Ev / Hastalık hakkında/ Fonksiyon değiştiğinde indirgeme formülleri. Trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller

Bir fonksiyon değiştiğinde indirgeme formülleri. Trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller

Azaltma formüllerini kullanmanın iki kuralı vardır.

1. Açı (π/2 ±a) veya (3*π/2 ±a) olarak gösterilebiliyorsa, o zaman işlev adı değişiklikleri sin'den cos'a, cos'dan sin'e, tg'den ctg'ye, ctg'den tg'ye. Açı (π ±a) veya (2*π ±a) biçiminde gösterilebiliyorsa, o zaman İşlev adı değişmeden kalır.

Aşağıdaki resme bakın, tabelayı ne zaman değiştirmeniz gerektiğini, ne zaman değiştirmemeniz gerektiğini şematik olarak gösteriyor.

2. "Olduğun gibi kal" kuralı.

İndirgenmiş fonksiyonun işareti aynı kalır. Orijinal fonksiyonun artı işareti varsa, indirgenmiş fonksiyonun da artı işareti vardır. Orijinal fonksiyonun eksi işareti varsa, indirgenmiş fonksiyonun da eksi işareti vardır.

Aşağıdaki şekil çeyreğe bağlı olarak temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini göstermektedir.

Sin(150˚) Hesapla

İndirgeme formüllerini kullanalım:

Sin(150˚) ikinci çeyrekte olup, şekilden bu çeyrekteki günahın işaretinin +'ya eşit olduğunu görüyoruz. Bu, verilen fonksiyonun aynı zamanda artı işaretine sahip olacağı anlamına gelir. İkinci kuralı uyguladık.

Şimdi 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ π/2'dir. Yani π/2+60 durumuyla karşı karşıyayız, dolayısıyla ilk kurala göre fonksiyonu sin'den cos'a değiştiriyoruz. Sonuç olarak Sin(150˚) = cos(60˚) = ½ elde ederiz.

İstenirse tüm indirgeme formülleri tek bir tabloda özetlenebilir. Ancak bu iki kuralı hatırlayıp kullanmak yine de daha kolaydır.

Çalışmalarınızda yardıma mı ihtiyacınız var?

Önceki konu:

Matematiğin trigonometri bölümüne aittirler. Bunların özü, açıların trigonometrik fonksiyonlarını “basit” bir forma indirgemektir. Bunları bilmenin önemi hakkında çok şey yazılabilir. Bu formüllerden zaten 32 tane var!

Paniğe kapılmayın, matematik dersindeki diğer birçok formül gibi bunları öğrenmenize gerek yok. Kafanızı gereksiz bilgilerle doldurmanıza gerek yok, “anahtarları” veya yasaları hatırlamanız gerekiyor ve gerekli formülü hatırlamak veya türetmek sorun olmayacak. Bu arada, makalelerde yazdığımda “... öğrenmen gerekiyor!!!” - bu gerçekten öğrenilmesi gerektiği anlamına gelir.

İndirgeme formüllerine aşina değilseniz, bunların türetilmesinin basitliği sizi hoş bir şekilde şaşırtacaktır - bunun yardımıyla bunun kolayca yapılabileceği bir "yasa" vardır. Ve 32 formülden herhangi birini 5 saniyede yazabilirsiniz.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkacak sorunlardan yalnızca bazılarını listeleyeceğim; burada bu formüller hakkında bilgi sahibi olmadan bunları çözmede başarısız olma olasılığı yüksektir. Örneğin:

– dış açıdan bahsettiğimiz dik üçgenin çözümüne yönelik problemler ve iç açılara ilişkin problemler, bu formüllerden bazıları da gereklidir.
– trigonometrik ifadelerin değerlerinin hesaplanmasına ilişkin görevler; sayısal trigonometrik ifadelerin dönüştürülmesi; Gerçek trigonometrik ifadelerin dönüştürülmesi.
– teğet ve teğetin geometrik anlamı ile ilgili problemler, teğet için bir indirgeme formülü ve diğer problemler gereklidir.
– stereometrik problemler, çözme sırasında genellikle 90 ila 180 derece aralığında yer alan bir açının sinüsünü veya kosinüsünü belirlemek gerekir.

