Dar bir üçgen neye benziyor? Üçgen. Dersleri tamamlayın – Bilgi Hipermarketi

Bugün Geometri ülkesine gidiyoruz, burada tanışacağız çeşitli türlerüçgenler.

Dikkate almak geometrik şekiller ve aralarından “ekstra” olanı bulun (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek olarak illüstrasyon

1, 2, 3, 5 numaralı şekillerin dörtgen olduğunu görüyoruz. Her birinin kendi adı vardır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Dörtgenler

Bu, “ekstra” şeklin bir üçgen olduğu anlamına gelir (Şekil 3).

Pirinç. 3. Örnek olarak illüstrasyon

Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç parçadan oluşan bir şekildir.

noktalar denir üçgenin köşeleri, segmentler - onun partiler. Üçgen formunun kenarları Üçgenin köşelerinde üç açı vardır.

Bir üçgenin temel özellikleri şunlardır: üç kenar ve üç köşe. Açının büyüklüğüne göre üçgenler akut, dikdörtgen ve geniş.

Bir üçgenin üç açısı da dar ise, yani 90°'den küçükse dar açılı üçgen olarak adlandırılır (Şekil 4).

Pirinç. 4. Akut üçgen

Açılarından biri 90° ise üçgene dikdörtgen denir (Şekil 5).

Pirinç. 5. Sağ Üçgen

Açılarından biri genişse, yani 90°'den büyükse üçgene geniş üçgen denir (Şekil 6).

Pirinç. 6. Geniş üçgen

Eşit kenar sayısına göre üçgenler eşkenar, ikizkenar, çeşitkenardır.

İkizkenar üçgen, iki tarafın eşit olduğu üçgendir (Şekil 7).

Pirinç. 7. İkizkenar üçgen

Bu taraflara denir yanal, Üçüncü taraf - temel. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

İkizkenar üçgenler var akut ve kalın(Şekil 8) .

Pirinç. 8. Dar ve geniş ikizkenar üçgenler

Eşkenar üçgen, üç kenarın da eşit olduğu üçgendir (Şekil 9).

Pirinç. 9. Eşkenar üçgen

Eşkenar üçgende tüm açılar eşittir. Eşkenar üçgenler Her zaman dar açılı.

Çeşit çeşit üçgen, üç kenarın da farklı uzunluklara sahip olduğu bir üçgendir (Şekil 10).

Pirinç. 10. Çeşitkenar üçgen

Görevi tamamla. Bu üçgenleri üç gruba ayırın (Şekil 11).

Pirinç. 11. Görev için örnek resim

Öncelikle açıların büyüklüğüne göre dağıtalım.

Dar üçgenler: No. 1, No. 3.

Dik üçgenler: No. 2, No. 6.

Geniş üçgenler: No. 4, No. 5.

Aynı üçgenleri eşit kenar sayısına göre gruplara ayıracağız.

Çeşitkenar üçgenler: No. 4, No. 6.

İkizkenar üçgenler: No. 2, No. 3, No. 5.

Eşkenar üçgen: No. 1.

Resimlere bakmak.

Her üçgenin hangi tel parçasından yapıldığını düşünün (Şekil 12).

Pirinç. 12. Görev için örnek resim

Şöyle düşünebilirsiniz.

İlk tel parçası üç eşit parçaya bölünmüştür, böylece ondan bir eşkenar üçgen oluşturabilirsiniz. Resimde üçüncü olarak gösteriliyor.

İkinci tel parçası üç farklı parçaya bölünmüştür, böylece eşkenar olmayan üçgen. Resimde ilk olarak gösterilmektedir.

Üçüncü tel parçası, iki parçanın aynı uzunluğa sahip olduğu üç parçaya bölünmüştür, bu da ondan bir ikizkenar üçgen yapılabileceği anlamına gelir. Resimde ikinci sırada gösteriliyor.

Bugün sınıfta farklı üçgen türlerini öğrendik.

Kaynakça

1. Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 1. - M .: “Aydınlanma”, 2012.
2. Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 2. - M.: “Aydınlanma”, 2012.
3. Mİ. Moro. Matematik dersleri: Yönergeleröğretmen için. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
4. Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
5. "Rusya Okulu": Programlar ilkokul. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
6. Sİ. Volkova. Matematik: Test kağıtları. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testler. - M .: “Sınav”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Ev ödevi

1. İfadeleri tamamlayın.

a) Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren ...lerden oluşan bir şekildir.

b) Noktalara denir … , segmentler - onun … . Üçgenin kenarları üçgenin köşelerinde oluşur ….

c) Açının büyüklüğüne göre üçgenler ... , ... , ... dir.

d) Eşit kenar sayısına göre üçgenler ... , ... , ... şeklindedir.

