분수 유리 방정식을 풀기 위한 일반적인 방식. 유리방정식 – Knowledge Hypermarket

스미르노바 아나스타샤 유리에브나

수업 유형:새로운 자료를 배우는 수업.

조직의 형태 교육 활동 : 정면, 개인.

수업의 목적: 새로운 유형의 방정식(분수 유리 방정식)을 소개하고 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘에 대한 아이디어를 제공합니다.

수업 목표.

교육적인:

• 분수 유리 방정식의 개념 형성;
• 분수가 0이라는 조건을 포함하여 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 고려합니다.
• 알고리즘을 사용하여 분수 유리 방정식을 푸는 방법을 가르칩니다.

발달:

• 습득한 지식을 적용하는 기술 개발을 위한 조건을 조성합니다.
• 발전을 촉진하다 인지적 관심주제에 대한 학생;
• 분석하고, 비교하고, 결론을 도출하는 학생들의 능력을 개발합니다.
• 상호 통제 및 자제력, 주의력, 기억력, 구두 및 서면 말하기, 독립성 기술 개발.

교육:

• 주제에 대한 인지적 관심을 키우는 것;
• 교육 문제 해결에 있어서 독립성을 키우는 것;
• 최종 결과를 달성하기 위한 의지와 인내를 키우는 것입니다.

장비:교과서, 칠판, 크레용.

교과서 "대수 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, S.A. Telyakovsky 편집. 모스크바 "계몽". 2010

~에 이 주제다섯 시간이 할당됐다. 이것이 첫 번째 교훈입니다. 가장 중요한 것은 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 연구하고 연습에서 이 알고리즘을 연습하는 것입니다.

수업 중

1. 조직적인 순간.

안녕하세요 여러분! 오늘 저는 quatrain으로 수업을 시작하고 싶습니다.
모든 사람의 삶을 더 편리하게 만들기 위해,
무엇이 결정될 것인가, 무엇이 가능할 것인가,
웃으세요, 모두에게 행운을 빕니다
문제가 생기지 않도록,
우리는 서로 웃으며 창조했어요 좋은 분위기그리고 일을 시작했습니다.

칠판에 방정식이 적혀 있으니 잘 살펴보세요. 이 방정식을 모두 풀 수 있나요? 그렇지 않은 것은 무엇이며 그 이유는 무엇입니까?

좌변과 우변이 분수 유리식인 방정식을 분수 유리 방정식이라고 합니다. 오늘 수업시간에 우리가 무엇을 공부할 것 같나요? 공과의 주제를 공식화하십시오. 따라서 공책을 열고 "분수 유리 방정식 풀기" 수업의 주제를 적어보세요.

2. 지식 업데이트. 정면 조사, 학급에서의 구두 작업.

이제 우리가 연구해야 할 주요 이론적 자료를 반복하겠습니다. 새로운 주제. 다음 질문에 답해 주십시오.

1. 방정식이란 무엇입니까? ( 변수 또는 변수와의 동등성.)
2. 방정식 번호 1의 이름은 무엇입니까? ( 선의.) 해결책 선형 방정식. (미지수가 있는 모든 것을 방정식의 왼쪽으로, 모든 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 비슷한 용어를 사용하세요. 알려지지 않은 요소 찾기).
3. 방정식 번호 3의 이름은 무엇입니까? ( 정사각형.) 솔루션 이차 방정식. (피 수식에 대해)
4. 비율이란 무엇입니까? ( 두 비율의 동등성.) 비율의 주요 속성. ( 비율이 정확하면 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다..)
5. 방정식을 풀 때 어떤 속성이 사용됩니까? ( 1. 방정식의 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하여 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻게 됩니다. 2. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다..)
6. 분수는 언제 0이 되나요? ( 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0과 같습니다..)

3. 신소재에 대한 설명.

노트와 칠판에 있는 방정식 2번을 풀어보세요.

답변: 10.

어느 분수 유리 방정식비례의 기본 속성을 이용하여 문제를 풀어볼 수 있나요? (5 번).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

노트와 칠판에 있는 방정식 4번을 풀어보세요.

답변: 1,5.

방정식의 양변에 분모를 곱하여 풀 수 있는 분수 유리 방정식은 무엇입니까? (6 번).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

답변: 3;4.

다음 강의에서는 방정식 7과 같은 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

왜 이런 일이 일어났는지 설명해 보세요. 왜 한 경우에는 세 개의 뿌리가 있고 다른 경우에는 두 개가 있습니까? 이 분수 유리 방정식의 근은 어떤 숫자입니까?

지금까지 학생들은 외부 뿌리의 개념을 접한 적이 없었습니다. 왜 이런 일이 발생했는지 이해하는 것은 실제로 매우 어렵습니다. 수업 중 누구도 이 상황에 대해 명확하게 설명할 수 없으면 교사는 유도 질문을 합니다.

• 방정식 2번과 4번은 방정식 5번과 6번과 어떻게 다릅니까? ( 방정식 번호 2와 4에는 분모에 숫자가 있습니다. 5-6번 - 변수가 있는 표현식.)
• 방정식의 근은 무엇입니까? ( 방정식이 참이 되는 변수의 값.)
• 숫자가 방정식의 근인지 확인하는 방법은 무엇입니까? ( 확인해보세요.)

테스트할 때 일부 학생들은 0으로 나누어야 한다는 것을 알아차립니다. 그들은 숫자 0과 5가 이 방정식의 근이 아니라는 결론을 내렸습니다. 질문이 생깁니다: 이 오류를 제거할 수 있는 분수 유리 방정식을 풀 수 있는 방법이 있습니까? 예, 이 방법은 분수가 0이라는 조건을 기반으로 합니다.

이런 식으로 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다. 아이들은 알고리즘을 스스로 공식화합니다.

