Matematikçi Yakov Perelman: bilime katkı. Ünlü Rus matematikçi Grigory Perelman. Poincaré varsayımını kanıtlayan Rus matematikçi Grigory Yakovlevich Perelman: biyografi, kişisel yaşam, ilginç gerçekler

Poincaré'nin teoremi - Matematik formülü"Evren". Grigori Perelman. Bölüm 1 (“Bilimde Gerçek Adam” serisinden)

Henri Poincaré (1854-1912), en büyük matematikçiler 1904 yılında ünlü deforme olmuş üç boyutlu küre fikrini formüle etti ve tamamen farklı bir konuya ayrılmış 65 sayfalık bir makalenin sonunda kenar boşluklarına küçük bir not şeklinde birkaç not karaladı. şu sözlerle oldukça tuhaf bir hipotezin satırları: "Pekala, bu soru bizi çok ileri götürebilir "...

Oxford Üniversitesi'nden Marcus Du Sautoy, Poincaré'nin teoreminin "şu olduğuna inanıyor: matematik ve fiziğin temel problemi, anlama çabası hangi şekil Belki Evren, ona yaklaşmak çok zor.

Grigory Perelman haftada bir, İleri Araştırma Enstitüsü'ndeki bir seminere katılmak için Princeton'a gidiyordu. Seminerde Harvard Üniversitesi matematikçilerinden biri Perelman'ın sorusunu yanıtlıyor: “Geometrizasyon hipotezi olarak adlandırılan William Thurston'un (1946-2012, matematikçi, “Üç boyutlu geometri ve topoloji” alanında çalışan) teorisi, her şeyi açıklıyor. olası üç boyutlu yüzeyler ve Poincaré varsayımıyla karşılaştırıldığında bir adım ileridir. William Thurston'un hipotezini kanıtlarsanız Poincaré varsayımı size tüm kapılarını açacaktır ve dahası çözümü modern bilimin tüm topolojik manzarasını değiştirecek».

Mart 2003'te, önde gelen altı Amerikan üniversitesi Perelman'ı çalışmalarını açıklayan bir dizi konferans vermeye davet etti. Nisan 2003'te Perelman bilimsel bir tur yaptı. Dersleri olağanüstü bir bilimsel olay haline geldi. John Ball (Uluslararası Matematik Birliği başkanı), Andrew Wiles (matematikçi, eliptik eğri aritmetiği alanında çalışıyor, 1994'te Fermat teoremini kanıtladı) onu dinlemek için Princeton'a geldi. John Nash(oyun teorisi ve diferansiyel geometri alanında çalışan matematikçi).

Grigory Perelman yedi milenyumun problemlerinden birini çözmeyi başardı Ve matematiksel olarak tanımlayın Lafta evrenin formülü, Poincaré varsayımını kanıtlayın. En parlak beyinler 100 yıldan fazla bir süredir bu hipotezle mücadele ediyor ve bunun kanıtı için dünya matematik topluluğu (Clay Matematik Enstitüsü) 1 milyon dolar vaat etti.Sunumu 8 Haziran 2010'da gerçekleşti.Grigory Perelman ortaya çıkmadı. buna ve dünya matematik camiasının "Ağzı açıldı."

2006 yılında matematikçi, Poincaré varsayımını çözdüğü için en yüksek matematik ödülü olan Fields Madalyası'na layık görüldü. John Ball, onu ödülü kabul etmeye ikna etmek için bizzat St. Petersburg'u ziyaret etti. "Toplumun benim çalışmalarımı ciddi bir şekilde değerlendirebilmesi pek olası değil" sözleriyle kabul etmeyi reddetti.

“Fields Madalyası (ve madalyası) her 4 yılda bir, her uluslararası matematik kongresinde matematiğin gelişimine önemli katkılarda bulunan genç bilim insanlarına (40 yaş altı) verilmektedir. Madalyanın yanı sıra, madalyayı kazananlara 15 bin Kanada doları (13 bin dolar) da verilecek.”

Orijinal formülasyonunda Poincaré varsayımı şu şekildedir: "Sınırsız her basit bağlantılı kompakt üç boyutlu manifold, üç boyutlu bir küreye homeomorfiktir." Ortak dile çevrildiğinde bu, herhangi bir üç boyutlu nesnenin, örneğin camın, yalnızca deformasyonla topa dönüşebileceği, yani kesilmesine veya birbirine yapıştırılmasına gerek kalmayacağı anlamına gelir. Başka bir deyişle Poincaré şunu varsaydı: uzay üç boyutlu değildir ancak önemli ölçüde içerir daha büyük sayıölçümler ve Perelman 100 yıl sonra matematiksel olarak kanıtladı.

Grigory Perelman'ın Poincaré'nin maddenin başka bir duruma, forma dönüşmesine ilişkin teoremini açıklaması, Anastasia Novykh'in “Sensei IV” adlı kitabında sunduğu bilgilerle benzerlik göstermektedir: “Aslında bizim için sonsuz olan bu Evrenin tamamı, milyarlarca kez yer kaplar. en ince tıbbi iğnelerin ucundan daha küçüktür". Ve ayrıca maddi Evreni, Gözlemci tarafından altıncının üzerindeki kontrol boyutlarından (7'den 72'ye kadar) getirilen dönüşümler yoluyla kontrol etme yeteneği ("PRIMODIUM ALLATRA FİZİĞİ" konusu "Ezoosmik kafes" hakkında rapor).

Grigory Perelman, yaşamındaki çilecilik ve hem kendisine hem de başkalarına yüklenen etik taleplerin ciddiyeti ile ayırt ediliyordu. Ona bakınca insan onun adil olduğu hissine kapılıyor bedensel olarak yaşıyor genel olarak diğer tüm çağdaşlarla uzay, A Ruhsal olarak başka bir şekilde, nerede bile 1 milyon dolar için gitmiyorlar en "masum" vicdanla uzlaşmak. Peki bu nasıl bir alan ve göz ucuyla bakmak bile mümkün mü?..

Yaklaşık bir asır önce matematikçi Poincaré tarafından ortaya atılan hipotezin olağanüstü önemi üç boyutlu yapılarla ilgilidir ve anahtar eleman modern araştırma evrenin temelleri. Clay Enstitüsü uzmanlarına göre bu bilmece, gelecekteki matematiğin gelişimi için temel olarak önemli olan yedi bilmeceden biri.

Madalyaları ve ödülleri reddeden Perelman şunu soruyor: “Bunlara neden ihtiyacım var? Bunların bana hiçbir faydası yok. Herkes, eğer kanıt doğruysa, başka bir tanıma gerekmediğini anlıyor. Şüphelenene kadar, ya matematik camiasının bir bütün olarak düşük ahlaki seviyesi nedeniyle dağıldığını yüksek sesle dile getirmek ya da hiçbir şey söylememek ve kendime sığır muamelesi yapılmasına izin vermek arasında seçim yapmak zorundaydım. Artık şüphelenmenin ötesine geçtiğim için sığır olarak kalamam ve sessiz kalmaya devam edemem, bu yüzden yapabileceğim tek şey gitmek.

Modern matematikle uğraşmak için, onu parçalayan, yönünü şaşırtan, değerlerin yerini alan en ufak bir katkının bulunmadığı, tamamen saf bir zihne sahip olmanız gerekir ve bu ödülü kabul etmek, zayıflık göstermek anlamına gelir. İdeal bir bilim adamı yalnızca bilimle uğraşır, başka hiçbir şeyi (güç ve sermaye) umursamaz, saf bir zihne sahip olmalıdır ve Perelman için bu ideale uygun yaşamaktan daha büyük bir önem yoktur. Milyonlarca fikrin tamamı matematik için faydalı mı ve gerçek bir bilim insanının böyle bir teşvike ihtiyacı var mı? Peki bu dünya taarruzunda sermayenin her şeyi satın alma ve boyunduruk altına alma arzusu değil mi? Veya satabilirsiniz senin saflığın bir milyon için mi? Para ne kadar olursa olsun eşdeğerdir Ruhun gerçeği? Sonuçta paranın hiçbir ilgisi olmaması gereken sorunların önsel bir değerlendirmesiyle karşı karşıyayız, değil mi?! Loto milyon gibi bir şey kazanmak ya da tüm bunlardan bahse girmek, bilimsel olanın parçalanmasına göz yummak anlamına gelir ve bir bütün olarak insan topluluğu(“ALLATRA'NIN PRIMODIUM FİZİĞİ” raporuna ve yaratıcı bir toplum oluşturmanın yolu hakkında “AllatRa” kitabının son 50 sayfasına bakın). VE peşin(enerji), iş adamlarının bilime vermeye hazır oldukları, eğer kullanılması gerekiyorsa, o zaman doğru bir şekilde falan, aşağılayıcı olmadan Gerçek Hizmet Ruhu, neresinden bakarsanız bakın, parasal açıdan paha biçilemez: “ Karşılaştırıldığında bir milyon nedir?, saflıkla veya büyüklükle bu küreler (küresel Evrenin boyutları ve yaklaşık Ruhsal dünya kitaba bak"AllatRa" ve rapor et"PRIMODIUM ALLATRA FİZİĞİ"), burada nüfuz edemiyor insan bile hayal gücü (zihin)?! Zaman açısından bir milyon yıldızlı gökyüzü nedir ki?!

Hipotezin formülasyonunda yer alan geri kalan terimlerin yorumunu verelim:

Topoloji - (Yunanca topos - yer ve logolardan - öğretim) - şekillerin topolojik özelliklerini inceleyen bir matematik dalı, yani. kırılmadan ve yapıştırılmadan (daha doğrusu birebir ve sürekli haritalamalarla) üretilen herhangi bir deformasyon altında değişmeyen özellikler. Şekillerin topolojik özelliklerine örnek olarak boyut, belirli bir alanı sınırlayan eğrilerin sayısı vb. gösterilebilir. Dolayısıyla bir daire, bir elips ve bir karenin dış hatları aynı topolojik özelliklere sahiptir çünkü bu çizgiler yukarıda anlatıldığı şekilde birbirine dönüştürülebilir; aynı zamanda halka ve daire farklı topolojik özelliklere sahiptir: daire bir konturla, halka ise iki konturla sınırlıdır.

Homeomorfizm (Yunanca ομοιο - benzer, μορφη - form), bu yazışma ile tanımlanan karşılıklı ters haritaların her ikisinin de sürekli olduğu iki topolojik uzay arasındaki bire bir yazışmadır. Bu eşlemelere homeomorfik veya topolojik eşlemelerin yanı sıra homeomorfizmler de denir ve uzayların aynı topolojik tipe ait olduğu söylenir ve homeomorfik veya topolojik olarak eşdeğer olarak adlandırılır.

Kenarsız üç boyutlu manifold. Bu, her noktasının üç boyutlu top şeklinde bir komşuluğu olan geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri, ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayı ve aynı zamanda R3'teki herhangi bir açık nokta kümesini, örneğin katı bir torusun (çörek) iç kısmını içerir. Kapalı, katı bir torusu düşünürsek; sınır noktalarını (torusun yüzeyi) ekleyin, sonra kenarı olan bir manifold elde ederiz - kenar noktalarının top şeklinde mahalleleri yoktur, yalnızca yarım top şeklindedir.

