Noktalar arasındaki mesafe formülü. GPS koordinatları arasındaki mesafe nasıl hesaplanır

Koordinatları kullanarak bir nesnenin konumunu belirleyin küre. Koordinatlar enlem ve boylamla gösterilir. Enlemler ekvator çizgisinin her iki yanından ölçülür. Kuzey Yarımküre'de enlemler pozitiftir. Güney Yarımküre- olumsuz. Boylam, başlangıç ​​meridyeninden sırasıyla doğu veya batı olarak ölçülür, doğu veya batı boylamı elde edilir.

Genel kabul gören görüşe göre başlangıç ​​meridyeni, Greenwich'teki eski Greenwich Gözlemevi'nden geçen meridyen olarak kabul edilir. Konumun coğrafi koordinatları bir GPS navigatörü kullanılarak elde edilebilir. Bu cihaz, tüm dünya için aynı olan WGS-84 koordinat sisteminde uydu konumlandırma sistemi sinyallerini alır.

Navigatör modelleri üretici, işlevsellik ve arayüz açısından farklılık gösterir. Şu anda bazı cep telefonu modellerinde yerleşik GPS navigasyon cihazları da mevcuttur. Ancak herhangi bir model bir noktanın koordinatlarını kaydedebilir ve kaydedebilir.

GPS koordinatları arasındaki mesafe

Bazı endüstrilerdeki pratik ve teorik problemleri çözmek için noktalar arasındaki mesafeleri koordinatlarına göre belirleyebilmek gerekir. Bunu yapmanın birkaç yolu vardır. Coğrafi koordinatları temsil etmenin kanonik biçimi: derece, dakika, saniye.

Örneğin, aşağıdaki koordinatlar arasındaki mesafeyi belirleyebilirsiniz: 1 numaralı nokta - enlem 55°45′07″ K, boylam 37°36′56″ E; 2 numaralı nokta - 58°00′02″ K enlemi, 102°39′42″ E boylamı.

En kolay yol, iki nokta arasındaki uzunluğu hesaplamak için bir hesap makinesi kullanmaktır. Tarayıcı arama motorunda aşağıdaki arama parametrelerini ayarlamanız gerekir: çevrimiçi - iki koordinat arasındaki mesafeyi hesaplamak için. Çevrimiçi hesap makinesinde birinci ve ikinci koordinatlar için sorgu alanlarına enlem ve boylam değerleri girilir. Hesaplarken çevrimiçi hesap makinesi sonucu verdi - 3.800.619 m.

Bir sonraki yöntem daha emek yoğun ama aynı zamanda daha görsel. Mevcut herhangi bir harita veya navigasyon programını kullanmalısınız. Koordinatları kullanarak noktalar oluşturabileceğiniz ve aralarındaki mesafeleri ölçebileceğiniz programlar aşağıdaki uygulamaları içerir: BaseCamp (MapSource programının modern bir benzeri), Google Earth, SAS.Planet.

Yukarıdaki programların tümü herhangi bir ağ kullanıcısı tarafından kullanılabilir. Örneğin Google Earth'te iki koordinat arasındaki mesafeyi hesaplamak için birinci noktanın ve ikinci noktanın koordinatlarını gösteren iki etiket oluşturmanız gerekir. Daha sonra "Cetvel" aracını kullanarak birinci ve ikinci işaretleri bir çizgiyle bağlamanız gerekir, program otomatik olarak ölçüm sonucunu gösterecek ve yolu Dünya'nın uydu görüntüsünde gösterecektir.

Yukarıda verilen örnekte, Google Earth programı sonucu döndürdü - 1 No'lu nokta ile 2 No'lu nokta arasındaki mesafenin uzunluğu 3,817,353 m'dir.

Mesafeyi belirlerken neden bir hata var?

Koordinatlar arasındaki mesafeye ilişkin tüm hesaplamalar yay uzunluğunun hesaplanmasına dayanmaktadır. Yayın uzunluğunun hesaplanmasında Dünya'nın yarıçapı rol oynar. Ancak Dünya'nın şekli yassı bir elipsoide yakın olduğundan, Dünya'nın yarıçapı belirli noktalarda değişiklik gösterir. Koordinatlar arasındaki mesafeyi hesaplamak için Dünya'nın yarıçapının ortalama değeri alınır, bu da ölçümde hata verir. Ölçülen mesafe ne kadar büyük olursa hata da o kadar büyük olur.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi verilsin.

