GirişHorner yöntemi örnekleri. Yüksek matematikte denklemler, polinomların rasyonel kökleri. Horner şeması
“Profesyonel Matematik Öğretmeni” web sitesi, öğretimle ilgili metodolojik makaleler dizisine devam ediyor. Okul müfredatının en karmaşık ve sorunlu konularıyla çalışma yöntemlerimin açıklamalarını yayınlıyorum. Bu materyal, hem normal programda hem de matematik dersleri programında 8-11. sınıf öğrencileriyle çalışan matematik öğretmenleri ve eğitmenleri için faydalı olacaktır.
Bir matematik öğretmeni ders kitabında yetersiz bir şekilde sunulan materyali her zaman açıklayamaz. Ne yazık ki, bu tür konuların sayısı giderek artıyor ve kılavuzların yazarları takip edilerek sunum hataları topluca yapılıyor. Bu sadece yeni başlayan matematik öğretmenleri ve yarı zamanlı öğretmenler (öğretmenler öğrenciler ve üniversite eğitmenleridir) için değil aynı zamanda deneyimli öğretmenler, profesyonel öğretmenler, deneyim ve niteliklere sahip öğretmenler için de geçerlidir. Matematik öğretmenlerinin tümü, okul ders kitaplarındaki pürüzlü kenarları yetkin bir şekilde düzeltme yeteneğine sahip değildir. Herkes bu düzeltmelerin (veya eklemelerin) gerekli olduğunu da anlamıyor. Materyalin çocuklar tarafından niteliksel olarak algılanması için uyarlanmasına çok az çocuk katılıyor. Ne yazık ki, matematik öğretmenlerinin metodolojistler ve yayın yazarlarıyla birlikte ders kitabının her harfini toplu olarak tartıştığı zamanlar geçti. Daha önce bir ders kitabının okullara sunulmasından önce öğrenme çıktılarına ilişkin ciddi analizler ve çalışmalar yapılıyordu. Ders kitaplarını evrensel hale getirmeye çalışan ve onları güçlü matematik derslerinin standartlarına göre ayarlayan amatörlerin zamanı geldi.
Bilgi miktarını artırma yarışı, yalnızca özümsenme kalitesinin düşmesine ve bunun sonucunda matematikteki gerçek bilgi düzeyinin düşmesine yol açar. Ancak kimse buna dikkat etmiyor. Ve çocuklarımız zaten 8. sınıftayken enstitüde okuduklarımızı öğrenmeye zorlanıyorlar: olasılık teorisi, yüksek dereceli denklemlerin çözümü ve başka bir şey. Kitaplardaki materyalin çocuğun tam algısına göre uyarlanması arzu edilen çok şey bırakıyor ve matematik öğretmeni bununla bir şekilde uğraşmak zorunda kalıyor.
Yetişkin matematiğinde daha çok "Bezout teoremi ve Horner şeması" olarak bilinen "bir polinomu bir polinomla bir köşeye bölmek" gibi özel bir konuyu öğretme metodolojisi hakkında konuşalım. Sadece birkaç yıl önce, bu soru bir matematik öğretmeni için o kadar da acil değildi çünkü ana okul müfredatının bir parçası değildi. Telyakovski'nin editörlüğünü yaptığı ders kitabının saygın yazarları artık son baskı bence en iyi ders kitabı ve onu tamamen mahvetmiş olmak, öğretmene yalnızca gereksiz endişeler kattı. Matematik statüsüne sahip olmayan okul ve sınıfların öğretmenleri, yazarların yeniliklerine odaklanarak derslerine daha sık ek paragraflar eklemeye başladı ve meraklı çocuklar, matematik ders kitaplarının güzel sayfalarına bakarak giderek daha fazla soru sormaya başladı. öğretmen: “Bu köşeye bölme nedir? Bunu atlatacak mıyız? Bir köşe nasıl paylaşılır? Artık bu tür doğrudan sorulardan saklanacak yer yok. Öğretmenin çocuğa bir şeyler söylemesi gerekecek.