Katı simit (katı simit), iki boyutlu bir disk ile D2 * S1 dairesinin çarpımına homeomorfik olan geometrik bir cisimdir. Gayri resmi olarak, katı bir simit bir çörektir, simit ise yalnızca yüzeyidir (bir tekerleğin içi boş odası).

Basitçe bağlanın. Bu, tamamen belirli bir manifoldun içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya kadar düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan iki boyutlu bir küre basit bir şekilde bağlanır (bir elmanın yüzeyine herhangi bir şekilde yerleştirilen bir lastik bant, lastik bandı elmadan koparmadan bir noktaya düzgün bir şekilde çekilebilir). Öte yandan daire ve simit basit bir şekilde bağlantılı değildir.

Kompakt. Homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse bir manifold kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir doğru parçasının uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak kapalı bir bölüm (uçları olan) bir kenarı olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parçanın bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmesi gerekir.

Devam edecek...

İlnaz Başarov

Edebiyat:

– Uluslararası bilim adamlarından oluşan uluslararası bir grup tarafından hazırlanan “ALLATRA'NIN İLK FİZİĞİ” raporu Sosyal hareket ALLATRA, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Yeni olanlar. A. "AllatRa", K .: AllatRa, 2013. http://schambala.com.ua/book/a... .

- Yeni olanlar. A., “Sensei-IV”, K.: LOTOS, 2013, 632 s. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Fizik ve Matematik Doktoru. Bilimler, Rusya Bilimler Akademisi Matematik Enstitüsü'nün St. Petersburg şubesinde kıdemli araştırmacı

AKIL OYUNU

Yakın zamana kadar matematik “rahiplerine” ne şöhret ne de zenginlik vaat ediyordu. Onlara Nobel Ödülü bile verilmedi. Böyle bir adaylık yok. Sonuçta çok popüler bir efsaneye göre Nobel'in karısı bir zamanlar onu bir matematikçiyle aldatmıştı. Ve misilleme olarak zengin adam tüm sahtekar kardeşlerini saygısından ve para ödülünden mahrum etti.

2000 yılında durum değişti. Özel Matematik Enstitüsü Clay Matematik Enstitüsü en zor problemlerden yedisini seçti. Ve herkese kararları karşılığında bir milyon dolar ödeyeceğine söz verdi. Matematikçilere saygıyla baktılar. 2001 yılında ana karakteri bir matematikçi olan “Güzel Bir Zihin” filmi bile yayınlandı.

Artık yalnızca medeniyetten uzak insanlar bunun farkında değil: vaat edilen milyonlardan biri - ilki - çoktan ödüllendirildi. Ödül, St. Petersburg'da ikamet eden Rus vatandaşı Grigory Perelman'a, çabalarıyla bir teorem haline gelen Poincaré varsayımını çözdüğü için verildi. 44 yaşındaki sakallı adam tüm dünyanın burnunu sildi. Ve şimdi de onu -dünyayı- belirsizlik içinde tutmaya devam ediyor. Çünkü matematikçinin dürüstçe hak ettiği milyon doları alıp almayacağı veya reddedip reddedmeyeceği bilinmiyor. Pek çok ülkedeki ilerici kamuoyu doğal olarak endişeli. En azından tüm kıtalardaki gazeteler finansal ve matematiksel entrikayı anlatıyor.

Ve bu büyüleyici faaliyetlerin arka planına karşı - falcılık ve başkalarının parasını bölmek - Perelman'ın başarısının anlamı bir şekilde kaybolmuştu. Clay Enstitüsü Başkanı Jim Carlson elbette bir keresinde ödül fonunun amacının cevap aramak olmadığını, matematik biliminin prestijini artırma ve gençlerin ilgisini çekme girişimi olduğunu belirtmişti. Ama yine de ne anlamı var?

POINCARE HİPOTEZİ - NEDİR?

Rus dehasının çözdüğü bilmece, matematiğin topoloji adı verilen bir dalının temellerine değiniyor. Topolojisine genellikle "kauçuk levha geometrisi" adı verilir. Şeklin gerilmesi, bükülmesi veya bükülmesi durumunda korunan geometrik şekillerin özellikleriyle ilgilenir. Yani yırtılmadan, kesilmeden, yapıştırılmadan deforme olur.

Topoloji matematiksel fizik açısından önemlidir çünkü uzayın özelliklerini anlamamızı sağlar. Veya bu mekanın şekline dışarıdan bakmadan değerlendirin. Örneğin, Evrenimize.

Poincaré varsayımını açıklarken şöyle başlıyorlar: İki boyutlu bir küre hayal edin; lastik bir disk alın ve onu topun üzerine çekin. Böylece diskin çevresi tek bir noktada toplanır. Benzer şekilde örneğin bir spor sırt çantasını kordonla bağlayabilirsiniz. Sonuç bir küredir: bizim için üç boyutludur, ancak matematik açısından yalnızca iki boyutludur.

Daha sonra aynı diski bir çörek üzerine çekmeyi teklif ediyorlar. İşe yarayacak gibi görünüyor. Ancak diskin kenarları artık bir noktaya çekilemeyecek bir daire şeklinde birleşecek - çörek kesilecek.

Başka bir Rus matematikçi Vladimir Uspensky'nin popüler kitabında yazdığı gibi, "iki boyutlu kürelerden farklı olarak, üç boyutlu kürelere doğrudan gözlemimizle erişilemez ve Vasily İvanoviç'in hayal etmesi ne kadar zorsa bizim için de onları hayal etmek o kadar zordur" ünlü şakadaki kare trinomial.

Dolayısıyla Poincaré hipotezine göre, yüzeyi varsayımsal bir "hiperkord" tarafından bir noktaya çekilebilen tek üç boyutlu şey üç boyutlu bir küredir.

Jules Henri Poincaré bunu 1904'te önerdi. Artık Perelman, Fransız topologun haklı olduğunu anlayan herkesi ikna etti. Ve hipotezini teoreme dönüştürdü.

Kanıt, Evrenimizin nasıl bir şekle sahip olduğunu anlamaya yardımcı oluyor. Ve bunun aynı üç boyutlu küre olduğunu çok makul bir şekilde varsaymamıza olanak tanıyor. Ancak eğer Evren bir noktaya kadar daraltılabilen tek “figür” ise, o zaman muhtemelen bir noktadan itibaren uzatılabilir. Teorinin dolaylı olarak doğrulanmasına hizmet eden şey büyük patlama, şunu belirtir: Evren bu noktadan itibaren ortaya çıktı.

Perelman'ın Poincaré ile birlikte evrenin ilahi başlangıcının destekçileri olan sözde yaratılışçıları üzdüğü ortaya çıktı. Ve materyalist fizikçilerin değirmenine su döktüler.

VE BU ZAMANDA

Dahi henüz bir milyon dolardan vazgeçmedi

Matematikçi inatla gazetecilerle iletişim kurmayı reddediyor. Bizimkine göre - kesinlikle: sesini bile yükseltmiyor. Batılılar - kapalı bir kapıdan sözler atarlar. Mesela beni rahat bırak. Dahi sadece Clay Enstitüsü başkanı Jim Carlson ile iletişim kuruyor gibi görünüyor.

Grigory Perelman'ın milyon doları öğrenildikten hemen sonra Carlson, "Dahi neye karar verdi?" sorusunu yanıtladı. şu cevabı verdi: "Zamanı gelince bana haber verecek." Yani Gregory ile temas halinde olduğunu ima etti.

Geçtiğimiz gün Cumhurbaşkanımızdan yeni bir mesaj aldık. Kendisi İngiliz The Telegraph gazetesi tarafından kamuoyuna şöyle bildirildi: “Kararını bir noktada bana bildireceğini söyledi. Ancak bunun en azından yaklaşık olarak ne zaman olacağını söylemedi. Yarın da bunun doğru olacağını düşünmüyorum."

Başkana göre dahi kuru ama kibar bir şekilde konuştu. Kısa sürdü. Perelman'ı savunan Carlson şunları kaydetti: "Bir kişinin bir milyon dolardan vazgeçme olasılığını şaka yollu bir şekilde düşünmesi bile her gün mümkün değil."

BU ARADA

Yoksa neden bir milyon dolar versinler ki?

1. Cook'un sorunu

Bir problemin çözümünün doğruluğunu kontrol etmenin, çözümü elde etmekten daha uzun zaman alıp alamayacağını belirlemek gerekir. Bu mantıksal görev, kriptografi - veri şifreleme - uzmanları için önemlidir.

2. Riemann hipotezi

2, 3, 5, 7 gibi yalnızca kendilerine bölünebilen asal sayılar vardır. Toplamda kaç tane olduğu bilinmiyor. Riemann bunun belirlenebileceğine ve dağılımlarının bir modelinin bulunabileceğine inanıyordu. Bunu kim bulursa aynı zamanda kriptografi hizmetleri de sağlayacak.

3. Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı

Problem, üç bilinmeyenin üstleri olan denklemlerin çözülmesini içerir. Karmaşıklığa bakılmaksızın bunları nasıl çözeceğinizi bulmanız gerekir.

4. Hodge varsayımı

Yirminci yüzyılda matematikçiler karmaşık nesnelerin şeklini incelemek için bir yöntem keşfettiler. Buradaki fikir, nesnenin kendisi yerine birbirine yapıştırılan ve benzerliğini oluşturan basit "tuğlalar" kullanmaktır. Bunun her zaman caiz olduğunu kanıtlamak gerekir.

5. Navier - Stokes denklemleri

Onları uçakta hatırlamaya değer. Denklemler onu havada tutan hava akımlarını tanımlar. Artık denklemler yaklaşık formüller kullanılarak yaklaşık olarak çözülmektedir. Kesin olanları bulmamız ve üç boyutlu uzayda denklemlerin her zaman doğru olan bir çözümünün olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

6. Yang - Mills denklemleri

Fizik dünyasında bir hipotez var: Eğer bir temel parçacığın kütlesi varsa, o zaman onun bir alt sınırı vardır. Ama hangisi olduğu belli değil. Ona ulaşmamız lazım. Bu belki de en zor görevdir. Bunu çözmek için, doğadaki tüm kuvvetleri ve etkileşimleri birleştiren bir "her şeyin teorisi" - denklemler oluşturmak gerekir. Bunu yapabilen herkes muhtemelen Nobel Ödülü alacaktır.

Fotoğraf: N. Chetverikova Saf matematiğin son büyük başarısı, St. Petersburg'da yaşayan Grigory Perelman'ın 1904'te ifade ettiği Poincaré varsayımının 2002-2003'teki kanıtı olarak adlandırılır ve şunu belirtir: “her bağlantılı, basit bağlantılı, kompakt üç boyutlu manifold sınırsız, S3 küresine homeomorfiktir.”

Bu ifadede, genel anlamlarını matematikçi olmayanlar için açık hale getirecek şekilde açıklamaya çalışacağım birkaç terim var (okuyucunun tamamladığını varsayıyorum). lise ve hala okul matematiğinden bir şeyler hatırlıyor).

Topolojinin merkezi olan homeomorfizm kavramıyla başlayalım. Genel olarak topoloji genellikle "kauçuk geometrisi" olarak tanımlanır; yani, geometrik görüntülerin, kırılma ve yapıştırma olmadan düzgün deformasyonlar sırasında değişmeyen özelliklerinin bilimi veya daha kesin olarak, eğer bire bir oluşturmak mümkünse. -İki nesne arasında bir ve karşılıklı olarak sürekli yazışma.

