Teğet eğim değere eşittir. Bir fonksiyonun grafiğine teğet

Matematikte bir doğrunun Kartezyen koordinat düzlemindeki konumunu tanımlayan parametrelerden biri şöyledir: eğim bu düz çizgi. Bu parametre, düz çizginin apsis eksenine olan eğimini karakterize eder. Eğimin nasıl bulunacağını anlamak için önce XY koordinat sistemindeki düz çizgi denkleminin genel formunu hatırlayın.

İÇİNDE Genel görünüm herhangi bir düz çizgi ax+by=c ifadesiyle temsil edilebilir; burada a, b ve c isteğe bağlı gerçek sayılardır, ancak her zaman a 2 + b 2 ≠ 0'dır.

Basit dönüşümler kullanılarak böyle bir denklem, k ve d'nin gerçel sayılar olduğu y=kx+d formuna getirilebilir. K sayısı eğimdir ve bu tür bir doğrunun denklemine eğimli denklem denir. Eğimi bulmak için orijinal denklemi yukarıda belirtilen forma indirmeniz gerektiği ortaya çıktı. Daha kapsamlı bir anlayış için belirli bir örneği düşünün:

Problem: 36x - 18y = 108 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun

Çözüm: Orijinal denklemi dönüştürelim.

Cevap: Bu doğrunun gerekli eğimi 2'dir.

Denklemin dönüşümü sırasında x = const gibi bir ifade elde ettiysek ve bunun sonucunda y'yi x'in bir fonksiyonu olarak temsil edemiyorsak, X eksenine paralel bir doğru ile karşı karşıyayız demektir. düz bir çizgi sonsuza eşittir.

Y = const gibi bir denklemle ifade edilen çizgiler için eğim sıfırdır. Bu, apsis eksenine paralel düz çizgiler için tipiktir. Örneğin:

Problem: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun

Çözüm: Orijinal denklemi genel formuna getirelim

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Ortaya çıkan ifadeden y'yi ifade etmek imkansızdır, bu nedenle bu çizginin açısal katsayısı sonsuza eşittir ve çizginin kendisi Y eksenine paralel olacaktır.

Geometrik anlam

Daha iyi anlamak için resme bakalım:

Şekilde y = kx gibi bir fonksiyonun grafiğini görüyoruz. Basitleştirmek için c = 0 katsayısını alalım. OAB üçgeninde BA kenarının AO kenarına oranı k açısal katsayısına eşit olacaktır. Aynı zamanda VA/AO oranı teğettir dar açıα içinde dik üçgen OAV. Düz çizginin açısal katsayısının, bu düz çizginin koordinat ızgarasının apsis ekseniyle yaptığı açının tanjantına eşit olduğu ortaya çıktı.

Düz bir çizginin açısal katsayısının nasıl bulunacağı problemini çözerek, onunla koordinat ızgarasının X ekseni arasındaki açının tanjantını buluruz. Sınır durumları, söz konusu çizginin koordinat eksenlerine paralel olduğu durumlarda yukarıdakileri doğrular. Aslında, y=const denklemiyle tanımlanan düz bir çizgi için, onunla apsis ekseni arasındaki açı sıfıra eşit. Sıfır açının tanjantı da sıfırdır ve eğim de sıfırdır.

X eksenine dik olan ve x=const denklemiyle tanımlanan düz çizgiler için, bunlarla X ekseni arasındaki açı 90 derecedir. Teğet dik açı sonsuza eşittir ve benzer düz çizgilerin açısal katsayısı da sonsuza eşittir, bu da yukarıda yazılanları doğrular.

Teğet eğim

Uygulamada sıklıkla karşılaşılan ortak bir görev de, bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktadaki teğetin eğimini bulmaktır. Teğet düz bir çizgidir, bu nedenle eğim kavramı ona da uygulanabilir.

