GirişBir polinomun polinom horner diyagramına bölünmesi. "Korna devresi" konulu sunum
Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken, derecesi üç veya daha yüksek olan bir polinomu çarpanlara ayırmak genellikle gereklidir. Bu yazımızda bunu yapmanın en kolay yoluna bakacağız.
Her zamanki gibi yardım için teoriye dönelim.
Bezout'un teoremi Bir polinomun bir binoma bölünmesinden kalanın olduğunu belirtir.
Fakat bizim için önemli olan teoremin kendisi değil, bundan çıkan sonuç:
Sayı bir polinomun kökü ise, o zaman polinom binom tarafından kalansız bölünebilir.
Bir şekilde polinomun en az bir kökünü bulma, ardından polinomu polinomun kökü olan 'ye bölme göreviyle karşı karşıyayız. Sonuç olarak, derecesi orijinalin derecesinden bir eksik olan bir polinom elde ederiz. Daha sonra gerekirse işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Bu görev ikiye ayrılır: bir polinomun kökü nasıl bulunur ve bir polinom bir binoma nasıl bölünür.
Bu noktalara daha yakından bakalım.
1. Bir polinomun kökü nasıl bulunur?
Öncelikle 1 ve -1 sayılarının polinomun kökleri olup olmadığını kontrol ediyoruz.
Aşağıdaki gerçekler burada bize yardımcı olacaktır:
Bir polinomun katsayılarının toplamı sıfır ise sayı polinomun köküdür.
Örneğin bir polinomda katsayıların toplamı sıfırdır: . Bir polinomun kökünün ne olduğunu kontrol etmek kolaydır.
Bir polinomun çift kuvvetlerdeki katsayılarının toplamı, tek kuvvetlerdeki katsayıların toplamına eşitse, o zaman sayı polinomun köküdür. a çift sayı olduğundan serbest terim çift derece için bir katsayı olarak kabul edilir.
Örneğin, bir polinomda çift kuvvetler için katsayıların toplamı: ve tek kuvvetler için katsayıların toplamı: . Bir polinomun kökünün ne olduğunu kontrol etmek kolaydır.
Polinomun kökleri ne 1 ne de -1 değilse devam ederiz.
İndirgenmiş dereceli bir polinom için (yani, baş katsayının -'deki katsayı olduğu bir polinom) bire eşit) Vieta'nın formülü geçerlidir:
Polinomun kökleri nerede?
Polinomun geri kalan katsayılarıyla ilgili Vieta formülleri de var ama biz bununla ilgileniyoruz.
Bu Vieta formülünden şu sonuç çıkıyor: eğer bir polinomun kökleri tam sayıysa, o zaman bunlar yine bir tam sayı olan serbest teriminin bölenleridir.
Buna dayanarak, polinomun serbest terimini faktörlere ayırmamız ve en küçükten en büyüğe doğru sırayla polinomun kökü olan faktörlerden hangisinin olduğunu kontrol etmemiz gerekir.
Örneğin polinomu düşünün
Serbest terimin bölenleri: ; ; ;
Bir polinomun tüm katsayılarının toplamı eşittir, dolayısıyla 1 sayısı polinomun kökü değildir.
Çift güçler için katsayıların toplamı:
Tek güçler için katsayıların toplamı:
Dolayısıyla -1 sayısı da polinomun kökü değildir.
2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim: dolayısıyla 2 sayısı polinomun köküdür. Bu, Bezout teoremine göre polinomun kalansız bir binomla bölünebileceği anlamına gelir.
2. Bir polinomun binoma nasıl bölüneceği.
Bir polinom bir sütunla binoma bölünebilir.
Bir sütun kullanarak polinomu bir binoma bölün:
Bir polinomu binomla bölmenin başka bir yolu daha vardır: Horner şeması.
Anlamak için bu videoyu izleyin Bir polinomun sütunlu bir binomla nasıl bölüneceği ve Horner şemasının kullanılması.
Bir sütuna bölerken, orijinal polinomda bilinmeyenin bir derecesi eksikse, onun yerine 0 yazacağımızı unutmayın - tıpkı Horner'ın şeması için bir tablo derlerken olduğu gibi.
Dolayısıyla, bir polinomu bir binoma bölmemiz gerekiyorsa ve bölme sonucunda bir polinom elde edersek, Horner şemasını kullanarak polinomun katsayılarını bulabiliriz:
Biz de kullanabiliriz Horner şeması Belirli bir sayının bir polinomun kökü olup olmadığını kontrol etmek için: eğer sayı bir polinomun kökü ise, polinomu şuna bölerken kalan kısım sıfıra eşit yani Horner şemasının ikinci satırının son sütununda 0 elde ederiz.
Horner'ın şemasını kullanarak "bir taşla iki kuş vuruyoruz": aynı anda sayının bir polinomun kökü olup olmadığını kontrol ediyoruz ve bu polinomu bir binoma bölüyoruz.
Örnek. Denklemi çözün:
1. Serbest terimin bölenlerini yazalım ve serbest terimin bölenleri arasında polinomun köklerini arayalım.
24'ün bölenleri:
2. 1 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim.
Bir polinomun katsayılarının toplamı dolayısıyla 1 sayısı polinomun köküdür.