Ve bunlar sadece Birleşik Devlet Sınavı ile ilgili noktalardır. Ve cebir dersinin kendisinde, indirgeme formülleri bilgisi olmadan çözümü basitçe yapılamayan birçok problem vardır.

Peki bu neye yol açıyor ve belirtilen formüller sorunları çözmemizi nasıl kolaylaştırıyor?

Örneğin, 0 ila 450 derece arasındaki herhangi bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını veya kotanjantını belirlemeniz gerekir:

alfa açısı 0 ile 90 derece arasında değişir

* * *

O halde burada işleyen “yasayı” anlamak gerekir:

1. İlgili çeyrekte fonksiyonun işaretini belirleyin.

Hatırlatmama izin ver:

2. Aşağıdakileri unutmayın:

işlev ortak işleve dönüşür

işlev ortak işleve değişmez

Bir fonksiyonun ortak fonksiyona dönüşmesi kavramı ne anlama geliyor?

Cevap: sinüs kosinüse dönüşür veya tersi, kotanjanta teğet veya tam tersi.

Bu kadar!

Şimdi sunulan yasaya göre birkaç indirgeme formülünü kendimiz yazacağız:

Bu açı üçüncü çeyrekte yatıyor, üçüncü çeyrekte kosinüs negatif. 180 derecemiz olduğundan fonksiyonu ortak fonksiyona çevirmiyoruz, bunun anlamı:

Açı ilk çeyrekte yer alır, ilk çeyrekteki sinüs pozitiftir. 360 derecemiz olduğundan, fonksiyonu bir ortak fonksiyona değiştirmiyoruz, bu şu anlama geliyor:

Bitişik açıların sinüslerinin eşit olduğuna dair başka bir doğrulama daha:

Açı ikinci çeyrekte yer alır, ikinci çeyrekteki sinüs ise pozitiftir. 180 derecemiz olduğundan fonksiyonu ortak fonksiyona çevirmiyoruz, bunun anlamı:

Her formül üzerinde zihinsel olarak veya yazılı olarak çalışın; hiçbir şeyin karmaşık olmadığına ikna olacaksınız.

***

Çözümle ilgili makalede şu gerçeğe dikkat çekildi - dik üçgendeki bir dar açının sinüsü, içindeki başka bir dar açının kosinüsüne eşittir.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Problemlerin çözümünde indirgeme formüllerinin uygulanması"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

10. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
1C: Okul. 7-10. Sınıflar için etkileşimli inşaat görevleri
1C: Okul. Geometri problemlerini çözüyoruz. 10-11. Sınıflar için uzayda inşa etmeye ilişkin etkileşimli görevler

Neyi inceleyeceğiz:
1. Biraz tekrarlayalım.
2. İndirgeme formüllerine ilişkin kurallar.
3. İndirgeme formülleri için dönüşüm tablosu.
4. Örnekler.

Trigonometrik fonksiyonların gözden geçirilmesi

Arkadaşlar, hayalet formülleriyle zaten karşılaştınız ama henüz onlara bu adı vermediniz. Ne düşünüyorsun: nerede?

Çizimlerimize bakın. Doğru, trigonometrik fonksiyonların tanımları tanıtıldığında.

Azaltma formülleri kuralı

Temel kuralı tanıtalım: Eğer trigonometrik fonksiyonun işareti altında π×n/2 + t şeklinde bir sayı varsa (burada n herhangi bir tam sayıdır), o zaman trigonometrik fonksiyonumuz daha basit bir forma indirgenebilir. sadece t argümanı. Bu tür formüllere hayalet formüller denir.

Bazı formülleri hatırlayalım:

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
günah(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
günah(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tan(t + π*k) = tan(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

bir sürü hayalet formül var, hadi kullanırken trigonometrik fonksiyonlarımızı belirleyeceğimiz bir kural oluşturalım. hayalet formülleri:

Trigonometrik bir fonksiyonun işareti şu formdaki sayıları içeriyorsa: π + t, π - t, 2π + t ve 2π - t, o zaman fonksiyon değişmeyecektir, yani örneğin sinüs sinüs olarak kalacaktır, kotanjant kotanjant olarak kalacaktır.
Trigonometrik fonksiyonun işareti şu formdaki sayıları içeriyorsa: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t ve 3π/2 - t, o zaman fonksiyon ilgili fonksiyona dönüşecektir, yani sinüs kosinüs olacak, kotanjant teğet olacaktır.
Ortaya çıkan fonksiyondan önce, dönüştürülen fonksiyonun 0 koşulu altında sahip olacağı işareti koymanız gerekir.