Bir teğetin eğimini nasıl bulacağımızı bulmak için türev kavramını hatırlamamız gerekecek. Herhangi bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi, bu fonksiyonun grafiğinin belirtilen noktasındaki teğeti ile apsis ekseni arasında oluşan açının tanjantına sayısal olarak eşit bir sabittir. x 0 noktasındaki teğetin açısal katsayısını belirlemek için, orijinal fonksiyonun k = f"(x 0) noktasındaki türevinin değerini hesaplamamız gerektiği ortaya çıktı. Örneğe bakalım:

Problem: y = 12x 2 + 2xe x fonksiyonuna x = 0,1'de teğet olan doğrunun eğimini bulun.

Çözüm: Orijinal fonksiyonun türevini genel formda bulun

y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1

Cevap: x = 0,1 noktasında gerekli eğim 4,831'dir.

Fonksiyonların türevlerini almayı öğrenin. Türev, bir fonksiyonun grafiğinde yer alan belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Bu durumda grafik düz veya eğri bir çizgi olabilir. Yani türev, bir fonksiyonun zaman içinde belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Hatırlamak Genel kurallar, hangi türevlerin alındığı ve ancak bundan sonra bir sonraki adıma geçin.

• Makaleyi oku.
• En basit türevler nasıl alınır, örneğin türev üstel denklem, anlatıldı. Aşağıdaki adımlarda sunulan hesaplamalar burada açıklanan yöntemlere dayalı olacaktır.

Eğim katsayısının bir fonksiyonun türevi aracılığıyla hesaplanması gereken problemleri ayırt etmeyi öğrenin. Problemler sizden her zaman bir fonksiyonun eğimini veya türevini bulmanızı istemez. Örneğin, bir fonksiyonun A(x,y) noktasındaki değişim oranını bulmanız istenebilir. Ayrıca A(x,y) noktasındaki teğetin eğimini bulmanız da istenebilir. Her iki durumda da fonksiyonun türevini almak gerekir.

Bir fonksiyonun grafiğine teğet kavramına zaten aşinasınız. x 0 yakınındaki x 0 noktasında diferansiyellenebilir f fonksiyonunun grafiği, pratik olarak teğet segmentinden farklı değildir; bu, (x 0 ; f (x 0)) ve ( noktalarından geçen l sekant segmentine yakın olduğu anlamına gelir. x 0 +Δx; f ( x 0 + Δx)). Bu kesenlerden herhangi biri grafiğin A (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçer (Şekil 1). Belirli bir A noktasından geçen bir çizgiyi benzersiz bir şekilde tanımlamak için eğimini belirtmek yeterlidir. Δx→0 olarak sekantın açısal katsayısı Δy/Δx, f’(x 0) sayısına yönelir (bunu teğetin açısal katsayısı olarak alacağız) derler ki teğet, sekantın Δх→0'daki sınırlayıcı konumudur.

Eğer f'(x 0) mevcut değilse, o zaman teğet ya mevcut değildir ((0; 0 noktasındaki y = |x| fonksiyonu gibi), bkz. şekil) ya da dikeydir (fonksiyonun grafiğindeki gibi) (0; 0), Şekil 2).

Dolayısıyla f fonksiyonunun xo noktasında bir türevinin varlığı, grafiğin (x 0, f (x 0)) noktasında (dikey olmayan) bir teğetin varlığına eşdeğerdir, oysa teğet eğim f"(x 0)'a eşittir. Bu geometrik anlamı türev

Xo noktasında diferansiyellenebilir bir f fonksiyonunun grafiğine teğet, (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçen ve f '(x 0) açısal katsayısına sahip olan düz bir çizgidir.

f fonksiyonunun grafiğine x 1, x 2, x 3 noktalarında teğetler çizelim (Şekil 3) ve apsis ekseniyle oluşturdukları açılara dikkat edelim. (Bu, eksenin pozitif yönünden düz çizgiye pozitif yönde ölçülen açıdır.) l düz çizgisi olduğundan α 1 açısının dar, α 3 açısının geniş ve α 2 açısının sıfır olduğunu görüyoruz. Ox eksenine paralel. Dar açının tanjantı pozitif, geniş açının tanjantı negatiftir, tan 0 = 0'dır. Bu nedenle