분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘:

1. 모든 것을 왼쪽으로 옮깁니다.
2. 분수를 공통 분모로 줄이세요.
3. 시스템을 만듭니다. 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0과 같습니다.
4. 방정식을 풀어보세요.
5. 외부 뿌리를 제외하려면 부등식을 확인하세요.
6. 답을 적어보세요.

4. 새로운 자료에 대한 초기 이해.

쌍으로 일하십시오. 학생들은 방정식의 유형에 따라 방정식을 푸는 방법을 스스로 선택합니다. 교과서 "대수 8"의 과제, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c); 601(a,e)호. 교사는 과제 완료를 모니터링하고, 발생하는 모든 질문에 답변하며, 성적이 낮은 학생에게 도움을 제공합니다. 자가 테스트: 답은 칠판에 적혀 있습니다.

b) 2 - 외부 뿌리. 답: 3.

c) 2 - 외부 뿌리. 답: 1.5.

a) 답: -12.5.

5. 숙제 설정.

1. 교과서의 단락 25를 읽고 예 1-3을 분석하십시오.
2. 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
3. 노트 번호 600 (d, d)에서 해결하세요. 번호 601(g,h).

6. 수업을 요약합니다.

그래서 오늘 수업에서 우리는 분수 유리 방정식에 대해 알게되었고 이러한 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 다른 방법들. 분수 유리 방정식을 어떻게 푸는지에 관계없이 무엇을 명심해야 합니까? 분수 유리 방정식의 "교활함"은 무엇입니까?

모두들 감사합니다, 수업이 끝났습니다.

우리는 이미 이차 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 이제 연구된 방법을 유리 방정식으로 확장해 보겠습니다.

합리적인 표현이란 무엇입니까? 우리는 이미 이 개념을 접했습니다. 유리식숫자, 변수, 거듭제곱, 수학 연산 기호로 구성된 표현입니다.

따라서 유리 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. - 합리적인 표현.

이전에는 선형 방정식으로 축소될 수 있는 유리 방정식만 고려했습니다. 이제 이차 방정식으로 축소될 수 있는 유리 방정식을 살펴보겠습니다.

실시예 1

방정식을 푼다: .

해결책:

분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우에만 0과 같습니다.

우리는 다음과 같은 시스템을 얻습니다.

시스템의 첫 번째 방정식은 이차 방정식입니다. 이를 풀기 전에 모든 계수를 3으로 나누어 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다: ; .

2는 0이 될 수 없으므로 두 가지 조건이 충족되어야 합니다. . 위에서 구한 방정식의 근 중 어느 것도 두 번째 부등식을 풀 때 구한 변수의 유효하지 않은 값과 일치하지 않으므로 둘 다 이 방정식의 해입니다.

답변:.

이제 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다.

1. 오른쪽이 0이 되도록 모든 항을 왼쪽으로 이동합니다.

2. 좌변을 변환하고 단순화하여 모든 분수를 공통 분모로 가져옵니다.

3. 다음 알고리즘을 사용하여 결과 분수를 0과 동일시합니다. .

4. 첫 번째 방정식에서 얻은 근을 적고 답에서 두 번째 부등식을 만족시킵니다.

또 다른 예를 살펴보겠습니다.

실시예 2

방정식을 푼다: .

해결책

처음에는 0이 오른쪽에 남도록 모든 항을 왼쪽으로 이동합니다.

이제 방정식의 왼쪽을 공통 분모로 가져오겠습니다.

이 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.

시스템의 첫 번째 방정식은 이차 방정식입니다.

이 방정식의 계수: . 판별식을 계산합니다.

우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다: ; .

이제 두 번째 부등식을 풀어 보겠습니다. 요소 중 어느 것도 0이 아닌 경우에만 요소의 곱은 0과 같지 않습니다.

두 가지 조건이 충족되어야 합니다. . 우리는 첫 번째 방정식의 두 근 중 하나만 적합하다는 것을 알았습니다 - 3.

답변:.

이번 수업에서는 유리식이 무엇인지 기억하고 유리방정식을 풀어 이차방정식으로 바꾸는 방법도 배웠습니다.

다음 강의에서 우리는 실제 상황의 모델로서 유리 방정식을 살펴보고 운동 문제도 살펴볼 것입니다.

서지

1. 바쉬마코프 M.I. 대수학, 8학년. - M .: 교육, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. 및 기타 대수학, 8. 5판. - M .: 교육, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. 대수학, 8학년. 일반교재 교육 기관. - M .: 교육, 2006.

1. 제전 교육학적 사상 "공개강습" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

숙제

유리 및 분수 유리 방정식에 대해 알아보고, 정의를 제공하고, 예를 제공하고, 가장 일반적인 유형의 문제를 분석해 봅시다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

유리식: 정의 및 예

합리적인 표현에 대한 지식은 학교 8학년부터 시작됩니다. 이때 대수학 수업에서 학생들은 노트에 유리식을 포함하는 방정식을 사용한 과제를 점점 더 많이 접하기 시작합니다. 그것이 무엇인지에 대한 기억을 새롭게 해보자.

정의 1

유리 방정식는 양변에 유리식을 포함하는 방정식입니다.

다양한 매뉴얼에서 다른 공식을 찾을 수 있습니다.

정의 2

유리 방정식- 이것은 왼쪽에 유리식이 포함되고 오른쪽에 0이 포함되는 방정식입니다.

유리 방정식에 대해 우리가 제공한 정의는 동일한 것에 대해 이야기하기 때문에 동일합니다. 우리 말의 정확성은 합리적인 표현에 대해 다음과 같은 사실로 확인됩니다. 피그리고 큐방정식 피 = Q그리고 P – Q = 0동등한 표현이 될 것입니다.

