Сумма геометрической прогрессии примеры. Геометрическая прогрессия. Пример с решением

Рассмотрим некоторый ряд.

7 28 112 448 1792...

Совершенно ясно видно, что значение любого его элемента больше предыдущего ровно в четыре раза. Значит, данный ряд является прогрессией.

Геометрической прогрессиейименуется бесконечная последовательность чисел, главной особенностью которой является то, что следующее число получается из предыдущего посредством умножения на какое-то определенное число. Это выражается следующей формулой.

a z +1 =a z ·q, где z - номер выбранного элемента.

Соответственно, z ∈ N.

Период, когда в школе изучается геометрическая прогрессия - 9 класс. Примеры помогут разобраться в понятии:

0.25 0.125 0.0625...

Исходя из этой формулы, знаменатель прогрессии возможно найти следующим образом:

Ни q, ни b z не могут равняться нулю. Так же каждый из элементов прогрессии не должен равняться нулю.

Соответственно, чтобы узнать следующее число ряда, нужно умножить последнее на q.

Чтобы задать данную прогрессию, необходимо указать первый ее элемент и знаменатель. После этого возможно нахождение любого из последующих членов и их суммы.

Разновидности

В зависимости от q и a 1, данная прогрессия разделяется на несколько видов:

• Если и a 1 , и q больше единицы, то такая последовательность - возрастающая с каждым следующим элементом геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.

Пример: a 1 =3, q=2 - оба параметра больше единицы.

Тогда числовая последовательность может быть записана так:

3 6 12 24 48 ...

• Если |q| меньше единицы, то есть, умножение на него эквивалентно делению, то прогрессия с подобными условиями - убывающая геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 больше единицы, q - меньше.

Тогда числовую последовательность можно записать таким образом:

6 2 2/3 ... - любой элемент больше элемента, следующего за ним, в 3 раза.

• Знакопеременная. Если q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3 , q = -2 - оба параметра меньше нуля.

Тогда числовую последовательность можно записать так:

3, 6, -12, 24,...

Формулы

Для удобного использования геометрических прогрессий существует множество формул:

• Формула z-го члена. Позволяет рассчитать элемент, стоящий под конкретным номером без расчета предыдущих чисел.

Пример: q = 3, a 1 = 4. Требуется посчитать четвертый элемент прогрессии.

Решение: a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сумма первых элементов, чье количество равно z . Позволяет рассчитать сумму всех элементов последовательности до a z включительно.

Так как (1- q ) стоит в знаменателе, то (1 - q) ≠ 0, следовательно, q не равно 1.

Замечание: если бы q=1, то прогрессия представляла бы собой ряд из бесконечно повторяющегося числа.

Сумма геометрической прогрессии, примеры: a 1 = 2, q = -2. Посчитать S 5 .

Решение: S 5 = 22 - расчет по формуле.

• Сумма, если | q | < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример: a 1 = 2 , q = 0.5. Найти сумму.

Решение: S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Некоторые свойства:

• Характеристическое свойство. Если следующее условие выполняется для любого z , то заданный числовой ряд - геометрическая прогрессия:

a z 2 = a z -1 · a z+1

• Так же квадрат любого числа геометрической прогрессии находится при помощи сложения квадратов двух других любых чисел в заданном ряду, если они равноудалены от этого элемента.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , где t - расстояние между этими числами.

• Элементы различаются в q раз.
• Логарифмы элементов прогрессии так же образуют прогрессию, но уже арифметическую, то есть каждый из них больше предыдущего на определенное число.

Примеры некоторых классических задач

Чтобы лучше понять, что такое геометрическая прогрессия, примеры с решением для 9 класса могут помочь.

• Условия: a 1 = 3, a 3 = 48. Найти q .

Решение: каждый последующий элемент больше предыдущего в q раз. Необходимо выразить одни элементы через другие с помощью знаменателя.

Следовательно, a 3 = q 2 · a 1

При подстановке q = 4

• Условия: a 2 = 6, a 3 = 12. Рассчитать S 6 .

