플리케이션

많은 학생들이 삼각법의 실제적인 의미를 이해하지 못하기 때문에 서두르지 않고 삼각법 공부를 시작합니다. 엔지니어나 천문학자에게 사인, 코사인, 탄젠트란 무엇입니까? 이것은 먼 별까지의 거리를 계산하거나, 운석의 낙하를 예측하거나, 연구 탐사선을 다른 행성으로 보낼 수 있는 개념입니다. 그것들이 없으면 건물을 짓고, 자동차를 설계하고, 표면에 가해지는 하중이나 물체의 궤적을 계산하는 것이 불가능합니다. 그리고 이것들은 가장 분명한 예일 뿐입니다! 결국, 어떤 형태로든 삼각법은 음악에서 의학에 이르기까지 모든 곳에서 사용됩니다.

마지막으로

그래서 당신은 사인, 코사인, 탄젠트입니다. 이를 계산에 사용하고 학교 문제를 성공적으로 해결할 수 있습니다.

삼각법의 요점은 삼각형의 알려진 매개변수를 사용하여 미지수를 계산해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 총 6개의 매개변수가 있습니다: 세 변의 길이와 크기 세 모퉁이. 작업의 유일한 차이점은 서로 다른 입력 데이터가 제공된다는 점입니다.

사인, 코사인, 탄젠트를 찾는 방법 알려진 길이다리인지 빗변인지 이제 아시겠죠? 이 용어는 비율에 지나지 않으며 비율은 분수이므로, 주요 목표삼각법 문제는 근을 찾는 것이 됩니다 일반 방정식또는 방정식 시스템. 그리고 여기서 정규 학교 수학이 도움이 될 것입니다.

예:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

논증과 의미

예각의 코사인

예각의 코사인직각 삼각형을 사용하여 결정할 수 있습니다. 이는 빗변에 대한 인접한 다리의 비율과 같습니다.

예 :

1) 각도가 주어지면 이 각도의 코사인을 결정해야 합니다.

2) 이 각에 대해 직각삼각형을 완성해 봅시다.

3) 필요한 측면을 측정한 후 코사인을 계산할 수 있습니다.

숫자의 코사인

숫자 원을 사용하면 모든 숫자의 코사인을 결정할 수 있지만 일반적으로 다음과 관련된 숫자의 코사인을 찾을 수 있습니다. \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

예를 들어, 숫자 \(\frac(π)(6)\)의 경우 코사인은 \(\frac(\sqrt(3))(2)\) 와 같습니다. 그리고 숫자 \(-\)\(\frac(3π)(4)\)의 경우 \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\)와 같습니다(대략 \ (-0 ,71\)).

실제로 자주 발생하는 다른 숫자에 대한 코사인은 참조하세요.

코사인 값은 항상 \(-1\)에서 \(1\) 사이의 범위에 있습니다. 이 경우 코사인은 모든 각도와 숫자에 대해 계산될 수 있습니다.

모든 각도의 코사인

숫자 원 덕분에 코사인을 결정할 수 있을 뿐만 아니라 예각, 또한 둔하고 음수이며 \(360°\)보다 더 큽니다(완전 회전). 방법은 \(100\)번 듣는 것보다 한번 보시는 것이 더 쉽기 때문에 그림을 참고해주세요.

이제 설명하겠습니다. 각도의 코사인을 결정해야 한다고 가정합니다. 코아\(150°\) 단위의 각도 측정. 포인트를 결합해 에 대한원의 중심과 측면으로 좋아요– \(x\) 축을 사용합니다. 그런 다음 시계 반대 방향으로 \(150°\) 따로 보관합니다. 그러면 점의 세로좌표는 ㅏ이 각도의 코사인을 보여드리겠습니다.

예를 들어 \(-60°\)(각도) 단위의 각도에 관심이 있는 경우 KOV), 동일하게 수행하되 \(60°\)를 시계 방향으로 설정합니다.