이제 예제를 살펴보겠습니다.

실시예 1

유리 방정식:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

유리 방정식은 다른 유형의 방정식과 마찬가지로 1부터 여러 개의 변수를 포함할 수 있습니다. 먼저 살펴보겠습니다. 간단한 예, 방정식에는 변수가 하나만 포함됩니다. 그런 다음 작업을 점차 복잡하게 만들기 시작할 것입니다.

유리 방정식은 정수와 분수라는 두 개의 큰 그룹으로 나뉩니다. 각 그룹에 어떤 방정식이 적용되는지 살펴보겠습니다.

정의 3

유리 방정식은 왼쪽과 오른쪽에 유리식 전체가 포함되어 있으면 정수가 됩니다.

정의 4

유리 방정식은 부분 중 하나 또는 둘 모두에 분수가 포함되어 있으면 분수입니다.

분수 유리 방정식은 반드시 변수로 나누기를 포함하거나 변수가 분모에 존재합니다. 전체 방정식을 작성할 때 그러한 구분은 없습니다.

실시예 2

3×+2=0그리고 (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– 전체 유리 방정식. 여기서 방정식의 양쪽은 정수 표현식으로 표시됩니다.

1 x - 1 = x 3 및 x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5분수 유리 방정식입니다.

전체 유리 방정식에는 1차 방정식과 2차 방정식이 포함됩니다.

전체 방정식 풀기

이러한 방정식을 푸는 것은 일반적으로 이를 동등한 대수 방정식으로 변환하는 것으로 귀결됩니다. 이는 다음 알고리즘에 따라 등가 방정식 변환을 수행하여 달성할 수 있습니다.

• 먼저 방정식의 오른쪽에 0을 얻습니다. 이를 위해서는 방정식의 오른쪽에 있는 표현식을 왼쪽으로 이동하고 부호를 변경해야 합니다.
• 그런 다음 방정식 왼쪽의 표현식을 다항식으로 변환합니다. 표준보기.

우리는 대수 방정식을 구해야 합니다. 이 방정식은 원래 방정식과 동일합니다. 쉬운 경우를 통해 문제를 해결하기 위해 전체 방정식을 선형 또는 이차 방정식으로 줄일 수 있습니다. 일반적으로 우리는 대수 방정식을 푼다. N.

실시예 3

전체 방정식의 근을 찾는 것이 필요합니다 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

해결책

동등한 대수 방정식을 얻기 위해 원래 표현식을 변환해 보겠습니다. 이를 위해 방정식의 오른쪽에 포함된 식을 왼쪽으로 옮기고 기호를 반대 식으로 바꿉니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

이제 좌변의 표현식을 표준 형식의 다항식으로 변환하고 다음을 생성해 보겠습니다. 필요한 조치이 다항식을 사용하면:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

우리는 원래 방정식의 해를 다음 형식의 이차 방정식의 해로 줄이는 데 성공했습니다. x 2 − 5 x − 6 = 0. 이 방정식의 판별식은 양수입니다. D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .이는 두 개의 실제 뿌리가 있음을 의미합니다. 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 찾아보겠습니다.

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 또는 x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 또는 x 2 = - 1

풀이 과정에서 찾은 방정식의 근이 올바른지 확인해 보겠습니다. 이를 위해 우리가 받은 숫자를 원래 방정식으로 대체합니다. 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3그리고 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​​​· (− 1) − 1) − 3. 첫 번째 경우 63 = 63 , 두 번째에는 0 = 0 . 뿌리 엑스 = 6그리고 x = − 1실제로 예제 조건에 제공된 방정식의 근입니다.

답변: 6 , − 1 .

"전체 방정식의 차수"가 무엇을 의미하는지 살펴보겠습니다. 전체 방정식을 대수적 형태로 표현해야 하는 경우 이 용어를 자주 접하게 됩니다. 개념을 정의해보자.

정의 5

전체 방정식의 차수- 이 정도야 대수 방정식, 원래 정수 방정식과 동일합니다.

위 예의 방정식을 보면 다음을 설정할 수 있습니다. 이 전체 방정식의 차수는 두 번째입니다.

우리 과정이 2차 방정식을 푸는 것으로 제한되어 있다면 주제에 대한 토론이 거기서 끝날 수 있습니다. 그러나 그렇게 간단하지는 않습니다. 3차 방정식을 푸는 데에는 어려움이 따릅니다. 그리고 4차보다 높은 방정식의 경우에는 일반 공식뿌리 이와 관련하여 3차, 4차 및 기타 차수의 전체 방정식을 풀려면 여러 가지 다른 기술과 방법을 사용해야 합니다.

전체 유리 방정식을 푸는 데 가장 일반적으로 사용되는 접근 방식은 인수분해 방법을 기반으로 합니다. 이 경우의 동작 알고리즘은 다음과 같습니다.

• 레코드의 오른쪽에 0이 남도록 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동합니다.
• 우리는 왼쪽의 표현식을 요인의 곱으로 표현한 다음 몇 가지 더 간단한 방정식 세트로 이동합니다.

실시예 4

방정식 (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) 의 해를 구합니다.

해결책

반대 기호를 사용하여 레코드의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 이동합니다. (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. 좌변을 표준 형식의 다항식으로 변환하는 것은 4차 대수 방정식을 제공한다는 사실 때문에 부적절합니다. x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. 변환이 쉽다고 해서 그러한 방정식을 풀 때 발생하는 모든 어려움이 정당화되는 것은 아닙니다.

반대 방향으로 가는 것이 훨씬 쉽습니다. 괄호에서 공통 인수를 빼겠습니다. x 2 − 10 x + 13 .그래서 우리는 다음 형식의 방정식에 도달합니다. (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. 이제 결과 방정식을 두 개의 이차 방정식 세트로 대체합니다. x 2 − 10 x + 13 = 0그리고 x 2 − 2 x − 1 = 0판별식을 통해 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2의 근을 찾습니다.

