Menü
Ücretsiz
Kayıt
Ev  /  uçuk/ Matris sıralamasını arayın. Matris sıralaması kavramı. Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

Bir matrisin rütbesini bulma. Matris sıralaması kavramı. Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

>>Matris sıralaması

Matris sıralaması

Bir matrisin rütbesini belirleme

Dikdörtgensel bir matris düşünün. Bu matriste keyfi olarak seçim yaparsak kçizgiler ve k sütunlar seçilirse, seçilen satır ve sütunların kesişimindeki öğeler k'inci mertebeden bir kare matris oluşturur. Bu matrisin determinantına denir k'inci dereceden küçük A matrisi. Açıkçası, A matrisinin 1'den m ve n sayılarının en küçüğüne kadar herhangi bir düzende küçükleri vardır. A matrisinin sıfırdan farklı tüm küçükleri arasında, sırası en büyük olan en az bir küçük vardır. Belirli bir matrisin sıfırdan farklı küçük derecelerinin en büyüğüne denir rütbe matrisler. A matrisinin rütbesi ise R, bu, A matrisinin sıfırdan farklı bir mertebeye sahip olduğu anlamına gelir R, ancak her küçük mertebeden büyük R, sıfıra eşittir. A matrisinin sırası r(A) ile gösterilir. Açıkçası, ilişki devam ediyor

Küçükleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

Matrisin sırası ya küçüklerin sınırlanması yöntemiyle ya da temel dönüşüm yöntemiyle bulunur. Birinci yöntemi kullanarak bir matrisin sırasını hesaplarken, düşük dereceli küçüklerden yüksek dereceli küçüklere doğru hareket etmelisiniz. A matrisinin k'inci dereceden sıfırdan farklı bir küçük D'si zaten bulunmuşsa, o zaman yalnızca küçük D'yi çevreleyen (k+1) sıradaki küçüklerin hesaplanması gerekir, yani. onu reşit olmayan bir çocuk olarak içeriyor. Hepsi sıfıra eşitse, matrisin sırası eşittir k.

Örnek 1.Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak matrisin sırasını bulun

.

Çözüm.1. dereceden küçüklerle başlıyoruz, yani. A matrisinin elemanlarından. Örneğin, ilk satırda ve ilk sütunda yer alan bir küçük (element) M 1 = 1'i seçelim. İkinci sıra ve üçüncü sütunun yardımıyla sınırlayarak sıfırdan farklı bir küçük M 2 = elde ederiz. Şimdi M2 sınırındaki 3. dereceden küçüklere dönüyoruz. Bunlardan yalnızca iki tane var (ikinci veya dördüncü bir sütun ekleyebilirsiniz). Bunları hesaplayalım: = 0. Böylece, üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçüklerin sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı. A matrisinin rütbesi ikidir.

Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

İlköğretimAşağıdaki matris dönüşümleri denir:

1) herhangi iki satırın (veya sütunun) permütasyonu,

2) bir satırı (veya sütunu) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak,

3) bir satıra (veya sütuna), belirli bir sayıyla çarpılarak başka bir satıra (veya sütuna) ekleme.

İki matris denir eş değer, eğer bunlardan biri diğerinden sonlu bir temel dönüşüm kümesi kullanılarak elde ediliyorsa.

Eşdeğer matrisler genel olarak eşit değildir ancak rütbeleri eşittir. A ve B matrisleri eşdeğer ise şu şekilde yazılır: A~B.

KanonikBir matris, ana köşegenin başlangıcında arka arkaya birkaç tanenin bulunduğu (sayı sıfır olabilir) ve diğer tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir matristir, örneğin,

.

Satır ve sütunların temel dönüşümleri kullanılarak herhangi bir matris kanonik hale getirilebilir. Kanonik bir matrisin rütbesi, ana köşegenindeki birlerin sayısına eşittir.

Örnek 2Bir matrisin rütbesini bulun

bir=

ve onu kanonik forma getirin.

Çözüm.İkinci satırdan birinciyi çıkarın ve şu satırları yeniden düzenleyin:

.