그리고 마지막으로 각도는 \(360°\)(각도)보다 큽니다. CBS) - 모든 것이 어리석은 것과 비슷합니다. 시계 방향으로 완전히 회전한 후에만 두 번째 원으로 이동하여 "도 부족을 얻습니다". 특히 우리의 경우 각도 \(405°\)는 \(360° + 45°\)로 표시됩니다.

예를 들어 \(960°\)로 각도를 그리려면 두 번 회전해야 하며(\(360°+360°+240°\)), \(2640)의 각도를 그리려면 쉽게 추측할 수 있습니다. °\) - 전체 7개.

대체할 수 있듯이 숫자의 코사인과 임의 각도의 코사인은 거의 동일하게 정의됩니다. 원에서 점을 찾는 방식만 변경됩니다.

분기별 코사인 부호

코사인 축(즉, 그림에서 빨간색으로 강조 표시된 가로축)을 사용하면 숫자(삼각) 원을 따라 코사인의 부호를 쉽게 결정할 수 있습니다.

축의 값이 \(0\)에서 \(1\)까지인 경우 코사인에는 더하기 기호(I 및 IV 분기 - 녹색 영역)가 표시됩니다.
- 축의 값이 \(0\)부터 \(-1\)까지인 경우 코사인에는 마이너스 기호가 표시됩니다(II 및 III 분기 - 보라색 영역).

다른 삼각함수와의 관계:

- 같은 각도(혹은 개수) : 메인 삼각함수 항등식\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- 동일한 각도(또는 숫자): 공식 \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- 그리고 같은 각도(또는 숫자)의 사인: 공식 \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
가장 일반적으로 사용되는 다른 수식은 참조하세요.

방정식 \(\cos⁡x=a\)의 해

방정식 \(\cos⁡x=a\)에 대한 해법입니다. 여기서 \(a\)는 \(1\)보다 크지 않고 \(-1\)보다 작지 않습니다. 즉, \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

\(a>1\) 또는 \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

예 . 삼각 방정식 \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\)을 푼다.
해결책:

숫자원을 이용하여 방정식을 풀어봅시다. 이를 위해:
1) 축을 만들어 봅시다.
2) 원을 만들어 봅시다.
3) 코사인 축(\(y\)축)에 \(\frac(1)(2)\) 점을 표시합니다.
4) 이 점을 통해 코사인 축에 수직인 선을 그립니다.
5) 수직선과 원의 교차점을 표시합니다.
6) 다음 점의 값에 서명해 보겠습니다. \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) 이 점에 해당하는 모든 값을 \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) 공식을 사용하여 적어 보겠습니다.
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

답변: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

함수 \(y=\cos(x)\)

\(x\) 축을 따라 라디안 단위로 각도를 플롯하고 \(y\) 축을 따라 이러한 각도에 해당하는 코사인 값을 플롯하면 다음 그래프를 얻습니다.

이 그래프는 호출되며 다음과 같은 속성을 갖습니다.

정의 영역은 x의 값입니다: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- 값 범위 – \(-1\)부터 \(1\)까지: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- 짝수: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- 주기가 \(2π\)인 주기적: \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- 좌표축과의 교차점:
가로축: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), 여기서 \(n ϵ Z\)
Y축: \((0;1)\)
- 부호의 불변성 간격:
함수는 구간에서 양수입니다: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), 여기서 \(n ϵ Z\)
함수는 구간에서 음수입니다: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), 여기서 \(n ϵ Z\)
- 증가 및 감소 간격:
함수는 간격에 따라 증가합니다: \((π+2πn;2π+2πn)\), 여기서 \(n ϵ Z\)
함수는 \((2πn;π+2πn)\) 구간에서 감소합니다. 여기서 \(n ϵ Z\)
- 함수의 최대값과 최소값:
함수는 \(x=2πn\) 지점에서 최대값 \(y=1\)을 갖습니다. 여기서 \(n ϵ Z\)
이 함수는 \(x=π+2πn\) 지점에서 최소값 \(y=-1\)을 갖습니다. 여기서 \(n ϵ Z\)입니다.

