Akut dik açının tanjantının kosinüsünün sinüsünün belirlenmesi. Yeni malzemenin konsolidasyonu. Derece azaltma formülleri

Öncelikle yarıçapı 1 ve merkezi (0;0) olan bir daire düşünün. Herhangi bir αЄR için, 0A yarıçapı, 0A ile 0x ekseni arasındaki açının radyan ölçüsü α'ya eşit olacak şekilde çizilebilir. Saat yönünün tersine yön pozitif kabul edilir. A yarıçapının sonunun koordinatları (a,b) olsun.

sine'un tanımı

Tanım: Açıklanan şekilde oluşturulan birim yarıçapın ordinatına eşit olan b sayısı sinα ile gösterilir ve α açısının sinüsü olarak adlandırılır.

Örnek: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

cosine'un tanımı

Tanım: Açıklanan şekilde oluşturulan birim yarıçapın ucunun apsisine eşit olan a sayısı, cosα ile gösterilir ve α açısının kosinüsü olarak adlandırılır.

Örnek: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Bu örnekler, birim yarıçapın sonunun koordinatları cinsinden bir açının sinüs ve kosinüsünün tanımını kullanır ve birim çember. Daha görsel bir gösterim için, bir birim daire çizmeniz ve karşılık gelen noktaları bunun üzerine çizmeniz, ardından kosinüsü hesaplamak için apsislerini ve sinüsü hesaplamak için koordinatları saymanız gerekir.

Teğet tanımı

Tanım: x≠π/2+πk, kЄZ için tgx=sinx/cosx fonksiyonuna x açısının kotanjantı denir. İhtisas tgx işlevleri x=π/2+πn, nЄZ hariç bunların hepsi gerçek sayılardır.

Örnek: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Bu örnek öncekine benzer. Bir açının tanjantını hesaplamak için bir noktanın ordinatını apsisine bölmeniz gerekir.

cotangent'un tanımı

Tanım: x≠πk, kЄZ için ctgx=cosx/sinx fonksiyonuna x açısının kotanjantı denir. Ctgx = fonksiyonunun tanım alanı, x=πk, kЄZ noktaları dışındaki tüm gerçek sayılardır.

Normal dik üçgeni kullanan bir örneğe bakalım

Kosinüs, sinüs, teğet ve kotanjantın ne olduğunu daha açık hale getirmek için. Açısı y olan normal bir dik üçgeni kullanan bir örneğe bakalım ve a,b,c kenarları. Hipotenüs c, sırasıyla bacaklar a ve b. Hipotenüs c ile kenar b y arasındaki açı.

Tanım: Y açısının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranıdır: siny = a/c

Tanım: Y açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır: cosy = v/c

Tanım: Y açısının tanjantı karşı tarafın komşu kenara oranıdır: tgy = a/b

Tanım: Y açısının kotanjantı, komşu tarafın karşı tarafa oranıdır: ctgy= in/a

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant da trigonometrik fonksiyonlar olarak adlandırılır. Her açının kendi sinüsü ve kosinüsü vardır. Ve neredeyse herkesin kendi teğet ve kotanjantı vardır.

Bize bir açı verilirse sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantının bizim tarafımızdan bilindiğine inanılıyor! Ve tam tersi. Sırasıyla bir sinüs veya başka bir trigonometrik fonksiyon verildiğinde açıyı biliyoruz. Hatta her açı için trigonometrik fonksiyonların yazıldığı özel tablolar bile oluşturulmuştur.

Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir, dik üçgeni anlamanıza yardımcı olacaktır.

Taraflara ne denir? dik üçgen? Aynen öyle, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır (örneğimizde bu \(AC\) kenarıdır); bacaklar kalan iki taraf \(AB\) ve \(BC\)'dir (bitişik olanlar) dik açı) ve eğer bacakları \(BC\) açısına göre düşünürsek, o zaman \(AB\) bacağı bitişik bacaktır ve \(BC\) bacağı da bunun tersidir. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir?