3. Orijinal polinomu Horner şemasını kullanarak bir binoma bölün.
A) Orijinal polinomun katsayılarını tablonun ilk satırına yazalım.
İçeren terim eksik olduğundan katsayının yazılması gereken tablonun sütununa 0 yazıyoruz. Sol tarafa bulunan kökü yazıyoruz: 1 sayısı.
B) Tablonun ilk satırını doldurun.
Son sütunda beklendiği gibi sıfır elde ettik; orijinal polinomu kalansız bir binoma böldük. Bölme sonucu elde edilen polinomun katsayıları tablonun ikinci satırında mavi renkle gösterilmiştir:
1 ve -1 sayılarının polinomun kökleri olmadığını kontrol etmek kolaydır
B) Tabloya devam edelim. 2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim:
Yani bire bölme sonucu elde edilen polinomun derecesi orijinal polinomun derecesinden küçüktür, dolayısıyla katsayı sayısı ve sütun sayısı bir eksiktir.
Son sütunda -40 - sıfıra eşit olmayan bir sayı elde ettik, bu nedenle polinom, kalanlı bir binom ile bölünebilir ve 2 sayısı polinomun kökü değildir.
C) -2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim. Önceki deneme başarısız olduğundan, katsayılarla ilgili karışıklığı önlemek için bu girişime karşılık gelen satırı sileceğim:
Harika! Kalan olarak sıfır elde ettik, dolayısıyla polinom kalansız bir binoma bölündü, dolayısıyla -2 sayısı polinomun köküdür. Bir polinomun bir binoma bölünmesiyle elde edilen polinomun katsayıları tabloda yeşil renkle gösterilmiştir.
Bölünme sonucunda elde ettiğimiz ikinci dereceden üç terimli 
kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabilen:
Dolayısıyla orijinal denklemin kökleri şöyledir:
{
}
Cevap: ( 
}
Horner şeması - bir polinomu bölme yöntemi
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
$x-a$ binomunda. İlk satırı belirli bir polinomun katsayılarını içeren bir tabloyla çalışmanız gerekecek. İkinci satırın ilk elemanı $x-a$ binomundan alınan $a$ sayısı olacaktır:
n'inci dereceden bir polinomu $x-a$ binomuna böldükten sonra, derecesi orijinalden bir eksik olan bir polinom elde ederiz; $n-1$'a eşittir. Horner'ın planının doğrudan uygulamasını örneklerle göstermek en kolay yoldur.
Örnek No.1
Horner'ın şemasını kullanarak $5x^4+5x^3+x^2-11$'ı $x-1$'a bölün.
İki satırlık bir tablo yapalım: İlk satıra $x$ değişkeninin azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomunun katsayılarını yazıyoruz. Bu polinomun birinci dereceden $x$ içermediğini unutmayın; $x$'ın birinci kuvvetinin katsayısı 0'dır. $x-1$'a böldüğümüz için ikinci satıra bir tane yazıyoruz:
İkinci satırdaki boş hücreleri doldurmaya başlayalım. İkinci satırın ikinci hücresine $5$ sayısını yazıyoruz ve onu ilk satırın karşılık gelen hücresinden hareket ettiriyoruz:
Bir sonraki hücreyi şu prensibe göre dolduralım: $1\cdot 5+5=10$:
İkinci satırın dördüncü hücresini de aynı şekilde dolduralım: $1\cdot 10+1=11$:
Beşinci hücre için şunu elde ederiz: $1\cdot 11+0=11$:
Ve son olarak, son altıncı hücre için şunu elde ederiz: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Sorun çözüldü, geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:
Gördüğünüz gibi ikinci satırda yer alan (bir ile sıfır arasında) sayılar $5x^4+5x^3+x^2-11$'ın $x-1$'a bölünmesiyle elde edilen polinomun katsayılarıdır. Doğal olarak, orijinal $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomunun derecesi dörde eşit olduğundan, ortaya çıkan $5x^3+10x^2+11x+11$ polinomunun derecesi bir olur daha az, yani . üçe eşittir. İkinci satırdaki son sayı (sıfır), $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomunun $x-1$'a bölünmesinden kalan kısım anlamına gelir. Bizim durumumuzda kalan sıfırdır, yani. polinomlar eşit olarak bölünebilir. Bu sonuç şu şekilde de karakterize edilebilir: $x=1$ için $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomunun değeri sıfıra eşittir.
Sonuç şu şekilde de formüle edilebilir: $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomunun $x=1$ noktasındaki değeri sıfıra eşit olduğundan, bu durumda birlik polinomun köküdür $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Örnek No.2
$x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ polinomunu Horner şemasını kullanarak $x+3$'a bölün.
Hemen $x+3$ ifadesinin $x-(-3)$ biçiminde sunulması gerektiğini şart koşalım. Horner'ın planı tam olarak -3$'ı içerecek. Orijinal $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ polinomunun derecesi dörde eşit olduğundan, bölme sonucunda üçüncü dereceden bir polinom elde ederiz:
Sonuç şu anlama geliyor
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Bu durumda $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ $x+3$'a bölündüğünde kalan $4$ olur. Veya aynı olan, $x=-3$ için $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ polinomunun değeri $4$'a eşittir. Bu arada, verilen polinomun içine doğrudan $x=-3$ yazarak bunu tekrar kontrol etmek kolaydır:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Onlar. Bir değişkenin belirli bir değeri için bir polinomun değerini bulmanız gerekiyorsa Horner şeması kullanılabilir. Amacımız bir polinomun tüm köklerini bulmaksa, Horner şeması örnek 3'te tartışıldığı gibi tüm kökleri tüketene kadar art arda birkaç kez uygulanabilir.
