Özelliklerinin ters orantılılığı bir grafiktir. Matematikte ve hayatta ters orantı

Konuyla ilgili 1 ders

Gerçekleştirilen:

Telegina L.B.

Dersin amacı:

1. Fonksiyonlar üzerine çalışılan tüm materyalleri tekrarlayın.
2. Ters orantılılığın tanımını tanıtmak ve grafiğinin nasıl oluşturulacağını öğretmek.
3. mantıksal düşünmeyi geliştirin.
4. Dikkati, doğruluğu, doğruluğu geliştirin.

Ders planı:

1. Tekrarlama.
2. Yeni malzemenin açıklanması.
3. Beden eğitimi dakikası.
4. Konsolidasyon.

Ekipman: posterler.

Dersler sırasında:

1. Ders tekrarla başlar. Öğrencilerden (önceden büyük bir kağıt üzerinde hazırlanmış) bir bulmaca çözmeleri istenir.

7 11

Bulmaca soruları:

1. Bağımsız değişkenin her değerinin bağımlı değişkenin tek bir değerine karşılık geldiği değişkenler arası bağımlılık. [İşlev].

2. Bağımsız değişken. [Argüman].

3. Apsis koordinat düzleminin argüman değerlerine eşit olan noktaları ve koordinatlar, fonksiyonun değerlerine eşittir. [Takvim].

4. y=kx+b formülüyle verilen fonksiyon. [Doğrusal].

5. Bir sayıya hangi katsayı denir? k y=kx+b formülünde? [Köşe].

6. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği nedir? [Dümdüz].

7. Eğer k≠0 ise y=kx+b grafiği bu ekseni keser, k=0 ise ona paraleldir. Bu eksen hangi harfle gösteriliyor? [X].

8. Fonksiyonun ismindeki kelime y=kx? [Orantılılık].

9. y=x formülüyle verilen fonksiyon 2. [İkinci dereceden].

10. Grafik başlığı ikinci dereceden fonksiyon. [Parabol].

11. Latin alfabesinde çoğunlukla bir işlevi ifade eden bir harf. [Igrek].

12. Bir işlevi belirtmenin yollarından biri. [Formül].

Öğretmen : Bildiğimiz bir fonksiyonu belirtmenin ana yolları nelerdir?

(Bir öğrenci tahtada bir görev alır: argümanının verilen değerlerini kullanarak 12/x fonksiyonunun değerler tablosunu doldurun ve ardından karşılık gelen noktaları koordinat düzlemine çizin).

Gerisi öğretmenin sorularını yanıtlar: (tahtaya önceden yazılanlar)

1. Aşağıdaki formüllerle verilen fonksiyonların adları nelerdir: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Aşağıdaki fonksiyonların tanım alanını belirtin: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3, y=-10/x.

Daha sonra öğrenciler öğretmenin sorduğu soruları yanıtlayarak tabloya göre çalışırlar:

1. Tablodaki hangi şekil grafikleri göstermektedir:

a) doğrusal fonksiyon;

b) doğrudan orantılılık;

c) ikinci dereceden fonksiyon;

d) y=kx formundaki fonksiyonlar 3 ?

2. Tablonun Şekil 1, 2, 4, 5'teki grafiklere karşılık gelen y=kx+b formundaki formüllerde k katsayısı hangi işarete sahiptir?

3. Tablodaki grafikleri bulun doğrusal fonksiyonlar açısal katsayıları şu şekildedir:

a) eşit;

b) büyüklük olarak eşit ve işaret olarak zıt.

(Daha sonra tüm sınıf tahtaya çağrılan öğrencinin tabloyu doğru doldurup doldurmadığını ve noktaları koordinat düzlemine yerleştirip yerleştirmediğini kontrol eder).

2. Açıklama motivasyonla başlar.

Öğretmen: Bildiğiniz gibi her fonksiyon etrafımızdaki dünyada meydana gelen bazı süreçleri tanımlar.

Örneğin kenarları olan bir dikdörtgen düşünün x ve y ve alan 12 cm2 . x*y=12 olduğu biliniyor ama dikdörtgenin bir kenarını, diyelim ki uzunluğu olan bir kenarını değiştirmeye başlarsanız ne olur? X?