Açının sinüsü– bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.

Üçgenimizde:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Açının kosinüsü– bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.

Üçgenimizde:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Açının tanjantı– bu, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.

Üçgenimizde:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Açının kotanjantı– bu, bitişik (yakın) bacağın karşıt (uzak) bacağına oranıdır.

Üçgenimizde:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için bunu açıkça anlamalısınız. teğet Ve kotanjant yalnızca bacaklar oturur ve hipotenüs yalnızca sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:

Kosinüs → dokunma → dokunma → bitişik;

Kotanjant → dokunma → dokunma → bitişik.

Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları bu kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı olmadığından sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın olduğunu hatırlamanız gerekir. İnanma? Daha sonra resme bakarak emin olun:

Örneğin \(\beta \) açısının kosinüsünü düşünün. Tanım gereği, bir \(ABC\) üçgeninden: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \) ancak \(\beta \) açısının kosinüsünü \(AHI \) üçgeninden hesaplayabiliriz: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüsünün değeri aynı. Dolayısıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.

Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve bunları pekiştirin!

Aşağıdaki şekilde gösterilen \(ABC \) üçgeni için şunu buluruz: \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Peki, anladın mı? O halde kendiniz deneyin: \(\beta \) açısı için de aynısını hesaplayın.

Yanıtlar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Birim (trigonometrik) daire

Derece ve radyan kavramlarını anlayarak yarıçapı \(1\)'e eşit olan bir daire düşündük. Böyle bir daireye denir Bekar. Trigonometri çalışırken çok faydalı olacaktır. Bu nedenle biraz daha detaylı bakalım.

Gördüğünüz gibi bu daire Kartezyen koordinat sistemine göre inşa edilmiştir. Daire yarıçapı bire eşit, dairenin merkezi orijinde yer alırken, yarıçap vektörünün başlangıç ​​konumu \(x\) ekseninin pozitif yönü boyunca sabitlenir (örneğimizde bu yarıçap \(AB\)'dir).

Çember üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: \(x\) ekseni boyunca koordinat ve \(y\) ekseni boyunca koordinat. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, bunların elimizdeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik üçgeni hatırlamamız gerekir. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgeni görüyorsunuz. \(ACG\) üçgenini düşünün. \(CG\), \(x\) eksenine dik olduğundan dikdörtgendir.

\(ACG \) üçgeninden \(\cos \ \alpha \) nedir? Bu doğru \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ayrıca \(AC\)'nin birim çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz, yani \(AC=1\) . Bu değeri kosinüs formülümüzde yerine koyalım. İşte olanlar:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(ACG \) üçgeninden \(\sin \ \alpha \) neye eşittir? Tabii ki \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! \(AC\) yarıçapının değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Peki çembere ait \(C\) noktasının koordinatlarının ne olduğunu söyleyebilir misiniz? Peki, mümkün değil mi? Peki ya \(\cos \ \alpha \) ve \(\sin \alpha \)'nin yalnızca sayı olduğunu fark ederseniz? \(\cos \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Tabii ki koordinat \(x\)! Peki \(\sin \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Doğru, \(y\) koordinatı! Yani asıl nokta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

O halde \(tg \alpha \) ve \(ctg \alpha \) neye eşittir? Aynen öyle, hadi teğet ve kotanjantın karşılık gelen tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ya açı daha büyükse? Örneğin bu resimdeki gibi:

Bu örnekte ne değişti? Hadi çözelim. Bunu yapmak için tekrar dik üçgene dönelim. Bir dik üçgen düşünün \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : açı (açıya komşu olarak \(\beta \) ). Bir açı için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın değeri nedir? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Doğru, trigonometrik fonksiyonların ilgili tanımlarına uyuyoruz:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(dizi) \)

Gördüğünüz gibi açının sinüs değeri hala \(y\) koordinatına karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri - koordinat \(x\) ; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Dolayısıyla bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanır.