Ancak? Ders kitaplarında yetkin bir şekilde sunulmuş olsaydı, muhtemelen konuyla çalışma yöntemini tanımlamazdım. Bizde her şey nasıl gidiyor? Ders kitaplarının basılıp satılması gerekiyor. Bunun için de düzenli olarak güncellenmeleri gerekiyor. Üniversite öğretmenleri çocukların kendilerine boş kafalı, bilgisiz, becerisiz gelmelerinden mi şikayetçi? Matematik bilgisine yönelik gereksinimler artıyor mu? Harika! Bazı alıştırmaları kaldıralım ve bunun yerine başka programlarda çalışılan konuları ekleyelim. Ders kitabımız neden daha kötü? Bazı ek bölümler ekleyeceğiz. Okul çocukları köşeyi bölme kuralını bilmiyor mu? Bu temel matematiktir. Bu paragraf “daha fazlasını öğrenmek isteyenler için” başlığıyla isteğe bağlı hale getirilmelidir. Öğretmenler buna karşı mı? Genel olarak öğretmenleri neden önemsiyoruz? Metodologlar ve okul öğretmenleri de buna karşı mı? Malzemeyi karmaşıklaştırmayacağız ve en basit kısmını ele alacağız.
Ve işte burada başlıyor. Konunun basitliği ve özümsenmesinin kalitesi, her şeyden önce mantığını anlamakta ve ders kitabı yazarlarının talimatlarına uygun olarak birbiriyle açıkça ilişkili olmayan belirli bir dizi işlemi gerçekleştirmede yatmaktadır. . Aksi takdirde öğrencinin kafasında sisler oluşacaktır. Yazarlar nispeten güçlü öğrencileri hedefliyorsa (fakat normal bir programda eğitim görüyorlarsa), o zaman konuyu emir şeklinde sunmamalısınız. Ders kitabında ne görüyoruz? Çocuklar, bu kurala göre bölme yapmalıyız. Polinomu açının altına alın. Böylece orijinal polinom çarpanlara ayrılacaktır. Ancak köşenin altındaki terimlerin neden tam olarak bu şekilde seçildiğini, neden köşenin üstündeki polinomla çarpılıp mevcut kalandan çıkarılması gerektiğini anlamak açık değildir. Ve en önemlisi, seçilen tek terimlilerin neden sonunda eklenmesi gerektiği ve ortaya çıkan parantezlerin neden orijinal polinomun bir uzantısı olacağı açık değildir. Her yetkin matematikçi ders kitabında verilen açıklamaların üzerine kalın soru işareti koyacaktır.
Ders kitabında belirtilen her şeyi pratikte öğrenci için açık hale getiren probleme yönelik çözümümü öğretmenlerin ve matematik öğretmenlerinin dikkatine sunuyorum. Aslında Bezout teoremini kanıtlayacağız: Eğer a sayısı bir polinomun kökü ise, o zaman bu polinom faktörlere ayrılabilir; bunlardan biri x-a'dır ve ikincisi orijinalden üç yoldan biriyle elde edilebilir: doğrusal bir faktörü dönüşümler yoluyla izole ederek, bir köşeye bölerek veya Horner şemasıyla. Bu formülasyonla bir matematik öğretmeninin çalışması daha kolay olacaktır.
Öğretim metodolojisi nedir? Her şeyden önce, bu, matematiksel sonuçların çıkarıldığı açıklamalar ve örnekler dizisindeki açık bir düzendir. Bu konu bir istisna değil. Bir matematik öğretmeninin çocuğa Bezout teoremini tanıtması çok önemlidir. bir köşeye bölmeden önce. Bu çok önemli! Anlamayı sağlamanın en iyi yolu, spesifik örnek. Seçilmiş bir köke sahip bir polinomu alalım ve 7. sınıftan beri okul çocuklarına aşina olan bir yöntemi kullanarak onu faktörlere ayırma tekniğini gösterelim. kimlik dönüşümleri. Bir matematik öğretmeninin uygun açıklamaları, vurguları ve ipuçlarıyla, herhangi bir genel matematiksel hesaplama, keyfi katsayılar ve güçler olmadan materyali aktarmak oldukça mümkündür.
Matematik öğretmeni için önemli tavsiyeler- Talimatları baştan sona takip edin ve bu sırayı değiştirmeyin.
Diyelim ki bir polinomumuz var. X yerine 1 sayısını koyarsak polinomun değeri sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle x=1 onun köküdür. Bunu iki terime ayırmaya çalışalım, böylece bunlardan biri doğrusal bir ifadenin ve bir tek terimlinin çarpımı olsun, ikincisi ise 'den bir küçük dereceye sahip olsun. Yani, onu formda temsil edelim
Kırmızı alan için tek terimliyi, baş terimle çarpıldığında orijinal polinomun baş terimiyle tamamen çakışacak şekilde seçiyoruz. Eğer öğrenci en zayıf öğrenci değilse, o zaman matematik öğretmenine gerekli ifadeyi söyleme konusunda oldukça yetenekli olacaktır: . Öğretmenden hemen kırmızı alana yerleştirmesi ve açıldığında ne olacağını göstermesi istenmelidir. Bu sanal geçici polinomu okların altına (küçük fotoğrafın altına) işaretlemek ve onu mavi gibi bir renkle vurgulamak en iyisidir. Bu, seçimin geri kalanı olarak adlandırılan kırmızı alan için bir terim seçmenize yardımcı olacaktır. Öğretmenlere burada bu kalanın çıkarma yoluyla bulunabileceğini belirtmelerini tavsiye ederim. Bu işlemi gerçekleştirerek şunu elde ederiz:
Matematik öğretmeni öğrencinin dikkatini, bu eşitliğin yerine bir koyduğumuzda sol tarafta sıfır elde edeceğimizin garanti olduğu gerçeğine çekmelidir (çünkü 1 orijinal polinomun köküdür) ve sağ tarafta da tabii ki aynı zamanda ilk terimi de sıfırlayacaktır. Bu, herhangi bir doğrulama olmaksızın birinin “yeşil kalanın” kökü olduğunu söyleyebileceğimiz anlamına gelir.
Bunu orijinal polinomla yaptığımız gibi ele alalım, ondan aynı doğrusal faktörü ayıralım. Matematik öğretmeni öğrencinin önüne iki çerçeve çizer ve soldan sağa doğru doldurmalarını ister.
Öğrenci öğretmen için kırmızı alan için bir monom seçer, böylece doğrusal ifadenin baş terimiyle çarpıldığında genişleyen polinomun baş terimini verir. Onu çerçeveye sığdırıyoruz, hemen braketi açıyoruz ve katlanan ifadeden çıkarılması gereken ifadeyi mavi renkle vurguluyoruz. Bu işlemi gerçekleştirerek elde ederiz
Ve son olarak son kalanla da aynısını yapıyoruz
sonunda alacağız
Şimdi ifadeyi parantezden çıkaralım ve orijinal polinomun faktörlere ayrıştırılmasını göreceğiz; bunlardan biri "x eksi seçilen kök".
Öğrencinin son "yeşil kalanın" kazara gerekli faktörlere ayrıştırıldığını düşünmesini önlemek için matematik öğretmeni şunu belirtmelidir: önemli özellik tüm yeşil kalanların her biri kök 1'e sahiptir. Bu kalanların dereceleri azaldığından, ilk polinomun derecesi bize verilirse verilsin, er ya da geç kök 1 ile doğrusal bir "yeşil kalan" elde edeceğiz ve bu nedenle zorunlu olarak bir miktar sayı ve ifadeyi ürüne ayrıştıracaktır.
Böyle bir hazırlık çalışmasının ardından bir matematik öğretmeninin köşeye bölme işleminde ne olduğunu öğrenciye açıklaması zor olmayacaktır. Bu aynı süreçtir, yalnızca daha kısa ve daha kompakt bir biçimde, eşit işaretler olmadan ve vurgulanan aynı terimler yeniden yazılmadan. Doğrusal faktörün çıkarıldığı polinom köşenin soluna yazılır, seçilen kırmızı monomlar belli bir açıyla toplanır (şimdi neden toplanmaları gerektiği anlaşılıyor), "mavi polinomlar", "kırmızı" elde edilir. ” olanlar x-1 ile çarpılmalı ve ardından seçili olandan, sayıların olağan bir sütuna bölünmesinde bunun nasıl yapıldığı çıkarılmalıdır (burada daha önce çalışılanla bir benzetme vardır). Ortaya çıkan "yeşil kalıntılar" yeni izolasyona ve "kırmızı monomiyallerin" seçimine tabi tutulur. Ve bu, sıfır "yeşil denge" elde edene kadar devam eder. Önemli olan öğrencinin anlaması başka kader açının üstünde ve altında yazılı polinomlar. Açıkçası bunlar, çarpımı orijinal polinomuna eşit olan parantezlerdir.
Matematik öğretmeninin çalışmasının bir sonraki aşaması Bezout teoreminin formülasyonudur. Aslında eğitmenin bu yaklaşımıyla formülasyonu açık hale geliyor: Eğer a sayısı bir polinomun kökü ise, o zaman biri çarpanlara ayrılabilir ve diğeri orijinalinden üç yoldan biriyle elde edilir. :
- doğrudan ayrıştırma (gruplama yöntemine benzer)
- bir köşeye bölme (bir sütunda)
- Horner'ın devresi aracılığıyla
Tüm matematik öğretmenlerinin öğrencilere horner diyagramını göstermediği ve tüm okul öğretmenlerinin (neyse ki öğretmenlerin kendileri için) dersler sırasında konuya bu kadar derinlemesine girmediği söylenmelidir. Ancak bir matematik dersi öğrencisi için uzun bölme işleminde durmak için bir neden göremiyorum. Üstelik en kullanışlı ve hızlı Ayrıştırma tekniği tam olarak Horner'ın şemasına dayanmaktadır. Bir çocuğa nereden geldiğini açıklamak için, köşeye bölme örneğini kullanarak yeşil kalanlarda daha yüksek katsayıların görünümünü izlemek yeterlidir. Başlangıç polinomunun baş katsayısının birinci “kırmızı monomiyalin” katsayısına ve ayrıca mevcut üst polinomun ikinci katsayısına taşındığı açıktır. düşüldü“kırmızı monomiyalin” mevcut katsayısının ile çarpılmasının sonucu. Bu nedenle mümkün eklemek ile çarpmanın sonucu. Öğrencinin dikkatini katsayılarla eylemlerin özelliklerine odakladıktan sonra, bir matematik öğretmeni bu eylemlerin genellikle değişkenleri kaydetmeden nasıl gerçekleştirildiğini gösterebilir. Bunu yapmak için orijinal polinomun kökünü ve katsayılarını öncelik sırasına göre aşağıdaki tabloya girmek uygundur:
Bir polinomda herhangi bir derece eksikse sıfır katsayısı tabloya zorlanır. “Kırmızı polinomların” katsayıları “kanca” kuralına göre alt satıra sırasıyla yazılır: 
Kök, son kırmızı katsayı ile çarpılır, üst satırdaki bir sonraki katsayıya eklenir ve sonuç alt satıra yazılır. Son sütunda, son “yeşil kalanın” en yüksek katsayısını, yani sıfırı almamız garanti edilir. İşlem tamamlandıktan sonra sayılar eşleşen kök ile sıfır kalan arasına sıkıştırılmış ikinci (doğrusal olmayan) faktörün katsayıları olduğu ortaya çıktı.
Kök a, alt satırın sonunda sıfır verdiğinden, Horner şeması bir polinomun kökünün başlığına ilişkin sayıları kontrol etmek için kullanılabilir. Rasyonel köklerin seçimine ilişkin özel bir teorem ise. Bu unvanın yardımıyla elde edilen tüm adaylar, soldan sırayla Horner diyagramına eklenir. Sıfır alır almaz test edilen sayı bir kök olacak ve aynı zamanda orijinal polinomun kendi doğrusu üzerinde çarpanlara ayrılmasının katsayılarını alacağız. Çok rahat.
Sonuç olarak, Horner'ın şemasını doğru bir şekilde tanıtmak ve konuyu pratik olarak pekiştirmek için bir matematik öğretmeninin yeterli sayıda saate sahip olması gerektiğini belirtmek isterim. “Haftada bir” rejimiyle çalışan bir öğretmenin köşe taksimi yapmaması gerekir. Matematikte Birleşik Devlet Sınavında ve Matematikte Devlet Matematik Akademisi'nde, ilk bölümde bu tür yollarla çözülebilecek üçüncü dereceden bir denklemle karşılaşmanız pek olası değildir. Bir öğretmen çocuğu Moskova Devlet Üniversitesi'nde matematik sınavına hazırlıyorsa, konunun incelenmesi zorunlu hale gelir. Üniversite öğretmenleri, Birleşik Devlet Sınavı'nın derleyicilerinin aksine, başvuranın bilgi derinliğini test etmeyi gerçekten severler.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, matematik öğretmeni Moskova, Strogino
Slayt 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) - İngiliz matematikçi. Bristol'da doğdum. Orada okudu ve çalıştı, ardından Bath'taki okullarda çalıştı. Cebirle ilgili temel çalışmalar. 1819'da Bir polinomun gerçek köklerinin yaklaşık olarak hesaplanması için şu anda Ruffini-Horner yöntemi olarak adlandırılan bir yöntem yayınladı (bu yöntem 13. yüzyılda Çinliler tarafından biliniyordu).Bir polinomu binom x-a'ya bölme şemasına şu ad verilir: Horner'dan sonra.