Kenar uzunluğu y y=12/x formülünden bulunabilir. Eğer X 2 kat artarsa ​​y=12/2x olur, yani. taraf sen 2 kat azalacak. Eğer değer X 3, 4, 5... kat artarsa ​​değer sen aynı miktarda azalacaktır. Tam tersine eğer X birkaç kez azaltın, ardından sen aynı oranda artacaktır. (Tabloya göre çalışın).

Bu nedenle y=12/x formundaki bir fonksiyona ters orantı denir. İÇİNDE Genel görünüm y=k/x şeklinde yazılır; burada k bir sabittir ve k≠0.

Bugünkü dersin konusu bu, not defterlerimize yazdık. Kesin bir tanım veriyorum. Özel bir ters orantı türü olan y=12/x fonksiyonu için, argümanın ve fonksiyonun bir takım değerlerini zaten tabloya yazdık ve koordinat düzleminde karşılık gelen noktaları göstereceğiz. Bu fonksiyonun grafiği neye benziyor? Grafiğin tamamını oluşturulan noktalara göre değerlendirmek zordur çünkü noktalar herhangi bir şekilde bağlanabilir. Tablo ve formülü dikkate alarak bir fonksiyonun grafiği hakkında sonuçlar çıkarmaya birlikte çalışalım.

Sınıf için sorular:

1. y=12/x fonksiyonunun tanım bölgesi nedir?
2. y değerleri pozitif mi yoksa negatif mi?

a) x

b)x>0?

3. Bir değişkenin değeri nasıl değişir? sen değişen değerle X?

Bu yüzden,

1. (0,0) noktası grafiğe ait değil, yani. OX veya OY ekseniyle kesişmez;
2. grafik Ι ve ΙΙΙ koordinat çeyreklerindedir;
3. koordinat eksenlerine hem Ι koordinat çeyreğinde hem de ΙΙΙ'de düzgün bir şekilde yaklaşır ve eksenlere istenildiği kadar yaklaşır.

Bu bilgiye sahip olduğumuzda, şekildeki noktaları zaten birleştirebiliriz (öğretmen bunu tahtada kendisi yapar) ve y=12/x fonksiyonunun tüm grafiğini görebiliriz. Ortaya çıkan eğriye hiperbol denir ve bu Yunanca'da "bir şeyin içinden geçmek" anlamına gelir. Bu eğri, MÖ 4. yüzyılda antik Yunan okulunun matematikçileri tarafından keşfedildi. Abartı terimi, 6-8. yüzyıllarda yaşayan Bergama (Küçük Asya) şehrinden Apollonius tarafından tanıtıldı. M.Ö.

Şimdi y=12/x fonksiyonunun grafiğinin yanında y=-12/x fonksiyonunun grafiğini oluşturacağız. (Öğrenciler bu görevi not defterlerinde, bir öğrenci ise tahtada tamamlarlar).

Her iki grafiği karşılaştıran öğrenciler ikinci grafiğin 2 ve 4 koordinat çeyreklerini kapladığını fark ederler. Ayrıca y=12/x fonksiyonunun grafiği op-amp eksenine göre simetrik olarak görüntülenirse y=-12/x fonksiyonunun grafiği elde edilecektir.

Soru: y=k/x hiperbolünün grafiğinin konumu k işaretine ve k katsayısının değerine nasıl bağlıdır?

Öğrenciler eğer k>0 ise grafiğin Ι konumunda olduğuna ikna olmuşlardır. Ve ΙΙΙ koordinat çeyrekleri ve eğer k

1. Beden eğitimi dersi öğretmen tarafından yürütülür.

1. Çalışılanların pekiştirilmesi, ders kitabından 180, 185 numarayı tamamlarken gerçekleşir.

1. Ders özetlenmiştir, notlar, ödevler: s. 8 Sayı 179, 184.

Konuyla ilgili 2. ders

“Ters orantı fonksiyonu ve grafiği.”

Gerçekleştirilen:

Telegina L.B.

Dersin amacı:

1. ters orantı fonksiyonunun grafiğini oluşturma becerisini pekiştirmek;
2. konuya ilgi geliştirmek, mantıksal düşünme;
3. Bağımsızlığı ve dikkati geliştirin.

Ders planı:

1. İlerleme durumu kontrol ediliyor Ev ödevi.
2. Sözlü çalışma.
3. Problem çözme.
4. Beden eğitimi dakikası.
5. Çok seviyeli bağımsız çalışma.
6. Özetleme, değerlendirmeler, ödev.

