Ev / Arpa/ Bir serinin toplamını çevrimiçi hesaplayın. Geometrik ilerleme. Örneklerle kapsamlı rehber (2019)

Bir serinin toplamını çevrimiçi hesaplayın. Geometrik ilerleme. Örneklerle kapsamlı rehber (2019)

David Berman, Marianne Freiberger

Geçtiğimiz günlerde çok tuhaf bir sonuç tartışıldı. Tüm doğal sayıları topladığınızda

o zaman toplam eşit olacaktır. Bu fikir videoda gösterilmiştir Numarasever Sonucun kanıtlandığını belirten ve aynı zamanda fizikte yaygın olarak kullanıldığını söyleyen. Bu fikir insanları o kadar şaşırttı ki New York Times'a bile yansıdı. Peki tüm bunlar ne anlama geliyor?

Matematik

Öncelikle hepsinin sonsuz toplamı doğal sayılar eşit değil Hesap makinesinde kısmi tutarları hesaplayarak bunu kolayca doğrulayabilirsiniz.

ve benzeri. büyüdükçe, yani eklenen doğal sayıların sayısı arttıkça daha da büyür. Aslında yeterince büyük seçerseniz istediğiniz kadar büyük yapabilirsiniz. Örneğin, eğer alırsanız

Ve aldığın zaman

Bu nedenle matematikçiler bu serinin ıraksak olduğunu söylüyor. Ya da daha gevşek bir ifadeyle toplamın sonsuza eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Srinivasa Ramanujan

Peki nereden geliyor? Aslında yanlış sonuç, ünlü Hintli matematikçi Srinivasa Ramanujan'ın 1913'teki çalışmasında da ortaya çıktı. Ancak Ramanujan ne yaptığını biliyordu ve bunu yazmak için bir nedeni vardı. Euler zeta fonksiyonu olarak adlandırılan fonksiyonu inceledi. Bunun ne olduğunu anlamak için önce sonsuz bir toplamı düşünelim.

Doğal sayıların karelerinin karşılıkları toplandığında bu toplamın elde edildiğini görebilirsiniz:

Şimdi bu miktar farklı değil. Yukarıda yaptığımız gibi kısmi toplamlar dizisini dikkate alırsak,

o zaman elde edilen sonuçlar istenilen sayıya yakın olacak ancak asla onu geçmeyecektir. Matematikçiler bir serinin 'ye yakınsadığını veya daha genel bir ifadeyle serilerin toplamının 'ye eşit olduğunu söylerler.

Şimdi paydadaki doğal sayıların karesini almak yerine onları başka bir kuvvete yükseltirsek ne olacağını görelim. Karşılık gelen miktarın olduğu ortaya çıktı

Derecenin 'den büyük bir sayı olması durumunda nihai bir değere yakınsar. Her başlık için="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь !} seçkin matematikçi 17. yüzyıl, Leonhard Euler.

Şimdiye kadar, çok iyi. Peki sayıların daha küçük olduğunu düşünürsek ne olur? Örneğin, alırsanız ne olur? Bir göz atalım.

Böylece ıraksak olduğunu bildiğimiz orijinal toplamımızı elde ettik. Aynı şey şuna eşit veya daha küçük diğer değerler için de geçerlidir: toplam ıraksar.

Yorum. Euler'in zeta fonksiyonunun devamı. Dikkate alınan Euler zeta fonksiyonu, 'den büyük gerçek sayılar için tanımlanır. Gerçek sayılar, karmaşık sayılar adı verilen daha geniş bir sayı ailesinin parçasıdır. Reel sayılar sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalara karşılık gelirken, karmaşık sayılar reel sayı doğrusunu içeren düzlemdeki tüm noktalara karşılık gelir. Bu düzleme karmaşık düzlem denir. Argümanları gerçel sayı olan fonksiyonlar tanımlandığı gibi, argümanları karmaşık sayı olan fonksiyonlar da tanımlanabilir.

Bir Muhteşem gerçek Karmaşık değişkenli fonksiyonlarla ilgili olan şey, eğer bir veri kümesindeki bir fonksiyonun değerini biliyorsanız, o zaman (birkaç teknik ayrıntıya kadar) karmaşık düzlemin herhangi bir noktasındaki fonksiyonun değerini de bilebilirsiniz. Bir fonksiyonun tanım kümesini genişletmenin bu yöntemine analitik devamlılık denir. Euler'in zeta işlevi, 'den büyük gerçek sayılar için tanımlanır. Gerçek sayılar karmaşık sayılar olduğu için, bu fonksiyonu karmaşık bir fonksiyon olarak ele alabiliriz ve ardından tüm düzlem üzerinde tanımlanan, ancak 'den büyük gerçek sayılar için Euler zeta fonksiyonuyla tutarlı yeni bir fonksiyon elde etmek için analitik devamı kullanabiliriz. Bu Riemann zeta fonksiyonudur.