삼각법적 정체성- 이것은 한 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 간의 관계를 설정하는 등식으로, 다른 함수가 알려진 경우 이러한 함수 중 하나를 찾을 수 있습니다.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

이 항등식은 한 각도의 사인의 제곱과 한 각도의 코사인의 제곱의 합이 1과 같다는 것을 의미합니다. 이는 실제로 코사인이 알려진 경우 한 각도의 사인을 계산할 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. .

삼각함수 표현식을 변환할 때 이 항등식은 매우 자주 사용됩니다. 이를 통해 한 각도의 코사인과 사인의 제곱의 합을 하나로 바꾸고 교체 작업을 역순으로 수행할 수도 있습니다.

사인과 코사인을 사용하여 탄젠트와 코탄젠트 찾기

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

이러한 항등식은 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 정의로 구성됩니다. 결국 보면 정의에 따라 세로 좌표 y는 사인이고 가로 좌표 x는 코사인입니다. 그러면 접선은 비율과 같습니다. \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), 및 비율 \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- 코탄젠트가 됩니다.

그 안에 포함된 삼각 함수가 의미가 있는 각도 \alpha에 대해서만 항등식이 유지된다는 점을 추가해 보겠습니다. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

예를 들어: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)은 다음과 다른 각도 \alpha에 유효합니다. \frac(\pi)(2)+\pi z, ㅏ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z 이외의 각도 \alpha에 대해 z는 정수입니다.

탄젠트와 코탄젠트의 관계

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

이 항등식은 각도 \alpha에 대해서만 유효합니다. \frac(\pi)(2) z. 그렇지 않으면 코탄젠트나 탄젠트가 결정되지 않습니다.

위의 점을 바탕으로 우리는 다음을 얻습니다. tg \alpha = \frac(y)(x), ㅏ ctg \alpha=\frac(x)(y). 그것은 다음과 같습니다 tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. 따라서, 같은 각도의 탄젠트와 코탄젠트는 서로 역수입니다.

탄젠트와 코사인, 코탄젠트와 사인의 관계

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- 각도 \alpha와 1의 탄젠트의 제곱의 합은 이 각도의 코사인의 역제곱과 같습니다. 이 ID는 다음을 제외한 모든 \alpha에 유효합니다. \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1과 각도 \alpha의 코탄젠트의 제곱의 합은 주어진 각도의 사인의 역제곱과 같습니다. 이 ID는 \pi z와 다른 \alpha에 대해 유효합니다.

삼각함수 항등식을 사용한 문제 해결의 예

실시예 1

다음과 같은 경우 \sin \alpha와 tg \alpha를 찾으세요. \cos \alpha=-\frac12그리고 \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

솔루션 표시

해결책

함수 \sin \alpha와 \cos \alpha는 다음 공식과 관련되어 있습니다. \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. 이 공식에 대입하면 \cos \alpha = -\frac12, 우리는 다음을 얻습니다:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

이 방정식에는 두 가지 해가 있습니다.

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

조건별 \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . 2분기에는 사인이 양수이므로 \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tan\alpha를 구하기 위해 다음 공식을 사용합니다. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

실시예 2

다음과 같은 경우 \cos \alpha 및 ctg \alpha를 찾으세요. \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

솔루션 표시

해결책

공식으로 대체 \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1주어진 숫자 \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), 우리는 얻는다 \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. 이 방정식에는 두 가지 해가 있습니다. \cos \알파 = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

조건별 \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . 2분기에는 코사인이 음수이므로 \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha 를 찾기 위해 다음 공식을 사용합니다. ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). 우리는 해당 값을 알고 있습니다.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

이번 글에서는 기부 방법을 알려드리겠습니다. 삼각법에서 각도와 숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 정의. 여기에서는 표기법에 대해 이야기하고 항목의 예를 제공하며 그래픽 일러스트레이션을 제공합니다. 결론적으로 삼각법과 기하학에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의 사이에 유사점을 그려 보겠습니다.