2. Beraberlik

A) dik üçgen;

B) dar üçgen;

c) geniş üçgen;

d) eşkenar üçgen;

e) çeşitkenar üçgen;

e) ikizkenar üçgen.

3. Arkadaşlarınız için dersin konusuyla ilgili bir ödev oluşturun.

Öğrenciler matematik çalışırken farklı geometrik şekil türlerine aşina olmaya başlarlar. Bugün farklı üçgen türlerinden bahsedeceğiz.

Tanım

Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan oluşan geometrik şekillere üçgen denir.

Noktaları birleştiren parçalara kenarlar, noktalara ise köşeler adı verilir. Köşeler büyük harflerle gösterilir Latin harfleriyleörneğin: A, B, C.

Kenarlar, oluştukları iki noktanın adlarıyla belirtilir - AB, BC, AC. Kesişen kenarlar açı oluşturur. Alt taraf şeklin tabanı olarak kabul edilir.

Pirinç. 1. ABC Üçgeni.

Üçgen türleri

Üçgenler açılara ve kenarlara göre sınıflandırılır. Her üçgen tipinin kendine has özellikleri vardır.

Köşelerde üç tür üçgen vardır:

• dar açılı;
• dikdörtgen;
• geniş açılı.

Tüm açılar dar açılıüçgenler dar açılıdır, yani her birinin derece ölçüsü 90 0'dan fazla değildir.

Dikdörtgenüçgen bir dik açı içerir. Diğer iki açı her zaman dar açı olacaktır, aksi takdirde üçgenin açılarının toplamı 180 dereceyi aşacaktır ve bu imkansızdır. Karşı taraf dik açı, hipotenüs ve diğer iki bacak olarak adlandırılır. Hipotenüs her zaman bacaktan daha büyüktür.

Genişüçgen geniş bir açı içerir. Yani 90 dereceden büyük bir açıdır. Böyle bir üçgendeki diğer iki açı dar olacaktır.

Pirinç. 2. Köşelerdeki üçgen çeşitleri.

Pisagor üçgeni, kenarları 3, 4, 5 olan bir dikdörtgendir.

Ayrıca büyük olan taraf hipotenüstür.

Bu tür üçgenler genellikle yapmak için kullanılır basit görevler geometride. Bu nedenle şunu unutmayın: Bir üçgenin iki kenarı 3'e eşitse üçüncüsü kesinlikle 5 olacaktır. Bu, hesaplamaları basitleştirecektir.

Yanlardaki üçgen türleri:

• eşkenar;
• ikizkenar;
• çok yönlü.

Eşkenarüçgen tüm kenarları eşit olan üçgendir. Böyle bir üçgenin tüm açıları 60 0'a eşittir, yani her zaman dardır.

İkizkenarüçgen - yalnızca iki tarafı eşit olan bir üçgen. Bu taraflara yan, üçüncü tarafa ise taban denir. Ayrıca ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar eşit ve daima dardır.

Çok yönlü veya rastgele bir üçgen, tüm uzunlukların ve tüm açıların birbirine eşit olmadığı bir üçgendir.

Sorundaki rakamla ilgili herhangi bir açıklama yoksa, genel olarak kabul edilir: Hakkında konuşuyoruz keyfi bir üçgen hakkında.

Pirinç. 3. Yanlardaki üçgen çeşitleri.

Bir üçgenin türü ne olursa olsun tüm açılarının toplamı 1800'dür.

Büyük açının karşısında daha büyük kenar bulunur. Ve ayrıca herhangi bir kenarın uzunluğu her zaman miktardan daha az diğer iki tarafı. Bu özellikler üçgen eşitsizliği teoremi ile doğrulanır.

Altın üçgen diye bir kavram var. Bu, iki tarafın tabanla orantılı ve belirli bir sayıya eşit olduğu bir ikizkenar üçgendir. Böyle bir şekilde açılar 2:2:1 oranıyla orantılıdır.

Görev:

Kenarları 6 cm, 3 cm, 4 cm olan bir üçgen var mı?

Çözüm:

Çözümler için bu görevin eşitsizliği kullanmanız gerekir

Ne öğrendik?

5. sınıf matematik dersindeki bu materyalden üçgenlerin kenarlarına ve açılarının boyutlarına göre sınıflandırıldığını öğrendik. Üçgenlerin problemleri çözmek için kullanılabilecek belirli özellikleri vardır.