Ana fikri, klasik bir kupa ve çörek örneğini kullanarak açıklamak en kolay olanıdır. Birincisi, sürekli bir deformasyonla ikinciye dönüştürülebilir: Bu şekiller, kupanın simit ile homeomorfik olduğunu açıkça göstermektedir ve bu gerçek, hem yüzeyleri (simit adı verilen iki boyutlu manifoldlar) hem de dolu cisimler (üç boyutlu manifoldlar) için geçerlidir. -bir kenarı olan boyutlu manifoldlar).

Hipotezin formülasyonunda yer alan geri kalan terimlerin yorumunu verelim.

1. Kenarsız üç boyutlu manifold. Bu, her noktasının üç boyutlu top şeklinde bir komşuluğu olan geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri arasında ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayın yanı sıra R3'teki herhangi bir açık nokta kümesi, örneğin katı bir simitin (çörek) iç kısmı yer alır. Kapalı bir tam simidi ele alırsak, yani sınır noktalarını (topusun yüzeyi) eklersek, o zaman kenarı olan bir manifold elde ederiz - kenar noktalarının top şeklinde mahalleleri yoktur, yalnızca formdadır yarım top.

2. Bağlı. Buradaki bağlantı kavramı en basit olanıdır. Bir manifold, tek parçadan oluşuyorsa bağlanır veya aynı şekilde, herhangi iki noktası, sınırlarını aşmayan sürekli bir çizgi ile bağlanabilir.

3. Basitçe bağlanın. Basit bağlantılılık kavramı daha karmaşıktır. Bu, tamamen belirli bir manifoldun içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya kadar düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan iki boyutlu bir küre basit bir şekilde bağlanır (bir elmanın yüzeyine herhangi bir şekilde yerleştirilen bir lastik bant, lastik bandı elmadan koparmadan düzgün bir deformasyonla bir noktaya düzgün bir şekilde çekilebilir) . Öte yandan daire ve simit basit bir şekilde bağlantılı değildir.

4. Kompakt. Eğer homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse, çeşitlilik kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir doğru parçasının uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak kapalı bir parça (uçları olan) sınırları olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parçanın bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmesi gerekir.

Boyut Bir manifoldun sayısı, üzerinde "yaşayan" noktanın serbestlik derecesinin sayısıdır. Her noktanın karşılık gelen boyutta bir disk şeklinde bir komşuluğu vardır; yani tek boyutlu bir durumda bir çizgi aralığı, iki boyutlu bir düzlem üzerinde bir daire, üç boyutlu bir top vb. Topoloji açısından bakıldığında, kenarı olmayan yalnızca iki tek boyutlu bağlantılı manifold vardır: bir çizgi ve daire. Bunlardan yalnızca daire kompakttır.

Manifold olmayan bir uzayın örneği, örneğin bir çift kesişen çizgidir - sonuçta, iki çizginin kesişme noktasında herhangi bir mahalle haç şeklindedir, böyle bir mahalleye sahip değildir. kendisi basitçe bir aralıktır (ve diğer tüm noktaların bu tür komşulukları vardır). Bu gibi durumlarda matematikçiler, tek bir özel noktası olan özel bir çeşitlilikle karşı karşıya olduğumuzu söylüyorlar.

İki boyutlu kompakt manifoldlar iyi bilinmektedir. Yalnızca düşünürsek yönlendirilebilir 1 Sınırsız manifoldlar varsa, topolojik açıdan bakıldığında sonsuz da olsa basit bir liste oluştururlar: vb. Bu tür manifoldların her biri, sayısı yüzeyin cinsi olarak adlandırılan birkaç tutamacın yapıştırılmasıyla bir küreden elde edilir.

1 Yer sıkıntısı nedeniyle, yönlendirilemeyen manifoldlardan bahsetmeyeceğim; bunun bir örneği ünlü Klein şişesidir - kendi kendine kesişmeler olmadan uzaya gömülemeyen bir yüzey.

Şekil 0, 1, 2 ve 3 cinsinin yüzeylerini göstermektedir. Küreyi bu listedeki tüm yüzeyler arasında öne çıkaran nedir? Basitçe bağlantılı olduğu ortaya çıkıyor: Bir küre üzerinde herhangi bir kapalı eğri bir noktaya kadar daraltılabilir, ancak herhangi bir başka yüzeyde her zaman yüzey boyunca bir noktaya kadar daraltılamayan bir eğri gösterilebilir.

Sınırsız üç boyutlu kompakt manifoldların, iki boyutlu durumdaki kadar basit olmasa da oldukça karmaşık bir yapıya sahip olmasına rağmen, bir anlamda sınıflandırılabilmesi, yani belirli bir listede düzenlenebilmesi ilginçtir. Ancak yukarıdaki listede yer alan 2D küre gibi 3D küre S 3 bu listede de öne çıkıyor. S 3 üzerindeki herhangi bir eğrinin bir noktaya kadar büzüldüğü gerçeği, iki boyutlu durumda olduğu kadar basit bir şekilde kanıtlanmıştır. Ancak bunun tersi olan ifade, yani bu özelliğin özellikle küre için benzersiz olduğu, yani diğer herhangi bir üç boyutlu manifoldda büzülemeyen eğrilerin bulunduğu ifadesi çok zordur ve tam olarak bahsettiğimiz Poincaré varsayımının içeriğini oluşturur. .

Çeşitliliğin kendi başına yaşayabileceğini, herhangi bir yere yuvalanmayan, bağımsız bir nesne olarak düşünülebileceğini anlamak önemlidir. (Sıradan bir kürenin yüzeyinde, üçüncü boyutun varlığından habersiz iki boyutlu yaratıklar olarak yaşadığınızı hayal edin.) Neyse ki, yukarıdaki listede yer alan iki boyutlu yüzeylerin tümü sıradan R3 uzayına yerleştirilebilir, bu da onları daha kolay hale getirir. görselleştirmek. Üç boyutlu S3 küresi için (ve genel olarak sınırı olmayan herhangi bir kompakt üç boyutlu manifold için) durum artık geçerli değildir, dolayısıyla onun yapısını anlamak için biraz çaba gerekir.

Görünüşe göre en basit yolüç boyutlu küre S 3'ün topolojik yapısını tek nokta sıkıştırma yardımıyla açıklamaktır. Yani üç boyutlu küre (S3), sıradan üç boyutlu (sınırsız) uzayın (R3) tek noktalı kompaktifikasyonudur.

Öncelikle bu yapıyı basit örneklerle açıklayalım. Sıradan bir sonsuz düz çizgiyi (uzayın tek boyutlu bir benzeri) alalım ve ona "sonsuz derecede uzak" bir nokta ekleyelim; sağa veya sola doğru düz bir çizgi boyunca hareket ettiğimizde sonunda bu noktaya ulaşacağımızı varsayalım. Topolojik açıdan bakıldığında, sonsuz bir çizgi ile sınırlı bir açık çizgi parçası (uç noktaları olmayan) arasında hiçbir fark yoktur. Böyle bir parça, bir yay şeklinde sürekli olarak bükülebilir, uçları yakınlaştırabilir ve bağlantı noktasındaki eksik noktayı yapıştırabilir. Açıkçası bir daire elde edeceğiz - kürenin tek boyutlu bir benzeri.

Aynı şekilde, sonsuz bir düzlem alıp, orijinal düzlemin herhangi bir yönde geçen tüm düz çizgilerinin yöneldiği sonsuzda bir nokta eklersem, o zaman iki boyutlu (sıradan) bir S 2 küresi elde ederiz. Bu prosedür, kuzey kutbu N haricinde, P" düzlemindeki belirli bir nokta hariç, her P noktasına küre atayan stereografik projeksiyon kullanılarak gözlemlenebilir:

Böylece, tek noktası olmayan bir küre, topolojik olarak bir düzlemle aynıdır ve bir noktanın eklenmesi, düzlemi bir küreye dönüştürür.

Prensip olarak, tam olarak aynı yapı üç boyutlu bir küre ve üç boyutlu uzaya uygulanabilir, yalnızca uygulanması için dördüncü boyuta girmek gerekir ve bunu bir çizimde tasvir etmek o kadar kolay değildir. Bu nedenle kendimi R3 uzayının tek noktalı kompaktifikasyonunun sözlü açıklamasıyla sınırlayacağım.

Fiziksel uzayımıza (Newton'u takip ederek, üç koordinat x, y, z ile sınırsız bir Öklid uzayı olarak kabul ediyoruz), herhangi bir yönde düz bir çizgide hareket ederken "sonsuzda" bir noktanın eklendiğini hayal edin. oraya vardığınız yön (yani her uzamsal çizgi bir daireye kapanır). Daha sonra tanımı gereği S3 küresi olan kompakt üç boyutlu bir manifold elde ederiz.

S3 küresinin basit bir şekilde bağlantılı olduğunu anlamak kolaydır. Aslında bu küre üzerindeki herhangi bir kapalı eğri, eklenen noktadan geçmeyecek şekilde hafifçe kaydırılabilir. Daha sonra, sıradan uzay R3'te, homojenlikler yoluyla, yani her üç yönde sürekli sıkıştırma yoluyla bir noktaya kolayca büzülen bir eğri elde ederiz.

S3 çeşidinin nasıl yapılandırıldığını anlamak için onun iki katı toriye bölünmesini düşünmek çok öğreticidir. Katı simidi R3 alanından çıkarırsak, o zaman çok net olmayan bir şey kalacaktır. Ve eğer uzay bir küre şeklinde sıkıştırılırsa, bu tamamlayıcı da katı bir torusa dönüşür. Yani S3 küresi iki katı toriye bölünmüştür. ortak sınır- torus

İşte bunu nasıl anlayabileceğiniz. Simidi her zamanki gibi yuvarlak bir çörek şeklinde R 3'e yerleştirelim ve dikey bir çizgi - bu çörekin dönme ekseni - çizelim. Eksen boyunca rastgele bir düzlem çizelim; bu düzlem katı torusumuzu şekilde gösterilen iki daire boyunca kesecektir. yeşil ve düzlemin ek kısmı sürekli bir kırmızı daire ailesine bölünmüştür. Bunlar arasında daha cesurca vurgulanan merkezi eksen de yer alıyor çünkü S3 küresinde düz çizgi bir daireye yaklaşıyor. Bu iki boyutlu resim bir eksen etrafında döndürülerek üç boyutlu bir resim elde edilir. Döndürülmüş dairelerden oluşan eksiksiz bir set, katı bir torusa homeomorfik olan ve yalnızca sıra dışı görünen üç boyutlu bir gövdeyi dolduracaktır.

Aslında, merkezi eksen, içinde eksenel bir daire olacak ve geri kalanı, sıradan bir katı torus oluşturan paraleller - daireler rolünü oynayacak.