Ekipman: kartlar.

Dersler sırasında:

1. Öğretmen dersin konusunu, hedeflerini ve ders planını duyurur.

Daha sonra iki öğrenci tahtada kendilerine verilen 179 ve 184 numaralı ev numaralarını tamamlarlar.

1. Öğrencilerin geri kalanı ön planda çalışarak öğretmenin sorularını yanıtlar.

Sorular:

• Ters orantı fonksiyonunu tanımlayın.
• Ters orantı fonksiyonunun grafiği nedir?
• Y=k/x hiperbolünün grafiğinin konumu k katsayısının değerine nasıl bağlıdır?

Görevler:

1. Formüllerde belirtilen fonksiyonlar arasında ters orantı fonksiyonları yer alır:

a) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Ters orantılı fonksiyonlar için katsayıyı adlandırın ve grafiğin hangi çeyrekte bulunduğunu belirtin.

3. Ters orantılılık fonksiyonlarının tanım tanım kümesini bulun.

(Daha sonra öğrenciler tahtadaki sayıların öğretmen tarafından kontrol edilen çözümlerine göre kalemle birbirlerinin ödevlerini kontrol ederler ve not verirler).

190, 191, 192, 193 (sözlü) ders kitabına göre ön çalışma.

1. 186(b), 187(b), 182 numaralı ders kitaplarından not defterlerinde ve tahtada uygulama.

4. Beden eğitimi dersi öğretmen tarafından yürütülür.

5. Bağımsız iş verilen üç seçenek değişen karmaşıklığa sahip (kartlara dağıtılmış).

ben c. (hafif).

Tabloyu kullanarak ters orantı fonksiyonunun y=-6/x grafiğini çizin:

Grafiği kullanarak şunu bulun:

a) x = - 1,5 ise y'nin değeri; 2;

b) y = - 1 olan x'in değeri; 4.

yüzyıl (orta zorluk)

İlk olarak tabloyu doldurduktan sonra ters orantı fonksiyonunun y=16/x grafiğini çizin.

Grafiği kullanarak hangi değerlerde olduğunu bulun. x y >0.

yüzyılda (artan zorluk)

İlk olarak tabloyu doldurduktan sonra y=10/x-2 ters orantı fonksiyonunun grafiğini çizin.

Bu fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun.

(Öğrenciler test için çizilmiş grafiklerin bulunduğu sayfaları verirler).

6. Dersi, değerlendirmeleri, ödevleri özetler: Sayı 186 (a), 187 (a).

Fonksiyonlarla ilgili teoriyi tekrarlayalım. Bir işlev, bir kümenin (argüman) her bir öğesinin belirli bir () ile ilişkilendirildiği bir kuraldır. tek bir!) başka bir kümenin öğesi (işlev değerleri kümesi). Yani eğer bir fonksiyon varsa \(y = f(x)\), bu şu anlama geliyor: herkes kabul edilebilir değer değişken \(X\)(“argüman” olarak adlandırılan) değişkenin bir değerine karşılık gelir \(y\)("işlev" olarak adlandırılır).

Ters bağımlılığı açıklayan fonksiyon

Bu formun bir fonksiyonudur \(y = \frac(k)(x)\), Neresi \(k\ne 0.\)

Başka bir deyişle buna ters orantı denir: argümandaki bir artış, fonksiyonda orantılı bir azalmaya neden olur.
Tanımın alanını tanımlayalım. \(x\) neye eşit olabilir? Veya başka bir deyişle neye eşit olamaz?

Bölünemeyen tek sayı 0'dır, dolayısıyla \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

veya hangisi aynıdır:

\(D(y) = R\ters eğik çizgi \( 0\).\)

Bu gösterim \(x\)'in 0 dışında herhangi bir sayı olabileceği anlamına gelir: "R" işareti gerçek sayılar kümesini, yani tüm olası sayıları belirtir; “\” işareti bu kümeden bir şeyin hariç tutulduğunu belirtir (“eksi” işaretine benzer) ve süslü parantez içindeki 0 sayısı yalnızca 0 sayısı anlamına gelir; Olası tüm sayılardan 0'ı hariç tuttuğumuz ortaya çıktı.