답변: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

같은 방식으로 새로운 변수를 도입하는 방법을 사용할 수 있습니다. 이 방법을 사용하면 원래 정수 방정식의 차수보다 낮은 차수를 갖는 등가 방정식으로 이동할 수 있습니다.

실시예 5

방정식에 뿌리가 있나요? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

해결책

이제 전체 유리 방정식을 대수 방정식으로 줄이려고 하면 4차 방정식을 얻게 됩니다. 합리적인 뿌리. 따라서 다른 방향으로 가는 것이 더 쉬울 것입니다. 방정식의 표현식을 대체할 새 변수 y를 도입합니다. x 2 + 3 x.

이제 우리는 전체 방정식을 다룰 것입니다 (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). 방정식의 오른쪽을 반대 부호를 사용하여 왼쪽으로 이동하고 필요한 변환을 수행해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다: 와이 2 + 4 와이 + 3 = 0. 이차방정식의 근을 찾아봅시다: y = - 1그리고 y = - 3.

이제 역 교체를 해보겠습니다. 우리는 두 개의 방정식을 얻습니다. x 2 + 3 x = − 1그리고 x 2 + 3 · x = − 3 . x 2 + 3 x + 1 = 0으로 다시 작성해 보겠습니다. x 2 + 3 x + 3 = 0. 우리는 얻은 방정식에서 첫 번째 방정식의 근을 찾기 위해 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용합니다. - 3 ± 5 2. 두 번째 방정식의 판별식은 음수입니다. 이는 두 번째 방정식에 실제 근이 없음을 의미합니다.

답변:- 3 ± 5 2

전체 방정식 높은 학위문제가 자주 발생합니다. 그들을 두려워할 필요가 없습니다. 문제를 해결하려면 여러 가지 인위적인 변환을 포함하여 비표준 방법을 사용할 준비가 되어 있어야 합니다.

분수 유리 방정식 풀기

p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘으로 이 하위 주제에 대한 고려를 시작할 것입니다. 피(x)그리고 q(x)– 전체 합리적 표현. 다른 분수 유리 방정식의 해는 항상 표시된 유형의 방정식의 해로 축소될 수 있습니다.

방정식 p (x) q (x) = 0을 풀기 위해 가장 일반적으로 사용되는 방법은 다음 설명을 기반으로 합니다. 너 v, 어디 V- 이것은 0과 다른 숫자이며, 분수의 분자가 0인 경우에만 0과 같습니다. 위 진술의 논리에 따라 방정식 p (x) q (x) = 0에 대한 해가 두 가지 조건을 충족하도록 축소될 수 있다고 주장할 수 있습니다. p(x)=0그리고 q(x) ≠ 0. 이는 p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 구성하기 위한 기초입니다.

• 전체 유리 방정식의 해를 찾아라 p(x)=0;
• 솔루션 중에 발견된 근에 대해 조건이 충족되는지 확인합니다. q(x) ≠ 0.

이 조건이 충족되면 발견된 루트입니다. 그렇지 않으면 루트는 문제에 대한 해결책이 아닙니다.

실시예 6

방정식 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 의 근을 찾아봅시다.

해결책

우리는 p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 다루고 있습니다. 여기서 p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0입니다. 선형 방정식 풀기 시작합시다 3 x − 2 = 0. 이 방정식의 근은 다음과 같습니다. 엑스 = 2 3.

찾은 루트가 조건을 만족하는지 확인해 봅시다 5 x 2 − 2 ≠ 0. 이를 수행하려면 표현식에 숫자 값을 대체하십시오. 우리는 다음을 얻습니다: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

조건이 충족되었습니다. 그것은 다음을 의미합니다 엑스 = 2 3는 원래 방정식의 근입니다.

답변: 2 3 .

분수 유리 방정식 p (x) q (x) = 0을 풀기 위한 또 다른 옵션이 있습니다. 이 방정식은 전체 방정식과 동일하다는 것을 기억하십시오 p(x)=0지역에서 허용 가능한 값원래 방정식의 변수 x. 이를 통해 방정식 p (x) q (x) = 0을 풀 때 다음 알고리즘을 사용할 수 있습니다.

• 방정식을 풀다 p(x)=0;
• 변수 x의 허용 값 범위를 찾으십시오.
• 우리는 변수 x의 허용 가능한 값 범위에 있는 근을 원래 분수 유리 방정식의 원하는 근으로 취합니다.

실시예 7

방정식 x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0을 풉니다.

해결책

먼저 이차방정식을 풀어보겠습니다. x 2 − 2 x − 11 = 0. 근을 계산하기 위해 짝수 번째 계수에 대한 근 공식을 사용합니다. 우리는 얻는다 D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12, x = 1 ± 2 3 입니다.

이제 원래 방정식에 대한 변수 x의 ODZ를 찾을 수 있습니다. 이것들은 모두 해당 숫자입니다. x 2 + 3 x ≠ 0. 와 똑같다 x (x + 3) ≠ 0, 여기서 x ≠ 0, x ≠ − 3입니다.

이제 해의 첫 번째 단계에서 얻은 근 x = 1 ± 2 3이 변수 x의 허용 값 범위 내에 있는지 확인해 보겠습니다. 우리는 그들이 들어오는 것을 봅니다. 이는 원래의 분수 유리 방정식이 두 개의 근 x = 1 ± 2 3을 갖는다는 것을 의미합니다.