Bu kurallar, fonksiyon argümanı derece cinsinden verildiğinde de geçerlidir!

Ayrıca trigonometrik fonksiyonların dönüşüm tablosunu da oluşturabiliriz:

İndirgeme formüllerini kullanma örnekleri

1. cos(π + t)'yi dönüştürün. Fonksiyonun adı kalır, yani. cos(t) elde ederiz. Ayrıca π/2 olduğunu varsayalım.

2. Sin(π/2 + t)'yi dönüştürün. Fonksiyonun adı değişir, yani. cos(t) elde ederiz. Sonra, 0 sin(t + π/2) = cos(t) olduğunu varsayalım.

3. tg(π + t)'yi dönüştürün. Fonksiyonun adı kalır, yani. tan(t) elde ederiz. Ayrıca 0 olduğunu varsayalım.

4. ctg(270 0 + t)'yi dönüştürün. Fonksiyonun adı değişir, yani tg(t) elde ederiz. Ayrıca 0 olduğunu varsayalım.

Bağımsız çözüm için indirgeme formülleriyle ilgili problemler

Beyler, kurallarımızı kullanarak bunu kendiniz dönüştürün:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) bebek karyolası(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) günah(2π + t),
7) günah(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) günah(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller nasıl hatırlanır? Bir çağrışım kullanırsanız kolaydır, bu çağrışım benim tarafımdan icat edilmedi. Daha önce de belirtildiği gibi, iyi bir ilişki "yakalamalı", yani canlı duygular uyandırmalıdır. Bu birlikteliğin yarattığı duyguları olumlu diyemem. Ancak bir sonuç verir - azaltma formüllerini hatırlamanıza olanak tanır, bu da onun var olma hakkına sahip olduğu anlamına gelir. Sonuçta beğenmezseniz kullanmak zorunda değilsiniz değil mi?

İndirgeme formülleri şu şekildedir: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). +α'nın saat yönünün tersine hareket verdiğini, - α'nın saat yönünde hareket verdiğini unutmayın.

İndirgeme formülleriyle çalışmak için iki noktaya ihtiyacınız vardır:

1) başlangıç fonksiyonunun sahip olduğu işareti koyun (ders kitaplarında şöyle yazıyorlar: indirgenebilir. Ancak kafanın karışmaması için buna başlangıç demek daha iyidir), α'nın ilk çeyreğin açısı olduğunu düşünürsek, yani , küçük.

2) Yatay çap - π±α, 2π±α, 3π±α... - genel olarak kesir olmadığında fonksiyonun adı değişmez. Dikey π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - bir kesir olduğunda fonksiyonun adı değişir: sinüs - kosinüse, kosinüs - sinüse, tanjant - kotanjanta ve kotanjant - teğete.

Şimdi aslında dernek:

dikey çap (bir kesir var) -

sarhoş ayakta. Ona erken ne olacak?

Yoksa çok mu geç? Doğru, düşecek.

Fonksiyon adı değişecektir.

Çap yataysa, sarhoş zaten yatıyor demektir. Muhtemelen uyuyordur. Ona hiçbir şey olmayacak; o zaten yatay bir pozisyona geçmiş durumda. Buna göre fonksiyonun adı değişmez.

Yani, günah(π/2±α), günah(3π/2±α), günah(5π/2±α), vb. ±cosα ver,

ve sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.

Nasıl olduğunu zaten biliyoruz.

Nasıl çalışır? Örneklere bakalım.

1) cos(π/2+α)=?

π/2 oluyoruz. +α saat yönünün tersine ileri gideceğimiz anlamına geldiğinden. Kendimizi kosinüsün “-“ işaretine sahip olduğu ikinci çeyrekte buluyoruz. İşlevin adı değişir (“sarhoş kişi ayakta duruyor”, yani düşeceği anlamına gelir). Bu yüzden,

cos(π/2+α)=-sin α.