Yapılabilecek bir şey daha var. Güçlü matematik kullanma ( kapsamlı analizler bkz. açıklama), Euler zeta fonksiyonunun tanım alanını genişletebiliriz, böylece bundan küçük veya eşit sayılar için bu fonksiyon sonlu değerler alır. Başka bir deyişle, yeni bir işlev tanımlamanın bir yolu var, hadi onu çağıralım, böylece title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}

Ve fonksiyon için belirli nihai değerleri alacaktır. Bu yönteme analitik süreklilik adı veriliyor ve ürettiği yeni fonksiyona, adını 18. yüzyıl matematikçisi Bernhard Riemann'dan alan Riemann zeta fonksiyonu adı veriliyor. (Sonlu değerler alan bu yeni fonksiyonun yaratılması, ıraksak bir seriden başka bir ıraksak serinin çıkarılmasını içerir, böylece ilk ıraksak toplamdan elde edilen sonsuzluk eksi ikinci ıraksak toplamdan elde edilen sonsuzluk sonlu bir şeye eşittir.)

İyi. Artık title="Rendered by QuickLaTeX.com için bir fonksiyonumuz var." height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}

Ve eğer bunu varsayma hatasını yaparsanız, o zaman (yanlış) eşitliği elde edersiniz.

Bu, Ramanujan'ın bu gizemli ifadeyi neden yazdığını açıklıyor.

Marifetli

Peki videodaki kişiler tüm doğal sayıların toplamının eşit olduğunu nasıl “kanıtladılar”? Aslında bunu yapmadılar. Bu videoyu izlemek, bir sihirbazı izlemeye ve tavşanın şapkaya ne zaman indirildiğini belirlemeye çalışmaya benziyor. "Kanıtın" ilk adımı sizi oldukça aptalca bir şeye, yani sonsuz miktardaki bir şeye ikna etmeye çalışır.

Video bu konu üzerinde uzun süre durmuyor ve bunun apaçık olduğunu ima ediyor gibi görünüyor. Ancak bunun mantıklı olup olmadığını görmek için buna daha yakından bakalım. Toplam sonlu bir sayıya eşit olsun, buna . Kendimize ekleyerek sonsuz bir toplam elde ederiz

Ancak bu yalnızca başlangıç miktarıdır.

Çünkü bu doğru değil. Dolayısıyla sonsuz bir toplamın eşit kabul edilebileceği ifadesi doğru değildir. Aslında alabilirsin farklı sonuçlar birbirinden ayrılan sonsuz miktarlar kullanılarak. Bu bir hile!

Fizik

Peki bu ilginç yanlış sonuç nasıl oldu da videoda gösterildiği gibi bir fizik ders kitabına girdi? İşlerin gerçekten ilginçleştiği yer burası. İki iletken metal plaka aldığınızı ve bunları vakumda birbirlerine paralel olacak şekilde yerleştirdiğinizi varsayalım. Klasik fiziğe göre bu iki levha arasında herhangi bir kuvvetin olmaması gerekir.

Casimir etkisi

Ancak klasik fizik, dünyaya çok küçük ölçeklerde baktığınızda gördüğünüz tuhaf etkileri hesaba katmıyor. Bunları hesaba katmak için çok tuhaf şeyler iddia eden kuantum fiziğine ihtiyacımız var. Bunlardan biri, boşluğun boş olmaması, aktivite dolu olmasıdır. İçinde sanal parçacıklar olarak adlandırılan parçacıklar her zaman ortaya çıkar ve kaybolur. Bu aktivite sıfır noktası enerjisi olarak adlandırılan şeyi üretir: Bir şeyin sahip olabileceği en düşük enerji asla sıfır değildir. Matematik veya kuantum fiziğini kullanarak iki plaka arasındaki toplam enerji yoğunluğunu hesaplamaya çalıştığınızda sonsuz bir toplam elde edersiniz.

Bu sonsuz toplam aynı zamanda değeri Euler'in zeta fonksiyonuna bağladığınızda elde ettiğiniz sonuçtur:

Bu talihsiz bir durumdur çünkü bu toplam ıraksar (bunu `dan bile daha hızlı yapar) ve bu da sonsuz bir enerji yoğunluğu anlamına gelir. Bu açıkça saçmalıktır. Peki ya sonsuz toplamın Euler zeta fonksiyonu yerine Riemann zeta fonksiyonuna eşit olduğunu küstahça varsayarsanız? O zaman sonlu bir enerji yoğunluğu elde edersiniz. Bu, metal plakalar arasında çekici bir kuvvetin olması gerektiği anlamına gelir ki bu da saçma görünüyor, çünkü klasik fizik hiçbir kuvvetin olmaması gerektiğini öne sürüyor.