3-küreyi karşılaştıracak bir şeye sahip olmak için, kompakt 3-manifoldun başka bir örneğini, yani üç boyutlu simidi vereceğim. Üç boyutlu bir simit aşağıdaki gibi oluşturulabilir. Başlangıç ​​malzemesi olarak sıradan bir üç boyutlu küpü alalım:

Üç çift kenarı vardır: sol ve sağ, üst ve alt, ön ve arka. Her bir paralel yüz çiftinde, küpün kenarı boyunca aktarılarak birbirinden elde edilen noktaları çiftler halinde belirleriz. Yani, örneğin A ve A"'nın aynı nokta olduğunu ve B ile B"'nin de bir nokta olduğunu ancak A noktasından farklı olduğunu (tamamen soyut olarak, fiziksel deformasyonlar kullanmadan) varsayacağız. Tüm iç noktalar Küpü her zamanki gibi ele alacağız. Küpün kendisi kenarı olan bir manifolddur, ancak yapıştırma işlemi tamamlandıktan sonra kenar kendi üzerine kapanır ve kaybolur. Aslında, küpteki A ve A" noktalarının komşuları (sol ve sağ gölgeli yüzlerde bulunurlar), yüzleri birbirine yapıştırdıktan sonra bir mahalle görevi gören bütün bir top halinde birleşen topların yarısıdır. üç boyutlu simidin karşılık gelen noktası.

Fiziksel alanla ilgili günlük fikirlere dayalı 3 torusun yapısını hissetmek için, karşılıklı olarak üç dik yön seçmeniz gerekir: ileri, sol ve yukarı - ve bilim kurgu hikayelerinde olduğu gibi, bu yönlerden herhangi birinde hareket ederken zihinsel olarak düşünün. oldukça uzun ama sonlu bir süre sonra başlangıç ​​noktasına döneceğiz, ancak ters yönden.Bu aynı zamanda "uzayın sıkıştırılmasıdır", ancak daha önce küreyi oluşturmak için kullanılan tek nokta değil, daha karmaşıktır.

Üç boyutlu bir simit üzerinde daraltılamayan yollar vardır; örneğin, bu şekildeki AA" segmentidir (bir torus üzerinde kapalı bir yolu temsil eder). Daraltılamaz, çünkü herhangi bir sürekli deformasyon için A ve A" noktaları birbirlerine tam olarak zıt kalarak yüzleri boyunca hareket etmelidir ( aksi takdirde eğri açılacaktır).

Yani basit bağlantılı ve basit bağlantılı olmayan kompakt 3-manifoldların olduğunu görüyoruz. Perelman basit bağlantılı bir manifoldun tam olarak bir olduğunu kanıtladı.

İspatın ilk fikri "Ricci akışı" olarak adlandırılan yöntemi kullanmaktır: basit bağlantılı kompakt 3-manifoldu alırız, ona keyfi bir geometri veririz (yani mesafeler ve açılarla birlikte bazı metrikler ekleriz) ve sonra şunu düşünürüz: Ricci akışı boyunca evrimi. Bu fikri 1981 yılında ortaya atan Richard Hamilton, bu evrimin çeşitliliğimizi bir alana dönüştüreceğini umuyordu. Bunun doğru olmadığı ortaya çıktı - üç boyutlu durumda, Ricci akışı bir manifoldu bozabilir, yani onu manifold olmayan bir hale getirebilir (yukarıdaki kesişen çizgiler örneğinde olduğu gibi tekil noktalara sahip bir şey) . Perelman, inanılmaz teknik zorlukların üstesinden gelerek, kısmi diferansiyel denklemlerin ağır aygıtını kullanarak, tekil noktalar yakınındaki Ricci akışına, evrim sırasında manifoldun topolojisi değişmeyecek, hiçbir tekil nokta ortaya çıkmayacak şekilde düzeltmeler getirmeyi başardı ve sonunda yuvarlak bir küreye dönüşür. Ama sonunda bu Ricci akışının ne olduğunu açıklamamız gerekiyor. Hamilton ve Perelman tarafından kullanılan akışlar, soyut bir manifold üzerindeki içsel metrikteki değişikliklere atıfta bulunur ve bunu açıklamak oldukça zordur, bu nedenle kendimi, düzleme gömülü tek boyutlu manifoldlar üzerindeki "dış" Ricci akışını tanımlamakla sınırlayacağım.

Öklid düzleminde düzgün kapalı bir eğri hayal edelim, onun üzerinde bir yön seçelim ve her noktada birim uzunlukta bir teğet vektör düşünelim. Daha sonra, seçilen yönde eğrinin etrafında dönerken, bu vektör eğrilik adı verilen bir açısal hızla dönecektir. Eğrinin daha dik kavisli olduğu yerlerde eğrilik (mutlak değerde) daha büyük olacak, daha düzgün olduğu yerlerde eğrilik daha az olacaktır.

Hız vektörü, eğrimize göre iki parçaya bölünen düzlemin iç kısmına doğru dönüyorsa eğriliği pozitif, dışa doğru dönüyorsa negatif kabul edeceğiz. Bu anlaşma eğrinin geçildiği yöne bağlı değildir. Dönüşün yön değiştirdiği bükülme noktalarında eğrilik 0 olacaktır. Örneğin, yarıçapı 1 olan bir dairenin sabit pozitif eğriliği 1'dir (eğer radyan cinsinden ölçülürse).

Şimdi teğet vektörleri unutalım ve tam tersine, eğrinin her noktasına, belirli bir noktadaki eğriliğe eşit uzunlukta ve eğrilik pozitifse içe doğru, negatifse dışa doğru yönlendirilmiş, ona dik bir vektör ekleyelim. ve ardından her noktanın, uzunluğuyla orantılı hızla karşılık gelen vektörün yönünde hareket etmesini sağlayın. İşte bir örnek:

Düzlemdeki herhangi bir kapalı eğrinin bu tür bir evrim sırasında benzer şekilde davrandığı, yani sonunda bir daireye dönüştüğü ortaya çıktı. Bu, Poincaré varsayımının Ricci akışını kullanan tek boyutlu analoğunun bir kanıtıdır (ancak bu durumda ifadenin kendisi zaten açıktır, yalnızca kanıt yöntemi 3. boyutta ne olduğunu göstermektedir).

Sonuç olarak, Perelman'ın akıl yürütmesinin yalnızca Poincaré varsayımını değil aynı zamanda genel olarak tüm kompakt üç boyutlu manifoldların yapısını belirli bir anlamda tanımlayan çok daha genel Thurston geometri varsayımını da kanıtladığını belirtelim. Ancak bu konu bu temel makalenin kapsamı dışındadır.

Sergey Düzhin,
Fizik ve Matematik Doktoru bilimler,
Kıdemli araştırmacı
St.Petersburg şubesi
Rusya Bilimler Akademisi Matematik Enstitüsü

1904'te Henri Poincaré, üç boyutlu kürenin belirli özelliklerine sahip herhangi bir üç boyutlu nesnenin 3 küreye dönüştürülebileceğini öne sürdü. Bu hipotezin kanıtlanması 99 yıl sürdü. (Uyarı! Üç boyutlu küre düşündüğünüz gibi değil.) Rus matematikçi, bir asır önce ortaya atılan Poincaré varsayımını kanıtladı ve üç boyutlu uzayların şekil kataloğunun oluşturulmasını tamamladı. Belki 1 milyon dolar ikramiye alacak.

Etrafına bir bak. Etrafınızdaki nesneler, sizin gibi, milyarlarca ışıkyılı boyunca her yöne uzanan üç boyutlu uzayda (3-manifold) hareket eden parçacıkların bir koleksiyonudur.

Manifoldlar matematiksel yapılardır. Galileo ve Kepler'in zamanından beri bilim insanları gerçekliği matematiğin şu ya da bu dalı açısından başarılı bir şekilde tanımladılar. Fizikçiler dünyadaki her şeyin üç boyutlu uzayda gerçekleştiğine ve herhangi bir parçacığın konumunun üç sayıyla (örneğin enlem, boylam ve yükseklik) belirlenebileceğine inanıyor (sicim teorisinde yapılan varsayımı şimdilik bir kenara bırakalım; Gözlemlediğimiz üç boyuta ek olarak birkaç tane daha vardır.

Klasik ve geleneksel kuantum fiziğine göre uzay sabittir ve değişmez. Aynı zamanda, genel görelilik teorisi onu olaylara aktif bir katılımcı olarak kabul eder: iki nokta arasındaki mesafe, geçen yerçekimi dalgalarına ve yakınlarda ne kadar madde ve enerjinin bulunduğuna bağlıdır. Ancak hem Newton hem de Einstein fiziğinde uzay -sonsuz ya da sonlu- her durumda 3-manifoldludur. Bu nedenle, neredeyse tümünün dayandığı temelleri tam olarak anlamak modern bilim 3-manifoldların özelliklerini anlamak gerekir (uzay ve zaman birlikte bunlardan birini oluşturduğundan 4-manifoldlar daha az ilgi çekici değildir).

Manifoldların incelendiği matematik dalına topoloji denir. Topologlar ilk önce temel soruları sordular: 3-manifoldun en basit (yani en az karmaşık) tipi nedir? Aynı derecede basit kardeşleri var mı yoksa benzersiz mi? Ne tür 3-manifoldlar var?

İlk sorunun cevabı uzun zamandır biliniyor: En basit kompakt 3-manifold, 3-küre adı verilen bir uzaydır (Kompakt olmayan manifoldlar sonsuzdur veya kenarları vardır. Aşağıda yalnızca kompakt manifoldlar ele alınmıştır). Bir yüzyıl boyunca iki soru daha cevapsız kaldı. Görünüşe göre Poincaré varsayımını kanıtlayabilen Rus matematikçi Grigory Perelman bunlara ancak 2002 yılında cevap verdi.

Tam yüz yıl önce Fransız matematikçi Henri Poincaré, 3-kürenin benzersiz olduğunu ve başka hiçbir kompakt 3-manifoldun onu bu kadar basit kılan özelliklere sahip olmadığını öne sürdü. Daha karmaşık 3-manifoldların, bir tuğla duvar gibi duran sınırları veya belirli alanlar arasında dallanan ve sonra tekrar birleşen bir orman yolu gibi çoklu bağlantıları vardır. 3-kürenin özelliklerine sahip herhangi bir üç boyutlu nesne kendisine dönüştürülebilir, dolayısıyla topologlara göre bu sadece onun bir kopyası gibi görünür. Perelman'ın kanıtı aynı zamanda üçüncü soruyu yanıtlamamıza ve mevcut tüm 3-manifoldları sınıflandırmamıza da olanak tanır.

3-küreyi hayal etmek için oldukça fazla hayal gücüne ihtiyacınız olacak (bkz. KÜRELERİN ÇOK BOYUTLU MÜZİĞİ). Neyse ki, tipik bir örneği yuvarlak bir balonun kauçuğu olan 2-küreyle pek çok ortak noktası var: iki boyutludur, çünkü üzerindeki herhangi bir nokta yalnızca iki koordinatla tanımlanır - enlem ve boylam. Oldukça küçük bir alanını güçlü bir büyüteç altında incelerseniz, düz bir levha parçası gibi görünecektir. Balonun üzerinde gezinen minik bir böceğe, balon düz bir yüzey gibi görünecektir. Ancak sümük yeterince uzun bir süre düz bir çizgide hareket ederse, sonunda başlangıç ​​noktasına geri dönecektir. Aynı şekilde Evrenimizin 3 küre büyüklüğündeki bir kısmını da “sıradan” üç boyutlu uzay olarak algılarız. Herhangi bir yönde yeterince uzağa uçtuktan sonra, sonunda etrafını dolaşıp başlangıç ​​noktamıza geri dönerdik.

Tahmin edebileceğiniz gibi, n boyutlu bir küreye n-küre denir. Örneğin, 1-küre herkese tanıdık geliyor: bu sadece bir daire.

Grigory Perelman, Poincaré varsayımına ilişkin kanıtını ve Thurston'un geometrileştirme programının tamamlanmasını Nisan 2003'te Princeton Üniversitesi'nde bir seminerde sundu.

Hipotezlerin test edilmesi

Poincaré varsayımı meselesinin ortaya çıkmasından yarım yüzyıl geçti. 60'larda XX yüzyıl Matematikçiler beş veya daha fazla boyutlu küreler için ona benzer ifadeler kanıtladılar. Her durumda, n-küre aslında tek ve en basit n-manifolddur. Garip bir şekilde, çok boyutlu küreler için sonuç elde etmenin 3 ve 4 kürelerden daha kolay olduğu ortaya çıktı. Dört boyutun kanıtı 1982'de ortaya çıktı. Ve yalnızca 3-küre hakkındaki orijinal Poincaré varsayımı doğrulanmadan kaldı.

Belirleyici adım, Matematik Enstitüsü'nün St. Petersburg şubesinden bir matematikçi olan Grigory Perelman'ın Kasım 2002'de atılmasıyla atıldı. Steklov, makalesini dünyanın her yerinden fizikçilerin ve matematikçilerin araştırmalarının sonuçlarını tartıştıkları www.arxiv.org web sitesine gönderdi. bilimsel aktivite. Topologlar, Rus bilim adamının çalışması ile Poincaré varsayımı arasındaki bağlantıyı hemen anladılar, ancak yazar bundan doğrudan bahsetmedi. Mart 2003'te Perelman ikinci bir makale yayınladı ve aynı yılın baharında Amerika Birleşik Devletleri'ni ziyaret ederek Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nde ve Stony Brook'taki New York Eyalet Üniversitesi'nde çeşitli seminerler verdi. Önde gelen enstitülerdeki birkaç matematikçi grubu, gönderilen çalışmalar üzerinde derhal ayrıntılı bir çalışmaya ve hataları aramaya başladı.

İNCELEME: POINCARES HİPOTEZİNİN KANITLANMASI

• Bir yüzyıl boyunca matematikçiler, Henri Poincaré'nin tüm üç boyutlu nesneler arasında 3 kürenin olağanüstü basitliği ve benzersizliği hakkındaki varsayımını kanıtlamaya çalıştılar.
• Poincaré varsayımının mantığı nihayet genç Rus matematikçi Grigory Perelman'ın çalışmalarında ortaya çıktı. Ayrıca üç boyutlu manifoldların sınıflandırılmasına ilişkin kapsamlı bir programı tamamladı.
• Belki de Evrenimiz 3 küre şeklindedir. Matematik ile parçacık fiziği ve genel görelilik arasında başka ilginç bağlantılar da var.

Perelman, Stony Brook'ta iki hafta boyunca günde üç ila altı saat boyunca birçok konferans verdi. Materyali çok net bir şekilde sundu ve ortaya çıkan tüm soruları yanıtladı. Nihai sonucun alınmasına hâlâ küçük bir adım kaldı ama bunun tamamlanmak üzere olduğuna hiç şüphe yok. İlk makale okuyucuya temel fikirleri tanıtır ve tamamen doğrulandığı kabul edilir. İkinci makale uygulamalı konuları ve teknik nüansları kapsamaktadır; henüz selefiyle aynı tam güveni uyandırmıyor.

2000 yılında Matematik Enstitüsü adını almıştır. Cambridge, Massachusetts'teki Clay, biri Poincaré varsayımı olarak kabul edilen yedi Milenyum Sorununun her birini kanıtlamak için 1 milyon dolarlık bir ödül belirledi. Bir bilim insanının ödül talep edebilmesi için, kanıtının yayınlanması ve iki yıl boyunca dikkatle incelenmesi gerekir.

Perelman'ın çalışması 90'lı yıllarda yürütülen araştırma programını genişletiyor ve tamamlıyor. Geçen yüzyılda Columbia Üniversitesi'nden Richard S. Hamilton tarafından. 2003 yılı sonunda çalışmalar Amerikalı matematikçi Clay Enstitüsü Ödülü'ne layık görüldü. Perelman, Hamilton'un baş edemediği bir takım engelleri zekice aşmayı başardı.

Aslına bakılırsa Perelman'ın doğruluğunu henüz kimsenin sorgulayamadığı kanıtı, Poincaré varsayımından çok daha geniş bir yelpazedeki sorunları çözüyor. Cornell Üniversitesi'nden William P. Thurston tarafından önerilen geometrileştirme prosedürü, olağanüstü basitliğiyle benzersiz olan 3-küreyi temel alan 3-manifoldların tam bir sınıflandırmasına olanak tanır. Poincaré varsayımı yanlış olsaydı; Eğer küre kadar basit birçok uzay olsaydı, 3-manifoldların sınıflandırılması sonsuz derecede daha karmaşık bir şeye dönüşürdü. Perelman ve Thurston sayesinde, Evrenimizin alabileceği üç boyutlu uzayın matematiksel olarak mümkün olan tüm formlarının tam bir kataloğuna sahibiz (eğer zamansız yalnızca uzayı düşünürsek).

Kauçuk simitler

Poincaré varsayımını ve Perelman'ın kanıtını daha iyi anlamak için topolojiye daha yakından bakmalısınız. Matematiğin bu dalında, bir nesnenin şeklinin hiçbir önemi yoktur; sanki herhangi bir şekilde gerilebilen, sıkıştırılabilen ve bükülebilen bir hamurdan yapılmış gibi. Hayali hamurdan yapılmış şeyleri veya mekanları neden düşünmeliyiz? Gerçek şu ki, bir nesnenin tam şekli - tüm noktaları arasındaki mesafe - geometri adı verilen yapısal bir seviyeye atıfta bulunur. Topologlar, bir testten elde edilen bir nesneyi inceleyerek onun geometrik yapıya bağlı olmayan temel özelliklerini belirler. Topolojiyi incelemek, herhangi bir kişiye dönüştürülebilen "hamuru adama" bakarak insanların sahip olduğu en yaygın özellikleri aramaya benzer.

Popüler edebiyatta genellikle topolojik açıdan bakıldığında bir bardağın çörekten farklı olmadığına dair basmakalıp bir ifade vardır. Gerçek şu ki, bir bardak hamur, malzemenin basitçe ezilmesiyle çörek haline getirilebilir, yani. hiçbir şeyi kör etmeden veya delik açmadan (bkz. YÜZEY TOPOLOJİSİ). Öte yandan, toptan çörek yapmak için mutlaka içine bir delik açmanız veya silindir şeklinde yuvarlayıp uçlarını kalıplamanız gerekir, bu nedenle top hiç de çörek değildir.

Topologlar en çok küre ve halka yüzeylerle ilgilenirler. Bu nedenle katı cisimler yerine balonları hayal etmelisiniz. Topolojileri hala farklıdır çünkü küresel bir balon, simit adı verilen halka şeklindeki bir balona dönüştürülemez. İlk olarak bilim insanları, farklı topolojilere sahip kaç nesnenin mevcut olduğunu ve bunların nasıl karakterize edilebileceğini bulmaya karar verdiler. Yüzey olarak adlandırmaya alışkın olduğumuz 2-manifoldlar için cevap zarif ve basittir: her şey “deliklerin” sayısına veya aynı anlama gelen tutamaçların sayısına göre belirlenir (bkz. YÜZEYLERİN TOPOLOJİSİ). 19. yüzyılın sonu. matematikçiler yüzeyleri nasıl sınıflandıracaklarını buldular ve bunların en basitinin küre olduğunu belirlediler. Doğal olarak topologlar 3-manifoldlar hakkında düşünmeye başladılar: 3-küre basitliği bakımından benzersiz midir? Cevap arayışının yüzyıllık geçmişi yanlış adımlarla ve kusurlu kanıtlarla doludur.

Henri Poincaré bu konuyu yakından ele aldı. 20. yüzyılın başlarındaki en güçlü iki matematikçiden biriydi. (diğeri David Gilbert'ti). Son evrenselci olarak adlandırıldı - hem saf hem de uygulamalı matematiğin tüm alanlarında başarıyla çalıştı. Buna ek olarak Poincaré, gök mekaniğinin gelişimine, elektromanyetizma teorisine ve hakkında birçok popüler kitap yazdığı bilim felsefesine büyük katkılarda bulundu.

Poincaré cebirsel topolojinin kurucusu oldu ve onun yöntemlerini kullanarak 1900'de bir nesnenin homotopi adı verilen topolojik özelliğini formüle etti. Bir manifoldun homotopisini belirlemek için, zihinsel olarak kapalı bir döngüyü içine daldırmanız gerekir (bkz. YÜZEYLERİN TOPOLOJİSİ). O zaman döngüyü manifoldun içinde hareket ettirerek bir noktaya kadar daraltmanın her zaman mümkün olup olmadığını öğrenmelisiniz. Bir simit için cevap olumsuz olacaktır: Eğer simitin çevresine bir ilmek yerleştirirseniz, onu bir noktaya kadar sıkamazsınız çünkü çörek “deliği” yolunuza çıkacak. Homotopi, bir döngünün daralmasını engelleyebilecek farklı yolların sayısıdır.

KÜRELERİN ÇOK BOYUTLU MÜZİĞİ

3 küreyi hayal etmek o kadar kolay değil. Yüksek boyutlu uzaylarla ilgili teoremleri kanıtlayan matematikçiler, çalışmanın nesnesini hayal etmek zorunda değildir: daha az boyuta sahip analojilere dayanan sezgilerin rehberliğinde soyut özelliklerle uğraşırlar (bu tür analojiler dikkatle ele alınmalı ve kelimenin tam anlamıyla alınmamalıdır). Daha az boyutlu nesnelerin özelliklerini temel alarak 3-küreyi de ele alacağız.

1. Bir daireye ve onu çevreleyen daireye bakarak başlayalım. Matematikçiler için daire iki boyutlu bir top, daire ise tek boyutlu bir küredir. Ayrıca, herhangi bir boyuttaki bir top, karpuzu anımsatan dolu bir nesnedir ve yüzeyi, daha çok bir balona benzeyen bir küredir. Bir daire tek boyutludur çünkü üzerindeki bir noktanın konumu tek bir sayı ile belirlenebilir.

2. İki daireden birini Kuzey Yarımküre'ye, diğerini Güney Yarımküre'ye çevirerek iki boyutlu bir küre oluşturabiliriz. Geriye kalan tek şey onları birbirine yapıştırmak ve 2'li küre hazır.

3. Kuzey Kutbu'ndan, ana ve 180. meridyenlerin (solda) oluşturduğu büyük bir daire boyunca sürünen bir karınca hayal edelim. Yolunu iki orijinal dairenin (sağda) üzerine haritalarsak, böceğin düz bir çizgide (1) kuzey dairenin (a) kenarına doğru ilerlediğini, sonra sınırı geçtiğini ve sonunda karşılık gelen nokta güney dairesi ve düz bir çizgiyi (2 ve 3) takip etmeye devam edin. Daha sonra karınca tekrar kenara (b) ulaşır, onu geçer ve kendisini tekrar kuzey çemberinde bulur ve başlangıç ​​​​noktasına - Kuzey Kutbu'na (4) doğru koşar. Lütfen şunu unutmayın: dünyayı turlamak 2-küre boyunca, bir daireden diğerine geçerken hareketin yönü tersine değişir.