Örnek No.3
Horner şemasını kullanarak $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinomunun tüm tamsayı köklerini bulun.
Söz konusu polinomun katsayıları tam sayıdır ve değişkenin en büyük kuvvetinin (yani $x^6$) katsayısı bire eşittir. Bu durumda polinomun tamsayı kökleri serbest terimin bölenleri arasında aranmalıdır. 45 sayısının bölenleri arasındadır. Belirli bir polinom için bu tür kökler 45 $ sayıları olabilir; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ ve -45$; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Örneğin $1$ sayısını kontrol edelim:
Gördüğünüz gibi, $x=1$ ile $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinomunun değeri $192$'a eşittir (son sayı) ikinci satırda) ve $0 $ değil, bu nedenle birlik bu polinomun kökü değildir. Bir tanesinin kontrolü başarısız olduğundan, $x=-1$ değerini kontrol edelim. Bunun için yeni bir tablo oluşturmayacağız ancak tabloyu kullanmaya devam edeceğiz. 1 numara, buna yeni (üçüncü) bir satır ekleniyor. $1$ değerinin kontrol edildiği ikinci satır kırmızı renkle vurgulanacak ve sonraki tartışmalarda kullanılmayacaktır.
Elbette tabloyu yeniden yazabilirsiniz, ancak manuel olarak doldurmak çok zaman alacaktır. Üstelik doğrulaması başarısız olan birden fazla sayı olabilir ve her seferinde yeni bir tablo yazmak zordur. "Kağıt üzerinde" hesaplanırken kırmızı çizgilerin üzeri çizilebilir.
Yani, $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinomunun $x=-1$'daki değeri sıfıra eşittir, yani. $-1$ sayısı bu polinomun köküdür. $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinomunu $x-(-1)=x+1$ binomuna böldükten sonra $x polinomunu elde ederiz ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, katsayıları tablonun üçüncü satırından alınmıştır. 2 (bkz. örnek No. 1). Hesaplamaların sonucu şu şekilde de sunulabilir:
\begin(denklem)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(denklem)
Tamsayı kökleri aramaya devam edelim. Şimdi $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ polinomunun köklerini aramamız gerekiyor. Yine bu polinomun tamsayı kökleri serbest terimi olan $45$ sayısının bölenleri arasında aranır. $-1$ sayısını tekrar kontrol etmeye çalışalım. Yeni bir tablo oluşturmayacağız ancak önceki tabloyu kullanmaya devam edeceğiz. 2 numara, yani Buna bir satır daha ekleyelim:
Yani, $-1$ sayısı $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ polinomunun köküdür. Bu sonuç şu şekilde yazılabilir:
\begin(denklem)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(denklem)
Eşitlik (2) dikkate alınarak eşitlik (1) aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir:
\begin(denklem)\begin(hizalanmış) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(hizalanmış)\end(denklem)
Şimdi $x^4-22x^2+24x+45$ polinomunun köklerini - doğal olarak serbest teriminin bölenleri arasında ($45$ sayıları) aramamız gerekiyor. $-1$ sayısını tekrar kontrol edelim:
$-1$ sayısı, $x^4-22x^2+24x+45$ polinomunun köküdür. Bu sonuç şu şekilde yazılabilir:
\begin(denklem)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(denklem)
Eşitlik (4)'ü hesaba katarak eşitliği (3) aşağıdaki biçimde yeniden yazıyoruz:
\begin(denklem)\begin(hizalanmış) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(hizalanmış)\end(denklem)
Şimdi $x^3-x^2-21x+45$ polinomunun köklerini arıyoruz. $-1$ sayısını tekrar kontrol edelim:
Denetim başarısızlıkla sonuçlandı. Altıncı satırı kırmızıyla vurgulayalım ve başka bir sayıyı, örneğin $3$ sayısını kontrol etmeye çalışalım:
Geri kalan sıfırdır, dolayısıyla $3$ sayısı söz konusu polinomun köküdür. Yani, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Şimdi eşitlik (5) aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir.
Bu matematik programı ile polinomları sütunlara göre bölebilirsiniz.
Bir polinomu bir polinoma bölme programı sadece problemin cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda detaylı çözüm açıklamalarla, yani Matematik ve/veya cebirdeki bilgiyi test etmek için çözüm sürecini görüntüler.
Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.
Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.
İhtiyacınız varsa veya polinomu basitleştir veya polinomları çarpmak, o zaman bunun için ayrı bir polinomun basitleştirilmesi (çarpımı) programımız var
Polinomları bölme Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...
Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.
Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:
Küçük bir teori.