Şimdi ikinci ve üçüncü satırlardan birinciyi sırasıyla 2 ve 5 ile çarparak çıkarıyoruz:

;

birincisini üçüncü satırdan çıkarın; bir matris elde ederiz

B = ,

A matrisine eşdeğerdir, çünkü ondan sonlu bir temel dönüşüm kümesi kullanılarak elde edilir. Açıkçası, B matrisinin rütbesi 2'dir ve dolayısıyla r(A)=2'dir. Matris B kolaylıkla kanonik hale indirgenebilir. Uygun sayılarla çarpılan ilk sütunu sonraki tüm sütunlardan çıkararak, ilk satırın ilk hariç tüm öğelerini sıfıra çeviririz ve geri kalan satırların öğeleri değişmez. Daha sonra, uygun sayılarla çarpılan ikinci sütunu sonraki tüm sütunlardan çıkararak, ikinci satırın ikinci hariç tüm öğelerini sıfıra çeviririz ve kanonik matrisi elde ederiz:

.

Matris sıralaması sıfır olmayan küçüklerin en büyük mertebesi denir. Bir matrisin derecesi veya ile gösterilir.

Belirli bir matrisin tüm sıralı minörleri sıfıra eşitse, o zaman belirli bir matrisin tüm yüksek dereceli minörleri de sıfıra eşittir. Bu, determinantın tanımından kaynaklanmaktadır. Bu, bir matrisin rütbesini bulmak için bir algoritma anlamına gelir.

Birinci dereceden tüm küçükler (matris elemanları) sıfıra eşitse, o zaman . Birinci dereceden küçüklerden en az biri sıfırdan farklıysa ve ikinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman . Üstelik yalnızca sıfır olmayan birinci dereceden küçükle sınır olan ikinci dereceden küçüklere bakmak yeterlidir. Sıfır dışında ikinci dereceden bir minör varsa, sıfır olmayan ikinci dereceden minörün sınırındaki üçüncü dereceden minörleri inceleyin. Bu, iki durumdan birine ulaşana kadar devam eder: ya sıfırdan farklı bir minörün sınırındaki tüm alt sıralar sıfıra eşittir ya da böyle bir alt düzey yoktur. Daha sonra .

Örnek 10. Bir matrisin rütbesini hesaplayın.

Birinci dereceden küçük (öğe) sıfır değildir. Onu çevreleyen küçük de sıfıra eşit değildir.

Tüm bu küçükler sıfıra eşittir, yani .

Bir matrisin sırasını bulmak için verilen algoritma, çok sayıda belirleyicinin hesaplanmasıyla ilişkili olduğundan her zaman uygun değildir. Bir matrisin rütbesini hesaplarken, matrisin o kadar basit bir forma indirgendiği temel dönüşümleri kullanmak en uygunudur ki, sıralamasının ne olduğu açıktır.

Temel matris dönüşümleri Aşağıdaki dönüşümler denir:

Ø bir matrisin bir satırını (sütununu) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak;

Ø bir satıra (sütun) başka bir satıra (sütun) isteğe bağlı bir sayıyla çarpılarak ekleme.

Poluzhordanov matris satırlarını dönüştürmek:

bir çözümleme elemanı ile matris satırlarına sahip aşağıdaki dönüşümler kümesidir:

Ø ilk satıra sayıyla çarpılarak vb. 0 ekleyin;

Ø son satıra sayıyla çarptığınız yu ekleyin.

Matris sütunlarının yarı Jordan dönüşümü bir çözümleme elemanı ile matris sütunlu aşağıdaki dönüşümler kümesidir:

Ø ilk sütuna th'yi sayıyla çarparak vb. ekleyin;

Ø son sütuna sayıyla çarpılan th'yi ekleyin.

Bu dönüşümler gerçekleştirildikten sonra matris elde edilir:

Bir kare matrisin satır veya sütunlarının yarı Jordan dönüşümü onun determinantını değiştirmez.

Temel matris dönüşümleri sırasını değiştirmez. Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesinin nasıl hesaplanacağını örnek olarak gösterelim. satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımlıdır.

Bu makalede matrisin rütbesi gibi bir kavram ve gerekli ek kavramlar tartışılacaktır. Bir matrisin rütbesini bulmayla ilgili örnekler ve kanıtlar vereceğiz, ayrıca size bir matrisin ne olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu anlatacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Matris minör

Bir matrisin rütbesinin ne olduğunu anlamak için matris minör kavramını anlamanız gerekir.

Tanım 1

Küçükkmatrisin mertebesi A matrisinin elemanlarının konumu korunurken, önceden seçilmiş k satırları ve k sütunlarında bulunan A matrisinin elemanlarından oluşan k × k düzeyindeki bir kare matrisin determinantıdır.

Basitçe söylemek gerekirse, A matrisinde (p-k) satırları ve (n-k) sütunları silerseniz ve kalan elemanlardan, A matrisinin elemanlarının düzenini koruyarak bir matris oluşturursanız, ortaya çıkan matrisin determinantı şöyle olur: A matrisinin k minör mertebesi.

Örnekten, A matrisinin birinci dereceden küçüklerinin matris elemanlarının kendileri olduğu anlaşılmaktadır.

2. dereceden küçüklere birkaç örnek verebiliriz. İki satır ve iki sütun seçelim. Örneğin 1. ve 2. satır, 3. ve 4. sütun.

Bu eleman seçimiyle, ikinci dereceden minör - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2 olacaktır.

A matrisinin başka bir 2. dereceden küçük değeri 0 0 1 1 = 0'dır

A matrisinin ikinci dereceden küçüklerinin yapımına ilişkin örnekler verelim:

A matrisinin üçüncü sütununun üzeri çizilerek 3. dereceden bir minör elde edilir:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

A matrisinin 3. derece minörünün nasıl elde edildiğini gösteren örnek:

Belirli bir matris için 3. dereceden daha yüksek küçükler yoktur çünkü

k ≤ m ben n (p , n) = m ben n (3 , 4) = 3

p×n mertebesindeki A matrisi için k mertebesinden kaç tane küçük vardır?

Reşit olmayanların sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

C p k × C n k , burada e C p k = p ! k! (p - k) ! ve C n k = n ! k! (n - k) ! - sırasıyla p'den k'ye, n'den k'ye kombinasyonların sayısı.

A matrisinin küçüklerinin ne olduğunu belirledikten sonra A matrisinin rütbesini belirlemeye geçebiliriz.

Matris sıralaması: bulma yöntemleri

Tanım 2

Matris sıralaması - matrisin sıfır dışındaki en yüksek derecesi.

Tanım 1

Sıra (A), Rg (A), Rang (A).

Bir matrisin rütbesinin ve bir matrisin minörünün tanımından, sıfır matrisin rütbesinin sıfıra eşit olduğu ve sıfır olmayan bir matrisin rütbesinin sıfırdan farklı olduğu açıkça ortaya çıkar.

Tanıma göre bir matrisin rütbesini bulma

Tanım 3

Küçükleri numaralandırma yöntemi - Bir matrisin sıralamasını belirlemeye dayalı bir yöntem.

Küçükleri numaralandırma yöntemini kullanan eylem algoritması :

A mertebesinden bir matrisin rütbesini bulmak gerekir P× N. Sıfır olmayan en az bir öğe varsa, matrisin sırası en az bire eşittir ( Çünkü sıfıra eşit olmayan 1. dereceden bir minör var).

Daha sonra 2. dereceden küçüklerin sayımı geliyor. 2. dereceden tüm küçüklerin tümü sıfıra eşitse, sıra bire eşittir. 2. dereceden sıfır olmayan en az bir küçük varsa, 3. dereceden küçüklerin numaralandırılmasına geçilmesi gerekir ve bu durumda matrisin sırası en az ikiye eşit olacaktır.

Aynısını 3. derecenin sıralaması için de yapacağız: matrisin tüm küçükleri sıfıra eşitse, sıralama ikiye eşit olacaktır. 3. dereceden sıfır olmayan en az bir küçük varsa, matrisin sırası en az üçtür. Ve benzeri, benzetme yoluyla.

Örnek 2

Matrisin rütbesini bulun:

bir = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Matris sıfırdan farklı olduğundan minimum derecesi birdir.

2. dereceden küçük - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 sıfır değildir. Buradan A matrisinin rütbesinin en az iki olduğu sonucu çıkar.

3. dereceden küçükleri sıralıyoruz: C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3) ! = 10 adet.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

3. dereceden küçükler sıfıra eşittir, dolayısıyla matrisin sırası ikidir.

Cevap : Sıra (A) = 2.

Sınırdaki küçükler yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma

Tanım 3

Sınırlandırıcı küçük yöntem - Daha az hesaplama çalışmasıyla sonuç almanızı sağlayan bir yöntem.

Kenar minör - A matrisinin k mertebesindeki küçük M'yi sınırlayan, A matrisinin inci mertebesinden küçük M o k (k + 1), eğer küçük M o k'ya karşılık gelen matris, aşağıdaki matrise karşılık gelen matrisi "içeriyorsa" küçük M.

Basitçe söylemek gerekirse, sınırdaki küçük M'ye karşılık gelen matris, sınırdaki küçük M o k'ye karşılık gelen matristen bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek elde edilir.

Örnek 3

Matrisin rütbesini bulun:

bir = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Dereceyi bulmak için 2. dereceden minörü alıyoruz M = 2 - 1 4 1

Sınırdaki tüm küçükleri yazıyoruz:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Küçükleri sınırlama yöntemini haklı çıkarmak için, formülasyonu kanıt gerektirmeyen bir teorem sunuyoruz.

Teorem 1

Eğer p'ye n düzeyindeki bir A matrisinin k'inci dereceden küçüklerini çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşitse, bu durumda A matrisinin (k+1) düzeyindeki tüm küçükleri sıfıra eşittir.

Eylem algoritması :

Bir matrisin rütbesini bulmak için tüm küçüklerin üzerinden geçmek gerekli değildir, sadece kenardakilere bakmak yeterlidir.

Sınırdaki küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası sıfırdır. Sıfıra eşit olmayan en az bir küçük varsa, o zaman sınırdaki küçükleri dikkate alırız.

Eğer hepsi sıfırsa Rank(A) ikidir. Sıfırdan farklı en az bir sınırdaki küçük varsa, o zaman onun sınırdaki küçüklerini değerlendirmeye devam ederiz. Ve böylece aynı şekilde.

Örnek 4

Kenar küçükler yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulun

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Nasıl çözülür?

A matrisinin a 11 elemanı sıfıra eşit olmadığından 1. dereceden bir minör alıyoruz. Sıfırdan farklı bir sınırdaki küçük aramaya başlayalım:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Sıfır 2 0 4 1'e eşit olmayan 2. dereceden sınırdaki bir minör bulduk.

Sınırdaki küçükleri sıralayalım - ((4 - 2) × (5 - 2) = 6 adet vardır).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Cevap : Sıra(A) = 2.

Gauss yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma (temel dönüşümleri kullanarak)

Temel dönüşümlerin ne olduğunu hatırlayalım.

Temel dönüşümler:

  • matrisin satırlarını (sütunlarını) yeniden düzenleyerek;
  • matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarını sıfır olmayan rastgele bir k sayısıyla çarparak;

herhangi bir satır (sütun) öğesinin öğelerine, matrisin başka bir satırına (sütununa) karşılık gelen ve isteğe bağlı bir k sayısıyla çarpılan öğelerin eklenmesiyle.

Tanım 5

Gauss yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma - matris denkliği teorisine dayanan bir yöntem: eğer B matrisi, sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak A matrisinden elde ediliyorsa, Rank(A) = Rank(B).

Bu ifadenin geçerliliği matrisin tanımından kaynaklanmaktadır:

  • Bir matrisin satırları veya sütunları yeniden düzenlenirse determinantı işaret değiştirir. Sıfıra eşitse, satırları veya sütunları yeniden düzenlerken sıfıra eşit kalır;
  • Matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfıra eşit olmayan isteğe bağlı bir k sayısı ile çarpılması durumunda, elde edilen matrisin determinantı, orijinal matrisin determinantına eşit olup, bu sayı ile çarpılır. k;

Bir matrisin belirli bir satır veya sütununun elemanlarına başka bir satır veya sütunun karşılık gelen elemanlarının k sayısıyla çarpılması durumunda determinantı değişmez.

Temel dönüşüm yönteminin özü : Rütbesi bulunması gereken matrisi, temel dönüşümleri kullanarak yamuk matrise indirgeyin.

Ne için?

Bu tür matrislerin sıralamasını bulmak oldukça kolaydır. En az bir sıfır olmayan öğeye sahip satır sayısına eşittir. Ve temel dönüşümler yapılırken sıra değişmediğinden, bu matrisin sırası olacaktır.

Bu süreci örnekleyelim:

  • satır sayısı sütun sayısından büyük olan p'ye n düzeyindeki dikdörtgen matrisler A için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

  • satır sayısı sütun sayısından az olan, p'ye n düzeyindeki dikdörtgen matrisler A için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

  • n'ye n düzeyindeki A kare matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R an k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Örnek 5

Temel dönüşümleri kullanarak A matrisinin rütbesini bulun:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Nasıl çözülür?

a 11 elemanı sıfırdan farklı olduğundan, A matrisinin ilk satırının elemanlarını 1 a 11 = 1 2 ile çarpmak gerekir:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

2. satırın elemanlarına, 1. satırın karşılık gelen elemanlarını (-3) ile çarparak ekliyoruz. 3. satırın elemanlarına 1. satırın elemanlarını (-1) ile çarparak ekliyoruz:

~ Bir (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ Bir (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

a 22 (2) öğesi sıfır değildir, bu nedenle A matrisinin 2. satırının elemanlarını A (2) ile 1 a 22 (2) = - 2 3 ile çarparız:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  • Ortaya çıkan matrisin 3. satırının elemanlarına, 2. satırın 3 2 ile çarpılmış karşılık gelen elemanlarını ekliyoruz;
  • 4. satırın elemanlarına - 9 2 ile çarpılan 2. satırın elemanları;
  • 5. sıranın elemanlarına - 2. sıranın 3 2 ile çarpılmış elemanları.

Tüm satır elemanları sıfırdır. Böylece, temel dönüşümleri kullanarak matrisi yamuk biçime getirdik, buradan R an k (A (4)) = 2 olduğu görülebilir. Buradan orijinal matrisin rütbesinin de ikiye eşit olduğu sonucu çıkar.

Yorum

Temel dönüşümler gerçekleştirirseniz, yaklaşık değerlere izin verilmez!

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Aşağıdaki durumlarda r sayısına A matrisinin rütbesi denir:
1) A matrisinde sıfırdan farklı, r düzeyinde bir küçük vardır;
2) (r+1) mertebesinden ve varsa daha yüksek tüm küçükler sıfıra eşittir.
Aksi halde bir matrisin rütbesi sıfır dışındaki en yüksek küçük mertebedir.
Tanımlar: rangA, r A veya r.
Tanımdan r'nin pozitif bir tam sayı olduğu sonucu çıkar. Boş bir matris için sıranın sıfır olduğu kabul edilir.

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hesap makinesi bulmak için tasarlanmıştır matris sırası. Bu durumda çözüm Word ve Excel formatında kaydedilir. örnek çözüme bakın.

Talimatlar. Matris boyutunu seçin ve İleri'ye tıklayın.

Tanım . R dereceli bir matris verilsin. Bir matrisin sıfırdan farklı ve mertebesi r olan herhangi bir minörüne temel, bileşenlerinin satır ve sütunlarına ise temel satır ve sütunlar denir.
Bu tanıma göre, bir A matrisinin birkaç temel minörü olabilir.

E birim matrisinin sırası n'dir (satır sayısı).

Örnek 1. İki matris verildiğinde, ve onların reşit olmayanları , . Bunlardan hangisi temel olarak alınabilir?
Çözüm. Küçük M 1 =0 olduğundan herhangi bir matris için temel olamaz. Minör M 2 =-9≠0 ve mertebesi 2'dir, yani rütbeleri 2'ye eşit olmak koşuluyla A veya / ve B matrisleri için temel alınabilir. detB=0 olduğundan (iki orantılı sütunlu bir determinant olarak), rangB=2 ve M 2, B matrisinin temel minörü olarak alınabilir. A matrisinin rütbesi, detA=-27≠ olması nedeniyle 3'tür. 0 ve dolayısıyla bu matrisin küçük bazının sırası 3'e eşit olmalıdır, yani M2, A matrisi için bir taban değildir. A matrisinin, A matrisinin determinantına eşit tek bir temel minöre sahip olduğuna dikkat edin.

Teorem (temel minör hakkında). Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir birleşimidir.
Teoremin sonuçları.

  1. Rank r'nin her (r+1) sütun (satır) matrisi doğrusal olarak bağımlıdır.
  2. Bir matrisin sıralaması satır (sütun) sayısından azsa, satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıdır. RangA, satır (sütun) sayısına eşitse, satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır.
  3. Bir A matrisinin determinantı ancak ve ancak satırlarının (sütunlarının) doğrusal olarak bağımlı olması durumunda sıfıra eşittir.
  4. Bir matrisin bir satırına (sütununa) başka bir satır (sütun) eklerseniz, sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılırsanız, matrisin sıralaması değişmeyecektir.
  5. Diğer satırların (sütunların) doğrusal birleşimi olan bir matristeki bir satırın (sütun) üzerini çizerseniz, matrisin sırası değişmeyecektir.
  6. Bir matrisin sırası, doğrusal olarak bağımsız satırlarının (sütunlarının) maksimum sayısına eşittir.
  7. Maksimum doğrusal bağımsız satır sayısı, maksimum doğrusal bağımsız sütun sayısıyla aynıdır.

Örnek 2. Bir matrisin rütbesini bulun .
Çözüm. Matris sıralamasının tanımına dayanarak, sıfırdan farklı, en yüksek mertebeden bir minör arayacağız. Öncelikle matrisi daha basit bir forma dönüştürelim. Bunu yapmak için matrisin ilk satırını (-2) ile çarpıp ikinciye ekleyin, ardından (-1) ile çarpıp üçüncüye ekleyin.

Matris sırası kavramıyla çalışmak için "Cebirsel tümleyenler ve küçükler. Küçüklerin ve cebirsel tümleyenlerin türleri" konusundan bilgiye ihtiyacımız olacak. Her şeyden önce bu, “matris minör” terimiyle ilgilidir, çünkü matrisin rütbesini tam olarak minörler aracılığıyla belirleyeceğiz.

Matris sıralaması sıfıra eşit olmayan en az bir tanenin bulunduğu küçüklerin maksimum sırasıdır.

Eşdeğer matrisler- rütbeleri birbirine eşit olan matrisler.

Daha ayrıntılı olarak açıklayalım. İkinci dereceden küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane olduğunu varsayalım. Ve mertebesi ikiden büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonuç: Matrisin sırası 2'dir. Veya örneğin onuncu sıranın küçükleri arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır. Sırası 10'dan büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonuç: Matrisin sırası 10'dur.

$A$ matrisinin sırası şu şekilde gösterilir: $\rang A$ veya $r(A)$. Sıfır matrisi $O$'ın sıralamasının sıfır olduğu varsayılır, $\rang O=0$. Size bir matris minör oluşturmak için satır ve sütunların üzerini çizmeniz gerektiğini, ancak matrisin içerdiğinden daha fazla satır ve sütunun üzerini çizmenin imkansız olduğunu hatırlatmama izin verin. Örneğin, $F$ matrisinin boyutu $5\times 4$ ise (yani 5 satır ve 4 sütun içeriyorsa), bu durumda küçüklerinin maksimum sırası dörttür. Artık beşinci dereceden reşit olmayanlar oluşturmak mümkün olmayacak çünkü 5 sütun gerektirecekler (ve elimizde sadece 4 tane var). Bu, $F$ matrisinin sıralamasının dörtten fazla olamayacağı anlamına gelir; $\rang F≤4$.

Daha genel bir biçimde, yukarıdaki, eğer bir matris $m$ satır ve $n$ sütun içeriyorsa, bu durumda onun sıralaması $m$ ve $n$'ın en küçüğünü aşamaz, yani. $\rang A≤\min(m,n)$.

Prensip olarak, rütbenin tanımından itibaren onu bulma yöntemi izlenir. Tanım gereği bir matrisin rütbesini bulma süreci şematik olarak aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Bu diyagramı daha detaylı açıklayayım. En baştan akıl yürütmeye başlayalım, yani. $A$ matrisinin birinci dereceden küçüklerinden.

  1. Birinci dereceden tüm küçükler (yani, $A$ matrisinin elemanları) sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=0$. Birinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 1$ olur. İkinci dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
  2. İkinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, $\rang A=1$ olur. İkinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 2$ olur. Üçüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
  3. Üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=2$. Üçüncü dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 3$ olur. Dördüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
  4. Eğer dördüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=3$. Dördüncü dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 4$ olur. Beşinci dereceden küçükleri kontrol etmeye geçiyoruz vb.

Bu sürecin sonunda bizi neler bekliyor? K'inci dereceden küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane olması ve tüm (k+1) mertebeden küçüklerin sıfıra eşit olması mümkündür. Bu, k'nin, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tanenin bulunduğu, küçüklerin maksimum sırası olduğu anlamına gelir; rütbe k'ye eşit olacaktır. Farklı bir durum söz konusu olabilir: k'inci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olacak, ancak artık (k+1) mertebesinden küçüklerin oluşması mümkün olmayacaktır. Bu durumda matrisin rütbesi de k'ye eşittir. Kısacası, sıfır olmayan son minörün sırası matrisin sırasına eşit olacaktır.

Bir matrisin rütbesini bulma sürecinin tanımı gereği açıkça gösterileceği örneklere geçelim. Bu konudaki örneklerde matrislerin rütbesini sadece rütbe tanımını kullanarak bulmaya başlayacağımızı bir kez daha vurgulamak isterim. Diğer yöntemler (küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak bir matrisin sıralamasını hesaplamak, temel dönüşümler yöntemini kullanarak bir matrisin sıralamasını hesaplamak) aşağıdaki konularda tartışılmaktadır.

Bu arada, 1 ve 2 numaralı örneklerde yapıldığı gibi, sıralamayı bulma prosedürünü en küçük sıradaki küçüklerle başlatmak hiç de gerekli değildir. Hemen daha yüksek düzeydeki reşit olmayanlara geçebilirsiniz (bkz. örnek No. 3).

Örnek No.1

$A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 matrisinin rütbesini bulun & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Bu matrisin boyutu $3\time 5$'dır, yani. üç satır ve beş sütun içerir. 3 ve 5 sayılarından minimumu 3'tür, bu nedenle $A$ matrisinin sıralaması 3'ten fazla değildir, yani. $\rang A≤ 3$. Ve bu eşitsizlik açıktır, çünkü artık dördüncü dereceden küçükler oluşturamayacağız - onlar 4 satır gerektiriyor ve bizde sadece 3 tane var. Doğrudan belirli bir matrisin rütbesini bulma sürecine geçelim.

Birinci dereceden küçükler arasında (yani $A$ matrisinin elemanları arasında) sıfır olmayanlar vardır. Örneğin 5, -3, 2, 7. Genel olarak sıfır olmayan elemanların toplam sayısıyla ilgilenmiyoruz. Sıfır olmayan en az bir öğe var ve bu yeterli. Birinci dereceden küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane olduğundan, $\rang A≥ 1$ olduğu sonucuna varırız ve ikinci dereceden küçükleri kontrol etmeye devam ederiz.

İkinci dereceden küçükleri keşfetmeye başlayalım. Örneğin, 1, No. 2 satırları ve 1, No. 4 numaralı sütunların kesişiminde şu küçük öğenin öğeleri vardır: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right| $. Bu determinant için ikinci sütunun tüm elemanları sıfıra eşittir, dolayısıyla determinantın kendisi de sıfıra eşittir, yani. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (determinantların özellikleri konusundaki 3 numaralı özelliğe bakın). Veya bu determinantı, ikinci ve üçüncü dereceden determinantların hesaplanması bölümündeki 1 numaralı formülü kullanarak kolayca hesaplayabilirsiniz:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Test ettiğimiz ilk ikinci dereceden minörün sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı. Bu ne anlama gelir? İkinci dereceden küçükleri daha fazla kontrol etme ihtiyacı hakkında. Ya hepsi sıfır olacak (ve sonra sıralama 1'e eşit olacak) ya da aralarında sıfırdan farklı en az bir küçük olacak. Öğeleri 1 numaralı, 2 numaralı satırlar ile 1 ve 5 numaralı sütunların kesişiminde bulunan ikinci dereceden bir minör yazarak daha iyi bir seçim yapmaya çalışalım: $\left|\begin( dizi)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. Bu ikinci dereceden minörün değerini bulalım:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Bu minör sıfıra eşit değil. Sonuç: İkinci dereceden küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane vardır. Bu nedenle $\rang A≥ 2$. Üçüncü dereceden küçükleri incelemeye geçmeliyiz.

Üçüncü dereceden küçükler oluşturmak için 2 numaralı sütunu veya 4 numaralı sütunu seçersek, bu tür küçükler sıfıra eşit olacaktır (çünkü sıfır sütunu içereceklerdir). Elemanları 1, 3, 5 numaralı sütunların ve 1, 2, 3 numaralı satırların kesişme noktasında bulunan yalnızca üçüncü dereceden bir minörü kontrol etmek kalır. Bu minörü yazıp değerini bulalım:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Yani üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşittir. Derlediğimiz sıfır olmayan son minör ikinci derecedendi. Sonuç: Aralarında sıfır olmayan en az bir tane bulunan küçüklerin maksimum sırası 2'dir. Bu nedenle $\rang A=2$.

Cevap: $\rang A=2$.

Örnek No.2

$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 matrisinin rütbesini bulun \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Dördüncü dereceden bir kare matrisimiz var. Bu matrisin rütbesinin 4'ü geçmediğini hemen belirtelim. $\rang A≤ 4$. Matrisin rütbesini bulmaya başlayalım.

Birinci dereceden küçükler arasında (yani $A$ matrisinin elemanları arasında) sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır, dolayısıyla $\rang A≥ 1$. İkinci dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim. Örneğin, 2 No.lu, 3 No.lu satırlar ile 1 No.lu ve 2 No.lu sütunların kesişiminde, aşağıdaki ikinci dereceden küçük değeri elde ederiz: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Hadi hesaplayalım:

$$\sol| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

İkinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır, yani $\rang A≥ 2$.

Üçüncü dereceden küçüklere geçelim. Örneğin, elemanları 1, 3, 4 numaralı satırların ve 1, 2, 4 numaralı sütunların kesişiminde bulunan bir minör bulalım:

$$\sol | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Bu üçüncü derece minörün sıfıra eşit olduğu ortaya çıktığı için başka bir üçüncü derece minörün araştırılması gerekir. Ya hepsi sıfıra eşit olacak (o zaman sıralama 2'ye eşit olacak) ya da aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olacak (o zaman dördüncü dereceden küçükleri incelemeye başlayacağız). Elemanları 2, 3, 4 numaralı satırların ve 2, 3, 4 numaralı sütunların kesişme noktasında bulunan üçüncü dereceden bir minör ele alalım:

$$\sol| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Üçüncü dereceden küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane vardır, yani $\rang A≥ 3$. Dördüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.

Dördüncü dereceden herhangi bir küçük, $A$ matrisinin dört satırının ve dört sütununun kesişiminde bulunur. Başka bir deyişle, dördüncü dereceden küçük, $A$ matrisinin determinantıdır, çünkü bu matris 4 satır ve 4 sütun içerir. Bu matrisin determinantı, "Determinantın sırasının azaltılması. Determinantın bir satırda (sütun) ayrıştırılması" konusunun 2 numaralı örneğinde hesaplanmıştır, o halde bitmiş sonucu alalım:

$$\sol| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (dizi)\sağ|=86. $$

Yani dördüncü dereceden minör sıfıra eşit değil. Artık beşinci dereceden reşit olmayanlar oluşturamıyoruz. Sonuç: Aralarında sıfırdan farklı en az bir kişinin bulunduğu küçüklerin en yüksek sırası 4'tür. Sonuç: $\rang A=4$.

Cevap: $\rang A=4$.

Örnek No.3

$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 matrisinin rütbesini bulun \end( dizi) \right)$.

Hemen bu matrisin 3 satır ve 4 sütun içerdiğini, yani $\rang A≤ 3$ olduğunu belirtelim. Önceki örneklerde sıralamayı bulma sürecine en küçük (birinci) mertebeden küçükleri dikkate alarak başladık. Burada reşit olmayanları mümkün olan en yüksek düzende hemen kontrol etmeye çalışacağız. $A$ matrisi için bunlar üçüncü dereceden küçüklerdir. Öğeleri 1, 2, 3 numaralı satırların ve 2, 3, 4 numaralı sütunların kesişme noktasında yer alan üçüncü dereceden bir minör ele alalım:

$$\sol| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Yani, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane bulunan en yüksek küçükler sırası 3'tür. Bu nedenle matrisin sırası 3'tür, yani. $\rang A=3$.

Cevap: $\rang A=3$.

Genel olarak, bir matrisin rütbesini tanım gereği bulmak, genel durumda oldukça emek yoğun bir iştir. Örneğin, $5\time 4$ boyutunda nispeten küçük bir matrisin 60 ikinci dereceden küçükleri vardır. Ve bunlardan 59'u sıfıra eşit olsa bile, 60. minör sıfırdan farklı olabilir. O zaman bu matrisin 40 parçasından oluşan üçüncü dereceden küçükleri incelemeniz gerekecek. Genellikle küçüklerin sınırlanması yöntemi veya eşdeğer dönüşüm yöntemi gibi daha az hantal yöntemler kullanmaya çalışırlar.