Teorem 1.1. Düzlemin herhangi iki M 1 (x 1;y 1) ve M 2 (x 2;y 2) noktası için, aralarındaki d mesafesi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Kanıt. Sırasıyla M 1 ve M 2 noktalarından M 1 B ve M 2 A dikmelerini bırakalım.

Oy ve Ox ekseninde ve M 1 B ve M 2 A çizgilerinin kesişme noktasını K ile belirtir (Şekil 1.4). Aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) M 1, M 2 ve K noktaları farklıdır. Açıkçası, K noktasının koordinatları vardır (x 2;y 1). M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô olduğunu görmek kolaydır. Çünkü ∆M 1 KM 2 dikdörtgenseldir, bu durumda Pisagor teoremine göre d = M 1 M 2 = = .

2) K noktası, M2 noktasıyla çakışır, ancak M1 noktasından farklıdır (Şekil 1.5). Bu durumda y 2 = y 1

ve d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) K noktası M1 noktasıyla çakışır ancak M2 noktasından farklıdır. Bu durumda x 2 = x 1 ve d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) M2 noktası M1 noktasıyla çakışmaktadır. O halde x 1 = x 2, y 1 = y 2 ve

d = M 1 M 2 = Ö = .

Bu bakımdan bir segmentin bölünmesi.

Düzlemde keyfi bir M 1 M 2 parçası verilsin ve bunun herhangi bir noktası M ─ olsun

M2 noktasından farklı segment (Şekil 1.6). l = eşitliği ile tanımlanan l sayısı , isminde davranış, bu noktada M, M 1 M 2 parçasını böler.

Teorem 1.2. Bir M(x;y) noktası M 1 M 2 parçasını l'ye göre bölerse, bu noktanın koordinatları formüllerle belirlenir.

x = , y = , (4)

burada (x 1;y 1) ─ M 1 noktasının koordinatları, (x 2;y 2) ─ M 2 noktasının koordinatları.

Kanıt. Formüllerden (4) ilkini kanıtlayalım. İkinci formül de benzer şekilde kanıtlanmıştır. İki olası durum vardır.

x = x 1 = = = .

2) M 1 M 2 düz çizgisi Ox eksenine dik değildir (Şekil 1.6). Dikleri M 1, M, M 2 noktalarından Ox eksenine indirelim ve bunların Ox ekseni ile kesişme noktalarını sırasıyla P 1, P, P 2 olarak belirleyelim. Hakkındaki teorem ile orantılı bölümler = 1.

Çünkü P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô ve (x – x 1) ve (x 2 – x) sayıları aynı işarete sahiptir (x 1'de)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 negatif), o zaman

ben = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Sonuç 1.2.1. Eğer M 1 (x 1;y 1) ve M 2 (x 2;y 2) iki rastgele noktaysa ve M(x;y) noktası M 1 M 2 doğru parçasının ortasıysa, o zaman

x = , y = (5)

Kanıt. M 1 M = M 2 M olduğundan l = 1 olur ve formül (4)'ü kullanarak formül (5)'i elde ederiz.

Bir üçgenin alanı.

Teorem 1.3. Aynı üzerinde yer almayan herhangi bir A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) ve C(x 3;y 3) noktası için

düz çizgide ABC üçgeninin S alanı aşağıdaki formülle ifade edilir:

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Kanıt. Alan ∆ ABC Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.7, aşağıdaki gibi hesaplıyoruz

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Yamukların alanını hesaplıyoruz:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Şimdi elimizde

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Başka bir ∆ ABC konumu için formül (6) benzer şekilde kanıtlanır, ancak “-” işaretiyle sonuçlanabilir. Bu nedenle formül (6)'ya modül işaretini koydular.

Ders 2.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi: asal katsayılı bir doğrunun denklemi, genel denklem doğru, doğrunun parçalar halinde denklemi, iki noktadan geçen doğrunun denklemi. Düz çizgiler arasındaki açı, bir düzlemdeki düz çizgilerin paralellik ve diklik koşulları.

2.1. Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi ve bir L doğrusu verilsin.

Tanım 2.1. x ve y değişkenlerini birbirine bağlayan F(x;y) = 0 formundaki bir denklem denir. çizgi denklemi L(belirli bir koordinat sisteminde), eğer bu denklem, bu çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından değil, L çizgisi üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanıyorsa.