4. Şimdi 2-küremizi ve içerdiği hacmi (üç boyutlu bir top) düşünün ve onlarla bir daire ve daire ile aynı şeyi yapın: topun iki kopyasını alın ve sınırlarını birbirine yapıştırın. Topların dört boyutta nasıl çarpıtıldığını ve bir yarım küre analoğuna dönüştüğünü açıkça göstermek imkansızdır ve gerekli değildir. Yüzeylerdeki karşılık gelen noktaların, yani. 2-küreler birbirine dairelerde olduğu gibi bağlanır. İki topun bağlanmasının sonucu 3 küredir - dört boyutlu bir topun yüzeyi. (Bir 3 küre ve bir 4 topun bulunduğu dört boyutta cismin yüzeyi üç boyutludur.) Toplardan birine kuzey yarım küre, diğerine de güney yarım küre diyelim. Dairelere benzetilerek, kutuplar artık topların merkezlerinde yer alıyor.

5. Söz konusu topların uzayın büyük boş bölgeleri olduğunu hayal edin. Diyelim ki bir astronot Kuzey Kutbu'ndan bir roketle yola çıkıyor. Zamanla artık kuzey topunu çevreleyen bir küre haline gelen ekvatora (1) ulaşır. Roket onu geçerek güney yarımküreye girer ve merkezi - Güney Kutbu - boyunca ekvatorun karşı tarafına (2 ve 3) doğru düz bir çizgide hareket eder. Orada kuzey yarımküreye geçiş yeniden gerçekleşir ve gezgin Kuzey Kutbu'na döner, yani. başlangıç ​​noktasına (4) gidin. 4 boyutlu bir topun yüzeyinde dünyayı dolaşmanın senaryosu bu! Ele alınan üç boyutlu küre, Poincaré varsayımında bahsedilen alandır. Belki de Evrenimiz tam olarak 3 kürelidir.
Mantık beş boyuta genişletilebilir ve 4'lü bir küre oluşturulabilir, ancak bunu hayal etmek son derece zordur. Eğer iki n-topu onları çevreleyen (n-1)-küreler boyunca yapıştırırsanız, (n+1)-topunu sınırlayan bir n-küre elde edersiniz.

N-küresinde, herhangi bir döngü, karmaşık bir şekilde bükülmüş olsa bile, her zaman çözülebilir ve bir noktaya kadar çekilebilir. (Döngünün kendi içinden geçmesine izin verilir.) Poincaré, herhangi bir döngünün bir noktaya kadar daraltılabileceği tek 3-manifoldun 3-küre olduğunu varsaydı. Ne yazık ki daha sonra Poincaré varsayımı olarak anılacak olan varsayımını hiçbir zaman kanıtlayamadı. Geçtiğimiz yüzyıl boyunca pek çok kişi kanıtın kendi versiyonunu sundu, ancak bunun yanlış olduğuna ikna olmak için. (Açıklama kolaylığı için iki özel durumu ihmal ediyorum: yönlendirilemeyen manifoldlar ve kenarları olan manifoldlar. Örneğin, içinden bir parçası kesilmiş bir kürenin bir kenarı vardır ve bir Möbius döngüsünün yalnızca kenarları yoktur. , ancak aynı zamanda yönlendirilemez.)

geometrileştirme

Perelman'ın 3-manifold analizi geometrileştirme prosedürüyle yakından ilgilidir. Geometri, artık hamurdan değil seramikten yapılmış nesnelerin ve manifoldların gerçek şekliyle ilgilenir. Örneğin, bir fincan ve bir çörek geometrik olarak farklıdır çünkü yüzeyleri farklı şekilde kavislidir. Bir fincan ve bir çörekin, farklı geometrik şekiller verilen topolojik torusun iki örneği olduğu söylenir.

Perelman'ın neden geometrileştirmeyi kullandığını anlamak için 2-manifoldların sınıflandırmasını düşünün. Her topolojik yüzeye, eğriliği manifold boyunca eşit olarak dağıtılan benzersiz bir geometri atanır. Örneğin bir küre için bu mükemmel küresel bir yüzeydir. Topolojik küre için başka bir olası geometri bir yumurtadır, ancak eğriliği her yere eşit olarak dağılmamıştır: keskin uç, kör uçtan daha kavislidir.

2-manifoldlar üç geometrik tip oluşturur (bkz. GEOMETRİZASYON). Küre pozitif eğrilik ile karakterize edilir. Geometrili bir torus düzdür ve sıfır eğriliğe sahiptir. İki veya daha fazla "deliğe" sahip diğer tüm 2-manifoldlar negatif eğriliğe sahiptir. Önde ve arkada yukarıya, sola ve sağa doğru aşağıya doğru kıvrılan eyere benzer bir yüzeye karşılık gelirler. Poincaré, 2-manifoldların bu geometrik sınıflandırmasını (geometrizasyonunu), Klein şişesine adını veren Paul Koebe ve Felix Klein ile birlikte geliştirdi.

Benzer bir yöntemin 3-manifoldlara uygulanması yönünde doğal bir istek vardır. Her biri için eğriliğin tüm çeşit boyunca eşit şekilde dağıtılacağı benzersiz bir konfigürasyon bulmak mümkün müdür?

3-manifoldların iki boyutlu benzerlerinden çok daha karmaşık olduğu ve çoğuna homojen bir geometri atanamayacağı ortaya çıktı. Sekiz kanonik geometriden birine karşılık gelen parçalara bölünmelidirler. Bu prosedür, bir sayıyı asal çarpanlara ayırma işlemini anımsatmaktadır.

YÜZEY TOPOLOJİSİ

TOPOLOJİDE tam biçim, yani. geometri konu dışıdır: nesneler sanki hamurdan yapılmış gibi ele alınır ve gerilebilir, sıkıştırılabilir ve bükülebilir. Ancak hiçbir şey kesilemez veya yapıştırılamaz. Dolayısıyla, kahve fincanı (solda) gibi tek delikli herhangi bir nesne, çörek veya torusa (sağda) eşdeğerdir.

HERHANGİ BİR İKİ BOYUTLU manifold veya yüzey (yönlendirilebilir kompakt nesnelerle sınırlı), küreye (a) tutacaklar eklenerek yapılabilir. Birini yapıştıralım ve 1. türden bir yüzey yapalım, yani. bir simit veya çörek (sağ üst), ikincisini ekleyin - 2. türden bir yüzey elde ederiz (b), vb.

2-kürenin yüzeyler arasındaki benzersizliği, içine yerleştirilmiş herhangi bir kapalı döngünün (a) noktasına kadar daraltılabilmesidir. Simit üzerinde bu durum orta delik (b) ile önlenebilir. 2 küre dışındaki tüm yüzeylerde ilmeğin sıkışmasını önleyen tutma yerleri bulunur. Poincaré, 3-kürenin üç boyutlu manifoldlar arasında benzersiz olduğunu öne sürdü: herhangi bir döngü yalnızca onun üzerinde bir noktaya kadar daraltılabilir.

Bu sınıflandırma prosedürü ilk olarak 70'lerin sonlarında Thurston tarafından önerildi. geçen yüzyıl. Meslektaşlarıyla birlikte bunların çoğunu doğruladı, ancak bazılarının kanıtı da anahtar noktaları(Poincaré varsayımı dahil) onların gücünün ötesinde olduğu ortaya çıktı. 3-küre benzersiz midir? Bu sorunun güvenilir cevabı ilk olarak Perelman'ın makalelerinde ortaya çıktı.

Bir manifold nasıl geometrilendirilebilir ve her yerde düzgün bir eğriliğe sahip olabilir? Çeşitli çıkıntılara ve girintilere sahip bazı keyfi geometriler almanız ve ardından tüm düzensizlikleri düzeltmeniz gerekir. 90'ların başında. XX yüzyıl Hamilton, adını matematikçi Gregorio Ricci-Curbastro'dan alan Ricci akış denklemini kullanarak 3-manifoldları analiz etmeye başladı. Bu, eşit olmayan şekilde ısıtılan bir gövdede, sıcaklığı her yerde aynı oluncaya kadar akan ısı akışlarını tanımlayan ısı iletim denklemine biraz benzer. Aynı şekilde, Ricci akış denklemi manifoldun eğriliğinde tüm çıkıntıların ve girintilerin hizalanmasına yol açan bir değişikliği belirtir. Örneğin bir yumurtayla başlarsanız yavaş yavaş küresel hale gelecektir.

GEOMETRİZASYON

2-manifoldları SINIFLANDIRMAK İÇİN tekdüzeleştirme veya geometrileştirmeyi kullanabilirsiniz: onlara belirli bir geometri, katı bir form atayın. Özellikle her manifold, eğriliği eşit şekilde dağıtılacak şekilde dönüştürülebilir. Küre (a), sürekli pozitif eğriliğe sahip benzersiz bir şekildir: her yeri bir tepenin tepesi gibi kavislidir. Simit (b) düz yapılabilir, yani. her yerde sıfır eğriliğe sahip. Bunu yapmak için kesmeniz ve düzeltmeniz gerekir. Ortaya çıkan silindir uzunlamasına kesilmeli ve dikdörtgen bir düzlem oluşturacak şekilde açılmalıdır. Başka bir deyişle, bir torusun bir düzlem üzerine eşlenmesi mümkündür. Tip 2 ve üzeri (c) yüzeylere sabit bir negatif eğrilik verilebilir ve geometrileri tutamaç sayısına bağlı olacaktır. Aşağıda sabit negatif eğriliğe sahip eyer şeklinde bir yüzey bulunmaktadır.

3-ÇEŞİTLERİN SINIFLANDIRILMASI çok daha zordur. 3-manifoldun her biri sekiz kanonik 3 boyutlu geometriden birine dönüştürülebilen parçalara bölünmesi gerekir. Aşağıdaki örnek (basitlik açısından 2-manifoldlu olarak gösterilmiştir) mavi renkli) sabit pozitif (a), sıfır (b) ve sabit negatif (c) eğriliğe sahip 3 geometriden ve ayrıca 2 küre ve bir dairenin (d) “ürünlerinden” ve negatif eğriliğe sahip bir yüzeyden oluşur ve bir daire (e).

Bununla birlikte Hamilton bazı zorluklarla karşılaştı: bazı durumlarda Ricci akışı manifoldun sıkışmasına ve sonsuz ince bir boyun oluşumuna yol açar. (Bu, ısı akışından farklıdır: sıkışma noktalarında sıcaklık sonsuz derecede yüksek olacaktır.) Bir örnek, dambıl şeklindeki bir manifolddur. Küreler, ortadaki bir noktaya doğru sivrilen köprüden malzeme çekerek büyür (bkz. SAVAŞ ÖZELLİKLERİ). Başka bir durumda, manifolddan ince bir çubuk çıktığında, Ricci akışı puro şeklindeki tekilliğin ortaya çıkmasına neden olur. Düzenli bir 3-manifoldda, herhangi bir noktanın komşuluğu sıradan üç boyutlu uzayın bir parçasıdır ve bu, tekil sıkışma noktaları hakkında söylenemez. Bir Rus matematikçinin çalışması bu zorluğun aşılmasına yardımcı oldu.

Perelman, 1992 yılında doktora tezini savunduktan sonra Amerika Birleşik Devletleri'ne geldi ve Stony Brook'taki New York Eyalet Üniversitesi'nde birkaç dönem ve ardından Berkeley'deki California Üniversitesi'nde iki yıl geçirdi. Kısa sürede yükselen bir yıldız olarak ün kazandı ve geometrinin dallarından birinde birçok önemli ve derin sonuçlar elde etti. Perelman, Avrupa Matematik Derneği'nden bir ödül aldı (bunu reddetti) ve Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde konuşma yapmak üzere prestijli bir davet aldı (bunu kabul etti).

1995 baharında kendisine birçok önde gelen matematik kurumundan pozisyon teklif edildi, ancak o doğduğu yer olan St. Petersburg'a dönmeyi seçti ve esasen gözden kayboldu. Uzun yıllar boyunca faaliyetinin tek göstergesi, eski meslektaşlarına yazdıkları makalelerde yapılan hataları belirten mektuplardı. Kendi eserlerinin durumuna ilişkin sorular yanıtsız kaldı. Ve 2002'nin sonunda, birkaç kişi Perelman'dan bir matematik sunucusuna gönderdiği bir makale hakkında bilgi veren bir e-posta aldı. Böylece Poincaré varsayımına saldırmaya başladı.

ÖZELLİKLERLE MÜCADELE

KULLANMAYA ÇALIŞIYORUZ Poincaré varsayımını ve 3-manifoldların geometrisini kanıtlamak için Ricci akış denklemini kullanan bilim insanları, Grigory Perelman'ın üstesinden gelmeyi başardığı zorluklarla karşılaştı. 3-manifoldun şeklini kademeli olarak değiştirmek için Ricci akışını kullanmak bazen tekilliklerle sonuçlanır. Örneğin, bir nesnenin bir kısmı dambıl (a) şekline sahip olduğunda, küreler arasındaki tüp, manifoldun (b) özelliklerini ihlal ederek bir nokta bölümüne sıkışabilir. Ayrıca puro şekli denilen özelliğin ortaya çıkması da mümkün.

PERELMAN GÖSTERDİ, özellikler üzerinde “ameliyatlar” yapılabileceği belirtiliyor. Manifold sıkışmaya başladığında, daralma noktasının (c) her iki yanından küçük bölümler kesin, kesme noktalarını küçük kürelerle örtün ve ardından tekrar Ricci akışını kullanın (d). Sıkışma tekrar meydana gelirse prosedür tekrarlanmalıdır. Perelman ayrıca puro şeklindeki özelliğin hiçbir zaman ortaya çıkmadığını da kanıtladı.

Perelman, Ricci'nin akış denklemine yeni bir terim ekledi. Bu değişiklik tuhaflık sorununu ortadan kaldırmadı ancak çok daha derinlemesine analize olanak sağladı. Bir Rus bilim adamı, dambıl şeklindeki bir manifold üzerinde "cerrahi" bir operasyonun gerçekleştirilebileceğini gösterdi: ortaya çıkan daralmanın her iki yanından ince bir tüp kesin ve toplardan çıkıntı yapan açık tüpleri küresel kapaklarla kapatın. Daha sonra "işletilen" manifoldu Ricci akış denklemine uygun olarak değiştirmeye devam edilmeli ve yukarıdaki prosedür ortaya çıkan tüm daralmalara uygulanmalıdır. Perelman ayrıca puro şeklindeki özelliklerin ortaya çıkamayacağını da gösterdi. Böylece herhangi bir 3-manifold, homojen geometriye sahip bir parça kümesine indirgenebilir.

Ricci aktığında ve " ameliyat" olası tüm 3-manifoldlara uygulanır; bunlardan herhangi biri, 3-küre kadar basitse (başka bir deyişle aynı homotopi ile karakterize edilirse), zorunlu olarak 3-küre ile aynı homojen geometriye indirgenir. Bu, topolojik açıdan bakıldığında söz konusu manifoldun 3-küre olduğu anlamına gelir. Bu nedenle 3-küre benzersizdir.

Perelman'ın makalelerinin değeri yalnızca Poincaré varsayımının kanıtlanmasında değil, aynı zamanda yeni analiz yöntemlerinde de yatmaktadır. Dünyanın dört bir yanındaki bilim insanları, Rus matematikçinin elde ettiği sonuçları şimdiden çalışmalarında kullanıyor ve geliştirdiği yöntemleri başka alanlarda da uyguluyor. Ricci akışının, parçacık çarpışma enerjisine bağlı olarak etkileşimlerin gücünün nasıl değiştiğini belirleyen, renormalizasyon grubu adı verilen grupla ilişkili olduğu ortaya çıktı. Örneğin, düşük enerjilerde elektromanyetik etkileşimin gücü 0,0073 (yaklaşık 1/137) sayısıyla karakterize edilir. Ancak iki elektron neredeyse ışık hızında kafa kafaya çarpıştığında kuvvet 0,0078'e yaklaşır. Fiziksel kuvvetlerdeki değişimi açıklayan matematik, manifoldların geometrisini açıklayan matematiğe çok benzer.

Çarpışma enerjisini arttırmak, kuvveti daha küçük mesafelerde incelemeye eşdeğerdir. Bu nedenle, renormalizasyon grubu değişken büyütme faktörüne sahip bir mikroskoba benzer ve bu da süreci çalışmanıza olanak tanır. farklı seviyeler detaylandırma. Benzer şekilde, Ricci akışı manifoldları görüntülemek için kullanılan bir mikroskoptur. Bir büyütmede görülebilen çıkıntılar ve çöküntüler diğerinde kaybolur. Planck uzunluk ölçeğinde (yaklaşık $10^(–35)$ m) içinde yaşadığımız alanın karmaşık bir topolojik yapıya sahip köpük gibi görünmesi muhtemeldir (bkz. “Uzay ve Zamanın Atomları”, “Dünyada Bilim”, Sayı 4, 2004). Ayrıca yerçekiminin özelliklerini ve Evrenin büyük ölçekli yapısını açıklayan genel görelilik denklemleri Ricci akış denklemiyle yakından ilişkilidir. Paradoksal olarak, Hamilton'un kullandığı ifadeye Perelman'ın eklediği terim, yerçekiminin kuantum teorisi olduğunu iddia eden sicim teorisinden kaynaklanmaktadır. Rus matematikçinin makalelerinde bilim adamlarının yalnızca soyut 3-manifoldlar hakkında değil, aynı zamanda içinde yaşadığımız uzay hakkında da çok daha yararlı bilgiler bulmaları mümkündür.

Graham P. Collins, Ph.D., Scientific American'da editördür. Poincaré teoremi hakkında daha fazla bilgiye www.sciam.com/ontheweb adresinden ulaşabilirsiniz.

EK LİTERATÜR:

1. 99 Yıl Sonra Poincare Varsayımı: Bir İlerleme Raporu. John W. Milnor. Şubat 2003. www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf adresinde mevcuttur.
2. Jules Henri Poincare' (biyografi). Ekim 2003. www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html adresinde mevcuttur.
3. Milenyum Sorunları. Clay Matematik Enstitüsü: www.claymath.org/millennium/
4. Perelman'ın Ricci akış kağıtları üzerine notlar ve yorumlar. Bruce Kleiner ve John Lott tarafından derlenmiştir. www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html adresinde mevcuttur.
5. Topoloji. Mathworld-A Wolfram Web Kaynağında Eric W. Weisstein. Mevcut

Poincare'nin hipotezi ve Rus zihniyetinin özellikleri.

Kısacası: Henüz 40 yaşında olan işsiz bir profesör, insanlığın en zor 7 probleminden birini çözmüş, annesiyle birlikte şehrin eteklerinde bir panel evde yaşıyor ve tüm matematikçilerin kazandığı ödülü almak yerine dünya hayalinde ve üstelik bir milyon dolarda mantar toplamayı bıraktı ve ondan kendisini rahatsız etmemesini istedi.

Ve şimdi daha ayrıntılı olarak:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

Guardian gazetesinin haberine göre, Poincaré varsayımını kanıtlayan Grigory Perelman, bu başarısından dolayı kendisine verilen çok sayıda ödülü ve nakit ödülü reddetti. Kanıtların neredeyse dört yıl süren kapsamlı incelemesinden sonra bilim topluluğu Perelman'ın çözümünün doğru olduğu sonucuna vardı.

Poincaré varsayımı, her birinin çözümü için Clay Matematik Enstitüsü'nün birer milyon dolarlık ödül verdiği "milenyumun" yedi en önemli matematik probleminden biridir. Bu nedenle Perelman'ın da bir ödül alması gerekir. Bilim adamı iletişim kurmuyor. Basınla ancak gazetenin bu parayı almak istemediği biliniyor.Matematikçiye göre ödülü veren komite onun çalışmalarını değerlendirecek kadar nitelikli değil.

Profesyonel topluluk, Perelman'ın alışılmadık davranışının başka bir nedenini şaka yollu bir şekilde "St. Petersburg'da bir milyon dolara sahip olmak güvenli değil" diye öne sürüyor. Oxford Üniversitesi matematik profesörü Nigel Hitchin gazeteye bunu anlattı.

Söylentilere göre önümüzdeki hafta Perelman'ın bu alanda en prestijli uluslararası Fields Madalyası'na layık görüldüğü, çok değerli bir madalya ve Parasal ödül. Fields Madalyası Nobel Ödülü'nün matematiksel eşdeğeri olarak kabul edilir. Her dört yılda bir Uluslararası Matematik Kongresi'nde verilmektedir ve ödülü kazananların 40 yaşından büyük olmaması gerekmektedir. 2006 yılında 40 yaşına girecek ve bu ödülü alma şansını kaybedecek olan Perelman, bu ödülü de kabul etmek istemiyor.

Perelman'ın resmi etkinliklerden kaçındığı ve beğenilmekten hoşlanmadığı uzun zamandır biliniyor. Ancak mevcut durumda bilim insanının davranışı koltukta oturan bir teorisyenin tuhaflığının ötesine geçiyor. Perelman akademik çalışmalarını çoktan bıraktı ve profesörlük görevlerini yerine getirmeyi reddediyor. Artık hayatının işi olan matematiğe yaptığı hizmetlerin tanınmasından saklanmak istiyor.

Grigory Perelman sekiz yıl boyunca Poincaré teoreminin ispatı üzerinde çalıştı. 2002 yılında Los Alamos Bilimsel Laboratuvarı ön baskı web sitesinde soruna bir çözüm yayınladı. Şimdiye kadar çalışmalarını hakemli bir dergide hiç yayınlamamıştı ki bu, çoğu ödülün ön koşuludur.

Perelman, Sovyet eğitiminin ürünlerinin standart bir örneği olarak düşünülebilir. 1966 yılında Leningrad'da doğdu. Halen bu şehirde yaşıyor. Perelman, 239 numaralı özel okulda derinlemesine matematik çalışmasıyla okudu. Sayısız olimpiyat kazandı. Leningrad Devlet Üniversitesi'nde matematik ve mekanik derslerine sınavsız kaydoldum. Lenin bursu aldı. Üniversiteden sonra V.A. Steklov Matematik Enstitüsü'nün Leningrad şubesinde yüksek lisans okuluna girdi ve burada çalışmaya devam etti. Seksenlerin sonunda Perelman ABD'ye taşındı, çeşitli üniversitelerde ders verdi ve ardından eski yerine döndü.

Kont Muravyov'un Matematik Enstitüsü'nün bulunduğu Fontanka'daki St. Petersburg konağının durumu, Perelman'ın gümüş eksikliğini özellikle yetersiz kılıyor. Bina, İzvestia gazetesinin haberine göre her an çöküp nehre düşebilir.Bilgisayar ekipmanının (matematikçilerin ihtiyaç duyduğu tek ekipman) alımı hala çeşitli hibelerle finanse edilebilir, ancak hayır kurumları buna hazır değil tarihi binanın restorasyonu için ödeme yapmak.

==========================

http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

En zor bilimsel hipotezlerden biri olan Poincaré teoremini kanıtlayan keşiş bir matematikçi, problemin kendisinden daha az gizemli değildir.

Onun hakkında çok az şey biliniyor. Enstitüye okul olimpiyatlarının sonuçlarına göre girdim ve Lenin bursu aldım. St.Petersburg 239 numaralı özel okulunda, ünlü “Eğlenceli Fizik” ders kitabının yazarı Yakov Perelman'ın oğlu olarak anılıyor. Grisha Perelman'ın fotoğrafı - Lobachevsky ve Leibniz ile birlikte büyüklerin yönetim kurulunda.

Fizik ve Matematik Lisesi 239'un müdürü öğretmeni Tamara Efimova, Kanal One ile yaptığı röportajda "O kadar mükemmel bir öğrenciydi ki, sadece beden eğitiminde... Aksi takdirde madalya olurdu" diye hatırlıyor.

O her zaman saf bilimden yanaydı, formalitelere karşıydı; bunlar, Perelman'ın sekiz yıllık araştırması boyunca iletişim halinde kaldığı az sayıdaki öğretmenden biri olan eski okul öğretmeninin sözleriydi. Kendisinin de söylediği gibi, matematikçi makaleler ve raporlar yazmak zorunda kaldığı için işinden ayrılmak zorunda kaldı ve Poincare tüm zamanını harcadı. Matematik her şeyden önce gelir.

Perelman hayatının sekiz yılını çözülemeyen yedi matematik probleminden birini çözerek geçirdi. Tavan arasında bir yerde gizlice tek başına çalışıyordu. Evde geçimini sağlamak için Amerika'da ders verdi. Kendisini asıl amaçtan uzaklaştıran, çağrılara cevap vermeyen ve basınla iletişim kuramayan bir işten ayrıldı.

Çözülemeyen yedi matematik probleminden birini çözenlere bir milyon dolar ödül veriliyor; bu, matematikçiler için Nobel ödülü olan Fields Madalyası. Grigory Perelman, onu almanın ana adayı oldu.

Bilim adamı bunu biliyor, ancak görünüşe göre parasal tanınmayla açıkça ilgilenmiyor. Meslektaşlarına göre ödül için belge bile sunmamıştı.

Rusya Bilimler Akademisi akademisyeni İldar Ibragimov, "Anladığım kadarıyla Grigory Yakovlevich'in kendisi bir milyonu hiç umursamıyor" diyor ve şöyle devam ediyor: "Aslında bu sorunları çözebilen insanlar çoğunlukla çalışmayan insanlardır. Bu para yüzünden onlar tamamen farklı bir şey için endişelenecekler."

Perelman, Poincaré varsayımı üzerine çalışmasını yalnızca üç yıl önce internette yayınladı. Büyük olasılıkla bir çalışma bile değil, 39 sayfalık bir taslak. Ayrıntılı kanıtlarla daha ayrıntılı bir rapor yazmayı kabul etmiyor. Perelman'ı bulmak için özel olarak St. Petersburg'a gelen Dünya Matematik Derneği'nin başkan yardımcısı bile bunu başaramadı.

Geçtiğimiz üç yıl boyunca Fields Ödülü düzenlemelerinin gerektirdiği şekilde Perelman'ın hesaplamalarında hiç kimse bir hata bulamadı. Q.E.D.

==============================

http://elementy.ru/news/430288

Poincaré varsayımını kanıtlama süreci görünüşe göre artık son aşamasına giriyor. Üç grup matematikçi nihayet Grigory Perelman'ın fikirlerini çözdüler ve geçtiğimiz birkaç ay içinde bu hipotezin tam kanıtını sunan versiyonlarını sundular.

Poincaré tarafından 1904'te formüle edilen bir varsayım, dört boyutlu uzayda homotopik olarak bir küreye eşdeğer olan tüm üç boyutlu yüzeylerin ona homeomorfik olduğunu belirtir. Konuşuyorum basit kelimelerle, eğer üç boyutlu bir yüzey bir şekilde küreye benziyorsa, o zaman düzleştirilirse yalnızca küre haline gelebilir, başka hiçbir şey olamaz. Bu varsayım ve kanıtlarının tarihçesi hakkında ayrıntılar için Computerra dergisindeki 2000 yılının Sorunları: Poincaré'nin varsayımı adlı popüler makaleyi okuyun.

Poincaré varsayımının kanıtı için Matematik Enstitüsü. Clay'e bir milyon dolarlık bir ödül verildi, bu şaşırtıcı görünebilir: Sonuçta çok özel, ilginç olmayan bir gerçekten bahsediyoruz. Aslında matematikçiler için önemli olan üç boyutlu yüzeyin özellikleri değil, ispatın zor olmasıdır. Bu problem, önceden var olan geometri ve topoloji fikirleri ve yöntemleri kullanılarak kanıtlanamayan şeyleri konsantre bir biçimde formüle eder. Yalnızca "yeni neslin" fikirlerinin yardımıyla çözülebilecek sorunlar katmanına daha derin bir düzeyde bakmanıza olanak tanır.

Fermat teoreminde olduğu gibi, Poincaré varsayımının, keyfi üç boyutlu yüzeylerin geometrik özellikleri hakkında çok daha genel bir ifadenin özel bir durumu olduğu ortaya çıktı - Thurston'un Geometrileştirme Varsayımı. Bu nedenle, matematikçilerin çabaları amaçlanmamıştı. Bu özel durumu çözmek değil, bu tür problemlerle başa çıkabilecek yeni bir matematiksel yaklaşım oluşturmaktır.

Bu buluş 2002-2003'te Rus matematikçi Grigory Perelman tarafından gerçekleştirildi. Math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245 adlı üç makalesinde bir takım yeni fikirler öne sürerek 1980'lerde Richard Hamilton tarafından önerilen yöntemi geliştirdi ve tamamladı. Perelman, eserlerinde kurduğu teorinin sadece Poincaré varsayımını değil aynı zamanda geometrileşme hipotezini de kanıtlamayı mümkün kıldığını iddia ediyor.

Yöntemin özü, geometrik nesneler için, teorik fizikteki renormalizasyon grubu denklemine benzer şekilde, bazı "düzgün evrim" denklemlerini tanımlamanın mümkün olmasıdır. Başlangıçtaki yüzey bu evrim sırasında deforme olacak ve Perelman'ın gösterdiği gibi sonunda düzgün bir şekilde küreye dönüşecek. Bu yaklaşımın gücü, tüm ara anları atlayarak, evrimin en sonundaki "sonsuzluğa" hemen bakabilmeniz ve orada bir küre keşfedebilmenizdir.

Perelman'ın çalışmaları entrikanın başlangıcı oldu. Makalelerinde geliştirdiği genel teori ve yalnızca Poincaré varsayımının değil aynı zamanda geometri hipotezinin ispatının kilit noktalarını özetledi. Perelman her iki hipotezi de kanıtladığını iddia etse de tüm ayrıntılarıyla tam bir kanıt sunmadı. Yine 2003 yılında Perelman bir dizi konferansla Amerika Birleşik Devletleri'ni gezdi ve bu sırada dinleyicilerden gelen teknik soruları açık ve ayrıntılı bir şekilde yanıtladı.

Perelman'ın ön baskılarının yayınlanmasının hemen ardından uzmanlar teorisinin kilit noktalarını kontrol etmeye başladı ve henüz tek bir hata bulunamadı. Dahası, geçtiğimiz yıllarda birkaç matematikçi ekibi Perelman'ın önerdiği fikirleri o kadar özümsedi ki, ispatın tamamını "açık bir biçimde" yazmaya başladılar.

Mayıs 2006'da, B. Kleiner, J. Lott'un, math.DG/0605667 adlı bir makalesi yayınlandı; burada Perelman'ın kanıtında ihmal edilen noktaların ayrıntılı bir şekilde çıkarımı yapıldı. (Bu arada, bu yazarların Perelman'ın makalelerine ve ilgili çalışmalarına ayrılmış bir web sayfası vardır.)

Daha sonra Haziran 2006'da Asya Matematik Dergisi, Çinli matematikçiler Huai-Dong Cao ve Xi-Ping Zhu tarafından yazılan "Poincaré ve geometrizasyon varsayımlarının tam bir kanıtı - Ricci'nin Hamilton-Perelman teorisinin bir uygulaması" başlıklı 327 sayfalık bir makale yayınladı. akıyor." Yazarların kendileri tamamen yeni bir kanıta sahip olduklarını iddia etmiyorlar, yalnızca Perelman'ın yaklaşımının gerçekten işe yaradığını iddia ediyorlar.

Son olarak, geçen gün J. W. Morgan, G. Tian, ​​​​math.DG/0607607 tarafından yazılan 473 sayfalık bir makale (yoksa zaten bir kitap mı?) çıktı; burada yazarlar, Perelman'ın izinden giderek kendi fikirlerini sundular. Poincaré varsayımının kanıtı (ve daha genel geometrileşme hipotezinin değil). John Morgan bu sorunun ana uzmanlarından biri olarak kabul ediliyor ve çalışmasının yayınlanmasından sonra Poincaré varsayımının nihayet kanıtlandığı düşünülebilir.

Bu arada ilginçtir ki, Çinli matematikçiler tarafından yazılan makale ilk başta sadece kağıt versiyonunda 69 $ fiyatla dağıtılmıştı, bu yüzden herkesin ona bakma fırsatı olmamıştı. Ancak Morgan-Tian'ın makalesinin ön baskı arşivinde yayınlanmasının hemen ertesi günü, Asian Journal of Mathematics web sitesi de ortaya çıktı. elektronik versiyon nesne.

Perelman'ın kanıtlarını kimin daha iyi hale getirdiğini zaman gösterecek. Gelecek yıllarda Fermat teoreminde olduğu gibi daha da basitleşmesi mümkün. Şimdiye kadar yalnızca yayın hacminde bir artış görebiliyoruz: Perelman'ın 30 sayfalık makalelerinden Morgan ve Tian'ın kalın kitabına kadar, ancak bu kanıtın karmaşıklığından değil, daha ayrıntılı bir türetmeden kaynaklanmaktadır. tüm ara adımların

Bu arada, varsayımın nihai kanıtının ve belki de Clay Institute Ödülü'nün kime verileceğinin bu Ağustos ayında Madrid'de yapılacak Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde "resmi olarak" açıklanması bekleniyor. Ayrıca Grigory Perelman'ın Fields madalyası kazanan dört kişiden biri olacağına dair söylentiler var. en yüksek işaret genç matematikçiler için farklılıklar.