Slayt 4
HORNER ŞEMASI
Bölme yöntemi n'inci polinom doğrusal bir binom derecesi - a, tamamlanmamış bölümün katsayılarının ve geri kalanının bölünebilir polinomun katsayılarıyla ve formüllerle ilişkili olduğu gerçeğine dayanarak:
Slayt 5
Horner şemasına göre hesaplamalar tabloya yerleştirilmiştir:
Örnek 1. Böl Kısmi bölüm x3-x2+3x - 13 ve kalan 42=f(-3)'tür.
Slayt 6
Bu yöntemin temel avantajı, gösterimin kompaktlığı ve bir polinomu hızlı bir şekilde binoma bölme yeteneğidir. Aslında Horner'ın şeması, gruplama yöntemini kaydetmenin başka bir biçimidir, ancak ikincisinden farklı olarak tamamen görsel değildir. Cevap (çarpanlara ayırma) burada kendiliğinden elde edilir ve onu elde etme sürecini görmüyoruz. Horner'ın planının kesin bir şekilde kanıtlanmasına girişmeyeceğiz, yalnızca nasıl çalıştığını göstereceğiz.
Slayt 7
Örnek 2.
P(x)=x4-6x3+7x-392 polinomunun x-7'ye bölünebileceğini kanıtlayalım ve bölmenin bölümünü bulalım. Çözüm. Horner'ın şemasını kullanarak P(7)'yi buluyoruz: Buradan P(7)=0 elde ediyoruz, yani. bir polinomu x-7'ye bölerken kalan sıfıra eşit ve dolayısıyla P(x) polinomu (x-7)'nin katıdır.Üstelik tablonun ikinci satırındaki sayılar P(x)'in (x-7)'ye bölümünün katsayılarıdır, dolayısıyla P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
Slayt 8
x3 – 5x2 – 2x + 16 polinomunu çarpanlarına ayırın.
Bu polinomun tamsayı katsayıları vardır. Eğer bir tamsayı bu polinomun kökü ise, o zaman 16 sayısının bölenidir. Dolayısıyla, eğer belirli bir polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar yalnızca ±1 sayıları olabilir; ±2; ±4; ±8; ±16. Doğrudan doğrulamayla 2 sayısının bu polinomun kökü olduğuna ikna olduk, yani x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), burada Q(x) ikinci dereceden bir polinomdur
Slayt 9
Ortaya çıkan 1, −3, −8 sayıları orijinal polinomun x – 2'ye bölünmesiyle elde edilen polinomun katsayılarıdır. Bu da bölme sonucunun şu şekilde olduğu anlamına gelir: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Bölme sonucu elde edilen bir polinomun derecesi her zaman orijinalinin derecesinden 1 eksiktir. Yani: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Dersin Hedefleri:
- öğrencilere denklem çözmeyi öğretin daha yüksek dereceler Horner'ın planını kullanarak;
- çiftler halinde çalışma yeteneğini geliştirmek;
- dersin ana bölümleriyle birlikte öğrencilerin yeteneklerini geliştirmek için bir temel oluşturmak;
- öğrencinin potansiyelini değerlendirmesine, matematiğe olan ilgisini geliştirmesine, düşünme yeteneğini geliştirmesine ve konu hakkında konuşmasına yardımcı olun.
Teçhizat: grup çalışması için kartlar, Horner diyagramını içeren poster.
Öğretme yöntemi: anlatım, hikaye, anlatım, eğitim alıştırmalarının yapılması.
