Trigonometrik eşitlikler. Temel trigonometrik özdeşlikler, formülasyonları ve türetilmesi

Sinüs (sin x) ve kosinüs (cos x) trigonometrik fonksiyonlarına ilişkin referans bilgileri. Geometrik tanım, özellikler, grafikler, formüller. Sinüs ve kosinüs tablosu, türevler, integraller, seri açılımları, sekant, kosekant. Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler. Hiperbolik fonksiyonlarla bağlantı.

Sinüs ve kosinüsün geometrik tanımı

|BD|- merkezi bir noktada olan daire yayının uzunluğu A.
α - radyan cinsinden ifade edilen açı.

Tanım
Sinüs (sin α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve uzunluğun oranına eşit olan trigonometrik bir fonksiyondur karşı bacak|BC| hipotenüs uzunluğuna |AC|.

Kosinüs (cos α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve uzunluğun oranına eşit olan trigonometrik bir fonksiyondur bitişik bacak|AB| hipotenüs uzunluğuna |AC|.

Kabul edilen gösterimler

;
;
.

;
;
.

Sinüs fonksiyonunun grafiği, y = sin x

Kosinüs fonksiyonunun grafiği, y = cos x

Sinüs ve kosinüsün özellikleri

Periyodiklik

Fonksiyonlar y = günah x ve y = çünkü x dönemli periyodik 2π.

Parite

Sinüs fonksiyonu tektir. Kosinüs fonksiyonu çifttir.

Tanım ve değerler alanı, ekstrema, artış, azalma

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları kendi tanım alanlarında, yani tüm x'ler için süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır (n - tamsayı).

Temel formüller

Sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı

Toplam ve farktan sinüs ve kosinüs formülleri

;
;

Sinüs ve kosinüslerin çarpımı için formüller

Toplam ve fark formülleri

Sinüsün kosinüsle ifade edilmesi

;
;
;
.

Kosinüsün sinüs yoluyla ifade edilmesi

;
;
;
.

Teğet yoluyla ifade

; .

Ne zaman elimizde:
; .

Şurada:
; .

Sinüs ve kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu

Bu tablo, argümanın belirli değerleri için sinüs ve kosinüs değerlerini gösterir.

Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler

;

Euler'in formülü

{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Ters fonksiyonlar

Ters fonksiyonlar sinüs ve kosinüs sırasıyla arksinüs ve arkkosinüstür.

Arsin, arksin

Arccosin, arccos

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

“A Alın” video kursu başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte 60-65 puan. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematik. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor Püf Noktalarıçözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

Teğet (tg x) ve kotanjant (ctg x) için referans verileri. Geometrik tanım, özellikler, grafikler, formüller. Teğet ve kotanjant tablosu, türevler, integraller, seri açılımları. Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler. Hiperbolik fonksiyonlarla bağlantı.

Geometrik tanım

|BD| - A noktasında merkezi olan bir daire yayının uzunluğu.
α, radyan cinsinden ifade edilen açıdır.

Teğet ( ten rengi α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve karşı kenarın uzunluğunun oranına eşit olan |BC| bitişik bacağın uzunluğuna |AB| .

Kotanjant ( ctg α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve bitişik kenarı |AB| uzunluğunun oranına eşit olan trigonometrik bir fonksiyondur. karşı bacağın uzunluğuna |BC| .

Teğet

Nerede N- tüm.

Batı literatüründe teğet şu şekilde ifade edilir:
.
;
;
.

Teğet fonksiyonunun grafiği, y = tan x

Kotanjant

Nerede N- tüm.

Batı literatüründe kotanjant şu şekilde ifade edilir:
.
Aşağıdaki gösterimler de kabul edilir:
;
;
.

Kotanjant fonksiyonunun grafiği, y = ctg x

Teğet ve kotanjantın özellikleri

Periyodiklik

Fonksiyonlar y = tg x ve y = ctgxπ periyodu ile periyodiktir.

Parite

Teğet ve kotanjant fonksiyonlar tektir.

Tanım ve değer alanları, artan, azalan

Teğet ve kotanjant fonksiyonlar kendi tanım alanlarında süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Teğet ve kotanjantın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır ( N- tüm).

Formüller

Sinüs ve kosinüs kullanan ifadeler

; ;
; ;
;

Toplam ve farktan teğet ve kotanjant formülleri

Geriye kalan formüllerin elde edilmesi kolaydır; örneğin

Teğetlerin çarpımı

Teğetlerin toplamı ve farkı için formül

Bu tablo, argümanın belirli değerleri için teğet ve kotanjant değerlerini sunar.