Düzlemdeki doğru denklemlerine örnekler.

1) Dikdörtgen koordinat sisteminin Oy eksenine paralel bir düz çizgi düşünün (Şekil 2.1). Bu doğrunun Ox ekseniyle kesiştiği noktayı (a;o) ─ or- ile A harfiyle gösterelim.

Dinatlar. Denklem x = a verilen doğrunun denklemidir. Aslında bu denklem, bu doğrunun herhangi bir M(a;y) noktasının koordinatları tarafından sağlanır ve bu doğru üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanmaz. Eğer a = 0 ise düz çizgi, x = 0 denklemine sahip olan Oy ekseniyle çakışır.

2) x - y = 0 denklemi, I ve III koordinat açılarının açıortaylarını oluşturan düzlemin noktaları kümesini tanımlar.

3) Denklem x 2 - y 2 = 0 ─ iki koordinat açısının denklemidir.

4) x 2 + y 2 = 0 denklemi düzlem üzerinde tek bir O(0;0) noktasını tanımlar.

5) Denklem x 2 + y 2 = 25 ─ yarıçapı 5 olan ve merkezi orijinde olan bir dairenin denklemi.

Noktalar arasındaki mesafeleri düzlemdeki koordinatlarına göre hesaplamak basit bir işlemdir; Dünya yüzeyinde biraz daha karmaşıktır: projeksiyon dönüşümleri olmadan noktalar arasındaki mesafeyi ve başlangıç ​​azimutunu ölçmeyi ele alacağız. Öncelikle terminolojiyi anlayalım.

giriiş

Büyük daire yay uzunluğu- bir kürenin yüzeyinde bulunan herhangi iki nokta arasındaki, bu iki noktayı birleştiren çizgi boyunca ölçülen (böyle bir çizgiye ortodromi denir) ve kürenin yüzeyinden veya başka bir dönüş yüzeyinden geçen en kısa mesafe. Küresel geometri normal Öklid geometrisinden farklıdır ve uzaklık denklemleri de farklı bir biçim alır. Öklid geometrisinde iki nokta arasındaki en kısa mesafe düz bir çizgidir. Küre üzerinde düz çizgiler yoktur. Küre üzerindeki bu çizgiler, merkezleri kürenin merkeziyle çakışan büyük dairelerin parçalarıdır. İlk azimut- azimut, A noktasından hareket etmeye başladığınızda, B noktasına en kısa mesafe için büyük daireyi takip ederek, bitiş noktası B noktası olacaktır. Büyük daire çizgisi boyunca A noktasından B noktasına hareket ederken, azimut B bitiş noktasına kadar mevcut konum sabittir ve değişmektedir. Başlangıç ​​azimutu sabit olandan farklıdır, sonrasında mevcut noktadan son noktaya olan azimut değişmez, ancak izlenen rota iki nokta arasındaki en kısa mesafe değildir.

Bir kürenin yüzeyindeki herhangi iki noktadan, eğer birbirlerinin tam karşısında değillerse (yani antipod değillerse), benzersiz bir büyük daire çizilebilir. İki nokta büyük bir daireyi iki yaya böler. Kısa yayın uzunluğu iki nokta arasındaki en kısa mesafedir. İki antipodal nokta arasına sonsuz sayıda büyük daire çizilebilir, ancak aralarındaki mesafe herhangi bir dairede aynı olacak ve dairenin çevresinin yarısına veya π*R'ye eşit olacaktır; burada R, kürenin yarıçapıdır.

Bir düzlemde (dikdörtgen bir koordinat sisteminde), yukarıda belirtildiği gibi büyük daireler ve bunların parçaları, büyük dairelerin düz çizgiler olduğu gnomonik projeksiyon dışındaki tüm projeksiyonlarda yayları temsil eder. Uygulamada bu, uçakların ve diğer hava taşımacılığının yakıt tasarrufu sağlamak için her zaman noktalar arasındaki minimum mesafeyi kullanan rotayı kullandığı, yani uçuşun yay gibi görünen bir düzlem üzerinde büyük bir daire mesafesi boyunca gerçekleştirildiği anlamına gelir.

Dünyanın şekli bir küre olarak tanımlanabilir, bu nedenle büyük daire mesafe denklemleri, Dünya yüzeyindeki noktalar arasındaki en kısa mesafeyi hesaplamak için önemlidir ve genellikle navigasyonda kullanılır. Bu yöntemle mesafeyi hesaplamak, öngörülen koordinatlara (dikdörtgen koordinat sistemlerinde) göre hesaplamaktan daha verimli ve çoğu durumda daha doğrudur, çünkü ilk olarak çeviri gerektirmez coğrafi koordinatlar dikdörtgen bir koordinat sistemine dönüştürün (projeksiyon dönüşümlerini gerçekleştirin) ve ikinci olarak, birçok projeksiyon, yanlış seçilirse, projeksiyon distorsiyonlarının özellikleri nedeniyle önemli uzunluk bozulmalarına yol açabilir. Dünyanın şeklini daha doğru tanımlayanın küre değil elipsoid olduğu biliniyor ancak bu makalede küre özelinde mesafelerin hesaplanması ele alınıyor; hesaplamalar için yarıçapı 6.372.795 metre olan bir küre kullanılıyor. bu da mesafelerin hesaplanmasında %0,5 düzeyinde hataya neden olabilir.

Formüller

Büyük dairenin küresel mesafesini hesaplamanın üç yolu vardır. 1. Küresel kosinüs teoremi Uzaklıkların ve hesaplama derinliğinin (ondalık basamak sayısı) küçük olması durumunda formülün kullanılması önemli yuvarlama hatalarına yol açabilir. φ1, λ1; φ2, λ2 - radyan cinsinden iki noktanın enlemi ve boylamı Δλ - boylamdaki koordinat farkı Δδ - açısal fark Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Çeviri için açısal mesafe Metrik olarak, açı farkını Dünyanın yarıçapı (6372795 metre) ile çarpmanız gerekir, son mesafenin birimleri yarıçapın ifade edildiği birimlere (bu durumda metre) eşit olacaktır. 2. Haversine formülü Kısa mesafelerde sorun yaşamamak için kullanılır. 3. Antipodların modifikasyonuÖnceki formül aynı zamanda antipodal noktalar problemine de tabidir; bunu çözmek için aşağıdaki modifikasyon kullanılır.

PHP'deki uygulamam

// Dünya yarıçapı define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * İki nokta arasındaki mesafe * $φA, $λA - 1. noktanın enlemi, boylamı, * $φB, $λB - 2. noktanın enlemi, boylamı * http://gis-lab.info/ temel alınarak yazılmıştır. qa/great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ function hesaplaTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // koordinatları radyana dönüştürün $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // enlem ve boylam farklarının kosinüsleri ve sinüsleri $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($ lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $uzun2 - $uzun1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // hesaplamalar büyük daire uzunluğu $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) İşlev çağrısı örneği: $lat1 = 77.1539; $uzun1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $uzun2 = -139,55; echo hesaplaTheDistance($enlem1, $uzun1, $enlem2, $uzun2) . "metre"; // "17166029 metre" değerini döndür

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe.
Koordinat sistemleri

Düzlemin her A noktası koordinatları (x, y) ile karakterize edilir. Koordinatların orijini olan 0 noktasından çıkan 0A vektörünün koordinatlarıyla çakışırlar.

A ve B'nin düzlemin sırasıyla (x 1 y 1) ve (x 2, y 2) koordinatlarına sahip rastgele noktaları olmasına izin verin.

O zaman AB vektörünün koordinatları olduğu açıktır (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Vektör uzunluğunun karesinin olduğu bilinmektedir. toplamına eşit koordinatlarının kareleri. Bu nedenle, A ve B noktaları arasındaki d mesafesi veya aynı şey olan AB vektörünün uzunluğu şu koşuldan belirlenir:

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Ortaya çıkan formül, yalnızca bu noktaların koordinatları biliniyorsa, düzlemdeki herhangi iki nokta arasındaki mesafeyi bulmanızı sağlar.

Düzlemdeki belirli bir noktanın koordinatlarından bahsettiğimizde, iyi tanımlanmış bir x0y koordinat sistemini kastediyoruz. Genel olarak bir düzlemdeki koordinat sistemi farklı şekillerde seçilebilir. Yani x0y koordinat sistemi yerine eski koordinat eksenlerinin 0 başlangıç ​​noktası etrafında döndürülmesiyle elde edilen x"0y" koordinat sistemini düşünebilirsiniz. saat yönünün tersine köşedeki oklar α .

Eğer x0y koordinat sistemindeki düzlemin bir noktasının koordinatları (x, y) varsa, o zaman yeni sistem x"0y" koordinatları farklı koordinatlara (x", y") sahip olacaktır.

Örnek olarak, 0x ekseninde bulunan ve 0 noktasından 1 uzaklıkta ayrılan M noktasını düşünün.

Açıkçası, x0y koordinat sisteminde bu noktanın koordinatları vardır (çünkü α ,günah α ) ve x"0y" koordinat sisteminde koordinatlar (1,0)'dır.

A ve B düzlemindeki herhangi iki noktanın koordinatları, bu düzlemde koordinat sisteminin nasıl belirtildiğine bağlıdır. Ancak bu noktalar arasındaki mesafe koordinat sisteminin belirtilme yöntemine bağlı değildir. Bir sonraki paragrafta bu önemli durumdan önemli ölçüde yararlanacağız.

Egzersizler

I. Düzlemin noktaları arasındaki mesafeleri koordinatlarla bulun:

1) (3.5) ve (3.4); 3) (0,5) ve (5, 0); 5) (-3,4) ve (9, -17);

2) (2, 1) ve (- 5, 1); 4) (0, 7) ve (3,3); 6) (8, 21) ve (1, -3).

II. Kenarları denklemlerle verilen bir üçgenin çevresini bulun:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 ve y = 1.

III. x0y koordinat sisteminde M ve N noktaları sırasıyla (1, 0) ve (0,1) koordinatlarına sahiptir. Eski eksenlerin başlangıç ​​noktası etrafında saat yönünün tersine 30° açıyla döndürülmesiyle elde edilen yeni koordinat sisteminde bu noktaların koordinatlarını bulun.

IV. x0y koordinat sisteminde M ve N noktaları (2, 0) ve (\ / 3/2, - 1/2) sırasıyla. Eski eksenlerin başlangıç ​​noktası etrafında saat yönünde 30° açıyla döndürülmesiyle elde edilen yeni koordinat sisteminde bu noktaların koordinatlarını bulun.

Düzlemin her A noktası koordinatları (x, y) ile karakterize edilir. Koordinatların orijini olan 0 noktasından çıkan 0A vektörünün koordinatlarıyla çakışırlar.

A ve B'nin düzlemin sırasıyla (x 1 y 1) ve (x 2, y 2) koordinatlarına sahip rastgele noktaları olmasına izin verin.

O zaman AB vektörünün koordinatları olduğu açıktır (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Bir vektörün uzunluğunun karesinin, koordinatlarının karelerinin toplamına eşit olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, A ve B noktaları arasındaki d mesafesi veya aynı şey olan AB vektörünün uzunluğu şu koşuldan belirlenir:

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Ortaya çıkan formül, yalnızca bu noktaların koordinatları biliniyorsa, düzlemdeki herhangi iki nokta arasındaki mesafeyi bulmanızı sağlar.

Düzlemdeki belirli bir noktanın koordinatlarından bahsettiğimizde, iyi tanımlanmış bir x0y koordinat sistemini kastediyoruz. Genel olarak bir düzlemdeki koordinat sistemi farklı şekillerde seçilebilir. Yani x0y koordinat sistemi yerine eski koordinat eksenlerinin 0 başlangıç ​​noktası etrafında döndürülmesi sonucu elde edilen xִy koordinat sistemini düşünebiliriz. saat yönünün tersine köşedeki oklar α .

X0y koordinat sistemindeki düzlemin belirli bir noktasının koordinatları (x, y) varsa, o zaman yeni xִy koordinat sisteminde farklı koordinatlara (x, y) sahip olacaktır.

Örnek olarak, 0x ekseninde bulunan ve 0 noktasından 1 uzaklıkta ayrılan M noktasını düşünün.

Açıkçası, x0y koordinat sisteminde bu noktanın koordinatları vardır (çünkü α ,günah α ) ve xִy koordinat sisteminde koordinatlar (1,0)'dır.

A ve B düzlemindeki herhangi iki noktanın koordinatları, bu düzlemde koordinat sisteminin nasıl belirtildiğine bağlıdır. Ve burada bu noktalar arasındaki mesafe koordinat sistemini belirleme yöntemine bağlı değildir .

Diğer materyaller