Görünüşe göre fonksiyon değerleri kümesi tamamen aynı: sonuçta, eğer \(k \ne 0.\) ise, o zaman onu neye bölersek bölelim, 0 işe yaramayacaktır:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

veya \(E(y) = R\ters eğik çizgi \( 0\).\)

Formülün bazı varyasyonları da mümkündür \(y = \frac(k)(x)\). Örneğin, \(y = \frac(k)((x + a))\) aynı zamanda ters ilişkiyi açıklayan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun kapsamı ve değer aralıkları aşağıdaki gibidir:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Hadi düşünelim örnek ifadeyi forma indirgeyelim ters ilişki:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3))).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + 5))((x - 3))).\)

Yapay olarak 3 değerini paya ekledik ve şimdi payı paydaya terime göre bölüyoruz, şunu elde ediyoruz:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x) - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3))).\)

Ters ilişki artı 1 sayısını elde ettik.

Ters ilişki grafiği

Basit bir vakayla başlayalım \(y = \frac(1)(x).\)

Bir değerler tablosu oluşturalım:

Koordinat düzleminde noktalar çizelim:

Noktaları birleştirin, grafik şöyle görünecektir:

Bu grafiğe denir "hiperbol". Bir parabol gibi, bir hiperbolün de iki kolu vardır, ancak bunlar birbirine bağlı değildir. Her biri uçlarını eksenlere yaklaştırıyor Öküz Ve Oy ama asla onlara ulaşmaz.

Fonksiyonun bazı özelliklerine dikkat edelim:

1. Bir fonksiyonun kesirden önce eksi varsa grafik ters çevrilir, yani eksene göre simetrik olarak görüntülenir Öküz.
2. Nasıl daha büyük sayı paydada grafik orijinden o kadar uzaklaşır.

Hayatta ters bağımlılık

Pratikte böyle bir işlevi nerede bulabiliriz? Pek çok örnek var. En yaygın olanı harekettir: Hareket etme hızımız ne kadar yüksek olursa, aynı mesafeyi kat etmemiz o kadar az zaman alır. Hız formülünü hatırlayalım:

\(v = \frac(S)(t),\)

burada v hızdır, t seyahat süresidir, S mesafedir (yol).

Buradan zamanı ifade edebiliriz: \(t = \frac(S)(v).\)

İlk seviye

Ters ilişki. İlk seviye.

Şimdi bir fonksiyon olarak ters bağımlılıktan veya başka bir deyişle ters orantılılıktan bahsedeceğiz. Bir fonksiyonun belirli bir tür bağımlılık olduğunu hatırlıyor musunuz? Henüz konuyu okumadıysanız, her şeyi bırakıp okumanızı şiddetle tavsiye ederim, çünkü belirli bir işlevin ne olduğunu - bir işlevi - anlamadan çalışamazsınız.

Bu konuya başlamadan önce iki basit fonksiyonda uzmanlaşmak da çok faydalıdır: ve . Orada fonksiyon kavramını pekiştirecek ve katsayılar ve grafiklerle çalışmayı öğreneceksiniz.

Peki fonksiyonun ne olduğunu hatırlıyor musunuz?
Tekrar edelim: Bir fonksiyon, bir kümenin (argüman) her bir öğesinin belirli bir ( tek bir!) başka bir kümenin öğesi (işlev değerleri kümesi). Yani, eğer bir fonksiyonunuz varsa, bu, bir değişkenin her geçerli değerine ("argüman" denir) karşılık gelen bir değişkenin ("işlev" denir) bir değerinin olduğu anlamına gelir. "Kabul edilebilir" ne anlama geliyor? Bu soruyu cevaplayamıyorsanız tekrar “” konusuna dönün! Her şey konseptte "ihtisas": Bazı işlevler için tüm bağımsız değişkenler eşit derecede yararlı değildir ve bağımlılıklarla değiştirilebilir. Örneğin, fonksiyon için negatif değerler argümanlara izin verilmez.

Ters bağımlılığı açıklayan fonksiyon

Bu Where formunun bir fonksiyonudur.

Başka bir deyişle buna ters orantı denir: argümandaki bir artış, fonksiyonda orantılı bir azalmaya neden olur.
Tanımın alanını tanımlayalım. Neye eşit olabilir? Veya başka bir deyişle neye eşit olamaz?

