Ters orantı fonksiyonu ve özellikleri. Cebirde (8. sınıf) konuyla ilgili eğitimsel ve metodolojik materyal: Ters orantı fonksiyonu ve grafiği

Fonksiyonlarla ilgili teoriyi tekrarlayalım. Bir işlev, bir kümenin (argüman) her bir öğesinin belirli bir () ile ilişkilendirildiği bir kuraldır. tek bir!) başka bir kümenin öğesi (işlev değerleri kümesi). Yani eğer bir fonksiyon varsa \(y = f(x)\), bu şu anlama geliyor: herkes kabul edilebilir değer değişken \(X\)(“argüman” olarak adlandırılan) değişkenin bir değerine karşılık gelir \(y\)("işlev" olarak adlandırılır).

Ters ilişkiyi açıklayan fonksiyon

Bu formun bir fonksiyonudur \(y = \frac(k)(x)\), Neresi \(k\ne 0.\)

Başka bir deyişle buna ters orantı denir: argümandaki bir artış, fonksiyonda orantılı bir azalmaya neden olur.
Tanımın alanını tanımlayalım. \(x\) neye eşit olabilir? Veya başka bir deyişle neye eşit olamaz?

Bölünemeyen tek sayı 0'dır, dolayısıyla \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

veya hangisi aynıdır:

\(D(y) = R\ters eğik çizgi \( 0\).\)

Bu gösterim \(x\)'in 0 dışında herhangi bir sayı olabileceği anlamına gelir: "R" işareti gerçek sayılar kümesini, yani tüm olası sayıları belirtir; “\” işareti bu kümeden bir şeyin hariç tutulduğunu belirtir (“eksi” işaretine benzer) ve süslü parantez içindeki 0 sayısı yalnızca 0 sayısı anlamına gelir; Olası tüm sayılardan 0'ı hariç tuttuğumuz ortaya çıktı.

Görünüşe göre fonksiyon değerleri kümesi tamamen aynı: sonuçta, eğer \(k \ne 0.\) ise, o zaman onu neye bölersek bölelim, 0 işe yaramayacaktır:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

veya \(E(y) = R\ters eğik çizgi \( 0\).\)

Formülün bazı varyasyonları da mümkündür \(y = \frac(k)(x)\). Örneğin, \(y = \frac(k)((x + a))\) aynı zamanda ters ilişkiyi açıklayan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun kapsamı ve değer aralıkları aşağıdaki gibidir:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Hadi düşünelim örnek ifadeyi ters ilişki biçimine indirgeyelim:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3))).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + 5))((x - 3))).\)

Yapay olarak 3 değerini paya ekledik ve şimdi payı paydaya terime göre bölüyoruz, şunu elde ediyoruz:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x) - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3))).\)

Ters ilişki artı 1 sayısını elde ettik.

Ters ilişki grafiği

Basit bir vakayla başlayalım \(y = \frac(1)(x).\)

Bir değerler tablosu oluşturalım:

Koordinat düzleminde noktalar çizelim:

Noktaları birleştirin, grafik şöyle görünecektir:

Bu grafiğe denir "hiperbol". Bir parabol gibi, bir hiperbolün de iki kolu vardır, ancak bunlar birbirine bağlı değildir. Her biri uçlarını eksenlere yaklaştırıyor Öküz Ve Oy ama asla onlara ulaşmaz.

Fonksiyonun bazı özelliklerine dikkat edelim:

1. Bir fonksiyonun kesirden önce eksi varsa grafik ters çevrilir, yani eksene göre simetrik olarak görüntülenir Öküz.
2. Nasıl daha büyük sayı paydada grafik orijinden o kadar uzaklaşır.

Hayatta ters bağımlılık

Pratikte böyle bir işlevi nerede bulabiliriz? Pek çok örnek var. En yaygın olanı harekettir: Hareket etme hızımız ne kadar yüksek olursa, aynı mesafeyi kat etmemiz o kadar az zaman alır. Hız formülünü hatırlayalım:

\(v = \frac(S)(t),\)

burada v hızdır, t seyahat süresidir, S mesafedir (yol).

