İstatistik formül ortalamaları. İstatistikte ortalamaların özü ve önemi. Ortalama türleri. İkinci dereceden varyasyon katsayısı

ders 5

İstatistikte ortalama kavramı

Aritmetik ortalama ve özellikleri

Diğer güç türleri

Mod ve medyan

Çeyrekler ve ondalıklar

Ortalama değerler istatistikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Ortalama değerler, ticari faaliyetin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.

Orta Bu en yaygın genellemelerden biridir. Ortalamanın özünün doğru anlaşılması, ortalamanın tek ve rastgele bir ortalama aracılığıyla genel ve gerekli olanı tanımlamayı, ekonomik gelişme kalıplarının eğilimini tanımlamayı mümkün kıldığı bir piyasa ekonomisindeki özel önemini belirler.

ortalama değer- bunlar, genel koşulların eyleminin ifadesini, incelenen olgunun kalıplarını buldukları genelleştirici göstergelerdir.

ortalama değer (istatistikte) - diğer her şey eşit olmak üzere, nüfus birimi başına tipik sosyal fenomen büyüklüğünü veya seviyesini karakterize eden genelleştirici bir gösterge.

Ortalamalar yöntemi aşağıdakileri çözer ana görevler:

1. Fenomenlerin gelişim düzeyinin özellikleri.

2. İki veya daha fazla seviyenin karşılaştırılması.

3. Sosyo-ekonomik olayların ilişkisinin incelenmesi.

4. Sosyo-ekonomik olayların uzaydaki dağılımının analizi.

İstatistiksel ortalamalar, doğru istatistiksel olarak organize edilmiş kütle gözleminin (sürekli ve seçici) kütle verileri temelinde hesaplanır. Bununla birlikte, niteliksel olarak homojen bir popülasyon (kütle fenomeni) için kütle verilerinden hesaplanırsa, istatistiksel ortalama nesnel ve tipik olacaktır. Örneğin, kooperatiflerde ve devlete ait işletmelerde ortalama ücretleri hesaplar ve sonucu tüm nüfusa yayarsak, o zaman ortalama, heterojen bir nüfus için hesaplandığından hayalidir ve böyle bir ortalama tüm anlamını kaybeder.

Ortalamanın yardımıyla, bireysel gözlem birimlerinde şu veya bu nedenle ortaya çıkan özelliğin büyüklüğündeki farklılıkların yumuşatılması söz konusudur. Örneğin, bir satış elemanının ortalama çıktısı birçok faktöre bağlıdır: nitelikler, hizmet süresi, yaş, hizmet biçimi, sağlık vb.

Ortalamanın özü, rastgele faktörlerin etkisi nedeniyle popülasyonun bireysel birimlerinin öznitelik değerlerinin sapmalarını iptal etmesi ve eylemin neden olduğu değişiklikleri dikkate alması gerçeğinde yatmaktadır. ana faktörler. Bu, ortalamanın özelliğin tipik seviyesini yansıtmasını ve bireysel birimlerde bulunan bireysel özelliklerden soyutlanmasını sağlar.

Ortalama değer, çalışılan özelliğin değerlerinin bir yansımasıdır, bu nedenle bu özellik ile aynı boyutta ölçülür.

Her ortalama değer, çalışılan popülasyonu herhangi bir özelliğe göre karakterize eder. Bir dizi temel özellik açısından incelenen popülasyonun eksiksiz ve kapsamlı bir resmini elde etmek için, genellikle fenomeni farklı açılardan tanımlayabilen bir ortalama değerler sistemine sahip olmak gerekir.

Çeşitli ortalamalar vardır:

Aritmetik ortalama;

Geometrik ortalama;

Ortalama harmonik;

ortalama kare;

Ortalama kronolojik.

6.1. METODOLOJİK TALİMATLAR

Ortalama, istatistiksel göstergelerin bir biçimidir.

Ortadan yumuşatılmış bireysel Bununla birlikte, nüfusun bireysel birimlerinin özellikleri asıl şey kendini gösterir, temel, tipik, nüfusu bir bütün olarak karakterize eder.

Ortalama değer - Bu genelleme karakterize eden gösterge tipik niteliksel olarak birim başına değişken bir özelliğin düzeyi homojen belirli yer ve zaman koşullarında toplanır.

genelleme Gösterge, nüfusu bir bütün olarak karakterize eden bir göstergedir.

Homojen bir küme, birimleri, incelenen tüm kümenin özelliği olan belirli bir özelliğin genel seviyesini belirleyen ortak ana nedenlerin ve gelişim koşullarının etkisi altında oluşturulan bir kümedir.

Niteliksel olarak hesaplanan ortalama değer heterojen toplu, hayali, ayrım gözetmeyen.

Ortalamaları hesaplamak için zorunlu koşullar

• 1. Ortalama değer aşağıdakilere göre hesaplanmalıdır:
  • a) niteliksel olarak homojen bir nüfus;
  • b) toplu güvenilir veriler;
  • c) karşılaştırılabilir veriler (bölgeye, zamana, ölçü birimlerine, hesaplama yöntemlerine vb. göre).
• 2. Genel ortalama değer, bireysel gruplar için hesaplanan diğer ortalama değerler, ortalama özelliğin bireysel değerleri ve diğer göstergelerin ortalamaları ile mutlaka desteklenmelidir.

Bu koşullara uygunluk, olgunun nesnel bir tanımını elde etmeyi ve doğru yönetim kararını vermeyi sağlayacaktır.

Örneğin, 2015 yılında, Rusya Federasyonu'nda bir bütün olarak ekonomi için aylık ortalama nominal tahakkuk eden ücretler, 15.758 ruble dahil olmak üzere 34.030 ruble idi. tekstil ve giyim endüstrisinde (bu en düşük ücret), 81.605 ruble. - kok ve petrol ürünleri üretiminde (en yüksek ücretler).

Ekonomik uygulamada, iki gruba ayrılan çeşitli ortalama türleri kullanılır: güç ortalamaları ve yapısal ortalamalar.

Güç ortalamaları:

• 1) aritmetik ortalama;
• 2) ortalama harmonik;
• 3) geometrik ortalama;
• 4) kök ortalama kare;
• 5) ortalama kübik, vb.

yapısal ortalamalar: moda; medyan; çeyrekler; ondalık, vb. (Bölüm 7'de tartışılacaktır).

Ortalama değeri hesaplamak için belirli bir formülün seçimi şunlara bağlıdır:

• 1) anlamsal formül, onlar. ortalama niteliğin özü, içeriği, nihai (tanımlayıcı) gösterge ile ilişkisi;
• 2) araştırmacının kullanabileceği veriler;
• 3) ortalama özelliğin varyasyon (dalgalanma) derecesi.

son (tanımlayan) gösterge - bu bir göstergedir

(Xj) özniteliğinin tüm bireysel değerleri ortalama X değeri ile değiştirilirse bu değişmeyecektir.

Belirleyici gösterge, anlamsal formülün payında veya paydasındadır.

Soru. OB'nin ortalamasını hesaplamak için anlamsal bir formül nasıl yapılır?

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. Ortalama değeri hesaplamak için anlamsal (mantıksal) formül akraba göstergeler aynı

hesaplama formülü ile akraba gösterge.

anlamsal formül ortalama evlilik oranı hesaplama formülüyle eşleşir yapının göreceli boyutu(toplam üretim hacmindeki kusurların özgül ağırlığı):

Güç araçları arasında belirli bir nicel ilişki vardır, buna denir. Çoğunluk kuralı:

Soru. Ortalama değeri hesaplamak için bir formülü başka bir formülle değiştirmek mümkün müdür ve hangi durumda?

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi.İşaretin dalgalanması ise küçük,

(Х|) özniteliğinin değerleri birbirine yakınsa, o zaman daha karmaşık

ortalama değer daha basit bir değerle değiştirilebilir.

Örneğin, geometrik ortalama yerine aritmetik ortalamayı kullanın.

Bu bölümde iki tür ortalamayı ele alacağız: aritmetik ortalama ve harmonik ortalama.

Diğer ortalama türleri çalıştayın sonraki bölümlerinde incelenecektir.

Tablo 6.1, aritmetik ortalama ve harmonik ortalamanın hesaplanması için temel formülleri sunar.

Tablo 6.1

Aritmetik ortalama ve harmonik ortalamanın hesaplanması

Ortalama değerin türü	Hesaplama formülü
basit aritmetik ortalama	X - popülasyonun bireysel birimleri için ortalama özelliğin değeri; n, çalışma popülasyonundaki birim sayısı veya ortalaması alınan özelliğin değerlerinin sayısıdır. Şu durumlarda kullanılır: 1) veriler gruplandırılmaz; 2) tüm seçeneklerin (/) ağırlıkları birbirine eşittir; 3) ölçekler hakkında hiçbir şey bilinmiyor
Aritmetik ağırlıklı ortalama	/- ortalama özelliğin, ağırlığın, ortak ölçümün verilen değerine sahip birimlerin sayısı
	d- ortalama özelliğin belirli bir değerine sahip birimlerin oranı, ağırlık

Bitiş

Ekonomik hesaplamaların uygulamasında, en sık olarak ortalama kullanılır. aritmetik değer.

Tablo 6.2, hesaplamaları kontrol etmek ve basitleştirmek için yaygın olarak kullanılan aritmetik ortalamanın belirli özelliklerini karakterize eder.

Tablo 6.2

Aritmetik ortalamanın özellikleri

Aritmetik ortalama özellik	formül
1. Hiç ortalama değer, ortalama özelliğin en küçük değerinden küçük ve popülasyondaki en büyük değerden büyük olamaz.
2. Eğer her biriözniteliğin değerini aynı sayı kadar artırın veya azaltın, ardından ortalama değer buna göre değişecektir
3. Eğer her biriözniteliğin değeri aynı sayıda artacak veya azalacak, daha sonra ortalama değer buna göre değişecektir
4. Eğer ağırlık tüm seçenekler aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse ortalama değer değişmez
Sonuç: ortalama hesaplanırken, ağırlık olarak belirli ağırlıklar kullanılabilir
5. Bireysel seçeneklerin ortalamalarından sapmalarının toplamı sıfırdır

Moment yöntemiyle ortalama değerin hesaplanması

Aritmetik ortalamanın özellikleri, özellikle ortalama değerlerin hesaplanmasını basitleştirmeyi mümkün kılar. ayrık varyasyon serisinin yanı sıra Aralık rütbeler eşit aralıklar. Bunu bir örnekle açıklayalım.

