Şekil, bir aralıkta tanımlanan belirli bir fonksiyonun antitürevlerinden birinin fonksiyonunun grafiğini göstermektedir.Şekli kullanarak, aralıktaki denklemin çözüm sayısını belirleyin

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

İçerik öğeleri

Türev, teğet, ters türev, fonksiyon ve türevlerin grafikleri.

Türev\(f(x)\) fonksiyonu \(x_0\) noktasının bir komşuluğunda tanımlanmış olsun.

\(f\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasındaki türevi limit denir

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

eğer bu sınır mevcutsa.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder.

Türev tablosu

Farklılaşma kuralları\(f\) ve \(g\), \(x\) değişkenine bağlı fonksiyonlardır; \(c\) bir sayıdır.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - karmaşık bir fonksiyonun türevi

Türevin geometrik anlamı Bir çizginin denklemi- eksene paralel olmayan \(Oy\) \(y=kx+b\) şeklinde yazılabilir. Bu denklemdeki \(k\) katsayısına denir düz bir çizginin eğimi. Teğete eşittir eğim açısı bu düz çizgi.

Doğru açı- \(Ox\) ekseninin pozitif yönü ile bu düz çizgi arasındaki pozitif açılar yönünde ölçülen açı (yani, \(Ox\) ekseninden \'ye en küçük dönüş yönünde) (Oy\) ekseni).

\(f(x)\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasındaki türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktadaki teğetin eğimine eşittir: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Eğer \(f"(x_0)=0\), o zaman \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin \(x_0\) noktasındaki teğeti \(Ox\) eksenine paraleldir.

Teğet denklem

\(f(x)\) fonksiyonunun grafiğine \(x_0\ noktasındaki teğetin denklemi):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Fonksiyonun monotonluğu Bir fonksiyonun türevi aralığın her noktasında pozitifse, bu aralıkta fonksiyon artar.

Bir fonksiyonun türevi aralığın tüm noktalarında negatifse, o zaman fonksiyon bu aralıkta azalır.

Minimum, maksimum ve dönüm noktaları pozitif Açık olumsuz bu noktada \(x_0\), \(f\) fonksiyonunun maksimum noktasıdır.

Eğer \(f\) fonksiyonu \(x_0\) noktasında sürekli ise ve bu fonksiyonun \(f"\) türevinin değeri şu şekilde değişir: olumsuz Açık pozitif bu noktada \(x_0\), \(f\) fonksiyonunun minimum noktasıdır.

\(f"\) türevinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. kritik noktalar fonksiyonlar \(f\).

\(f(x)\) fonksiyonunun tanım kümesinin iç noktaları, burada \(f"(x)=0\) minimum, maksimum veya bükülme noktaları olabilir.

Türevin fiziksel anlamı Eğer maddi bir nokta doğrusal olarak hareket ediyorsa ve \(x=x(t)\) yasasına göre koordinatı zamana bağlı olarak değişiyorsa, bu noktanın hızı koordinatın zamana göre türevine eşittir:

Maddi bir noktanın ivmesi, bu noktanın zamana göre hızının türevine eşittir:

\(a(t)=v"(t).\)

51. Şekilde bir grafik gösterilmektedir y=f "(x)- bir fonksiyonun türevi f(x),(− 4; 6) aralığında tanımlanır. Fonksiyonun grafiğine teğet olduğu noktanın apsisini bulun y=f(x) çizgiye paralel y=3x veya onunla örtüşüyor.

Cevap: 5

52. Şekilde bir grafik gösterilmektedir y=F(x) f(x) f(x) pozitif?

Cevap: 7

53. Şekilde bir grafik gösterilmektedir y=F(x) bir fonksiyonun antiderivatiflerinden biri f(x) ve x ekseninde sekiz nokta işaretlenmiştir: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Fonksiyon bu noktalardan kaç tanesindedir? f(x) olumsuz?

Cevap: 3

54. Şekilde bir grafik gösterilmektedir y=F(x) bir fonksiyonun antiderivatiflerinden biri f(x) ve x ekseninde on nokta işaretlenmiştir: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Fonksiyon bu noktalardan kaç tanesindedir? f(x) pozitif?

Cevap: 6

55. Şekilde bir grafik gösterilmektedir y=F(x f(x),(− 7; 5) aralığında tanımlanır. Şekli kullanarak denklemin çözüm sayısını belirleyin f(x)=0[− 5] segmentinde; 2].

Cevap: 3

56. Şekilde bir grafik gösterilmektedir y=F(x) bazı f fonksiyonlarının antiderivatiflerinden biri (X),(− 8; 7) aralığında tanımlanır. Şekli kullanarak denklemin çözüm sayısını belirleyin f(x)=[− 5 aralığında 0; 5].

Cevap: 4

57. Şekilde bir grafik gösterilmektedir y=F(X) bazı fonksiyonların antiderivatiflerinden biri F(X), (1;13) aralığında tanımlanır. Şekli kullanarak denklemin çözüm sayısını belirleyin F (X)=0 segmentte .

Cevap: 4

58. Şekil belirli bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir y=f(x)(ortak başlangıç ​​noktasına sahip iki ışın). Şekli kullanarak hesaplayın F(−1)−F(−8), Nerede F(x) f(x).

Cevap: 20

59. Şekil belirli bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir y=f(x) (ortak bir başlangıç ​​noktasına sahip iki ışın). Şekli kullanarak hesaplayın F(−1)−F(−9), Nerede F(x)- ilkel işlevlerden biri f(x).

Cevap: 24

60. Şekil belirli bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir y=f(x). İşlev

-ilkel işlevlerden biri f(x). Gölgeli şeklin alanını bulun.

Cevap: 6

61. Şekil belirli bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir y=f(x).İşlev

İlkel işlevlerden biri f(x). Gölgeli şeklin alanını bulun.

Cevap: 14.5

fonksiyonun grafiğine teğete paralel

Cevap:0.5

Teğet noktasının apsisini bulun.

Cevap 1

fonksiyonun grafiğine teğettir

Bulmak C.

Cevap: 20

fonksiyonun grafiğine teğettir

Bulmak A.

Cevap:0.125

fonksiyonun grafiğine teğettir

Bulmak B teğet noktasının apsisinin 0'dan büyük olduğu dikkate alınarak.

Cevap: -33

67. Önemli nokta kanuna göre düz bir çizgide hareket eder

Nerede X T- Hareketin başladığı andan itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. Zamanın hangi noktasında (saniye cinsinden) hızı 96 m/s'ye eşitti?

Cevap: 18

68. Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

Nerede X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- Hareketin başladığı andan itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. Zamanın hangi noktasında (saniye cinsinden) hızı 48 m/s'ye eşitti?

Cevap: 9

69. Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

Nerede X T T=6 İle.

Cevap: 20

70. Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

Nerede X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. Anlık hızını (m/s cinsinden) bulun T=3 İle.

Cevap: 59

y=3x+2 düz çizgisi y=-12x^2+bx-10 fonksiyonunun grafiğine teğettir. Teğet noktasının apsisinin sıfırdan küçük olduğuna göre b'yi bulun.

Çözüm

x_0, y=-12x^2+bx-10 fonksiyonunun grafiği üzerinde bu grafiğe teğetinin geçtiği noktanın apsisi olsun.

Türevin x_0 noktasındaki değeri teğetin eğimine eşittir yani y"(x_0)=-24x_0+b=3. Öte yandan teğet noktası eş zamanlı olarak grafiğin her ikisine de aittir. fonksiyon ve tanjant, yani -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Bir denklem sistemi elde ederiz \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(durumlar)

Bu sistemi çözerek x_0^2=1 elde ederiz, bu da ya x_0=-1 ya da x_0=1 anlamına gelir. Apsis koşuluna göre teğet noktaları sıfırdan küçük olduğundan x_0=-1, sonra b=3+24x_0=-21 olur.

Cevap

Durum

Şekilde y=f(x) fonksiyonunun (üç düz parçadan oluşan kesikli bir çizgi) grafiği gösterilmektedir. Şekli kullanarak F(9)-F(5)'i hesaplayın; burada F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir.

Çözüm

Newton-Leibniz formülüne göre, F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri olmak üzere F(9)-F(5) farkı, sınırlı eğrisel yamuğun alanına eşittir. y=f(x) fonksiyonunun grafiğinden, y=0, x=9 ve x=5 düz çizgileriyle. Grafikten, belirtilen kavisli yamuğun tabanları 4 ve 3'e eşit ve yüksekliği 3 olan bir yamuk olduğunu belirliyoruz.

Alanı eşittir \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil düzeyi" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

Durum

Şekilde (-4; 10) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevi olan y=f"(x) grafiği gösterilmektedir. Azalan f(x) fonksiyonunun aralıklarını bulun. Cevabınızda, en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Çözüm

Bilindiği gibi, f(x) türevinin sıfırdan küçük olduğu her noktada f(x) fonksiyonu azalır. Bunlardan en büyüğünün uzunluğunun bulunması gerektiği düşünülürse, bu tür üç aralık vardır: şekilden doğal olarak ayırt edilir: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Bunlardan en büyüğünün uzunluğu - (5; 9) 4'tür.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

Durum

Şekilde (-8; 7) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevi olan y=f"(x) grafiği gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun ait olduğu maksimum nokta sayısını bulun. aralık [-6; -2].

Çözüm

Grafik, f(x) fonksiyonunun türevinin f"(x)'in işaretini artıdan eksiye (bu tür noktalarda bir maksimum olacaktır) değiştirdiğini, aralıktan tam olarak bir noktada (-5 ile -4 arasında) gösterir. -6; -2 ] Dolayısıyla [-6; -2] aralığında tam olarak bir maksimum nokta vardır.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

Durum

Şekilde (-2; 8) aralığında tanımlanan y=f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun türevinin 0'a eşit olduğu noktaların sayısını belirleyin.

Çözüm

Türevin bir noktada sıfıra eşitliği, fonksiyonun bu noktada çizilen grafiğine teğetinin Ox eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Bu nedenle fonksiyonun grafiğine teğetinin Ox eksenine paralel olduğu noktaları buluruz. Bu grafikte bu tür noktalar ekstrem noktalardır (maksimum veya minimum noktalar). Gördüğünüz gibi 5 ekstrem nokta var.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

Durum

y=-3x+4 düz çizgisi, y=-x^2+5x-7 fonksiyonunun grafiğine teğettir. Teğet noktasının apsisini bulun.

Çözüm

y=-x^2+5x-7 fonksiyonunun grafiğine rastgele bir x_0 noktasındaki düz çizginin açısal katsayısı y"(x_0)'a eşittir. Ancak y"=-2x+5, bu da y" anlamına gelir (x_0)=-2x_0+5. Açısal koşulda belirtilen y=-3x+4 doğrusunun katsayısı -3'e eşittir. Paralel doğrular da aynı değere sahiptir yamaçlar. Bu nedenle =-2x_0 +5=-3 olacak şekilde bir x_0 değeri buluyoruz.

Şunu elde ederiz: x_0 = 4.

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

Durum

Şekilde y=f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir ve apsis üzerinde -6, -1, 1, 4 noktaları işaretlenmiştir. Bu noktalardan hangisinde türev en küçüktür? Lütfen cevabınızda bu noktayı belirtin.

Merhaba arkadaşlar! Bu yazıda antiderivatiflerin görevlerine bakacağız. Bu görevler matematikte Birleşik Devlet Sınavına dahildir. Cebir dersinde bölümlerin - farklılaşma ve entegrasyon - oldukça geniş olmasına ve anlayışa yönelik sorumlu bir yaklaşım gerektirmesine rağmen, matematikte açık görevler bankasına dahil edilen görevlerin kendisi Birleşik'te son derece basit olacaktır. Devlet Sınavı ve bir veya iki adımda çözülebilir.

Antiderivatifin özünü ve özellikle integralin geometrik anlamını tam olarak anlamak önemlidir. Teorik temelleri kısaca ele alalım.

İntegralin geometrik anlamı

İntegral hakkında kısaca şunu söyleyebiliriz: İntegral alandır.

Tanım: Parça üzerinde tanımlanan pozitif bir f fonksiyonunun koordinat düzleminde grafiği verilsin. Bir alt grafik (veya eğrisel yamuk), bir f fonksiyonunun grafiği, x = a ve x = b çizgileri ve x ekseni ile sınırlanan bir şekildir.

Tanım: Sonlu bir parça üzerinde tanımlı pozitif bir f fonksiyonu verilsin. Bir f fonksiyonunun bir segment üzerindeki integrali, alt grafiğinin alanıdır.

Daha önce de söylediğimiz gibi F'(x) = f(x).Ne sonuca varabiliriz?

Basit. Bu grafikte F′(x) = 0 olan kaç nokta olduğunu belirlememiz gerekiyor. Fonksiyonun grafiğine teğetinin x eksenine paralel olduğu noktalarda bunu biliyoruz. Bu noktaları [–2;4] aralığında gösterelim:

Bunlar belirli bir F(x) fonksiyonunun uç noktalarıdır. On tane var.

Cevap: 10

323078. Şekil belirli bir y = f(x) fonksiyonunun (ortak başlangıç ​​noktasına sahip iki ışın) grafiğini göstermektedir. Şekli kullanarak F(8) – F(2)'yi hesaplayın; burada F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir.

Newton-Leibniz teoremini tekrar yazalım:F olsun bu fonksiyon, F bunun keyfi antitürevidir. Daha sonra

Ve bu, daha önce de söylediğimiz gibi, fonksiyonun alt grafiğinin alanıdır.

Böylece sorun yamuğun alanını bulmakta ortaya çıkıyor (2'den 8'e kadar aralık):

Hücrelere göre hesaplamak zor değil. 7 elde ederiz. Şekil x ekseninin üzerinde (veya y ekseninin pozitif yarı düzleminde) bulunduğundan işaret pozitiftir.

Bu durumda bile şunu söyleyebiliriz: Antiderivatiflerin noktalardaki değerlerindeki fark, şeklin alanıdır.

Cevap: 7

323079. Şekil belirli bir y = f(x) fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 fonksiyonu, y = f (x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Taralı şeklin alanını bulun.

Daha önce de söylediğim gibi geometrik anlamdaİntegral, f(x) fonksiyonunun grafiği, x = a ve x = b düz çizgileri ve öküz ekseni ile sınırlı olan şeklin alanıdır.

Teorem (Newton-Leibniz):

Bu nedenle görev, belirli bir fonksiyonun –11 ila –9 aralığındaki belirli integralinin hesaplanmasına gelir veya başka bir deyişle, belirtilen noktalarda hesaplanan antiderivatiflerin değerlerindeki farkı bulmamız gerekir:

Cevap: 6

323080. Şekilde bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir.

F(x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 fonksiyonu f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Taralı şeklin alanını bulun.

Teorem (Newton-Leibniz):

Sorun, belirli bir fonksiyonun belirli integralinin –10 ila –8 aralığında hesaplanmasıyla ilgilidir:

Cevap: 4 Görüntüleyebilirsiniz .

Türev ve türev kuralları da . Sadece bu tür görevleri çözmek için değil, bunları bilmek de gereklidir.

Ayrıca bakabilirsiniz arkaplan bilgisi web sitesinde ve .

Kısa bir video izleyin, bu “The Blind Side” filminden bir alıntıdır. Eğitimle ilgili, merhametle ilgili, sözde “rastgele” karşılaşmaların hayatımızdaki önemini anlatan bir film diyebiliriz... Ama bu sözler yeterli olmayacak, filmin kendisini izlemenizi tavsiye ederim, şiddetle tavsiye ederim.

Sana başarılar diliyorum!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.