Ama burada bir sürpriz var. Fizikçiler deneyi yaptıklarında kuvvetin gerçekten var olduğunu ve bu kuvvetin tam olarak !'ye eşit bir enerji yoğunluğuna karşılık geldiğini keşfettiler.

Bu şaşırtıcı fiziksel sonuç, Hollandalı fizikçi Hendrik Casimir'in adını taşıyan Casimir etkisi olarak biliniyor.

Bunu takdir etmek için bir dakikanızı ayırın. Kuantum fiziği enerji yoğunluğunun eşit olması gerektiğini söylüyor

Bu saçmalık, ancak deneyler gösteriyor ki, eğer bu miktarı (yanlışlıkla) hesaplarsanız değere eşit zeta fonksiyonunu kullanarak doğru cevabı alacaksınız. Öyle görünüyor ki doğa Ramanujan'ın fikirlerini takip ediyor. Sonlu bir değere ulaşmak için sonsuzluğu akıllıca çıkararak Euler'in zeta fonksiyonunu 'den daha küçük değerleri içerecek şekilde genişletti. Bu harika!

Hem Numberphile videosunda hem de fizik ders kitabında görmemizin ve görmememizin nedeni, Casimir etkisinin tek boyutta (3 boyutlu değil, bir çizgi boyunca) gerçekleştiğini hayal ettiğinizde, düşündüğünüz enerji yoğunluğunun eşit olmasıdır. .

Peki Numberphile'daki insanlar neden bu garip "sonucu" tanıtıyorlar? Elbette analitik devamı biliyorlar, bu da fonksiyonu oldukça spesifik kılıyor, ancak bu onların videoları için fazla teknik bir konu. Nihai sonucu makul kılan analitik devam yöntemini bilerek arka ceplerinde saklayarak akıllıca ilerlediler. Bunu yaparken bir milyonun üzerinde görüntüleme aldılar ve dünya zeta fonksiyonu ve matematik hakkında konuşmaya başladı. Bu konuda tebrik edilebilirler. Zeta fonksiyonunun matematiği harikadır ve burada anlattıklarımız sadece başlangıçtır. uzun liste inanılmaz matematiksel özellikler. Matematiği ve fiziği popülerleştirirken her zaman neyi anlatıp neyi açıklayacağımız konusunda seçim yapmak zorunda kalıyoruz. Bu çizgiyi nereye çekeceğimiz bize bağlıdır.

İçin bir serinin toplamını hesaplama, satırın öğelerini belirli sayıda eklemeniz yeterlidir. Örneğin:

Yukarıdaki örnekte, sonlu sayıda toplanması gerektiğinden bu çok basit bir şekilde yapıldı. Peki ya toplamanın üst sınırı sonsuzsa? Örneğin aşağıdaki serinin toplamını bulmamız gerekirse:

Önceki örneğe benzeterek bu tutarı şu şekilde yazabiliriz:

Peki bundan sonra ne yapmalı? Bu aşamada kavramı tanıtmak gerekir. serinin kısmi toplamı. Bu yüzden, serinin kısmi toplamı(S n ile gösterilir) serinin ilk n teriminin toplamıdır. Onlar. bizim durumumuzda:

Daha sonra orijinal serinin toplamı, kısmi toplamın limiti olarak hesaplanabilir:

Böylece, bir serinin toplamını hesaplama(S n ) serisinin kısmi toplamı için bir şekilde bir ifade bulmak gerekir. Bizim özel durumumuzda seri, paydası 1/3 olan azalan bir geometrik ilerlemedir. Bildiğiniz gibi geometrik ilerlemenin ilk n elemanının toplamı şu formülle hesaplanır:

burada b 1 geometrik ilerlemenin ilk elemanıdır (bizim durumumuzda 1'dir) ve q ilerlemenin paydasıdır (bizim durumumuzda 1/3). Bu nedenle serimiz için kısmi toplam S n şuna eşittir:

O halde yukarıda verilen tanıma göre serilerimizin (S) toplamı şuna eşittir:

Yukarıda tartışılan örnekler oldukça basittir. Genellikle bir serinin toplamını hesaplamak çok daha zordur ve en büyük zorluk serinin kısmi toplamını bulmaktır. Aşağıda öne çıkanlar cevrimici hesap makinesi Wolfram Alpha sistemini temel alan oldukça karmaşık serilerin toplamını hesaplamanıza olanak tanır. Üstelik hesap makinesi bir serinin toplamını bulamadıysa serinin ıraksak olması muhtemeldir (bu durumda hesap makinesi “toplam ırakıyor” gibi bir mesaj görüntüler), yani Bu hesaplayıcı aynı zamanda dolaylı olarak serilerin yakınsaması hakkında fikir edinmeye de yardımcı olur.