Решение: Для этого достаточно найти q, первый элемент и подставить в формулу.

a 3 = q · a 2 , следовательно, q = 2

a 2 = q · a 1 , поэтому a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q = -2. Найти четвертый элемент прогрессии.

Решение: для этого достаточно выразить четвертый элемент через первый и через знаменатель.

a 4 = q 3 · a 1 = -80

Пример применения:

• Клиент банка совершил вклад на сумму 10000 рублей, по условиям которого каждый год клиенту к основной сумме будут прибавляться 6% от нее же. Сколько средств будет на счету через 4 года?

Решение: Изначальная сумма равна 10 тысячам рублей. Значит, через год после вложения на счету будет сумма, равная 10000 + 10000· 0.06 = 10000 · 1.06

Соответственно, сумма на счете еще через один год будет выражаться следующим образом:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

То есть с каждым годом сумма увеличивается в 1.06 раз. Значит, чтобы найти количество средств на счете через 4 года, достаточно найти четвертый элемент прогрессии, которая задана первым элементом, равным 10 тысячам, и знаменателем, равным 1.06.

S = 1.06·1.06·1.06·1.06·10000 = 12625

Примеры задач на вычисление суммы:

В различных задачах используется геометрическая прогрессия. Пример на нахождение суммы может быть задан следующим образом:

a 1 = 4, q = 2, рассчитать S 5 .

Решение: все необходимые для расчета данные известны, нужно просто подставить их в формулу.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Рассчитать сумму первых шести элементов.

Решение:

В геом. прогрессии каждый следующий элемент больше предыдущего в q раз, то есть для вычисления суммы необходимо знать элемент a 1 и знаменатель q .

a 2 · q = a 3

q = 3

Аналогичным образом требуется найти a 1 , зная a 2 и q .

a 1 · q = a 2

a 1 = 2

S 6 = 728.

Инструкция

10, 30, 90, 270...

Требуется найти знаменатель геометрической прогрессии.
Решение:

1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (например, 90) и разделим его на предыдущий (30): 90/30=3.

Если известна сумма нескольких членов геометрической прогрессии или сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и
S = b1/(1-q), где S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).
Пример.

Первый член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.

Требуется определить знаменатель этой прогрессии.
Решение:

Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:
2=1/(1-q), откуда – q=1/2.

Прогрессия представляет собой последовательность чисел. В геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на некоторое число q, называемое знаменателем прогрессии.

Инструкция

Если известно два соседних члена геометрической b(n+1) и b(n), чтобы получить знаменатель, надо число с большим разделить на предшествующее ему: q=b(n+1)/b(n). Это следует из определения прогрессии и ее знаменателя. Важным условием является неравенство нулю первого члена и знаменателя прогрессии, иначе считается неопределенной.

Так, между членами прогрессии устанавливаются следующие соотношения: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. По формуле b(n)=b1 q^(n-1) может быть вычислен любой член геометрической прогрессии, в которой известен знаменатель q и член b1. Также каждый из прогрессии по модулю равен среднему своих соседних членов: |b(n)|=√, отсюда прогрессия и получила свое .

Аналогом геометрической прогрессии является простейшая показательная функция y=a^x, где x стоит в показателе степени, a – некоторое число. В этом случае знаменатель прогрессии совпадает с первым членом и равен числу a. Под значением функции y можно понимать n-й член прогрессии, если аргумент x принять за натуральное число n (счетчик).

Существует для суммы первых n членов геометрической прогрессии: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Данная формула справедлива при q≠1. Если q=1, то сумма первых n членов вычисляется формулой S(n)=n b1. Кстати, прогрессия будет называться возрастающей при q большем единицы и положительном b1. При знаменателе прогрессии, по модулю не превышающем единицы, прогрессия будет называться убывающей.

Частный случай геометрической прогрессии – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (б.у.г.п.). Дело в том, что члены убывающей геометрической прогрессии будут раз за разом уменьшаться, но никогда не достигнут нуля. Несмотря на это, можно найти сумму всех членов такой прогрессии. Она определяется формулой S=b1/(1-q). Общее количество членов n бесконечно.