Standart tanımlamalar

Köşeleri olan üçgen A, B Ve C(şekle bakınız) olarak belirlenmiştir. Bir üçgenin üç tarafı vardır:

Bir üçgenin kenarlarının uzunlukları küçük Latin harfleriyle (a, b, c) gösterilir:

Bir üçgen aşağıdaki açılara sahiptir:

Karşılık gelen köşelerdeki açı değerleri geleneksel olarak Yunan harfleriyle (α, β, γ) gösterilir.

Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

Öklid düzlemindeki bir üçgen, aşağıdaki temel element üçlüsüyle benzersiz bir şekilde (uyumluluğa kadar) belirlenebilir:

1. a, b, γ (iki tarafta eşitlik ve aralarındaki açı);
2. a, β, γ (yanda eşitlik ve iki bitişik açı);
3. a, b, c (üç tarafta eşitlik).

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:

1. bacak ve hipotenüs boyunca;
2. iki ayak üzerinde;
3. bacak ve dar açı boyunca;
4. hipotenüs ve dar açı boyunca.

Üçgenin bazı noktaları “eşleşmiştir”. Örneğin, tüm kenarların ya 60°'lik bir açıyla ya da 120°'lik bir açıyla görülebildiği iki nokta vardır. Onlar aranmaktadır Torricelli noktaları. Ayrıca kenarlara doğru çıkıntıları düzgün bir üçgenin köşelerinde bulunan iki nokta vardır. Bu - Apollonius noktaları. Puan ve buna benzer şeyler denir Brocard puanları.

Doğrudan

Herhangi bir üçgende ağırlık merkezi, diklik merkezi ve çevrel çemberin merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Euler çizgisi.

Çevrel çemberin merkezinden ve Lemoine noktasından geçen düz çizgiye denir. Brocard ekseni. Apollonius noktaları onun üzerindedir. Torricelli noktası ve Lemoine noktası da aynı doğru üzerinde yer alır. Bir üçgenin açılarının dış açıortaylarının tabanları aynı düz çizgi üzerinde bulunur. dış açıortayların ekseni. Bir dik üçgenin kenarlarını içeren doğruların üçgenin kenarlarını içeren doğrularla kesişme noktaları da aynı doğru üzerindedir. Bu çizgiye denir ortosentrik eksen Euler düz çizgisine diktir.

Bir üçgenin çevrel çemberi üzerinde bir nokta alırsak, üçgenin kenarlarına olan izdüşümleri aynı düz çizgi üzerinde yer alacaktır. Simson heteroseksüel bu nokta. Simson'un taban tabana zıt noktalardan oluşan çizgileri diktir.

üçgenler

• Tabanlarında köşeleri belirli bir noktadan çizilen üçgene denir cevian üçgeni bu nokta.
• Belirli bir noktanın kenarlara izdüşümlerinde köşeleri olan bir üçgene denir ot veya pedal üçgeni bu nokta.
• Köşeleri, köşelerinden çizilen doğruların ve çevrelenen daire ile belirli bir noktanın kesiştiği ikinci noktada bulunan üçgene denir. çevresel üçgen. Çevresel üçgen çim üçgenine benzer.

Çevreler

• Yazılı daire- üçgenin üç kenarına da dokunan bir daire. O tek kişi. Yazılı dairenin merkezine denir merkezinde.
• Çevrel çember- üçgenin üç köşesinden geçen bir daire. Sınırlandırılmış daire de benzersizdir.
• Dış çevre- üçgenin bir kenarına dokunan ve diğer iki kenarın devamı olan bir daire. Bir üçgende böyle üç daire var. Radikal merkezleri, medial üçgenin yazılı dairesinin merkezidir. Spiker'ın noktası.

Bir üçgenin üç tarafının orta noktaları, üç yüksekliğinin tabanları ve köşelerini diklik merkezine bağlayan üç parçanın orta noktaları, adı verilen bir daire üzerinde bulunur. dokuz noktalı daire veya Euler çemberi. Dokuz noktalı dairenin merkezi Euler çizgisi üzerindedir. Dokuz noktadan oluşan bir daire, yazılı bir daireye ve üç dış daireye dokunuyor. Üzerinde yazılı daire ile dokuz noktadan oluşan daire arasındaki teğet noktaya ne ad verilir? Feuerbach noktası. Her tepe noktasından üçgenin dışına doğru kenarları içeren düz çizgiler üzerinde, karşı kenarlara eşit uzunlukta ortezler koyarsak, ortaya çıkan altı nokta aynı daire üzerinde yer alır - Conway dairesi. Herhangi bir üçgene, her biri üçgenin iki kenarına ve diğer iki daireye değecek şekilde üç daire yazılabilir. Bu tür çevrelere denir Malfatti çevreleri. Üçgenin kenarortaylarla bölündüğü altı üçgenin çevrel çemberlerinin merkezleri bir çember üzerinde yer alır. Lamun'un çevresi.

Bir üçgende, üçgenin iki kenarına ve çevrel çembere değen üç daire bulunur. Bu tür çevrelere denir yarı yazılı veya Verrier çevreleri. Verrier dairelerinin teğet noktalarını çevrel çembere bağlayan doğrular bir noktada kesişir. Verrier'in noktası. Çevrel daireyi yazılı bir daireye dönüştüren bir homojenliğin merkezi olarak hizmet eder. Verrier dairelerinin kenarlarla temas noktaları, yazılı dairenin merkezinden geçen düz bir çizgi üzerinde yer alır.

Yazılı dairenin teğet noktalarını köşelere birleştiren parçalar, adı verilen bir noktada kesişir. Gergonne noktası ve köşeleri temas noktalarına bağlayan bölümler dış çevreler-V Nagel noktası.

Elipsler, paraboller ve hiperboller

Yazılı konik (elips) ve perspektifi

Bir üçgenin içine sonsuz sayıda konik (elips, parabol veya hiperbol) yazılabilir. Bir üçgene rastgele bir konik yazarsak ve teğet noktalarını zıt köşelerle birleştirirsek, ortaya çıkan düz çizgiler adı verilen bir noktada kesişecektir. olasılık ranzalar. Düzlemin bir kenarında veya uzantısında yer almayan herhangi bir noktası için, bu noktada perspektifli yazılı bir konik vardır.

Tanımlanan Steiner elipsi ve odaklarından geçen cevianlar

Ortadaki kenarlara değen bir üçgenin içine bir elips yazabilirsiniz. Böyle bir elips denir yazılı Steiner elipsi(perspektifi üçgenin merkezi olacaktır). Kenarlara paralel köşelerden geçen doğrulara değen sınırlı elipslere denir. Steiner elipsi tarafından tanımlanan. Bir üçgeni afin dönüşüm (“eğim”) kullanarak normal bir üçgene dönüştürürsek, o zaman onun yazılı ve sınırlı Steiner elipsi yazılı ve çevreli bir daireye dönüşecektir. Tanımlanan Steiner elipsinin (Scutin noktaları) odak noktalarından çizilen Chevian çizgileri eşittir (Scutin teoremi). Tanımlanan tüm elipsler arasında, tanımlanan Steiner elipsi en küçük alana sahiptir ve tüm yazılı olanlar arasında en büyük alan yazılı bir Steiner elipsine sahiptir.

Brocard elipsi ve perspektörü - Lemoine noktası

Odakları Brocard noktalarında olan bir elips denir Brocard elipsi. Perspektifi Lemoine noktasıdır.

Yazılı bir parabolün özellikleri

Kiepert parabolü

Yazılı parabollerin görünümleri tarif edilen Steiner elipsinde yatmaktadır. Yazılı bir parabolün odağı çevrel çember üzerinde yer alır ve direktriks ortomerkezden geçer. Bir üçgenin içine yazılan ve doğrultmanı Euler'in doğrultmanı olan bir parabole denir Kiepert parabolü. Perspektifi, çevrelenmiş daire ile sınırlı Steiner elipsinin kesiştiği dördüncü noktadır. Steiner noktası.

Kiepert'in abartısı

Tanımlanan hiperbol, yüksekliklerin kesişme noktasından geçerse, eşkenardır (yani asimptotları diktir). Bir eşkenar hiperbolün asimptotlarının kesişme noktası dokuz noktadan oluşan dairenin üzerindedir.

Dönüşümler

Köşelerden geçen çizgiler ve yanlarda olmayan bir nokta ve bunların uzantıları karşılık gelen açıortaylara göre yansıtılırsa, görüntüleri de bir noktada kesişecektir. izogonal eşlenik orijinal olan (eğer nokta çevrelenen dairenin üzerindeyse, ortaya çıkan çizgiler paralel olacaktır). Pek çok dikkate değer nokta çifti izogonal olarak eşleniktir: Çevrel merkez ve ortomerkez, ağırlık merkezi ve Lemoine noktası, Brocard noktaları. Apollonius noktaları Torricelli noktalarına izogonal olarak eşleniktir ve yazılı dairenin merkezi de kendisine izogonal olarak eşleniktir. İzogonal konjugasyonun etkisi altında, düz çizgiler çevrelenmiş koniklere, çevrelenmiş konikler ise düz çizgilere dönüşür. Böylece, Kiepert hiperbol ve Brocard ekseni, Jenzabek hiperbol ve Euler düz çizgisi, Feuerbach hiperbol ve yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkez çizgisi izogonal olarak eşleniktir. İzogonal eşlenik noktaların üçgenlerinin çevrel çemberleri çakışmaktadır. Yazılı elipslerin odakları izogonal olarak eşleniktir.

Simetrik bir cevian yerine tabanı orijinalin tabanı kadar kenar ortasından uzakta olan bir cevian alırsak, bu tür cevianlar da bir noktada kesişecektir. Ortaya çıkan dönüşüme denir izotomik konjugasyon. Ayrıca düz çizgileri tanımlanmış koniklere dönüştürür. Gergonne ve Nagel noktaları izotomik olarak eşleniktir. Afin dönüşümler altında izotomik olarak eşlenik noktalar, izotomik olarak eşlenik noktalara dönüştürülür. İzotomik konjugasyonla, açıklanan Steiner elipsi sonsuz uzaklıktaki düz bir çizgiye gidecektir.

Üçgenin kenarlarının çevrel çemberden kestiği parçalara belli bir noktadan çizilen cevianların tabanlarına değen daireler çizer ve bu çemberlerin teğet noktalarını köşeleri zıt olan çevrel çembere bağlarsak, o zaman bu tür düz çizgiler bir noktada kesişecektir. Orijinal noktayı sonuçtaki noktayla eşleştiren düzlem dönüşümüne denir eş daire dönüşümü. İzogonal ve izotomik konjugatların bileşimi, kendisiyle eş daire şeklinde bir dönüşümün bileşimidir. Bu kompozisyon, üçgenin kenarlarını yerinde bırakan ve dış açıortayların eksenini sonsuzda düz bir çizgiye dönüştüren yansıtmalı bir dönüşümdür.

Belirli bir noktanın Chevian üçgeninin kenarlarına devam edersek ve bunların karşılık gelen kenarlarla kesişme noktalarını alırsak, ortaya çıkan kesişme noktaları, adı verilen tek bir düz çizgi üzerinde yer alacaktır. üç çizgili kutup başlangıç ​​noktası. Ortosentrik eksen, ortosantrın üç çizgili kutbudur; yazılı dairenin merkezinin üç çizgili kutbu dış açıortayların eksenidir. Sınırlandırılmış bir konik üzerinde yer alan noktaların üç çizgili kutupları bir noktada kesişir (sınırlandırılmış bir daire için bu Lemoine noktasıdır, sınırlı bir Steiner elipsi için ağırlık merkezidir). Bir izogonal (veya izotomik) eşlenik ve bir üç çizgili polar bileşimi bir dualite dönüşümüdür (bir noktaya izogonal (izotomik olarak) eşlenik olan bir nokta, bir noktanın üç çizgili kutbu üzerinde yer alıyorsa, o zaman bir noktanın üç çizgili kutbu izogonal (izotomik olarak) bir noktaya eşlenik, bir noktanın üç çizgili kutbu üzerinde yer alır).

Küpler

Bir üçgendeki oranlar

Not: bu bölümde , üçgenin üç kenarının uzunlukları ve , sırasıyla bu üç kenarın karşısında yer alan açılardır (karşıt açılar).

Üçgen eşitsizliği

Dejenere olmayan bir üçgende iki kenarının uzunluklarının toplamı uzunüçüncü tarafın dejenere - eşit. Başka bir deyişle, bir üçgenin kenar uzunlukları aşağıdaki eşitsizliklerle ilişkilidir:

Üçgen eşitsizliği metrik aksiyomlarından biridir.

Üçgen Açı Toplamı Teoremi

Sinüs teoremi

,

burada R, üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapıdır. Teoremden şu sonuç çıkıyor: eğer bir< b < c, то α < β < γ.

Kosinüs teoremi

Teğet teoremi

Diğer oranlar

Bir üçgendeki metrik oranlar aşağıdakiler için verilmiştir:

Üçgenleri çözme

Bir üçgenin bilinmeyen kenarlarını ve açılarını bilinenlere dayanarak hesaplamaya tarihsel olarak "üçgenleri çözmek" adı verilmiştir. Yukarıdaki genel trigonometrik teoremler kullanılır.

Bir üçgenin alanı

Özel durumlar Notasyonu

Alan için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:

Vektörleri kullanarak uzayda bir üçgenin alanını hesaplamak

Üçgenin köşeleri , , noktalarında olsun.

Alan vektörünü tanıtalım. Bu vektörün uzunluğu üçgenin alanına eşittir ve üçgenin düzlemine dik olarak yönlendirilir:

Üçgenin koordinat düzlemlerine izdüşümlerinin nerede olduğunu belirleyelim. burada

ve benzer şekilde

Üçgenin alanı.

Bir alternatif de kenarların uzunluklarını hesaplamak (Pisagor teoremini kullanarak) ve ardından Heron formülünü kullanmaktır.

Üçgen teoremleri

Desargues teoremi: iki üçgen perspektif ise (üçgenlerin karşılık gelen köşelerinden geçen çizgiler bir noktada kesişiyorsa), karşılık gelen kenarları aynı çizgide kesişir.

Sonda teoremi: iki üçgen perspektif ve ortolog ise (bir üçgenin köşelerinden üçgenin karşılık gelen köşelerinin karşısındaki kenarlara çizilen dikmeler ve bunun tersi), o zaman her iki ortoloji merkezi (bu dikmelerin kesişme noktaları) ve merkez Perspektifin perspektifi, perspektif eksenine dik olan aynı düz çizgi üzerinde uzanır (Desargues teoreminden düz çizgi).

Bugün farklı üçgen türleriyle tanışacağımız Geometri ülkesine gidiyoruz.

Geometrik şekilleri düşünün ve aralarından “ekstra” olanı bulun (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek olarak illüstrasyon

1, 2, 3, 5 numaralı şekillerin dörtgen olduğunu görüyoruz. Her birinin kendi adı vardır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Dörtgenler

Bu, “ekstra” şeklin bir üçgen olduğu anlamına gelir (Şekil 3).

Pirinç. 3. Örnek olarak illüstrasyon

Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç parçadan oluşan bir şekildir.

noktalar denir üçgenin köşeleri, segmentler - onun partiler. Üçgen formunun kenarları Üçgenin köşelerinde üç açı vardır.

Bir üçgenin temel özellikleri şunlardır: üç kenar ve üç köşe. Açının büyüklüğüne göre üçgenler akut, dikdörtgen ve geniş.

Bir üçgenin üç açısı da dar ise, yani 90°'den küçükse dar açılı üçgen olarak adlandırılır (Şekil 4).

Pirinç. 4. Akut üçgen

Açılarından biri 90° ise üçgene dikdörtgen denir (Şekil 5).

Pirinç. 5. Sağ Üçgen

Açılarından biri genişse, yani 90°'den büyükse üçgene geniş üçgen denir (Şekil 6).

Pirinç. 6. Geniş üçgen

Eşit kenar sayısına göre üçgenler eşkenar, ikizkenar, çeşitkenardır.

İkizkenar üçgen, iki tarafın eşit olduğu üçgendir (Şekil 7).

Pirinç. 7. İkizkenar üçgen

Bu taraflara denir yanal, Üçüncü taraf - temel. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

İkizkenar üçgenler var akut ve kalın(Şekil 8) .

Pirinç. 8. Dar ve geniş ikizkenar üçgenler

Eşkenar üçgen, üç kenarın da eşit olduğu üçgendir (Şekil 9).

Pirinç. 9. Eşkenar üçgen

Eşkenar üçgende tüm açılar eşittir. Eşkenar üçgenler Her zaman dar açılı.

Çeşit çeşit üçgen, üç kenarın da farklı uzunluklara sahip olduğu bir üçgendir (Şekil 10).

Pirinç. 10. Çeşitkenar üçgen

Görevi tamamla. Bu üçgenleri üç gruba ayırın (Şekil 11).

Pirinç. 11. Görev için örnek resim

Öncelikle açıların büyüklüğüne göre dağıtalım.

Dar üçgenler: No. 1, No. 3.

Dik üçgenler: No. 2, No. 6.

Geniş üçgenler: No. 4, No. 5.

Aynı üçgenleri eşit kenar sayısına göre gruplara ayıracağız.

Çeşitkenar üçgenler: No. 4, No. 6.

İkizkenar üçgenler: No. 2, No. 3, No. 5.

Eşkenar üçgen: No. 1.

Resimlere bakmak.

Her üçgenin hangi tel parçasından yapıldığını düşünün (Şekil 12).

Pirinç. 12. Görev için örnek resim

Şöyle düşünebilirsiniz.

İlk tel parçası üç eşit parçaya bölünmüştür, böylece ondan bir eşkenar üçgen oluşturabilirsiniz. Resimde üçüncü olarak gösteriliyor.

İkinci tel parçası üç farklı parçaya bölünmüştür, böylece bir çeşitkenar üçgen oluşturmak için kullanılabilir. Resimde ilk olarak gösterilmektedir.

Üçüncü tel parçası, iki parçanın aynı uzunluğa sahip olduğu üç parçaya bölünmüştür, bu da ondan bir ikizkenar üçgen yapılabileceği anlamına gelir. Resimde ikinci sırada gösteriliyor.

Bugün sınıfta farklı üçgen türlerini öğrendik.

Kaynakça

1. Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 1. - M .: “Aydınlanma”, 2012.
2. Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 2. - M.: “Aydınlanma”, 2012.
3. Mİ. Moro. Matematik dersleri: Öğretmenler için metodolojik öneriler. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
4. Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
5. “Rusya Okulu”: İlkokul programları. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
6. Sİ. Volkova. Matematik: Test kağıtları. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testler. - M .: “Sınav”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Ev ödevi

1. İfadeleri tamamlayın.

a) Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren ...lerden oluşan bir şekildir.

b) Noktalara denir … , segmentler - onun … . Üçgenin kenarları üçgenin köşelerinde oluşur ….

c) Açının büyüklüğüne göre üçgenler ... , ... , ... dir.

d) Eşit kenar sayısına göre üçgenler ... , ... , ... şeklindedir.

2. Beraberlik

a) dik üçgen;

b) dar üçgen;

c) geniş üçgen;

d) eşkenar üçgen;

e) çeşitkenar üçgen;

e) ikizkenar üçgen.

3. Arkadaşlarınız için dersin konusuyla ilgili bir ödev oluşturun.

Geometri bilimi bize üçgenin, karenin ve küpün ne olduğunu anlatır. İÇİNDE modern dünya okullarda istisnasız herkes tarafından okutulmaktadır. Ayrıca üçgenin ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu doğrudan inceleyen bilim dalı trigonometridir. Verilerle ilgili tüm olguları detaylı bir şekilde araştırıyor.Bugün yazımızda üçgenin ne olduğundan bahsedeceğiz. Aşağıda bunların türleri ve bunlarla ilişkili bazı teoremler açıklanacaktır.

Üçgen nedir? Tanım

Bu düz bir çokgendir. Adından da anlaşılacağı üzere üç köşelidir. Ayrıca üç tarafı ve üç köşesi vardır; bunlardan birincisi segment, ikincisi noktadır. İki açının neye eşit olduğunu bilerek, 180 sayısından ilk ikisinin toplamını çıkararak üçüncüyü bulabilirsiniz.

Ne tür üçgenler var?

Çeşitli kriterlere göre sınıflandırılabilirler.

Öncelikle dar açılı, geniş açılı ve dikdörtgen şeklinde ayrılırlar. İlk olanlar var keskin köşeler yani 90 derecenin altına eşit olanlar. Geniş açılarda açılardan biri geniş yani 90 dereceden büyük olan, diğer ikisi dar açıdır. Dar üçgenler aynı zamanda eşkenar üçgenleri de içerir. Bu tür üçgenlerin tüm kenarları ve açıları eşittir. Hepsi 60 dereceye eşittir, bu, tüm açıların toplamının (180) üçe bölünmesiyle kolayca hesaplanabilir.

Sağ üçgen

Dik üçgenin ne olduğundan bahsetmemek mümkün değil.

Böyle bir şeklin 90 dereceye (düz) eşit bir açısı vardır, yani iki tarafı diktir. Geriye kalan iki açı dar açıdır. Eşit olabilirler, o zaman ikizkenar olacaktır. Pisagor teoremi dik üçgenle ilgilidir. Bunu kullanarak ilk ikisini bilerek üçüncü tarafı bulabilirsiniz. Bu teoreme göre, bir bacağın karesini diğer bacağın karesine eklerseniz hipotenüsün karesini elde edebilirsiniz. Bacağın karesi, bilinen bacağın karesinin hipotenüsün karesinden çıkarılmasıyla hesaplanabilir. Üçgenin ne olduğundan bahsetmişken ikizkenar üçgeni de hatırlayabiliriz. Bu, iki tarafın eşit olduğu ve iki açının da eşit olduğu bir durumdur.

Bacak ve hipotenüs nedir?

Bacak, 90 derecelik bir açı oluşturan bir üçgenin kenarlarından biridir. Hipotenüs, dik açının karşısındaki kalan kenardır. Ondan bacağa dik bir şekilde indirebilirsiniz. Davranış bitişik bacak hipotenüse kosinüs denir, tersine sinüs denir.

- özellikleri nelerdir?

Dikdörtgendir. Bacakları üç ve dört, hipotenüsü ise beş. Belirli bir üçgenin kenarlarının üç ve dörte eşit olduğunu görürseniz, hipotenüsün beşe eşit olacağından emin olabilirsiniz. Ayrıca bu prensibi kullanarak, saniyenin dörde ve hipotenüsün beşe eşit olması durumunda bacağın üçe eşit olacağını kolayca belirleyebilirsiniz. Bu ifadeyi kanıtlamak için Pisagor teoremini uygulayabilirsiniz. İki bacak 3 ve 4'e eşitse 9 + 16 = 25, 25'in kökü 5, yani hipotenüs 5'e eşittir. Mısır üçgeni aynı zamanda kenarları 6, 8'e eşit olan bir dik üçgendir. ve 10; 9, 12 ve 15 ve 3:4:5 oranlı diğer sayılar.

Bir üçgen başka ne olabilir?

Üçgenler ayrıca yazılabilir veya çevrelenebilir. Etrafında dairenin tanımlandığı şekle yazılı denir; tüm köşeleri dairenin üzerinde yer alan noktalardır. Sınırlandırılmış bir üçgen, içine bir dairenin yazıldığı bir üçgendir. Bütün tarafları belli noktalarda onunla temasa geçer.

Nasıl bulunur?

Herhangi bir şeklin alanı birim kare (metrekare, milimetre kare, santimetre kare, desimetre kare vb.) cinsinden ölçülür. Bu değer, üçgenin türüne bağlı olarak çeşitli şekillerde hesaplanabilir. Açılı herhangi bir şeklin alanı, kenarının karşı köşeden üzerine düşen dik açıyla çarpılması ve bu rakamın ikiye bölünmesiyle bulunabilir. Bu değeri iki tarafı çarparak da bulabilirsiniz. Daha sonra bu sayıyı bu kenarlar arasında bulunan açının sinüsüyle çarpın ve sonucu ikiye bölün. Bir üçgenin tüm kenarlarını bildiğiniz halde açılarını bilmediğiniz için alanı başka bir şekilde bulabilirsiniz. Bunu yapmak için çevrenin yarısını bulmanız gerekir. Daha sonra dönüşümlü olarak bu sayıdan farklı tarafları çıkarın ve elde edilen dört değeri çarpın. Daha sonra çıkan numaradan bulun. Yazılı bir üçgenin alanı, tüm kenarların çarpılması ve elde edilen sayının, etrafı çevrelenen sayıya bölünmesi ve dörtle çarpılmasıyla bulunabilir.

Sınırlandırılmış bir üçgenin alanı şu şekilde bulunur: Çevrenin yarısını, içine yazılan dairenin yarıçapı ile çarparız. O zaman alanı şu şekilde bulunabilirse: kenarın karesini alın, elde edilen rakamı üçün köküyle çarpın, ardından bu sayıyı dörde bölün. Benzer şekilde, tüm kenarları eşit olan bir üçgenin yüksekliğini hesaplayabilirsiniz, bunun için bunlardan birini üçün köküyle çarpmanız ve ardından bu sayıyı ikiye bölmeniz gerekir.

Üçgenle ilgili teoremler

Bu rakamla ilişkili ana teoremler yukarıda açıklanan Pisagor teoremi ve kosinüslerdir. İkincisi (sinüslerden), herhangi bir tarafı karşısındaki açının sinüsüne bölerseniz, etrafında tanımlanan dairenin yarıçapını ikiyle çarparak elde edebilirsiniz. Üçüncüsü (kosinüs), iki tarafın karelerinin toplamından çarpımını ikiyle ve aralarında bulunan açının kosinüsünü çıkarırsak, üçüncü tarafın karesini elde etmemizdir.

Dali Üçgeni - nedir bu?

Birçoğu bu kavramla karşılaştığında ilk başta bunun geometride bir tür tanım olduğunu düşünür, ancak durum hiç de böyle değildir. Dali'nin üçgeni yaygın isimünlü sanatçının hayatıyla yakından bağlantılı üç yer. Onun “zirveleri” Salvador Dali'nin yaşadığı ev, karısına verdiği kale ve sürrealist resimler müzesidir. Bu yerleri gezerken çok şey öğrenebilirsiniz. ilginç gerçekler dünya çapında bilinen bu eşsiz yaratıcı sanatçı hakkında.