답변: x = 1 ± 2 3

설명된 두 번째 해법은 변수 x의 허용값 범위를 쉽게 찾을 수 있는 경우와 방정식의 근이 첫 번째 해법보다 간단합니다. p(x)=0비합리적이다. 예를 들어 7 ± 4 · 26 9입니다. 근은 유리수일 수 있지만 분자나 분모가 큽니다. 예를 들어, 127 1101 그리고 − 31 59 . 상태를 확인하는 시간을 절약해줍니다. q(x) ≠ 0: ODZ에 따라 적합하지 않은 뿌리를 제외하는 것이 훨씬 쉽습니다.

방정식의 근이 다음과 같은 경우 p(x)=0정수인 경우 p (x) q (x) = 0 형식의 방정식을 풀기 위해 설명된 알고리즘 중 첫 번째를 사용하는 것이 더 편리합니다. 전체 방정식의 근을 더 빠르게 찾아보세요 p(x)=0그런 다음 조건이 충족되는지 확인합니다. q(x) ≠ 0, ODZ를 찾은 다음 방정식을 푸는 대신 p(x)=0이 ODZ에서. 이는 일반적으로 DZ를 찾는 것보다 확인하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

실시예 8

방정식의 근을 구합니다 (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

해결책

전체 방정식을 살펴보는 것부터 시작하겠습니다. (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0그리고 그 뿌리를 찾는다. 이를 위해 인수분해를 통해 방정식을 푸는 방법을 적용합니다. 원래 방정식은 4개의 방정식 세트 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0과 동일하며, 그 중 3개는 선형이고 하나는 이차적입니다. 근 찾기: 첫 번째 방정식에서 엑스 = 1 2, 두 번째부터 – 엑스 = 6, 세 번째부터 – x = 7 , x = − 2 , 네 번째부터 – x = − 1.

얻은 뿌리를 확인해 봅시다. ADL을 결정합니다. 이 경우우리에게는 어렵습니다. 이를 위해서는 5차 대수 방정식을 풀어야 하기 때문입니다. 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분모가 0이 되어서는 안 되는 조건을 확인하는 것이 더 쉬울 것입니다.

표현식에서 변수 x의 근을 교대로 대체해 보겠습니다. x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112그 값을 계산합니다.

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

수행된 검증을 통해 원래 분수 유리 방정식의 근이 1 2, 6이고 − 2 .

답변: 1 2 , 6 , - 2

실시예 9

분수 유리 방정식 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0의 근을 구합니다.

해결책

방정식 작업을 시작해 보겠습니다. (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. 그 뿌리를 찾아보자. 이 방정식을 2차 및 1차 방정식의 집합으로 상상하는 것이 더 쉽습니다. 5 x 2 − 7 x − 1 = 0그리고 x − 2 = 0.

근을 찾기 위해 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용합니다. 우리는 첫 번째 방정식에서 두 개의 근 x = 7 ± 69 10을 얻고 두 번째 방정식에서 엑스 = 2.

조건을 확인하기 위해 근의 값을 원래 방정식에 대입하는 것은 상당히 어려울 것입니다. 변수 x의 ODZ를 결정하는 것이 더 쉬울 것입니다. 이 경우 변수 x의 ODZ는 조건을 만족하는 숫자를 제외한 모든 숫자이다. x 2 + 5 x − 14 = 0. 우리는 다음을 얻습니다: x ∈ - , - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + .

이제 우리가 찾은 근이 변수 x의 허용값 범위에 속하는지 확인해 보겠습니다.

근 x = 7 ± 69 10이 속하므로 원래 방정식의 근이 됩니다. 엑스 = 2- 속하지 않으므로 외래근이다.

답변: x = 7 ± 69 10 .

p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식의 분자에 숫자가 포함되는 경우를 별도로 살펴 보겠습니다. 이러한 경우 분자에 0이 아닌 숫자가 포함되어 있으면 방정식에는 근이 없습니다. 이 숫자가 0이면 방정식의 근은 ODZ의 숫자가 됩니다.

실시예 10

분수 유리 방정식 - 3, 2 x 3 + 27 = 0을 풉니다.

해결책

방정식 왼쪽에 있는 분수의 분자에 0이 아닌 숫자가 포함되어 있으므로 이 방정식에는 근이 없습니다. 이는 x 값이 없을 때 문제 설명에 주어진 분수의 값이 0과 같지 않음을 의미합니다.

답변:뿌리가 없습니다.

실시예 11

방정식 0 x 4 + 5 x 3 = 0을 풉니다.

해결책

분수의 분자에는 0이 포함되어 있으므로 방정식의 해는 변수 x의 ODZ에서 나온 임의의 값 x가 됩니다.

이제 ODZ를 정의해 보겠습니다. 여기에는 x의 모든 값이 포함됩니다. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. 방정식의 해법 x 4 + 5 x 3 = 0~이다 0 그리고 − 5 , 이 방정식은 다음 방정식과 동일하기 때문에 x 3 (x + 5) = 0, 이는 다시 두 방정식 x 3 = 0과 엑스 + 5 = 0, 이러한 뿌리가 보이는 곳. 우리는 허용 가능한 값의 원하는 범위가 다음을 제외한 모든 x라는 결론에 도달했습니다. 엑스 = 0그리고 x = − 5.

분수 유리 방정식 0 x 4 + 5 · x 3 = 0은 0과 - 5 이외의 숫자인 무한한 수의 해를 갖는 것으로 나타났습니다.

답변: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

이제 임의 형식의 분수 유리 방정식과 이를 해결하는 방법에 대해 이야기해 보겠습니다. 그들은 다음과 같이 쓸 수 있습니다 r(x) = s(x), 어디 r(x)그리고 에스(엑스)– 유리식, 그리고 그 중 적어도 하나는 분수입니다. 이러한 방정식을 푸는 것은 p(x) q(x) = 0 형식의 방정식을 푸는 것으로 줄어듭니다.