Yarıçap vektörünün başlangıç ​​konumunun \(x\) ekseninin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şu ana kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belli bir değerde bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürdüğümüzde, şunu elde ederiz: pozitif açılar, ve saat yönünde döndürüldüğünde – olumsuz.

Yani, yarıçap vektörünün daire etrafındaki tüm devriminin \(360()^\circ \) veya \(2\pi \) olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü \(390()^\circ \) veya \(-1140()^\circ \) kadar döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! İlk durumda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \) dolayısıyla yarıçap vektörü bir tam dönüş yapacak ve \(30()^\circ \) veya \(\dfrac(\pi )(6) \) konumunda duracaktır.

İkinci durumda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \) yani yarıçap vektörü üç tam devir yapacak ve \(-60()^\circ \) veya \(-\dfrac(\pi )(3) \) konumunda duracaktır.

Dolayısıyla, yukarıdaki örneklerden, \(360()^\circ \cdot m \) veya \(2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tamsayıdır) kadar farklı olan açıların olduğu sonucuna varabiliriz. yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık gelir.

Aşağıdaki şekil \(\beta =-60()^\circ \) açısını göstermektedir. Aynı görüntü köşeye karşılık gelir \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vesaire. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Bütün bu açılar genel formülle yazılabilir. \(\beta +360()^\circ \cdot m\) veya \(\beta +2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tamsayıdır)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Şimdi temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak değerlerin ne olduğunu cevaplamaya çalışın:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

İşte size yardımcı olacak bir birim çember:

Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)

Buradan belirli açı ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: köşedeki \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)\(\left(0;1 \right) \) koordinatlarına sahip bir noktaya karşılık gelir, dolayısıyla:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- bulunmuyor;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Ayrıca aynı mantığa bağlı kalarak köşelerin de olduğunu görüyoruz. \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinatlı noktalara karşılık gelir \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text() )\left(0 ;1 \sağ) \), sırasıyla. Bunu bilerek trigonometrik fonksiyonların değerlerini karşılık gelen noktalarda belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, ardından cevapları kontrol edin.

Yanıtlar:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- bulunmuyor

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- bulunmuyor

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- bulunmuyor

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- bulunmuyor

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:

Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Bunu hatırlamanız veya görüntüleyebilmeniz gerekir!! \) !}

Ancak açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri ve \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) Aşağıdaki tabloda verilenleri hatırlamanız gerekir:

Korkmayın, şimdi size karşılık gelen değerlerin oldukça basit bir şekilde ezberlenmesine ilişkin bir örnek göstereceğiz:

Bu yöntemi kullanmak için, her üç açı ölçüsünün sinüs değerlerini hatırlamak hayati önem taşır ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) ve \(30()^\circ \) cinsinden açının tanjantının değeri. Bu \(4\) değerleri bilerek, tablonun tamamını geri yüklemek oldukça basittir - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\end(dizi)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) bunu bilerek değerleri geri yükleyebilirsiniz. \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" payı \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \)'ye karşılık gelir ve "\(\sqrt(\text(3)) \)" paydası şuna karşılık gelir: \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara uygun olarak aktarılır. Bunu anlayıp okların olduğu diyagramı hatırlarsanız tablodan sadece \(4\) değeri hatırlamanız yeterli olacaktır.

Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları

Dairenin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilerek bir daire üzerinde bir nokta (koordinatları) bulmak mümkün müdür? Tabii ki yapabilirsin! Hadi çıkaralım Genel formül Bir noktanın koordinatlarını bulmak için Örneğin önümüzde bir daire var:

Bize bu nokta verildi \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- dairenin merkezi. Çemberin yarıçapı \(1,5\)'dir. \(O\) noktasının \(\delta \) derece döndürülmesiyle elde edilen \(P\) noktasının koordinatlarını bulmak gerekir.

Şekilden görülebileceği gibi, \(P\) noktasının \(x\) koordinatı \(TP=UQ=UK+KQ\) doğru parçasının uzunluğuna karşılık gelir. \(UK\) segmentinin uzunluğu dairenin merkezinin \(x\) koordinatına karşılık gelir, yani \(3\)'e eşittir. \(KQ\) segmentinin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Sonra \(P\) noktası için koordinatı elde ederiz. \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Aynı mantığı kullanarak \(P\) noktasının y koordinatının değerini buluyoruz. Böylece,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Yani, içinde Genel görünüm Noktaların koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Nerede

\(((x)_(0))),((y)_(0)) \) - dairenin merkezinin koordinatları,

\(r\) - dairenin yarıçapı,

\(\delta \) - vektör yarıçapının dönüş açısı.

Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfıra ve yarıçap bire eşit olduğundan bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \\delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Tarayıcınızda Javascript devre dışı.
Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!

“Dik üçgenin dar açısının sinüsü, kosinüsü ve tanjantı” konulu ders

Dersin Hedefleri:

eğitici - sinüs, kosinüs, dik üçgende dar bir açının tanjantı kavramını tanıtmak, bu büyüklükler arasındaki bağımlılıkları ve ilişkileri keşfetmek;

geliştirme - bir açının fonksiyonları olarak sinüs, kosinüs, teğet kavramının oluşumu, trigonometrik fonksiyonların tanım alanı, gelişme mantıksal düşünme, doğru matematiksel konuşmanın geliştirilmesi;

eğitici – bağımsız çalışma becerilerinin geliştirilmesi, davranış kültürü, kayıt tutmada doğruluk.

Ders ilerlemesi:

1. Zamanı organize etmek

“Eğitim alınan ders sayısı değil, anlaşılanların sayısıdır. Bu yüzden eğer ilerlemek istiyorsanız yavaş yavaş acele edin ve dikkatli olun."

2. Ders motivasyonu.

Bir bilge şöyle dedi: “Ruhun en yüksek tezahürü akıldır. Aklın en yüksek tezahürü geometridir. Geometri hücresi bir üçgendir. Evren kadar tükenmezdir. Çember geometrinin ruhudur. Çemberi bilirseniz yalnızca geometrinin ruhunu bilmekle kalmayacak, aynı zamanda ruhunuzu da yükselteceksiniz.

Sizinle birlikte küçük bir araştırma yapmaya çalışacağız. Aklınıza gelen fikirlerinizi paylaşalım, hata yapmaktan korkmayın, her düşünce bize yeni bir arayış yönü verebilir. Başarılarımız birilerine büyük gelmeyebilir ama bunlar bizim başarılarımız olacak!

3. Temel bilgilerin güncellenmesi.

Hangi açılar olabilir?

Üçgenler nelerdir?

Bir üçgeni tanımlayan ana unsurlar nelerdir?

Kenarlara bağlı olarak ne tür üçgenler vardır?

Açılara bağlı olarak ne tür üçgenler vardır?

Bacak nedir?

Hipotenüs nedir?

Dik üçgenin kenarlarına ne denir?

Bu üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler nelerdir?

Kenarlar ve açılar arasındaki ilişkileri neden bilmeniz gerekiyor?

Hayattaki hangi problemler bir üçgenin bilinmeyen taraflarını hesaplama ihtiyacına yol açabilir?

"Hipotenüs" terimi, "bir şeyin üzerine uzanmak", "büzülmek" anlamına gelen Yunanca "hiponeinoz" kelimesinden gelir. Kelime, tellerin karşılıklı olarak iki dik standın uçlarında gerildiği eski Yunan arplarının görüntüsünden kaynaklanmaktadır. "Katetus" terimi, "çekül çizgisinin" başlangıcı, "dik" anlamına gelen Yunanca "kathetos" kelimesinden gelir.

Öklid şöyle dedi: "Bacaklar dik açıyı çevreleyen kenarlardır."

İÇİNDE Antik Yunan Zeminde dik üçgen oluşturmanın bir yöntemi zaten biliniyordu. Bunu yapmak için birbirinden aynı mesafede 13 düğümün bağlandığı bir halat kullandılar. Mısır'daki piramitlerin inşası sırasında dik üçgenler bu şekilde yapılmıştır. Muhtemelen kenarları 3,4,5 olan dik üçgene Mısır üçgeni denmesinin nedeni budur.

4. Yeni materyalin incelenmesi.

Antik çağda insanlar yıldızları izliyor ve bu gözlemlere dayanarak bir takvim tutuyor, ekim tarihlerini ve nehir taşma zamanlarını hesaplıyorlardı; denizdeki gemiler ve karadaki kervanlar yolculuklarını yıldızlara göre yönlendiriyordu. Bütün bunlar, köşelerinden ikisi yerde olan ve üçüncüsü yıldızlı gökyüzündeki bir nokta ile temsil edilen bir üçgenin kenarlarının nasıl hesaplanacağını öğrenme ihtiyacını doğurdu. Bu ihtiyaca dayanarak, bir üçgenin kenarları arasındaki bağlantıları inceleyen bir bilim olan trigonometri bilimi ortaya çıktı.

Zaten bildiğimiz ilişkilerin bu tür sorunları çözmeye yeterli olduğunu düşünüyor musunuz?

Bugünkü dersin amacı yeni bağlantıları ve bağımlılıkları keşfetmek, ilişkiler türetmek, bunları kullanarak bir sonraki geometri derslerinde bu tür problemleri çözebilirsiniz.

Kendimizi bilim adamı rolünde hissedelim ve kadim dehalar Thales, Öklid, Pisagor'un izinden giderek gerçeği arama yolunda yürüyeceğiz.

Bunun için teorik bir temele ihtiyacımız var.

A açısını ve BC ayağını kırmızıyla vurgulayın.

Vurgulamak yeşil bacak AC.

A dar açısının hipotenüsüne göre karşı kenarın ne kadar olduğunu hesaplayalım; bunun için karşı kenarın hipotenüse oranını oluştururuz:

Bu ilişkinin özel bir adı var; öyle ki, gezegenin her noktasındaki her insan bunu anlıyor. Hakkında konuşuyoruz yaklaşık olarak bir dar açının karşı tarafının hipotenüse oranını temsil eden bir sayı. Bu kelime sinüstür. Bir yere yaz. Açı adı olmadan sinüs kelimesi tüm anlamını yitirdiğinden matematiksel gösterim aşağıdaki gibidir:

Şimdi A dar açısı için bitişik kenarın hipotenüse oranını hesaplayın:

Bu orana kosinüs denir. Matematiksel gösterimi:

A dar açısı için başka bir oran düşünelim: karşı tarafın bitişik kenara oranı:

Bu orana teğet denir. Matematiksel gösterimi:

5. Yeni malzemenin konsolidasyonu.

Ara keşiflerimizi pekiştirelim.

Sinüs...

Kosinüs...

Teğet...

günah A =	günah HAKKINDA =	günah A 1 =
çünkü bir =	çünkü HAKKINDA =	çünkü A 1 =
ten rengi A =	tg HAKKINDA =	ten rengi bir 1 =

88, 889, 892 numaralı soruları sözlü olarak çözün (çiftler halinde çalışın).

Edinilen bilgiyi pratik bir sorunu çözmek için kullanmak:

“70 m yüksekliğindeki deniz feneri kulesinden ufka 3° açıyla bir gemi görülüyor. Nasıl bir şey

deniz fenerinden gemiye olan mesafe?

Sorun önden çözüldü. Tartışma sırasında tahtaya ve defterlere çizim yapıyoruz ve gerekli notları alıyoruz.

Problemin çözümünde Bradis tabloları kullanılmaktadır.

Sorunun çözümünü düşünün sayfa 175.

902(1) numaralı soruyu çözün.

6. Gözler için egzersiz yapın.

Başınızı çevirmeden sınıf duvarının çevresine saat yönünde, çevre etrafındaki kara tahtaya saat yönünün tersine, sehpa üzerinde gösterilen üçgene saat yönünde ve eşit üçgene saat yönünün tersine bakın. Başınızı sola çevirin ve ufuk çizgisine, şimdi de burnunuzun ucuna bakın. Gözlerinizi kapatın, 5'e kadar sayın, gözlerinizi açın ve...

Avuçlarımızı gözlerimize koyacağız,
Güçlü bacaklarımızı açalım.
Sağa dönüyorum
Etrafımıza görkemli bir şekilde bakalım.
Ve sen de sola gitmelisin
Avuçlarınızın altından bakın.
Ve - sağa! Ve ilerisi
Sol omzunun üzerinden!
Şimdi çalışmaya devam edelim.

7. Bağımsız işöğrenciler.

Hayır'ı çöz.

8. Ders özeti. Refleks. D/z.

Hangi yeni şeyleri öğrendin? Derste:

düşündün mü...

analiz ettin...

Aldığınız…

sonuca vardın...

Aşağıdaki terimlerle kelime dağarcığınızı genişlettiniz...

Dünya bilimi geometriyle başladı. Bir kişi okulda geometri eğitimi almamışsa kültürel ve ruhsal olarak gerçek anlamda gelişemez. Geometri sadece pratikten değil aynı zamanda insanın manevi ihtiyaçlarından da doğmuştur.

Geometriye olan aşkını şiirsel bir şekilde böyle anlattı

Geometriyi seviyorum...

Geometri öğretiyorum çünkü onu seviyorum

Geometriye ihtiyacımız var, onsuz hiçbir yere varamayız.

Sinüs, kosinüs, çevre - burada her şey önemlidir,

Burada her şeye ihtiyaç var

Sadece her şeyi çok net bir şekilde öğrenmeniz ve anlamanız gerekiyor,

Ödevleri ve testleri zamanında tamamlayın.

Kosinüs, aynı zamanda trigonometrinin ana fonksiyonlarından biri olan iyi bilinen bir trigonometrik fonksiyondur. Dik açılı bir üçgende bir açının kosinüsü, üçgenin komşu kenarının üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Çoğu zaman, kosinüs tanımı dikdörtgen tipte bir üçgenle ilişkilendirilir. Ancak aynı zamanda, dikdörtgen bir üçgende kosinüsü hesaplamanın gerekli olduğu açının bu dikdörtgen üçgende bulunmadığı da olur. O zaman ne yapmalı? Bir üçgenin bir açısının kosinüsü nasıl bulunur?

Dikdörtgen bir üçgende bir açının kosinüsünü hesaplamanız gerekiyorsa, her şey çok basittir. Bu sorunun çözümünü içeren kosinüs tanımını hatırlamanız yeterli. Sadece aradaki aynı ilişkiyi bulmanız gerekiyor. bitişik bacak ve üçgenin hipotenüsü. Aslında burada açının kosinüsünü ifade etmek hiç de zor değil. Formül şu şekildedir: - cosα = a/c, burada “a” bacağın uzunluğu ve “c” kenarı sırasıyla hipotenüsün uzunluğudur. Örneğin, bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü bu formül kullanılarak bulunabilir.

Rastgele bir üçgendeki bir açının kosinüsünün neye eşit olduğu ile ilgileniyorsanız, bu gibi durumlarda kullanılmaya değer olan kosinüs teoremi kurtarmaya gelir. Kosinüs teoremi, bir üçgenin kenarının karesinin a priori olduğunu belirtir. toplamına eşit aynı üçgenin geri kalan kenarlarının kareleri, ancak bu kenarların çarpımını aralarında bulunan açının kosinüsü ile ikiye katlamadan.

1. Bir üçgende dar açının kosinüsünü bulmanız gerekiyorsa aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Bir üçgende geniş açının kosinüsünü bulmanız gerekiyorsa aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Formüldeki tanımlar - a ve b - istenen açıya bitişik olan kenarların uzunluklarıdır, c - istenen açının karşısındaki tarafın uzunluğudur.

Bir açının kosinüsü sinüs teoremi kullanılarak da hesaplanabilir. Bir üçgenin tüm kenarlarının karşıt açıların sinüsleriyle orantılı olduğunu belirtir. Sinüs teoremini kullanarak, yalnızca iki taraf ve bir tarafın karşısındaki açı veya iki açı ve bir taraf hakkında bilgi sahibi olarak bir üçgenin geri kalan elemanlarını hesaplayabilirsiniz. Bunu bir örnekle düşünün. Sorun koşulları: a=1; b=2; c=3. “A” kenarının karşısındaki açı α ile gösterilir ve formüllere göre: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) elde edilir. /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Cevap 1.

Bir açının kosinüsünün bir üçgende değil, başka bir keyfi olarak hesaplanması gerekiyorsa geometrik şekil, o zaman işler biraz daha karmaşıklaşır. Açının büyüklüğü ilk önce radyan veya derece cinsinden belirlenmeli ve ancak daha sonra bu değerden kosinüs hesaplanmalıdır. Sayısal değere göre kosinüs, Bradis tabloları, mühendislik hesap makineleri veya özel matematiksel uygulamalar kullanılarak belirlenir.

Özel matematik uygulamaları, belirli bir şekildeki açıların kosinüslerini otomatik olarak hesaplamak gibi işlevlere sahip olabilir. Bu tür uygulamaların güzelliği, doğru cevabı vermeleri ve kullanıcının bazen oldukça karmaşık problemleri çözerek zaman kaybetmemesidir. Öte yandan, yalnızca problem çözmeye yönelik uygulamaların sürekli kullanımıyla, üçgenlerdeki açıların kosinüslerinin yanı sıra diğer rastgele rakamların bulunmasına ilişkin matematik problemlerini çözme konusundaki tüm beceriler kaybolur.

Karşı kenarın hipotenüse oranına denir akut açı sinüsü sağ üçgen.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü

Bitişik bacağın hipotenüse oranına denir dar açının kosinüsü sağ üçgen.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı

Karşı tarafın bitişik kenara oranına denir dar açının tanjantı sağ üçgen.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı

Yakındaki bacağın oranı ters taraf isminde dar açının kotanjantı sağ üçgen.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Keyfi bir açının sinüsü

Birim çember üzerinde \alfa açısının karşılık geldiği bir noktanın ordinatına ne ad verilir? keyfi bir açının sinüsü döndürme \alpha .

\sin \alpha=y

Keyfi bir açının kosinüsü

Birim çember üzerinde \alfa açısının karşılık geldiği bir noktanın apsisine denir keyfi bir açının kosinüsü döndürme \alpha .

\cos \alpha=x

Rastgele bir açının tanjantı

Rastgele bir dönme açısı \alfa'nın sinüsünün kosinüsüne oranına denir. keyfi bir açının tanjantı döndürme \alpha .

tan \alfa = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Keyfi bir açının kotanjantı

Rastgele bir dönme açısı \alfa'nın kosinüsünün sinüsüne oranına denir. keyfi bir açının kotanjantı döndürme \alpha .

ctg\alfa =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Rastgele bir açı bulma örneği

Eğer \alpha, M'nin birim çemberin bir noktası olduğu bir AOM açısı ise, o zaman

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Örneğin, eğer \angle AOM = -\frac(\pi)(4), o zaman: M noktasının ordinatı şuna eşittir: -\frac(\sqrt(2))(2), apsis eşittir \frac(\sqrt(2))(2) ve bu yüzden

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kotanjantların teğetlerinin kosinüs sinüslerinin değerleri tablosu

Sıklıkla meydana gelen ana açıların değerleri tabloda verilmiştir:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\sol(\pi\sağ)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\sol(2\pi\sağ)
\sin\alfa	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alfa	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alfa	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alfa	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—