Lee üstel değildir. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin ve Zeno paradoksunun toplamı

Konuyla ilgili ders “Sonsuz azalan geometrik ilerleme” (Cebir, 10. sınıf)

Dersin amacı:Öğrencileri yeni bir dizi türüyle tanıştırıyoruz - sonsuz azalan geometrik ilerleme.

Teçhizat: yansıtıcı ekran.

Ders türü: ders - öğrenme yeni Konu.

Dersler sırasında

BEN . Organizasyon an. Dersin konusunu ve amacını belirtin.

II . Öğrencilerin bilgilerinin güncellenmesi.

9. sınıfta aritmetik ve geometrik ilerlemeler okudunuz.

Sorular

1. Tanım aritmetik ilerleme. (Aritmetik ilerleme, ikinciden başlayarak her üyenin aynı sayıya eklenen önceki üyeye eşit olduğu bir dizidir).

2. Formül N aritmetik ilerlemenin üçüncü terimi (
)

3. İlkinin toplamının formülü N aritmetik ilerleme terimleri.

(
veya
)

4. Tanım geometrik ilerleme. (Geometrik ilerleme, ikinciden başlayarak her bir terimin bir önceki terimin aynı sayıyla çarpımına eşit olduğu, sıfırdan farklı sayıların dizisidir).

5. Formül N geometrik ilerlemenin üçüncü terimi (

)

6. İlkinin toplamının formülü N geometrik ilerlemenin üyeleri. (
)

7. Başka hangi formülleri biliyorsunuz?

(
, Nerede
;
;
;
,
)

5. Geometrik ilerleme için
beşinci terimi bulunuz.

6. Geometrik ilerleme için
bulmak Nüye.

7. Üstel olarak B 3 = 8 Ve B 5 = 2 . Bulmak B 4 . (4)

8. Üstel olarak B 3 = 8 Ve B 5 = 2 . Bulmak B 1 Ve Q .

9. Üstel olarak B 3 = 8 Ve B 5 = 2 . Bulmak S 5 . (62)

III . Yeni bir konu öğrenmek(sunumun gösterimi).

Bir kenar uzunluğu 1'e eşit olan bir kare düşünün. Kenar uzunluğu ilk karenin yarısı kadar olan başka bir kare, sonra kenarı ikinci karenin yarısı kadar olan başka bir kare, sonra bir sonraki kareyi vb. çizelim. Her seferinde yeni karenin kenarı bir öncekinin yarısına eşittir.

Sonuç olarak, karelerin kenarlarından oluşan bir dizi elde ettik paydayla geometrik bir ilerleme oluşturuyoruz.

Ve çok önemli olan, bu tür kareleri ne kadar çok inşa edersek, karenin kenarı da o kadar küçük olacaktır. Örneğin,

Onlar. N sayısı arttıkça ilerlemenin terimleri sıfıra yaklaşır.

Bu şekli kullanarak başka bir diziyi düşünebilirsiniz.

Örneğin karelerin alanlarının sırası:

. Ve yine eğer N süresiz olarak artarsa ​​alan sıfıra istediğiniz kadar yaklaşır.

Başka bir örneğe bakalım. Eşkenar üçgen 1 cm'ye eşit bir kenar ile. Üçgenin orta çizgisi hakkındaki teoreme göre, köşeleri 1. üçgenin kenarlarının orta noktalarında olacak şekilde aşağıdaki üçgeni oluşturalım - 2.'nin kenarı birincinin kenarının yarısına, 3.'nün kenarının yarısına eşittir 2. kenarın yarısına eşittir vb. Yine üçgenlerin kenarlarının uzunluklarının bir dizisini elde ediyoruz.

en
.

Negatif paydalı bir geometrik ilerlemeyi düşünürsek.

Daha sonra sayıları giderek artan Nİlerleme açısından sıfıra yaklaşıyor.

Bu dizilerin paydalarına dikkat edelim. Her yerde paydaların mutlak değeri 1'den küçüktü.

Şu sonuca varabiliriz: eğer paydasının modülü 1'den küçükse geometrik ilerleme sonsuza kadar azalacaktır.

Tanım:

Paydasının modülü ise geometrik ilerlemenin sonsuz azalan olduğu söylenir. birden az.
.

Tanımı kullanarak geometrik ilerlemenin sonsuz azalıp azalmadığına karar verebilirsiniz.

Görev

Aşağıdaki formülle verilirse dizi sonsuz azalan bir geometrik ilerleme midir?