Kontrol şekli: görevleri kontrol etmek bağımsız karar, bağımsız iş.
Dersler sırasında
1. Organizasyon anı
2. Öğrencilerin bilgilerini güncellemek
Hangi teorem, bir sayının belirli bir denklemin kökü olup olmadığını belirlemenizi sağlar (bir teorem formüle edin)?
Bezout'un teoremi. P(x) polinomunun binom'a bölümünden kalan x-c eşittir P(c), eğer P(c)=0 ise c sayısına P(x) polinomunun kökü denir. Teorem, bölme işlemini gerçekleştirmeden belirli bir sayının bir polinomun kökü olup olmadığını belirlemeye olanak tanır.
Hangi ifadeler kökleri bulmayı kolaylaştırır?
a) Polinomun baş katsayısı ise bire eşit ise polinomun kökleri serbest terimin bölenleri arasında aranmalıdır.
b) Bir polinomun katsayılarının toplamı 0 ise köklerden biri 1'dir.
c) Çift yerlerdeki katsayıların toplamı tek yerlerdeki katsayıların toplamına eşitse köklerden biri -1'e eşittir.
d) Tüm katsayılar pozitifse polinomun kökleri negatif sayılardır.
e) Derecesi tek olan bir polinomun en az bir gerçek kökü vardır.
3. Yeni materyal öğrenmek
Tam sayıları çözerken cebirsel denklemler polinomların köklerinin değerlerini bulmanız gerekiyor. Hesaplamalar Horner şeması adı verilen özel bir algoritma kullanılarak yapılırsa bu işlem önemli ölçüde basitleştirilebilir. Bu devre adını İngiliz bilim adamı William George Horner'dan almıştır. Horner şeması, P(x) polinomunun x-c'ye bölünmesinin bölümünü ve kalanını hesaplamaya yönelik bir algoritmadır. Kısaca nasıl çalıştığını.
Keyfi bir polinom P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n verilsin. Bu polinomun x-c'ye bölünmesi P(x)=(x-c)g(x) + r(x) formundaki temsilidir. Kısmi g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, burada 0 =a 0, in n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Kalan r(x)= st n-1 +a n. Bu hesaplama yöntemine Horner şeması denir. Algoritmanın adındaki “schema” kelimesi, uygulamasının genellikle aşağıdaki şekilde biçimlendirilmesinden kaynaklanmaktadır. İlk önce tablo 2(n+2)'yi çizin. Sol alt hücreye c sayısını ve üst satıra P(x) polinomunun katsayılarını yazın. Bu durumda sol üst hücre boş bırakılır.
0 =a 0'da |
1'de =st 1 +a 1 |
2 = sv'de 1 + A 2 |
n-1 =st n-2 +a n-1'de |
r(x)=f(c)=st n-1 +a n |
Algoritmayı çalıştırdıktan sonra sağ alt hücreye yazılan sayı, P(x) polinomunun x-c'ye bölümünden kalan sayıdır. En alttaki 0, 1, 2,...'deki diğer sayılar bölümün katsayılarıdır.
Örneğin: P(x)= x 3 -2x+3 polinomunu x-2'ye bölün.
x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7 sonucunu elde ederiz.
4. Çalışılan materyalin konsolidasyonu
Örnek 1: P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 polinomunu tamsayı katsayılı faktörlere ayırın.
Serbest terimin -1: 1 bölenleri arasında tam kökler arıyoruz; -1. Bir tablo yapalım:
X = -1 – kök
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
1/2'yi kontrol edelim.
X=1/2 - kök |
Bu nedenle, P(x) polinomu şu şekilde temsil edilebilir:
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
Örnek 2: 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 denklemini çözün
Denklemin sol tarafına yazılan polinomun katsayılarının toplamı sıfıra eşit olduğundan köklerden biri 1 olur. Horner şemasını kullanalım:
X=1 - kök |
P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) elde ederiz. Serbest terim 2'nin bölenleri arasındaki kökleri arayacağız.
Artık sağlam köklerin kalmadığını öğrendik. 1/2'yi kontrol edelim; -1/2.
X= -1/2 - kök |
Cevap 1; -1/2.
Örnek 3: 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 denklemini çözün.
Bu denklemin köklerini 5:1;-1;5;-5 serbest teriminin bölenleri arasında arayacağız. Katsayıların toplamı sıfır olduğundan x=1 denklemin köküdür. Horner'ın şemasını kullanalım:
Denklemi üç faktörün çarpımı olarak sunalım: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Karar verme ikinci dereceden denklem 5x 2 -7x+5=0, D=49-100=-51 elde ettik, kök yok.
Kart 1
- Polinomu çarpanlara ayırın: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- Denklemi çözün: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
Kart 2
- Polinomu çarpanlara ayırın: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- Denklemi çözün: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
Kart 3
- Şunu çarpanlara ayırın: 2x 3 -21x 2 +37x+24
- Denklemi çözün: x 3 -2x 2 +4x-8=0
Kart 4
- Şunu çarpanlara ayırın: 5x 3 -46x 2 +79x-14
- Denklemi çözün: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. Özetleme
Çiftler halinde çözerken bilginin test edilmesi, sınıfta eylem yöntemi ve cevabın adı tanınarak gerçekleştirilir.
Ev ödevi:
Denklemleri çözün:
a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0
b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2
d) x 4 +2x 3 -x-2=0
Edebiyat
- N.Ya. Vilenkin ve diğerleri, Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (matematiğin derinlemesine incelenmesi): Aydınlanma, 2005.
- kullanıcı arayüzü Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Yüksek dereceli denklemlerin çözümü: Volgograd, 2007.
- S.B. Gashkov, Sayı sistemleri ve uygulamaları.
İleri geri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.
Ders türü: Temel bilgilerin öğrenilmesi ve pekiştirilmesine yönelik bir ders.
Dersin amacı:
- Öğrencilere polinomun kökleri kavramını tanıtın ve onlara bunları nasıl bulacaklarını öğretin. Bir polinomu kuvvetlere göre genişletmek ve bir polinomu binomla bölmek için Horner şemasını kullanma becerilerini geliştirin.
- Horner diyagramını kullanarak bir denklemin köklerini bulmayı öğrenin.
- Soyut düşünmeyi geliştirin.
- Bir bilgi işlem kültürünü teşvik edin.
- Disiplinlerarası bağlantıların geliştirilmesi.
Dersler sırasında
1. Organizasyon anı.
Dersin konusunu bilgilendirin, hedefleri formüle edin.
2. Ödevleri kontrol etmek.
3. Yeni materyalin incelenmesi.
Fn(x) olsun = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - n dereceli x için bir polinom, burada a 0 , a 1 ,...,a n sayılardır ve a 0 0'a eşit değildir. F n (x) polinomu x-a binomuyla kalanla bölünürse ise bölüm (eksik bölüm) n-1 dereceli Q n-1 (x) polinomudur, geri kalan R bir sayıdır ve eşitlik doğrudur F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. F n (x) polinomu yalnızca R=0 durumunda binom (x-a) ile bölünebilir.
Bezout teoremi: Bir F n (x) polinomunu bir binom (x-a) ile bölerken kalan R değere eşit x=a için polinom Fn(x), yani R=Pn(a).
Biraz tarih. Bezout teoremi, görünürdeki basitliğine ve açıklığına rağmen polinom teorisinin temel teoremlerinden biridir. Bu teorem, polinomların cebirsel özelliklerini (polinomların tamsayı olarak ele alınmasına izin veren) fonksiyonel özellikleriyle (polinomların fonksiyon olarak ele alınmasına izin veren) ilişkilendirir. Yüksek dereceli denklemleri çözmenin bir yolu, denklemin sol tarafındaki polinomu çarpanlarına ayırmaktır. Polinomun katsayılarının ve kalanın hesaplanması Horner şeması adı verilen bir tablo şeklinde yazılmıştır.
Horner şeması, bölümün bir binoma eşit olduğu özel durum için yazılmış, polinomları bölmeye yönelik bir algoritmadır. x-a.
Horner William George (1786 - 1837), İngiliz matematikçi. Ana araştırma cebirsel denklemler teorisi ile ilgilidir. Herhangi bir dereceden denklemlerin yaklaşık çözümü için bir yöntem geliştirildi. 1819'da cebir için bir polinomun binom x - a'ya bölünmesine ilişkin önemli bir yöntem (Horner şeması) tanıttı.
Çözüm Genel formül Horner'ın planı için.