우리는 방정식의 오른쪽에서 반대 기호를 사용하여 표현식을 왼쪽으로 옮겨서 등가 방정식을 얻을 수 있다는 것을 이미 알고 있습니다. 이는 방정식이 r(x) = s(x)방정식과 같습니다 r(x) − s(x) = 0. 우리는 또한 유리식을 유리 분수로 변환하는 방법에 대해서도 이미 논의했습니다. 덕분에 방정식을 쉽게 변환할 수 있습니다. r(x) − s(x) = 0 p (x) q (x) 형식의 동일한 유리 분수로 변환됩니다.

그래서 우리는 원래의 분수 유리 방정식에서 벗어납니다. r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 형태의 방정식으로, 우리는 이미 푸는 방법을 배웠습니다.

다음에서 전환할 때 다음 사항을 고려해야 합니다. r(x) − s(x) = 0 p(x)q(x) = 0으로 그리고 나서 p(x)=0변수 x의 허용 값 범위 확장을 고려하지 않을 수도 있습니다.

원래 방정식이 그럴 가능성이 매우 높습니다. r(x) = s(x)방정식 p(x)=0변환의 결과로 그들은 더 이상 동등하지 않게 됩니다. 그러면 방정식의 해는 p(x)=0우리에게 낯선 뿌리를 줄 수 있다 r(x) = s(x). 이와 관련하여 각각의 경우 위에 설명된 방법 중 하나를 사용하여 검증을 수행해야 합니다.

주제를 더 쉽게 연구할 수 있도록 모든 정보를 다음 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘으로 요약했습니다. r(x) = s(x):

• 반대 기호를 사용하여 오른쪽에서 표현식을 전송하고 오른쪽에서 0을 얻습니다.
• 원래 표현식을 유리 분수 p (x) q (x) 로 변환하여 분수와 다항식을 사용하여 순차적으로 연산을 수행합니다.
• 방정식을 풀다 p(x)=0;
• 우리는 ODZ에 속하는지 확인하거나 원래 방정식으로 대체하여 외부 근을 식별합니다.

시각적으로 일련의 작업은 다음과 같습니다.

r(x) = s(x) → r(x) - s(x) = 0 → p(x) q(x) = 0 → p(x) = 0 → 제거 외부 근

실시예 12

분수 유리 방정식 x x + 1 = 1 x + 1 을 풉니다.

해결책

방정식 x x + 1 - 1 x + 1 = 0으로 넘어가겠습니다. 방정식 왼쪽의 분수 유리식을 p (x) q (x) 형식으로 변환해 보겠습니다.

이렇게 하려면 유리 분수를 공통 분모로 줄이고 표현식을 단순화해야 합니다.

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

방정식 - 2 x - 1 x (x + 1) = 0의 근을 찾으려면 방정식을 풀어야 합니다. − 2 x − 1 = 0. 우리는 하나의 루트를 얻습니다 x = - 1 2.

우리가 해야 할 일은 어떤 방법을 사용하여 확인하는 것뿐입니다. 두 가지를 모두 살펴보겠습니다.

결과 값을 원래 방정식에 대입해 보겠습니다. 우리는 - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1을 얻습니다. 우리는 올바른 수치적 평등에 도달했습니다 − 1 = − 1 . 그것은 다음을 의미합니다 x = − 1 2는 원래 방정식의 근입니다.

이제 ODZ를 통해 확인해 보겠습니다. 변수 x의 허용 값 범위를 결정합시다. 이는 − 1과 0(x = − 1 및 x = 0에서 분수의 분모가 사라짐)을 제외하고 전체 숫자 집합이 됩니다. 우리가 얻은 뿌리 x = − 1 2 ODZ에 속해 있습니다. 즉, 원래 방정식의 근이 됩니다.

답변: − 1 2 .

실시예 13

방정식 x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x의 근을 구합니다.

해결책

우리는 분수 유리 방정식을 다루고 있습니다. 따라서 우리는 알고리즘에 따라 행동할 것입니다.

반대 기호를 사용하여 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동해 보겠습니다. x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

필요한 변환을 수행해 보겠습니다. x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

우리는 방정식에 도달 엑스 = 0. 이 방정식의 근은 0입니다.

이 근이 원래 방정식에 관계가 없는지 확인해 보겠습니다. 값을 원래 방정식으로 대체해 보겠습니다. 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. 보시다시피 결과 방정식은 의미가 없습니다. 이는 0이 외부 근이고 원래 분수 유리 방정식에는 근이 없음을 의미합니다.

답변:뿌리가 없습니다.

알고리즘에 다른 동등한 변환을 포함하지 않았다고 해서 해당 변환을 사용할 수 없다는 의미는 아닙니다. 알고리즘은 보편적이지만 제한이 아닌 도움을 주기 위해 설계되었습니다.

실시예 14

방정식 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 풀기

해결책

가장 쉬운 방법은 주어진 분수 유리 방정식을 알고리즘에 따라 푸는 것입니다. 하지만 또 다른 방법이 있습니다. 그것을 고려해 봅시다.

오른쪽과 왼쪽에서 7을 빼면 다음과 같습니다: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

이것으로부터 우리는 왼쪽 분모의 표현이 오른쪽 숫자의 역수, 즉 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7과 같아야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

양변에서 3을 뺍니다: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. 비유하자면 2 + 1 5 - x 2 = 7 3입니다. 여기서 1 5 - x 2 = 1 3이고 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2입니다.

발견된 근이 원래 방정식의 근인지 확인하기 위해 검사를 수행해 보겠습니다.

답변: x = ± 2

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

정수 표현식은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산을 사용하여 숫자와 리터럴 변수로 구성된 수학적 표현식입니다. 정수에는 0이 아닌 숫자로 나누는 표현식도 포함됩니다.