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사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 정의

학교 수학 과정에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 개념이 어떻게 형성되는지 살펴 보겠습니다. 기하학 수업에서는 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의가 제공됩니다. 그리고 나중에 회전 각도와 숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 이야기하는 삼각법이 연구됩니다. 이러한 모든 정의를 제시하고 예를 제시하고 필요한 설명을 제공하겠습니다.

직각삼각형의 예각

기하학 과정에서 우리는 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의를 알고 있습니다. 그들은 측면의 비율로 제공됩니다 정삼각형. 그들의 공식을 제시해 보겠습니다.

정의.

직각 삼각형의 예각 사인빗변에 대한 대변의 비율입니다.

정의.

직각삼각형의 예각의 코사인빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

정의.

직각삼각형의 예각의 접선– 인접면에 대한 반대면의 비율입니다.

정의.

직각삼각형의 예각의 코탄젠트- 인접면과 반대면의 비율입니다.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대한 지정(sin, cos, tg 및 ctg)도 각각 도입되었습니다.

예를 들어 ABC가 직각 C를 갖는 직각삼각형이라면 예각 A의 사인은 대변 BC와 빗변 AB의 비율, 즉 sin∠A=BC/AB와 같습니다.

이러한 정의를 사용하면 알려진 사인, 코사인, 탄젠트 값뿐만 아니라 알려진 직각 삼각형의 변 길이로부터 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 계산할 수 있습니다. 코탄젠트와 변 중 하나의 길이를 구하여 다른 변의 길이를 구합니다. 예를 들어, 직각 삼각형에서 변 AC가 3이고 빗변 AB가 7이라는 것을 안다면 정의에 따라 예각 A의 코사인 값을 계산할 수 있습니다. cos∠A=AC/ AB=3/7.

회전 각도

삼각법에서는 각도를 더 광범위하게 보기 시작합니다. 회전 각도의 개념을 도입합니다. 예각과 달리 회전 각도의 크기는 0~90도로 제한되지 않습니다. 각도(및 라디안) 단위의 회전 각도는 -무한대에서 +무한대까지의 실수로 표현될 수 있습니다.

이 관점에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 예각이 아니라 임의 크기의 각도, 즉 회전 각도로 제공됩니다. 이는 점 A 1의 x 및 y 좌표를 통해 제공되며, 소위 시작점 A(1, 0)는 점 O를 중심으로 각도 α만큼 회전한 후 이동합니다. 이는 직교 직교 좌표계의 시작입니다. 그리고 단위원의 중심.

정의.

회전 각도의 사인α는 점 A1의 세로좌표, 즉 sinα=y이다.

정의.

회전 각도의 코사인α는 점 A1의 가로좌표, 즉 cosα=x라고 불린다.

정의.

회전 각도의 접선α는 점 A1의 세로 좌표와 가로 좌표의 비율, 즉 tanα=y/x입니다.

정의.

회전 각도의 코탄젠트α는 점 A1의 가로좌표와 세로좌표의 비율, 즉 ctgα=x/y입니다.

사인과 코사인은 모든 각도 α에 대해 정의됩니다. 왜냐하면 시작점을 각도 α만큼 회전하여 얻은 점의 가로좌표와 세로좌표를 항상 결정할 수 있기 때문입니다. 그러나 탄젠트와 코탄젠트는 어떤 각도에도 정의되지 않습니다. 접선은 시작점이 가로좌표가 0(0, 1) 또는 (0, −1)인 점으로 가는 각도 α에 대해 정의되지 않으며 이는 각도 90°+180° k, k∈Z(π)에서 발생합니다. /2+π·k rad). 실제로 이러한 회전 각도에서 tgα=y/x라는 표현은 0으로 나누기를 포함하므로 의미가 없습니다. 코탄젠트의 경우 시작점이 세로 좌표가 0인 (1, 0) 또는 (−1, 0) 점으로 가는 각도 α에 대해서는 정의되지 않으며 이는 각도 180° k, k ∈Z에 대해 발생합니다. (π·k rad).