Bu nedenle bölünemeyen tek sayı:

ya da aynı şey nedir?

(böyle bir gösterim, bunun herhangi bir sayı olabileceği anlamına gelir, ancak: " " işareti gerçek sayılar kümesini, yani tüm olası sayıları belirtir; " " işareti, bu kümeden bir şeyin hariç tutulduğunu belirtir ("eksi" işaretine benzer) ” işareti) ve süslü parantez içindeki bir sayı yalnızca bir sayı anlamına gelir; öyle görünüyor ki tüm olası sayılardan hariç tutuyoruz).

Görünüşe göre fonksiyon değerleri kümesi tamamen aynı: sonuçta, eğer onu neye bölersek bölelim, işe yaramayacak:

Formülün bazı varyasyonları da mümkündür. Örneğin bu aynı zamanda ters ilişkiyi açıklayan bir fonksiyondur.
Bu fonksiyonun tanım alanını ve değer aralığını kendiniz belirleyin. Şunun gibi görünmeli:

Bu fonksiyona bakalım: . Ters bir ilişki var mı?

İlk bakışta şunu söylemek zor: Sonuçta, bir artışla hem kesirin paydası hem de pay artar, yani fonksiyonun azalıp azalmayacağı belli değil, eğer öyleyse orantılı olarak azalacak mı? Bunu anlamak için ifadeyi payda değişken kalmayacak şekilde dönüştürmemiz gerekir:

Aslında ters bir ilişki elde ettik ancak bir uyarımız var: .

İşte başka bir örnek: .

Burada durum daha karmaşık: sonuçta pay ve payda artık kesinlikle birbirini götürmüyor. Ama yine de deneyebiliriz:

Ne yaptığımı anlıyor musun? Payda aynı sayıyı () ekledim ve çıkardım, yani hiçbir şeyi değiştirmiş gibi görünmedim ama şimdi payda paydaya eşit bir kısım var. Şimdi terimi terime böleceğim yani bu kesri iki kesrin toplamına böleceğim:

(aslında, elde ettiğimi ortak bir paydaya indirirsek, ilk kesirimizi elde ederiz):

Vay! Tekrar işe yarıyor ters ilişki ancak şimdi buna bir sayı ekleniyor.
Bu yöntem daha sonra grafik oluştururken bizim için çok faydalı olacaktır.

Şimdi ifadeleri kendiniz ters bir ilişkiye dönüştürün:

Yanıtlar:

2. Burada nasıl olduğunu hatırlamanız gerekiyor ikinci dereceden üç terimliçarpanlara ayrılmıştır (bu, “” konusunda ayrıntılı olarak açıklanmaktadır). Bunun için karşılık gelenlerin köklerini bulmanız gerektiğini hatırlatmama izin verin. ikinci dereceden denklem: . Bunları Vieta teoremini kullanarak sözlü olarak bulacağım: , . Nasıl yapılır? Konuyu okuyarak öğrenebilirsiniz.
Böylece şunu elde ederiz: , dolayısıyla:

3. Sorunu kendiniz çözmeye çalıştınız mı? Amaç ne? Elbette gerçek şu ki hem payda hem de paydadayız - bu basit. Sorun değil. Oranı azaltmamız gerekecek, bu nedenle payda onu parantezlerin dışına koymalıyız (böylece parantez içinde katsayı olmadan elde ederiz):

Ters ilişki grafiği

Her zaman olduğu gibi en basit durumla başlayalım: .
Bir tablo yapalım:

Koordinat düzleminde noktalar çizelim:

Şimdi sorunsuz bir şekilde bağlanmaları gerekiyor, ama nasıl? Sağ ve sol taraftaki noktaların görünüşte bağlantısız eğri çizgiler oluşturduğu görülmektedir. Bu şekilde. Grafik şöyle görünecek:

Bu grafiğe denir "hiperbol"(Bu isimde "parabol" gibi bir şey var, değil mi?). Bir parabol gibi, bir hiperbolün de iki kolu vardır, ancak bunlar birbirine bağlı değildir. Her biri uçlarıyla eksenlere yaklaşmaya çalışır ama asla onlara ulaşmaz. Aynı abartıya uzaktan baktığınızda aşağıdaki resmi görürsünüz:

Bu anlaşılabilir bir durumdur: çünkü grafik ekseni geçemez. Ama aynı zamanda grafik eksene asla değmeyecektir.

