이차 삼항식에서 완전한 정사각형

정의

2 x 2 + 3 x + 5 형식의 표현식을 2차 삼항식이라고 합니다. 일반적으로 제곱 삼항식은 a x 2 + b x + c 형식의 표현입니다. 여기서 a, b, c a, b, c는 임의의 숫자이고 a ≠ 0입니다.

이차 삼항식 x 2 - 4 x + 5를 생각해 보세요. x 2 - 2 · 2 · x + 5 형식으로 작성해 보겠습니다. 이 식에 2 2를 더하고 2 2를 빼면 x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5가 됩니다. x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2이므로 x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 입니다. 우리가 만든 변환은 다음과 같습니다. "배당 완전한 정사각형정사각형 삼항식에서 ".

이차 삼항식 9 x 2 + 3 x + 1에서 완전제곱수를 결정합니다.

9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`에 유의하세요. 그런 다음 `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`입니다. 결과 표현식에 '(1/2)^2'를 더하고 빼면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

우리는 2차 삼항식에서 완전제곱식을 분리하는 방법이 제곱삼항식을 인수분해하는 데 어떻게 사용되는지 보여줄 것입니다.

2차 삼항식 4 x 2 - 12 x + 5를 인수분해합니다.

우리는 2차 삼항식에서 완전제곱수를 선택합니다: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. 이제 공식 a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) 를 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1).

2차 삼항식 - 9 x 2 + 12 x + 5를 인수분해합니다.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. 이제 우리는 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2임을 알 수 있습니다.

9 x 2 - 12 x 표현식에 2 2 항을 추가하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

제곱의 차이에 대한 공식을 적용하면 다음과 같습니다.

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

2차 삼항식 3 x 2 - 14 x - 5 를 인수분해합니다.

우리는 아직 학교에서 이것을 공부하지 않았기 때문에 3 x 2라는 표현을 어떤 표현의 제곱으로 표현할 수 없습니다. 이 내용은 나중에 살펴보고 작업 번호 4에서 공부하겠습니다. 제곱근. 주어진 이차 삼항식을 인수분해하는 방법을 보여드리겠습니다.

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

완전제곱법을 사용하여 이차 삼항식의 최대값 또는 최소값을 찾는 방법을 보여 드리겠습니다.
이차 삼항식 x 2 - x + 3을 생각해 보세요. 완전한 정사각형을 선택하세요.

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. 'x=1/2'일 때 이차 삼항식의 값은 '11/4'이고, 'x!=1/2'일 때 '11/4'의 값이 더해진다는 점에 유의하세요. 정수이므로 '11/4'보다 큰 숫자를 얻게 됩니다. 따라서, 가장 작은 값이차 삼항식은 `11/4`이고 `x=1/2`일 때 얻어집니다.

이차 삼항식의 가장 큰 값인 16 2 + 8 x + 6을 구합니다.

2차 삼항식에서 완전제곱수를 선택합니다: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

`x=1/4`일 때 이차 삼항식의 값은 7이고 `x!=1/4`일 때 숫자 7에서 양수를 빼면 7보다 작은 숫자가 됩니다. 그래서 숫자 7은 가장 높은 가치이차 삼항식이며 `x=1/4`일 때 얻어집니다.

분수 `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)`의 분자와 분모를 인수분해하고 분수를 줄입니다.

분수의 분모는 x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2입니다. 제곱 삼항식에서 완전한 제곱을 분리하는 방법을 사용하여 분수의 분자를 인수분해해 보겠습니다. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

이 분수는 (x - 3)로 감소한 후 `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` 형식으로 감소되어 `(x+5)/(x-3을 얻습니다. )`.

다항식 x 4 - 13 x 2 + 36을 인수분해합니다.

이 다항식에 완전한 정사각형을 분리하는 방법을 적용해 보겠습니다. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

x가 전화했어

1.2.3. 축약된 곱셈 항등식 사용

예. 인수 x 4 16.

x4 16x2 2 42x2 4x2 4x2x2x24 .