분수 유리식의 개념

분수 표현은 숫자와 문자 변수를 사용하여 수행되는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산과 0이 아닌 숫자로 나누는 연산 외에도 문자 변수를 사용하여 표현식으로 나누는 작업도 포함하는 수학적 표현입니다.

유리식은 모두 정수식과 분수식입니다. 유리 방정식은 왼쪽과 오른쪽이 유리식인 방정식입니다. 유리 방정식에서 왼쪽과 오른쪽 변이 정수 표현식이면 이러한 유리 방정식을 정수라고 합니다.

유리 방정식에서 왼쪽이나 오른쪽이 분수 표현인 경우 이러한 유리 방정식을 분수라고 합니다.

분수 유리식의 예

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

분수 유리 방정식을 푸는 방식

1. 방정식에 포함된 모든 분수의 공통분모를 찾으세요.

2. 방정식의 양변에 공통 분모를 곱합니다.

3. 결과 전체 방정식을 푼다.

4. 근을 확인하고 공통분모를 사라지게 만드는 근을 제외하세요.

분수 유리 방정식을 풀고 있으므로 분수의 분모에 변수가 있을 것입니다. 이는 그들이 공통 분모가 될 것임을 의미합니다. 그리고 알고리즘의 두 번째 지점에서 공통 분모를 곱하면 외부 뿌리가 나타날 수 있습니다. 공통 분모가 0이 되는 경우, 이는 이를 곱하는 것이 의미가 없음을 의미합니다. 따라서 결국에는 얻은 뿌리를 확인하는 것이 필요합니다.

예를 살펴보겠습니다:

분수 유리 방정식을 푼다: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

우리는 충실 할 것입니다 일반적인 계획: 먼저 모든 분수의 공통분모를 찾아봅시다. 우리는 x*(x-5)를 얻습니다.

각 분수에 공통 분모를 곱하고 결과 전체 방정식을 작성하십시오.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

결과 방정식을 단순화해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

우리는 간단한 축소된 이차 방정식을 얻습니다. 우리는 알려진 방법 중 하나를 사용하여 이를 풀고 근 x=-2 및 x=5를 얻습니다.

이제 얻은 솔루션을 확인합니다.

공통분모에 숫자 -2와 5를 대입합니다. x=-2에서 공통분모 x*(x-5)는 사라지지 않습니다(-2*(-2-5)=14). 이는 숫자 -2가 원래 분수 유리 방정식의 근이 된다는 것을 의미합니다.

x=5일 때 공통 분모 x*(x-5)는 다음과 같습니다. 0과 같음. 따라서 이 숫자는 0으로 나누기가 발생하므로 원래 분수 유리 방정식의 근이 아닙니다.

수업 목표:

교육적인:

• 분수 유리 방정식의 개념 형성;
• 분수 유리 방정식을 풀기 위한 다양한 방법을 고려합니다.
• 분수가 0이라는 조건을 포함하여 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 고려합니다.
• 알고리즘을 사용하여 분수 유리 방정식을 푸는 방법을 가르칩니다.
• 테스트를 통해 주제의 숙달 정도를 확인합니다.

발달:

• 습득한 지식으로 올바르게 작동하고 논리적으로 사고하는 능력을 개발합니다.
• 지적 능력의 발달과 정신적 조작- 분석, 종합, 비교 및 ​​합성
• 주도력 개발, 결정을 내리는 능력, 그리고 거기서 멈추지 않습니다.
• 비판적 사고의 발달;
• 연구 능력 개발.

교육:

• 주제에 대한 인지적 관심을 키우는 것;
• 교육 문제 해결에 있어서 독립성을 키우는 것;
• 최종 결과를 달성하기 위한 의지와 인내를 키우는 것입니다.

수업 유형: 수업 - 새로운 자료에 대한 설명입니다.

수업 중

1. 조직적인 순간.

안녕하세요 여러분! 칠판에 방정식이 적혀 있으니 잘 살펴보세요. 이 방정식을 모두 풀 수 있나요? 그렇지 않은 것은 무엇이며 그 이유는 무엇입니까?

좌변과 우변이 분수 유리식인 방정식을 분수 유리 방정식이라고 합니다. 오늘 수업시간에 우리가 무엇을 공부할 것 같나요? 공과의 주제를 공식화하십시오. 따라서 공책을 열고 "분수 유리 방정식 풀기" 수업의 주제를 적어보세요.

2. 지식 업데이트. 정면 조사, 학급에서의 구두 작업.

이제 새로운 주제를 연구하는 데 필요한 주요 이론적 자료를 반복하겠습니다. 다음 질문에 답해 주십시오.

1. 방정식이란 무엇입니까? ( 변수 또는 변수와의 동등성.)
2. 방정식 번호 1의 이름은 무엇입니까? ( 선의.) 선형 방정식을 푸는 방법. ( 미지수가 있는 모든 것을 방정식의 왼쪽으로, 모든 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 비슷한 용어를 사용하세요. 알려지지 않은 요소 찾기).
3. 방정식 번호 3의 이름은 무엇입니까? ( 정사각형.) 이차 방정식을 푸는 방법. ( 선택 완전한 정사각형, 공식에 따라 Vieta의 정리와 그 결과를 사용하여.)
4. 비율이란 무엇입니까? ( 두 비율의 동등성.) 비율의 주요 속성. ( 비율이 정확하면 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다..)
5. 방정식을 풀 때 어떤 속성이 사용됩니까? ( 1. 방정식의 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하여 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻게 됩니다. 2. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다..)
6. 분수는 언제 0이 되나요? ( 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0과 같습니다..)

3. 신소재에 대한 설명.

