선형 부등식 시스템을 그래픽으로 해결합니다. 불평등 시스템 - 지식 하이퍼마켓 불평등 시스템을 해결하는 방법

이 기사는 불평등 시스템에 대한 초기 정보를 제공합니다. 불평등 시스템의 정의와 불평등 시스템에 대한 해결책의 정의는 다음과 같습니다. 학교의 대수학 수업에서 가장 자주 다루어야 하는 주요 시스템 유형도 나열되어 있으며 예가 제공됩니다.

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불평등 시스템이란 무엇입니까?

방정식 시스템의 정의를 소개한 것과 동일한 방식, 즉 표기법 유형과 표기법에 내재된 의미를 통해 부등식 시스템을 정의하는 것이 편리합니다.

정의.

불평등 시스템는 왼쪽에 중괄호로 통합되어 아래에 하나씩 작성된 특정 수의 불평등을 나타내는 레코드이며 시스템의 각 불평등에 대한 동시에 솔루션인 모든 솔루션 세트를 나타냅니다.

불평등 시스템의 예를 들어 보겠습니다. 예를 들어 2 x−3>0 및 5−x≥4 x−11과 같은 임의의 두 개를 선택하여 하나씩 아래에 적어 보겠습니다.
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
시스템 기호(중괄호)와 결합하면 결과적으로 다음 형식의 불평등 시스템을 얻습니다.

학교 교과서의 불평등 시스템에 대해서도 비슷한 생각이 제시됩니다. 그들의 정의가 더 좁게 제공된다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 하나의 변수가 있는 불평등의 경우 또는 두 개의 변수가 있습니다.

불평등 시스템의 주요 유형

무한히 다양한 불평등 체계를 만들어내는 것이 가능하다는 것은 분명합니다. 이러한 다양성 속에서 길을 잃지 않으려면 고유한 특징을 가진 그룹으로 고려하는 것이 좋습니다. 모든 불평등 시스템은 다음 기준에 따라 그룹으로 나눌 수 있습니다.

• 시스템의 불평등 수에 따라;
• 기록에 관련된 변수의 수에 따라;
• 불평등의 유형 자체에 따라.

기록에 포함된 불평등의 수에 따라 2, 3, 4 등의 체계가 구별됩니다. 불평등 이전 단락에서 우리는 두 가지 불평등의 시스템인 시스템의 예를 제시했습니다. 네 가지 불평등 체계의 또 다른 예를 보여드리겠습니다. .

별도로, 우리는 불평등 시스템에 대해서만 이야기하는 것은 의미가 없다고 말할 것입니다. 이 경우 본질적으로 우리는 시스템에 관한 것이 아니라 불평등 자체에 대해 이야기하고 있습니다.

변수의 수를 살펴보면 1, 2, 3 등의 불평등 시스템이 있습니다. 변수(또는 알 수 없는 변수). 위의 두 문단에 쓰여진 마지막 불평등 체계를 살펴보세요. 세 개의 변수 x, y, z가 있는 시스템입니다. 처음 두 부등식에는 세 변수가 모두 포함되지 않고 그 중 하나만 포함된다는 점에 유의하세요. 이 시스템의 맥락에서 이는 각각 x+0·y+0·z≥−2 및 0·x+y+0·z≤5 형식의 세 변수를 갖는 부등식으로 이해되어야 합니다. 학교는 하나의 변수를 가진 불평등에 초점을 맞추고 있습니다.

녹음 시스템에 어떤 유형의 불평등이 관련되어 있는지 논의하는 것이 남아 있습니다. 학교에서는 주로 하나 또는 두 개의 변수가 있는 두 가지 불평등(덜 자주 - 3개, 더 덜 자주 - 4개 이상) 시스템을 고려하며 불평등 자체는 일반적으로 다음과 같습니다. 완전한 불평등 1차 또는 2차(덜 자주 - 더 높은 차수 또는 분수 합리적). 그러나 통합 상태 시험 준비 자료에서 비합리적, 로그적, 지수적 및 기타 불평등을 포함하는 불평등 시스템을 발견하더라도 놀라지 마십시오. 예를 들어, 불평등 시스템을 제공합니다. , 에서 가져온 것입니다.

불평등 시스템의 해결책은 무엇인가?

불평등 시스템과 관련된 또 다른 정의, 즉 불평등 시스템에 대한 해결책의 정의를 소개하겠습니다.

정의.

하나의 변수를 사용하여 불평등 시스템 풀기시스템의 각 불평등을 참으로 바꾸는 변수의 값, 즉 시스템의 각 불평등에 대한 해결책이라고 합니다.

예를 들어 설명해 보겠습니다. 하나의 변수로 두 개의 부등식을 갖는 시스템을 생각해 봅시다. 변수 x의 값을 8로 가정해 보겠습니다. 이는 정의에 따라 불평등 시스템에 대한 해법입니다. 이를 시스템의 불평등으로 대체하면 두 개의 정확한 수치 불평등 8>7 및 2−3·8≤0이 제공되기 때문입니다. 반대로, 단일성은 변수 x를 대체할 때 첫 번째 부등식이 잘못된 수치 부등식 1>7로 바뀌기 때문에 시스템에 대한 해결책이 아닙니다.