Şimdi katsayıların neyi etkilediğini görelim. Bu fonksiyonları ele alalım:
:

Vay, ne güzel!
Tüm grafikler birbirinden ayırt edilmesini kolaylaştırmak için farklı renklerde çizilmiştir.

Peki öncelikle neye dikkat etmeliyiz? Örneğin, bir fonksiyonun kesirden önce eksi varsa grafik ters çevrilir, yani eksene göre simetrik olarak görüntülenir.

İkincisi: Paydadaki sayı ne kadar büyük olursa grafik orijinden o kadar "uzaklaşır".

Peki ya fonksiyon daha karmaşık görünüyorsa, örneğin?

Bu durumda abartı her zamanki gibi tamamen aynı olacak, sadece biraz kayacak. Bir düşünelim, nerede?

Şimdi neye eşit olamaz? Sağ, . Bu, grafiğin hiçbir zaman düz bir çizgiye ulaşmayacağı anlamına gelir. Neye eşit olamaz? Şimdi. Bu, grafiğin artık düz bir çizgiye yöneleceği ancak asla onu geçmeyeceği anlamına gelir. Yani artık düz çizgiler, fonksiyonun koordinat eksenleriyle aynı rolü oynuyor. Bu tür çizgiler denir asimptotlar(grafiğin yöneldiği ancak ulaşmadığı çizgiler):

Konuda bu tür grafiklerin nasıl oluşturulduğu hakkında daha fazla bilgi edineceğiz.

Şimdi pekiştirmek için birkaç örneği çözmeye çalışın:

1. Şekilde bir fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Tanımlamak.

2. Şekilde fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Tanımlamak

3. Şekilde fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Tanımlamak.

4. Şekilde fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Tanımlamak.

5. Şekilde ve fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir.

Doğru oranı seçin:

Yanıtlar:

Hayatta ters bağımlılık

Pratikte böyle bir işlevi nerede bulabiliriz? Pek çok örnek var. En yaygın olanı harekettir: Hareket etme hızımız ne kadar yüksek olursa, aynı mesafeyi kat etmemiz o kadar az zaman alır. Nitekim hızın formülünü de hatırlayalım: Hız nerede, seyahat süresi, mesafe (yol).

Buradan zamanı ifade edebiliriz:

Örnek:

Bir adam işe gidiyor ortalama sürat km/saattir ve oraya bir saatte varır. km/saat hızla giderse aynı yolda kaç dakika geçirir?

Çözüm:

Genel olarak bu tür problemleri 5. ve 6. sınıfta zaten çözmüştünüz. Orantıyı siz yaptınız:

Yani ters orantı kavramı size zaten tanıdık geliyor. Böylece hatırladık. Ve şimdi aynı şey, yalnızca yetişkin bir şekilde: bir işlev aracılığıyla.

Dakika cinsinden zamanın hıza olan fonksiyonu (yani bağımlılığı):

O halde biliniyor ki:

Bulmak gerek:

Şimdi ters orantılılığın var olduğu hayattan birkaç örnek verelim.
İcat edilmiş? Eğer yaparsan iyi olur. İyi şanlar!

TERS BAĞIMLILIK. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Tanım

Ters bağımlılığı açıklayan fonksiyon nerede formun bir fonksiyonudur.

Başka bir deyişle bu fonksiyona ters orantı denir çünkü argümandaki bir artış fonksiyonda orantılı bir azalmaya neden olur.

ya da aynı şey nedir?

Ters grafik bir hiperboldür.

2. Katsayılar ve.

Dan sorumlu Grafiğin “düzlüğü” ve yönü: bu katsayı ne kadar büyük olursa, hiperbol orijinden o kadar uzakta bulunur ve bu nedenle daha az dik "döner" (şekle bakın). Katsayının işareti grafiğin hangi çeyrekte bulunduğunu etkiler:

• eğer hiperbolün dalları ve çeyreklerde bulunuyorsa;
• eğer, o zaman ve.

x=a dikey asimptot, yani grafiğin yöneldiği dikey nokta.

Sayı, fonksiyon grafiğinin belirli bir miktarda yukarıya kaydırılmasından ve eğer aşağı kaydırılmasından sorumludur.