따라서 모든 회전 각도에 대해 사인과 코사인이 정의되고, 90°+180°k, k∈Z(π/2+πk rad)를 제외한 모든 각도에 대해 탄젠트가 정의되고, 180°·k를 제외한 모든 각도에 대해 코탄젠트가 정의됩니다. , k∈Z(π·k rad).

정의에는 이미 우리에게 알려진 sin, cos, tg 및 ctg 지정이 포함되며 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 지정하는 데에도 사용됩니다(때로는 탄젠트 및 코탄젠트에 해당하는 지정 tan 및 cot를 찾을 수 있음) . 따라서 30도 회전 각도의 사인은 sin30°로 쓸 수 있으며 항목 tg(−24°17′) 및 ctgα는 회전 각도 −24 도 17분의 탄젠트 및 회전 각도 α의 코탄젠트에 해당합니다. . 각도의 라디안 단위를 쓸 때 "rad"라는 명칭이 종종 생략된다는 점을 기억하십시오. 예를 들어, 3pi rad의 회전각의 코사인은 일반적으로 cos3·π로 표시됩니다.

이 점의 결론적으로 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 말할 때 "회전 각도"라는 문구 또는 "회전"이라는 단어가 생략되는 경우가 많다는 점에 주목할 가치가 있습니다. 즉, "회전 각도 알파의 사인"이라는 문구 대신 "알파 각도의 사인" 또는 더 짧게는 "사인 알파"라는 문구가 일반적으로 사용됩니다. 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에도 동일하게 적용됩니다.

또한 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 0도에서 90도 범위의 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 주어진 정의와 일치한다고 말할 것입니다. 우리는 이것을 정당화할 것입니다.

숫자

정의.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 숫자 t는 각각 t 라디안 단위의 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 동일한 숫자입니다.

예를 들어, 정의에 따라 숫자 8·π의 코사인은 8·π rad 각도의 코사인과 동일한 숫자입니다. 그리고 8·π rad 각도의 코사인은 1과 같으므로 숫자 8·π의 코사인은 1과 같습니다.

숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 결정하는 또 다른 접근 방식이 있습니다. 각 실수 t는 직각 좌표계의 원점을 중심으로 하는 단위원 위의 한 점과 연관되어 있으며 이 점의 좌표를 통해 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 결정된다는 사실로 구성됩니다. 이에 대해 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

실수와 원 위의 점 사이에 대응 관계가 어떻게 설정되는지 보여드리겠습니다.

• 숫자 0에는 시작점 A(1, 0)이 할당됩니다.
• 양수 t는 단위원의 한 점과 연관되어 있으며, 시작점에서 반시계 방향으로 원을 따라 이동하고 길이 t의 경로를 걸으면 도달하게 됩니다.
• 음수 t는 단위원의 한 점과 연관되어 있으며, 시작점에서 시계 방향으로 원을 따라 이동하고 길이 |t|의 경로를 걸으면 도달하게 됩니다. .

이제 숫자 t의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의로 넘어갑니다. 숫자 t가 원 A 1 (x, y) 위의 한 점에 해당한다고 가정합니다(예를 들어 숫자 &pi/2;는 점 A 1 (0, 1)에 해당함).

정의.

숫자의 사인 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위 점의 세로 좌표, 즉 sint=y입니다.

정의.

숫자의 코사인 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 점의 가로좌표, 즉 비용=x라고 합니다.

정의.

숫자의 탄젠트 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위의 점의 가로 좌표에 대한 세로 좌표의 비율, 즉 tgt=y/x입니다. 또 다른 등가 공식에서 숫자 t의 탄젠트는 이 숫자의 사인 대 코사인의 비율, 즉 tgt=sint/cost입니다.

정의.