노트와 칠판에 있는 방정식 2번을 풀어보세요.

답변: 10.

비례의 기본 속성을 사용하여 어떤 분수 유리 방정식을 풀 수 있나요? (5 번).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

노트와 칠판에 있는 방정식 4번을 풀어보세요.

답변: 1,5.

방정식의 양변에 분모를 곱하여 풀 수 있는 분수 유리 방정식은 무엇입니까? (6 번).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

답변: 3;4.

이제 다음 방법 중 하나를 사용하여 방정식 7을 풀어보세요.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
엑스 3 =5 엑스 4 =-2			엑스 3 =5 엑스 4 =-2
답변: 0;5;-2.			답변: 5;-2.

왜 이런 일이 일어났는지 설명해 보세요. 왜 한 경우에는 세 개의 뿌리가 있고 다른 경우에는 두 개가 있습니까? 이 분수 유리 방정식의 근은 어떤 숫자입니까?

지금까지 학생들은 외부 뿌리의 개념을 접한 적이 없었습니다. 왜 이런 일이 발생했는지 이해하는 것은 실제로 매우 어렵습니다. 수업 중 누구도 이 상황에 대해 명확하게 설명할 수 없으면 교사는 유도 질문을 합니다.

• 방정식 번호 2와 4는 방정식 번호 5,6,7과 어떻게 다른가요? ( 방정식 2번과 4번은 분모에 숫자가 있고, 5~7번은 변수가 있는 수식이다..)
• 방정식의 근은 무엇입니까? ( 방정식이 참이 되는 변수의 값.)
• 숫자가 방정식의 근인지 확인하는 방법은 무엇입니까? ( 확인해보세요.)

테스트할 때 일부 학생들은 0으로 나누어야 한다는 것을 알아차립니다. 그들은 숫자 0과 5가 이 방정식의 근이 아니라는 결론을 내렸습니다. 질문이 생깁니다: 이 오류를 제거할 수 있는 분수 유리 방정식을 풀 수 있는 방법이 있습니까? 예, 이 방법은 분수가 0이라는 조건을 기반으로 합니다.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

x=5이면 x(x-5)=0입니다. 이는 5가 외부 근임을 의미합니다.

x=-2이면 x(x-5)≠0입니다.

답변: -2.

이런 식으로 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다. 아이들은 알고리즘을 스스로 공식화합니다.

분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘:

1. 모든 것을 왼쪽으로 옮깁니다.
2. 분수를 공통 분모로 줄이세요.
3. 시스템을 만듭니다. 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0과 같습니다.
4. 방정식을 풀어보세요.
5. 외부 뿌리를 제외하려면 부등식을 확인하세요.
6. 답을 적어보세요.

토론: 비율의 기본 속성을 사용하고 방정식의 양쪽에 공통 분모를 곱하는 경우 솔루션을 공식화하는 방법. (해법에 추가: 공통 분모를 사라지게 만드는 것을 뿌리에서 제외하십시오).

4. 새로운 자료에 대한 초기 이해.

쌍으로 일하십시오. 학생들은 방정식의 유형에 따라 방정식을 푸는 방법을 스스로 선택합니다. 교과서 "대수 8"의 과제, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c,i); 601(a,e,g)호. 교사는 과제 완료를 모니터링하고, 발생하는 모든 질문에 답변하며, 성적이 낮은 학생에게 도움을 제공합니다. 자가 테스트: 답은 칠판에 적혀 있습니다.

b) 2 – 외부 뿌리. 답: 3.

c) 2 – 외부 뿌리. 답: 1.5.

a) 답: -12.5.

g) 답: 1;1.5.

5. 숙제 설정.

1. 교과서의 단락 25를 읽고 예 1-3을 분석하십시오.
2. 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
3. 노트 번호 600(a, d, e)에서 해결하세요. 번호 601(g,h).
4. 696(a)번(선택 사항)을 풀어보세요.

6. 연구 주제에 대한 제어 작업을 완료합니다.

작업은 종이 조각으로 이루어집니다.

예시 작업:

A) 어떤 방정식이 분수 유리합니까?

B) 분자가 ______________________이고 분모가 _______________________이면 분수는 0과 같습니다.

Q) 숫자 -3이 방정식 6의 근본인가요?

D) 방정식 7번을 푼다.

과제 평가 기준:

• 학생이 과제의 90% 이상을 올바르게 완료한 경우 "5"가 주어집니다.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• “2”는 과제를 50% 미만 완료한 학생에게 주어집니다.
• 저널에는 2등급이 주어지지 않으며, 3등급은 선택사항입니다.

7. 반성.

독립된 워크시트에 다음을 입력합니다.

• 1 – 수업이 흥미롭고 이해하기 쉬웠는지 여부
• 2 – 흥미롭지만 명확하지 않습니다.
• 3 – 흥미롭지는 않지만 이해할 수 있습니다.
• 4 – 흥미롭지 않고 명확하지 않습니다.

8. 수업을 요약합니다.

그래서 오늘 수업에서 우리는 분수 유리 방정식에 대해 알게되었고, 이러한 방정식을 다양한 방법으로 해결하는 방법을 배웠으며, 교육을 통해 지식을 테스트했습니다. 독립적 인 일. 다음 수업에서는 독립적인 작업의 결과를 배우고 집에서 지식을 통합할 기회를 갖게 됩니다.

분수 유리 방정식을 푸는 방법 중 어떤 방법이 더 쉽고, 더 접근하기 쉽고, 더 합리적이라고 생각하시나요? 분수 유리 방정식을 푸는 방법에 관계없이 무엇을 기억해야 합니까? 분수 유리 방정식의 "교활함"은 무엇입니까?

모두들 감사합니다, 수업이 끝났습니다.