Bu nedenle bu Yatay asimptot.

Bugün hangi niceliklere ters orantı denildiğine, ters orantı grafiğinin neye benzediğine ve tüm bunların sadece matematik derslerinde değil okul dışında da sizin için nasıl yararlı olabileceğine bakacağız.

Böyle farklı oranlar

Orantılılık Birbirine bağımlı olan iki niceliği adlandırın.

Bağımlılık doğrudan ve ters olabilir. Sonuç olarak, nicelikler arasındaki ilişkiler doğrudan ve ters orantılılıkla açıklanmaktadır.

Doğrudan orantılılık- Bu, iki nicelik arasında, birinde bir artışın veya azalmanın diğerinde de artışa veya azalmaya yol açtığı bir ilişkidir. Onlar. tavırları değişmiyor.

Örneğin, sınavlara ne kadar çok çalışırsanız notlarınız o kadar yüksek olur. Ya da yürüyüşe çıkarken yanınıza ne kadar çok şey alırsanız sırt çantanız o kadar ağırlaşır. Onlar. Sınavlara hazırlanmak için harcanan emek, alınan notlarla doğru orantılıdır. Ve bir sırt çantasına konulan eşyaların sayısı, ağırlığıyla doğru orantılıdır.

Ters orantılılık– bu, bağımsız bir değerdeki (buna argüman denir) birkaç kat azalma veya artışın, bağımlı bir değerde orantılı (yani aynı sayıda) artışa veya azalmaya neden olduğu (buna bağımsız değişken denir) fonksiyonel bir bağımlılıktır. işlev).

örnekleyelim basit örnek. Pazardan elma almak istiyorsunuz. Tezgahtaki elmalar ile cüzdanınızdaki para miktarı ters orantılıdır. Onlar. Ne kadar çok elma alırsanız, o kadar az paranız kalır.

Fonksiyon ve grafiği

Ters orantı fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir: y = k/x. hangisinde X≠ 0 ve k≠ 0.

Bu fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Tanım alanı, hariç tüm gerçek sayılar kümesidir. X = 0. D(sen): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Aralığın tamamı gerçek sayılardır, ancak sen= 0. E(y): (-∞; 0) sen (0; +∞) .
3. Maksimum veya minimum değerleri yoktur.
4. Gariptir ve grafiği orijine göre simetriktir.
5. Düzenli olmayan.
6. Grafiği koordinat eksenlerini kesmez.
7. Sıfırları yoktur.
8. Eğer k> 0 (yani argüman artarsa), fonksiyon her aralıkta orantılı olarak azalır. Eğer k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Argüman arttıkça ( k> 0) fonksiyonun negatif değerleri (-∞; 0) aralığında, pozitif değerleri ise (0; +∞) aralığındadır. Argüman azaldığında ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Ters orantı fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:

Ters orantı problemleri

Daha açık hale getirmek için birkaç göreve bakalım. Çok karmaşık değiller ve bunları çözmek, ters orantılılığın ne olduğunu ve bu bilginin günlük yaşamınızda nasıl yararlı olabileceğini gözünüzde canlandırmanıza yardımcı olacaktır.

Görev No.1. Bir araba 60 km/saat hızla hareket etmektedir. Hedefine varması 6 saat sürdü. İki katı hızla hareket ederse aynı mesafeyi ne kadar sürede kat eder?

Zaman, mesafe ve hız arasındaki ilişkiyi açıklayan bir formül yazarak başlayabiliriz: t = S/V. Katılıyorum, bize ters orantı fonksiyonunu çok hatırlatıyor. Bu da bir otomobilin yolda geçirdiği süre ile hareket hızının ters orantılı olduğunu gösteriyor.

Bunu doğrulamak için duruma göre 2 kat daha yüksek olan V2'yi bulalım: V2 = 60 * 2 = 120 km/saat. Daha sonra S = V * t = 60 * 6 = 360 km formülünü kullanarak mesafeyi hesaplıyoruz. Artık problemin koşullarına göre bizden beklenen t 2 süresini bulmak zor değil: t 2 = 360/120 = 3 saat.

Gördüğünüz gibi yolculuk süresi ve hız aslında ters orantılıdır: Orijinal hızın 2 katı daha yüksek bir hızda araç yolda 2 kat daha az zaman harcayacaktır.