마찬가지로, 두 개, 세 개 또는 그 이상의 변수가 있는 부등식 시스템에 대한 솔루션 정의를 도입할 수 있습니다.

정의.

2, 3 등의 불평등 시스템을 해결합니다. 변수한 쌍, 3개 등으로 불립니다. 동시에 시스템의 모든 불평등에 대한 해결책인 이러한 변수의 값, 즉 시스템의 모든 불평등을 올바른 수치적 불평등으로 바꿉니다.

예를 들어, x=1, y=2 또는 다른 표기법(1, 2)의 값 쌍은 1+2이므로 두 변수가 있는 불평등 시스템에 대한 솔루션입니다.<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

불평등 시스템에는 해가 없을 수도 있고, 유한한 수의 해가 있을 수도 있고, 무한한 수의 해가 있을 수도 있습니다. 사람들은 종종 불평등 시스템에 대한 일련의 해결책에 대해 이야기합니다. 시스템에 솔루션이 없으면 빈 솔루션 세트가 있습니다. 유한한 수의 해가 있는 경우 해 집합은 유한한 수의 요소를 포함하고, 무한히 많은 해가 있는 경우 해 집합은 무한한 수의 요소로 구성됩니다.

일부 출처는 예를 들어 Mordkovich의 교과서에서와 같이 불평등 시스템에 대한 특정하고 일반적인 솔루션의 정의를 소개합니다. 아래에 불평등 시스템의 사적인 해결책그녀의 단 하나의 결정을 이해하십시오. 차례로 불평등 시스템에 대한 일반적인 해결책- 이것은 모두 그녀의 개인적인 결정입니다. 그러나 이러한 용어는 우리가 말하는 솔루션의 종류를 구체적으로 강조해야 할 때만 의미가 있지만 일반적으로 이는 문맥에서 이미 명확하므로 단순히 "불평등 시스템에 대한 솔루션"이라고 말하는 경우가 훨씬 더 많습니다.

불평등 시스템의 정의와 이 기사에 소개된 해법에 따르면, 불평등 시스템에 대한 해법은 이 시스템의 모든 불평등에 대한 해법 집합의 교차점이라는 결론이 나옵니다.

참고자료.

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불평등 시스템알 수 없는 수량을 포함하는 두 개 이상의 부등식 집합을 호출하는 것이 관례입니다.

이 공식은 예를 들어 다음과 같이 명확하게 설명됩니다. 불평등의 시스템:

불평등의 시스템을 해결 - 시스템의 각 부등식이 실현되는 미지 변수의 모든 값을 찾거나 그러한 것이 존재하지 않는다는 것을 정당화하는 것을 의미합니다. .

즉, 각 개인마다 시스템 불평등알려지지 않은 변수를 계산합니다. 다음으로, 결과 값에서 첫 번째 부등식과 두 번째 부등식 모두에 대해 참인 값만 선택합니다. 따라서 선택한 값을 대체하면 시스템의 두 부등식이 모두 정확해집니다.

여러 불평등에 대한 해결책을 살펴보겠습니다.

한 쌍의 수직선을 다른 수직선 아래에 배치해 보겠습니다. 값을 맨 위에 두세요. 엑스, 이에 대한 첫 번째 부등식은 ( 엑스> 1) true가 되고 맨 아래에는 값이 표시됩니다. 엑스, 이는 두 번째 부등식에 대한 해입니다( 엑스> 4).

의 데이터를 비교하여 수직선, 두 가지 모두에 대한 솔루션을 참고하세요 불평등~ 할 것이다 엑스> 4. 답변, 엑스> 4.

예시 2.

첫 번째 계산 불평등우리는 -3을 얻습니다 엑스< -6, или 엑스> 2, 두 번째 - 엑스> -8 또는 엑스 < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения 엑스, 첫 번째가 실현되었습니다. 시스템 불평등, 그리고 더 낮은 수직선에는 해당 모든 값이 엑스, 시스템의 두 번째 불평등이 실현됩니다.

데이터를 비교해 보면 두 가지 모두 불평등모든 값에 대해 구현됩니다. 엑스, 2에서 8까지 배치됩니다. 값 세트 엑스나타내다 이중 불평등 2 < 엑스< 8.

예시 3.우리는 찾을 것이다

불평등과 불평등 체계는 고등학교 대수학에서 다루는 주제 중 하나입니다. 난이도 측면에서는 간단한 규칙이 있으므로 가장 어렵지는 않습니다(조금 나중에 자세히 설명). 일반적으로 학생들은 불평등 시스템을 아주 쉽게 해결하는 방법을 배웁니다. 이는 또한 교사가 이 주제에 대해 학생들을 단순히 "훈련"한다는 사실 때문이기도 합니다. 그리고 그들은 이것을 할 수밖에 없습니다. 왜냐하면 그것은 미래에 다른 수학적 수량을 사용하여 연구되고 통합 상태 시험과 통합 상태 시험에서도 테스트되기 때문입니다. 학교 교과서에는 불평등과 불평등 시스템에 대한 주제가 매우 자세하게 다루어져 있으므로, 공부할 예정이라면 그에 의지하는 것이 가장 좋습니다. 이 글은 더 큰 내용만을 요약한 것이므로 일부 누락된 내용이 있을 수 있습니다.