Bir polinomu bir sütunla (köşe) bir polinoma (binom) bölmek
Cebirde polinomları bir sütunla bölme (köşe)- bir f(x) polinomunu, derecesi f(x) polinomunun derecesinden küçük veya ona eşit olan bir polinom (binom) g(x)'e bölmek için bir algoritma.
Polinom-polinom bölme algoritması, elle kolayca uygulanabilen, sayıların sütunlara bölünmesinin genelleştirilmiş bir biçimidir.
Herhangi bir \(f(x) \) ve \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \) polinomu için benzersiz \(q(x) \) ve \(r() polinomları vardır x ) \), öyle ki
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
ve \(r(x)\), \(g(x)\)'den daha düşük bir dereceye sahiptir.
Polinomları bir sütuna (köşeye) bölmeye yönelik algoritmanın amacı, belirli bir bölen \(f(x) \) için bölümü \(q(x) \) ve kalanını \(r(x) \) bulmaktır. ve sıfır olmayan bölen \(g(x) \)
Örnek
Bir polinomu bir sütun (köşe) kullanarak başka bir polinoma (binom) bölelim:
\(\large \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)
Bu polinomların bölümü ve geri kalanı aşağıdaki adımlar izlenerek bulunabilir:
1. Bölenin ilk elemanını bölenin en büyük elemanına bölün, sonucu \((x^3/x = x^2)\) satırının altına yerleştirin.
|
3. Çarpma sonucu elde edilen polinomu bölenden çıkarın, sonucu \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- satırının altına yazın. 42) \)
|
|
4. Satırın altında yazılan polinomu bölen olarak kullanarak önceki 3 adımı tekrarlayın.
|
|
5. 4. adımı tekrarlayın.
|
|
6. Algoritmanın sonu.
Dolayısıyla, \(q(x)=x^2-9x-27\) polinomu polinomların bölümünün bölümüdür ve \(r(x)=-123\) polinomların bölümünün kalanıdır.
Polinomları bölmenin sonucu iki eşitlik şeklinde yazılabilir:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
veya
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)
“Profesyonel Matematik Öğretmeni” web sitesi, öğretimle ilgili metodolojik makaleler dizisine devam ediyor. Okul müfredatının en karmaşık ve sorunlu konularıyla çalışma yöntemlerimin açıklamalarını yayınlıyorum. Bu materyal, hem normal programda hem de matematik dersleri programında 8-11. sınıf öğrencileriyle çalışan matematik öğretmenleri ve eğitmenleri için faydalı olacaktır.
Bir matematik öğretmeni ders kitabında yetersiz bir şekilde sunulan materyali her zaman açıklayamaz. Ne yazık ki, bu tür konuların sayısı giderek artıyor ve kılavuzların yazarları takip edilerek sunum hataları topluca yapılıyor. Bu sadece yeni başlayan matematik öğretmenleri ve yarı zamanlı öğretmenler (öğretmenler öğrenciler ve üniversite eğitmenleridir) için değil aynı zamanda deneyimli öğretmenler, profesyonel öğretmenler, deneyim ve niteliklere sahip öğretmenler için de geçerlidir. Matematik öğretmenlerinin tümü, okul ders kitaplarındaki pürüzlü kenarları yetkin bir şekilde düzeltme yeteneğine sahip değildir. Herkes bu düzeltmelerin (veya eklemelerin) gerekli olduğunu da anlamıyor. Materyalin çocuklar tarafından niteliksel olarak algılanması için uyarlanmasına çok az çocuk katılıyor. Ne yazık ki, matematik öğretmenlerinin metodolojistler ve yayın yazarlarıyla birlikte ders kitabının her harfini toplu olarak tartıştığı zamanlar geçti. Daha önce bir ders kitabının okullara sunulmasından önce öğrenme çıktılarına ilişkin ciddi analizler ve çalışmalar yapılıyordu. Ders kitaplarını evrensel hale getirmeye çalışan ve onları güçlü matematik derslerinin standartlarına göre ayarlayan amatörlerin zamanı geldi.
Bilgi miktarını artırma yarışı, yalnızca özümsenme kalitesinin düşmesine ve bunun sonucunda matematikteki gerçek bilgi düzeyinin düşmesine yol açar. Ancak kimse buna dikkat etmiyor. Ve çocuklarımız zaten 8. sınıftayken enstitüde okuduklarımızı öğrenmeye zorlanıyorlar: olasılık teorisi, denklem çözme yüksek dereceler ve başka bir şey. Kitaplardaki materyalin çocuğun tam algısına göre uyarlanması arzu edilen çok şey bırakıyor ve matematik öğretmeni bununla bir şekilde uğraşmak zorunda kalıyor.
Yetişkin matematiğinde daha çok "Bezout teoremi ve Horner şeması" olarak bilinen "bir polinomu bir polinomla bir köşeye bölmek" gibi özel bir konuyu öğretme metodolojisi hakkında konuşalım. Sadece birkaç yıl önce, bu soru bir matematik öğretmeni için o kadar da acil değildi çünkü ana okul müfredatının bir parçası değildi. Telyakovski'nin editörlüğünü yaptığı ders kitabının saygın yazarları artık son baskı bence en iyi ders kitabı ve onu tamamen mahvetmiş olmak, öğretmene yalnızca gereksiz endişeler kattı. Matematik statüsüne sahip olmayan okul ve sınıfların öğretmenleri, yazarların yeniliklerine odaklanarak derslerine daha sık ek paragraflar eklemeye başladı ve meraklı çocuklar, matematik ders kitaplarının güzel sayfalarına bakarak giderek daha fazla soru sormaya başladı. öğretmen: “Bu köşeye bölme nedir? Bunu atlatacak mıyız? Bir köşe nasıl paylaşılır? Artık bu tür doğrudan sorulardan saklanacak yer yok. Öğretmenin çocuğa bir şeyler söylemesi gerekecek.