Bu problemin çözümü orantı olarak da yazılabilir. O halde önce bu diyagramı oluşturalım:

↓ 60 km/saat – 6 saat

↓120 km/saat – xsaat

Oklar ters orantılı bir ilişkiyi gösterir. Ayrıca bir orantı kurarken kaydın sağ tarafının ters çevrilmesi gerektiğini de öne sürüyorlar: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 saati nereden bulacağız?

Görev No.2. Atölyede belirli bir işi 4 saatte tamamlayabilen 6 işçi çalışıyor. İşçi sayısı yarıya indirilirse kalan işçiler aynı işi ne kadar sürede tamamlar?

Sorunun koşullarını görsel bir şema halinde yazalım:

↓ 6 işçi – 4 saat

↓ 3 işçi – x h

Bunu oran olarak yazalım: 6/3 = x/4. Ve x = 6 * 4/3 = 8 saat elde ederiz.Eğer 2 kat daha az işçi varsa, geri kalanlar tüm işi yaparken 2 kat daha fazla zaman harcayacaklardır.

Görev No.3. Havuza giden iki boru var. Su bir borudan 2 lt/s hızla akıyor ve havuzu 45 dakikada dolduruyor. Başka bir boruyla havuz 75 dakikada dolacak. Su bu borudan havuza hangi hızla giriyor?

Başlangıç ​​olarak problemin koşullarına göre bize verilen tüm büyüklükleri aynı ölçü birimlerine indirgeyelim. Bunun için havuzun dolma hızını dakikada litre cinsinden ifade ediyoruz: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/dak.

Bu durum, havuzun ikinci borudan daha yavaş dolduğunu ima ettiğinden su akış hızının daha düşük olduğu anlamına gelir. Orantılılık terstir. Bilinmeyen hızı x üzerinden ifade edelim ve aşağıdaki diyagramı çizelim:

↓ 120 l/dak – 45 dak

↓ x l/dak – 75 dak

Ve sonra şu oranı oluşturuyoruz: 120/x = 75/45, buradan x = 120 * 45/75 = 72 l/dak.

Problemde havuzun doluluk oranı litre/saniye cinsinden ifade ediliyor; aldığımız cevabı aynı forma indirgeyelim: 72/60 = 1,2 l/s.

Görev No.4. Küçük bir özel matbaa, kartvizit basıyor. Bir matbaa çalışanı saatte 42 kartvizit hızında ve tam gün, 8 saat çalışmaktadır. Eğer daha hızlı çalışsaydı ve bir saatte 48 kartvizit bassaydı, eve ne kadar erken gidebilirdi?

Kanıtlanmış yolu takip ediyoruz ve problemin koşullarına göre istenen değeri x olarak belirten bir diyagram çiziyoruz:

↓ 42 kartvizit/saat – 8 saat

↓ 48 kartvizit/saat – x saat

Ters orantılı bir ilişkimiz var: Bir matbaa çalışanının saatte kaç kat daha fazla kartvizit basması, aynı işi tamamlamak için aynı sayıda daha az zamana ihtiyaç duyması. Bunu bilerek bir orantı oluşturalım:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 saat.

Böylece işi 7 saatte tamamlayan matbaa çalışanı, evine bir saat erken gidebiliyordu.

Çözüm

Bize öyle geliyor ki bu ters orantı problemleri aslında çok basit. Artık sizin de onları bu şekilde düşünmenizi umuyoruz. Ve asıl önemli olan, bunun tersi hakkındaki bilgidir. orantılı bağımlılık miktarlar gerçekten de sizin için birden fazla kez faydalı olabilir.

Sadece matematik derslerinde ve sınavlarda değil. Ancak o zaman bile, bir yolculuğa çıkmaya, alışverişe çıkmaya, tatillerde biraz ekstra para kazanmaya karar vermeye vb. hazır olduğunuzda.

Çevrenizde hangi ters ve doğru orantılı ilişki örneklerini fark ettiğinizi yorumlarda bize bildirin. Böyle bir oyun olsun. Ne kadar heyecan verici olduğunu göreceksiniz. Bu yazıyı paylaşmayı unutmayın sosyal ağlarda böylece arkadaşlarınız ve sınıf arkadaşlarınız da oynayabilir.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.