불평등 시스템의 개념

과학적 언어로 전환하면 "불평등 시스템"이라는 개념을 정의할 수 있습니다. 이것은 여러 불평등을 나타내는 수학적 모델입니다. 물론 이 모델에는 솔루션이 필요하며 이는 작업에서 제안된 시스템의 모든 불평등에 대한 일반적인 대답이 될 것입니다(일반적으로 다음과 같이 작성됩니다. "부등식 시스템 4 x + 1 > 2 및 30 - x > 6... "). 그러나 솔루션의 유형과 방법으로 넘어가기 전에 다른 것을 이해해야 합니다.

부등식 및 방정식 시스템

새로운 주제를 배울 때 종종 오해가 발생합니다. 한편으로는 모든 것이 명확하고 가능한 한 빨리 작업 해결을 시작하고 싶지만 다른 한편으로는 "그림자"에 남아 완전히 이해되지 않는 순간도 있습니다. 또한 이미 습득한 지식의 일부 요소가 새로운 지식과 얽힐 수도 있습니다. 이러한 "겹침"으로 인해 오류가 자주 발생합니다.

따라서 주제 분석을 시작하기 전에 방정식과 부등식 및 해당 시스템의 차이점을 기억해야 합니다. 이를 위해서는 이러한 수학적 개념이 무엇을 나타내는지 다시 한 번 설명할 필요가 있습니다. 방정식은 항상 동일하며 항상 무언가와 동일합니다(수학에서 이 단어는 "=" 기호로 표시됨). 불평등은 한 값이 다른 값보다 크거나 작거나 동일하지 않다는 진술을 포함하는 모델입니다. 따라서 첫 번째 경우에는 평등에 대해 이야기하는 것이 적절하고 두 번째 경우에는 이름 자체에서 아무리 분명하게 들리더라도 초기 데이터의 불평등에 대해 이야기하는 것이 적절합니다. 방정식과 부등식의 체계는 실질적으로 서로 다르지 않으며 이를 해결하는 방법도 동일합니다. 유일한 차이점은 첫 번째 경우에는 평등이 사용되고 두 번째 경우에는 불평등이 사용된다는 것입니다.

불평등의 유형

부등식에는 수치적 부등식과 변수를 알 수 없는 부등식의 두 가지 유형이 있습니다. 첫 번째 유형은 서로 동일하지 않은 제공된 수량(숫자)을 나타냅니다(예: 8 > 10). 두 번째 유형은 알 수 없는 변수(라틴 알파벳 문자, 대부분 X로 표시됨)를 포함하는 부등식입니다. 이 변수를 찾아야 합니다. 수학적 모델은 얼마나 많은지에 따라 하나의 불평등(하나의 변수로 불평등 시스템을 구성함) 또는 여러 변수(여러 변수로 불평등 시스템을 구성함)를 구별합니다.

마지막 두 가지 유형은 구성 정도와 솔루션의 복잡성 수준에 따라 단순 유형과 복합 유형으로 구분됩니다. 단순한 것은 선형 불평등이라고도 합니다. 차례로 엄격한 것과 엄격하지 않은 것으로 나뉩니다. 엄격한 사람들은 특히 한 양이 반드시 더 적거나 많아야 한다고 "말"하므로 이는 순수한 불평등입니다. 몇 가지 예가 주어질 수 있습니다: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 등. 엄격하지 않은 것에는 동등성도 포함됩니다. 즉, 한 값은 다른 값보다 크거나 같거나("≥" 기호) 다른 값보다 작거나 같을 수 있습니다("≤" 기호). 선형 부등식에서도 변수는 근, 제곱 또는 어떤 것으로도 나누어지지 않습니다. 이것이 바로 "단순"이라고 불리는 이유입니다. 복잡한 변수에는 찾기 위해 더 많은 수학이 필요한 알 수 없는 변수가 포함됩니다. 그들은 종종 정사각형, 입방체 또는 루트 아래에 위치하며 모듈식, 로그, 분수 등이 될 수 있습니다. 그러나 우리의 임무는 불평등 시스템의 솔루션을 이해해야하기 때문에 선형 불평등 시스템에 대해 이야기하겠습니다. . 그러나 그 전에 해당 속성에 대해 몇 마디 말해야 합니다.

불평등의 속성

불평등의 속성은 다음과 같습니다.

1. 변의 순서를 변경하기 위해 연산을 사용하는 경우 부등호가 반전됩니다(예: t 1 ≤ t 2이면 t 2 ≥ t 1).
2. 부등식의 양쪽을 사용하면 자신에게 동일한 숫자를 추가할 수 있습니다(예를 들어 t 1 ≤ t 2인 경우 t 1 + 숫자 ≤ t 2 + 숫자).
3. 동일한 방향의 부호가 있는 두 개 이상의 부등식을 사용하면 왼쪽과 오른쪽이 추가될 수 있습니다(예를 들어 t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4인 경우 t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4). .
4. 부등식의 두 부분 모두 동일한 양수로 곱하거나 나눌 수 있습니다(예를 들어 t 1 ≤ t 2이고 숫자 ≤ 0인 경우 숫자 · t 1 ≥ 숫자 · t 2).
5. 양의 항과 동일한 방향의 부호를 갖는 두 개 이상의 부등식은 서로 곱할 수 있습니다(예: t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t인 경우) 4 ≥ 0이면 t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. 부등식의 두 부분 모두 동일한 음수를 곱하거나 나눌 수 있지만 이 경우 부등식의 부호가 변경됩니다(예를 들어, t 1 ≤ t 2이고 숫자 ≤ 0이면 숫자 · t 1 ≥ 숫자 · t 2).
7. 모든 부등식은 이행성의 특성을 갖습니다(예를 들어, t 1 ≤ t 2이고 t 2 ≤ t 3이면 t 1 ≤ t 3입니다).

이제 불평등과 관련된 이론의 기본 원리를 연구한 후 시스템 해결 규칙을 직접 고려할 수 있습니다.

불평등 시스템을 해결합니다. 일반 정보. 솔루션

위에서 언급했듯이 솔루션은 주어진 시스템의 모든 부등식에 적합한 변수 값입니다. 불평등 시스템을 해결하는 것은 궁극적으로 전체 시스템에 대한 솔루션으로 이어지거나 시스템에 솔루션이 없음을 증명하는 수학적 연산을 구현하는 것입니다. 이 경우 변수는 빈 숫자 집합에 속한다고 합니다(다음과 같이 작성됨: 변수를 나타내는 문자∈("속함" 기호) ø("빈 집합" 기호), 예를 들어 x ∈ ø(읽기: "변수 "x"는 빈 집합에 속합니다"). 불평등 시스템을 해결하는 방법에는 그래픽, 대수, 대체 방법 등 여러 가지가 있습니다. 여러 가지 알려지지 않은 변수가 있는 수학적 모델을 참조한다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 하나만 있는 경우 간격 방법이 적합합니다.

그래픽 방식

여러 알 수 없는 양(2개 이상)이 있는 부등식 시스템을 풀 수 있습니다. 이 방법 덕분에 선형 부등식 시스템을 매우 쉽고 빠르게 풀 수 있어 가장 일반적인 방법입니다. 이는 그래프를 그리면 수학 연산 작성량이 줄어들기 때문입니다. 많은 작업이 완료되었고 약간의 다양성을 원할 때 펜에서 잠시 휴식을 취하고 자로 연필을 들고 도움을 받아 추가 작업을 시작하는 것이 특히 즐겁습니다. 그러나 일부 사람들은 작업에서 벗어나 정신 활동을 그림 그리기로 전환해야 하기 때문에 이 방법을 좋아하지 않습니다. 그러나 이것은 매우 효과적인 방법입니다.

그래픽 방법을 사용하여 부등식 시스템을 풀려면 각 부등식의 모든 항을 왼쪽으로 옮겨야 합니다. 부호가 반전되어 오른쪽에 0을 써야 하며, 각 부등식은 별도로 써야 합니다. 결과적으로, 부등식으로부터 함수를 얻게 됩니다. 그런 다음 연필과 자를 꺼낼 수 있습니다. 이제 얻은 각 기능에 대한 그래프를 그려야 합니다. 교차점 간격에 있는 전체 숫자 집합은 불평등 시스템에 대한 솔루션이 될 것입니다.

대수적 방법

두 개의 알려지지 않은 변수가 있는 부등식 시스템을 풀 수 있습니다. 또한 부등식은 동일한 부등 기호를 가져야 합니다. 즉, "보다 큼" 기호만 포함하거나 "보다 작음" 기호만 포함해야 합니다. 이러한 제한에도 불구하고 이 방법은 더 복잡합니다. 2단계로 적용됩니다.

첫 번째는 알려지지 않은 변수 중 하나를 제거하는 작업과 관련됩니다. 먼저 이를 선택한 다음 이 변수 ​​앞에 숫자가 있는지 확인해야 합니다. 거기에 없으면 (변수는 단일 문자처럼 보일 것입니다) 아무것도 변경하지 않습니다. 변수가 있으면 (변수 유형은 예를 들어 5y 또는 12y입니다) 다음을 만들어야합니다. 각 부등식에서 선택한 변수 앞의 숫자가 동일한지 확인하세요. 이렇게 하려면 부등식의 각 항에 공통 인수를 곱해야 합니다. 예를 들어 첫 번째 부등식에 3y를 쓰고 두 번째 부등식에 5y를 쓴 경우 첫 번째 부등식의 모든 항에 5를 곱해야 합니다. , 두 번째는 3입니다. 각각 15y와 15y를 얻습니다.