1.2.4. 근을 사용하여 다항식 인수분해하기

정리. 다항식 P x가 근 x 1을 갖는다고 가정합니다. 그러면 이 다항식은 다음과 같이 인수분해될 수 있습니다: P x x x 1 S x , 여기서 S x 는 차수가 1 적은 다항식입니다.

값을 P x에 대한 표현식으로 번갈아 사용하면 x 2를 얻을 수 있습니다.

표현식은 0, 즉 P 2 0으로 바뀔 것입니다. 이는 x 2가 다중의 근임을 의미합니다.

회원. 다항식 P x 를 x 2 로 나눕니다.

12x2412x24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. 완전한 정사각형 선택

완전한 정사각형을 선택하는 방법은 a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 공식을 사용하는 것입니다.

완전한 제곱을 분리하는 것은 주어진 삼항식을 이항식의 제곱과 일부 숫자 또는 알파벳 표현의 합 또는 차이로 표시하는 항등 변환입니다.

변수에 대한 제곱 삼항식은 다음 형식으로 표현됩니다.

그런 다음 b x라는 표현을 2b x(곱의 두 배)로 표현합니다.

괄호 안의 표현식에 숫자를 더하고 뺍니다.

2×12 7.

4대2,

1.4. 여러 변수의 다항식

하나의 변수에 있는 다항식처럼 여러 변수에 있는 다항식은 더하고, 곱하고, 자연 거듭제곱으로 올릴 수 있습니다.

중요한 동일한 변환여러 변수의 다항식은 인수분해입니다. 여기서는 괄호 안에 공통인수 배치, 그룹화, 축약된 곱셈 항등식 사용, 완전한 정사각형 분리, 보조 변수 도입 등의 인수분해 방법이 사용됩니다.

1. 다항식 P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 을 인수분해합니다.

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. 인수 P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . 그룹화 방법을 적용해보자

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. 인수 P x ,y x 4 4y 4 . 완전한 정사각형을 선택해 보겠습니다.

x 4년 4x 44 x 2년 24년 24 x 2년 2x 22년 2 2 4 x 2년 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. 유리수 지수가 있는 학위의 속성

유리수 지수가 있는 학위는 다음과 같은 속성을 갖습니다.

1. r 1ar 2a r 1r 2,

여기서 a 0;b 0;r 1;r 2는 임의의 유리수입니다.

1.6. 스스로 할 수 있는 운동

1. 축약된 곱셈 공식을 사용하여 작업을 수행합니다. 1) 52;

2) 3a72;

3) nb n2 .

4) 1x3;

7) 8a28a2;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2b a2 2 ab4 b2 ;

10) 3a 2 3a 9 ;

11) 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. 축약된 곱셈 항등식을 사용하여 계산합니다.

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. 신원을 증명하십시오:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) 2b 2 2 2 a 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. 다음 다항식을 인수분해합니다.

1) 3 x a2 a2;

2) AC 7 BC3 A21 B;

3) 63m 4n 327m 3n 445m 5n 7;

4) 5b2c32bc2k2k2;

5) 2x3y2 3yz2 2x2yz3z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25a 21b 2q 2;

8) 95a4b264a2;

9) 121n23n2t2;

10) 4t 2 20tn 25n 2 36;

11) p46p2k9k2;

12) 16피 3q8 72p 4q7 81p 5q6 ;

13) 6×3 36×2 72×48;

14) 15 도끼 3 45 도끼 2 45 도끼 15a ;

15) 9a3n14.5a2n1;

16) 5p2nqn15p5nq2n;

17) 4a 7b 232a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000t 3 27t 6 .

5. 가장 간단한 방법으로 계산합니다.

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. 다항식의 몫과 나머지 구하기다항식으로 P x Q x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P××6 1; Q x x4 4 x2 .

7. 다항식을 증명하세요. x 2 2x 2에는 실제 근이 없습니다.

8. 다항식의 근을 구합니다:

1) x 3 4 x;

2) 3×3 3×2 5×15.

9. 요인:

1) 6a2a555a3;

2) x 2 x 3 2 x 32 4 x 3 3 x 2 ;

3) 3개 6개 2개 11개 6개.

10. 완전한 정사각형을 분리하여 방정식을 푼다:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. 표현의 의미를 찾으십시오.

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. 계산: