GirişSistemi çözmek için algoritma. Tanımlar, kavramlar, atamalar. Konuyla ilgili ders ve sunum: "Denklem sistemleri. Değiştirme yöntemi, toplama yöntemi, yeni bir değişken ekleme yöntemi"
Konuyla ilgili ders ve sunum: "Denklem sistemleri. Değiştirme yöntemi, toplama yöntemi, yeni bir değişken ekleme yöntemi"
Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Atanasyan L.S.'nin ders kitapları için simülatör Ders kitapları için simülatör Pogorelova A.V.
Eşitsizlik sistemlerini çözme yöntemleri
Arkadaşlar, denklem sistemlerini inceledik ve bunları grafikler kullanarak nasıl çözeceğimizi öğrendik. Şimdi sistemleri çözmenin başka hangi yollarının mevcut olduğunu görelim?Bunları çözme yöntemlerinin neredeyse tamamı 7. sınıfta okuduklarımızdan farklı değil. Şimdi çözmeyi öğrendiğimiz denklemlere göre bazı ayarlamalar yapmamız gerekiyor.
Bu derste anlatılan tüm yöntemlerin özü, sistemi daha basit bir form ve çözümle eşdeğer bir sistemle değiştirmektir. Arkadaşlar, eşdeğer sistemin ne olduğunu unutmayın.
İkame yöntemi
İki değişkenli denklem sistemlerini çözmenin ilk yolu bizim tarafımızdan iyi bilinmektedir - bu, ikame yöntemidir. Bu yöntemi doğrusal denklemleri çözmek için kullandık. Şimdi genel durumda denklemlerin nasıl çözüleceğini görelim.Karar verirken nasıl ilerlemelisiniz?
1. Değişkenlerden birini diğerine göre ifade ediniz. Denklemlerde en sık kullanılan değişkenler x ve y'dir. Denklemlerden birinde bir değişkeni diğerine göre ifade ediyoruz. İpucu: Çözmeye başlamadan önce her iki denkleme de dikkatlice bakın ve değişkeni ifade etmenin daha kolay olduğu denklemi seçin.
2. Ortaya çıkan ifadeyi, ifade edilen değişken yerine ikinci denklemde değiştirin.
3. Bulduğumuz denklemi çözün.
4. Ortaya çıkan çözümü ikinci denklemde yerine koyun. Birkaç çözüm varsa, birkaç çözümü kaybetmemek için bunları sırayla değiştirmeniz gerekir.
5. Sonuç olarak, cevap olarak yazılması gereken bir çift $(x;y)$ sayısını alacaksınız.
Örnek.
İki değişkenli bir sistemi ikame yöntemini kullanarak çözün: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.
Çözüm.
Denklemlerimize daha yakından bakalım. Açıkçası, ilk denklemde y'yi x cinsinden ifade etmek çok daha basittir.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(case)$.
İlk ifadeyi ikinci denklemde $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ yerine koyalım.
İkinci denklemi ayrı ayrı çözelim:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
İkinci denklem $x_1=2$ ve $x_2=3$ için iki çözüm elde ettik.
İkinci denklemde sırayla yerine koyarız.
$x=2$ ise $y=3$ olur. $x=3$ ise $y=2$ olur.
Cevap iki çift sayı olacaktır.
Cevap: $(2;3)$ ve $(3;2)$.
Cebirsel toplama yöntemi
Bu yöntemi 7. sınıfta da işlemiştik.Denklemin her iki tarafını da çarpmayı unutmadan, iki değişkenli bir rasyonel denklemi herhangi bir sayıyla çarpabileceğimiz bilinmektedir. Denklemlerden birini belirli bir sayıyla çarptık, böylece elde edilen denklemi sistemin ikinci denklemine eklerken değişkenlerden biri yok oldu. Daha sonra kalan değişken için denklem çözüldü.
Değişkenlerden birini yok etmek her zaman mümkün olmasa da bu yöntem hala işe yarıyor. Ancak denklemlerden birinin biçimini önemli ölçüde basitleştirmenize olanak tanır.
Örnek.
Sistemi çözün: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Çözüm.
İlk denklemi 2 ile çarpalım.
$\begin(case)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(case)$.
Birinci denklemden ikinciyi çıkaralım.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Gördüğünüz gibi ortaya çıkan denklemin formu orijinalinden çok daha basittir. Artık yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Ortaya çıkan denklemde x'i y cinsinden ifade edelim.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(case)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
$y=-1$ ve $y=-3$ elde ettik.
Bu değerleri sırasıyla ilk denklemde yerine koyalım. İki çift sayı elde ederiz: $(1;-1)$ ve $(-1;-3)$.
Cevap: $(1;-1)$ ve $(-1;-3)$.
Yeni bir değişken ekleme yöntemi
Bu yöntemi de inceledik ama gelin tekrar bakalım.Örnek.
Sistemi çözün: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
Çözüm.
$t=\frac(x)(y)$ yerine geçeni tanıtalım.
İlk denklemi yeni bir değişkenle yeniden yazalım: $t+\frac(2)(t)=3$.
Ortaya çıkan denklemi çözelim:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
$t=2$ veya $t=1$ elde ederiz. $t=\frac(x)(y)$ ters değişimini tanıtalım.
Şunu elde ettik: $x=2y$ ve $x=y$.
İfadelerin her biri için orijinal sistemin ayrı ayrı çözülmesi gerekir:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(case)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(case)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(case)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(case)$.
$\begin(case)x=2y, \\7y^2=1\end(case)$. $\begin(case)x=2y, \\y^2=1\end(case)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(case)x=y, \\y=±1\end(case)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(case)x=±1, \\y=±1\end(case)$.
Dört çift çözüm aldık.
Cevap: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Örnek.
Sistemi çözün: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(durum)$.
Çözüm.
Değiştirmeyi tanıtalım: $z=\frac(2)(x-3y)$ ve $t=\frac(3)(2x+y)$.
Orijinal denklemleri yeni değişkenlerle yeniden yazalım:
$\begin(case)z+t=2, \\4z-3t=1\end(case)$.
Cebirsel toplama yöntemini kullanalım:
$\begin(case)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(case)$.
$\begin(case)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(case)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(case)$.
$\begin(case)z=1, \\t=1\end(case)$.
Ters ikameyi tanıtalım:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(case)x-3y=2, \\2x+y=3\end(case)$.
Değiştirme yöntemini kullanalım:
$\begin(case)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(case)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(case)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Cevap: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Bağımsız çözüm için denklem sistemleriyle ilgili problemler
Sistemleri çözün:1. $\begin(case)2x-2y=6,\\xy =-2\end(case)$.
2. $\begin(case)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(case)$.
3. $\begin(case)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(case)$.
4. $\begin(case)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ bitiş(durumlar)$.
5. $\begin(case)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Talimatlar
Ekleme yöntemi.
Kesinlikle birbirinin altına iki tane yazmanız gerekir:
549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Rasgele seçilen (sistemden) denklemde, halihazırda bulunan "oyun" yerine 11 sayısını ekleyin ve ikinci bilinmeyeni hesaplayın:
X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Bu denklem sisteminin cevabı x=116, y=11'dir.
Grafik yöntemi.
Bir denklem sisteminde doğruların matematiksel olarak yazıldığı noktanın koordinatlarını pratik olarak bulmayı içerir. Her iki doğrunun grafiği aynı koordinat sisteminde ayrı ayrı çizilmelidir. Genel görünüm: – y=khx+b. Düz bir çizgi oluşturmak için iki noktanın koordinatlarını bulmak yeterlidir ve x keyfi olarak seçilir.
Sistem verilsin: 2x – y=4
Y=-3x+1.
İlki kullanılarak düz bir çizgi oluşturulur, kolaylık olması açısından yazılmalıdır: y=2x-4. X için (daha kolay) değerler bulun, bunu denklemde yerine koyun, çözün ve y'yi bulun. Düz bir çizginin inşa edildiği iki nokta elde ediyoruz. (resmi görmek)
x 0 1
y -4 -2
İkinci denklem kullanılarak düz bir çizgi oluşturulur: y=-3x+1.
Ayrıca düz bir çizgi oluşturun. (resmi görmek)
1-5
Grafikteki iki oluşturulmuş çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulun (eğer çizgiler kesişmiyorsa, denklem sisteminde böyle bir şey yoktur).
Konuyla ilgili video
Aynı denklem sistemi üç denklemle çözülürse Farklı yollar, cevap aynı olacaktır (eğer çözüm doğruysa).
Kaynaklar:
- 8. sınıf cebir
- iki bilinmeyenli denklemi çevrimiçi çözme
- Sistem çözümü örnekleri doğrusal denklemler ikisiyle
Sistem denklemler her biri bir dizi değişken içeren matematiksel kayıtların bir koleksiyonudur. Bunları çözmenin birkaç yolu vardır.
İhtiyacın olacak
- -Cetvel ve kalem;
- -hesap makinesi.
Talimatlar
a1x + b1y = c1 ve a2x + b2y = c2 formuna sahip doğrusal denklemlerden oluşan sistemin çözüm sırasını ele alalım. Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir ve b,c serbest terimlerdir. Bu yöntemi uygularken her sistem, her denkleme karşılık gelen noktaların koordinatlarını temsil eder. Başlamak için her durumda bir değişkeni diğerine göre ifade edin. Daha sonra x değişkenini istediğiniz sayıda değere ayarlayın. İki tanesi yeterli. Denklemde yerine koy ve y'yi bul. Bir koordinat sistemi oluşturun, ortaya çıkan noktaları işaretleyin ve içinden bir çizgi çizin. Sistemin diğer kısımları için de benzer hesaplamaların yapılması gerekmektedir.
Oluşturulan doğruların kesişmesi ve tek bir ortak noktaya sahip olması durumunda sistemin benzersiz bir çözümü vardır. Birbirine paralel ise uyumsuzdur. Ve doğrular birbiriyle birleştiğinde sonsuz sayıda çözümü olur.
Bu yöntem çok görsel kabul edilir. En büyük dezavantajı hesaplanan bilinmeyenlerin yaklaşık değerlere sahip olmasıdır. Cebirsel yöntemler denilen yöntemlerle daha doğru sonuçlar elde edilir.
Bir denklem sisteminin herhangi bir çözümü kontrol edilmeye değerdir. Bunu yapmak için değişkenler yerine ortaya çıkan değerleri değiştirin. Çözümünü çeşitli yöntemler kullanarak da bulabilirsiniz. Sistemin çözümü doğruysa herkesin aynı çıkması gerekir.
Genellikle terimlerden birinin bilinmediği denklemler vardır. Bir denklemi çözmek için bu sayılarla belirli bir dizi eylemi hatırlamanız ve gerçekleştirmeniz gerekir.
İhtiyacın olacak
- - kağıt;
- - kalem veya kurşun kalem.
Talimatlar
Önünüzde 8 tavşan olduğunu ve sadece 5 havucunuzun olduğunu hayal edin. Bir düşünün, her tavşanın bir tane alması için yine de daha fazla havuç almanız gerekiyor.
Bu problemi bir denklem şeklinde sunalım: 5 + x = 8. x'in yerine 3 sayısını koyalım, aslında 5 + 3 = 8.
X'in yerine bir sayı koyduğunuzda, 8'den 5'i çıkardığınızda yaptığınız şeyin aynısını yapmış olursunuz. Bilinmeyen terim, bilinen terimi toplamdan çıkarın.
Diyelim ki 20 tavşanınız ve sadece 5 havucunuz var. Hadi telafi edelim. Denklem, içinde yer alan harflerin yalnızca belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Anlamı bulunması gereken harflere denir. Bir bilinmeyenli bir denklem yazın, buna x adını verin. Tavşan problemimizi çözerken şu denklemi elde ederiz: 5 + x = 20.
20 ile 5 arasındaki farkı bulalım. Çıkarma yaparken, çıkarıldığı sayı azaltılan sayıdır. Çıkarılan sayıya denir ve nihai sonuca fark denir. Yani x = 20 – 5; x = 15. Tavşanlar için 15 adet havuç almanız gerekiyor.
Kontrol edin: 5 + 15 = 20. Denklem doğru çözülmüştür. Tabii ne zaman Hakkında konuşuyoruz bu kadar basit olanlar için kontrol yapılmasına gerek yoktur. Ancak elinizde üç basamaklı, dört basamaklı vb. rakamlardan oluşan denklemler varsa, çalışmanızın sonucundan kesinlikle emin olmak için mutlaka kontrol etmeniz gerekir.
Konuyla ilgili video
Yararlı tavsiye
Bilinmeyen eksiyi bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.
Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı eksiden çıkarmanız gerekir.
İpucu 4: Bir sistem nasıl çözülür? üç denklemüç bilinmeyenli
Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemin, yeterli sayıda denklem olmasına rağmen çözümleri olmayabilir. Değiştirme yöntemini veya Cramer yöntemini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz. Cramer yöntemi, sistemi çözmenin yanı sıra, bilinmeyenlerin değerlerini bulmadan önce sistemin çözülebilir olup olmadığını değerlendirmenize olanak tanır.
Talimatlar
Yerine koyma yöntemi, bir bilinmeyenden diğer iki bilinmeyene kadar sırayla ardışık olarak elde edilen sonucun sistem denklemlerinde yerine konulmasından oluşur. Üç denklemden oluşan bir sistem verilsin Genel görünüm:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
İlk denklemdeki x'i ifade edin: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun, ardından ikinci denklemde y'yi ifade edin ve üçüncüde yerine koyun. Sistem denklemlerinin katsayıları aracılığıyla z için doğrusal bir ifade elde edeceksiniz. Şimdi "geriye" gidin: ikinci denklemde z'yi değiştirin ve y'yi bulun, ardından z ve y'yi birinci denklemde yerine koyun ve x'i bulun. Süreç genel olarak z bulunmadan önceki şekilde gösterilmektedir. Genel biçimde daha fazla yazmak çok hantal olacaktır; pratikte yerine koyarak üç bilinmeyeni de kolayca bulabilirsiniz.
Cramer'in yöntemi, bir sistem matrisi oluşturmak ve bu matrisin determinantının yanı sıra üç yardımcı matrisin daha hesaplanmasından oluşur. Sistem matrisi denklemlerin bilinmeyen terimlerinin katsayılarından oluşur. Denklemlerin sağ tarafındaki sayıları içeren bir sütun, sağ taraflarındaki bir sütun. Sistemde kullanılmaz ancak sistem çözümünde kullanılır.
Konuyla ilgili video
Not
Sistemdeki tüm denklemler diğer denklemlerden bağımsız olarak ek bilgi sağlamalıdır. Aksi takdirde sistem eksik belirlenecek ve kesin bir çözüm bulmak mümkün olmayacaktır.
Yararlı tavsiye
Denklem sistemini çözdükten sonra bulunan değerleri orijinal sisteme yerleştirin ve tüm denklemleri karşıladıklarını kontrol edin.
Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.
İhtiyacın olacak
- - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.
Talimatlar
Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeye çalışın ve bunları yerine koyun. denklemüç ile Bilinmeyen. Bu durumda amacınız durumu normale dönüştürmektir. denklem bilinmeyen bir kişiyle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.
Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda iptal edilmesi için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa, bundan yararlanın, büyük olasılıkla sonraki çözüm zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken hem sol hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Aynı şekilde denklemlerde çıkarma işlemi yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmamalısınız.
Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, şunu kullanın: genel anlamdaÜçlü herhangi bir denklemin çözümleri Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x için bir katsayılar matrisi (A), bilinmeyenler matrisi (X) ve serbest olanlardan oluşan bir matris (B) oluşturun. Katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarptığınızda, serbest terimler matrisini, yani A*X=B elde edeceğinizi lütfen unutmayın.
İlk önce A matrisinin (-1) üssünü bulun, olmaması gerektiğine dikkat edin sıfıra eşit. Bundan sonra, ortaya çıkan matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini alacaksınız.
Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Kaynaklar:
- üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri
Bir denklem sistemini çözmeye başladığınızda bunların ne tür denklemler olduğunu bulun. Doğrusal denklemleri çözme yöntemleri oldukça iyi incelenmiştir. Doğrusal olmayan denklemler çoğunlukla çözülmez. Her biri pratik olarak bireysel olan yalnızca bir özel durum vardır. Bu nedenle çözüm tekniklerinin incelenmesi doğrusal denklemlerle başlamalıdır. Bu tür denklemler tamamen algoritmik olarak bile çözülebilir.
Bulunan bilinmeyenlerin paydaları tamamen aynıdır. Evet, paylar da yapılarında bazı modeller gösteriyor. Denklem sisteminin boyutu ikiden büyük olsaydı, yok etme yöntemi çok hantal hesaplamalara yol açacaktı. Bunlardan kaçınmak için tamamen algoritmik çözümler geliştirilmiştir. Bunlardan en basiti Cramer algoritmasıdır (Cramer formülleri). Çünkü öğrenmelisin genel sistem n denklemden denklemler.
Sistem n doğrusal cebirsel denklemler n bilinmeyenli forma sahiptir (bkz. Şekil 1a). İçinde, аij sistemin katsayılarıdır,
xj – bilinmeyenler, bi – serbest terimler (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Böyle bir sistem kompakt bir şekilde AX=B matris formunda yazılabilir. Burada A sistem katsayılarının matrisidir, X bilinmeyenlerin sütun matrisidir, B serbest terimlerin sütun matrisidir (bkz. Şekil 1b). Cramer'in yöntemine göre her bilinmeyen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Katsayı matrisinin determinantına ∆ ana, ∆i'ye yardımcı denir. Her bilinmeyen için, yardımcı determinant, ana determinantın i'inci sütununun serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle bulunur. İkinci ve üçüncü dereceden sistemler için Cramer yöntemi Şekil 1'de ayrıntılı olarak sunulmaktadır. 2.
Sistem, her biri iki veya daha fazla bilinmeyen içeren iki veya daha fazla eşitliğin birleşimidir. Okul müfredatında kullanılan doğrusal denklem sistemlerini çözmenin iki ana yolu vardır. Bunlardan birine yöntem, diğerine ise toplama yöntemi denir.
İki denklemli bir sistemin standart formu
Şu tarihte: standart biçim ilk denklem a1*x+b1*y=c1 biçimindedir, ikinci denklem a2*x+b2*y=c2 biçimindedir ve böyle devam eder. Örneğin sistemin iki parçası olması durumunda, her ikisi de verilen a1, a2, b1, b2, c1, c2 belirli denklemlerle temsil edilen bazı sayısal katsayılardır. Buna karşılık x ve y, değerlerinin belirlenmesi gereken bilinmeyenleri temsil eder. Gerekli değerler her iki denklemi aynı anda gerçek eşitliklere dönüştürür.Toplama yöntemini kullanarak sistemi çözme
Sistemi çözmek, yani x ve y'nin onları gerçek eşitliklere dönüştürecek değerlerini bulmak için birkaç basit adım atmanız gerekir. Bunlardan ilki, her iki denklemdeki x veya y değişkeninin sayısal katsayılarının büyüklüğü aynı, ancak işareti farklı olacak şekilde denklemlerden birini dönüştürmektir.Örneğin iki denklemden oluşan bir sistemin verildiğini varsayalım. Bunlardan birincisi 2x+4y=8 biçiminde, ikincisi ise 6x+2y=6 biçimindedir. Görevi tamamlama seçeneklerinden biri, ikinci denklemi -2 katsayısıyla çarpmaktır, bu da onu -12x-4y=-12 formuna götürecektir. Doğru seçim katsayı, bir sistemi toplama yoluyla çözme sürecindeki temel görevlerden biridir, çünkü bilinmeyenleri bulma prosedürünün tüm ilerleyişini belirler.
Şimdi sistemin iki denklemini eklemek gerekiyor. Açıkçası, katsayıları eşit değerde ancak işareti zıt olan değişkenlerin karşılıklı yok edilmesi -10x=-4 formunun oluşmasına yol açacaktır. Bundan sonra, x = 0,4 sonucunun açıkça ortaya çıktığı bu basit denklemi çözmek gerekir.
Çözüm sürecindeki son adım, değişkenlerden birinin bulunan değerini, sistemdeki orijinal eşitliklerden herhangi birinin yerine koymaktır. Örneğin, ilk denklemde x=0,4 yerine 2*0,4+4y=8 ifadesini elde edebilirsiniz; buradan y=1,8 elde edilir. Dolayısıyla x=0,4 ve y=1,8 örnek sistemin kökleridir.
Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için bulunan değerleri sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak kontrol etmekte fayda vardır. Örneğin, bu durumda 0,4*6+1,8*2=6 biçiminde bir eşitlik elde ederiz ki bu doğrudur.
Konuyla ilgili video
Denklem sistemlerinin iki tür çözümünü analiz edelim:
1. Sistemin yerine koyma yöntemini kullanarak çözülmesi.
2. Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) sistemi çözmek.
Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemiyle basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. Ekspres. Herhangi bir denklemden bir değişkeni ifade ederiz.
2. Değiştir. Ortaya çıkan değeri, ifade edilen değişken yerine başka bir denklemde değiştiririz.
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.
Çözmek için terim dönem toplama (çıkarma) yöntemiyle sistemşunları yapmanız gerekir:
1. Katsayılarını aynı yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri topluyor veya çıkarıyoruz, sonuçta tek değişkenli bir denklem elde ediliyor.
3. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.
Sistemin çözümü fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarıdır.
Örnekleri kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.
Örnek 1:
Yerine koyma yöntemiyle çözelim
Bir denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözme2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)
1. Ekspres
İkinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeninin olduğu görülmektedir, bu da x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay olduğu anlamına gelir.
x=3+10y
2.İfade ettikten sonra ilk denklemde x değişkeni yerine 3+10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün.
2(3+10y)+5y=1 (parantezleri açın)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişim noktalarıdır dolayısıyla x ve y'yi bulmamız gerekir çünkü kesişim noktası x ve y'den oluşur.x'i bulalım ilk ifade ettiğimiz noktada yerine y koyarız .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
X değişkenini yazdığımız ilk yere, y değişkenini ikinci sıraya yazmak gelenekseldir.
Cevap: (1; -0,2)
Örnek #2:
Terim terim toplama (çıkarma) yöntemini kullanarak çözelim.
Toplama yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözme3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)
1. Bir değişken seçiyoruz, diyelim ki x'i seçiyoruz. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayıya bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz ve toplam 6 katsayısını elde ediyoruz.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. X değişkeninden kurtulmak için birinci denklemden ikinciyi çıkarın.Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. x'i bulun. Bulunan y'yi denklemlerden herhangi birinin yerine koyarız, diyelim ki ilk denklemin içine.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Kesişme noktası x=4,6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)
Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? Çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yapmıyorum.
Önceki paragrafta tartışılan grafiksel yöntemden daha güvenilirdir.
İkame yöntemi
Bu yöntemi 7. sınıfta doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullandık. 7. sınıfta geliştirilen algoritma, iki x ve y değişkenli (tabii ki değişkenler başka harflerle de gösterilebilir, bu önemli değil) herhangi iki denklemden (doğrusal olmak zorunda değil) oluşan sistemleri çözmek için oldukça uygundur. Aslında bu algoritmayı önceki paragrafta kullanmıştık. çift haneli sayı bir denklem sistemi olan matematiksel bir modele yol açtı. Yukarıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözdük (bkz. § 4'teki örnek 1).
İki değişkenli x, y içeren iki denklem sistemini çözerken ikame yöntemini kullanmaya yönelik bir algoritma.
1. Sistemin bir denkleminden y'yi x cinsinden ifade edin.
2. Sonuçta elde edilen ifadeyi y yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.
3. x için elde edilen denklemi çözün.
4. Üçüncü adımda bulunan denklemin köklerinden her birini, birinci adımda elde edilen y'den x'e kadar olan ifadede x yerine değiştirin.
5. Cevabı sırasıyla üçüncü ve dördüncü adımlarda bulunan değer çiftleri (x; y) şeklinde yazın.
4) Y'nin bulunan değerlerinin her birini birer birer x = 5 - 3 formülüne yazın. Eğer o zaman 
5) (2; 1) çiftleri ve belirli bir denklem sisteminin çözümleri.
Cevap: (2; 1);
Cebirsel toplama yöntemi
Bu yöntem, yerine koyma yöntemi gibi, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanıldığı 7. sınıf cebir dersinden size tanıdık geliyor. Aşağıdaki örneği kullanarak yöntemin özünü hatırlayalım.
Örnek 2. Denklem sistemini çözme
Sistemin ilk denkleminin tüm terimlerini 3 ile çarpalım ve ikinci denklemi değiştirmeden bırakalım: 
Sistemin ikinci denklemini birinci denkleminden çıkarın:
Orijinal sistemin iki denkleminin cebirsel olarak toplanması sonucunda verilen sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden daha basit bir denklem elde edildi. Bu daha basit denklemle, belirli bir sistemin herhangi bir denklemini, örneğin ikincisini değiştirme hakkına sahibiz. Daha sonra verilen denklem sistemi daha basit bir sistemle değiştirilecektir:
Bu sistem ikame yöntemi kullanılarak çözülebilir. Bulduğumuz ikinci denklemden sistemin ilk denkleminde y yerine bu ifadeyi yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
X'in bulunan değerlerini formülde değiştirmeye devam ediyor
Eğer x = 2 ise
Böylece sisteme iki çözüm bulduk: 
Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi
8. sınıf cebir dersinde tek değişkenli rasyonel denklemleri çözerken yeni bir değişken ekleme yöntemiyle tanıştınız. Denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bu yöntemin özü aynıdır ancak teknik açıdan aşağıdaki örneklerde tartışacağımız bazı özellikler vardır.
Örnek 3. Denklem sistemini çözme
Yeni bir değişken tanıtalım.Daha sonra sistemin ilk denklemi daha fazla şekilde yeniden yazılabilir. basit biçimde: Bu denklemi t değişkeni için çözelim:
Bu değerlerin her ikisi de koşulu karşılar ve dolayısıyla köklerdir rasyonel denklem t değişkenli. Ama bu ya x = 2y'yi bulduğumuz yer anlamına gelir, ya da
Böylece, yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanarak, görünüşte oldukça karmaşık olan sistemin ilk denklemini iki daha basit denklem halinde "katmanlandırmayı" başardık:
x = 2 y; y - 2x.
Sıradaki ne? Ve sonra ikisinin her biri aldı basit denklemler henüz hatırlamadığımız x 2 - y 2 = 3 denklemine sahip bir sistemde tek tek ele alınması gerekir. Başka bir deyişle, problem iki denklem sisteminin çözümünden ibarettir:
Birinci sisteme, ikinci sisteme çözüm bulmamız ve ortaya çıkan tüm değer çiftlerini cevaba dahil etmemiz gerekiyor. İlk denklem sistemini çözelim:
Burada her şey hazır olduğuna göre, yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde x yerine 2y ifadesini koyalım. Aldık
x = 2y olduğundan sırasıyla x 1 = 2, x 2 = 2 buluruz. Böylece verilen sistemin iki çözümü elde edilir: (2; 1) ve (-2; -1). İkinci denklem sistemini çözelim:
Tekrar yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde y yerine 2x ifadesini yazalım. Aldık
Bu denklemin kökleri yoktur, yani denklem sisteminin çözümü yoktur. Bu nedenle cevaba yalnızca ilk sistemin çözümlerinin dahil edilmesi gerekir.
Cevap: (2; 1); (-2;-1).
İki değişkenli iki denklem sistemini çözerken yeni değişkenler ekleme yöntemi iki versiyonda kullanılır. İlk seçenek: Sistemin yalnızca bir denkleminde yeni bir değişken tanıtılır ve kullanılır. Örnek 3'te olan da tam olarak budur. İkinci seçenek: Sistemin her iki denkleminde iki yeni değişken tanıtılır ve aynı anda kullanılır. Örnek 4'te de durum böyle olacaktır.
Örnek 4. Denklem sistemini çözme
İki yeni değişkeni tanıtalım:
O zaman şunu dikkate alalım
Bu, verilen sistemi çok daha basit bir biçimde yeniden yazmanıza olanak tanır, ancak yeni a ve b değişkenlerine göre:
a = 1 olduğundan, a + 6 = 2 denkleminden şunu buluruz: 1 + 6 = 2; 6=1. Böylece a ve b değişkenleriyle ilgili olarak bir çözüm elde ettik:
X ve y değişkenlerine dönersek bir denklem sistemi elde ederiz
Bu sistemi çözmek için cebirsel toplama yöntemini uygulayalım:
O zamandan beri 2x + y = 3 denkleminden şunları buluyoruz:
Böylece x ve y değişkenleriyle ilgili olarak tek bir çözüm elde ettik:
Bu paragrafı kısa ama oldukça ciddi bir teorik konuşmayla bitirelim. Çeşitli denklemleri çözme konusunda zaten biraz deneyim kazandınız: doğrusal, ikinci dereceden, rasyonel, irrasyonel. Bir denklem çözmenin ana fikrinin, bir denklemden diğerine, daha basit ama verilene eşdeğer olana yavaş yavaş geçmek olduğunu biliyorsunuz. Önceki paragrafta iki değişkenli denklemler için eşdeğerlik kavramını tanıttık. Bu kavram aynı zamanda denklem sistemleri için de kullanılır.
Tanım.
X ve y değişkenlerine sahip iki denklem sistemi, çözümleri aynıysa veya her iki sistemin de çözümü yoksa eşdeğer olarak adlandırılır.
Bu bölümde tartıştığımız her üç yöntem de (yer değiştirme, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması) eşdeğerlik açısından kesinlikle doğrudur. Başka bir deyişle, bu yöntemleri kullanarak, bir denklem sistemini daha basit ancak orijinal sisteme eşdeğer başka bir denklem sistemiyle değiştiriyoruz.
Denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem
Denklem sistemlerini ikame yöntemi, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması gibi yaygın ve güvenilir yollarla nasıl çözeceğimizi zaten öğrendik. Şimdi önceki derste incelediğiniz yöntemi hatırlayalım. Yani bildiklerinizi tekrarlayalım grafiksel yöntemçözümler.
Denklem sistemlerini çözme yöntemi grafiksel olarak belirli bir sisteme dahil edilen ve aynı koordinat düzleminde bulunan belirli denklemlerin her biri için bir grafiğin yapısını ve ayrıca bu grafiklerin noktalarının kesişme noktalarını bulmanın gerekli olduğu yeri temsil eder. Bu denklem sistemini çözmek için bu noktanın koordinatları vardır (x; y).
Grafiksel bir denklem sisteminin tek bir doğru çözüme ya da sonsuz sayıda çözüme sahip olmasının ya da hiç çözümünün bulunmamasının yaygın bir durum olduğu unutulmamalıdır.
Şimdi bu çözümlerin her birine daha ayrıntılı olarak bakalım. Dolayısıyla, bir denklem sisteminin, sistemin denklemlerinin grafikleri olan doğrular kesişmesi durumunda benzersiz bir çözümü olabilir. Eğer bu çizgiler paralelse, o zaman böyle bir denklem sisteminin kesinlikle hiçbir çözümü yoktur. Sistemin denklemlerinin doğrudan grafikleri çakışırsa, böyle bir sistem birçok çözüm bulmayı sağlar.
Şimdi 2 bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi grafiksel yöntemle çözmek için kullanılan algoritmaya bakalım:
Öncelikle 1. denklemin grafiğini oluşturuyoruz;
İkinci adım, ikinci denklemle ilgili bir grafik oluşturmak olacaktır;
Üçüncü olarak grafiklerin kesişim noktalarını bulmamız gerekiyor.
Sonuç olarak denklem sisteminin çözümü olacak her kesişme noktasının koordinatlarını elde ederiz.
Bir örnek kullanarak bu yönteme daha ayrıntılı olarak bakalım. Bize çözülmesi gereken bir denklem sistemi veriliyor:
Denklemleri çözme
1. Öncelikle şu denklemin grafiğini oluşturacağız: x2+y2=9.
Ancak denklemlerin bu grafiğinin orijinde merkezi olan bir daire olacağını ve yarıçapının üçe eşit olacağını belirtmeliyiz.
2. Bir sonraki adımımız şu şekilde bir denklemin grafiğini çizmek olacaktır: y = x – 3.
Bu durumda düz bir çizgi çizip (0;−3) ve (3;0) noktalarını bulmalıyız.
3. Bakalım elimizde ne var. Doğrunun çemberi A ve B noktalarından ikisinde kestiğini görüyoruz.
Şimdi bu noktaların koordinatlarını arıyoruz. Koordinatların (3;0) A noktasına, koordinatların (0;−3) ise B noktasına karşılık geldiğini görüyoruz.
Peki sonuç olarak ne elde ederiz?
Doğrunun daireyi kesmesi durumunda elde edilen (3;0) ve (0;−3) sayıları sistemin her iki denkleminin de çözümleridir. Ve bundan, bu sayıların aynı zamanda bu denklem sisteminin çözümleri olduğu sonucu çıkıyor.
Yani bu çözümün cevabı (3;0) ve (0;−3) sayılarıdır.