솔루션의 두 번째 단계. 각 부등식의 왼쪽을 오른쪽으로 옮기고 각 항의 부호를 반대쪽으로 변경하고 오른쪽에 0을 써야 합니다. 그런 다음에는 부등식을 추가하면서 선택한 변수를 제거(또는 "축소"라고도 함)하는 재미있는 부분이 있습니다. 이로 인해 해결해야 할 변수가 하나인 불평등이 발생합니다. 그 후에는 다른 알려지지 않은 변수에 대해서만 동일한 작업을 수행해야 합니다. 얻은 결과는 시스템의 솔루션이 됩니다.

대체방법

새로운 변수를 도입할 수 있는 경우 불평등 시스템을 해결할 수 있습니다. 일반적으로 이 방법은 부등식의 한 항에서 알 수 없는 변수를 4제곱하고 다른 항에서는 이를 제곱할 때 사용됩니다. 따라서 이 방법은 시스템의 불평등 정도를 줄이는 것을 목표로 합니다. 표본 불평등 x 4 - x 2 - 1 ≤ 0은 이러한 방식으로 해결됩니다. 예를 들어 t와 같은 새로운 변수가 도입되었습니다. 그들은 "Let t = x 2"라고 쓰고 모델은 새로운 형식으로 다시 작성됩니다. 우리의 경우에는 t 2 - t - 1 ≤0을 얻습니다. 이 부등식은 간격 방법(조금 나중에 자세히 설명)을 사용하여 해결한 다음 변수 X로 돌아가서 다른 부등식에 대해서도 동일한 작업을 수행해야 합니다. 받은 답변은 시스템의 솔루션이 될 것입니다.

간격 방법

이는 불평등 시스템을 해결하는 가장 간단한 방법인 동시에 보편적이고 널리 퍼져 있습니다. 중등학교는 물론 고등학교에서도 사용됩니다. 그 본질은 학생이 공책에 그려진 수직선(그래프가 아니라 숫자가 있는 일반 선)에서 불평등 간격을 찾는다는 사실에 있습니다. 불평등의 간격이 교차하는 곳에서 시스템에 대한 해가 발견됩니다. 간격 방법을 사용하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1. 각 부등식의 모든 항은 부호가 반대 방향으로 바뀌면서 왼쪽으로 이동됩니다(오른쪽에 0이 기록됨).
2. 불평등은 별도로 작성되고 각각에 대한 해결책이 결정됩니다.
3. 수직선에서 부등식의 교차점이 발견됩니다. 이 교차점에 있는 모든 숫자가 해결책이 될 것입니다.

어떤 방법을 사용해야 합니까?

분명히 가장 쉽고 편리해 보이지만 작업에 특정 방법이 필요한 경우가 있습니다. 대부분 그래프나 간격 방법을 사용하여 문제를 풀어야 한다고 말합니다. 대수적 방법과 치환은 상당히 복잡하고 혼란스럽기 때문에 극히 드물게 사용되거나 전혀 사용되지 않으며, 게다가 부등식보다는 방정식 시스템을 푸는 데 더 많이 사용되므로 그래프와 간격을 그리는 데 의존해야 합니다. 이는 수학 연산의 효율적이고 빠른 실행에 기여할 수밖에 없는 명확성을 제공합니다.

문제가 해결되지 않으면

대수학의 특정 주제를 공부하는 동안 당연히 이해에 문제가 발생할 수 있습니다. 그리고 이것은 정상적인 현상입니다. 왜냐하면 우리의 뇌는 복잡한 자료를 한 번에 이해할 수 없도록 설계되었기 때문입니다. 단락을 다시 읽거나, 교사의 도움을 받거나, 표준 과제 해결을 연습해야 하는 경우가 많습니다. 우리의 경우 예를 들어 다음과 같습니다. "부등식 시스템 3 x + 1 ≥ 0 및 2 x - 1 > 3을 해결합니다." 따라서 개인적인 욕구, 외부인의 도움 및 실습은 복잡한 주제를 이해하는 데 도움이 됩니다.

해결사?

솔루션 북도 매우 적합하지만 숙제 복사에는 적합하지 않지만 자조에는 적합합니다. 여기에서 솔루션과 불평등 시스템을 찾고, 템플릿으로 살펴보고, 솔루션 작성자가 작업에 어떻게 대처했는지 정확히 이해하려고 노력한 다음, 스스로 동일한 작업을 수행해 볼 수 있습니다.

결론

대수학은 학교에서 가장 어려운 과목 중 하나입니다. 글쎄, 당신은 무엇을 할 수 있습니까? 수학은 항상 이랬습니다. 어떤 사람에게는 쉽지만 다른 사람에게는 어렵습니다. 그러나 어쨌든 일반 교육 프로그램은 모든 학생이 대처할 수 있도록 구성되어 있음을 기억해야합니다. 또한 엄청난 수의 조수를 염두에 두어야합니다. 그 중 일부는 위에서 언급되었습니다.

선형 계획법 문제를 그래픽으로 해결, 선형 계획법 문제의 정식 형식도 참조하세요.

이러한 문제에 대한 제약 시스템은 두 가지 변수의 부등식으로 구성됩니다.
목적 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 에프 = 기음 1 엑스 + 기음 2 와이극대화해야 하는 것입니다.

질문에 답해 봅시다: 어떤 숫자 쌍( 엑스; 와이) 불평등 시스템에 대한 해법은, 즉 각 불평등을 동시에 만족시키는 것입니까? 즉, 시스템을 그래픽적으로 해결한다는 것은 무엇을 의미합니까?
먼저 두 개의 미지수가 있는 하나의 선형 부등식에 대한 해법이 무엇인지 이해해야 합니다.
두 개의 미지수로 선형 부등식을 푼다는 것은 부등식이 유지되는 모든 알 수 없는 값 쌍을 결정하는 것을 의미합니다.
예를 들어 부등식 3 엑스 – 5와이≥ 42개 만족 쌍( 엑스 , 와이) : (100, 2); (3, –10) 등. 과제는 그러한 쌍을 모두 찾는 것입니다.
두 가지 불평등을 고려해 봅시다: 도끼 + ~에 의해≤ 기음, 도끼 + ~에 의해≥ 기음. 똑바로 도끼 + ~에 의해 = 기음평면을 두 개의 반평면으로 나누어 그 중 하나의 점 좌표가 부등식을 만족하도록 합니다. 도끼 + ~에 의해 >기음, 그리고 다른 부등식 도끼 + +~에 의해 <기음.
과연 좌표로 포인트를 잡아보자 엑스 = 엑스 0 ; 그런 다음 선 위에 놓여 있고 가로좌표를 갖는 점이 있습니다. 엑스 0, 세로좌표 있음

확실히 하자 에이< 0, 비>0, 기음>0. 가로좌표가 있는 모든 점 엑스 0 위에 누워 피(예를 들어 점 중), 가지다 와 남>와이 0 및 해당 지점 아래의 모든 지점 피, 가로좌표 있음 엑스 0 , 있음 y N<와이 0 . 왜냐하면 엑스 0은 임의의 점이며, 선의 한쪽에는 항상 점이 있습니다. 도끼+ ~에 의해 > 기음, 반평면을 형성하고 반대쪽에서는 - 점 도끼 + ~에 의해< 기음.

그림 1

반평면의 부등호는 숫자에 따라 달라집니다. 에이, 비 , 기음.
이는 두 변수의 선형 불평등 시스템을 그래픽적으로 해결하기 위한 다음 방법을 의미합니다. 시스템을 해결하려면 다음이 필요합니다.

1. 각 부등식에 대해 이 부등식에 해당하는 방정식을 작성하십시오.
2. 방정식으로 지정된 함수 그래프인 직선을 구성합니다.
3. 각 선에 대해 부등식으로 제공되는 반평면을 결정합니다. 이렇게 하려면 선 위에 있지 않은 임의의 점을 가져와 해당 좌표를 부등식으로 대체합니다. 부등식이 참이면 선택한 점을 포함하는 반평면이 원래 부등식의 해가 됩니다. 부등식이 거짓이면 선 반대편의 반평면이 이 부등식에 대한 해의 집합입니다.
4. 부등식 시스템을 해결하려면 시스템의 각 부등식에 대한 해가 되는 모든 반면의 교차 영역을 찾아야 합니다.

이 영역이 비어 있는 것으로 판명될 수 있으며, 불평등 시스템에는 해결책이 없으며 일관성이 없습니다. 그렇지 않으면 시스템이 일관성이 있다고 합니다.
유한한 수의 해가 있을 수도 있고 무한한 수의 해가 있을 수도 있습니다. 영역은 닫힌 다각형이거나 무한할 수 있습니다.

세 가지 관련 사례를 살펴보겠습니다.

예 1. 시스템을 그래픽으로 해결합니다.
엑스 + 와이 – 1 ≤ 0;
–2엑스 – 2와이 + 5 ≤ 0.

• 부등식에 해당하는 방정식 x+y–1=0 및 –2x–2y+5=0을 고려하십시오.
• 이 방정식으로 주어진 직선을 만들어 봅시다.

그림 2

부등식으로 정의되는 반평면을 정의해 보겠습니다. 임의의 점을 취해 (0; 0)으로 합시다. 고려해 봅시다 엑스+ 와이- 1 0, 점 (0; 0)을 대체합니다: 0 + 0 – 1 ≤ 0. 이는 점 (0; 0)이 있는 반평면에서 다음을 의미합니다. 엑스 + 와이 – 1 ≤ 0, 즉 선 아래에 있는 반평면은 첫 번째 부등식의 해입니다. 이 점(0; 0)을 두 번째 점으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, 즉 점 (0; 0)이 있는 반평면에서 –2 엑스 – 2와이+ 5≥ 0, 그리고 우리는 –2가 어디에 있는지 물었습니다. 엑스 – 2와이+ 5 ≤ 0, 따라서 다른 절반 평면에서 - 직선 위의 절반 평면에서.
이 두 반평면의 교차점을 찾아봅시다. 선은 평행하므로 평면은 어느 곳에서도 교차하지 않습니다. 이는 이러한 불평등 시스템에 해결책이 없으며 일관성이 없음을 의미합니다.