;
.

Çözüm:

. Bulacağız Q .

;
;
;
.

bu geometrik ilerleme sonsuz biçimde azalmaktadır.

B) bu dizi sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme değildir.

Bir kenarı 1'e eşit olan bir kare düşünün. Onu ikiye bölün, yarımlardan birini ikiye bölün, vb. Ortaya çıkan tüm dikdörtgenlerin alanları sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerleme oluşturur:

Bu şekilde elde edilen tüm dikdörtgenlerin alanlarının toplamı 1. karenin alanına eşit ve 1'e eşit olacaktır.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Sayı dizileri. Geometrik ilerleme"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Kuvvetler ve kökler Fonksiyonlar ve grafikler

Arkadaşlar, bugün başka bir ilerleme türüyle tanışacağız.
Bugünkü dersin konusu geometrik ilerlemedir.

Geometrik ilerleme

Tanım. İkinciden başlayarak her terimin bir öncekinin çarpımına eşit olduğu ve sabit bir sayının olduğu sayısal diziye geometrik ilerleme denir.
Dizimizi yinelemeli olarak tanımlayalım: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
burada b ve q verilen belirli sayılardır. q sayısına ilerlemenin paydası denir.

Örnek. 1,2,4,8,16... İlk dönemin geometrik ilerlemesi bire eşit ve $q=2$.

Örnek. 8,8,8,8... İlk terimin sekize eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=1$.

Örnek. 3,-3,3,-3,3... İlk terimin üçe eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=-1$.

Geometrik ilerleme monotonluk özelliklerine sahiptir.
$b_(1)>0$, $q>1$ ise,
sonra sıra artıyor.
$b_(1)>0$ ise, $0 Dizi genellikle şu şekilde gösterilir: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Tıpkı aritmetik ilerlemede olduğu gibi, geometrik ilerlemede de eleman sayısı sonluysa bu ilerlemeye sonlu geometrik ilerleme denir.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Bir dizi geometrik bir ilerleme ise, terimlerin kareleri dizisinin de geometrik bir ilerleme olduğunu unutmayın. İkinci dizide, ilk terim $b_(1)^2$'a eşittir ve payda $q^2$'a eşittir.

Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül

Geometrik ilerleme analitik biçimde de belirtilebilir. Bunu nasıl yapacağımızı görelim:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Şu modeli kolayca fark ediyoruz: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formülümüze "geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü" denir.

Örneklerimize dönelim.

Örnek. 1,2,4,8,16... İlk terimin bire eşit olduğu geometrik dizi,
ve $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Örnek. 16,8,4,2,1,1/2… İlk terimin on altıya eşit olduğu geometrik dizi ve $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Örnek. 8,8,8,8... İlk terimin sekize eşit olduğu ve $q=1$ olan geometrik dizi.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Örnek. 3,-3,3,-3,3... Birinci terimin üçe eşit olduğu ve $q=-1$ olan geometrik dizi.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Örnek. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometrik ilerlemesi verildiğinde.
a) $b_(1)=6, q=3$ olduğu bilinmektedir. $b_(5)$'ı bulun.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ olduğu bilinmektedir. N'yi bulun.
c) $q=-2, b_(6)=96$ olduğu bilinmektedir. $b_(1)$'ı bulun.
d) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ olduğu bilinmektedir. Q'yu bulun.

Çözüm.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, çünkü $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Örnek. Geometrik ilerlemenin yedinci ve beşinci terimleri arasındaki fark 192, ilerlemenin beşinci ve altıncı terimlerinin toplamı 192'dir. Bu ilerlemenin onuncu terimini bulun.

Çözüm.
Şunu biliyoruz: $b_(7)-b_(5)=192$ ve $b_(5)+b_(6)=192$.
Şunu da biliyoruz: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Daha sonra:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Bir denklem sistemi aldık:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Denklemlerimizi eşitlersek şunu elde ederiz:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
İki çözümümüz var: q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
İkinci denklemde sırayla yerine koyarız:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ çözüm yok.
Şunu anladık: $b_(1)=4, q=2$.
Onuncu terimi bulalım: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Sonlu bir geometrik ilerlemenin toplamı

Sonlu bir geometrik ilerlemeye sahip olalım. Tıpkı bir aritmetik ilerlemede olduğu gibi, terimlerinin toplamını hesaplayalım.