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler

;
;

Türevler

; .

.
Fonksiyonun x değişkenine göre n'inci dereceden türevi:
.
Teğet formüllerinin türetilmesi > > >; kotanjant için > > >

İntegraller

Seri genişletmeler

Teğetin x'in kuvvetleri cinsinden açılımını elde etmek için, açılımın birkaç terimini almanız gerekir. güç serisi işlevler için günah x Ve çünkü x ve bu polinomları birbirine bölelim, . Bu, aşağıdaki formülleri üretir.

tarihinde.

.
Nerede Bn- Bernoulli sayıları. Bunlar ya yineleme ilişkisinden belirlenir:
;
;
Nerede .
Veya Laplace'ın formülüne göre:

Ters fonksiyonlar

Teğet ve kotanjantın ters fonksiyonları sırasıyla arktanjant ve arkkotanjanttır.

Arktanjant, arktg

, Nerede N- tüm.

Arkotanjant, arkctg

, Nerede N- tüm.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
G. Korn, Bilim Adamları ve Mühendisler için Matematik El Kitabı, 2012.

Trigonometrik kimlikler- bunlar, bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bir ilişki kuran ve diğerlerinin bilinmesi koşuluyla bu işlevlerden herhangi birini bulmanızı sağlayan eşitliklerdir.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Bu kimlik, bir açının sinüsünün karesi ile bir açının kosinüsünün karesinin toplamının bire eşit olduğunu söyler; bu, pratikte, kosinüsü bilindiğinde bir açının sinüsünü hesaplamayı mümkün kılar ve bunun tersi de geçerlidir. .

Trigonometrik ifadeleri dönüştürürken, bu kimlik sıklıkla kullanılır; bu, bir açının kosinüs ve sinüsünün karelerinin toplamını bir ile değiştirmenize ve ayrıca değiştirme işlemini ters sırada gerçekleştirmenize olanak tanır.

Sinüs ve kosinüs kullanarak teğet ve kotanjantı bulma

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Bu kimlikler sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından oluşur. Sonuçta, eğer ona bakarsanız, tanım gereği y ordinatı bir sinüstür ve apsis x bir kosinüstür. O zaman teğet orana eşit olacaktır \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ve oran \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bir kotanjant olacaktır.

Şunu da ekleyelim ki, ancak içerdikleri trigonometrik fonksiyonların anlamlı olduğu \alpha açıları için özdeşlikler geçerli olacaktır, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Örneğin: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) farklı olan \alpha açıları için geçerlidir \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z dışında bir \alpha açısı için z bir tamsayıdır.

Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Bu özdeşlik yalnızca farklı olan \alpha açıları için geçerlidir. \frac(\pi)(2) z. Aksi takdirde kotanjant veya tanjant belirlenmeyecektir.

Yukarıdaki noktalara dayanarak şunu elde ederiz: tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Şunu takip ediyor tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dolayısıyla aynı açının anlamlı olduğu tanjant ve kotanjant karşılıklı olarak ters sayılardır.

Teğet ve kosinüs, kotanjant ve sinüs arasındaki ilişkiler

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \alfa açısı ile 1'in tanjantının karesinin toplamı, bu açının kosinüsünün ters karesine eşittir. Bu kimlik, dışındaki tüm \alpha için geçerlidir. \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ile \alfa açısının kotanjantının karesinin toplamı, verilen açının sinüsünün ters karesine eşittir. Bu kimlik \pi z'den farklı herhangi bir \alpha için geçerlidir.

Trigonometrik kimlikleri kullanan problemlerin çözümlerine örnekler

örnek 1

\sin \alpha ve tg \alpha'yı bulun, eğer \cos \alpha=-\frac12 Ve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Çözümü göster

Çözüm

\sin \alpha ve \cos \alpha fonksiyonları aşağıdaki formülle ilişkilidir \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bu formülde yerine koyma \cos \alpha = -\frac12, şunu elde ederiz:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Bu denklemin 2 çözümü vardır:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Koşullara göre \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci çeyrekte sinüs pozitiftir, yani \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Tan \alpha'yı bulmak için formülü kullanırız tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Örnek 2

\cos \alpha ve ctg \alpha if ve'yi bulun \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Çözümü göster

Çözüm

Formülde yerine koyma \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 verilen numara \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), alıyoruz \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Bu denklemin iki çözümü var \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Koşullara göre \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci çeyrekte kosinüs negatiftir, yani \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Ctg \alpha'yı bulmak için formülü kullanırız ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Karşılık gelen değerleri biliyoruz.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).