Serinizin toplamını bulmak için serinin değişkenini, toplamın alt ve üst sınırlarını ve ayrıca serinin n'inci terimine ilişkin ifadeyi (yani serinin kendisine ait gerçek ifadeyi) belirtmeniz gerekir. .

Tüm doğal sayıların toplamı aşağıdaki sayı serisi kullanılarak yazılabilir.

İlk bakışta tamamen mantığa aykırı olan bu sonuç yine de titizlikle kanıtlanabilir. Ancak ispattan bahsetmeden önce bir adım geriye gitmemiz ve temel kavramları hatırlamamız gerekiyor.

Bir serinin “klasik” toplamının, eğer seri varsa ve sonluysa kısmi toplamlarının limiti olduğu gerçeğiyle başlayalım. Ayrıntıları Vikipedi'de ve ilgili literatürde bulabilirsiniz. Sonlu bir limit yoksa serinin ıraksak olduğu söylenir.

Örneğin 1 + 2 + 3 + 4 +... sayı serisinin ilk k teriminin kısmi toplamı şu şekilde yazılır:

K sonsuza doğru yöneldikçe bu toplamın sınırsız arttığını anlamak kolaydır. Sonuç olarak, orijinal seri ıraksaktır ve kesin olarak söylemek gerekirse toplamı yoktur. Ancak ıraksak serilere son değer atamanın birçok yolu vardır.

Sıra 1+2+3+4+... birbirinden ayrılan tek sıra değil. Örneğin Grundy serisini ele alalım

Bu da farklılaşıyor ancak Cesaro'nun toplama yönteminin bu seriye 1/2 gibi sonlu bir değer atamamıza izin verdiği biliniyor. Cesaro'ya göre toplama, bir serinin kısmi toplamlarıyla değil, aritmetik ortalamalarıyla işlem yapmaktan ibarettir. Özgürce düşünmemize izin verirsek, Grundy serisinin kısmi toplamlarının, serinin hangi üyesinin toplamda sonuncu olduğuna (+1 veya -1) bağlı olarak 0 ile 1 arasında salındığını, dolayısıyla değerinin olduğunu söyleyebiliriz. 1/2, aritmetik olarak kısmi toplamların iki olası değerinin ortalamasıdır.

Iraksak serilerin bir başka ilginç örneği, kısmi toplamları da salınan 1 - 2 + 3 - 4 +... alternatif serisidir. Abel yöntemiyle toplama, belirli bir seriye 1/4'lük bir son değer atamamıza olanak tanır. Abel'ın yönteminin bir bakıma Cesaro'nun toplama yönteminin geliştirilmiş hali olduğuna dikkat edin, dolayısıyla 1/4 sonucunun sezgi açısından anlaşılması kolaydır.

Toplama yöntemlerinin matematikçilerin ıraksak serilerle bir şekilde başa çıkmak için buldukları hileler olmadığını burada belirtmek önemlidir. Yakınsak bir seriye Cesaro toplamı veya Abel yöntemini uygularsanız, bu yöntemlerin verdiği cevap, yakınsak bir serinin klasik toplamına eşittir.

Ancak ne Cesaro'nun toplamı ne de Abel'in yöntemi 1 + 2 + 3 + 4 +... serisiyle çalışmaya izin vermez, çünkü kısmi toplamların aritmetik ortalamaları ve aritmetik ortalamaların aritmetik ortalamaları birbirinden farklıdır. Ayrıca, 1/2 veya 1/4 değerleri bir şekilde kabul edilebilir ve karşılık gelen serilerle ilişkilendirilebilirse, o zaman -1/12'nin 1 + 2 + 3 + 4 +... serisiyle ilişkilendirilmesi zordur, bu pozitif tam sayıların sonsuz dizisidir.

-1/12 sonucuna ulaşmanın birkaç yolu vardır. Bu notta bunlardan sadece biri üzerinde, yani zeta fonksiyonuyla düzenlileştirme üzerinde kısaca duracağım. Zeta fonksiyonunu tanıtalım

Değiştirme s = -1, orijinal sayı serisini 1+2+3+4+… elde ederiz. Bu fonksiyon üzerinde bir dizi basit matematik işlemi gerçekleştirelim

Dirichlet eta işlevi nerede

Ne zaman değer s = -1 bu fonksiyon zaten tanıdık olan 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... dizisi haline gelir ve "toplamı" 1/4'e eşittir. Artık denklemi kolayca çözebiliriz

İlginç bir şekilde bu sonuç fizikte uygulama alanı buluyor. Örneğin sicim teorisinde. Joseph Polchinski'nin “Sicim Teorisi” kitabının 22. sayfasına dönelim:

Eğer bazı insanlar için sicim teorisi ikna edici bir örnek değilse, bu teorinin birçok sonucu için kanıt bulunmaması nedeniyle, o zaman Casimir etkisini hesaplamaya çalışırken kuantum alan teorisinde de benzer yöntemlerin ortaya çıktığı söylenebilir.

İki kez gitmekten kaçınmak için zeta işleviyle ilgili birkaç ilginç örnek daha var

Konuyla ilgili daha fazla bilgi edinmek isteyenler için, bu notu “Bağlantılar” bölümünde birçok şey bulabileceğiniz Wikipedia'daki ilgili makaleyi tercüme ettikten sonra yazmaya karar verdiğimi belirtmek isterim. ek malzeme, çoğunlukla İngilizce.

Fizik ve matematikteki bazı problemler özellikler kullanılarak çözülebilir sayı serisi. Okullarda öğretilen en basit iki sayı dizisi cebirsel ve geometriktir. Bu yazımızda toplamın nasıl bulunacağı sorusuna daha yakından bakacağız. sonsuz ilerleme geometrik azalma.

İlerleme geometrik

Bu kelimeler, elemanları a i şu ifadeyi karşılayan bir dizi gerçek sayı anlamına gelir:

Burada i serideki eleman sayısı, r ise payda adı verilen sabit bir sayıdır.

Bu tanım, ilerlemenin herhangi bir üyesini ve paydasını bilerek tüm sayı dizisini geri yükleyebileceğinizi gösterir. Örneğin, 10. element biliniyorsa, bunu r'ye bölerek 9. elementi, tekrar bölerek 8. elementi elde edeceğiz ve bu böyle devam edecek. Bu basit argümanlar, söz konusu sayı dizisi için geçerli olan bir ifadeyi yazmamıza olanak tanır:

Paydası 2 olan bir ilerleme örneği aşağıdaki seri olabilir:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Payda -2'ye eşitse tamamen farklı bir seri elde edilir:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrik ilerleme cebirsel ilerlemeden çok daha hızlıdır, yani terimleri hızla artar ve hızla azalır.

i ilerleme koşullarının toplamı

Pratik problemleri çözmek için genellikle söz konusu sayısal dizinin çeşitli elemanlarının toplamını hesaplamak gerekir. Bu durum için aşağıdaki formül geçerlidir:

S ben = a 1 *(r ben -1)/(r-1)

İ terimlerinin toplamını hesaplamak için yalnızca iki sayıyı bilmeniz gerektiği görülebilir: a 1 ve r; bu mantıklıdır, çünkü bunlar tüm diziyi benzersiz bir şekilde belirler.

Azalan dizi ve terimlerinin toplamı

Şimdi özel bir duruma bakalım. Payda r modülünün biri geçmediğini, yani -1 olduğunu varsayacağız.

Azalan bir geometrik ilerlemeyi dikkate almak ilginçtir çünkü terimlerinin sonsuz toplamı sonlu bir gerçek sayıya eğilimlidir.

Toplamın formülünü alalım.Bir önceki paragrafta S i için verilen ifadeyi yazarsanız bunu yapmak kolaydır. Sahibiz:

S ben = a 1 *(r ben -1)/(r-1)

i->∞ durumunu ele alalım. Paydanın modülü 1'den küçük olduğundan onu sonsuz bir kuvvete yükseltmek sıfır verecektir. Bu, r=0,5 örneği kullanılarak kontrol edilebilir:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Sonuç olarak, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı şu şekli alacaktır:

Bu formül genellikle pratikte, örneğin şekillerin alanlarını hesaplamak için kullanılır. Aynı zamanda Elea'lı Zenon'un kaplumbağa ve Aşil ile olan paradoksunu çözmek için de kullanılır.

Sonsuz bir geometrik artan ilerlemenin toplamı dikkate alındığında (r>1) S ∞ = +∞ sonucunun elde edileceği açıktır.

Bir ilerlemenin ilk terimini bulma görevi

Yukarıdaki formüllerin nasıl uygulanacağını bir problem çözme örneği kullanarak gösterelim. Sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamının 11 olduğu bilinmektedir. Üstelik 7. terimi üçüncü teriminden 6 kat daha azdır. Bu sayı serisinin ilk elemanı nedir?

Öncelikle 7. ve 3. elementleri belirlemek için iki ifade yazalım. Şunu elde ederiz:

İlk ifadeyi ikinciye bölüp paydayı ifade edersek:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Yedinci ve üçüncü terimlerin oranı problem ifadesinde verildiğinden, bunu yerine koyup r'yi bulabilirsiniz:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

R'yi beş ondalık basamağa kadar hesapladık. Ortaya çıkan değer birden küçük olduğundan ilerleme azalıyor, bu da formülün sonsuz toplamı için kullanılmasını haklı çıkarıyor. İlk terimin ifadesini S ∞ toplamı üzerinden yazalım:

Bilinen değerleri bu formülde yerine koyarız ve cevabı alırız:

a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Zeno'nun hızlı Aşil ve yavaş kaplumbağa ile ünlü paradoksu

Elealı Zeno, M.Ö. 5. yüzyılda yaşamış ünlü bir Yunan filozofudur. e. Matematikteki sonsuz büyük ve sonsuz küçük probleminin formüle edildiği günümüze kadar bu konunun bazı doruk noktaları veya paradoksları ulaşmıştır.

Zeno'nun ünlü paradokslarından biri Aşil ile kaplumbağa arasındaki rekabettir. Zeno, eğer Aşil kaplumbağaya uzaktan bir avantaj sağlarsa ona asla yetişemeyeceğine inanıyordu. Örneğin Aşil'in, örneğin 100 metre önünde sürünen bir hayvandan 10 kat daha hızlı koştuğunu varsayalım. Savaşçı 100 metre koştuğunda kaplumbağa 10 metre sürünerek uzaklaşır, tekrar 10 metre koşan Aşil, kaplumbağanın 1 metre daha süründüğünü görür. Bu şekilde sonsuza kadar tartışabilirsiniz, rakipler arasındaki mesafe gerçekten azalacak ama kaplumbağa her zaman önde olacak.

Zeno'yu hareketin var olmadığı ve etrafındaki nesnelerin tüm hareketlerinin bir yanılsama olduğu sonucuna götürdü. Elbette antik Yunan filozofu yanılıyordu.

Paradoksun çözümü, sürekli azalan parçaların sonsuz toplamının sonlu bir sayıya yönelmesi gerçeğinde yatmaktadır. Yukarıdaki durumda Aşil'in koştuğu mesafe için şunu elde ederiz:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Sonsuz geometrik ilerlemenin toplamına ilişkin formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metre

Bu sonuç, Aşil'in kaplumbağaya yalnızca 11.111 metre süründüğünde yetişeceğini göstermektedir.

Eski Yunanlılar matematikte sonsuz niceliklerle nasıl çalışılacağını bilmiyorlardı. Ancak Aşil'in aşması gereken sonsuz sayıdaki boşluklara değil, koşucunun hedefine ulaşmak için ihtiyaç duyduğu adımların sonlu sayısına dikkat edersek bu paradoks çözülebilir.

Bölümün başında notasyonu tanıtarak, sonsuz toplamlar sorusundan akıllıca kaçındık ve esasen şöyle dedik: "Bunu sonraya bırakalım. Bu arada, ortaya çıkan tüm toplamların yalnızca sonlu sayıda sıfır olmayan terimden oluştuğunu varsayabiliriz! Ama nihayet hesaplaşma zamanı geldi; şu gerçekle yüzleşmemiz gerekiyor:

miktarlar sonsuz olabilir. Ve gerçekte, sonsuz miktarlar hem hoş hem de nahoş durumlarla birlikte gelir.

İlk olarak, tatsızlık hakkında: Toplamları işlerken kullandığımız yöntemlerin sonsuz toplamlar için her zaman geçerli olmadığı ortaya çıktı. Şimdi işin iyi tarafına gelelim: Gerçekleştirdiğimiz tüm işlemlerin tamamen yasal olduğu, sonsuz toplamların basit bir şekilde düzenlenmiş geniş bir sınıfı var. Toplamanın gerçek anlamını öğrendikten sonra her iki durumun da arkasında yatan nedenler netleşecektir.

Herkes nihai toplamın ne olduğunu bilir: Tüm terimleri, hepsi toplanana kadar birbiri ardına toplama ekleriz. Ancak başımızı belaya sokmamak için sonsuz bir miktarın daha hassas belirlenmesi gerekir.

2'ye eşittir, çünkü ikiye katladığımızda şunu elde ederiz:

Ancak daha sonra aynı mantığı takip ederek tutarı hesaplamamız gerekir.

-1'e eşit çünkü ikiye katladığımızda şunu elde ederiz:

Tuhaf bir şeyler oluyor: Pozitif değerleri toplayarak nasıl negatif bir sayı elde edebilirsiniz? T'nin toplamını tanımsız bırakmak daha iyi gibi görünüyor ve belki de T'deki terimlerin herhangi bir sabit sonlu sayıdan daha büyük olduğu için bunu varsaymalıyız. (Miktarın denklemin başka bir “çözümü” olduğuna dikkat edin; aynı zamanda denklemi de “çözer”

K kümesinin sonsuz olabileceği keyfi bir toplamın değerinin uygun bir tanımını vermeye çalışalım. Başlangıç olarak, a'nın tüm terimlerinin negatif olmadığını varsayalım. Bu durumda uygun bir tanım bulmak zor değildir: eğer herhangi bir sonlu alt küme için öyle bir A sınırlayıcı sabiti varsa:

o zaman toplamı böyle A'ların en küçüğü olarak alırız. (Gerçek sayıların iyi bilinen özelliklerinden anlaşılacağı gibi, böyle A'ların kümesi her zaman en küçük elemanı içerir.) Ancak böyle bir A sınırlayıcı sabiti mevcut değilse , bunu şu anlama getiriyoruz: eğer A -

Bir reel sayı varsa, o zaman a'nın toplamı A'yı aşan sonlu sayıda terimi vardır.

Önceki paragraftaki tanım o kadar hassas formüle edilmiştir ki, K indeks kümesinde olabilecek herhangi bir sıraya bağlı değildir. Dolayısıyla vereceğimiz argümanlar sadece bir tamsayılar kümesi üzerindeki toplamlar için geçerli olmayacak, ama aynı zamanda birçok indeksli çoklu toplamlar için

Özellikle, K negatif olmayan tam sayılar kümesi olduğunda, negatif olmayan terimlere ilişkin tanımımız şu anlama gelir:

Nedeni de şu: azalmayan herhangi bir reel sayı dizisinin bir limiti vardır (muhtemelen şuna eşittir: Bu limit eşitse, negatif olmayan bazı sonlu tamsayılar kümesi; bunların hepsi o zaman olur; bu nedenle, ya da A bir sınırlayıcı sabittir. Ancak A, A'nın belirtilen sınırlarından daha az bir sayı ise, o zaman ek olarak sonlu bir kümenin A'nın sınırlayıcı bir sabit olmadığı gerçeğine tanıklık ettiği bir durum vardır.

Artık belirli sonsuz toplamların büyüklüğünü az önce verilen tanıma uygun olarak kolayca hesaplayabilirsiniz. Örneğin, eğer o zaman

Özellikle biraz önce tartıştığımız sonsuz toplamlar ve T sırasıyla 2'ye eşit ve beklediğimiz gibi. Bir başka dikkat çekici örnek:

Şimdi, negatif olmayan toplamların yanı sıra toplamın negatif terimler içerebildiği durumu ele alalım. Mesela miktarı ne olmalı?

Terimleri çiftler halinde gruplandırırsak şunu elde ederiz:

böylece toplam sıfır olur; ancak bir adım sonra çiftler halinde gruplamaya başlarsak, şunu elde ederiz:

yani toplam bire eşittir.

Bu formülün geçerli olduğunu bildiğimiz için formülü de koymayı deneyebiliriz, ancak o zaman bu sonsuz toplamın eşit olduğunu, çünkü tam sayıların toplamı olduğunu kabul etmek zorunda kalacağız!

Bir başka ilginç örnek, k 0 ve E'de her iki yöndeki toplam sonsuzdur:

Bu toplamı “merkezi” unsurdan başlayıp dışarıya doğru hareket ederek hesaplarsak,

o zaman 1 elde ederiz; ve tüm parantezleri bir eleman sola kaydırırsak aynı 1'i elde ederiz,

çünkü iç parantez içindeki tüm sayıların toplamı

Benzer bir akıl yürütme, bu parantezlerin herhangi bir sabit sayıda öğeyi sola veya sağa kaydırması durumunda toplamın değerinin 1'e eşit kaldığını gösterir - bu, toplamın gerçekten 1'e eşit olduğu yönündeki görüşümüzü güçlendirir. terimleri şu şekilde gruplandırıyoruz:

o zaman iç parantez çifti sayılar içerecektir

Ch'de. Şekil 9'da, bu gruplandırma yönteminin, her iki yönde sonsuz bir toplamın gerçekte şuna eşit olması gerektiği fikrine yol açtığı gösterilecektir.