Sonlu bir geometrik ilerleme verilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Terimlerinin toplamının gösterimini tanıtalım: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ olması durumunda. Geometrik ilerlemenin tüm terimleri ilk terime eşitse, o zaman $S_(n)=n*b_(1)$ olduğu açıktır.
Şimdi $q≠1$ durumunu ele alalım.
Yukarıdaki miktarı q ile çarpalım.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Not:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Sonlu bir geometrik ilerlemenin toplamının formülünü elde ettik.

Örnek.
İlk terimi 4 ve paydası 3 olan bir geometrik dizinin ilk yedi teriminin toplamını bulun.

Çözüm.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Örnek.
Geometrik ilerlemenin bilinen beşinci terimini bulun: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Çözüm.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Geometrik ilerlemenin karakteristik özelliği

Arkadaşlar geometrik bir ilerleme veriliyor. Ardışık üç üyesine bakalım: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Biz biliyoruz ki:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Daha sonra:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
İlerleme sonlu ise bu eşitlik ilk ve sonuncu hariç tüm terimler için geçerlidir.
Dizinin hangi forma sahip olduğu önceden bilinmiyorsa ancak şu şekilde bilinmektedir: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
O halde bunun geometrik bir ilerleme olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Bir sayı dizisi, yalnızca her bir üyenin karesi, ilerlemenin iki bitişik üyesinin çarpımına eşit olduğunda geometrik bir ilerlemedir. Sonlu bir ilerleme için bu koşulun ilk ve son dönemler için sağlanmadığını unutmayın.

Şu kimliğe bakalım: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ a ve b sayılarının geometrik ortalaması olarak adlandırılır.

Geometrik ilerlemenin herhangi bir teriminin modülü, iki bitişik terimin geometrik ortalamasına eşittir.

Örnek.
$x+2; olacak şekilde x'i bulun. 2x+2; 3x+3$ geometrik ilerlemenin ardışık üç terimiydi.

Çözüm.
Karakteristik özelliğini kullanalım:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ve $x_(2)=-1$.
Çözümlerimizi sırayla orijinal ifadede yerine koyalım:
$x=2$ ile şu diziyi elde ettik: 4;6;9 – $q=1.5$ olan geometrik bir ilerleme.
$x=-1$ için şu diziyi elde ederiz: 1;0;0.
Cevap: $x=2.$

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

1. 16;-8;4;-2… geometrik dizisinin sekizinci birinci terimini bulun.
2. 11,22,44… geometrik ilerlemesinin onuncu terimini bulun.
3. $b_(1)=5, q=3$ olduğu biliniyor. $b_(7)$'ı bulun.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ olduğu biliniyor. N'yi bulun.
5. 3;12;48… geometrik dizisinin ilk 11 teriminin toplamını bulun.
6. $3x+4 olacak şekilde x'i bulun; 2x+4; x+5$ geometrik ilerlemenin ardışık üç terimidir.

Belirli bir seriyi ele alalım.

7 28 112 448 1792...

Herhangi bir unsurunun değerinin bir öncekinden tam olarak dört kat daha fazla olduğu kesinlikle açıktır. Bu, bu serinin bir ilerleme olduğu anlamına gelir.

Geometrik ilerleme sonsuz bir sayı dizisidir. ana özellik yani bir sonraki sayı, bir önceki sayının belirli bir sayıyla çarpılmasıyla elde edilir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir.

a z +1 =a z ·q, burada z, seçilen öğenin numarasıdır.

Buna göre z ∈ N.

Okulda geometrik ilerlemenin çalışıldığı dönem 9. sınıftır. Örnekler kavramı anlamanıza yardımcı olacaktır:

0.25 0.125 0.0625...

Bu formüle göre ilerlemenin paydası şu şekilde bulunabilir:

Ne q ne de bz sıfır olamaz. Ayrıca ilerlemenin öğelerinin her biri sıfıra eşit olmamalıdır.

Buna göre bir serideki bir sonraki sayıyı bulmak için sonuncuyu q ile çarpmanız gerekir.

Bu ilerlemeyi ayarlamak için ilk elemanını ve paydasını belirtmeniz gerekir. Bundan sonra sonraki terimlerden herhangi birini ve bunların toplamını bulmak mümkündür.

Çeşitler

Q ve a 1'e bağlı olarak bu ilerleme birkaç türe ayrılır:

• Hem a 1 hem de q birden büyükse, bu tür bir dizi, sonraki her öğeyle artan geometrik bir ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =3, q=2 - her iki parametre de birden büyüktür.

O zaman sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

3 6 12 24 48 ...

• Eğer |q| birden küçüktür, yani onunla çarpmak bölmeye eşdeğerdir, o zaman benzer koşullara sahip bir ilerleme, azalan bir geometrik ilerlemedir. Bunun bir örneği aşağıda sunulmuştur.

Örnek: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birden büyüktür, q küçüktür.

O halde sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

6 2 2/3 ... - herhangi bir eleman onu takip eden elemandan 3 kat daha büyüktür.

• Alternatif işaret. eğer q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Örnek: a 1 = -3, q = -2 - her iki parametre de sıfırdan küçüktür.

O halde sayı dizisi şu şekilde yazılabilir:

3, 6, -12, 24,...

Formüller

Geometrik ilerlemelerin uygun kullanımı için birçok formül vardır:

• Z terimi formülü. Önceki sayıları hesaplamadan belirli bir sayının altındaki bir öğeyi hesaplamanıza olanak tanır.

Örnek:Q = 3, A 1 = 4. İlerlemenin dördüncü öğesini saymak gerekir.

Çözüm:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Miktarı eşit olan ilk elementlerin toplamı z. Bir dizinin tüm öğelerinin toplamını şu ana kadar hesaplamanıza olanak tanır:bir zdahil.

Şu andan itibaren (1-Q) paydada ise (1 - q)≠ 0, dolayısıyla q, 1'e eşit değildir.

Not: Eğer q=1 ise ilerleme sonsuz sayıda tekrarlanan sayılar dizisi olacaktır.

Geometrik ilerlemenin toplamı, örnekler:A 1 = 2, Q= -2. S5'i hesaplayın.

Çözüm:S 5 = 22 - formülü kullanarak hesaplama.

• Eğer |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Örnek:A 1 = 2 , Q= 0,5. Tutarı bulun.

Çözüm:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Bazı özellikler:

• Karakteristik özellik. Aşağıdaki durum ise herhangi biri için çalışırz, o zaman verilen sayı serisi geometrik bir ilerlemedir:

bir z 2 = bir z -1 · Az+1

• Ayrıca geometrik dizideki herhangi bir sayının karesi, belirli bir serideki herhangi iki sayının, eğer bu elemana eşit uzaklıktaysa, kareleri toplanarak bulunur.

bir z 2 = bir z - T 2 + bir z + T 2 , NeredeT- bu sayılar arasındaki mesafe.

• Elementlerq bakımından farklıbir kere.
• Bir ilerlemenin elemanlarının logaritmaları da bir ilerleme oluşturur, ancak aritmetik bir ilerlemedir, yani her biri bir öncekinden belirli bir sayı kadar büyüktür.

Bazı klasik problemlere örnekler

Geometrik ilerlemenin ne olduğunu daha iyi anlamak için 9. sınıfa yönelik çözüm örnekleri yardımcı olabilir.

• Koşullar:A 1 = 3, A 3 = 48. BulQ.

Çözüm: Sonraki her öğe bir öncekinden daha büyüktür.Q bir kere.Bazı unsurları payda kullanarak diğerleri cinsinden ifade etmek gerekir.

Buradan,A 3 = Q 2 · A 1

DeğiştirirkenQ= 4

• Koşullar:A 2 = 6, A 3 = 12. S 6'yı hesaplayın.

Çözüm:Bunu yapmak için ilk eleman olan q'yu bulun ve onu formülde değiştirin.

A 3 = Q· A 2 , buradan,Q= 2

a 2 = q · bir 1 ,Bu yüzden bir 1 = 3

S6 = 189

• · A 1 = 10, Q= -2. İlerlemenin dördüncü öğesini bulun.

Çözüm: Bunu yapmak için dördüncü elemanı birinci ve payda aracılığıyla ifade etmek yeterlidir.

a 4 = q 3· 1 = -80

Uygulama örneği:

• Bir banka müşterisi 10.000 ruble tutarında bir depozito yatırdı; şartlara göre müşteri her yıl bunun %6'sını anapara tutarına ekleyecektir. 4 yıl sonra hesapta ne kadar para olacak?