Gelelim 2π'ye. -α olduğundan geriye doğru, yani saat yönünde gideriz. Kendimizi teğetin “-“ işaretine sahip olduğu IV çeyreğinde buluyoruz. İşlevin adı değişmiyor (çap yatay, "sarhoş zaten yatıyor"). Böylece tan(2π-α)=- tanα olur.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Bir fonksiyonun eşit güce yükseltildiği örneklerin çözülmesi daha da kolaydır. Çift dereceli “-” onu kaldırır, yani sadece fonksiyonun adının değişip değişmediğini bulmanız gerekir. Çap dikeydir (“sarhoş durmak” diye bir kesir vardır, düşecektir), fonksiyonun adı değişir. Şunu elde ederiz: ctg²(3π/2-α)= tan²α.

Trigonometri, indirgeme formülleri.

İndirgeme formüllerinin öğretilmesine gerek yoktur; anlaşılması gerekir. Bunların türetilmesi için kullanılan algoritmayı anlayın. Bu çok kolay!

Bir birim çember alalım ve tüm derece ölçülerini (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) üzerine yerleştirelim.

Sin(a) ve cos(a) fonksiyonlarını her çeyrekte analiz edelim.

Y ekseni boyunca sin(a) fonksiyonuna ve X ekseni boyunca cos(a) fonksiyonuna baktığımızı unutmayın.

İlk çeyrekte fonksiyonun olduğu açıktır. günah(a)>0
Ve fonksiyon cos(a)>0
İlk çeyrek (90-α) veya (360+α) gibi derece cinsinden tanımlanabilir.

İkinci çeyrekte fonksiyonun açık olduğu açıktır. günah(a)>0Çünkü Y ekseni bu çeyrekte pozitiftir.
Bir işlev cos(a) çünkü X ekseni bu çeyrekte negatiftir.
İkinci çeyrek (90+α) veya (180-α) gibi derece cinsinden tanımlanabilir.

Üçüncü çeyrekte fonksiyonların açık olduğu açıktır. günah(a) Üçüncü çeyrek (180+α) veya (270-α) gibi derece cinsinden tanımlanabilir.

Dördüncü çeyrekte fonksiyonun olduğu açıktır. sin(a) çünkü Y ekseni bu çeyrekte negatiftir.
Bir işlev cos(a)>0, çünkü X ekseni bu çeyrekte pozitiftir.
Dördüncü çeyrek (270+α) veya (360-α) gibi derece cinsinden tanımlanabilir.

Şimdi indirgeme formüllerinin kendilerine bakalım.

Basitçe hatırlayalım algoritma:
1. Çeyrek.(Her zaman hangi çeyrekte olduğunuza bakın).
2. İmza.(Çeyrekler için pozitif veya negatif kosinüs veya sinüs fonksiyonlarına bakın).
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) varsa, o zaman fonksiyon değişiklikleri.

Ve böylece bu algoritmayı çeyrekler halinde analiz etmeye başlayacağız.

cos(90-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.

İrade cos(90-α) = sin(α)

sin(90-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.

İrade günah(90-α) = cos(α)

cos(360+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.
2. İlk çeyrekte kosinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.

İrade cos(360+α) = cos(α)

sin(360+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.
2. İlk çeyrekte sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) yoksa fonksiyon değişmez.
İrade sin(360+α) = sin(α)

cos(90+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.

3. Parantez içinde (90° veya π/2) varsa fonksiyon kosinüsten sinüse değişir.
İrade cos(90+α) = -sin(α)

sin(90+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.

3. Parantez içinde (90° veya π/2) varsa fonksiyon sinüsten kosinüse değişir.
İrade sin(90+α) = cos(α)

cos(180-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.
2. İkinci çeyrekte kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) yoksa fonksiyon değişmez.
İrade cos(180-α) = cos(α)

sin(180-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.
2. İkinci çeyrekte sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) yoksa fonksiyon değişmez.
İrade günah(180-α) = günah(α)

Üçüncü ve dördüncü çeyreklerden bahsediyorum, benzer şekilde bir tablo oluşturalım: