Dönme kuvveti. Kuvvet anı: kural ve uygulama

Hareketli nesnelerin problemlerini çözerken, bazı durumlarda mekansal boyutları ihmal edilir ve maddi nokta kavramı ortaya çıkar. Durgun veya dönen cisimlerin dikkate alındığı başka bir problem türü için, onların parametrelerini ve dış kuvvetlerin uygulama noktalarını bilmek önemlidir. Bu durumda Hakkında konuşuyoruz dönme eksenine göre kuvvetlerin momenti hakkında. Bu konuya yazımızda bakalım.

Kuvvet momenti kavramı

Sabit bir dönme eksenine göre hareket ettirmeden önce hangi olgudan bahsettiğimizi açıklamak gerekir. Aşağıda d uzunluğunda bir anahtarı gösteren bir çizim bulunmaktadır, ucuna bir F kuvveti uygulanmıştır.Etkisinin sonucunun anahtarı saat yönünün tersine döndürmek ve somunu sökmek olacağını hayal etmek kolaydır.

Tanıma göre kuvvetin dönme eksenine göre momenti, kol (bu durumda d) ile kuvvetin (F) çarpımıdır, yani aşağıdaki ifade yazılabilir: M = d*F. Yukarıdaki formülün skaler formda yazıldığı, yani hesaplamanıza izin verdiği hemen belirtilmelidir. mutlak değer moment M. Formülden görülebileceği gibi, söz konusu değerin ölçü birimi metre başına Newton'dur (N*m).

- vektör miktarı

Yukarıda belirtildiği gibi M momenti aslında bir vektördür. Bu ifadeyi açıklığa kavuşturmak için başka bir şekli düşünün.

Burada bir eksene sabitlenmiş (okla gösterilen) L uzunluğunda bir kaldıraç görüyoruz. Ucuna Φ açısıyla bir F kuvveti uygulanıyor. Bu kuvvetin kaldıracın yükselmesine neden olacağını hayal etmek zor değil. Bu durumda vektör formundaki anın formülü şu şekilde yazılacaktır: M¯ = L¯*F¯, burada sembolün üzerindeki çubuk, söz konusu miktarın bir vektör olduğu anlamına gelir. L¯'nin F¯ kuvvetinin uygulama noktasına doğru yönlendirildiği açıklığa kavuşturulmalıdır.

Verilen ifade vektör çarpımı. Ortaya çıkan vektör (M¯), L¯ ve F¯ tarafından oluşturulan düzleme dik olarak yönlendirilecektir. M¯ momentinin yönünü belirlemek için çeşitli kurallar vardır ( sağ el, jilet). Bunları ezberlememek ve L¯ ve F¯ vektörlerinin çarpım sırasına göre karıştırılmamak için (M¯'nin yönü buna bağlıdır), basit bir şeyi hatırlamanız gerekir: kuvvet momenti şu şekilde yönlendirilecektir: vektörünün ucundan bakıldığında, etki eden kuvvet F¯ kolu saat yönünün tersine döndürecek şekildedir. Anın bu yönü geleneksel olarak olumlu olarak alınır. Sistem saat yönünde dönerse, ortaya çıkan kuvvet momenti negatif bir değere sahip olur.

Bu nedenle, L kolu ile ele alınan durumda, M¯'nin değeri yukarıya doğru yönlendirilir (şeklinden okuyucuya).

Skaler formda, anın formülü şu şekilde yazılacaktır: M = L*F*sin(180-Φ) veya M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)) . Sinüs tanımına göre eşitliği yazabiliriz: M = d*F, burada d = L*sin(Φ) (bkz. şekil ve karşılık gelen dik üçgen). Son formül önceki paragrafta verilene benzer.

Yukarıdaki hesaplamalar, hataları önlemek için vektör ve skaler tork değerleriyle nasıl çalışılacağını göstermektedir.

M¯ miktarının fiziksel anlamı

Önceki paragraflarda ele alınan iki durum dönme hareketi ile ilgili olduğundan kuvvet momentinin ne anlama geldiğini tahmin edebiliriz. Maddi bir noktaya etki eden kuvvet, ikincisinin doğrusal hareketinin hızındaki artışın bir ölçüsü ise, o zaman kuvvet momenti, söz konusu sisteme göre dönme yeteneğinin bir ölçüsüdür.

Açık bir örnek verelim. Herhangi bir kişi kapının kolunu tutarak kapıyı açar. Bu aynı zamanda kapıyı tutamak alanına iterek de yapılabilir. Neden kimse menteşe bölgesine iterek açmıyor? Çok basit: Menteşelere kuvvet ne kadar yakın uygulanırsa kapıyı açmak o kadar zor olur ve bunun tersi de geçerlidir. Önceki cümlenin sonucu, M = const'ta d ve F değerlerinin şöyle olduğunu gösteren şu an için formülden (M = d*F) çıkar. ters ilişki.

Kuvvet momenti - ilave miktar

Yukarıda tartışılan tüm durumlarda yalnızca tek bir aktif kuvvet vardı. Gerçek sorunları çözerken durum çok daha karmaşıktır. Tipik olarak dönen veya dengede olan sistemler, her biri kendi momentini yaratan çeşitli burulma kuvvetlerine maruz kalır. Bu durumda problemlerin çözümü, dönme eksenine göre kuvvetlerin toplam momentinin bulunmasına indirgenir.

Toplam moment, her kuvvet için ayrı ayrı momentlerin olağan toplamı ile bulunur, ancak şunu kullanmayı unutmamak gerekir: doğru işaret her biri için.

Sorun çözümü örneği

Edinilen bilgiyi pekiştirmek için aşağıdaki problemin çözülmesi önerilmektedir: Aşağıdaki şekilde gösterilen sistem için toplam kuvvet momentinin hesaplanması gerekmektedir.

7 m uzunluğundaki bir kaldıraca üç kuvvetin (F1, F2, F3) etki ettiğini ve dönme eksenine göre farklı uygulama noktalarına sahip olduklarını görüyoruz. Kuvvetlerin yönü kaldıraca dik olduğundan burulma momenti için vektör ifadesi kullanmaya gerek yoktur. Toplam moment M'yi bir skaler formül kullanarak ve istediğiniz işareti ayarlamayı unutmadan hesaplayabilirsiniz. F1 ve F3 kuvvetleri kolu saat yönünün tersine ve F2 - saat yönünde döndürme eğiliminde olduğundan, birincisi için tork pozitif, ikincisi için ise negatif olacaktır. Elimizde: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 N*m. Yani toplam an pozitiftir ve yukarıya (okuyucuya doğru) yöneliktir.

Bu da omuz tarafından uygulanan kuvvetin çarpımına eşittir.

Kuvvet momenti aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Nerede F- güç, ben- güçlü omuz.

Gücün omuzu- bu, kuvvetin etki hattından vücudun dönme eksenine kadar olan en kısa mesafedir. Aşağıdaki şekil bir eksen etrafında dönebilen katı bir gövdeyi göstermektedir. Bu cismin dönme ekseni şeklin düzlemine diktir ve O harfi ile gösterilen noktadan geçer. Kuvvetin omuzu ft işte mesafe ben, dönme ekseninden kuvvetin etki çizgisine kadar. Bu şekilde tanımlanır. İlk adım, kuvvetin etki çizgisini çizmek, ardından cismin dönme ekseninin geçtiği O noktasından kuvvetin etki çizgisine dik bir çizgi çizmektir. Bu dikin uzunluğunun belirli bir kuvvetin kolu olduğu ortaya çıkar.

Kuvvet momenti, bir kuvvetin dönme hareketini karakterize eder. Bu eylem hem güce hem de kaldıraca bağlıdır. Kol ne kadar büyük olursa, istenen sonucu, yani aynı kuvvet momentini elde etmek için o kadar az kuvvet uygulanması gerekir (yukarıdaki şekle bakın). Bu nedenle bir kapıyı menteşelerin yakınına iterek açmak, kolu kavramaktan çok daha zordur ve bir somunu uzun bir anahtarla sökmek kısa bir anahtarla çözmekten çok daha kolaydır.

SI kuvvet momenti birimi, kolu 1 m - Newton metreye (Nm) eşit olan 1 N'lik bir kuvvet momenti olarak alınır.

Anların kuralı.

Sabit bir eksen etrafında dönebilen katı bir cisim, kuvvet momenti eşitse dengededir. M1 saat yönünde döndürmek kuvvet momentine eşittir M 2 saat yönünün tersine döndürür:

Momentler kuralı, 1687'de Fransız bilim adamı P. Varignon tarafından formüle edilen mekanik teoremlerinden birinin sonucudur.

Birkaç kuvvet.

Bir cismin üzerine aynı düz çizgi üzerinde yer almayan 2 eşit ve zıt yönlü kuvvet etki ediyorsa, bu durumda böyle bir cisim dengede değildir, çünkü bu kuvvetlerin herhangi bir eksene göre ortaya çıkan momenti sıfıra eşit değildir, çünkü her iki kuvvetin de aynı yöne yönlendirilmiş momentleri vardır. Bir cismin üzerine aynı anda etki eden iki kuvvete ne ad verilir? birkaç kuvvet. Vücut bir eksene sabitlenmişse, bir çift kuvvetin etkisi altında dönecektir. Serbest bir cisme birkaç kuvvet uygulanırsa kendi ekseni etrafında dönecektir. Vücudun ağırlık merkezinden geçen şekil B.

Bir kuvvet çiftinin momenti, kuvvet çiftinin düzlemine dik olan herhangi bir eksene göre aynıdır. Toplam an Mçiftleri her zaman kuvvetlerden birinin çarpımına eşittir F bir mesafeye ben denilen kuvvetler arasındaki çiftin omuz, hangi segment olursa olsun ben, ve çiftin omuz ekseninin konumunu paylaşır:

Bileşkesi sıfır olan birkaç kuvvetin momenti, birbirine paralel tüm eksenlere göre aynı olacaktır, bu nedenle tüm bu kuvvetlerin vücut üzerindeki etkisi, aynı kuvvete sahip bir çift kuvvetin etkisi ile değiştirilebilir. an.

Torkun en iyi tanımı, bir kuvvetin bir nesneyi bir eksen, dayanak noktası veya pivot noktası etrafında döndürme eğilimidir. Tork, kuvvet ve moment kolu (eksenden kuvvetin etki çizgisine dik mesafe) veya atalet momenti ve açısal ivme kullanılarak hesaplanabilir.

Adımlar

Kuvvet ve moment kaldıracı kullanma

1. Cismin üzerine etkiyen kuvvetleri ve bunlara karşılık gelen momentleri belirleyiniz. Eğer kuvvet söz konusu moment koluna dik değilse (yani belirli bir açıyla hareket ediyorsa), o zaman bileşenlerini aşağıdaki yöntemi kullanarak bulmanız gerekebilir: trigonometrik fonksiyonlar sinüs veya kosinüs gibi.

   • Dikkate alınan kuvvet bileşeni dikey kuvvet eşdeğerine bağlı olacaktır.
   • Merkezi etrafında dönmesi için yatay düzlemin üzerinde 30° açıyla 10 N'luk bir kuvvetin uygulanması gereken yatay bir çubuk düşünün.
   • Moment koluna dik olmayan bir kuvvet kullanmanız gerektiğinden, çubuğu döndürmek için kuvvetin dikey bileşenine ihtiyacınız vardır.
   • Bu nedenle, y bileşeni dikkate alınmalı veya F = 10sin30° N kullanılmalıdır.

2. τ = Fr moment denklemini kullanın ve değişkenleri verilen veya alınan verilerle değiştirin.

   • Basit bir örnek: Sallanan tahtanın bir ucunda oturan 30 kg ağırlığında bir çocuk düşünün. Salıncağın bir tarafının uzunluğu 1,5 m'dir.
   • Salıncağın dönme ekseni merkezde olduğundan uzunluğu çarpmanıza gerek yoktur.
   • Çocuğun uyguladığı kuvveti kütle ve ivmeyi kullanarak belirlemeniz gerekir.
   • Kütle verildiği için bunu 9,81 m/s 2'ye eşit olan yerçekimi ivmesi g ile çarpmanız gerekir. Buradan:
   • Artık moment denklemini kullanmak için gerekli tüm verilere sahipsiniz:

3. Anın yönünü göstermek için işaretleri (artı veya eksi) kullanın. Eğer kuvvet cismi saat yönünde döndürüyorsa moment negatiftir. Eğer kuvvet cismi saat yönünün tersine döndürüyorsa moment pozitiftir.

   • Birden fazla kuvvetin uygulandığı durumlarda, gövdedeki tüm momentleri toplamanız yeterlidir.
   • Her kuvvet farklı dönme yönlerine neden olma eğiliminde olduğundan, her kuvvetin yönünü takip etmek için dönme işaretini kullanmak önemlidir.
   • Örneğin, çapı 0,050 m olan bir tekerleğin kenarına saat yönünde F 1 = 10,0 N ve saat yönünün tersine F 2 = 9,0 N olmak üzere iki kuvvet uygulanmıştır.
   • Çünkü verilen vücut– bir daire, sabit eksen onun merkezidir. Çapı bölüp yarıçapı bulmanız gerekir. Yarıçapın boyutu moment kolu görevi görecektir. Bu nedenle yarıçap 0,025 m'dir.
   • Açıklık sağlamak için, karşılık gelen kuvvetten kaynaklanan momentlerin her biri için ayrı denklemler çözebiliriz.
   • Kuvvet 1 için eylem saat yönündedir, dolayısıyla yarattığı an negatiftir:
   • Kuvvet 2 için eylem saat yönünün tersine yönlendirilir, dolayısıyla yarattığı an pozitiftir:
   • Artık ortaya çıkan torku elde etmek için tüm anları toplayabiliriz:

   Atalet momenti ve açısal ivmeyi kullanma

   1. Sorunu çözmeye başlamak için bir cismin eylemsizlik momentinin nasıl çalıştığını anlayın. Bir cismin eylemsizlik momenti, cismin dönme hareketine karşı gösterdiği dirençtir. Atalet momenti hem kütleye hem de dağılımının doğasına bağlıdır.

      • Bunu açıkça anlamak için aynı çapta fakat farklı kütlelerde iki silindir hayal edin.
      • Her iki silindiri de merkezi eksenleri etrafında döndürmeniz gerektiğini düşünün.
      • Açıkçası, daha fazla kütleye sahip bir silindirin döndürülmesi diğer bir silindire göre daha zor olacaktır çünkü "daha ağırdır".
      • Şimdi farklı çaplarda fakat aynı kütlede iki silindir hayal edin. Silindirik görünmesi ve farklı kütlelere sahip olması, ancak aynı zamanda farklı çaplara sahip olması için her iki silindirin şekli veya kütle dağılımı farklı olmalıdır.
      • Daha büyük çaplı bir silindir düz, yuvarlak bir plaka gibi görünürken, daha küçük bir silindir katı bir kumaş tüp gibi görünecektir.
      • Daha büyük çaplı bir silindirin döndürülmesi daha zor olacaktır çünkü daha uzun tork kolunun üstesinden gelmek için daha fazla kuvvet uygulamanız gerekir.

   2. Atalet momentini hesaplamak için kullanacağınız denklemi seçin. Bunu yapmak için kullanılabilecek çeşitli denklemler vardır.

      • İlk denklem en basitidir: tüm parçacıkların kütlelerinin ve moment kollarının toplamı.
      • Bu denklem şunun için kullanılır: maddi noktalar veya parçacıklar. İdeal parçacık, kütlesi olan ancak yer kaplamayan cisimdir.
      • Başka bir deyişle tek önemli karakteristik bu beden kütledir; boyutunu, şeklini veya yapısını bilmenize gerek yok.
      • Maddi parçacık fikri, fizikte hesaplamaları basitleştirmek ve ideal ve teorik şemaları kullanmak için yaygın olarak kullanılmaktadır.
      • Şimdi içi boş bir silindir veya katı, tekdüze bir küre gibi bir nesne hayal edin. Bu nesnelerin açık ve tanımlanmış bir şekli, boyutu ve yapısı vardır.
      • Dolayısıyla bunları maddi bir nokta olarak değerlendiremezsiniz.
      • Neyse ki bazı yaygın nesnelere uygulanan formülleri kullanabilirsiniz:

   3. Eylemsizlik momentini bulun. Torku hesaplamaya başlamak için atalet momentini bulmanız gerekir. Aşağıdaki örneği kılavuz olarak kullanın:

      • Kütleleri 5,0 kg ve 7,0 kg olan iki küçük “ağırlık”, (kütlesi ihmal edilebilecek) bir hafif çubuk üzerine birbirinden 4,0 m mesafeye monte edilir. Dönme ekseni çubuğun ortasındadır. Çubuk hareketsiz durumdan 3,00 s'de 30,0 rad/s'lik bir açısal hıza döner. Üretilen torku hesaplayın.
      • Dönme ekseni çubuğun ortasında olduğundan her iki yükün moment kolu uzunluğunun yarısına eşittir. 2,0 m.
      • “Yüklerin” şekli, boyutu ve yapısı belirtilmediğinden yüklerin malzeme parçacıkları olduğunu varsayabiliriz.
      • Atalet momenti şu şekilde hesaplanabilir:

   4. Açısal ivmeyi (α) bulun. Açısal ivmeyi hesaplamak için α= at/r formülünü kullanabilirsiniz.

      • Teğetsel ivme ve yarıçap verildiğinde ilk formül olan α= at/r kullanılabilir.
      • Teğetsel ivme, hareket yönüne teğet olarak yönlendirilen ivmedir.
      • Eğri bir yol boyunca hareket eden bir nesne düşünün. Teğetsel ivme, basitçe tüm yol boyunca herhangi bir noktada doğrusal ivmedir.
      • İkinci formül durumunda, bunu kinematik kavramlarla ilişkilendirerek açıklamak en kolay yoldur: yer değiştirme, doğrusal hız ve doğrusal ivme.
      • Yer değiştirme, bir nesnenin kat ettiği mesafedir (SI birimi metre, m'dir); doğrusal hız, zaman birimi başına yer değiştirmedeki değişimin bir göstergesidir (SI birimi - m/s); doğrusal ivme, birim zaman başına doğrusal hızdaki değişimin bir göstergesidir (SI birimi - m/s 2).
      • Şimdi dönme hareketindeki bu miktarların analoglarına bakalım: açısal yer değiştirme, θ - belirli bir noktanın veya parçanın dönme açısı (SI birimi - rad); açısal hız, ω – birim zaman başına açısal yer değiştirmedeki değişim (SI birimi – rad/s); ve açısal ivme, α – birim zaman başına açısal hızdaki değişim (SI birimi – rad/s 2).
      • Örneğimize dönecek olursak, bize açısal momentum ve zaman verileri verildi. Dönme hareketsiz durumdan başladığı için başlangıç ​​açısal hızı 0'dır. Denklemi kullanarak şunu bulabiliriz:

   5. Torku bulmak için τ = Iα denklemini kullanın. Değişkenleri önceki adımlarda elde edilen yanıtlarla değiştirmeniz yeterlidir.

      • "Rad" biriminin boyutsuz bir miktar olarak kabul edilmesi nedeniyle bizim ölçü birimlerimize uymadığını fark edebilirsiniz.
      • Bu, bunu görmezden gelip hesaplamalarınıza devam edebileceğiniz anlamına gelir.
      • Ölçü birimlerini analiz etmek için açısal ivmeyi s -2 cinsinden ifade edebiliriz.
   • Birinci yöntemde, eğer cisim bir daire ise ve dönme ekseni merkezde ise, kuvvetin bileşenlerinin hesaplanmasına gerek yoktur (kuvvetin açılı olarak uygulanmaması şartıyla). çembere teğet üzerinde, yani. moment koluna diktir.
   • Döndürmenin nasıl gerçekleştiğini hayal etmekte zorlanıyorsanız, bir kalem alın ve görevi yeniden oluşturmaya çalışın. Daha doğru bir çoğaltma için dönme ekseninin konumunu ve uygulanan kuvvetin yönünü kopyalamayı unutmayın.

Arşimed tarafından MÖ 3. yüzyılda keşfedilen kaldıraç kuralı, 17. yüzyıla kadar yaklaşık iki bin yıldır varlığını sürdürüyordu. hafif el Fransız bilim adamı Varignon daha genel bir biçim almadı.

Tork kuralı

Tork kavramı tanıtıldı. Kuvvet anı fiziksel miktar, kuvvetin omuz tarafından çarpımına eşittir:

burada M kuvvet momentidir,
F - güç,
l - kuvvet kaldıracı.

Kaldıraç denge kuralından doğrudan Kuvvet momentleri kuralı şu şekildedir:

F1 / F2 = l2 / l1 veya orantı özelliği gereği F1 * l1= F2 * l2, yani M1 = M2

Sözlü anlatımda, kuvvetlerin momentleri kuralı şu şekilde duyulur: Bir kaldıraç, onu saat yönünde döndüren kuvvetin momenti eşitse, iki kuvvetin etkisi altında dengededir. ana eşit saat yönünün tersine döndürmeye zorlayın. Kuvvet momentleri kuralı sabit bir eksen etrafında sabitlenen her cisim için geçerlidir. Pratikte kuvvetin momenti şu şekilde bulunur: Kuvvetin etki yönünde kuvvetin etki çizgisi çizilir. Daha sonra dönme ekseninin bulunduğu noktadan kuvvetin etki çizgisine bir dik çizilir. Bu dikmenin uzunluğu kuvvetin koluna eşit olacaktır. Kuvvet modülünün değerini koluyla çarparak dönme eksenine göre kuvvet momentinin değerini elde ederiz. Yani kuvvet momentinin, kuvvetin dönme hareketini karakterize ettiğini görüyoruz. Bir kuvvetin etkisi hem kuvvetin kendisine hem de kaldıracına bağlıdır.

Kuvvetlerin momentleri kuralının çeşitli durumlarda uygulanması

Bu, kuvvetlerin momentleri kuralının çeşitli durumlarda uygulanması anlamına gelir. Örneğin, bir kapıyı açarsak, onu tutamak bölgesine, yani menteşelerden uzağa doğru iteceğiz. Temel bir deney yapabilir ve dönme ekseninden kuvvet uyguladıkça kapıyı itmenin daha kolay olduğundan emin olabilirsiniz. Bu durumda pratik deney doğrudan formülle doğrulanır. Farklı kollardaki kuvvetlerin momentlerinin eşit olması için, daha büyük kolun daha küçük bir kuvvete karşılık gelmesi ve bunun tersine, daha küçük kolun daha büyük bir kuvvete karşılık gelmesi gerekir. Kuvveti dönme eksenine ne kadar yakın uygularsak o kadar büyük olmalıdır. Kolu eksenden ne kadar uzakta çalıştırıp gövdeyi döndürürsek, uygulamamız gereken kuvvet o kadar az olur. Moment kuralı formülünden sayısal değerler kolaylıkla bulunabilir.

Ağır bir şeyi kaldırmamız gerekiyorsa bir levye veya uzun bir sopa almamız ve bir ucunu yükün altına kaydırarak levyeyi diğer uca yakın çekmemiz tam olarak kuvvet anları kuralına dayanmaktadır. Aynı sebepten dolayı vidaları uzun saplı tornavidayla sıkıyoruz, somunları ise uzun anahtarla sıkıyoruz.