Çözüm: Başlangıç ​​tutarı 10 bin ruble. Bu, yatırımdan bir yıl sonra hesabın 10.000 + 10.000 tutarına eşit olacağı anlamına gelir. · 0,06 = 10000 1,06

Buna göre bir yıl sonra hesapta kalacak tutar şu şekilde ifade edilecektir:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Yani her yıl miktar 1,06 kat artıyor. Yani 4 yıl sonra hesaptaki fon miktarını bulmak için birinci unsurun 10 bin ve paydanın 1,06 olmasıyla verilen ilerlemenin dördüncü unsurunu bulmak yeterli oluyor.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Toplam hesaplama problemlerine örnekler:

Geometrik ilerleme çeşitli problemlerde kullanılır. Toplamın bulunmasına ilişkin bir örnek şu şekilde verilebilir:

A 1 = 4, Q= 2, hesaplaS5.

Çözüm: Hesaplama için gerekli tüm veriler biliniyor, bunları formülde kullanmanız yeterli.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. İlk altı elemanın toplamını hesaplayın.

Çözüm:

Geom'da. ilerleme, her bir sonraki öğe bir öncekinden q kat daha büyüktür, yani toplamı hesaplamak için öğeyi bilmeniz gerekirA 1 ve paydaQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Benzer şekilde, bulmanız gerekirA 1 , bilerekA 2 VeQ.

A 1 · Q = A 2

bir 1 =2

S 6 = 728.

Matematik neinsanlar doğayı ve kendilerini kontrol ederler.

Sovyet matematikçisi, akademisyen A.N. Kolmogorov

Geometrik ilerleme.

Matematiğe giriş sınavlarında aritmetik ilerlemelerle ilgili sorunların yanı sıra geometrik ilerleme kavramıyla ilgili sorunlar da yaygındır. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için geometrik ilerlemelerin özelliklerini bilmeniz ve bunları kullanma konusunda iyi becerilere sahip olmanız gerekir.

Bu makale geometrik ilerlemenin temel özelliklerinin sunumuna ayrılmıştır. Tipik problemlerin çözümüne ilişkin örnekler de burada verilmektedir., matematik giriş sınavlarının görevlerinden ödünç alınmıştır.

Öncelikle geometrik ilerlemenin temel özelliklerini not edelim ve en önemli formülleri ve ifadeleri hatırlayalım., bu kavramla ilişkilidir.

Tanım.İkinciden başlayarak her sayı bir önceki sayıya eşitse ve aynı sayıyla çarpılıyorsa sayı dizisine geometrik ilerleme denir. Sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir.

Geometrik ilerleme içinformüller geçerlidir

, (1)

Nerede . Formül (1), geometrik ilerlemenin genel teriminin formülü olarak adlandırılır ve formül (2), geometrik ilerlemenin ana özelliğini temsil eder: ilerlemenin her terimi, komşu terimlerinin geometrik ortalaması ile çakışır ve .

Not, tam da bu özelliği nedeniyle söz konusu ilerlemeye “geometrik” denmektedir.

Yukarıdaki formüller (1) ve (2) aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir:

, (3)

Tutarı hesaplamak için Birinci geometrik ilerlemenin üyeleriformül geçerlidir

Eğer belirtirsek, o zaman

Nerede . Çünkü formül (6), formül (5)'in bir genellemesidir.

Bu durumda ne zaman ve geometrik ilerlemesonsuz bir şekilde azalıyor. Tutarı hesaplamak içinSonsuz azalan geometrik ilerlemenin tüm terimleri için formül kullanılır

. (7)

Örneğin , formül (7)'yi kullanarak gösterebiliriz, Ne

Nerede . Bu eşitlikler, (birinci eşitlik) ve (ikinci eşitlik) koşulu altında formül (7)'den elde edilir.

Teorem. Eğer öyleyse

Kanıt. Eğer öyleyse

Teorem kanıtlandı.

“Geometrik ilerleme” konusundaki problem çözme örneklerini ele almaya devam edelim.

Örnek 1. Verilenler: , ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (5)'i uygularsak, o zaman

Cevap: .

Örnek 2. Bırak olsun. Bulmak .

Çözüm. ve olduğundan, (5), (6) formüllerini kullanırız ve bir denklem sistemi elde ederiz

(9) sisteminin ikinci denklemi birinciye bölünürse, sonra veya . Bundan şu sonuç çıkıyor . İki durumu ele alalım.

1. Eğer, daha sonra (9) sisteminin ilk denkleminden elimizdeki.

2. Eğer öyleyse .

Örnek 3., ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (2)'den şunu takip eder: veya . O zamandan beri veya .