예 2. 불평등 시스템에 대한 그래픽 솔루션 찾기:

그림 3
1. 부등식에 해당하는 방정식을 작성하고 직선을 구성해 봅시다.
엑스 + 2와이– 2 = 0

엑스	2	0
와이	0	1

와이 – 엑스 – 1 = 0

엑스	0	2
와이	1	3

와이 + 2 = 0;
와이 = –2.
2. 점 (0; 0)을 선택한 후 반평면의 불평등 징후를 결정합니다.
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, 즉 엑스 + 2와이– 직선 아래의 반평면에서는 2 ≤ 0입니다.
0 – 0 – 1 ≤ 0, 즉 와이 –엑스– 직선 아래의 반평면에서는 1 ≤ 0입니다.
0 + 2 =2 ≥ 0, 즉 와이직선 위의 반평면에서 + 2 ≥ 0입니다.
3. 이 세 개의 반면의 교차점은 삼각형 영역이 됩니다. 해당 선의 교차점으로 영역의 꼭지점을 찾는 것은 어렵지 않습니다.


따라서, 에이(–3; –2), 안에(0; 1), 와 함께(6; –2).

시스템의 결과 솔루션 도메인이 제한되지 않는 또 다른 예를 고려해 보겠습니다.

불평등 시스템.
실시예 1. 표현식의 영역 찾기
해결책.제곱근 기호 아래에는 음수가 아닌 숫자가 있어야 합니다. 이는 두 부등식이 동시에 충족되어야 함을 의미합니다. 그런 경우 문제는 불평등 시스템의 해결로 귀결된다고 한다.

그러나 우리는 아직 그러한 수학적 모델(불평등 시스템)을 접한 적이 없습니다. 이는 아직 예제에 대한 솔루션을 완료할 수 없음을 의미합니다.

시스템을 형성하는 부등식은 중괄호로 결합됩니다(방정식 시스템에서도 마찬가지입니다). 예를 들어, 녹음

즉, 부등식은 2x - 1 > 3이고 3x - 2입니다.< 11 образуют систему неравенств.

때때로 불평등 체계는 이중 불평등의 형태로 쓰여집니다. 예를 들어, 불평등 시스템

이중 부등식 3으로 쓸 수 있습니다.<2х-1<11.

9학년 대수학 과정에서는 두 부등식 시스템만 고려하게 됩니다.

불평등 시스템을 고려하십시오

예를 들어 x = 3, x = 4, x = 3.5와 같은 몇 가지 특정 솔루션을 선택할 수 있습니다. 실제로 x = 3의 경우 첫 번째 부등식은 5 > 3 형식을 취하고 두 번째 부등식은 7 형식을 취합니다.< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

동시에, 값 x = 5는 불평등 시스템에 대한 해결책이 아닙니다. x = 5일 때 첫 번째 부등식은 9 > 3(올바른 수치적 부등식) 형식을 취하고 두 번째 부등식은 13 형식을 취합니다.< 11- неверное числовое неравенство .
불평등 시스템을 해결한다는 것은 모든 특정 솔루션을 찾는 것을 의미합니다. 위에서 설명한 추측이 불평등 시스템을 해결하는 방법이 아니라는 것은 분명합니다. 다음 예에서는 불평등 시스템을 해결할 때 사람들이 일반적으로 어떻게 추론하는지 보여줍니다.

예시 3.불평등 시스템을 해결합니다.

해결책.

에이)시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 2x > 4, x > 2가 됩니다. 시스템의 두 번째 불평등을 해결하면 3x를 찾을 수 있습니다.< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
비)시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x > 2입니다. 시스템의 두 번째 불평등을 해결하면 첫 번째 간격에는 위쪽 해칭을 사용하고 두 번째 간격에는 아래쪽 해칭을 사용하여 하나의 좌표선에 이러한 간격을 표시해 보겠습니다(그림 23). 불평등 시스템에 대한 해결책은 시스템 불평등에 대한 솔루션의 교차점이 될 것입니다. 두 해칭이 일치하는 간격. 고려중인 예에서 우리는 빔을 얻습니다

다섯)시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x를 찾습니다.< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

고려된 예에서 수행된 추론을 일반화해 보겠습니다. 불평등 시스템을 해결해야 한다고 가정해 보겠습니다.

예를 들어, 구간 (a, b)는 부등식 fx 2 > g(x)에 대한 해이고, 구간 (c, d)는 부등식 f 2 (x) > s 2 (x)에 대한 해입니다. ). 첫 번째 간격에는 위쪽 해치를 사용하고 두 번째 간격에는 아래쪽 해치를 사용하여 하나의 좌표선에 이러한 간격을 표시하겠습니다(그림 25). 불평등 시스템에 대한 해결책은 시스템의 불평등에 대한 솔루션의 교차점입니다. 두 해칭이 일치하는 간격. 그림에서. 25는 간격 (c, b)입니다.

이제 위의 예제 1에서 얻은 부등식 시스템을 쉽게 풀 수 있습니다.

시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x > 2입니다. 시스템의 두 번째 부등식을 풀면 x를 찾습니다.< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

물론, 불평등 체계가 지금까지 그랬던 것처럼 반드시 선형 불평등으로 구성될 필요는 없습니다. 합리적(합리적일 뿐만 아니라) 불평등도 발생할 수 있습니다. 기술적으로 합리적인 비선형 불평등 시스템을 사용하는 것은 물론 더 복잡하지만 여기서는 (선형 불평등 시스템과 비교할 때) 근본적으로 새로운 것은 없습니다.

예시 4.불평등의 시스템을 해결

해결책.

1) 우리가 가지고 있는 불평등을 해결하라
수직선에 점 -3과 3을 표시해 보겠습니다(그림 27). 그들은 선을 세 개의 간격으로 나누고 각 간격에서 표현식 p(x) = (x- 3)(x + 3)은 상수 부호를 유지합니다. 이 부호는 그림 1에 표시됩니다. 27. 우리는 부등식 p(x) > 0이 유지되는 간격(그림 27에서 음영 처리됨)과 p(x) = 0이 유지되는 지점, 즉 점 x = -3, x = 3(그림 2 7에 어두운 원으로 표시됨). 따라서, 그림에서. 그림 27은 첫 번째 부등식을 해결하기 위한 기하학적 모델을 나타냅니다.

2) 우리가 가지고 있는 불평등을 해결하라
수직선에 점 0과 5를 표시해 보겠습니다(그림 28). 그들은 선을 세 개의 간격으로 나누고, 각 간격에서 표현식은 다음과 같습니다.<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O(그림 28에서 음영 처리됨), g(x) - O가 만족되는 지점, 즉 점 x = 0, x = 5(그림 28에서 어두운 원으로 표시됨). 따라서, 그림에서. 그림 28은 시스템의 두 번째 부등식을 해결하기 위한 기하학적 모델을 나타냅니다.

3) 첫 번째 부등식에 대한 솔루션에는 위쪽 해칭을 사용하고 두 번째 부등식에 대한 솔루션에는 아래쪽 해칭을 사용하여 동일한 좌표선에서 시스템의 첫 번째 및 두 번째 부등식에 대해 발견된 솔루션을 표시해 보겠습니다(그림 29). 불평등 시스템에 대한 해결책은 시스템 불평등에 대한 솔루션의 교차점이 될 것입니다. 두 해칭이 일치하는 간격. 이러한 간격이 세그먼트입니다.

실시예 5.불평등 시스템을 해결합니다.

해결책:

에이)첫 번째 부등식에서 x >2를 찾습니다. 두 번째 부등식을 생각해 봅시다. 제곱 삼항식 x 2 + x + 2에는 실수 근이 없으며 선행 계수(x 2의 계수)는 양수입니다. 이는 모든 x에 대해 부등식 x 2 + x + 2>0이 유지되므로 시스템의 두 번째 부등식에는 해가 없음을 의미합니다. 이것이 불평등 시스템에 대해 무엇을 의미하는가? 이는 시스템에 솔루션이 없음을 의미합니다.

비)첫 번째 부등식에서 x > 2를 찾고, 두 번째 부등식은 x의 모든 값에 대해 만족됩니다. 이것이 불평등 시스템에 대해 무엇을 의미하는가? 이는 해가 x>2 형식을 갖는다는 것을 의미합니다. 즉, 첫 번째 부등식의 해법과 일치합니다.

답변:

a) 해결책이 없습니다. 비) x >2.

이 예는 다음과 같은 유용한 정보를 보여줍니다.

1. 하나의 변수에 하나의 불평등이 있는 여러 불평등 시스템에서 해결책이 없으면 시스템에도 솔루션이 없습니다.

2. 하나의 변수가 있는 두 개의 불평등 시스템에서 변수의 모든 값에 대해 하나의 불평등이 충족되면 시스템의 솔루션은 시스템의 두 번째 불평등에 대한 솔루션입니다.

이 섹션을 마무리하면서 처음에 주어진 의도한 숫자에 대한 문제로 돌아가서 그들이 말한 대로 모든 규칙에 따라 문제를 해결해 보겠습니다.

실시예 2(29페이지 참조) 자연수가 의도됩니다. 의도한 숫자의 제곱에 13을 더하면 그 합은 의도한 숫자와 숫자 14의 곱보다 커지는 것으로 알려져 있습니다. 의도한 숫자의 제곱에 45를 더하면 그 합은 다음과 같이 됩니다. 의도한 숫자와 숫자 18의 곱보다 작아야 합니다. 의도한 숫자는 무엇입니까?

해결책.

첫 번째 단계. 수학적 모델을 작성합니다.
위에서 본 것처럼 의도한 숫자 x는 부등식 시스템을 충족해야 합니다.

두 번째 단계. 컴파일된 수학적 모델을 사용하여 시스템의 첫 번째 부등식을 다음 형식으로 변환해 보겠습니다.
x2- 14x+ 13 > 0.

삼항식 x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13의 근을 찾아보겠습니다. 포물선 y = x 2 - 14x + 13(그림 30)을 사용하여 우리가 관심 있는 부등식은 다음과 같다는 결론을 내립니다. x에 만족< 1 или x > 13.

시스템의 두 번째 부등식을 x2 - 18 2 + 45 형식으로 변환해 보겠습니다.< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.