Buradan zamanı ifade edebiliriz: \(t = \frac(S)(v).\)

Konuyla ilgili 1 ders

Gerçekleştirilen:

Telegina L.B.

Dersin amacı:

1. Fonksiyonlar üzerine çalışılan tüm materyalleri tekrarlayın.
2. tanımı girin ters orantı ve nasıl program oluşturulacağını öğretin.
3. mantıksal düşünmeyi geliştirin.
4. Dikkati, doğruluğu, doğruluğu geliştirin.

Ders planı:

1. Tekrarlama.
2. Yeni malzemenin açıklanması.
3. Beden eğitimi dakikası.
4. Konsolidasyon.

Ekipman: posterler.

Dersler sırasında:

1. Ders tekrarla başlar. Öğrencilerden (önceden büyük bir kağıt üzerinde hazırlanmış) bir bulmaca çözmeleri istenir.

Bulmaca soruları:

1. Bağımsız değişkenin her değerinin bağımlı değişkenin tek bir değerine karşılık geldiği değişkenler arası bağımlılık. [İşlev].

2. Bağımsız değişken. [Argüman].

3. Apsis koordinat düzleminin argüman değerlerine eşit olan noktaları ve koordinatlar, fonksiyonun değerlerine eşittir. [Takvim].

4. y=kx+b formülüyle verilen fonksiyon. [Doğrusal].

5. Bir sayıya hangi katsayı denir? k y=kx+b formülünde? [Köşe].

6. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği nedir? [Dümdüz].

7. Eğer k≠0 ise y=kx+b grafiği bu ekseni keser, k=0 ise ona paraleldir. Bu eksen hangi harfle gösteriliyor? [X].

8. Fonksiyonun ismindeki kelime y=kx? [Orantılılık].

9. y=x formülüyle verilen fonksiyon 2. [İkinci dereceden].

10. Grafik başlığı ikinci dereceden fonksiyon. [Parabol].

11. Latin alfabesinde çoğunlukla bir işlevi ifade eden bir harf. [Igrek].

12. Bir işlevi belirtmenin yollarından biri. [Formül].

Öğretmen : Bildiğimiz bir fonksiyonu belirtmenin ana yolları nelerdir?

(Bir öğrenci tahtada bir görev alır: argümanının verilen değerlerini kullanarak 12/x fonksiyonunun değerler tablosunu doldurun ve ardından karşılık gelen noktaları koordinat düzlemine çizin).

Gerisi öğretmenin sorularını yanıtlar: (tahtaya önceden yazılanlar)

1. Aşağıdaki formüllerle verilen fonksiyonların adları nelerdir: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Aşağıdaki fonksiyonların tanım alanını belirtin: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3, y=-10/x.

Daha sonra öğrenciler öğretmenin sorduğu soruları yanıtlayarak tabloya göre çalışırlar:

1. Tablodaki hangi şekil grafikleri göstermektedir:

a) doğrusal fonksiyon;

b) doğrudan orantılılık;

c) ikinci dereceden fonksiyon;

d) y=kx formundaki fonksiyonlar 3 ?

2. Tablonun Şekil 1, 2, 4, 5'teki grafiklere karşılık gelen y=kx+b formundaki formüllerde k katsayısı hangi işarete sahiptir?

3. Tablodaki grafikleri bulun doğrusal fonksiyonlar açısal katsayıları şu şekildedir:

a) eşit;

b) büyüklük olarak eşit ve işaret olarak zıt.

(Daha sonra tüm sınıf tahtaya çağrılan öğrencinin tabloyu doğru doldurup doldurmadığını ve noktaları koordinat düzlemine yerleştirip yerleştirmediğini kontrol eder).

2. Açıklama motivasyonla başlar.

Öğretmen: Bildiğiniz gibi her fonksiyon etrafımızdaki dünyada meydana gelen bazı süreçleri tanımlar.

Örneğin kenarları olan bir dikdörtgen düşünün x ve y ve alan 12 cm2 . x*y=12 olduğu biliniyor ama dikdörtgenin bir kenarını, diyelim ki uzunluğu olan bir kenarını değiştirmeye başlarsanız ne olur? X?

Kenar uzunluğu y y=12/x formülünden bulunabilir. Eğer X 2 kat artarsa ​​y=12/2x olur, yani. taraf sen 2 kat azalacak. Eğer değer X 3, 4, 5... kat artarsa ​​değer sen aynı miktarda azalacaktır. Tam tersine eğer X birkaç kez azaltın, ardından sen aynı oranda artacaktır. (Tabloya göre çalışın).

Bu nedenle y=12/x formundaki bir fonksiyona ters orantı denir. İÇİNDE Genel görünüm y=k/x şeklinde yazılır; burada k bir sabittir ve k≠0.

Bugünkü dersin konusu bu, not defterlerimize yazdık. Kesin bir tanım veriyorum. Özel bir ters orantı türü olan y=12/x fonksiyonu için, argümanın ve fonksiyonun bir takım değerlerini zaten tabloya yazdık ve koordinat düzleminde karşılık gelen noktaları göstereceğiz. Bu fonksiyonun grafiği neye benziyor? Grafiğin tamamını oluşturulan noktalara göre değerlendirmek zordur çünkü noktalar herhangi bir şekilde bağlanabilir. Tablo ve formülü dikkate alarak bir fonksiyonun grafiği hakkında sonuçlar çıkarmaya birlikte çalışalım.

Sınıf için sorular:

1. y=12/x fonksiyonunun tanım bölgesi nedir?
2. y değerleri pozitif mi yoksa negatif mi?

a)x

b)x>0?

3. Bir değişkenin değeri nasıl değişir? sen değişen değerle X?

Bu yüzden,

1. (0,0) noktası grafiğe ait değil, yani. OX veya OY ekseniyle kesişmez;
2. grafik Ι ve ΙΙΙ koordinat çeyreklerindedir;
3. koordinat eksenlerine hem Ι koordinat çeyreğinde hem de ΙΙΙ'de düzgün bir şekilde yaklaşır ve eksenlere istenildiği kadar yaklaşır.

Bu bilgiye sahip olduğumuzda, şekildeki noktaları zaten birleştirebiliriz (öğretmen bunu tahtada kendisi yapar) ve y=12/x fonksiyonunun tüm grafiğini görebiliriz. Ortaya çıkan eğriye hiperbol denir ve bu Yunanca'da "bir şeyin içinden geçmek" anlamına gelir. Bu eğri, MÖ 4. yüzyılda antik Yunan okulunun matematikçileri tarafından keşfedildi. Abartı terimi, 6-8. yüzyıllarda yaşayan Bergama (Küçük Asya) şehrinden Apollonius tarafından tanıtıldı. M.Ö.

Şimdi y=12/x fonksiyonunun grafiğinin yanında y=-12/x fonksiyonunun grafiğini oluşturacağız. (Öğrenciler bu görevi not defterlerinde, bir öğrenci ise tahtada tamamlarlar).

Her iki grafiği karşılaştıran öğrenciler ikinci grafiğin 2 ve 4 koordinat çeyreklerini kapladığını fark ederler. Ayrıca y=12/x fonksiyonunun grafiği op-amp eksenine göre simetrik olarak görüntülenirse y=-12/x fonksiyonunun grafiği elde edilecektir.

Soru: y=k/x hiperbolünün grafiğinin konumu k işaretine ve k katsayısının değerine nasıl bağlıdır?

Öğrenciler eğer k>0 ise grafiğin Ι konumunda olduğuna ikna olmuşlardır. Ve ΙΙΙ koordinat çeyrekleri ve eğer k

1. Beden eğitimi dersi öğretmen tarafından yürütülür.

1. Çalışılanların pekiştirilmesi, ders kitabından 180, 185 numarayı tamamlarken gerçekleşir.