Ancak? Ders kitaplarında yetkin bir şekilde sunulmuş olsaydı, muhtemelen konuyla çalışma yöntemini tanımlamazdım. Bizde her şey nasıl gidiyor? Ders kitaplarının basılıp satılması gerekiyor. Bunun için de düzenli olarak güncellenmeleri gerekiyor. Üniversite öğretmenleri çocukların kendilerine boş kafalı, bilgisiz, becerisiz gelmelerinden mi şikayetçi? Matematik bilgisine yönelik gereksinimler artıyor mu? Harika! Bazı alıştırmaları kaldıralım ve bunun yerine başka programlarda çalışılan konuları ekleyelim. Ders kitabımız neden daha kötü? Bazı ek bölümler ekleyeceğiz. Okul çocukları köşeyi bölme kuralını bilmiyor mu? Bu temel matematiktir. Bu paragraf “daha fazlasını öğrenmek isteyenler için” başlığıyla isteğe bağlı hale getirilmelidir. Öğretmenler buna karşı mı? Genel olarak öğretmenleri neden önemsiyoruz? Metodologlar ve okul öğretmenleri de buna karşı mı? Malzemeyi karmaşıklaştırmayacağız ve en basit kısmını ele alacağız.
Ve işte burada başlıyor. Konunun basitliği ve özümsenmesinin kalitesi, her şeyden önce mantığını anlamakta ve ders kitabı yazarlarının talimatlarına uygun olarak birbiriyle açıkça ilişkili olmayan belirli bir dizi işlemi gerçekleştirmede yatmaktadır. . Aksi takdirde öğrencinin kafasında sisler oluşacaktır. Yazarlar nispeten güçlü öğrencileri hedefliyorsa (fakat normal bir programda eğitim görüyorlarsa), o zaman konuyu emir formunda sunmamalısınız. Ders kitabında ne görüyoruz? Çocuklar, bu kurala göre bölme yapmalıyız. Polinomu açının altına alın. Böylece orijinal polinom çarpanlara ayrılacaktır. Ancak köşenin altındaki terimlerin neden tam olarak bu şekilde seçildiğini, neden köşenin üstündeki polinomla çarpılıp mevcut kalandan çıkarılması gerektiğini anlamak açık değildir. Ve en önemlisi, seçilen tek terimlilerin neden sonunda eklenmesi gerektiği ve ortaya çıkan parantezlerin neden orijinal polinomun bir uzantısı olacağı açık değildir. Her yetkin matematikçi ders kitabında verilen açıklamaların üzerine kalın soru işareti koyacaktır.
Ders kitabında belirtilen her şeyi pratikte öğrenci için açık hale getiren probleme yönelik çözümümü öğretmenlerin ve matematik öğretmenlerinin dikkatine sunuyorum. Aslında Bezout teoremini kanıtlayacağız: Eğer a sayısı bir polinomun kökü ise, o zaman bu polinom faktörlere ayrılabilir; bunlardan biri x-a'dır ve ikincisi orijinalden üç yoldan biriyle elde edilebilir: doğrusal bir faktörü dönüşümler yoluyla izole ederek, bir köşeye bölerek veya Horner şemasıyla. Bu formülasyonla bir matematik öğretmeninin çalışması daha kolay olacaktır.
Öğretim metodolojisi nedir? Her şeyden önce, bu, matematiksel sonuçların çıkarıldığı açıklamalar ve örnekler dizisindeki açık bir düzendir. Bu konu bir istisna değil. Bir matematik öğretmeninin çocuğa Bezout teoremini tanıtması çok önemlidir. bir köşeye bölmeden önce. Bu çok önemli! Anlamayı sağlamanın en iyi yolu, spesifik örnek. Seçilmiş bir köke sahip bir polinomu alalım ve 7. sınıftan beri okul çocuklarına aşina olan bir yöntemi kullanarak onu faktörlere ayırma tekniğini gösterelim. kimlik dönüşümleri. Bir matematik öğretmeninin uygun açıklamaları, vurguları ve ipuçlarıyla, herhangi bir genel matematiksel hesaplama, keyfi katsayılar ve güçler olmadan materyali aktarmak oldukça mümkündür.
Matematik öğretmeni için önemli tavsiyeler- Talimatları baştan sona takip edin ve bu sırayı değiştirmeyin.
Diyelim ki bir polinomumuz var. X yerine 1 sayısını koyarsak polinomun değeri sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle x=1 onun köküdür. Bunu iki terime ayırmaya çalışalım, böylece bunlardan biri doğrusal bir ifadenin ve bir tek terimlinin çarpımı olsun, ikincisi ise 'den bir küçük dereceye sahip olsun. Yani, onu formda temsil edelim
Kırmızı alan için tek terimliyi, baş terimle çarpıldığında orijinal polinomun baş terimiyle tamamen çakışacak şekilde seçiyoruz. Eğer öğrenci en zayıf öğrenci değilse, o zaman matematik öğretmenine gerekli ifadeyi söyleme konusunda oldukça yetenekli olacaktır: . Öğretmenden hemen kırmızı alana yerleştirmesi ve açıldığında ne olacağını göstermesi istenmelidir. Bu sanal geçici polinomu okların altına (küçük fotoğrafın altına) işaretlemek ve onu mavi gibi bir renkle vurgulamak en iyisidir. Bu, seçimin geri kalanı olarak adlandırılan kırmızı alan için bir terim seçmenize yardımcı olacaktır. Öğretmenlere burada bu kalanın çıkarma yoluyla bulunabileceğini belirtmelerini tavsiye ederim. Bu işlemi gerçekleştirerek şunu elde ederiz:
Matematik öğretmeni öğrencinin dikkatini, bu eşitliğin yerine bir koyduğumuzda sol tarafta sıfır elde edeceğimizin garanti olduğu gerçeğine çekmelidir (çünkü 1 orijinal polinomun köküdür) ve sağ tarafta da tabii ki aynı zamanda ilk terimi de sıfırlayacaktır. Bu, herhangi bir doğrulama olmaksızın birinin “yeşil kalanın” kökü olduğunu söyleyebileceğimiz anlamına gelir.
Bunu orijinal polinomla yaptığımız gibi ele alalım, ondan aynı doğrusal faktörü ayıralım. Matematik öğretmeni öğrencinin önüne iki çerçeve çizer ve soldan sağa doğru doldurmalarını ister.
Öğrenci öğretmen için kırmızı alan için bir monom seçer, böylece doğrusal ifadenin baş terimiyle çarpıldığında genişleyen polinomun baş terimini verir. Onu çerçeveye sığdırıyoruz, hemen braketi açıyoruz ve katlanan ifadeden çıkarılması gereken ifadeyi mavi renkle vurguluyoruz. Bu işlemi gerçekleştirerek elde ederiz
Ve son olarak son kalanla da aynısını yapıyoruz
sonunda alacağız
Şimdi ifadeyi parantezden çıkaralım ve orijinal polinomun faktörlere ayrıştırılmasını göreceğiz; bunlardan biri "x eksi seçilen kök".
Öğrencinin son "yeşil kalanın" kazara gerekli faktörlere ayrıştırıldığını düşünmesini önlemek için matematik öğretmeni şunu belirtmelidir: önemli özellik tüm yeşil kalanların her biri kök 1'e sahiptir. Bu kalanların dereceleri azaldığından, ilk polinomun derecesi bize verilirse verilsin, er ya da geç kök 1 ile doğrusal bir "yeşil kalan" elde edeceğiz ve bu nedenle zorunlu olarak bir miktar sayı ve ifadeyi ürüne ayrıştıracaktır.
Böyle bir hazırlık çalışmasının ardından bir matematik öğretmeninin köşeye bölme işleminde ne olduğunu öğrenciye açıklaması zor olmayacaktır. Bu aynı süreçtir, yalnızca daha kısa ve daha kompakt bir biçimde, eşit işaretler olmadan ve vurgulanan aynı terimler yeniden yazılmadan. Doğrusal faktörün çıkarıldığı polinom köşenin soluna yazılır, seçilen kırmızı monomlar belli bir açıyla toplanır (şimdi neden toplanmaları gerektiği anlaşılıyor), "mavi polinomlar", "kırmızı" elde edilir. ” olanlar x-1 ile çarpılmalı ve ardından seçili olandan, sayıların olağan bir sütuna bölünmesinde bunun nasıl yapıldığı çıkarılmalıdır (burada daha önce çalışılanla bir benzetme vardır). Ortaya çıkan "yeşil kalıntılar" yeni izolasyona ve "kırmızı monomiyallerin" seçimine tabi tutulur. Ve bu, sıfır "yeşil denge" elde edene kadar devam eder. Önemli olan öğrencinin anlaması başka kader açının üstünde ve altında yazılı polinomlar. Açıkçası bunlar, çarpımı orijinal polinomuna eşit olan parantezlerdir.
Matematik öğretmeninin çalışmasının bir sonraki aşaması Bezout teoreminin formülasyonudur. Aslında eğitmenin bu yaklaşımıyla formülasyonu açık hale geliyor: Eğer a sayısı bir polinomun kökü ise, o zaman biri çarpanlara ayrılabilir ve diğeri orijinalinden üç yoldan biriyle elde edilir. :
- doğrudan ayrıştırma (gruplama yöntemine benzer)
- bir köşeye bölme (bir sütunda)
- Horner'ın devresi aracılığıyla
Tüm matematik öğretmenlerinin Horner şemasını öğrencilerine göstermediği ve tüm okul öğretmenlerinin (neyse ki öğretmenlerin kendileri için) dersler sırasında konuya bu kadar derinlemesine girmediği söylenmelidir. Ancak bir matematik dersi öğrencisi için uzun bölme işleminde durmak için bir neden göremiyorum. Üstelik en kullanışlı ve hızlı Ayrıştırma tekniği tam olarak Horner'ın şemasına dayanmaktadır. Bir çocuğa nereden geldiğini açıklamak için, köşeye bölme örneğini kullanarak yeşil kalanlarda daha yüksek katsayıların görünümünü izlemek yeterlidir. Başlangıç polinomunun baş katsayısının birinci “kırmızı monomiyalin” katsayısına ve ayrıca mevcut üst polinomun ikinci katsayısına taşındığı açıktır. düşüldü“kırmızı monomiyalin” mevcut katsayısının ile çarpılmasının sonucu. Bu nedenle mümkün eklemek ile çarpmanın sonucu. Öğrencinin dikkatini katsayılarla eylemlerin özelliklerine odakladıktan sonra, bir matematik öğretmeni bu eylemlerin genellikle değişkenleri kaydetmeden nasıl gerçekleştirildiğini gösterebilir. Bunu yapmak için orijinal polinomun kökünü ve katsayılarını öncelik sırasına göre aşağıdaki tabloya girmek uygundur:
Bir polinomda herhangi bir derece eksikse sıfır katsayısı tabloya zorlanır. “Kırmızı polinomların” katsayıları “kanca” kuralına göre alt satıra sırasıyla yazılır: 
Kök, son kırmızı katsayı ile çarpılır, üst satırdaki bir sonraki katsayıya eklenir ve sonuç alt satıra yazılır. Son sütunda, son “yeşil kalanın” en yüksek katsayısını, yani sıfırı almamız garanti edilir. İşlem tamamlandıktan sonra sayılar eşleşen kök ile sıfır kalan arasına sıkıştırılmış ikinci (doğrusal olmayan) faktörün katsayıları olduğu ortaya çıktı.
Kök a, alt satırın sonunda sıfır verdiğinden, Horner şeması bir polinomun kökünün başlığına ilişkin sayıları kontrol etmek için kullanılabilir. Rasyonel köklerin seçimine ilişkin özel bir teorem ise. Bu unvanın yardımıyla elde edilen tüm adaylar, soldan sırayla Horner diyagramına eklenir. Sıfır alır almaz test edilen sayı bir kök olacak ve aynı zamanda orijinal polinomun kendi doğrusu üzerinde çarpanlara ayrılmasının katsayılarını alacağız. Çok rahat.
Sonuç olarak, Horner'ın şemasını doğru bir şekilde tanıtmak ve konuyu pratik olarak pekiştirmek için bir matematik öğretmeninin yeterli sayıda saate sahip olması gerektiğini belirtmek isterim. “Haftada bir” rejimiyle çalışan bir öğretmenin köşe taksimi yapmaması gerekir. Matematikte Birleşik Devlet Sınavında ve Matematikte Devlet Matematik Akademisi'nde, ilk bölümde bu tür yollarla çözülebilecek üçüncü dereceden bir denklemle karşılaşmanız pek olası değildir. Bir öğretmen çocuğu Moskova Devlet Üniversitesi'nde matematik sınavına hazırlıyorsa, konunun incelenmesi zorunlu hale gelir. Üniversite öğretmenleri, Birleşik Devlet Sınavı'nın derleyicilerinin aksine, başvuranın bilgi derinliğini test etmeyi gerçekten severler.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, matematik öğretmeni Moskova, Strogino
İleri geri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.
Ders türü: Temel bilgilerin öğrenilmesi ve pekiştirilmesine yönelik bir ders.
Dersin amacı:
- Öğrencilere polinomun kökleri kavramını tanıtın ve onlara bunları nasıl bulacaklarını öğretin. Bir polinomu kuvvetlere göre genişletmek ve bir polinomu binomla bölmek için Horner şemasını kullanma becerilerini geliştirin.
- Horner şemasını kullanarak bir denklemin köklerini bulmayı öğrenin.
- Soyut düşünmeyi geliştirin.
- Bir bilgi işlem kültürünü teşvik edin.
- Disiplinlerarası bağlantıların geliştirilmesi.
Dersler sırasında
1. Organizasyon anı.
Dersin konusunu bilgilendirin, hedefleri formüle edin.
2. Ödevleri kontrol etmek.
3. Yeni materyalin incelenmesi.
Fn(x) olsun = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - n dereceli x için bir polinom, burada a 0 , a 1 ,...,a n sayılardır ve a 0 0'a eşit değildir. F n (x) polinomu x-a binomuyla kalanla bölünürse ise bölüm (eksik bölüm) n-1 dereceli Q n-1 (x) polinomudur, geri kalan R bir sayıdır ve eşitlik doğrudur F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. F n (x) polinomu yalnızca R=0 durumunda binom (x-a) ile bölünebilir.
Bezout teoremi: Bir F n (x) polinomunu bir binom (x-a) ile bölerken kalan R değere eşit x=a için polinom Fn(x), yani R=Pn(a).
Biraz tarih. Bezout teoremi, görünürdeki basitliğine ve açıklığına rağmen polinom teorisinin temel teoremlerinden biridir. Bu teorem, polinomların cebirsel özelliklerini (polinomların tamsayı olarak ele alınmasına izin veren) fonksiyonel özellikleriyle (polinomların fonksiyon olarak ele alınmasına izin veren) ilişkilendirir. Yüksek dereceli denklemleri çözmenin bir yolu, denklemin sol tarafındaki polinomu çarpanlarına ayırmaktır. Polinomun katsayılarının ve kalanın hesaplanması Horner şeması adı verilen bir tablo şeklinde yazılmıştır.
Horner şeması, bölümün bir binoma eşit olduğu özel durum için yazılmış, polinomları bölmeye yönelik bir algoritmadır. x-a.
Horner William George (1786 - 1837), İngiliz matematikçi. Temel araştırma teoriyle ilgilidir cebirsel denklemler. Herhangi bir dereceden denklemlerin yaklaşık çözümü için bir yöntem geliştirildi. 1819'da cebir için bir polinomun binom x - a'ya bölünmesine ilişkin önemli bir yöntem (Horner şeması) tanıttı.
Çözüm Genel formül Horner'ın planı için.
Bir f(x) polinomunu bir kalanla bir binom (x-c) ile bölmek, f(x)=(x-c)q(x)+r olacak şekilde bir q(x) polinomu ve bir r sayısı bulmak anlamına gelir
Bu eşitliği detaylı olarak yazalım:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Katsayıları aynı derecelerde eşitleyelim:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Horner devresinin bir örnek kullanılarak gösterilmesi.
1. Egzersiz. Horner şemasını kullanarak, f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 polinomunu, geri kalanını binom x-2'ye böleriz.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, burada g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 kalan.
Bir polinomun binomun kuvvetlerine göre açılımı.
Horner'ın şemasını kullanarak, f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 polinomunu binomun (x+2) kuvvetleri cinsinden genişletiyoruz.
Sonuç olarak, f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) açılımını elde etmeliyiz. )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Horner şeması genellikle üçüncü, dördüncü ve daha yüksek derecedeki denklemleri çözerken, polinomu binom x-a'ya genişletmenin uygun olduğu durumlarda kullanılır. Sayı A isminde polinomun kökü F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, eğer x=a Fn(x) polinomunun değeri sıfıra eşittir: Fn(a)=0, yani. eğer polinom binom x-a'ya bölünebiliyorsa.
Örneğin, F 3 (2)=0 olduğundan 2 sayısı F 3 (x)=3x 3 -2x-20 polinomunun köküdür. anlamı. Bu polinomun çarpanlarına ayrılmasının bir x-2 çarpanı içermesi.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Derecenin herhangi bir polinomu F n(x) N Daha fazlasına sahip olamam N gerçek kökler.
Tamsayı katsayılı bir denklemin herhangi bir tamsayı kökü, serbest teriminin bir böleni olur.
Denklemin baş katsayısı 1 ise, o zaman hepsi rasyonel kökler denklemler, eğer varsa, tamsayılardır.
Çalışılan materyalin konsolidasyonu.
Yeni materyali pekiştirmek için öğrenciler ders kitabı 2.41 ve 2.42'deki sayıları tamamlamaya davet edilir (s. 65).
(2 öğrenci tahtada çözer ve geri kalanı karar verdikten sonra not defterindeki ödevleri tahtadaki cevaplarla kontrol eder).
Özetleme.
Horner şemasının yapısı ve çalışma prensibi anlaşıldıktan sonra, tam sayıları ondalık sayı sisteminden ikili sisteme ve tam tersi şekilde dönüştürme konusu göz önüne alındığında bilgisayar bilimleri derslerinde de kullanılabilir. Bir sayı sisteminden diğerine aktarmanın temeli aşağıdaki genel teoremdir
Teorem. Bir tam sayıyı dönüştürmek için ap itibaren P-ary sayı sisteminden temel sayı sistemine D gerekli ap art arda kalanı sayıya böl D, aynı şekilde yazılmış P-ary sistemi, elde edilen bölüm sıfıra eşit olana kadar. Bölünmeden arta kalanlar ise D-sayısal rakamlar Reklam En genç kategoriden başlayarak en yaşlı kategoriye kadar. Tüm eylemler şu şekilde gerçekleştirilmelidir: P-ary sayı sistemi. Bir kişi için bu kural yalnızca şu durumlarda uygundur: P= 10, yani çevirirken itibaren ondalık sistem. Bilgisayara gelince ise tam tersine ikili sistemde hesaplama yapması "daha uygundur". Bu nedenle “2'yi 10'a” çevirmek için ikili sistemde sıralı olarak on'a bölme, “10'dan 2'ye” ise on'un kuvvetlerinin toplanmasıdır. “10'u 2'de” prosedürünün hesaplamalarını optimize etmek için bilgisayar Horner'ın ekonomik hesaplama planını kullanıyor.
Ev ödevi. İki görevi tamamlamanız önerildi.
1 inci. Horner şemasını kullanarak, f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 polinomunu binom (x-3)'e bölün.
2.. f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 polinomunun tamsayı köklerini bulun (tamsayı katsayılı bir denklemin herhangi bir tamsayı kökünün serbest teriminin bir böleni olduğu dikkate alındığında)
Edebiyat.
- Kurosh A.G. “Yüksek Cebir Kursu.”
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. ve diğerleri 10. Sınıf “Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı.”
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.