Tablo 6.3

İşçi üretimi, adet/kişi	orta Aralık	Çalışan sayısı, kişi/	x-x 0, x 0 = 50	h' h = 20
80 ve üzeri (80-100)

Karar. Tablo 6.3, aralık varyasyon serilerini şu şekilde sunar: eşit aralıklar. (x) işaretinin değeri olarak her aralığın (sütun 1) ortasını alırız.

Açık aralığın genişliğinin, bitişik kapalı aralığın genişliğine eşit olacağı konusunda anlaşalım.

Tugay çalışanlarının ortalama çıktısını olağan (basitleştirilmemiş) şekilde hesaplıyoruz:

Hesaplamalar Tablonun 3, 4 sütunlarında sunulmuştur. 6.3.

2. Koşullu ortalamayı hesaplayın (dönüştürülen seçeneklerin ortalaması):

Hesaplamalar tablonun 5. sütununda sunulmuştur. 6.3.

3. Koşullu ortalamadan (x) gerçek (x)'e geçelim, bunun için yaptığımız işlemleri yapalım. X

Sonuç basitleştirilmemiş bir şekilde hesaplama ile örtüşmektedir.

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. Varyasyon serileri ise eşit aralıklarla, sonra tablonun 1. ve 3. sütunlarının hesaplanmasına gerek yoktur. 2. sütundan (/-frekanslar) hemen sonra x" sütununu dolduruyoruz. Bu sütunun ortasına 0 yazıyoruz. Bu aralığın ortası x 0 olacak ve aralığın genişliği - h(Tablo 6.4).

Tablo 6.4

Moment yöntemiyle ortalama çıktının hesaplanması

6.2. TİPİK GÖREVLERİN ÇÖZÜMÜ

Sorun 6.1. Tabloya göre cari yılda işletme çalışanlarının ortalama aylık maaşını hesaplayın. 6.5.

Karar. Ortalama değerin hesaplanması, anlamsal bir formül yazılarak başlamalıdır.

anlamsal (.mantıklı) ortalama ücret formülü:

Ortalama maaşın algoritması (hesaplama formülü), araştırmacının elinde hangi istatistiksel verilere sahip olduğuna bağlıdır.

Birkaç seçeneği ele alalım.

ben seçeneği. Cari yılda, işletmenin işçilerinin aylık ücret fonunun 2804 bin ruble olduğu ve işletmede 72 kişinin çalıştığı biliniyorsa, ortalama ücret doğrudan anlamsal formül 6.2'ye ikame edilerek hesaplanabilir. ücret fonu ve işçi sayısı hakkında bildiğimiz veriler:

Çözüm. Cari yılda, işletmenin çalışanları ayda ortalama 38.9 bin ruble aldı.

II seçeneği.İşletmenin münferit dükkanlarındaki ücretler ve çalışan sayısı hakkında bilinen veriler (Tablo 6.5).

Tablo 6.5

Ücret fonu ve işletmenin bireysel atölyelerinde aylık çalışan sayısı

Karar. Ortalama ücretin anlamsal (mantıksal) formülü değişmedi (formül 6.2). Ancak, anlamsal formülün ne payı ne de paydası direkt olarak bilinmiyor, ancak Tablodaki veriler kullanılarak hesaplanabilirler. 6.5.

Sembolleri seçelim (Tablo 6.6).

Anlamsal formülün payını hesaplamak için - "İşletmenin çalışanları için Ücret Fonu", her birine işçilerin ücretlerini (X) işçi sayısıyla (/) çarpmak ve ardından her dükkan için ücret fonu almak (Xf), değerlerini ekleyin, böylece bir bütün olarak işletme için bordroyu hesaplayın:

Hesaplamaların sonuçları Tabloda sunulmuştur. 6.6.

Tablo 6.6

İşletme çalışanlarının aylık ortalama ücretlerinin hesaplanması (aritmetik ağırlıklı ortalama)

O zaman işletme (X) için ortalama maaş şuna eşit olacaktır:

Ortalama ücretin hesaplanması, ortalama ücret formülüne göre yapılmıştır. aritmetik ağırlıklı.

Soru. Ortalama ne kadar doğru olmalıdır?

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. Ortalama değerin hesaplanmasının doğruluk derecesi, özellikle küçük değerleri için, ortalama göstergelerin doğruluk derecesinden daha yüksek olmalıdır.

Bizim durumumuzda, işletmenin bireysel atölyeleri için ücretler bir tamsayı (32; 48; 39) doğruluğu ile hesaplanır ve ortalama ücret, bir sayının onda birine (38.9) kadar daha yüksek bir doğruluk derecesi ile hesaplanır. .

Soru. Ortalama değerin hesaplanmasının doğruluğunu kontrol etmek mümkün müdür?

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi.Hiç ortalama değer, ortalama özelliğin (herhangi bir ortalama değerin özelliği) minimum değerinden büyük ve maksimum değerinden küçük olmalıdır:

Bizim durumumuzda, bu gereksinim karşılanmaktadır:

Bu nedenle, hesaplamalarda büyük bir hata yoktur.

Çözüm. Cari yılda, işletme çalışanlarının aylık ortalama maaşı 38,9 bin ruble olarak gerçekleşti. En yüksek maaş kişi başı 2 - 48 bin ruble, en düşük - 1 - 32 bin ruble arasındaki atölyedeydi.

Soru. Yalnızca biliniyorsa, ortalama değeri hesaplamak için hangi formül kullanılmalıdır? payda anlamsal formül ve pay bilinmiyor, ancak hesaplanabilir mi?

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. Sadece biliniyorsa payda anlamsal formül ve pay bilinmemektedir, ancak hesaplanabilir, ortalama değerin hesaplanması, ortalamanın formülüne göre yapılır. aritmetik ağırlıklı:

III seçeneği. Ay için işletmenin bireysel mağazalarındaki işçilerin ücretleri ve bordroları hakkında bilinen veriler (Tablo 6.7).

Tablo 6.7

Ücret fonu ve işletmenin bireysel atölyelerinde aylık çalışan sayısı

Karar. Ortalama ücretin semantik (mantıksal) formülü aynı kaldı (6.2).

Ancak, anlamsal formülün ne payı ne de paydası direkt olarak Bilinmeyen. Ancak Tabloya göre hesaplanabilirler. 6.7.

Anlamsal formülün paydasını hesaplamak için - "İşletmenin çalışan sayısı", her birine maaş bordrosunu bölmek için alışveriş yapın ( M) işçi sayısını (X) ve elde edilen verileri toplayın:

Hesaplamaların sonuçları Tabloda sunulmuştur. 6.8.

Tablo 6.8

İşletme çalışanlarının aylık ortalama ücretlerinin hesaplanması (ortalama harmonik ağırlıklı)

Hesaplama harmonik ağırlıklı ortalama formülüne göre yapılmıştır.

muayene:

Soru. Yalnızca biliniyorsa, ortalama değeri hesaplamak için hangi formül kullanılmalıdır? pay anlamsal formül ve payda bilinmiyor, ancak hesaplanabilir mi?

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. Sadece biliniyorsa pay anlamsal formül ve payda bilinmiyor, ancak hesaplanabilir, ortalamanın hesaplanması, ortalamanın formülüne göre yapılır. harmonik ağırlıklı:

IV seçeneği.Ücret fonu veya işçi sayısına ilişkin verilerin bilinmemesi ve hesaplanamaması mümkündür. Ancak, işletmenin her dükkanı için ücretler hakkında bilgi bilinmektedir, yani. ortalaması alınan özelliğin (xj) değerleri verilmiştir (Tablo 6.9).

Tablo 6.9

İşletme çalışanlarının aylık ücretleri

Karar. Bu durumda, ortalama ücretin hesaplanması, ortalama ücret formülüne göre yapılır. aritmetik basitücret verilerine dayalı (işçi sayısına ilişkin veriler hariç):

muayene:

Soru. Ama biliyorsanız ortalama değeri hangi formül hesaplayabilir? sadece ortalama özelliğin değerleri nüfusun bireysel birimleri?

Tecrübeli istatistikçi tavsiyesi Semantik formülün ne payı ne de paydası bilinmiyorsa, ancak popülasyonun bireysel birimleri için ortalama özniteliğin değerleri biliniyorsa, ortalama değer, ortalama formül kullanılarak hesaplanır. aritmetik basit:

Gördüğümüz gibi, aritmetik ortalama formülü kullanılarak hesaplanan ücretler basit ve aritmetik ortalama ağırlıklı, niceliksel olarak eşleşmiyor:

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. Aritmetik ortalama ağırlıklı her zaman aritmetik ortalamadan daha doğru bir sonuç verir basit,çünkü ortalama değerin değerini belirleyen daha fazla faktörü hesaba katar.

Bizim durumumuzda, aritmetik ortalama basit sadece bireysel dükkanlardaki ücretlerin yayılmasını ve aritmetik ortalamayı hesaba katar. ağırlıklı ayrıca her bir ücret değerini alan işçi sayısını da hesaba katar.

Sorun 6.2. AT geçen yıl organ müzik konserleri için biletler 800, 1000 ve 1200 ruble için satın alınabilir. AT cari yıl bilet fiyatları 100 ruble arttı.

Karar.

1. Ortalama bilet fiyatını hesaplayın geçmişte yıl.

Ortalama fiyatın anlamsal formülü:

Semantik formülün payını veya paydasını bilmediğimiz, ancak ortalama özniteliğin (fiyat) değerleri bilindiği için, yalnızca aritmetik ortalama formülünü kullanabiliriz. basit".

muayene:

Çözüm. Geçen yıl, organ müzik konserleri için biletler, parça başına ortalama 967 ruble satıldı.