Bir f(x) polinomunu bir kalanla bir binom (x-c) ile bölmek, f(x)=(x-c)q(x)+r olacak şekilde bir q(x) polinomu ve bir r sayısı bulmak anlamına gelir
Bu eşitliği detaylı olarak yazalım:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Katsayıları aynı derecelerde eşitleyelim:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Horner devresinin bir örnek kullanılarak gösterilmesi.
1. Egzersiz. Horner şemasını kullanarak, f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 polinomunu, geri kalanını binom x-2'ye böleriz.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, burada g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 kalan.
Bir polinomun binomun kuvvetlerine göre açılımı.
Horner'ın şemasını kullanarak, f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 polinomunu binomun (x+2) kuvvetleri cinsinden genişletiyoruz.
Sonuç olarak, f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) açılımını elde etmeliyiz. )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Horner şeması genellikle üçüncü, dördüncü ve daha yüksek derecedeki denklemleri çözerken, polinomu binom x-a'ya genişletmenin uygun olduğu durumlarda kullanılır. Sayı A isminde polinomun kökü F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, eğer x=a Fn(x) polinomunun değeri sıfıra eşittir: Fn(a)=0, yani. eğer polinom binom x-a'ya bölünebiliyorsa.
Örneğin, F 3 (2)=0 olduğundan 2 sayısı F 3 (x)=3x 3 -2x-20 polinomunun köküdür. anlamı. Bu polinomun çarpanlarına ayrılmasının bir x-2 çarpanı içermesi.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Derecenin herhangi bir polinomu F n(x) N Daha fazlasına sahip olamam N gerçek kökler.
Tamsayı katsayılı bir denklemin herhangi bir tamsayı kökü, serbest teriminin bir böleni olur.
Denklemin baş katsayısı 1 ise, o zaman hepsi rasyonel kökler denklemler, eğer varsa, tamsayılardır.
Çalışılan materyalin konsolidasyonu.
Yeni materyali pekiştirmek için öğrenciler ders kitabı 2.41 ve 2.42'deki sayıları tamamlamaya davet edilir (s. 65).
(2 öğrenci tahtada çözer ve geri kalanı karar verdikten sonra not defterindeki ödevleri tahtadaki cevaplarla kontrol eder).
Özetleme.
Horner şemasının yapısı ve çalışma prensibi anlaşıldıktan sonra, tam sayıları ondalık sayı sisteminden ikili sisteme ve tam tersi şekilde dönüştürme konusu göz önüne alındığında bilgisayar bilimleri derslerinde de kullanılabilir. Bir sayı sisteminden diğerine aktarmanın temeli aşağıdaki genel teoremdir
Teorem. Bir tam sayıyı dönüştürmek için ap itibaren P-ary sayı sisteminden temel sayı sistemine D gerekli ap art arda kalanı sayıya böl D, aynı şekilde yazılmış P-ary sistemi, elde edilen bölüm sıfıra eşit olana kadar. Bölünmeden arta kalanlar ise D-sayısal rakamlar Reklam En genç kategoriden başlayarak en yaşlı kategoriye kadar. Tüm eylemler şu şekilde gerçekleştirilmelidir: P-ary sayı sistemi. Bir kişi için bu kural yalnızca şu durumlarda uygundur: P= 10, yani çevirirken itibaren ondalık sistem. Bilgisayara gelince ise tam tersine ikili sistemde hesaplama yapması "daha uygundur". Bu nedenle “2'yi 10'a” çevirmek için ikili sistemde sıralı olarak on'a bölme, “10'dan 2'ye” ise on'un kuvvetlerinin toplanmasıdır. “10'u 2'de” prosedürünün hesaplamalarını optimize etmek için bilgisayar Horner'ın ekonomik hesaplama planını kullanıyor.
Ev ödevi. İki görevi tamamlamanız önerildi.
1 inci. Horner şemasını kullanarak, f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 polinomunu binom (x-3)'e bölün.
2.. f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 polinomunun tamsayı köklerini bulun (tamsayı katsayılı bir denklemin herhangi bir tamsayı kökünün serbest teriminin bir böleni olduğu dikkate alındığında)
Edebiyat.
- Kurosh A.G. “Yüksek Cebir Kursu.”
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. ve diğerleri 10. Sınıf “Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı.”
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.