Koşullara göre. Bununla birlikte. O zamandan beri ve o zaman burada bir denklem sistemimiz var

Sistemin ikinci denklemi birinciye bölünürse, o zaman veya .

Çünkü denklemin tek ve uygun bir kökü vardır. Bu durumda sistemin ilk denkleminden çıkar.

Formül (7)'yi dikkate alarak elde ederiz.

Cevap: .

Örnek 4. Verilen: ve . Bulmak .

Çözüm. O zamandan beri.

O zamandan beri veya

Formül (2)'ye göre elimizde . Bu bağlamda eşitlikten (10) veya elde ederiz.

Ancak bu nedenle koşula göre.

Örnek 5.Öyle olduğu biliniyor. Bulmak .

Çözüm. Teoreme göre iki eşitliğimiz var

O zamandan beri veya . Çünkü o zaman.

Cevap: .

Örnek 6. Verilen: ve . Bulmak .

Çözüm. Formül (5)'i dikkate alarak şunu elde ederiz:

O zamandan beri. O zamandan beri ve o zamandan beri.

Örnek 7. Bırak olsun. Bulmak .

Çözüm. Formül (1)'e göre yazabiliriz

Bu nedenle, elimizde veya var. Bu bilinmektedir ve bu nedenle ve .

Cevap: .

Örnek 8. Aşağıdaki durumlarda sonsuz azalan geometrik ilerlemenin paydasını bulun:

Ve .

Çözüm. Formül (7)'den şu şekildedir: Ve . Buradan ve problemin koşullarından bir denklem sistemi elde ederiz

Sistemin ilk denkleminin karesi alınırsa, ve sonra elde edilen denklemi ikinci denkleme bölün, sonra elde ederiz

Veya .

Cevap: .

Örnek 9., dizisinin geometrik bir ilerleme olduğu tüm değerleri bulun.

Çözüm., ve . Geometrik ilerlemenin ana özelliğini tanımlayan formül (2)'ye göre veya yazabiliriz.

Buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, kimin kökleri Ve .

Kontrol edelim: eğer, sonra , ve; eğer , o zaman ve .

İlk durumda elimizde ve , ve ikincisinde – ve .

Cevap: , .

Örnek 10.Denklemi çözün

, (11)

Nerede ve .

Çözüm. Denklemin (11) sol tarafı, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır; burada ve , aşağıdakilere tabidir: ve .

Formül (7)'den şu şekildedir:, Ne . Bu bağlamda denklem (11) şu şekli alır: veya . Uygun kök ikinci dereceden denklem

Cevap: .

Örnek 11. P pozitif sayılar dizisiaritmetik bir ilerleme oluşturur, A - geometrik ilerleme, ne alakası var . Bulmak .

Çözüm.Çünkü aritmetik dizi, O (aritmetik ilerlemenin ana özelliği). Çünkü, sonra veya . Bu şu anlama gelir: geometrik ilerlemenin şu şekle sahip olduğu. Formül (2)'ye göre, sonra bunu yazıyoruz.

O zamandan beri ve o zaman . Bu durumda ifade veya şeklini alır. Koşullara göre, yani Denklem'den.ele alınan soruna benzersiz bir çözüm elde ederiz yani .

Cevap: .

Örnek 12. Toplamı Hesapla

. (12)

Çözüm. Eşitliğin her iki tarafını (12) 5 ile çarpın ve şunu elde edin:

Ortaya çıkan ifadeden (12)'yi çıkarırsak, O

veya .

Hesaplamak için değerleri formül (7)'ye koyarız ve elde ederiz. O zamandan beri.

Cevap: .

Burada verilen problem çözme örnekleri, giriş sınavlarına hazırlanırken adaylara faydalı olacaktır. Problem çözme yöntemlerinin daha derinlemesine incelenmesi için, geometrik ilerlemeyle ilgili, Önerilen literatür listesindeki öğreticileri kullanabilirsiniz.

1. Üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. – M.: Mir ve Eğitim, 2013. – 608 s.

2. V.P.'yi iptal edin. Lise öğrencileri için matematik: okul müfredatının ek bölümleri. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medynsky M.M. Problemler ve alıştırmalar içeren eksiksiz bir temel matematik dersi. Kitap 2: Sayı Dizileri ve İlerlemeler. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Hala sorularınız mı var?

Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Geometrik ilerleme, aritmetik ilerlemenin yanı sıra 9. sınıfta okul cebir dersinde işlenen önemli bir sayı dizisidir. Bu makalede geometrik ilerlemenin paydasına ve değerinin özelliklerini nasıl etkilediğine bakacağız.

Geometrik ilerlemenin tanımı

Öncelikle şunu tanımlayalım sayı serisi. Böyle bir diziye geometrik ilerleme denir rasyonel sayılar, ilk öğesinin payda adı verilen sabit bir sayıyla sıralı olarak çarpılmasıyla oluşturulur.

Örneğin 3, 6, 12, 24, ... serisindeki sayılar geometrik bir ilerlemedir, çünkü 3'ü (ilk eleman) 2 ile çarparsanız 6 elde edersiniz. 6'yı 2 ile çarparsanız, şunu elde edersiniz: 12 vb.

Söz konusu dizinin üyeleri genellikle ai sembolüyle gösterilir; burada i, dizideki öğe sayısını gösteren bir tam sayıdır.

Yukarıdaki ilerleme tanımı matematik dilinde şu şekilde yazılabilir: an = bn-1 * a1, burada b paydadır. Bu formülü kontrol etmek kolaydır: Eğer n = 1 ise b1-1 = 1 olur ve a1 = a1 elde ederiz. Eğer n = 2 ise an = b * a1 olur ve yine söz konusu sayı serisinin tanımına geliriz. Benzer akıl yürütme n'nin büyük değerleri için de sürdürülebilir.

Geometrik ilerlemenin paydası

B sayısı, sayı serisinin tamamının hangi karaktere sahip olacağını tamamen belirler. Payda b pozitif, negatif veya birden büyük veya birden küçük olabilir. Yukarıdaki seçeneklerin tümü farklı dizilere yol açar:

• b > 1. Artan bir rasyonel sayı dizisi vardır. Örneğin, 1, 2, 4, 8, ... Eğer a1 elemanı negatifse, o zaman tüm dizi yalnızca mutlak değerde artacak, sayıların işaretine bağlı olarak azalacaktır.
• b = 1. Aynı rasyonel sayıların sıradan bir dizisi olduğundan, genellikle bu duruma ilerleme adı verilmez. Örneğin -4, -4, -4.

Tutar formülü

Söz konusu ilerleme türünün paydasını kullanarak belirli problemlerin değerlendirilmesine geçmeden önce, ilk n öğesinin toplamı için önemli bir formül verilmelidir. Formül şuna benzer: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

İlerlemenin terimlerinin yinelemeli dizisini dikkate alırsanız, bu ifadeyi kendiniz elde edebilirsiniz. Ayrıca yukarıdaki formülde rastgele sayıda terimin toplamını bulmak için yalnızca ilk öğeyi ve paydayı bilmenin yeterli olduğunu unutmayın.

Sonsuz azalan dizi

Yukarıda ne olduğuna dair bir açıklama yapıldı. Şimdi Sn formülünü bildiğimize göre onu bu sayı serisine uygulayalım. Modülü 1'i aşmayan herhangi bir sayı büyük kuvvetlere yükseltildiğinde sıfıra yöneleceğinden, yani -1 ise b∞ => 0 olur.

(1 - b) farkı, paydanın değeri ne olursa olsun her zaman pozitif olacağından, sonsuz azalan bir geometrik ilerleme S∞'un toplamının işareti, onun ilk elemanı a1'in işareti tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Şimdi edinilen bilginin belirli sayılara nasıl uygulanacağını göstereceğimiz birkaç probleme bakalım.

Problem No. 1. İlerleme ve toplamın bilinmeyen unsurlarının hesaplanması

Geometrik bir ilerleme verildiğinde bu ilerlemenin paydası 2 ve ilk elemanı 3'tür. 7. ve 10. terimleri neye eşit olacak ve ilk yedi elemanının toplamı kaç olacaktır?

Sorunun durumu oldukça basit ve varsayılıyor doğrudan kullanım Yukarıdaki formüller. Yani n eleman sayısını hesaplamak için an = bn-1 * a1 ifadesini kullanırız. 7. element için elimizde: a7 = b6 * a1, bilinen verileri yerine koyarsak şunu elde ederiz: a7 = 26 * 3 = 192. Aynısını 10. terim için de yaparız: a10 = 29 * 3 = 1536.