숫자의 코탄젠트 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위의 점의 세로 좌표에 대한 가로 좌표의 비율, 즉 ctgt=x/y입니다. 또 다른 공식은 다음과 같습니다: 숫자 t의 탄젠트는 숫자 t의 코사인과 숫자 t의 사인의 비율입니다: ctgt=cost/sint.

여기서 우리는 방금 제공된 정의가 이 단락의 시작 부분에 제공된 정의와 일치한다는 점에 주목합니다. 실제로 단위원 위의 숫자 t에 해당하는 점은 시작점을 t라디안 각도만큼 회전시켜 얻은 점과 일치합니다.

이 점을 명확히 하는 것은 여전히 ​​가치가 있습니다. 항목 sin3이 있다고 가정해 보겠습니다. 숫자 3의 사인에 대해 이야기하고 있는지 아니면 3라디안 회전 각도의 사인에 대해 이야기하고 있는지 어떻게 이해할 수 있습니까? 이는 일반적으로 문맥을 보면 분명하지만, 그렇지 않으면 근본적으로 중요하지 않을 가능성이 높습니다.

각도 및 숫자 인수의 삼각 함수

이전 단락에 제공된 정의에 따르면 각 회전 각도 α는 cosα 값뿐만 아니라 매우 구체적인 값 sinα에 해당합니다. 또한 90°+180°k, k∈Z(π/2+πk rad) 이외의 회전각은 모두 tgα 값에 해당하고, 180°k 이외의 값은 k∈Z(πk rad) – 값에 해당합니다. ctgα의 . 따라서 sinα, cosα, tanα 및 ctgα는 각도 α의 함수입니다. 즉, 이들은 각도 인수의 함수입니다.

수치 인수의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 함수에 대해서도 비슷하게 말할 수 있습니다. 실제로 각 실수 t는 비용뿐만 아니라 매우 구체적인 값 sint에 해당합니다. 또한, π/2+π·k, k∈Z 이외의 모든 숫자는 tgt 값에 해당하고, 숫자 π·k, k∈Z - ctgt 값에 해당합니다.

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 함수를 호출합니다. 기본 삼각함수 .

우리가 각도 인수 또는 수치 인수의 삼각 함수를 다루고 있는지는 일반적으로 문맥에서 명확합니다. 그렇지 않으면 독립 변수를 각도 측정값(각 인수)과 숫자 인수로 생각할 수 있습니다.

그러나 학교에서는 주로 수치 함수, 즉 인수와 해당 함수 값이 숫자인 함수를 공부합니다. 따라서 함수에 대해 구체적으로 이야기하는 경우 삼각 함수를 수치 인수의 함수로 간주하는 것이 좋습니다.

기하학과 삼각법의 정의 사이의 관계

0도에서 90도 범위의 회전 각도 α를 고려하면 삼각법의 맥락에서 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 완전히 일치합니다. 기하학 과정에서 제공되는 직각 삼각형의 예각. 이것을 정당화해 봅시다.

직사각형 직교 좌표계 Oxy에서 단위원을 묘사해 보겠습니다. 시작점 A(1, 0) 을 표시해 보겠습니다. 0도에서 90도 사이의 각도 α만큼 회전하면 점 A 1(x, y)을 얻습니다. A 1 지점에서 Ox 축으로 수직 A 1 H를 떨어뜨려 보겠습니다.

직각 삼각형에서 각도 A 1 OH는 회전 각도 α와 같고, 이 각도에 인접한 다리 OH의 길이는 점 A 1의 가로좌표, 즉 |OH와 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. |=x, 각도 반대쪽 다리 A 1 H의 길이는 점 A 1의 세로 좌표, 즉 |A 1 H|=y와 같고 빗변 OA 1의 길이는 1과 같습니다. 단위원의 반지름이기 때문입니다. 그런 다음 기하학의 정의에 따라 직각 삼각형 A 1 OH의 예각 α의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율, 즉 sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. 그리고 삼각법의 정의에 따르면 회전 각도 α의 사인은 점 A 1의 세로 좌표와 같습니다. 즉, sinα=y입니다. 이는 직각 삼각형의 예각의 사인을 결정하는 것이 α가 0에서 90도일 때 회전 각도 α의 사인을 결정하는 것과 동일하다는 것을 보여줍니다.