Чтобы наглядно представить, как можно сложить бесконечное количество чисел и не получить при этом бесконечность, испеките торт. Отрежьте половину этого . Затем отрежьте 1/2 от половины, и так далее. Кусочки, которые у вас будут получаться, являют собой не что иное, как члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1/2. Если сложить все эти кусочки, вы получите исходный торт.

Задачи по геометрии - это особая разновидность упражнений, требующая пространственного мышления. Если у вас не получается решить геометрическую задачу , попробуйте следовать нижеприведенным правилам.

Инструкция

Прочитайте очень внимательно условие задачи, если что-то не запомнили или не поняли, перечитайте еще раз.

Постарайтесь определить, к какому виду геометрических задач она , так, например: вычислительные, когда нужно узнать какую-нибудь величину, задачи на , требующие логической цепочки рассуждений, задачи на построение при помощи циркуля и линейки. Еще задачи смешанного типа. Когда вы выяснили тип задачи, постарайтесь рассуждать логически.

Примените необходимую теорему для данной задачи, если же есть сомнения или вообще отсутствуют варианты, то постарайтесь вспомнить теорию, которую вы проходили по соответствующей теме.

Оформите решение задачи также на черновике. Попытайтесь применить известные способы проверки верности вашего решения.

Оформите решение задачи аккуратно в тетради, без помарок и зачеркиваний, а главное - .Возможно, на решение первых геометрических задач уйдет сил и времени. Однако, как только вы освоите этот процесс - начнете щелкать задачи по , как орешки, получая от этого удовольствие!

Геометрическая прогрессия - это такая последовательность чисел b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), что b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n)=b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Иными словами, каждый член прогрессии получается из предыдущего умножением его на некоторый ненулевой знаменатель прогрессии q.

Инструкция

Задачи на прогрессии чаще всего решаются составлением и последующим системы относительно первого члена прогрессии b1 и знаменателя прогрессии q. Для составления уравнений полезно помнить некоторые формулы.

Как выразить n-й член прогрессии через первый член прогрессии и знаменатель прогрессии:b(n)=b1*q^(n-1).

Рассмотрим отдельно случай |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,..., b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле

Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших.

Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Запишем условие задачи в виде

Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

На ее основе находим неизвестные члены прогрессии

Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом

Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член.

Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения

Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле

На этом задача решена.

Пример 3. Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии.

Решение:

Запишем заданные значения через формулы

По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем

Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим

Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый

Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.

Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами

Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.

Решение:

Запишем заданные данные в виде системы уравнений

Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое

Найдем первый член прогрессии из первого уравнения

Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Понятие геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .

Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1

Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .

Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).

Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. В таких случаях говорят, что прогрессия является постоянной последовательностью.

Для того, чтобы числовая последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией необходимо, чтобы каждый её член, начиная со второго, являлся средним геометрическим соседних членов. То есть необходимо выполнение следующего уравнения
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2),для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Теперь положим (Xn) - геометрическая прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии q, причем |q|∞).
Если теперь за S обозначить сумму бесконечно геометрической прогрессии, тогда будет иметь место следующая формула:
S=x1/(1-q).

Рассмотрим простой пример:

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 2, -2/3, 2/9, - 2/27, … .

Для нахождения S воспользуемся формулой суммы бесконечно арифметической прогрессии. |-1/3| < 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Некоторые задачи физики и математики могут быть решены с использованием свойств числовых рядов. Две самых простых числовых последовательности, которые изучаются в школах, это алгебраическая и геометрическая. В данной статье рассмотрим подробнее вопрос, как найти сумму бесконечной прогрессии геометрической убывающей.

Прогрессия геометрическая

Под этими словами понимают такой ряд действительных чисел, элементы a i которого удовлетворяют выражению:

Здесь i - номер элемента в ряду, r - постоянное число, которое называется знаменателем.

Это определение показывает, что, зная любой член прогрессии и его знаменатель, можно восстановить весь ряд чисел. Например, если известен 10-й элемент, то разделив его на r, получим 9-й элемент, затем, разделив еще раз, получим 8-й и так далее. Эти простые рассуждения позволяют записать выражение, которое справедливо для рассматриваемого ряда чисел:

Примером прогрессии со знаменателем 2 может быть такой ряд:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Если же знаменатель будет равен -2, тогда получается совершенно другой ряд:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Прогрессия геометрическая является гораздо более быстрой, чем алгебраическая, то есть ее члены быстро растут и быстро уменьшаются.

Сумма i членов прогрессии

Для решения практических задач часто приходиться вычислять сумму нескольких элементов рассматриваемой числовой последовательности. Для этого случая справедлива следующая формула:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Видно, что для вычисления суммы i членов необходимо знать всего два числа: a 1 и r, что является логичным, поскольку они однозначно определяют всю последовательность.

Убывающая последовательность и сумма ее членов

Теперь рассмотрим частный случай. Будем считать, что модуль знаменателя r не превышает единицы, то есть -1

Убывающую геометрическую прогрессию интересно рассмотреть, потому что бесконечная сумма ее членов стремится к конечному действительному числу.

Получим формулу суммы Это легко сделать, если выписать выражение для S i , приведенного в предыдущем пункте. Имеем:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Рассмотрим случай, когда i->∞. Поскольку модуль знаменателя меньше 1, то возведение его в бесконечную степень даст ноль. Это можно проверить на примере r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

В итоге сумма членов бесконечной геометрической прогрессии убывающей примет форму:

Эта формула часто используется на практике, например, для вычисления площадей фигур. Ее также применяют при решении парадокса Зенона Элейского с черепахой и Ахиллесом.

Очевидно, что рассмотрение суммы бесконечной прогрессии геометрической возрастающей (r>1), приведет к результату S ∞ = +∞.

Задача на нахождение первого члена прогрессии

Покажем, как следует применять приведенные выше формулы на примере решения задачи. Известно, что сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 11. При этом 7-й ее член в 6 раз меньше третьего члена. Чему равен первый элемент для этого числового ряда?

Для начала выпишем два выражения для определения 7-го и 3-го элементов. Получаем:

Разделив первое выражение на второе, и выражая знаменатель, имеем:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Поскольку отношение седьмого и третьего членов дано в условии задачи, можно его подставить и найти r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Мы рассчитали r с точностью пяти значащих цифр после запятой. Поскольку полученное значение меньше единицы, значит, прогрессия является убывающей, что оправдывает использование формулы для ее бесконечной суммы. Запишем выражение для первого члена через сумму S ∞ :

Подставляем в эту формулу известные значения и получаем ответ:

a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Знаменитый парадокс Зенона с быстрым Ахиллесом и медленной черепахой

Зенон Элейский - известный греческий философ, живший в V веке до н. э. До настоящего времени дошли ряд его апогей или парадоксов, в которых формулируется проблема бесконечно большого и бесконечно малого в математике.

Одним из известных парадоксов Зенона являются соревнования Ахиллеса и черепахи. Зенон полагал, что если Ахиллес предоставит некоторое преимущество черепахе в расстоянии, то он никогда не сможет ее догнать. Например, пусть Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползет животное, которое для примера находится на расстоянии 100 метров впереди него. Когда воин пробежит 100 метров, то черепаха отползет на 10. Пробежав вновь 10 метров, Ахиллес увидит, что черепаха отползла еще на 1 метр. Рассуждать так можно до бесконечности, расстояние будет между соревнующимися действительно уменьшаться, но черепаха будет всегда находиться впереди.

Привел Зенона к выводу, что движения не существует, и все окружающие перемещения объектов - это иллюзия. Конечно же, древнегреческий философ ошибался.

Решение парадокса кроется в том, что бесконечная сумма постоянно уменьшающихся отрезков, стремится к конечному числу. В приведенном выше случае для расстояния, которое пробежал Ахиллес, получим:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Применяя формулу суммы бесконечной прогрессии геометрической, получим:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 метров

Этот результат показывает, что Ахиллес догонит черепаху, когда она проползет всего 11,111 метров.

Древние греки не умели работать с бесконечными величинами в математике. Однако этот парадокс можно разрешить, если обратить внимание не на бесконечное число промежутков, которые должен преодолеть Ахиллес, а на конечное число шагов бегуна, необходимых для достижения цели.