Bisektörler orantılı segmentlerdir. Üçgenin açıortayı nedir: kenarların oranıyla ilgili özellikler

Teorem. Bir üçgenin bir iç açısının açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

Kanıt. ABC üçgenini (Şekil 259) ve B açısının açıortayını düşünün. C tepe noktasından, BC açıortayına paralel, AB tarafının devamı ile M noktasında kesişene kadar düz bir CM çizgisi çizin. BK ABC açısının açıortayı olduğuna göre . Ayrıca paralel çizgiler için karşılık gelen açılar ve paralel çizgiler için çapraz açılar olarak. Dolayısıyla ve bu nedenle - ikizkenar, nereden . Bir açının kenarlarıyla kesişen paralel çizgilerle ilgili teoreme göre, elde ederiz ve elde ederiz ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu.

ABC üçgeninin B dış açısının açıortayı (Şekil 260) benzer bir özelliğe sahiptir: A ve C köşelerinden, açıortayın AC tarafının devamı ile kesiştiği L noktasına kadar olan AL ve CL bölümleri, orantılıdır. üçgenin kenarları:

Bu özellik öncekiyle aynı şekilde kanıtlanmıştır: Şekil 2'de. Şekil 260'da BL açıortayına paralel bir yardımcı düz çizgi SM çizilmiştir. Okuyucunun kendisi, VMS ve VSM açılarının ve dolayısıyla VMS üçgeninin VM ve BC kenarlarının eşitliğine ikna olacak ve ardından gerekli oran hemen elde edilecektir.

Bir dış açının açıortayının karşı tarafı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böldüğünü söyleyebiliriz; segmentin "dış bölünmesine" izin vermeyi kabul etmeniz yeterlidir.

AC doğru parçasının dışında kalan L noktası (devamında) onu böler dışarıdan Buna göre eğer öyleyse, bir üçgenin açısının ortaortayları (iç ve dış), karşı tarafı (iç ve dış) bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

Problem 1. Yamuğun kenarları 12 ve 15'e, tabanları ise 24 ve 16'ya eşittir. Yamuğun büyük tabanı ve onun uzatılmış kenarlarının oluşturduğu üçgenin kenarlarını bulun.

Çözüm. Şekil 2'deki notasyonda. 261'de yan kenarın devamı niteliğindeki doğru parçası için kolaylıkla bulabileceğimiz bir orantımız var.Benzer şekilde üçgenin ikinci yan kenarını da belirliyoruz.Üçüncü kenar büyük tabanla çakışıyor: .

Problem 2. Yamuğun tabanları 6 ve 15'tir. Tabanlara paralel olan ve kenarlarını 1:2 oranında bölen doğru parçasının küçük tabanın köşelerinden sayılan uzunluğu nedir?

Çözüm. Şekil 2'ye dönelim. 262, bir yamuğu tasvir ediyor. Küçük tabanın C köşesinden AB kenarına paralel bir çizgi çizerek paralelkenarı yamuktan kesiyoruz. O zamandan beri buradan buluyoruz. Bu nedenle, bilinmeyen KL doğru parçasının tamamı eşittir. Bu sorunu çözmek için yamuğun yan kenarlarını bilmemize gerek olmadığını unutmayın.

Problem 3. ABC üçgeninin B iç açısının açıortayı AC kenarını A ve C köşelerinden ne kadar uzakta parçalara ayırıyor? B dış açısının açıortayı AC uzantısıyla kesişecek mi?

Çözüm. B açısının açıortaylarının her biri AC'yi aynı oranda böler, ancak biri içten, diğeri dıştan. AC devamı ile B dış açısının açıortayının kesişme noktasını L ile gösterelim. AK'den beri Bilinmeyen AL uzaklığını gösterelim ve o zaman bir orantı elde etmiş oluruz. Bunun çözümü bize gerekli uzaklığı verir.

Çizimi kendiniz tamamlayın.