Farklı şekillerde toplandığında farklı değerler veren bir toplamın anlamsızlığı vardır. Modern analiz kılavuzlarında bu tür patolojik toplamlara anlamlı anlamlar atanan bir dizi tanım vardır; ancak bu tanımları ödünç alırsak -notasyonuyla şu ana kadar yaptığımız kadar özgürce işlem yapamayız. Bu kitabın hedefleri öyledir ki, "koşullu yakınsama" kavramının ayrıntılı açıklamalarına ihtiyacımız yoktur - bu bölümde kullandığımız tüm işlemleri yürürlükte bırakan sonsuz toplamlar tanımına bağlı kalacağız.

Aslında sonsuz toplamlara ilişkin tanımımız oldukça basittir. K bir küme olsun ve a her biri için tanımlanan toplamın gerçel değerli bir terimi olsun. (Aslında, K kümesinin kendisinin çok boyutlu olabilmesi için birkaç indeks anlamına gelebilir.) Herhangi bir x gerçek sayısı, pozitif ve negatif kısımlarının farkı olarak temsil edilebilir,

(Ya Ya da Sonsuz toplamların büyüklükleri negatif olmadığı için nasıl belirleneceğini daha önce açıklamıştık. Dolayısıyla genel tanımımız şu şekildedir:

sağ taraftaki her iki toplam eşit olmadığı sürece. İkinci durumda Hlek miktarı belirsiz kalır.

Tskekak olsun ve eğer toplamlar sonlu ise, o zaman toplamın mutlak olarak yakınsadığını söylerler. Sonluysa toplamın Benzer'e ıraksadığını söylerler, sonluysa If'ye ıraksar derler, sonra hiçbir şey söylemezler.

Toplamın negatif olmayan terimleri için "işe yarayan" bir tanımla başladık ve sonra bunu herhangi bir gerçek değerli terime genişlettik. Toplamın üyeleri karmaşık sayılarsa, o zaman tanımımız açıkça bu duruma genişletilebilir: bu toplamların her ikisinin de mevcut olması koşuluyla toplam - gerçel ve sanal kısım a olarak tanımlanır, aksi halde Hkek toplamı tanımlanmaz (Bakınız Alıştırma 18.)

Talihsiz olan şey, daha önce de belirttiğimiz gibi, bazı sonsuz miktarların tanımsız bırakılmasının gerekmesidir çünkü onlarla yaptığımız işlemler saçmalıklara yol açabilir. (Alıştırma 34'e bakınız.) Güzel olan şey, bu bölümdeki tüm işlemlerin, az önce belirlenen anlamda mutlak olarak yakınsak olan toplamlarla uğraştığımızda kesinlikle geçerli olmasıdır.

Bu hoş gerçeği, toplam dönüşüm kurallarımızdan her birinin mutlak yakınsak toplamın büyüklüğünü değiştirmeden bıraktığını göstererek doğrulayabiliriz. Daha spesifik olarak bu, dağıtım, birleşimsel ve değişmeli yasaların yanı sıra herhangi bir değişken üzerinden toplama yapmaya başlayabilecek kuralın yerine getirilip getirilmediğinin kontrol edilmesi gerektiği anlamına gelir; bu bölümde yaptığımız diğer her şey bu dört temel toplam işleminden türetilebilir.

Dağılım kanunu (2.15) daha kesin bir şekilde şu şekilde formüle edilebilir: Eğer Hkek a toplamı şuna mutlak olarak yakınsarsa ve c bir karmaşık sayı ise, o zaman Lkek de kesinlikle şuna yakınsar: Bu, önce toplamı gerçek ve sanal olarak bölerek kanıtlanabilir, sonra daha önce ayırdıkları gibi pozitif ve negatif parçalara ayırma ve toplamın her teriminin negatif olmadığı özel bir durumu kanıtlama. Bu özel durumdaki kanıt, herhangi bir sonlu küme için son gerçeğin kümenin boyutuna göre tümevarımla kanıtlanabileceği gerçeği nedeniyle işe yarar.

Birleşim yasası (2.16) şu şekilde formüle edilebilir: Eğer toplamlar sırasıyla A ve B'ye mutlak olarak yakınsarsa, o zaman toplam da mutlak olarak şuna yakınsar. Bunun daha genel bir teoremin özel bir durumu olduğu ortaya çıkıyor ve bunu yakında kanıtlayacağız. .