유사하게, 예각 α의 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 회전 각도 α의 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 일치한다는 것을 알 수 있습니다.

서지.

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이 기사에서는 포괄적인 내용을 살펴볼 것입니다. 기본 삼각 항등식은 한 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 사이의 연결을 설정하고 알려진 다른 각도를 통해 이러한 삼각 함수 중 하나를 찾을 수 있도록 하는 등식입니다.

이 기사에서 분석할 주요 삼각법 항등식을 즉시 나열해 보겠습니다. 이를 표에 적어두고 아래에서는 이러한 공식의 결과를 제공하고 필요한 설명을 제공합니다.

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한 각도의 사인과 코사인의 관계

때때로 그들은 위의 표에 나열된 주요 삼각법 항등식에 대해 이야기하지 않고 하나의 단일 항등식에 대해 이야기합니다. 기본 삼각법 항등식친절한 . 이 사실에 대한 설명은 매우 간단합니다. 두 부분을 각각 및 등식으로 나눈 후 주요 삼각법 항등식에서 등식을 얻습니다. 그리고 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 정의를 따릅니다. 이에 대해서는 다음 단락에서 더 자세히 설명하겠습니다.

즉, 주요 삼각법 정체성의 이름이 부여된 것은 특히 흥미로운 평등입니다.

주요 삼각법 항등식을 증명하기 전에 공식을 제시합니다. 한 각도의 사인과 코사인의 제곱의 합은 동일하게 1과 같습니다. 이제 증명해 보겠습니다.

기본 삼각법 항등식은 다음과 같은 경우에 매우 자주 사용됩니다. 삼각함수 표현식 변환. 한 각도의 사인과 코사인의 제곱의 합을 1로 대체할 수 있습니다. 그다지 자주 기본 삼각법 항등식은 역순으로 사용됩니다. 단위는 모든 각도의 사인과 코사인의 제곱합으로 대체됩니다.

사인과 코사인을 통한 탄젠트 및 코탄젠트

탄젠트와 코탄젠트를 하나의 화각의 사인 및 코사인과 연결하는 항등식 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의를 즉시 따릅니다. 실제로 정의에 따르면 사인은 y의 세로좌표이고, 코사인은 x의 가로좌표이고, 탄젠트는 세로좌표와 가로좌표의 비율입니다. , 코탄젠트는 가로좌표와 세로좌표의 비율입니다. 즉, .

이렇게 확실한 아이덴티티 덕분에 탄젠트와 코탄젠트는 가로좌표와 세로좌표의 비율이 아니라 사인과 코사인의 비율을 통해 정의되는 경우가 많습니다. 따라서 각도의 탄젠트는 이 각도의 코사인에 대한 사인의 비율이고, 코탄젠트는 사인에 대한 코사인의 비율입니다.

이 단락의 결론에서는 ID와 여기에 포함된 삼각 함수가 의미가 있는 모든 각도에서 발생합니다. 따라서 수식은 (그렇지 않으면 분모가 0이 되며 0으로 나누기를 정의하지 않았습니다) 이외의 모든 에 대해 유효합니다. - 모두에 대해 , 와는 다릅니다. 여기서 z는 임의입니다.

탄젠트와 코탄젠트의 관계

이전 두 가지보다 훨씬 더 분명한 삼각법 항등식은 형태의 한 각도의 탄젠트와 코탄젠트를 연결하는 항등식입니다. . 이외의 모든 각도에 대해 유지된다는 것이 분명합니다. 그렇지 않으면 탄젠트나 코탄젠트가 정의되지 않습니다.

공식의 증명 매우 간단합니다. 정의에 따라 그리고 어디에서 . 증명은 조금 다르게 수행될 수도 있습니다. 부터 , 저것 .

따라서 동일한 각도의 탄젠트와 코탄젠트는 입니다.