1. Ders özetlenmiştir, notlar, ödevler: s. 8 Sayı 179, 184.

Konuyla ilgili 2. ders

“Ters orantı fonksiyonu ve grafiği.”

Gerçekleştirilen:

Telegina L.B.

Dersin amacı:

1. ters orantı fonksiyonunun grafiğini oluşturma becerisini pekiştirmek;
2. konuya ilgi geliştirmek, mantıksal düşünme;
3. Bağımsızlığı ve dikkati geliştirin.

Ders planı:

1. İlerleme durumu kontrol ediliyor Ev ödevi.
2. Sözlü çalışma.
3. Problem çözme.
4. Beden eğitimi dakikası.
5. Çok seviyeli bağımsız çalışma.
6. Özetleme, değerlendirmeler, ödev.

Ekipman: kartlar.

Dersler sırasında:

1. Öğretmen dersin konusunu, hedeflerini ve ders planını duyurur.

Daha sonra iki öğrenci tahtada kendilerine verilen 179 ve 184 numaralı ev numaralarını tamamlarlar.

1. Öğrencilerin geri kalanı ön planda çalışarak öğretmenin sorularını yanıtlar.

Sorular:

• Ters orantı fonksiyonunu tanımlayın.
• Ters orantı fonksiyonunun grafiği nedir?
• Y=k/x hiperbolünün grafiğinin konumu k katsayısının değerine nasıl bağlıdır?

Görevler:

1. Formüllerde belirtilen fonksiyonlar arasında ters orantı fonksiyonları yer alır:

a) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Ters orantılı fonksiyonlar için katsayıyı adlandırın ve grafiğin hangi çeyrekte bulunduğunu belirtin.

3. Ters orantılılık fonksiyonlarının tanım tanım kümesini bulun.

(Daha sonra öğrenciler tahtadaki sayıların öğretmen tarafından kontrol edilen çözümlerine göre kalemle birbirlerinin ödevlerini kontrol ederler ve not verirler).

190, 191, 192, 193 (sözlü) ders kitabına göre ön çalışma.

1. 186(b), 187(b), 182 numaralı ders kitaplarından not defterlerinde ve tahtada uygulama.

4. Beden eğitimi dersi öğretmen tarafından yürütülür.

5. Bağımsız iş verilen üç seçenek değişen karmaşıklığa sahip (kartlara dağıtılmış).

ben c. (hafif).

Tabloyu kullanarak ters orantı fonksiyonunun y=-6/x grafiğini çizin:

Grafiği kullanarak şunu bulun:

a) x = - 1,5 ise y'nin değeri; 2;

b) y = - 1 olan x'in değeri; 4.

yüzyıl (orta zorluk)

İlk olarak tabloyu doldurduktan sonra ters orantı fonksiyonunun y=16/x grafiğini çizin.

Grafiği kullanarak hangi değerlerde olduğunu bulun. x y >0.

yüzyılda (artan zorluk)

İlk olarak tabloyu doldurduktan sonra y=10/x-2 ters orantı fonksiyonunun grafiğini çizin.

Bu fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun.

(Öğrenciler test için çizilmiş grafiklerin bulunduğu sayfaları verirler).

6. Dersi, değerlendirmeleri, ödevleri özetler: Sayı 186 (a), 187 (a).

Bugün hangi niceliklerin ters orantılı olarak adlandırıldığına, ters orantı grafiğinin neye benzediğine ve tüm bunların sadece matematik derslerinde değil okul dışında da sizin için nasıl yararlı olabileceğine bakacağız.

Böyle farklı oranlar

Orantılılık Birbirine bağımlı olan iki niceliği adlandırın.

Bağımlılık doğrudan ve ters olabilir. Sonuç olarak, nicelikler arasındaki ilişkiler doğrudan ve ters orantılılıkla açıklanmaktadır.

Doğrudan orantılılık- Bu, iki nicelik arasında, birinde bir artışın veya azalmanın diğerinde de artışa veya azalmaya yol açtığı bir ilişkidir. Onlar. tavırları değişmiyor.

Örneğin, sınavlara ne kadar çok çalışırsanız notlarınız o kadar yüksek olur. Ya da yürüyüşe çıkarken yanınıza ne kadar çok şey alırsanız sırt çantanız o kadar ağır olur. Onlar. Sınavlara hazırlanmak için harcanan emek, alınan notlarla doğru orantılıdır. Ve bir sırt çantasına konulan eşyaların sayısı, ağırlığıyla doğru orantılıdır.

Ters orantılılık– bu, bağımsız bir değerdeki (buna argüman denir) birkaç kat azalma veya artışın, bağımlı bir değerde orantılı (yani aynı sayıda) artışa veya azalmaya neden olduğu (buna bağımsız değişken denir) fonksiyonel bir bağımlılıktır. işlev).

örnekleyelim basit örnek. Pazardan elma almak istiyorsunuz. Tezgahtaki elmalar ile cüzdanınızdaki para miktarı ters orantılıdır. Onlar. Ne kadar çok elma alırsanız, o kadar az paranız kalır.

Fonksiyon ve grafiği

Ters orantı fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir: y = k/x. hangisinde X≠ 0 ve k≠ 0.

Bu fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Tanım alanı, hariç tüm gerçek sayılar kümesidir. X = 0. D(sen): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Aralığın tamamı gerçek sayılardır, ancak sen= 0. E(y): (-∞; 0) sen (0; +∞) .
3. Maksimum veya minimum değerleri yoktur.
4. Gariptir ve grafiği orijine göre simetriktir.
5. Düzenli olmayan.
6. Grafiği koordinat eksenlerini kesmez.
7. Sıfırları yoktur.
8. Eğer k> 0 (yani argüman artarsa), fonksiyon her aralıkta orantılı olarak azalır. Eğer k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Argüman arttıkça ( k> 0) negatif değerler fonksiyonlar (-∞; 0) aralığındadır ve pozitif olanlar (0; +∞)'tır. Argüman azaldığında ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Ters orantı fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:

Ters orantı problemleri

Daha açık hale getirmek için birkaç göreve bakalım. Çok karmaşık değiller ve bunları çözmek, ters orantılılığın ne olduğunu ve bu bilginin günlük yaşamınızda nasıl yararlı olabileceğini gözünüzde canlandırmanıza yardımcı olacaktır.

Görev No.1. Bir araba 60 km/saat hızla hareket etmektedir. Hedefine varması 6 saat sürdü. İki katı hızla hareket ederse aynı mesafeyi ne kadar sürede kat eder?

Zaman, mesafe ve hız arasındaki ilişkiyi açıklayan bir formül yazarak başlayabiliriz: t = S/V. Katılıyorum, bize ters orantı fonksiyonunu çok hatırlatıyor. Bu da bir otomobilin yolda geçirdiği süre ile hareket hızının ters orantılı olduğunu gösteriyor.

Bunu doğrulamak için duruma göre 2 kat daha yüksek olan V 2'yi bulalım: V 2 = 60 * 2 = 120 km/saat. Daha sonra S = V * t = 60 * 6 = 360 km formülünü kullanarak mesafeyi hesaplıyoruz. Artık problemin koşullarına göre bizden beklenen t 2 süresini bulmak zor değil: t 2 = 360/120 = 3 saat.

Gördüğünüz gibi yolculuk süresi ve hız aslında ters orantılıdır: Orijinal hızın 2 katı daha yüksek bir hızda araç yolda 2 kat daha az zaman harcayacaktır.

Bu problemin çözümü orantı olarak da yazılabilir. O halde önce bu diyagramı oluşturalım:

↓ 60 km/saat – 6 saat

↓120 km/saat – xsaat

Oklar ters orantılı bir ilişkiyi gösterir. Ayrıca bir orantı kurarken kaydın sağ tarafının ters çevrilmesi gerektiğini de öne sürüyorlar: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 saati nereden bulacağız?

Görev No.2. Atölyede belirli bir işi 4 saatte tamamlayabilen 6 işçi çalışıyor. İşçi sayısı yarıya indirilirse kalan işçiler aynı işi ne kadar sürede tamamlar?

Sorunun koşullarını görsel bir şema halinde yazalım:

↓ 6 işçi – 4 saat

↓ 3 işçi – x h

Bunu oran olarak yazalım: 6/3 = x/4. Ve x = 6 * 4/3 = 8 saat elde ederiz.Eğer 2 kat daha az işçi varsa, geri kalanlar tüm işi yaparken 2 kat daha fazla zaman harcayacaklardır.

Görev No.3. Havuza giden iki boru var. Su bir borudan 2 lt/s hızla akıyor ve havuzu 45 dakikada dolduruyor. Başka bir boruyla havuz 75 dakikada dolacak. Su bu borudan havuza hangi hızla giriyor?

Başlangıç ​​olarak problemin koşullarına göre bize verilen tüm büyüklükleri aynı ölçü birimlerine indirgeyelim. Bunun için havuzun dolma hızını dakikada litre cinsinden ifade ediyoruz: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/dak.

Havuzun ikinci borudan daha yavaş dolması durumundan da anlaşılacağı için su akış hızının daha düşük olması anlamına gelir. Orantılılık terstir. Bilinmeyen hızı x üzerinden ifade edelim ve aşağıdaki diyagramı çizelim:

↓ 120 l/dak – 45 dak

↓ x l/dak – 75 dak

Ve sonra şu oranı oluşturuyoruz: 120/x = 75/45, buradan x = 120 * 45/75 = 72 l/dak.

Problemde havuzun doluluk oranı litre/saniye cinsinden ifade ediliyor; aldığımız cevabı aynı forma indirgeyelim: 72/60 = 1,2 l/s.

Görev No.4. Küçük bir özel matbaa, kartvizit basıyor. Bir matbaa çalışanı saatte 42 kartvizit hızında ve tam gün, 8 saat çalışmaktadır. Eğer daha hızlı çalışsaydı ve bir saatte 48 kartvizit bassaydı, eve ne kadar erken gidebilirdi?

Kanıtlanmış yolu takip ediyoruz ve problemin koşullarına göre istenen değeri x olarak belirten bir diyagram çiziyoruz:

↓ 42 kartvizit/saat – 8 saat

↓ 48 kartvizit/saat – x saat

Ters orantılı bir ilişkimiz var: Bir matbaa çalışanının saatte ne kadar çok kartvizit bastığı, aynı işi tamamlamak için aynı sayıda daha az zamana ihtiyaç duyacağı. Bunu bilerek bir orantı oluşturalım:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 saat.

Böylece işi 7 saatte tamamlayan matbaa çalışanı, evine bir saat erken gidebiliyordu.

Çözüm

Bize öyle geliyor ki bu ters orantı problemleri aslında çok basit. Artık sizin de onları bu şekilde düşünmenizi umuyoruz. Ve asıl önemli olan, bunun tersi hakkındaki bilgidir. orantılı bağımlılık miktarlar gerçekten de sizin için birden fazla kez faydalı olabilir.

Sadece matematik derslerinde ve sınavlarda değil. Ancak o zaman bile, bir yolculuğa çıkmaya, alışverişe çıkmaya, tatillerde biraz ekstra para kazanmaya karar vermeye vb. hazır olduğunuzda.

Çevrenizde hangi ters ve doğru orantılı ilişki örneklerini fark ettiğinizi yorumlarda bize bildirin. Böyle bir oyun olsun. Ne kadar heyecan verici olduğunu göreceksiniz. Bu yazıyı paylaşmayı unutmayın sosyal ağlarda böylece arkadaşlarınız ve sınıf arkadaşlarınız da oynayabilir.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.