Toplam için iyi bilinen formülü kullanalım ve bu değeri serinin ilk 7 elemanı için belirleyelim. Elimizde: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problem No. 2. Bir ilerlemenin keyfi unsurlarının toplamının belirlenmesi

-2, bn-1 * 4 geometrik ilerlemesinin paydasına eşit olsun; burada n bir tam sayıdır. Bu serinin 5. elemanından 10. elemanına kadar olan toplamın belirlenmesi gerekmektedir.

Ortaya çıkan problem bilinen formüller kullanılarak doğrudan çözülemez. 2 farklı yöntem kullanılarak çözülebilir. Konunun sunumunun bütünlüğü için her ikisini de sunuyoruz.

Yöntem 1. Fikir basit: İlk terimlerin karşılık gelen iki toplamını hesaplamanız ve ardından diğerini birinden çıkarmanız gerekir. Daha küçük olanı hesaplıyoruz: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Şimdi daha büyük toplamı hesaplıyoruz: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Son ifadede sadece 4 terimin toplandığını unutmayın, çünkü 5. terim zaten problemin koşullarına göre hesaplanması gereken miktara dahil edilmiştir. Son olarak farkı alıyoruz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Yöntem 2. Sayıları yerine koymadan ve saymadan önce, söz konusu serinin m ve n terimlerinin toplamı için bir formül elde edebilirsiniz. Yöntem 1'dekinin tamamen aynısını yapıyoruz, yalnızca ilk önce miktarın sembolik gösterimi ile çalışıyoruz. Elimizde: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Elde edilen ifadede bilinen sayıları değiştirebilir ve nihai sonucu hesaplayabilirsiniz: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problem No. 3. Payda nedir?

a1 = 2 olsun, sonsuz toplamı 3 olmak şartıyla geometrik ilerlemenin paydasını bulun ve bunun azalan bir sayı dizisi olduğu biliniyor.

Sorunun koşullarına göre, sorunu çözmek için hangi formülün kullanılması gerektiğini tahmin etmek zor değildir. Elbette ilerlemenin toplamı sonsuz azalıyor. Elimizde: S∞ = a1 / (1 - b) var. Paydayı buradan ifade ediyoruz: b = 1 - a1 / S∞. Geriye kalan tek şey yerine geçmek bilinen değerler ve gerekli sayıyı elde edin: b = 1 - 2/3 = -1/3 veya -0,333(3). Bu tür bir dizi için b modülünün 1'i aşmaması gerektiğini hatırlarsak bu sonucu niteliksel olarak kontrol edebiliriz. Görüldüğü gibi |-1 / 3|

Görev No. 4. Bir dizi sayıyı geri yükleme

Bir sayı serisinin 2 elemanı verilsin, örneğin 5'incisi 30'a ve 10'uncusu 60'a eşittir. Geometrik ilerlemenin özelliklerini karşıladığını bilerek tüm seriyi bu verilerden yeniden oluşturmak gerekir.

Sorunu çözmek için öncelikle bilinen her terime karşılık gelen ifadeyi yazmalısınız. Elimizde: a5 = b4 * a1 ve a10 = b9 * a1. Şimdi ikinci ifadeyi birinciye bölersek şunu elde ederiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan problem cümlesinden bilinen terimlerin oranının beşinci kökünü (b = 1,148698) alarak paydayı belirliyoruz. Ortaya çıkan sayıyı bilinen elementin ifadelerinden birine koyarsak şunu elde ederiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Böylece bn ilerlemesinin paydasını ve bn-1 * 17,2304966 = an geometrik ilerlemesini bulduk, burada b = 1,148698.

Geometrik ilerlemeler nerede kullanılır?

Bu sayı serisinin pratik bir uygulaması olmasaydı, o zaman onun çalışması tamamen teorik ilgiye indirgenirdi. Ama böyle bir uygulama var.

Aşağıda en ünlü 3 örneği bulabilirsiniz:

• Çevik Aşil'in yavaş kaplumbağayı yakalayamadığı Zeno paradoksu, sonsuz azalan sayı dizisi kavramı kullanılarak çözülür.
• Her hücre için ise satranç tahtası buğday tanelerini koyun, böylece 1. hücreye 1 tane, 2. - 2'ye, 3. - 3'e vb. koyun, ardından tahtanın tüm hücrelerini doldurmak için 18446744073709551615 taneye ihtiyacınız olacak!
• "Tower of Hanoi" oyununda diskleri bir çubuktan diğerine taşımak için 2n - 1 işlem gerçekleştirmek gerekir, yani sayıları kullanılan disk sayısı n ile katlanarak artar.