Egzersizler

1. Tabanları 8 ve 18 olan bir yamuk, tabanlara paralel düz çizgilerle eşit genişlikte altı şeride bölünmüştür. Yamuğu şeritlere bölen düz parçaların uzunluklarını bulun.

2. Üçgenin çevresi 32'dir. A açısının açıortayı BC kenarını 5 ve 3'e eşit parçalara böler. Üçgenin kenar uzunluklarını bulun.

3. Baz ikizkenar üçgen a'ya eşit, b tarafı. Tabanın köşelerinin açıortaylarının kenarlarla kesişme noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğunu bulun.

Geometri en karmaşık ve kafa karıştırıcı bilimlerden biridir. İlk bakışta bariz görünen şeyin çok nadiren doğru olduğu ortaya çıkıyor. Açıortaylar, yükseklikler, kenarortaylar, projeksiyonlar, teğetler - karıştırılması çok kolay olan çok sayıda gerçekten zor terim.

Aslında, uygun arzuyla her karmaşıklıktaki bir teoriyi anlayabilirsiniz. Açıortaylar, kenarortaylar ve yükseklikler söz konusu olduğunda bunların üçgenlere özgü olmadığını anlamalısınız. İlk bakışta bunlar basit çizgilerdir, ancak her birinin kendi özellikleri ve işlevleri vardır; bunların bilgisi çözümü büyük ölçüde basitleştirir. geometrik problemler. Peki bir üçgenin açıortayı nedir?

Tanım

"Ortaortay" teriminin kendisi, dolaylı olarak özelliklerini gösteren Latince "iki" ve "kesmek", "kesmek" kelimelerinin birleşiminden gelir. Genellikle çocuklar bu ışınla tanıştırıldığında onlara hatırlamaları için kısa bir cümle verilir: "Ortalayıcı, köşelerin etrafında koşan ve köşeyi ikiye bölen bir faredir." Doğal olarak böyle bir açıklama daha büyük okul çocukları için uygun değildir ve ayrıca onlara genellikle açı değil geometrik şekil sorulur. Yani bir üçgenin açıortayı, açıyı iki eşit parçaya bölerek üçgenin tepe noktasını karşı tarafa bağlayan bir ışındır. Herhangi bir üçgen için açıortayın karşı tarafta geldiği nokta rastgele seçilir.

Temel işlevler ve özellikler

Bu ışının birkaç temel özelliği vardır. Birincisi, bir üçgenin açıortayı açıyı ikiye böldüğü için, üzerinde bulunan herhangi bir nokta tepe noktasını oluşturan kenarlardan eşit uzaklıkta olacaktır. İkinci olarak, her üçgende, mevcut açı sayısına göre üç açıortay çizebilirsiniz (bu nedenle, aynı dörtgende zaten dört tane olacaktır, vb.). Üç ışının da kesiştiği nokta, üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir.

Özellikler daha karmaşık hale gelir

Teoriyi biraz karmaşıklaştıralım. Bir başka ilginç özellik: Bir üçgenin açısının açıortayı, karşı tarafı parçalara ayırır; bunların oranı, tepe noktasını oluşturan kenarların oranına eşittir. İlk bakışta bu karmaşık görünse de aslında her şey basittir: Önerilen şekilde RL: LQ = PR: PK. Bu arada, bu özelliğe “İkiortay Teoremi” adı verildi ve ilk olarak antik Yunan matematikçi Öklid'in eserlerinde ortaya çıktı. Rus ders kitaplarından birinde ancak on yedinci yüzyılın ilk çeyreğinde hatırlanmıştı.

Biraz daha karmaşık. Bir dörtgende açıortay bir ikizkenar üçgeni keser. Bu şekil medyan AF için tüm eşit açıları göstermektedir.

Dörtgenlerde ve yamuklarda ise tek taraflı açıların açıortayları birbirine diktir. Gösterilen çizimde APB açısı 90 derecedir.

Bir ikizkenar üçgende

İkizkenar üçgenin açıortayı çok daha kullanışlı bir ışındır. Aynı zamanda sadece bir açıyı ikiye bölen değil, aynı zamanda ortanca ve yüksekliği de ifade eder.

Medyan, bir köşeden gelen ve karşı tarafın ortasına düşen ve böylece onu eşit parçalara bölen bir segmenttir. Yükseklik, bir tepe noktasından karşı tarafa inen dik bir çizgidir; onun yardımıyla herhangi bir problem, basit ve ilkel bir Pisagor teoremine indirgenebilir. Bu durumda üçgenin açıortayı, hipotenüsün karesi ile diğer kenar arasındaki farkın köküne eşittir. Bu arada, bu özelliğe en çok geometrik problemlerde rastlanır.

Birleştirmek için: bu üçgende, FB açıortayı ortancadır (AB = BC) ve yüksekliktir (FBC ve FBA açıları 90 derecedir).

Kabataslak

Peki neyi hatırlamanız gerekiyor? Bir üçgenin açıortayı, tepe noktasını ikiye bölen ışındır. Üç ışının kesişme noktasında bu üçgenin içine yazılan dairenin merkezi vardır (bu özelliğin tek dezavantajı pratik bir değere sahip olmaması ve yalnızca çizimin yetkin bir şekilde uygulanmasına hizmet etmesidir). Ayrıca karşı tarafı, oranı bu ışının arasından geçtiği tarafların oranına eşit olan parçalara böler. Bir dörtgende özellikler biraz daha karmaşık hale gelir, ancak kabul etmek gerekir ki bunlar pratikte hiçbir zaman okul düzeyindeki problemlerde görülmez, bu nedenle bunlara genellikle programda değinilmez.

İkizkenar üçgenin açıortayı her okul çocuğunun en büyük hayalidir. Hem ortancadır (yani karşı tarafı ikiye böler) hem de yüksekliktir (o tarafa dik). Böyle bir açıortay ile problemlerin çözümü Pisagor teoremine indirgenir.

Açıortayın temel fonksiyonlarının yanı sıra temel özelliklerinin bilgisi, hem ortalama hem de geometrik problemlerin çözümü için gereklidir. yüksek seviye zorluklar. Aslında bu ışın yalnızca planimetride bulunur, dolayısıyla onunla ilgili bilgileri ezberlemenin her türlü görevle başa çıkmanıza olanak sağlayacağı söylenemez.

Üçgenin açıortayı, üçgenin bir açısını iki eşit açıya bölen bir parçadır. Örneğin bir üçgenin açısı 120 0 ise, bir açıortay çizerek her biri 60 0 olan iki açı oluşturacağız.

Ve bir üçgende üç açı olduğundan üç açıortay çizilebilir. Hepsinin tek bir kesme noktası var. Bu nokta üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir. Başka bir deyişle bu kesişme noktasına üçgenin iç merkezi denir.

Bir iç ve dış açının iki açıortayı kesiştiğinde 90 0'lik bir açı elde edilir. Üçgende dış açı, üçgenin iç açısına komşu olan açıdır.

Pirinç. 1. 3 açıortay içeren bir üçgen

Ortay, karşı tarafı, yanlara bağlanan iki parçaya böler:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Açıortay noktaları açının kenarlarından eşit uzaklıktadır, bu da açının kenarlarından aynı uzaklıkta oldukları anlamına gelir. Yani, açıortayın herhangi bir noktasından üçgenin açısının her bir kenarına dik açılar bırakırsak, bu dikmeler eşit olacaktır.

Bir tepe noktasından ortanca, açıortay ve yükseklik çizerseniz, ortanca en uzun bölüm, yükseklik ise en kısa bölüm olacaktır.

Bisektörün bazı özellikleri

Bazı üçgen türlerinde açıortay özel özelliklere sahiptir. Bu öncelikle ikizkenar üçgen için geçerlidir. Bu şeklin iki özdeş tarafı vardır ve üçüncüsüne taban denir.

Bir ikizkenar üçgenin açısının tepe noktasından tabana bir açıortay çizerseniz, hem yükseklik hem de medyan özelliklerine sahip olacaktır. Buna göre, açıortayın uzunluğu ortancanın uzunluğu ve yüksekliği ile çakışmaktadır.

Tanımlar:

• Yükseklik- Bir üçgenin köşesinden karşı kenara çizilen dikme.
• Medyan– Bir üçgenin tepe noktası ile karşı kenarın ortasını birleştiren doğru parçası.

Pirinç. 2. İkizkenar üçgendeki açıortay

Bu aynı zamanda eşkenar üçgen, yani üç kenarın eşit olduğu üçgen için de geçerlidir.

Örnek ödev

ABC üçgeninde: BR orta açıdır, AB = 6 cm, BC = 4 cm ve RC = 2 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğunu çıkarın.

Pirinç. 3. Üçgende açıortay

Çözüm:

Açıortay üçgenin kenarını belirli bir oranda böler. Bu oranı kullanıp AR'yi ifade edelim. Daha sonra üçüncü kenarın uzunluğunu, bu kenarın açıortay tarafından bölündüğü parçaların toplamı olarak bulacağız.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Daha sonra tüm segment AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Alınan toplam puan: 107.

Üçgen, üç tarafı olan bir çokgen veya üç bağlantılı kapalı bir kesik çizgi veya aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçadan oluşan bir şekildir (bkz. Şekil 1).

Abc üçgeninin temel elemanları

Zirveler – A, B ve C noktaları;

Partiler – köşeleri birbirine bağlayan a = BC, b = AC ve c = AB segmentleri;

Açılar – α, β, γ üç kenar çiftinden oluşur. Açılar genellikle köşelerle aynı şekilde A, B ve C harfleriyle gösterilir.

Bir üçgenin kenarlarının oluşturduğu ve onun iç alanında kalan açıya iç açı, komşu olana ise üçgenin komşu açısı denir (2, s. 534).

Bir üçgenin yükseklikleri, kenarortayları, açıortayları ve orta çizgileri

Üçgenin ana elemanlarına ek olarak ilginç özelliklere sahip diğer parçalar da dikkate alınır: yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar ve orta çizgiler.

Yükseklik

Üçgen yükseklikleri- bunlar üçgenin köşelerinden zıt taraflara bırakılan dikmelerdir.

Yüksekliği çizmek için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) üçgenin kenarlarından birini içeren düz bir çizgi çizin (eğer yükseklik geniş bir üçgende dar açının tepe noktasından çiziliyorsa);

2) Çizilen çizginin karşısındaki tepe noktasından, noktadan bu çizgiye 90 derecelik bir açı yaparak bir parça çizin.

Üçgenin kenarını yüksekliğin kestiği noktaya denir yükseklik tabanı (bkz. Şekil 2).

Üçgen yüksekliklerinin özellikleri

Bir dik üçgende tepe noktasından çizilen yükseklik dik açı, onu orijinal üçgene benzer iki üçgene böler.

Dar bir üçgende, iki yüksekliği benzer üçgenleri ondan keser.

Üçgen dar ise, yüksekliklerin tüm tabanları üçgenin kenarlarına aittir ve geniş bir üçgende iki yükseklik kenarların devamına düşer.

Üç yükseklik dar üçgen bir noktada kesişir ve bu noktaya denir diklik merkezi üçgen.

Medyan

Medyanlar(Latince mediana'dan - “orta”) - bunlar üçgenin köşelerini karşı tarafların orta noktalarına bağlayan bölümlerdir (bkz. Şekil 3).

Medyanı oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) kenarın ortasını bulun;

2) Üçgenin kenarının ortasındaki noktayı karşı köşeye bir doğru parçasıyla bağlayın.

Üçgen kenarortaylarının özellikleri

Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.

Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her biri köşeden sayılarak 2:1 oranında bölünür. Bu noktaya denir ağırlık merkezi üçgen.

Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.

Açıortay

Bisektörler(Latince bis - iki kez ve seko - kesimden gelir), bir üçgenin içine alınmış ve açılarını ikiye bölen düz çizgi parçalarıdır (bkz. Şekil 4).

Bir açıortay oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) açının tepe noktasından çıkan ve onu iki eşit parçaya (açının açıortayı) bölen bir ışın oluşturun;

2) üçgenin açısının açıortayının karşı tarafla kesişme noktasını bulun;

3) üçgenin tepe noktasını karşı taraftaki kesişme noktasına bağlayan bir doğru parçası seçin.

Üçgen açıortayların özellikleri

Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı bitişik iki kenarın oranına eşit bir oranda böler.

Üçgenin iç açılarının açıortayları bir noktada kesişir. Bu noktaya yazılı dairenin merkezi denir.

İç ve dış açıların açıortayları birbirine diktir.

Bir üçgende bir dış açının açıortayı karşı kenarın uzantısıyla kesişiyorsa ADBD=ACBC olur.

Üçgenin bir iç ve iki dış açısının açıortayları bir noktada kesişir. Bu nokta üç noktadan birinin merkezidir. dış çevreler bu üçgen.

Bir üçgenin iki iç ve bir dış açısının açıortaylarının tabanları, eğer dış açının açıortayı üçgenin karşı kenarına paralel değilse aynı düz çizgi üzerinde bulunur.

Bir üçgenin dış açılarının açıortayları karşı kenarlara paralel değilse tabanları aynı düz çizgi üzerindedir.

Sorokina Vika

Bir üçgenin açıortay özelliklerinin kanıtları verilmiş ve teorinin problem çözümüne uygulanması ele alınmıştır.

İndirmek:

Ön izleme:

Oktyabrsky Bölgesi Belediye Özerk Saratov İdaresi Eğitim Komitesi Eğitim kurumu 3 No'lu Lise adını almıştır. A. S. Puşkin.

Belediye bilimsel-pratik

konferans

"İlk adım"

Ders: Bisektör ve özellikleri.

Çalışmayı tamamlayan: 8. sınıf öğrencisi

Sorokina VictoriaBilimsel danışman: En yüksek kategorideki matematik öğretmeniPopova Nina Fedorovna.

Saratov 2011

1. Başlık sayfası…………………………………………………………1
2. İçindekiler………………………………………………………2
3. Giriş ve hedefler…………………………………………………………... ..3
4. Ortayörün özelliklerinin dikkate alınması

• Noktaların üçüncü yeri…………………………………….3
• Teorem 1………………………………………………………………4
• Teorem 2……………………………………………………………4
• Bir üçgenin açıortayının ana özelliği:

1. Teorem 3………………………………………………………………4
2. Görev 1…………………………………………………………… ….7
3. Görev 2…………………………………………………………….8
4. Görev 3……………………………………………………………………9
5. Görev 4……………………………………………………………….9-10

• Teorem 4………………………………………………………10-11
• Ortay bulma formülleri:

1. Teorem 5…………………………………………………………….11
2. Teorem 6…………………………………………………………….11
3. Teorem 7…………………………………………………………….12
4. Görev 5………………………………………………………...12-13

• Teorem 8…………………………………………………………….13
• Görev 6…………………………………………………………….14
• Görev 7………………………………………………………………14-15
• Açıortayı kullanarak ana yönlerin belirlenmesi………………15

1. Sonuç ve sonuç……………………………………………………..15
2. Referans listesi………………………………………..16

Açıortay

Geometri dersinde benzer üçgenler konusunu incelerken açıortayın karşı kenarlarla ilişkisine ilişkin teoremle ilgili bir problemle karşılaştım. Görünüşe göre açıortay konusunda ilginç bir şeyler olabilir ama bu konu ilgimi çekti ve daha derinlemesine incelemek istedim. Sonuçta açıortay, çeşitli sorunların çözülmesine yardımcı olan şaşırtıcı özellikleri açısından çok zengindir.

Bu konuyu düşündüğünüzde geometri ders kitaplarının açıortayın özellikleri hakkında çok az şey söylediğini ancak sınavlarda bunları bilerek problemleri çok daha kolay ve hızlı çözebileceğinizi fark edeceksiniz. Ayrıca, GIA ve Birleşik Devlet Sınavlarını geçmek için modern öğrencilerin kendi başlarına çalışmaları gerekir. Ek materyaller okul müfredatına. Bu yüzden açıortay konusunu daha detaylı incelemeye karar verdim.

Ortay (Latince bi- “çift” ve sectio kelimesinden gelir) Bir açının “kesilmesi”), açının tepe noktasında başlayan ve açıyı iki eşit parçaya bölen bir ışındır. Bir açının açıortayı (uzantısı ile birlikte), açının kenarlarından (veya bunların uzantılarından) eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir.)

Üçüncü nokta odağı

Şekil F bazı özelliklere sahip noktaların (noktalar kümesi) geometrik yeridir A, iki koşul karşılanırsa:

1. noktanın şekle ait olması gerçeğinden F, mülkiyete sahip olduğu sonucu çıkıyor A;
2. noktanın özelliği karşıladığı gerçeğinden A, şekle ait olduğu sonucu çıkıyor F.

Geometride dikkate alınan noktaların ilk yeri bir dairedir, yani. sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların yeri. İkincisi, segmentin dik açıortayıdır, yani. Bir doğru parçasının sonuna eşit uzaklıktaki noktaların yeri. Ve son olarak, üçüncü - açıortay - açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri

Teorem 1:

Açıortay noktaları kenarlardan eşit uzaklıkta o köşede.

Kanıt:

R olsun -ortay noktası A. Konudan ayrılalımP dikleri Karavan ve Köşenin kenarlarında PC. O zaman VAR = SAR hipotenüs ve dar açıya göre. Dolayısıyla PB = PC

Teorem 2:

P noktası A açısının kenarlarından eşit uzaklıktaysa açıortay üzerindedir..

İspat: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR bir açıortaydır.

Temel geometrik gerçekler arasında açıortayın karşı tarafı karşı taraflara göre böldüğü teoremi vardır. Bu gerçek uzun süre gölgede kaldı, ancak her yerde bunu ve açıortay hakkındaki diğer gerçekleri biliyorsanız çözülmesi çok daha kolay olan sorunlar var. İlgimi çekti ve açıortayın bu özelliğini daha fazla araştırmaya karar verdim.

Bir üçgenin açıortayının temel özelliği

Teorem 3. Açıortay, bir üçgenin karşı kenarını bitişik kenarlara göre böler.

Kanıt 1:

Verilen: AL - ABC üçgeninin açıortayı

Kanıtlamak:

İspat: F olsun çizginin kesişme noktası AL ve bu noktadan geçen bir çizgiİÇİNDE AC tarafına paralel.

O halde BFA = FAC = BAF. Bu nedenle B.A.F. ikizkenar ve AB = BF. Üçgenlerin benzerliğinden ALC ve FLB'ye sahibiz

oran

Neresi

Kanıt 2

AL doğrusu ile AB tabanına paralel C noktasından geçen doğrunun kesiştiği nokta F olsun. Daha sonra mantığı tekrarlayabilirsiniz.

Kanıt 3

Doğruya bırakılan dikmelerin tabanları K ve M olsun B ve C noktalarından AL sırasıyla. ABL ve ACL üçgenleri iki açıda benzerdir. Bu yüzden
. Ve BKL ve CML'nin benzerliğinden elimizde

Buradan

Kanıt 4

Alan yöntemini kullanalım. Üçgenlerin alanlarını hesaplayalım ABL ve ACL iki yol.

Buradan.

Kanıt 5

α= SİZ,φ= olsun BLA. ABL üçgenindeki sinüs teoremine göre

Ve ACL üçgeninde.

Çünkü ,

Daha sonra eşitliğin her iki tarafını diğerinin karşılık gelen kısımlarına bölerek şunu elde ederiz:.

Sorun 1

Verilen: ABC üçgeninde VC açıortaydır, BC = 2, KS = 1,

Çözüm:

Sorun 2

Verilen:

Açıortayları bulun keskin köşeler dik üçgen bacaklar 24 ve 18 ile

Çözüm:

AC kenarı = 18, BC kenarı = 24 olsun,

sabah - bir üçgenin açıortayı.

Bulduğumuz Pisagor teoremini kullanarak,

AB = 30.

O zamandan beri

Benzer şekilde ikinci açıortayı da bulalım.

Cevap:

Sorun 3

Bir dik üçgende ABC dik açılı B açıortay A tarafı geçer M.Ö.

D noktasında. BD = 4, DC = 6 olduğu bilinmektedir.

Üçgenin alanını bulun ADC

Çözüm:

Bir üçgenin açıortayının özelliği ile

AB = 2x, AC = 3x olsun. Teoreme göre

Pisagor BC 2 + AB 2 = AC 2 veya 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Buradan bunu buluyoruz x = O zaman AB = , S ABC=

Buradan,

Sorun 4

Verilen:

Bir ikizkenar üçgende ABC taraf AB 10'a eşittir, taban Klima 12'dir.

Açıların açıortayları A ve C bir noktada kesişmek D. BD'yi bulun.

Çözüm:

Bir üçgenin açıortayları kesiştiği için

Bir nokta, o zaman BD, B'nin açıortayı olur. Devam edelim BD ile kesiştiği noktaya AC M noktasında. O halde M, AC'nin orta noktasıdır, BM AC. Bu yüzden

CD'den beri - bir üçgenin açıortayı o zaman BMC

Buradan,.

Cevap:

Teorem 4. Bir üçgenin üç açıortayı bir noktada kesişir.

Aslında, önce iki açıortayın kesişme noktası P'yi ele alalım, örneğin AK 1 ve VK2 . Bu nokta açıortay üzerinde olduğundan AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıktaA, açıortay olduğu için AB ve BC kenarlarından eşit uzaklıktaB. Bu, AC ve BC kenarlarından eşit uzaklıkta olduğu ve dolayısıyla üçüncü SC açıortayına ait olduğu anlamına gelir. 3 yani P noktasında üç açıortay da kesişir.

Ortay bulma formülleri
Teorem5: (ortayortanın ilk formülü): Eğer ABC üçgeninde AL doğru parçası bir açıortay ise A ise AL² = AB·AC - LB·LC.

Kanıt: AL doğrusu ile ABC üçgeninin çevrelediği çemberin kesişme noktası M olsun (Şekil 41). Açı BAM açıya eşit Duruma göre MAC. BMA ve BCA açıları, aynı kirişin oluşturduğu yazılı açılar olarak uyumludur. Bu, BAM ve LAC üçgenlerinin iki açıda benzer olduğu anlamına gelir. Bu nedenle AL: AC = AB: AM. Bu, AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC anlamına gelir. Q.E.D.

Teorem6: . (ortaortay için ikinci formül): Kenarları AB=a, AC=b ve olan bir ABC üçgenindeA, 2α'ya ve ortay l'ye eşit olduğundan eşitlik geçerlidir:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Kanıt : ABC verilen üçgen olsun, AL onun açıortayı olsun, a=AB, b=AC, l=AL. Sonra S ABC = S ALB + S ALC . Bu nedenle, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorem kanıtlandı.

Teorem 7: a, b üçgenin kenarları ise Y aralarındaki açıdır,bu açının açıortayıdır. Daha sonra.