F"(x 1)>0, f’(x 2)=0, f’(x 3)
Bireysel noktalarda teğetler oluşturmak, grafikleri daha doğru bir şekilde çizmenize olanak tanır. Yani, örneğin sinüs fonksiyonunun bir grafiğinin taslağını oluşturmak için önce bunu 0 noktalarında buluruz; π/2 ve π sinüsünün türevi 1'e eşittir; Sırasıyla 0 ve -1. Açısal katsayıları sırasıyla 1, 0 ve -1 olan (0; 0), (π/2,1) ve (π, 0) noktalarından geçen düz çizgiler çizelim (Şekil 4). Bu düz çizgiler ve Ox düz çizgisi tarafından oluşturulan sonuçta ortaya çıkan yamuk, sinüs grafiği böylece x'in 0'a eşit olması, π/2 ve π için karşılık gelen düz çizgilere değmesidir.

Sıfır yakınındaki sinüs grafiğinin pratik olarak y = x düz çizgisinden ayırt edilemez olduğuna dikkat edin. Örneğin eksenler boyunca ölçekler, bir birim 1 cm'lik bir parçaya karşılık gelecek şekilde seçilsin. Günahımız 0,5 ≈ 0,479425, yani |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02 ve seçilen ölçekte bu, 0,2 mm uzunluğunda bir parçaya karşılık gelir. Bu nedenle, (-0,5; 0,5) aralığındaki y = sin x fonksiyonunun grafiği, y = x düz çizgisinden (dikey yönde) 0,2 mm'den fazla sapmayacaktır; bu, yaklaşık olarak kalınlığına karşılık gelir. çizilmiş çizgi.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

a noktasında türevi olabilen belirli bir y = f(x) fonksiyonunu gösterir. Koordinatları (a; f(a)) olan M noktası işaretlenmiştir. Grafiğin rastgele bir P(a + ∆x; f(a + ∆x)) noktasından geçen bir sekant MR çizilir.

Şimdi P noktası grafik boyunca M noktasına kaydırılırsa, o zaman MR düz çizgisi M noktası etrafında dönecektir. Bu durumda ∆x sıfıra yönelecektir. Buradan bir fonksiyonun grafiğine teğetin tanımını formüle edebiliriz.

Bir fonksiyonun grafiğine teğet

Bir fonksiyonun grafiğine teğet, argümanın artışı sıfıra yaklaştıkça sekantın sınırlayıcı konumudur. f fonksiyonunun türevinin x0 noktasında bulunması, grafiğin bu noktasında teğet ona.

Bu durumda tanjantın açısal katsayısı bu fonksiyonun f’(x0) noktasındaki türevine eşit olacaktır. Türevin geometrik anlamı budur. x0 noktasında diferansiyellenebilir bir f fonksiyonunun grafiğine teğet, (x0;f(x0)) noktasından geçen ve f'(x0) açısal katsayısına sahip belirli bir düz çizgidir.

Teğet denklem

A(x0; f(x0)) noktasındaki bir f fonksiyonunun grafiğine teğet denklemini elde etmeye çalışalım. Eğimi k olan bir doğrunun denklemi aşağıdaki biçimdedir:

Eğim katsayımız türevimize eşit olduğundan f'(x0) ise denklem şu formu alacaktır: y = f'(x0)*x + b.

Şimdi b'nin değerini hesaplayalım. Bunu yapmak için fonksiyonun A noktasından geçtiği gerçeğini kullanırız.

f(x0) = f'(x0)*x0 + b, buradan b'yi ifade ederiz ve b = f(x0) - f'(x0)*x0 elde ederiz.

Ortaya çıkan değeri teğet denklemde değiştiririz:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Şu örneği düşünün: f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 fonksiyonunun grafiğine x = 2 noktasındaki teğet denklemini bulun.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Elde edilen değerleri teğet formülünde yerine koyarsak şunu elde ederiz: y = 1 + 4*(x - 2). Parantezleri açıp benzer terimleri getirdiğimizde şunu elde ederiz: y = 4*x - 7.

Cevap: y = 4*x - 7.

Teğet denklemini oluşturmak için genel şema y = f(x) fonksiyonunun grafiğine:

1. x0'ı belirleyin.

2. f(x0)'ı hesaplayın.

3. f’(x)’i hesaplayın