Çarpma ile bir denklem sistemi nasıl çözülür? Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerini çözme. Toplama yöntemiyle çözme algoritması

İlk önce denklem sayısının değişken sayısına eşit olduğu durumu ele alalım; m = n. Daha sonra sistemin matrisi karedir ve determinantına sistemin determinantı denir.

Ters matris yöntemi

Dejenere olmayan bir kare matris A ile AX = B denklem sistemini genel olarak ele alalım. ters matris A-1. Her iki tarafı da soldaki A -1 ile çarpalım. A -1 AX = A -1 B elde ederiz. Dolayısıyla EX = A -1 B ve

Son eşitlik, bu tür denklem sistemlerine çözüm bulmaya yönelik bir matris formülüdür. Bu formülün kullanımına ters matris yöntemi denir.

Örneğin aşağıdaki sistemi çözmek için bu yöntemi kullanalım:

;

Sistemi çözmenin sonunda bulunan değerleri sistem denklemlerinde yerine koyarak kontrol edebilirsiniz. Bunu yaparken gerçek eşitliklere dönüşmeleri gerekir.

Ele alınan örnek için şunu kontrol edelim:

Cramer formüllerini kullanarak kare matrisli doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemi

n= 2 olsun:

Birinci denklemin her iki tarafını da a 22 ile, ikinci denklemin her iki tarafını da (-a 12) ile çarpıp elde edilen denklemleri toplarsak x 2 değişkenini sistemden çıkarmış oluruz. Benzer şekilde, x 1 değişkenini ortadan kaldırabilirsiniz (ilk denklemin her iki tarafını da (-a 21) ile ve ikinci denklemin her iki tarafını da 11 ile çarparak). Sonuç olarak, sistemi elde ediyoruz:

Parantez içindeki ifade sistemin determinantıdır

Haydi belirtelim

Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

Ortaya çıkan sistemden, eğer sistemin determinantı 0 ise sistem tutarlı ve kesin olacaktır. Tek çözümü aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

= 0, a 1 0 ve/veya  2 0 ise sistem denklemleri 0*x 1 = 2 ve/veya 0*x 1 = 2 formunu alacaktır. Bu durumda sistem tutarsız olacaktır.

= 1 = 2 = 0 olması durumunda, sistem tutarlı ve belirsiz olacaktır (sonsuz sayıda çözüme sahip olacaktır), çünkü şu formu alacaktır:

Cramer teoremi(kanıtı atlayacağız). N denklemli bir sistemin matrisinin determinantı değilse sıfıra eşit ise sistemin aşağıdaki formüllerle belirlenen benzersiz bir çözümü vardır:

,

burada  j, j'inci sütunun serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle A matrisinden elde edilen matrisin determinantıdır.

Yukarıdaki formüllere denir Cramer formülleri.

Örnek olarak, daha önce ters matris yöntemi kullanılarak çözülmüş bir sistemi çözmek için bu yöntemi kullanalım:

Ele alınan yöntemlerin dezavantajları:

1) önemli emek yoğunluğu (belirleyicilerin hesaplanması ve ters matrisin bulunması);

2) sınırlı kapsam (kare matrisli sistemler için).

Gerçek ekonomik durumlar genellikle denklem ve değişken sayısının oldukça önemli olduğu, denklemlerin değişkenlerden daha fazla olduğu sistemler tarafından modellenir.Bu nedenle pratikte aşağıdaki yöntem daha yaygındır.

Gauss yöntemi (değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi)

Bu yöntem m sistemini çözmek için kullanılır. doğrusal denklemler n değişkenli Genel görünüm. Özü, genişletilmiş matrise eşdeğer dönüşümler sisteminin uygulanmasında yatmaktadır; bunun yardımıyla denklem sistemi, çözümlerinin (varsa) bulunmasının kolay olduğu bir forma dönüştürülür.

Bu, soldaki türden Üst kısmı Sistemin matrisi kademeli bir matris olacaktır. Bu, sıralamayı belirlemek için bir adım matrisi elde etmek için kullanılan tekniklerin aynısı kullanılarak elde edilir. Bu durumda, genişletilmiş matrise eşdeğer bir denklem sistemi elde edilmesini sağlayacak temel dönüşümler uygulanır. Bundan sonra genişletilmiş matris şu şekli alacaktır:

Böyle bir matris elde etmeye denir dosdoğru Gauss yöntemi.

Değişkenlerin değerlerini ilgili denklem sisteminden bulmaya denir. geri viteste Gauss yöntemi. Bunu düşünelim.

Son (m – r) denklemlerinin şu şekilde olacağına dikkat edin:

Sayılardan en az biri ise
sıfıra eşit değilse, karşılık gelen eşitlik yanlış olacak ve tüm sistem tutarsız olacaktır.

Bu nedenle herhangi bir eklem sistemi için
. Bu durumda, değişkenlerin herhangi bir değeri için son (m – r) denklemleri 0 = 0 özdeşlikleri olacaktır ve sistem çözülürken bunlar göz ardı edilebilir (sadece ilgili satırları atın).

Bundan sonra sistem şöyle görünecek:

İlk önce r=n durumunu ele alalım. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

Sistemin son denkleminden x r benzersiz bir şekilde bulunabilir.

X r'yi bildiğimiz için, bundan açıkça x r -1'i ifade edebiliriz. Daha sonra önceki denklemden x r ve x r -1'i bilerek x r -2 vb.'yi ifade edebiliriz. x 1'e kadar.

Yani bu durumda sistem ortak ve kararlı olacaktır.

Şimdi r'nin olduğu durumu düşünün. temel(ana) ve geri kalan her şey - temel olmayan(çekirdek olmayan, ücretsiz). Sistemin son denklemi şu şekilde olacaktır:

Bu denklemden temel değişken x r'yi temel olmayanlar cinsinden ifade edebiliriz:

Sondan bir önceki denklem şöyle görünecektir:

Ortaya çıkan ifadeyi x r yerine yerine koyarak, temel değişken x r -1'i temel olmayanlar cinsinden ifade etmek mümkün olacaktır. Vesaire. değişkenx 1'e. Sisteme bir çözüm elde etmek için temel olmayan değişkenleri keyfi değerlere eşitleyebilir ve ardından elde edilen formülleri kullanarak temel değişkenleri hesaplayabilirsiniz. Dolayısıyla bu durumda sistem tutarlı ve belirsiz olacaktır (sonsuz sayıda çözüme sahip olacaktır).

Örneğin denklem sistemini çözelim:

Temel değişkenler kümesini çağıracağız temel sistemler. Bunlar için katsayı sütunları kümesini de çağıracağız. temel(temel sütunlar) veya temel yan dal sistem matrisleri. Temel olmayan tüm değişkenlerin sıfıra eşit olduğu sistemin çözümüne ne ad verilir? temel çözüm.

Önceki örnekte temel çözüm (4/5; -17/5; 0; 0) olacaktır (x 3 ve x 4 (c 1 ve c 2) değişkenleri sıfıra ayarlanmıştır ve temel değişkenler x 1'dir) ve x 2 bunlar üzerinden hesaplanır) . Temel olmayan bir çözüme örnek vermek gerekirse, x 3 ve x 4'ü (c 1 ve c 2) aynı anda sıfır olmayan rastgele sayılara eşitlememiz ve geri kalan değişkenleri bunlar üzerinden hesaplamamız gerekir. Örneğin, c 1 = 1 ve c 2 = 0 ile temel olmayan bir çözüm - (4/5; -12/5; 1; 0) elde ederiz. Değiştirme yoluyla her iki çözümün de doğru olduğunu doğrulamak kolaydır.

Belirsiz bir sistemde sonsuz sayıda temel olmayan çözümlerin olabileceği açıktır. Kaç tane temel çözüm olabilir? Dönüştürülen matrisin her satırı bir temel değişkene karşılık gelmelidir. Problemde n değişken ve r temel çizgi var. Bu nedenle, temel değişkenlerin tüm olası kümelerinin sayısı, n'nin kombinasyon sayısını 2'den fazla olamaz. Daha az olabilir Çünkü sistemi, bu özel değişkenler kümesinin temel oluşturacağı bir biçime dönüştürmek her zaman mümkün değildir.

Bu ne tür bir şey? Bu değişkenlere ait katsayı sütunlarından oluşan matrisin basamaklı olacağı ve aynı zamanda r satırdan oluşacağı türdür. Onlar. bu değişkenler için katsayı matrisinin sırası r'ye eşit olmalıdır. Sütun sayısı eşit olduğundan daha büyük olamaz. Eğer r'den küçük çıkarsa bu, sütunların değişkenlere doğrusal bağımlılığını gösterir. Bu tür sütunlar temel oluşturamaz.

Yukarıda tartışılan örnekte başka hangi temel çözümlerin bulunabileceğini düşünelim. Bunu yapmak için, her biri iki temel olmak üzere dört değişkenin tüm olası kombinasyonlarını göz önünde bulundurun. Böyle kombinasyonlar olacak
ve bunlardan biri (x 1 ve x 2) zaten dikkate alınmıştır.

x 1 ve x 3 değişkenlerini alalım. Bunlar için katsayılar matrisinin rütbesini bulalım:

İkiye eşit olduğundan temel olabilirler. Temel olmayan x 2 ve x 4 değişkenlerini sıfıra eşitleyelim: x 2 = x 4 = 0. O halde x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 formülünden x 1 = 4 sonucu çıkar. /5 ve x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 formülünden şu sonuç çıkar: x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Böylece temel çözümü elde ederiz (4/5; 0; 17/5; 0).

Benzer şekilde, x 1 ve x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 ve x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 ve x 4 – (0; 0; 9; 4).

Bu örnekteki x 2 ve x 3 değişkenleri temel değişkenler olarak alınamaz, çünkü karşılık gelen matrisin sırası bire eşittir, yani. ikiden az:

.

Belirli değişkenlerden temel oluşturmanın mümkün olup olmadığını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım da mümkündür. Örneği çözerken sistem matrisinin aşamalı forma dönüştürülmesi sonucunda şu şekli almıştır:

Değişken çiftlerini seçerek bu matrisin karşılık gelen küçüklerini hesaplamak mümkün oldu. X 2 ve x 3 dışındaki tüm çiftlerin sıfıra eşit olmadığını doğrulamak kolaydır; sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır. Ve yalnızca x 2 ve x 3 değişkenlerine sahip sütunlar için
, bu onların doğrusal bağımlılığını gösterir.

Başka bir örneğe bakalım. Denklem sistemini çözelim

Dolayısıyla, son matrisin üçüncü satırına karşılık gelen denklem çelişkilidir - 0 = -1 eşitliğinin yanlış olmasına neden olmuştur, bu nedenle bu sistem tutarsızdır.

Jordan-Gauss yöntemi 3 Gauss yönteminin geliştirilmiş halidir. Bunun özü, sistemin genişletilmiş matrisinin, değişkenlerin katsayılarının satır veya sütun 4'ün permütasyonuna kadar bir özdeşlik matrisi oluşturduğu bir forma dönüştürülmesidir (burada r, sistem matrisinin sırasıdır).

Sistemi şu yöntemle çözelim:

Sistemin genişletilmiş matrisini ele alalım:

Bu matriste bir birim eleman seçiyoruz. Örneğin üçüncü kısıttaki x 2'nin katsayısı 5'tir. Bu sütunda kalan satırların sıfır içerdiğinden emin olalım. Sütunu tekli yapalım. Dönüşüm sürecinde buna şunu diyeceğiz: kolonhoşgörülü(öncü, anahtar). Üçüncü sınırlama (üçüncü astar) biz de arayacağız hoşgörülü. Kendim elemançözümleyen satır ve sütunun kesişme noktasında duran (işte bu bir) aynı zamanda denir hoşgörülü.

İlk satır artık katsayıyı (-1) içeriyor. Onun yerine sıfır almak için üçüncü satırı (-1) ile çarpın ve sonucu ilk satırdan çıkarın (yani ilk satırı üçüncüye ekleyin).

İkinci satırda 2 katsayısı bulunur. Onun yerine sıfır almak için üçüncü satırı 2 ile çarpın ve sonucu ilk satırdan çıkarın.

Dönüşümün sonucu şöyle görünecek:

Bu matristen, ilk iki kısıtlamadan birinin üzerinin çizilebileceği açıkça görülmektedir (karşılık gelen satırlar orantılıdır, yani bu denklemler birbirini takip eder). Örneğin ikincinin üzerini çizelim:

Yani yeni sistemin iki denklemi var. Tek bir sütun (ikinci) elde edilir ve buradaki birim ikinci satırda görünür. Yeni sistemin ikinci denkleminin x 2 temel değişkenine karşılık geleceğini hatırlayalım.

İlk satır için bir temel değişken seçelim. Bu, x 3 dışında herhangi bir değişken olabilir (çünkü x 3 için ilk kısıtın katsayısı sıfırdır, yani x 2 ve x 3 değişkenleri kümesi burada temel olamaz). Birinci veya dördüncü değişkeni alabilirsiniz.

x 1'i seçelim. O zaman çözme elemanı 5 olacak ve ilk satırın ilk sütununda bir tane elde etmek için çözme denkleminin her iki tarafının da beşe bölünmesi gerekecek.

Geriye kalan satırların (yani ikinci satırın) ilk sütununda sıfır olduğundan emin olalım. Artık ikinci satır sıfır değil 3 içerdiğinden, dönüştürülmüş ilk satırın elemanlarını ikinci satırdan 3 ile çarpmamız gerekiyor:

Ortaya çıkan matristen, temel olmayan değişkenleri sıfıra ve temel olanları karşılık gelen denklemlerdeki serbest terimlere eşitleyerek doğrudan bir temel çözüm elde edilebilir: (0,8; -3,4; 0; 0). Ayrıca temel değişkenleri temel olmayan değişkenler aracılığıyla ifade eden genel formüller de türetebilirsiniz: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Bu formüller sistemin sonsuz çözüm kümesinin tamamını tanımlar (x 3 ve x 4'ü rastgele sayılara eşitleyerek x 1 ve x 2'yi hesaplayabilirsiniz).

Jordan-Gauss yönteminin her aşamasındaki dönüşümlerin özünün aşağıdaki gibi olduğuna dikkat edin:

1) çözünürlük çizgisi, onun yerine bir birim elde etmek için çözünürlük elemanına bölündü,

2) dönüştürülmüş çözümleyici öğe diğer tüm satırlardan çıkarılıp çözümleme sütunundaki belirli satırda bulunan öğeyle çarpılarak bu öğenin yerine sıfır elde edildi.

Sistemin dönüştürülmüş genişletilmiş matrisini tekrar ele alalım:

Bu kayıttan A sisteminin matrisinin rütbesinin r'ye eşit olduğu açıktır.

Akıl yürütmemiz sırasında, sistemin ancak ve ancak şu şekilde işbirlikçi olacağını tespit ettik:
. Bu, sistemin genişletilmiş matrisinin şöyle görüneceği anlamına gelir:

Sıfır satırları atarak sistemin genişletilmiş matrisinin rütbesinin de r'ye eşit olduğunu elde ederiz.

Kronecker-Capelli teoremi. Bir doğrusal denklem sistemi ancak ve ancak sistemin matrisinin sıralaması bu sistemin genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse tutarlıdır.

Bir matrisin rütbesinin, doğrusal olarak bağımsız satırlarının maksimum sayısına eşit olduğunu hatırlayın. Bundan, genişletilmiş matrisin sırası denklem sayısından azsa, sistemin denklemleri doğrusal olarak bağımlıdır ve bunlardan bir veya daha fazlası sistemden çıkarılabilir (çünkü doğrusaldırlar) diğerlerinin kombinasyonu). Bir denklem sistemi ancak genişletilmiş matrisin rütbesi denklem sayısına eşitse doğrusal olarak bağımsız olacaktır.

Ayrıca, eşzamanlı doğrusal denklem sistemleri için, matrisin derecesi değişken sayısına eşitse sistemin benzersiz bir çözümü olduğu ve değişken sayısından azsa o zaman olduğu iddia edilebilir. Sistem belirsizdir ve sonsuz sayıda çözümü vardır.

1Örneğin, matriste beş satır olsun (orijinal satır sırası 12345'tir). İkinci satırı ve beşinci satırı değiştirmemiz gerekiyor. İkinci satırın beşincinin yerini alması ve aşağı doğru "hareket etmesi" için, bitişik satırları art arda üç kez değiştiririz: ikinci ve üçüncü (13245), ikinci ve dördüncü (13425) ve ikinci ve beşinci (13452) ). Daha sonra, orijinal matriste beşinci satırın ikincinin yerini alması için, beşinci satırı yalnızca iki ardışık değişiklikle "kaydırmak" gerekir: beşinci ve dördüncü satırlar (13542) ve beşinci ve üçüncü. (15342).

2n'den r'ye kadar kombinasyon sayısı bir n-element kümesinin tüm farklı r-element altkümelerinin sayısını çağırırlar (farklı eleman bileşimlerine sahip olanlar farklı kümeler olarak kabul edilir; seçim sırası önemli değildir). Aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
. “!” İşaretinin anlamını hatırlayalım. (faktöriyel):
0!=1.)

3 Bu yöntem daha önce tartışılan Gauss yönteminden daha yaygın olduğundan ve esas olarak Gauss yönteminin ileri ve geri adımlarının bir birleşimi olduğundan, bazen adının ilk kısmı çıkarılarak Gauss yöntemi olarak da anılır.

4Örneğin,
.

5Sistem matrisinde hiç birim olmasaydı, örneğin ilk denklemin her iki tarafını da ikiye bölmek mümkün olurdu ve o zaman ilk katsayı birlik olurdu; veya benzeri

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemi, tüm ortak çözümlerinin bulunması gereken iki veya daha fazla doğrusal denklemdir. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini ele alacağız. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin genel görünümü aşağıdaki şekilde gösterilmektedir:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir, a1, a2, b1, b2, c1, c2 bazı reel sayılardır. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin çözümü bir (x,y) sayı çiftidir; öyle ki, bu sayıları sistemin denklemlerinde yerine koyarsak, sistemin denklemlerinin her biri gerçek bir eşitliğe dönüşür. Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin birkaç yolu vardır. Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin yollarından birini, yani toplama yöntemini ele alalım.

Toplama yöntemiyle çözme algoritması

İki bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek için bir algoritma.

1. Gerekirse her iki denklemdeki bilinmeyen değişkenlerden birinin katsayılarını eşdeğer dönüşümler kullanarak eşitleyin.

2. Ortaya çıkan denklemleri toplayarak veya çıkararak, bir bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde edin

3. Ortaya çıkan denklemi bir bilinmeyenle çözün ve değişkenlerden birini bulun.

4. Ortaya çıkan ifadeyi sistemin iki denkleminden herhangi birinde yerine koyun ve bu denklemi çözerek ikinci değişkeni elde edin.

5. Çözümü kontrol edin.

Toplama yöntemini kullanan bir çözüm örneği

Daha fazla netlik sağlamak için, aşağıdaki iki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözelim:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Değişkenlerin hiçbirinin katsayıları aynı olmadığından y değişkeninin katsayılarını eşitliyoruz. Bunu yapmak için ilk denklemi üçle, ikinci denklemi ikiyle çarpın.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Aldık aşağıdaki denklem sistemi:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Şimdi ikinci denklemden birinciyi çıkarıyoruz. Benzer terimleri sunuyoruz ve ortaya çıkan doğrusal denklemi çözüyoruz.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Ortaya çıkan değeri orijinal sistemimizdeki ilk denklemde yerine koyarız ve ortaya çıkan denklemi çözeriz.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Sonuç x=6 ve y=14 sayılarından oluşan bir çifttir. Kontrol ediyoruz. Bir değişiklik yapalım.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Gördüğünüz gibi iki doğru eşitliğimiz var, dolayısıyla doğru çözümü bulduk.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Denklem sistemleri. Değiştirme yöntemi, toplama yöntemi, yeni bir değişken ekleme yöntemi"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Atanasyan L.S.'nin ders kitapları için simülatör Ders kitapları için simülatör Pogorelova A.V.

Eşitsizlik sistemlerini çözme yöntemleri

Arkadaşlar, denklem sistemlerini inceledik ve bunları grafikler kullanarak nasıl çözeceğimizi öğrendik. Şimdi sistemleri çözmenin başka hangi yollarının mevcut olduğunu görelim?
Bunları çözme yöntemlerinin neredeyse tamamı 7. sınıfta okuduklarımızdan farklı değil. Şimdi çözmeyi öğrendiğimiz denklemlere göre bazı ayarlamalar yapmamız gerekiyor.
Bu derste anlatılan tüm yöntemlerin özü, sistemi daha basit bir form ve çözümle eşdeğer bir sistemle değiştirmektir. Arkadaşlar, eşdeğer sistemin ne olduğunu unutmayın.

İkame yöntemi

İki değişkenli denklem sistemlerini çözmenin ilk yolu bizim tarafımızdan iyi bilinmektedir - bu, ikame yöntemidir. Bu yöntemi doğrusal denklemleri çözmek için kullandık. Şimdi genel durumda denklemlerin nasıl çözüleceğini görelim.

Karar verirken nasıl ilerlemelisiniz?
1. Değişkenlerden birini diğerine göre ifade ediniz. Denklemlerde en sık kullanılan değişkenler x ve y'dir. Denklemlerden birinde bir değişkeni diğerine göre ifade ediyoruz. İpucu: Çözmeye başlamadan önce her iki denkleme de dikkatlice bakın ve değişkeni ifade etmenin daha kolay olduğu denklemi seçin.
2. Ortaya çıkan ifadeyi, ifade edilen değişken yerine ikinci denklemde değiştirin.
3. Bulduğumuz denklemi çözün.
4. Ortaya çıkan çözümü ikinci denklemde yerine koyun. Birkaç çözüm varsa, birkaç çözümü kaybetmemek için bunları sırayla değiştirmeniz gerekir.
5. Sonuç olarak, cevap olarak yazılması gereken bir çift $(x;y)$ sayısını alacaksınız.

Örnek.
İki değişkenli bir sistemi ikame yöntemini kullanarak çözün: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Çözüm.
Denklemlerimize daha yakından bakalım. Açıkçası, ilk denklemde y'yi x cinsinden ifade etmek çok daha basittir.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(case)$.
İlk ifadeyi ikinci denklemde $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ yerine koyalım.
İkinci denklemi ayrı ayrı çözelim:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
İkinci denklem $x_1=2$ ve $x_2=3$ için iki çözüm elde ettik.
İkinci denklemde sırayla yerine koyarız.
$x=2$ ise $y=3$ olur. $x=3$ ise $y=2$ olur.
Cevap iki çift sayı olacaktır.
Cevap: $(2;3)$ ve $(3;2)$.

Cebirsel toplama yöntemi

Bu yöntemi 7. sınıfta da işlemiştik.
Denklemin her iki tarafını da çarpmayı unutmadan, iki değişkenli bir rasyonel denklemi herhangi bir sayıyla çarpabileceğimiz bilinmektedir. Denklemlerden birini belirli bir sayı ile çarptık, böylece ortaya çıkan denklemi sistemin ikinci denklemine eklerken değişkenlerden biri yok oldu. Daha sonra kalan değişken için denklem çözüldü.
Değişkenlerden birini yok etmek her zaman mümkün olmasa da bu yöntem hala işe yarıyor. Ancak denklemlerden birinin biçimini önemli ölçüde basitleştirmenize olanak tanır.

Örnek.
Sistemi çözün: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Çözüm.
İlk denklemi 2 ile çarpalım.
$\begin(case)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(case)$.
Birinci denklemden ikinciyi çıkaralım.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Gördüğünüz gibi ortaya çıkan denklemin formu orijinalinden çok daha basittir. Artık yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Ortaya çıkan denklemde x'i y cinsinden ifade edelim.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(case)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
$y=-1$ ve $y=-3$ elde ettik.
Bu değerleri sırasıyla ilk denklemde yerine koyalım. İki çift sayı elde ederiz: $(1;-1)$ ve $(-1;-3)$.
Cevap: $(1;-1)$ ve $(-1;-3)$.

Yeni bir değişken ekleme yöntemi

Bu yöntemi de inceledik ama gelin tekrar bakalım.

Örnek.
Sistemi çözün: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Çözüm.
$t=\frac(x)(y)$ yerine geçeni tanıtalım.
İlk denklemi yeni bir değişkenle yeniden yazalım: $t+\frac(2)(t)=3$.
Ortaya çıkan denklemi çözelim:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
$t=2$ veya $t=1$ elde ederiz. $t=\frac(x)(y)$ ters değişimini tanıtalım.
Şunu elde ettik: $x=2y$ ve $x=y$.

İfadelerin her biri için orijinal sistemin ayrı ayrı çözülmesi gerekir:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(case)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(case)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(case)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(case)$.
$\begin(case)x=2y, \\7y^2=1\end(case)$. $\begin(case)x=2y, \\y^2=1\end(case)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(case)x=y, \\y=±1\end(case)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(case)x=±1, \\y=±1\end(case)$.
Dört çift çözüm aldık.
Cevap: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Örnek.
Sistemi çözün: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(durum)$.

Çözüm.
Değiştirmeyi tanıtalım: $z=\frac(2)(x-3y)$ ve $t=\frac(3)(2x+y)$.
Orijinal denklemleri yeni değişkenlerle yeniden yazalım:
$\begin(case)z+t=2, \\4z-3t=1\end(case)$.
Cebirsel toplama yöntemini kullanalım:
$\begin(case)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(case)$.
$\begin(case)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(case)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(case)$.
$\begin(case)z=1, \\t=1\end(case)$.
Ters ikameyi tanıtalım:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(case)x-3y=2, \\2x+y=3\end(case)$.
Değiştirme yöntemini kullanalım:
$\begin(case)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(case)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(case)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Cevap: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Bağımsız çözüm için denklem sistemleriyle ilgili problemler

Sistemleri çözün:
1. $\begin(case)2x-2y=6,\\xy =-2\end(case)$.
2. $\begin(case)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(case)$.
3. $\begin(case)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(case)$.
4. $\begin(case)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ bitiş(durumlar)$.
5. $\begin(case)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

1. İkame yöntemi: sistemin herhangi bir denkleminden bir bilinmeyeni diğeriyle ifade ederiz ve onu sistemin ikinci denkleminde yerine koyarız.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm.İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden en başından sonuna kadar X ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım orijinaline eşdeğerdir.

Benzer terimler getirildikten sonra sistem şu şekli alacaktır:

İkinci denklemden şunu buluyoruz: . Bu değeri denklemde yerine koymak en = 2 - 2X, alıyoruz en= 3. Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

2. Cebirsel toplama yöntemi: İki denklem toplayarak tek değişkenli bir denklem elde edersiniz.

Görev. Sistem denklemini çözün:

Çözüm.İkinci denklemin her iki tarafını da 2 ile çarparak sistemi elde ederiz. orijinaline eşdeğerdir. Bu sistemin iki denklemini topladığımızda sisteme ulaşıyoruz.

Benzer terimler getirildikten sonra bu sistem şu şekli alacaktır: İkinci denklemden şunu buluyoruz. Bu değeri denklem 3'te yerine koyarsak X + 4en= 5, şunu elde ederiz , Neresi . Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

3. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi: Sistemde yeni değişkenlerle göstereceğimiz bazı tekrar eden ifadeler arıyoruz, böylece sistemin görünümünü basitleştiriyoruz.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm. Bu sistemi farklı yazalım:

İzin vermek x + y = sen, xy = v. Daha sonra sistemi alıyoruz.

Değiştirme yöntemini kullanarak çözelim. İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden sen başından sonuna kadar v ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım onlar.

Bulduğumuz sistemin ikinci denkleminden v 1 = 2, v 2 = 3.

Bu değerleri denklemde yerine koymak sen = 5 - v, alıyoruz sen 1 = 3,
sen 2 = 2. O zaman iki sistemimiz var

İlk sistemi çözerek iki çift sayı elde ederiz (1; 2), (2; 1). İkinci sistemin çözümü yoktur.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar

1.Denklem sistemlerini yerine koyma yöntemini kullanarak çözebilecektir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.