2. Ortalama bilet fiyatını hesaplayın akımda yıl.

muayene:

İçin sadeleştirme hesaplamalar doğruluğunu kaybetmeden, ortalama değerin özelliğini kullanırız (Tablo 6.2, özellik 2):

Eğer cari yılda fiyatlar Tümü biletler 100 ruble arttı, sonra ortalama cari yıldaki fiyat 100 ruble olacak. daha fazla geçen sene ortalama fiyat:

Çözüm. Bu yıl organ müzik konserleri için biletler parça başına ortalama 1.067 ruble'den satılacak.

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. Eğer bir her biri(X) işaretinin değeri aynı sayı kadar artar (azalır), daha sonra ortalama değerin değeri aynı sayı kadar artar (azalır).

Sorun 6.3. Geçen yıl biletlerin %33'ünün 1200 rubleye, %57'sinin 900 rubleye satıldığı biliniyorsa, organ müzik konserleri için ortalama biletlerin fiyatını hesaplayın. ve her biri% 10 - 800 ruble.

Karar. Semantik formülün payını veya paydasını bilmiyoruz ve bunları problemin durumuna göre hesaplamak imkansız:

Ancak belirlemek için orta ortalama değerin özelliğini kullanırsanız biletlerin fiyatı mümkündür (Tablo 6.2): ​​​​eğer ağırlıklar ise (J) hepsiözellik değerleri ( X) aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse ortalama değer değişmez.

Buradan,

Çözüm. Geçen yıl, organ müzik konserleri için biletler, parça başına ortalama 989 rubleye satıldı.

6.2 ve 6.3 numaralı problemlerdeki ortalama bilet fiyatlarının neden eşleşmediğini açıklayın.

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. Belirli ağırlıkları ağırlık (/) olarak kullanabilirsiniz. Ortalama değişmeyecek.

Ortalama değeri hesaplayın Aralık değişken

Sorun 6.4. tabloya göre 6.10 ortalama türünü belirterek, tugay çalışanlarının vardiya başına ortalama çıktısını hesaplayın.

Tablo 6.10

Kalkınma için çalışma tugayının dağılımı

Karar. Tugay çalışanlarının vardiya başına ortalama çıktısını hesaplamak için anlamsal formülü kullanıyoruz:

Sorunun durumuna göre, anlamsal formülün paydasını (tugaydaki işçi sayısı) biliyoruz, ancak pay (tugay çalışanlarının vardiya başına çıktısı) değil, ancak çarpılarak bulunabilir. işçi sayısına göre her grup için işçi çıktısı. Bu nedenle, ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü uygulamak gerekir:

Ancak, işçilerin üretimine ilişkin veriler formda sunulmaktadır. aralıklar, onlar. tam olarak kaç adet üretim olduğunu bilmiyoruz. herkesçalışan. Sadece biliyoruz ki her işçi önce gruplar 10'dan az ürün üretti, ikincisi - 10 ila 16 ürün vb. Her aralıktan üretim değeri olarak hangi değer alınmalıdır?

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. Veriler formda sunulursa Aralık serisi, daha sonra aldığımız özelliğin (X) değeri olarak orta her aralık.

İlk aralık "10'a kadar", alt sınırı olmadığı için açıktır. İlk önce, bu aralığı "kapatalım", şartlı olarak alt sınırını tanımlar.

Soru. Açık bir aralık nasıl kapatılır?

Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. Değer açık aralık değere eşit alınır komşu onunla kapalı bir aralık.

Bitişik kapalı "10-16" aralığının değeri 6=16-10'a eşittir, bu nedenle ilk aralığın alt sınırı 4 = 10 - 6 olacaktır. Dolayısıyla ilk aralık: "4-10".

Son aralık "22 ve üstü" de açıktır. Sahip değil üst sınırlar. Yanındaki kapalı aralığın değeri 6 = 22 - 16'dır, bu nedenle açık aralığın üst sınırı 22 + 6 = 28 olacaktır. Son aralık: "22-28".

Kararı sekmede verelim. 6.11.

Her grup için aralığın ortası, basit aritmetik ortalama formülü kullanılarak hesaplanır. Örneğin, ilk grup için (ilk aralık):

Tablo 6.11

Aralığa göre işçilerin ortalama çıktısının hesaplanması

kürek çekmek

Tugay işçilerinin vardiya başına üretimi, adet.	nüfus işçiler, İnsan	Grup için ortalama çıktı, adet.	Tugay çalışanları tarafından vardiya başına ürün çıktısı, adet.
		(4 + 10): 2 = 7	7x-5 = 35
		(10 + 16): 2 = 13	13^-18 = 234

Ortalama çıktının anlamsal formülü:

Semantik formüle ve elimizdeki verilere dayanarak, ağırlıklı aritmetik ortalama formülüne göre ortalama maaşı hesaplayacağız:

muayene:

Çözüm.Çalışma ekipleri vardiya başına ortalama 16 ürün üretti.

6.3. BAĞIMSIZ ÇALIŞMA GÖREVLERİ

Akıllı ve yetenekli, bir şeyden şüphe duyduğunda soran kişidir.

Lee Shin-in

Görev 6.1. Aşağıdaki göstergeleri hesaplamak için mantıksal (anlamsal) bir formül yazın:

• 1) ortalama patates verimi;
• 2) planın uygulanmasının ortalama yüzdesi;
• 3) bir işçinin ortalama maaşı;
• 4) premium ürünlerin ortalama yüzdesi;
• 5) bir üretim biriminin ortalama maliyeti;
• 6) malların ortalama fiyatı;
• 7) ortalama karlılık.

Görev 6.2. Tabloyu doldurarak 6.12, cari yılın her çeyreği için bir bütün olarak üç takım için kusurlu ürünlerin ortalama yüzdesini hesaplayın. Hesaplamanın yapıldığı ortalama değerlerin türünü adlandırın. Sonuçları analiz edin.

Tablo 6.12

Üç montaj ekibi için ekonomik göstergeler

atölyeler

tugay	1 çeyrek			II çeyrek
	yüzde arızalı Ürün:% s	serbest bırakmak Ürün:% s,		yüzde arızalı Ürün:% s	kusurlu ürünlerin serbest bırakılması, adet.

Görev 6.3. Tabloyu doldurarak 6.13, cari yılın her ayı için bir bütün olarak şirketin üç işletmesi için ortalama karlılığı hesaplayın.

Sonuçları analiz edin. Hesaplamanın yapıldığı ortalama değerlerin seçimini doğrulayın.

Tablo 6.13

Orpheus şirketinin üç işletmesi için ekonomik göstergeler

Görev 6.4. Bölgedeki üç tarım işletmesi için cari yılda aşağıdaki veriler mevcuttur:

• 1. Her yarım yıl ve yıl için bir bütün olarak üç işletmenin ortalama getirisini hesaplayın.
• 2. Yılın ikinci yarısında ilk yarıya kıyasla ortalama verimdeki değişimi inceleyin. Kendi sonuçlarınızı çizin.
• 3. Ekin alanlarının yapısındaki değişimi analiz eder.
• 4. Tablodaki hesaplamaları tamamlayın.

Görev 6.5. Bu yılın Şubat ayı için şirketin üç mağazası için ilçe nüfusuna tahıl satışına ilişkin aşağıdaki veriler bilinmektedir:

Tablo 6.14

Cari yılın Şubat ayı için tahıl fiyatları ve satış hacmi

Hesaplamak:

• 1) bir bütün olarak şirket için ortalama 1 kg tahıl fiyatı. Ortalama değeri hesaplamak için formül seçimini doğrulayın. Hesaplamaları bir tablo şeklinde düzenleyin;
• 2) 1 No'lu mağazanın bir bütün olarak şirket için satılan toplam tahıl hacmindeki payı.

Bir sonuca varın.

Görev 6.6. Tabloya göre. 6.15 Sertifikalı ürünlerin ortalama yüzdesini hesaplar. Ortalama değeri hesaplamak için formül seçimini doğrulayın.

Geçmiş dönemde sertifikalı ürünlerin ortalama yüzdesi ise, ürün kalitesinin dinamikleri hakkında bir sonuca varın. 70,9%.

Tablo 6.15

"Kvadrat" firmasının ürünlerinin sertifikasyonu ile ilgili veriler

Görev 6.7. Tabloya göre. 6.16 Moment yöntemi de dahil olmak üzere ekip çalışanları tarafından vardiya görevinin ortalama tamamlanma yüzdesini hesaplayın.

Tablo 6.16

Tugay çalışanlarının vardiya görevinin tamamlanma yüzdesine göre dağılımı

Hesaplamaları tabloya kaydedin. Kendi sonuçlarınızı çizin.

Görev 6.8. Tugay çalışanlarının ortalama ücret kategorisini hesaplayın, eğer işçilerin% 20'si üçüncü kategoriye sahipse,% 40 - dördüncü,% 35 - beşinci, geri kalanı - altıncı. Hesaplamanın yapıldığı ortalama değerin türünü belirtin. Çözüm sırasında kullandığınız ortalama değerin özelliğini adlandırın.

Geçen yıl ortalama ücret kategorisi 5,1 ise, tugay işçilerinin nitelikleri nasıl değişti? Kendi sonuçlarınızı çizin.

Görev 6.9. Cafe "Spark" satın almayı planladı 50 kilo et 300 ovmak./kg ve 80 kg - göre 270 ovmak./kg. Ancak tedarikçi et fiyatını 1,2 kat artırdı.

1 kg etin gerçekte satın alındığı ortalama fiyatı ve planlanan ortalama satın alma fiyatının ne olduğunu hesaplayın.

Hesaplamanın yapıldığı ortalama değerin türünü adlandırın. Kendi sonuçlarınızı çizin.

Görev 6.10. Geçen yıl, bölge nüfusunun %28'inin yıllık geliri aile üyesi başına 180.000 ruble, %56 - 264.000 ruble ve geri kalanı - 588.000 ruble idi.

Verileri tablo şeklinde sunun. Bir bütün olarak bölge için kişi başına düşen ortalama yıllık aile gelirini belirleyin.

Hesaplamanın yapıldığı ortalama değerin türünü belirtin. Bir sonuca varın.

Görev 6.11.Şirketin ilk girişimi için kâr miktarı 168,0 bin ruble, ikincisi için 228,8 bin ruble, üçüncüsü için 228,8 bin ruble ise, bir bütün olarak şirket için hisse başına ortalama karı hesaplayın. Firmanın işletmeleri için hisse başına kazanç sırasıyla 6.0; 5.2; 3.9 ovmak.

Şirketin toplam kârındaki her şirketin payını hesaplayın.

Problemin hesaplamalarını tabloya kurunuz. Bir sonuca varın.

Görev 6.12. Tabloya göre. 6.17 ortalama türünü belirterek kuruluştaki çalışanların ortalama yaşını hesaplayın.

Tablo 6.17

PJSC "Record" çalışanlarının yaşa göre dağılımı

Yapının OB'sini hesaplayarak bir kuruluştaki işçilerin yaş yapısını inceleyin.

Hesaplamaları tabloya kaydedin. Kendi sonuçlarınızı çizin.

Görev 6.13.Şirketin ilk işletmesi için ürün üretmek için harcanan süre, ikinci - 2016 bin adam-saat ise 276 bin adam-saat ise, bir bütün olarak şirket için bir çıktı birimi üretmenin ortalama emek yoğunluğunu hesaplayın, üçüncü için - 3666 bin kişi - saat. Şirketin işletmeleri için ürünün emek yoğunluğu sırasıyla 4,6; 11.2; 9.4 saat/adet

Hesaplamanın yapıldığı ortalama değerin türünü belirtin.

Firma ürünlerinin üretimi için harcanan toplam süre içinde her işletmenin payını hesaplayın. Hesaplanan OB türünü belirtin.

Hesaplamaları tabloya kaydedin. Bir sonuca varın.

Görev 6.14. Rusya'da Kıtasal Hokey Ligi'nin (KHL) 22 kulübünde 101 yabancı var, bunlardan 14'ü Kanada'dan, 11'i ABD'den, 76'sı Avrupa'dan. Rusya voleybol süper ligi'nin 14 kulübünde 17 yabancı var. VTB Birleşik Basketbol Ligi'nde 10 kulüpte 53 yabancı var. Rusya Futbol Premier Ligi'nde 131 yabancı oyuncuyla 16 kulüp bulunuyor. Rusya Bandy Süper Ligi'nde 13 takım ve sadece 6 yabancı oyuncu bulunuyor. Not: Tüm takımlar erkektir.

Hesaplayın: 1) Rus kulüplerindeki ortalama yabancı oyuncu sayısı; 2) KHL'deki yabancı oyuncuların ülke bazında yapısı. Yapısal bir diyagram çizin. Kendi sonuçlarınızı çizin.

Görev 6.15. Romashka kafesinin bu yılın Eylül ayı ticaret ve üretim faaliyetlerine ilişkin aşağıdaki veriler bilinmektedir:

Hesaplamak:

• 1) Romashka cafe Eylül ayında ortalama kaç fiyattan mal satın aldı? Hesaplanan ortalama değerin türünü belirtin;
• 2) her bir mal sevkiyatının ay için toplam makbuz hacmindeki payı (özgül ağırlığı) (% olarak). Mal girişlerinin ritmini değerlendirin.
• 3) Ekim ayında mallar birim başına ortalama 127.81 rubleye satın alınırsa, ortalama satın alma fiyatı kaç ruble ve yüzde arttı?

Kendi sonuçlarınızı çizin.

• Çözüm. Tugayın her işçisi vardiya başına ortalama 48 birim üretim üretti. Ortalama çıktının basitleştirilmiş bir şekilde daha sonraki hesaplamalarında, aritmetik ortalamanın özelliklerini kullanacağız. 1. Hesaplamalarda, dönüştürülmüş seçenekleri (x) ortalaması alınmış özelliğin (x) değeri olarak alıyoruz: burada xq ve h herhangi bir sayıdır. Tecrübeli bir istatistikçinin tavsiyesi. En büyük sadeleştirme, x0, merkezi aralığın (x0 = 50) ortası olarak alınırsa ve h, aralığın genişliğidir (h = 20) ise elde edilebilir.

Özet ve gruplamanın sonucu üzerinde istatistiksel sonuçları analiz etmek ve elde etmek için genelleştirici göstergeler hesaplanır - ortalama ve göreceli değerler.

ortalamalar sorunu - istatistiksel popülasyonun tüm birimlerini, özniteliğin bir değeri ile karakterize etmek.

Ortalama değerler, girişimcilik faaliyetinin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık, vb.

ortalama değer- bu, nüfusun birimlerinin değişen bazı özelliklere göre genelleştirici bir özelliğidir.

Ortalama değerler, aynı özelliğin farklı popülasyonlardaki düzeylerini karşılaştırmayı ve bu farklılıkların nedenlerini bulmayı mümkün kılar.

İncelenen fenomenlerin analizinde, ortalama değerlerin rolü çok büyüktür. İngiliz iktisatçı W. Petty (1623-1687) ortalamaları kapsamlı bir şekilde kullandı. V. Petty, bir işçinin ortalama günlük geçimi için harcama maliyetinin bir ölçüsü olarak ortalama değerleri kullanmak istedi. Ortalama değerin kararlılığı, incelenen süreçlerin modellerinin bir yansımasıdır. Yeterli başlangıç ​​verisi olmasa bile bilginin dönüştürülebileceğine inanıyordu.

İngiliz bilim adamı G. King (1648-1712), İngiltere nüfusu hakkındaki verileri analiz ederken ortalama ve göreceli değerleri kullandı.

Belçikalı istatistikçi A. Quetelet'in (1796-1874) teorik gelişmeleri, sosyal fenomenlerin doğasının tutarsızlığına dayanmaktadır - kitle içinde oldukça kararlı, ancak tamamen bireysel.

A. Quetelet'e göre, kalıcı nedenler, incelenen her olgu üzerinde aynı şekilde etki eder ve bu olguları birbirine benzetir, hepsinde ortak örüntüler oluşturur.

A. Quetelet'in öğretilerinin bir sonucu, istatistiksel analizin ana yöntemi olarak ortalama değerlerin tahsis edilmesiydi. İstatistiksel ortalamaların bir nesnel gerçeklik kategorisi olmadığını söyledi.

A. Quetelet, ortalama insan teorisinde ortalama hakkındaki görüşlerini dile getirdi. Ortalama bir insan, ortalama bir boyutta (ortalama ölüm veya doğum oranı, ortalama boy ve kilo, ortalama koşu hızı, ortalama evlilik ve intihar eğilimi, iyi işler için vb.) Tüm niteliklere sahip bir kişidir. A. Quetelet için ortalama insan, ideal insandır. A. Quetelet'in ortalama insan teorisinin tutarsızlığı, 19.-20. yüzyılın sonunda Rus istatistik literatüründe kanıtlandı.

Ünlü Rus istatistikçi Yu. E. Yanson (1835-1893), A. Quetelet'in, ortalama insan tipinin doğasında var olduğunu, belirli bir toplumun ve belirli bir toplumun ortalama insanlarını yaşamın reddettiği belirli bir şey olarak varsaydığını yazdı. zaman ve bu onu sosyal hayatın hareket yasalarına dair tamamen mekanik bir görüşe götürür: hareket, bir kişinin ortalama özelliklerinde kademeli bir artış, kademeli bir tip restorasyonu; sonuç olarak, ötesinde herhangi bir ileri hareketin durduğu, toplumsal bedenin yaşamının tüm tezahürlerinin böyle bir seviyelendirilmesi.

Bu teorinin özü, gerçek değerler teorisi olarak bir dizi istatistiksel teorisyenin eserlerinde daha da gelişmesini bulmuştur. A. Quetelet'in takipçileri vardı - gerçek değerler teorisini sosyal yaşamın ekonomik fenomenlerine aktaran Alman ekonomist ve istatistikçi W. Lexis (1837-1914). Teorisi kararlılık teorisi olarak bilinir. İdealist ortalamalar teorisinin bir başka versiyonu, felsefeye dayanmaktadır.

Kurucusu, ortalamalar teorisi alanında modern zamanların en önde gelen teorisyenlerinden biri olan İngiliz istatistikçi A. Bowley'dir (1869–1957). Ortalama kavramı "İstatistiğin Öğeleri" kitabında özetlenmiştir.

A. Bowley, ortalamaları yalnızca nicel yönden ele alır, böylece niceliği nitelikten ayırır. Ortalama değerlerin (veya "işlevlerinin") anlamını belirleyen A. Bowley, Machist düşünme ilkesini ortaya koymaktadır. A. Bowley, ortalamaların işlevinin karmaşık bir grubu ifade etmesi gerektiğini yazdı.

birkaç asal sayı ile. İstatistiksel veriler basitleştirilmeli, gruplandırılmalı ve ortalaması alınmalıdır Bu görüşler: R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892) ve diğerleri tarafından paylaşılmıştır.

30'larda. 20. yüzyıl ve sonraki yıllarda, ortalama değer, bilgi içeriği verilerin homojenliğine bağlı olan sosyal açıdan önemli bir özellik olarak kabul edilir.

İtalyan okulunun en önde gelen temsilcileri R. Benini (1862-1956) ve C. Gini (1884-1965), istatistiğin bir mantığın dalı olduğunu düşünerek istatistiksel tümevarımın kapsamını genişletti, ancak mantığın bilişsel ilkelerini ilişkilendirdiler. ve istatistiklerin sosyolojik yorumunun geleneklerini takip ederek, incelenen fenomenlerin doğası ile istatistik.

K. Marx ve V. I. Lenin'in eserlerinde ortalama değerlere özel bir rol verilir.

K. Marx, genel düzeyden bireysel sapmaların ortalama değerde iptal edildiğini ve ortalama düzeyin kitle olgusunun genelleştirici bir özelliği haline geldiğini savundu.Ortalama değer, yalnızca önemli sayıda birim alındığında kitle olgusunun böyle bir özelliği haline gelir. ve bu birimler niteliksel olarak homojendir. Marx, bulunan ortalama değerin "... aynı türden birçok farklı bireysel değerin" ortalaması olduğunu yazdı.

Ortalama değer, bir piyasa ekonomisinde özel bir önem kazanır. Ekonomik kalkınma yasalarının gerekli ve genel eğilimini doğrudan bireysel ve rastgele belirlemeye yardımcı olur.

Ortalama değerler genel koşulların eyleminin, incelenen olgunun düzenliliğinin ifade edildiği genelleştirici göstergelerdir.

İstatistiksel ortalamalar, istatistiksel olarak doğru organize edilmiş bir kütle gözleminin kütle verileri temelinde hesaplanır. İstatistiksel ortalama, niteliksel olarak homojen bir popülasyon (kütle fenomeni) için kütle verilerinden hesaplanırsa, o zaman nesnel olacaktır.

Ortalama değer, soyut bir birimin değerini karakterize ettiği için soyuttur.

Ortalama, tek tek nesnelerdeki özelliğin çeşitliliğinden soyutlanır. Soyutlama, bilimsel araştırmanın bir aşamasıdır. Bireyin ve genelin diyalektik birliği, ortalama değerde gerçekleşir.

Ortalama değerler, birey ve genel, birey ve kitle kategorilerinin diyalektik bir anlayışı temelinde uygulanmalıdır.

Ortadaki, belirli bir tek nesnede toplanan ortak bir şeyi yansıtır.

Kitlesel sosyal süreçlerdeki kalıpları belirlemek için ortalama değer büyük önem taşır.

Bireyin genelden sapması, gelişim sürecinin bir tezahürüdür.

Ortalama değer, incelenen olgunun karakteristik, tipik, gerçek seviyesini yansıtır. Ortalamaların amacı, bu seviyeleri ve zaman ve mekandaki değişimlerini karakterize etmektir.

Ortalama gösterge sıradan bir değerdir, çünkü bir bütün olarak kabul edilen belirli bir kütle olgusunun varlığı için normal, doğal, genel koşullarda oluşur.

İstatistiksel bir sürecin veya olgunun nesnel bir özelliği, ortalama değeri yansıtır.

Çalışılan istatistiksel özelliğin bireysel değerleri, popülasyonun her birimi için farklıdır. Bir türden bireysel değerlerin ortalama değeri, nüfusun tüm birimlerinin kümülatif eyleminin sonucu olan ve bir yığın tekrarlanan kazada kendini gösteren bir zorunluluk ürünüdür.

Bazı bireysel fenomenlerin, tüm fenomenlerde var olan, ancak farklı miktarlarda bulunan işaretleri vardır - bu, bir kişinin boyu veya yaşıdır. Bireysel bir fenomenin diğer belirtileri, farklı fenomenlerde niteliksel olarak farklıdır, yani bazılarında bulunur ve diğerlerinde gözlenmez (bir erkek kadın olmaz). Ortalama değer, belirli bir kümedeki tüm fenomenlerde bulunan, niteliksel olarak homojen ve yalnızca niceliksel olarak farklılık gösteren işaretler için hesaplanır.

Ortalama değer, çalışılan özelliğin değerlerinin bir yansımasıdır ve bu özellik ile aynı boyutta ölçülür.

Diyalektik materyalizm teorisi, dünyadaki her şeyin değiştiğini ve geliştiğini öğretir. Ayrıca ortalama değerlerle karakterize edilen işaretler ve buna bağlı olarak ortalamaların kendileri değişir.

Hayat, sürekli yeni bir şey yaratma sürecidir. Yeni bir niteliğin taşıyıcısı tekil nesnelerdir, o zaman bu nesnelerin sayısı artar ve yeni tipik kütle haline gelir.

Ortalama değer, çalışılan popülasyonu yalnızca bir temelde karakterize eder. Bir dizi spesifik özellik için incelenen popülasyonun eksiksiz ve kapsamlı bir sunumu için, fenomeni farklı açılardan tanımlayabilen bir ortalama değerler sistemine sahip olmak gerekir.

2. Ortalama türleri

Malzemenin istatistiksel olarak işlenmesinde çözülmesi gereken çeşitli problemler ortaya çıkar ve bu nedenle istatistiksel uygulamada çeşitli ortalama değerler kullanılır. Matematiksel istatistikler, aşağıdakiler gibi çeşitli ortalamalar kullanır: aritmetik ortalama; geometrik ortalama; ortalama harmonik; Kök kare ortalama.

Yukarıdaki ortalama türlerinden birini uygulamak için, çalışılan popülasyonu analiz etmek, incelenen olgunun maddi içeriğini belirlemek gerekir, tüm bunlar sonuçların anlamlılığı ilkesinden çıkarılan sonuçlara dayanarak yapılır. tartarken veya toplarken.

Ortalamaların çalışmasında, aşağıdaki göstergeler ve gösterimler kullanılır.

Ortalamanın bulunduğu kritere denir. ortalama özellik ve x ile gösterilir; İstatistiksel popülasyonun herhangi bir birimi için ortalama özelliğin değerine denir. bireysel anlamı veya seçenekler, ve olarak belirtilen x 1 , X 2 , x 3 ,… X P ; frekans, harfle gösterilen bir özelliğin bireysel değerlerinin tekrarlanabilirliğidir. f.

Aritmetik ortalama

En yaygın ortam türlerinden biri aritmetik ortalama, bu, ortalama özniteliğin hacmi, incelenen istatistiksel popülasyonun bireysel birimleri için değerlerinin toplamı olarak oluşturulduğunda hesaplanır.

Aritmetik ortalamayı hesaplamak için, tüm özellik seviyelerinin toplamı, sayılarına bölünür.

Bazı seçenekler birkaç kez ortaya çıkarsa, her seviyenin karşılık gelen popülasyon birimi sayısıyla çarpılması ve ardından elde edilen ürünlerin toplamı ile öznitelik düzeylerinin toplamı elde edilebilir, bu şekilde hesaplanan aritmetik ortalamaya ağırlıklı aritmetik denir. kastetmek.

Ağırlıklı aritmetik ortalamanın formülü aşağıdaki gibidir:

x'in seçenekler olduğu yerde,

f i - frekanslar veya ağırlıklar.

Varyantların farklı bolluklara sahip olduğu tüm durumlarda ağırlıklı bir ortalama kullanılmalıdır.

Aritmetik ortalama, aslında her biri için değişen, niteliğin toplam değerini tek tek nesneler arasında eşit olarak dağıtır.

Ortalama değerlerin hesaplanması, ortalamanın hesaplandığı özellik varyantları aralıklar (-den) şeklinde sunulduğunda, aralık dağılım serisi şeklinde gruplandırılmış verilere göre gerçekleştirilir.

Aritmetik ortalamanın özellikleri:

1) değişen değerlerin toplamının aritmetik ortalaması, aritmetik ortalamaların toplamına eşittir: x ben = y ben + z ben ise, o zaman

Bu özellik, hangi durumlarda ortalama değerleri özetlemenin mümkün olduğunu gösterir.

2) değişen özniteliğin bireysel değerlerinin ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamı sıfıra eşittir, çünkü bir yöndeki sapmaların toplamı diğer yöndeki sapmaların toplamı ile dengelenir:

Bu kural, ortalamanın sonuç olduğunu gösterir.

3) Serinin tüm varyantları aynı sayıda artar veya azalırsa, ortalama aynı sayı kadar artar veya azalır mı?:

4) Serinin tüm varyantları A kat artırılır veya azaltılırsa, ortalama da A kat artar veya azalır:

5) Ortalamanın beşinci özelliği bize ağırlıkların boyutuna değil, aralarındaki orana bağlı olduğunu gösterir. Ağırlık olarak sadece göreli değil mutlak değerler de alınabilir.

Serinin tüm frekansları aynı d sayısına bölünür veya çarpılırsa, ortalama değişmez.

Ortalama harmonik. Aritmetik ortalamayı belirlemek için bir dizi seçenek ve frekansa, yani değerlere sahip olmak gerekir. X ve f.

Özelliğin bireysel değerlerini bildiğimizi varsayalım. X ve çalışır X/, ve frekanslar f bilinmiyor, öyleyse ortalamayı hesaplamak için ürünü ifade ediyoruz = X/; nerede:

Bu formdaki ortalamaya harmonik ağırlıklı ortalama denir ve şu şekilde gösterilir: x zarar. vzvv.

Buna göre harmonik ortalama, aritmetik ortalama ile aynıdır. Gerçek ağırlıkların bilinmediği durumlarda geçerlidir. f ve ürün biliniyor fx = z

işler ne zaman fx aynı veya bire eşit (m = 1), aşağıdaki formülle hesaplanan harmonik basit ortalama kullanılır:

nerede X- ayrı seçenekler;

n- sayı.

geometrik ortalama

n tane büyüme faktörü varsa, ortalama katsayı formülü şu şekildedir:

Bu geometrik ortalama formülüdür.

Geometrik ortalama, derecenin köküne eşittir. n sonraki her dönemin değerinin bir öncekinin değerine oranını karakterize eden büyüme katsayılarının ürününden.

Kare fonksiyonları olarak ifade edilen değerler ortalamaya tabi ise kök ortalama kare kullanılır. Örneğin, ortalama kareyi kullanarak boruların, tekerleklerin vb. çaplarını belirleyebilirsiniz.

Ortalama kare basit, tek tek özellik değerlerinin karelerinin toplamının sayılarına bölünmesinden bölümün karekökü alınarak belirlenir.

Ağırlıklı kök ortalama karesi:

3. Yapısal ortalamalar. Mod ve medyan

İstatistiksel popülasyonun yapısını karakterize etmek için, denilen göstergeler kullanılır. yapısal ortalamalar. Bunlar mod ve medyanı içerir.

moda (M hakkında ) - en yaygın seçenek. Moda teorik dağılım eğrisinin maksimum noktasına karşılık gelen özelliğin değeri denir.

Mod, en sık meydana gelen veya tipik değeri temsil eder.

Moda, ticari uygulamada tüketici talebini incelemek ve fiyatları kaydetmek için kullanılır.

Ayrık bir seride mod, en yüksek frekansa sahip varyanttır. Aralık varyasyon serisinde, aralığın en yüksek frekansa (özellik) sahip merkezi varyantı mod olarak kabul edilir.

Aralık içinde, kip olan özniteliğin değerini bulmak gerekir.

nerede X hakkında mod aralığının alt sınırıdır;

h mod aralığının değeridir;

fm mod aralığının frekansıdır;

f t-1 - moddan önceki aralığın sıklığı;

fm+1, modu takip eden aralığın frekansıdır.

Mod, grupların büyüklüğüne, grupların sınırlarının tam konumuna bağlıdır.

Moda- gerçekte en sık görülen sayı (belirli bir değerdir), pratikte en geniş kullanıma sahiptir (en yaygın alıcı türü).

Medyan (M e- bu, sıralı varyasyon serisinin sayısını iki eşit parçaya bölen değerdir: bir kısım, ortalama varyanttan daha küçük olan değişen özelliğin değerlerine sahiptir ve diğeri büyüktür.

Medyan dağıtım serisinin kalan elemanlarının yarısından büyük veya ona eşit ve aynı anda ondan küçük veya eşit olan bir elemandır.

Medyanın özelliği, özellik değerlerinin medyandan mutlak sapmalarının toplamının diğer herhangi bir değerden daha az olmasıdır.

Medyanı kullanmak, diğer ortalama biçimlerini kullanmaktan daha doğru sonuçlar almanızı sağlar.

Aralık varyasyon serisinde medyanı bulma sırası aşağıdaki gibidir: niteliğin bireysel değerlerini sıraya göre düzenleriz; bu sıralanmış seriler için birikmiş frekansları belirlemek; birikmiş frekanslara göre, medyan aralığı buluyoruz:

nerede x ben medyan aralığın alt sınırıdır;

ben Ben mi medyan aralığın değeridir;

f/2 serinin frekanslarının yarısı toplamıdır;

S Ben mi-1, medyan aralıktan önceki birikmiş frekansların toplamıdır;

f Ben mi medyan aralığın frekansıdır.

Medyan, satır sayısını yarıya böler, bu nedenle, kümülatif frekansın toplam frekans sayısının yarısı veya yarısından fazlası olduğu ve önceki (kümülatif) frekansın popülasyon sayısının yarısından az olduğu yerdir.

5.1. ortalama kavramı

Ortalama değer - bu, olgunun tipik seviyesini karakterize eden genelleştirici bir göstergedir. Nüfusun birimi ile ilgili özniteliğin değerini ifade eder.

Ortalama her zaman özelliğin nicel varyasyonunu genelleştirir, yani. ortalama değerlerde, rastgele koşullar nedeniyle popülasyonun birimlerindeki bireysel farklılıklar ortadan kaldırılır. Ortalamanın aksine, popülasyonun bireysel bir biriminin bir özelliğinin seviyesini karakterize eden mutlak değer, farklı popülasyonlara ait birimler için özelliğin değerlerinin karşılaştırılmasına izin vermez. Dolayısıyla, iki işletmedeki işçilerin ücret düzeylerini karşılaştırmak gerekirse, farklı işletmelerdeki iki çalışanı bu temelde karşılaştırmak mümkün değildir. Karşılaştırma için seçilen işçilerin ücretleri bu işletmeler için tipik olmayabilir. Söz konusu işletmelerdeki ücret fonlarının büyüklüğünü karşılaştırırsak, çalışan sayısı dikkate alınmaz ve bu nedenle ücret seviyesinin nerede daha yüksek olduğunu belirlemek imkansızdır. Sonuçta, yalnızca ortalamalar karşılaştırılabilir, yani. Her şirkette bir işçi ortalama ne kadar kazanıyor? Bu nedenle, popülasyonun genelleştirici bir özelliği olarak ortalama değerin hesaplanmasına ihtiyaç vardır.

Ortalamayı hesaplamak yaygın bir genelleme tekniğidir; ortalama gösterge, çalışılan popülasyonun tüm birimleri için tipik (tipik) olan geneli reddederken, aynı zamanda bireysel birimler arasındaki farkları da göz ardı eder. Her fenomende ve gelişiminde bir şans ve zorunluluk bileşimi vardır. Ortalamaları hesaplarken, büyük sayılar yasasının işleyişi nedeniyle, rastgelelik birbirini iptal eder, dengeler, böylece fenomenin önemsiz özelliklerinden, her bir özel durumda niteliğin nicel değerlerinden soyutlayabilirsiniz. Bireysel değerlerin rastgeleliğinden soyutlama yeteneği, dalgalanmalar, toplamların genelleştirici özellikleri olarak ortalamaların bilimsel değeridir.

Ortalamanın gerçekten tipik olması için belirli ilkeler dikkate alınarak hesaplanması gerekir.

Ortalamaların uygulanması için bazı genel ilkeler üzerinde duralım.
1. Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için ortalama belirlenmelidir.
2. Yeterince fazla sayıda birimden oluşan bir popülasyon için ortalama hesaplanmalıdır.
3. Birimleri normal, doğal durumda olan nüfus için ortalama hesaplanmalıdır.
4. Ortalama, incelenen göstergenin ekonomik içeriği dikkate alınarak hesaplanmalıdır.

5.2. Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri

Şimdi ortalama türlerini, hesaplama özelliklerini ve uygulama alanlarını ele alalım. Ortalama değerler iki büyük sınıfa ayrılır: güç ortalamaları, yapısal ortalamalar.

İle güç anlamı geometrik ortalama, aritmetik ortalama ve ortalama kare gibi en ünlü ve yaygın olarak kullanılan türleri içerir.

Gibi yapısal ortalamalar mod ve medyan dikkate alınır.

Güç ortalamaları üzerinde duralım. Güç ortalamaları, ilk verilerin sunumuna bağlı olarak basit ve ağırlıklı olabilir. basit ortalama gruplandırılmamış verilerden hesaplanır ve aşağıdaki genel forma sahiptir:

burada X i, ortalaması alınmış özelliğin varyantıdır (değeri);

n, seçeneklerin sayısıdır.

Ağırlıklı ortalama gruplandırılmış verilerle hesaplanır ve genel bir forma sahiptir

,

burada Xi, ortalaması alınan özelliğin varyantı (değeri) veya varyantın ölçüldüğü aralığın orta değeridir;
m, ortalamanın üssüdür;
f i - ortalaması alınan özelliğin i-e değerinin kaç kez oluştuğunu gösteren frekans.

Örnek olarak 20 kişilik bir gruptaki öğrencilerin yaş ortalamasının hesaplanmasını verelim:

Basit ortalama formülü kullanarak ortalama yaşı hesaplıyoruz:

Kaynak verileri gruplayalım. Aşağıdaki dağıtım serilerini alıyoruz:

Gruplandırmanın bir sonucu olarak, X yaşındaki öğrenci sayısını gösteren yeni bir gösterge - frekans elde ediyoruz. Bu nedenle, gruptaki öğrencilerin yaş ortalaması, ağırlıklı ortalama formülü kullanılarak hesaplanacaktır:

Üstel ortalamaları hesaplamak için genel formüller bir üs (m) içerir. Hangi değere bağlı olarak, aşağıdaki güç ortalamaları türleri ayırt edilir:
m = -1 ise harmonik ortalama;
m –> 0 ise geometrik ortalama;
m = 1 ise aritmetik ortalama;
m = 2 ise ortalama kare kök;
m = 3 ise ortalama kübik.

Güç ortalama formülleri Tablo'da verilmiştir. 4.4.

Aynı ilk veriler için her tür ortalamayı hesaplarsak, değerleri aynı olmayacaktır. Burada ortalamaların büyüklüğü kuralı geçerlidir: m üssündeki bir artışla, karşılık gelen ortalama değer de artar:

İstatistiksel uygulamada, diğer ağırlıklı ortalama türlerinden daha sık olarak aritmetik ve harmonik ağırlıklı ortalamalar kullanılır.

Tablo 5.1

Güç Araçları Türleri

Güç türü orta	Gösterge derece (m)	Hesaplama formülü
		Basit	ağırlıklı
harmonik	-1
Geometrik	0
Aritmetik	1
ikinci dereceden	2
kübik	3

Harmonik ortalama, aritmetik ortalamadan daha karmaşık bir yapıya sahiptir. Harmonik ortalama, ağırlıklar popülasyonun birimleri değil - özelliğin taşıyıcıları, ancak bu birimlerin ürünleri ve özelliğin değerleri (yani m = Xf) olduğunda hesaplamalar için kullanılır. Ortalama harmonik arıza süresi, örneğin, ortalama işçilik, zaman, çıktı birimi başına malzeme, iki (üç, dört, vb.) işletme için parça başına ortalama maliyetlerin belirlenmesi durumunda kullanılmalıdır. aynı tür ürün, aynı parça, ürün.

Ortalama değeri hesaplama formülü için temel gereksinim, hesaplamanın tüm aşamalarının gerçekten anlamlı bir gerekçeye sahip olmasıdır; ortaya çıkan ortalama değer, bireysel ve özet göstergeler arasındaki bağlantıyı kesmeden her nesne için özniteliğin bireysel değerlerinin yerini almalıdır. Başka bir deyişle, ortalama değer, ortalaması alınmış göstergenin her bir bireysel değeri, ortalama değeri ile değiştirildiğinde, ortalaması alınan göstergeyle şu veya bu şekilde bağlantılı olan bazı nihai özet göstergelerin değişmeden kalacağı şekilde hesaplanmalıdır. Bu sonuca denir belirleyen bireysel değerlerle ilişkisinin doğası, ortalama değeri hesaplamak için özel formülü belirlediğinden. Bu kuralı geometrik ortalama örneği üzerinde gösterelim.

geometrik ortalama formülü

dinamiklerin bireysel göreceli değerlerinin ortalama değerini hesaplarken en sık kullanılır.

Geometrik ortalama, örneğin bir önceki yılın seviyesine kıyasla üretim hacmindeki bir artışı gösteren, dinamiklerin zincir bağıl değerleri dizisi verilirse kullanılır: i 1 , i 2 , i 3 , ..., içinde . Açıkçası, geçen yılki üretim hacmi, ilk seviyesi (q 0) ve yıllar içindeki müteakip büyümesi ile belirlenir:

q n =q 0 × ben 1 × ben 2 ×...× ben n .

Tanımlayıcı bir gösterge olarak qn alarak ve dinamik göstergelerin bireysel değerlerini ortalama değerlerle değiştirerek ilişkiye varıyoruz.

Buradan

5.3. yapısal ortalamalar

Özel bir ortalama değer türü - yapısal ortalamalar - öznitelik değerlerinin dağılım serisinin iç yapısını incelemek ve ayrıca mevcut istatistiksel verilere göre, ortalama değeri (güç tipi) tahmin etmek için kullanılır, hesaplaması yapılamaz (örneğin, dikkate alınan örnekte veri yoksa) ve üretim hacmi ve işletme gruplarına göre maliyet miktarı üzerinde).

Göstergeler çoğunlukla yapısal ortalamalar olarak kullanılır. moda - en sık tekrarlanan özellik değeri - ve ortanca - değerlerinin sıralı sırasını sayı olarak eşit iki parçaya bölen bir özelliğin değeri. Sonuç olarak, nüfus birimlerinin bir yarısında özniteliğin değeri ortanca düzeyi geçmez, diğer yarısında ise bundan daha az değildir.

İncelenen özelliğin ayrık değerleri varsa, mod ve medyanı hesaplamada belirli bir zorluk yoktur. X özniteliğinin değerlerine ilişkin veriler, değişiminin sıralı aralıkları (aralık serileri) şeklinde sunulursa, mod ve medyanın hesaplanması biraz daha karmaşık hale gelir. Medyan değer, tüm popülasyonu sayı olarak eşit iki parçaya böldüğü için, X özelliğinin aralıklarından birinde sona erer. İnterpolasyon kullanılarak, medyan değer bu medyan aralıkta bulunur:

,

burada X Me, medyan aralığın alt sınırıdır;
h Me değeridir;
(Toplam m) / 2 - ortalama değeri hesaplamak için formüllerde ağırlık olarak kullanılan göstergenin toplam gözlem sayısının yarısı veya hacminin yarısı (mutlak veya göreceli olarak);
S Me-1, medyan aralığın başlangıcından önce toplanan gözlemlerin (veya ağırlıklandırma özelliğinin hacminin) toplamıdır;
m Me, medyan aralıktaki (mutlak veya göreli olarak da) gözlem sayısı veya ağırlıklandırma özelliğinin hacmidir.

Örneğimizde, işletme sayısının, üretim hacminin ve toplam üretim maliyetinin belirtilerine bağlı olarak üç ortanca değer bile elde edilebilir:

Böylece, işletmelerin yarısı için, bir üretim biriminin maliyeti 125.19 bin rubleyi aşıyor, toplam üretim hacminin yarısı, 124.79 bin ruble'den fazla ürün başına maliyet seviyesi ile üretiliyor. ve toplam maliyetin %50'si 125.07 bin ruble'nin üzerindeki bir ürünün maliyeti düzeyinde oluşmaktadır. Me 2 = 124.79 bin ruble ve ortalama seviye 123.15 bin ruble olduğu için maliyette belirli bir artış eğilimi olduğunu da not ediyoruz.

Aralık serisinin verilerine göre bir özelliğin modal değerini hesaplarken, özellik değerlerinin frekans göstergesi X buna bağlı olduğundan aralıkların aynı olmasına dikkat etmek gerekir. eşit aralıklarla bir aralık serisi, mod değeri olarak belirlenir

burada X Mo, mod aralığının alt değeridir;
m Mo, modal aralıktaki (mutlak veya bağıl terimlerle) gözlem sayısı veya ağırlıklandırma özelliğinin hacmidir;
m Mo -1 - moddan önceki aralık için aynı;
m Mo+1 - kipten sonraki aralık için aynı;
h, özelliğin gruplardaki değişim aralığının değeridir.

Örneğimiz için, işletme sayısı, üretim hacmi ve maliyet tutarının işaretleri temel alınarak üç mod değeri hesaplanabilir. Her üç durumda da, mod aralığı aynıdır, çünkü aynı aralık için hem işletme sayısı, hem üretim hacmi hem de toplam üretim maliyeti miktarı en büyük olur:

Bu nedenle, maliyet seviyesi 126.75 bin ruble olan işletmelere en sık rastlanmakta, maliyet seviyesi 126.69 bin ruble olan ürünler en sık üretilmekte ve çoğu zaman üretim maliyetleri 123.73 bin ruble maliyet seviyesi ile açıklanmaktadır.

5.4. Varyasyon göstergeleri

Çalışılan nesnelerin her birinin bulunduğu belirli koşullar ve kendi gelişimlerinin özellikleri (sosyal, ekonomik, vb.) Karşılık gelen sayısal istatistiksel gösterge seviyeleri ile ifade edilir. Böylece, varyasyon, onlar. aynı göstergenin farklı nesnelerdeki seviyeleri arasındaki tutarsızlık nesneldir ve incelenen olgunun özünün anlaşılmasına yardımcı olur.

İstatistiklerdeki varyasyonu ölçmenin birkaç yolu vardır.

En basit göstergenin hesaplanması yayılma varyasyonuÖzelliğin maksimum (X maks) ve minimum (X dak) gözlemlenen değerleri arasındaki fark olarak H:

H=X maks - X dak.

Bununla birlikte, varyasyon aralığı, özelliğin yalnızca uç değerlerini gösterir. Ara değerlerin tekrarlanabilirliği burada dikkate alınmaz.

Daha katı özellikler, özelliğin ortalama düzeyine göre dalgalanma göstergeleridir. Bu türün en basit göstergesi ortalama doğrusal sapma L, bir özelliğin ortalama seviyesinden mutlak sapmalarının aritmetik ortalaması olarak:

X'in bireysel değerlerinin tekrarı ile ağırlıklı aritmetik ortalama formülü kullanılır:

(Ortalama düzeyden sapmaların cebirsel toplamının sıfır olduğunu hatırlayın.)

Ortalama doğrusal sapmanın göstergesi pratikte geniş uygulama alanı bulmuştur. Örneğin, yardımı ile işçilerin bileşimi, üretimin ritmi, malzeme tedarikinin tekdüzeliği analiz edilir ve maddi teşvik sistemleri geliştirilir. Ancak ne yazık ki, bu gösterge olasılıklı türdeki hesaplamaları karmaşıklaştırıyor, matematiksel istatistik yöntemlerini uygulamayı zorlaştırıyor. Bu nedenle, istatistiksel bilimsel araştırmalarda, gösterge en sık varyasyonu ölçmek için kullanılır. dağılım.

Özellik varyansı (s 2), ikinci dereceden güç ortalamasına göre belirlenir:

.

s'ye eşit bir üs denir standart sapma.

Genel istatistik teorisinde, varyans göstergesi, aynı adı taşıyan olasılık teorisi göstergesinin bir tahmini ve (sapmaların karelerinin toplamı olarak) matematiksel istatistiklerdeki varyansın bir tahminidir ve bu, bu hükümlerin kullanılmasını mümkün kılar. sosyo-ekonomik süreçleri analiz etmek için teorik disiplinler.

Varyasyon, sınırsız bir genel popülasyondan alınan az sayıda gözlemden tahmin ediliyorsa, özelliğin ortalama değeri bazı hatalarla belirlenir. Dağılımın hesaplanan değeri aşağı doğru kaymış gibi görünüyor. Tarafsız bir tahmin elde etmek için yukarıdaki formüllerden elde edilen örnek varyansı n / (n - 1) ile çarpılmalıdır. Sonuç olarak, az sayıda gözlemle (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Genellikle zaten n > (15÷20) olduğunda, taraflı ve tarafsız tahminler arasındaki fark önemsiz hale gelir. Aynı nedenden dolayı, varyans ekleme formülünde genellikle önyargı dikkate alınmaz.

Genel popülasyondan birkaç örnek alınırsa ve özelliğin ortalama değeri her belirlendiğinde, ortalamaların değişkenliğini tahmin etme sorunu ortaya çıkar. Tahmini varyans ortalama değer formüle göre sadece bir örnek gözleme dayalı da olabilir

,

n, numune boyutudur; s 2, örnek verilerden hesaplanan özelliğin varyansıdır.

Değer denir ortalama örnekleme hatası ve X özelliğinin örnek ortalama değerinin gerçek ortalama değerinden sapmasının bir özelliğidir. Ortalama hata göstergesi, örnek gözlem sonuçlarının güvenilirliğinin değerlendirilmesinde kullanılır.

Bağıl dağılım göstergeleri.İncelenen özelliğin dalgalanma ölçüsünü karakterize etmek için dalgalanma göstergeleri nispi terimlerle hesaplanır. Dağılımın doğasını farklı dağılımlarda karşılaştırmanıza izin verir (farklı kümeleri karşılaştırırken, araçların farklı değerleriyle, iki kümede aynı özelliğin farklı gözlem birimleri). Göreceli dağılım ölçüsü göstergelerinin hesaplanması, mutlak dağılım indeksinin aritmetik ortalamaya oranı %100 ile çarpılarak yapılır.

1. salınım katsayısıözelliğin uç değerlerinin ortalama etrafındaki göreceli dalgalanmasını yansıtır

.

2. Göreceli doğrusal kapatma, ortalama değerden mutlak sapma işaretinin ortalama değerinin payını karakterize eder.

.

3. Varyasyon katsayısı:

ortalamaların tipikliğini değerlendirmek için kullanılan en yaygın varyans ölçüsüdür.

İstatistikte, %30-35'ten büyük bir varyasyon katsayısına sahip popülasyonlar heterojen olarak kabul edilir.

Bu varyasyon tahmin yönteminin de önemli bir dezavantajı vardır. Gerçekten de, örneğin, standart sapması s = 10 yıl olan, 15 yıl daha "yaşlanmış", ortalama hizmet süresi 15 yıl olan ilk işçi nüfusuna izin verin. Şimdi = 30 yıl ve standart sapma hala 10. Önceden heterojen popülasyon (10/15 × 100 = %66,7), bu nedenle zaman içinde oldukça homojen olduğu ortaya çıkıyor (10/30 × 100 = %33,3).

Boyarsky A.Ya. İstatistik üzerine teorik araştırma: Sat. İlmi Bildiriler - M.: İstatistikler, 1974. s. 19–57.

Öncesi

Konu 5. İstatistiksel göstergeler olarak ortalamalar

Ortalama kavramı. İstatistiksel bir çalışmada ortalama değerlerin kapsamı

Elde edilen birincil istatistiksel verilerin işlenmesi ve özetlenmesi aşamasında ortalama değerler kullanılır. Ortalama değerleri belirleme ihtiyacı, incelenen popülasyonların farklı birimleri için, aynı özelliğin bireysel değerlerinin kural olarak aynı olmamasından kaynaklanmaktadır.

Ortalama değerçalışma popülasyonundaki bir özelliğin veya bir grup özelliğin genelleştirilmiş değerini karakterize eden bir gösterge çağırın.

Niteliksel olarak homojen özelliklere sahip bir popülasyon inceleniyorsa, ortalama değer burada şu şekilde görünür: tipik ortalama. Örneğin, belirli bir endüstride sabit bir gelir düzeyine sahip işçi grupları için, temel ihtiyaçlar için tipik bir ortalama harcama belirlenir, yani. tipik ortalama, bu gruptaki işçilerin temel mallar üzerindeki harcamalarının payı olan belirli bir popülasyondaki özelliğin niteliksel olarak homojen değerlerini genelleştirir.

Niteliksel olarak heterojen özelliklere sahip bir popülasyonun çalışmasında, atipik ortalama göstergeleri ön plana çıkabilir. Örneğin, kişi başına üretilen milli gelirin ortalama göstergeleri (farklı yaş grupları), Rusya'daki ortalama tahıl mahsulleri (farklı iklim bölgelerinin ve farklı tahıl mahsullerinin alanları), nüfusun ortalama doğum oranları. ülkenin tüm bölgeleri, belirli bir süre için ortalama sıcaklık vb. Burada, ortalama değerler, niteliksel olarak heterojen özelliklerin veya sistemik mekansal kümelerin (uluslararası topluluk, kıta, eyalet, bölge, bölge, vb.) Veya zamana yayılan dinamik kümelerin (yüzyıl, on yıl, yıl, mevsim vb.) ) . Bu ortalamalar denir sistem ortalamaları.

Bu nedenle, ortalama değerlerin anlamı, genelleme işlevinden oluşur. Ortalama değer, bir özelliğin çok sayıda bireysel değerinin yerini alarak, popülasyonun tüm birimlerinde bulunan ortak özellikleri ortaya çıkarır. Bu da rastgele sebeplerden kaçınmayı ve yaygın sebeplerden kaynaklanan ortak kalıpları tanımlamayı mümkün kılar.

Ortalama değer türleri ve hesaplama yöntemleri

İstatistiksel işleme aşamasında, çözümü için uygun ortalamayı seçmenin gerekli olduğu çeşitli araştırma görevleri belirlenebilir. Bu durumda, aşağıdaki kural tarafından yönlendirilmek gerekir: Ortalamanın payını ve paydasını temsil eden değerler mantıksal olarak birbiriyle ilişkili olmalıdır.

güç ortalamaları;

yapısal ortalamalar.

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

Ortalaması hesaplanan değerler;

Yukarıdaki satırın bireysel değerlerin ortalamasının alındığını gösterdiği ortalama;

Sıklık (bireysel özellik değerlerinin tekrarlanabilirliği).

Genel güç ortalaması formülünden çeşitli araçlar elde edilir:

(5.1)

k = 1 için - aritmetik ortalama; k = -1 - harmonik ortalama; k = 0 - geometrik ortalama; k = -2 - kök ortalama kare.

Ortalamalar basit veya ağırlıklıdır. ağırlıklı ortalamalarözniteliğin değerlerinin bazı varyantlarının farklı sayılara sahip olabileceğini ve bu nedenle her varyantın bu sayı ile çarpılması gerektiğini dikkate alan miktarlar denir. Başka bir deyişle, "ağırlıklar", farklı gruplardaki nüfus birimlerinin sayılarıdır, yani. her seçenek frekansına göre "ağırlıklıdır". Frekans f denir istatistiksel ağırlık veya ağırlık ortalaması.

Aritmetik ortalama- en yaygın ortam türü. Ortalama toplamı almak istediğiniz gruplanmamış istatistiksel veriler üzerinde hesaplama yapıldığında kullanılır. Aritmetik ortalama, alındığında özelliğin popülasyondaki toplam hacminin değişmeden kaldığı bir özelliğin böyle bir ortalama değeridir.

Aritmetik ortalama formülü (basit) şu şekildedir:

burada n nüfus büyüklüğüdür.

Örneğin, bir işletmenin çalışanlarının ortalama maaşı, aritmetik ortalama olarak hesaplanır:

Burada belirleyici olan göstergeler her bir çalışanın ücreti ve işletmenin çalışan sayısıdır. Ortalamayı hesaplarken, toplam ücret miktarı aynı kaldı, ancak sanki tüm işçiler arasında eşit olarak dağıtıldı. Örneğin, 8 kişinin çalıştığı küçük bir şirketin çalışanlarının ortalama maaşını hesaplamak gerekir:

Ortalamalar hesaplanırken, ortalaması alınan özelliğin bireysel değerleri tekrarlanabilir, bu nedenle ortalama, gruplandırılmış veriler kullanılarak hesaplanır. Bu durumda, kullanmaktan bahsediyoruz aritmetik ortalama ağırlıklı, neye benziyor

(5.3)

Dolayısıyla bir anonim şirketin borsadaki ortalama hisse fiyatını hesaplamamız gerekiyor. İşlemlerin 5 gün (5 işlem) içerisinde gerçekleştiği biliniyor, satış oranından satılan hisse adedi aşağıdaki gibi dağıtıldı:

1 - 800 ac. - 1010 ruble

2 - 650 ac. - 990 ovmak.

3-700 ak. - 1015 ruble.

4 - 550 ac. - 900 ovmak.

5 - 850 bin. - 1150 ruble.

Ortalama hisse fiyatını belirlemek için ilk oran, toplam işlem tutarının (TCA) satılan hisse sayısına (KPA) oranıdır:

ÖSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;

EBM = 800+650+700+550+850=3550.

Bu durumda, ortalama hisse fiyatı şuna eşitti:

Hem kullanımı hem de hesabı için çok önemli olan aritmetik ortalamanın özelliklerini bilmek gerekir. İstatistiksel ve ekonomik hesaplamalarda aritmetik ortalamanın yaygın olarak kullanılmasına en çok yol açan üç ana özellik vardır.

Birinci özellik (sıfır): Özelliğin bireysel değerlerinin ortalama değerinden pozitif sapmalarının toplamı, negatif sapmaların toplamına eşittir. Bu çok önemli bir özelliktir, çünkü rastgele nedenlerden kaynaklanan sapmaların (hem + hem de - ile) karşılıklı olarak iptal edileceğini gösterir.

Kanıt:

İkinci özellik (minimum): özniteliğin bireysel değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının karelerinin toplamı, diğer herhangi bir sayıdan (a), yani. minimum sayıdır.

Kanıt.

a değişkeninden sapmaların karelerinin toplamını oluşturun:

(5.4)

Bu fonksiyonun ekstremumunu bulmak için türevini a'ya göre sıfıra eşitlemek gerekir:

Buradan şunu elde ederiz:

(5.5)

Bu nedenle, sapmaların karelerinin toplamının uç noktasına 'da ulaşılır. Bu ekstremum minimumdur, çünkü fonksiyonun bir maksimumu olamaz.

Üçüncü özellik: bir sabitin aritmetik ortalaması şu sabite eşittir: a = const.

Aritmetik ortalamanın bu en önemli üç özelliğine ek olarak, tasarım özellikleri elektronik bilgisayarların kullanımı nedeniyle giderek önemini yitiren:

her birimin işaretinin bireysel değeri sabit bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, aritmetik ortalama aynı miktarda artacak veya azalacaktır;

aritmetik ortalama, her bir özellik değerinin ağırlığı (frekansı) sabit bir sayıya bölünürse değişmez;

her birimin özniteliğinin bireysel değerleri aynı miktarda azalır veya artarsa, aritmetik ortalama aynı miktarda azalır veya artar.

ortalama harmonik. Bu ortalama, k = -1 olduğunda bu değer kullanıldığından, karşılıklı aritmetik ortalama olarak adlandırılır.

basit harmonik ortalama karakteristik değerlerin ağırlıkları aynı olduğunda kullanılır. Formülü, k = -1 ile değiştirilerek temel formülden türetilebilir:

Örneğin, aynı yolu ancak farklı hızlarda kat eden iki arabanın ortalama hızını hesaplamamız gerekiyor: ilki 100 km/s hızla, ikincisi 90 km/s. Harmonik ortalama yöntemini kullanarak ortalama hızı hesaplıyoruz:

İstatistiksel uygulamada, formülü forma sahip olan harmonik ağırlıklı daha sık kullanılır.

Bu formül, her bir öznitelik için ağırlıkların (veya fenomen hacimlerinin) eşit olmadığı durumlarda kullanılır. Orijinal oranda, payın ortalamayı hesapladığı bilinir, ancak payda bilinmiyor.