Stereometride yapılardaki problemlerin çözümü için metodoloji. Bir düzlemdeki uzaysal figürlerin matematik görüntüsüne ilişkin özet

Başta düz olanlar olmak üzere figür görüntüleri oluşturmanın özellikleri ve görüntüler üzerinde figür oluşturma görevi dikkate alınır.

Stereometride figürlerin tasviri konusunu incelerken düz figürlerin tasvirine odaklanacağız. Ve bu anlaşılabilir bir durumdur, çünkü gerçek bir fiziksel nesneye (bir ev, bir zar, bir kitap vb.) baktığımızda, çoğu durumda düz parçalardan oluşan bir yüzey görüyoruz (Şekil 201 - 203). Çizimler ve teknik çizimler öncelikle bir nesnenin yüzeyini tasvir etmeye çalışır ve hayat deneyimi yüzey detaylarının arkasında nesneyi bir bütün olarak görmeyi mümkün kılar.

Ana geometrik şekil bir üçgen olduğundan, hangi şeklin bir üçgenin görüntüsü olabileceğini bulalım. Daha sonra planimetriden bilinen diğer çokgenleri tasvir etme konusunu tartışabiliriz.Ayrıca en basitini tasvir etmekten de bahsedeceğiz. mekansal figürler.

Görüntünün geometrik temeli olarak paralel tasarımı ele alalım. Öncelikle “imge” kavramının içeriğini netleştirmek gerekiyor çünkü bir figürün imajını doğrudan anlamak için onun paralel izdüşümü yeterlidir.

rahatsız. Figür büyük boyutlar Bir kağıda yansıtmak kesinlikle imkansızdır - görüntünün sığması için şeklin paralel projeksiyonunun orantılı olarak azaltılması (veya diğer durumlarda büyütülmesi) gerekir.

Uzamsal bir figürün görüntüsü, belirli bir şeklin belirli bir düzleme paralel projeksiyonuna benzer bir şekildir.

Bu tanım ilave gerektirir. Görüntünün şekil hakkında mümkün olduğunca fazla bilgi içermesi gerektiği açıktır. Şekil 2'deki küpün paralel izdüşümünün olması muhtemel değildir. 204, a) bu figürün özelliklerini tam olarak yansıtmaktadır. Bu yüzden

çokyüzlülerin görüntüsü, görünür ve görünmez köşelerini ve kenarlarını gösterir. Belirtildiği gibi, görünmez çizgiler kesikli çizgilerle tasvir edilmiştir. Böylece Şekil 2'deki küpün görüntüsü elde edilmiştir. 204, b)

daha fazlasını verir full bilgi küp hakkında. Uzaysal fi-görüntüde

Gurs ayrıca onun resimlerini de öne çıkarıyor önemli unsurlar(örneğin köşegenler, bölümler vb.).

Tanımın projeksiyon düzlemini veya tasarım yönünü sabitlemediğini unutmayın. Bu anlaşılabilir bir durumdur, çünkü değerlendirmeye uygun bir pozisyon keyfi olarak seçilebilir.

Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Hangi şekil bir üçgenin görüntüsü olabilir? Üçgenin çıkıntılı düzlemde olduğu durum

ty, bunu dikkate almayacağız. Bu durumda bir segment üzerine yansıtılır (Şek. 205).

Bir üçgenin paralel izdüşümü bir üçgen olduğundan (yukarıda belirtilen durum hariç), bu durumda üçgenin görüntüsü de bir üçgen olmalıdır.

kare Aynı zamanda şu soru ortaya çıkıyor: "Hangi üçgen bu üçgenin görüntüsü sayılabilir?" Bilindiği gibi paralel tasarımla

Değişirken parçaların uzunlukları ve açı ölçüleri değişir. Bir ikizkenar üçgenin paralel izdüşümünün genel olarak bir çeşitkenar üçgen olduğu, geniş bir üçgenin izdüşümünün dar bir üçgen olabileceği vb. açıktır.

Gölgelerini Güneş'ten veya uzaktaki bir lambadan alırken karton üçgen modelleriyle basit deneyler yapmak, bir üçgenin paralel izdüşümlerinin şeklinin farklı olabileceğini gösterir. Dahası, modelin uygun şekilde yerleştirilmesiyle belirli bir şekle sahip bir üçgenin projeksiyon olarak elde edilebileceğine ikna edilebilir. Böylece bir üçgenin çeşitli gölgelerini göz önünde bulundurarak aşağıdaki sonuca varabiliriz.

Bu üçgenin görüntüsü rastgele bir üçgen olabilir.

Bu gerçeğin matematiksel bir doğrulaması daha sonra yapılacaktır. Bunu kullanarak, bazı dört kişinin imajına ilişkin kesin sonuçlar çıkarılabilir.

yeniden açılar. Paralel tasarımın özelliklerinden

Buradan bir paralelkenarın görüntüsünün keyfi olduğu sonucu çıkar.

paralelkenar. Aslında paralelkenar çapraz olarak iki eşit üçgene bölünmüştür (Şekil 206, a). Resim

ABD üçgeninin ifadesi herhangi bir A 1 B 1 D 1 üçgeni olabilir. Tamamlanmış

ve A 1 B 1 D 1 üçgeninden paralelkenara

Bu üçgen tarafından benzersiz bir şekilde belirlenen ma (Şekil 206, b), aşağıdaki sonucu elde ederiz.

Bu paralelkenarın görüntüleri herhangi bir paralelkenar olabilir.

Yamuklarla ilgili olarak her iki görüntüde de benzer bir sonuca varılamaz çünkü paralel tasarım sırasında paralel tabanların uzunluklarının oranı korunmalıdır. Örneğin, bazlardan biri ikincinin yarısı kadarsa, görüntüde bu oranın korunması gerekir. Tabii ki, bir yamuğun görüntüsü bir yamuk olmalıdır (ama keyfi bir değil!).

Diğer çokgenlerin görüntüsüne gelince, aynı çizgide yer almayan üç noktasını (örneğin üç köşe) seçebilirsiniz. Bu noktalar, isteğe bağlı bir üçgen olarak çizilebilecek bir üçgeni tanımlar. Ayrıca, paralel projeksiyonun özelliklerini kullanarak (bunlar aynı zamanda görüntülerin özellikleridir), bazı durumlarda çokgenin tamamının bir görüntüsünü oluşturmak mümkündür.

Uzaya yerleştirilmiş bazı düz figürleri tasvir etmeyi öğrendikten sonra, en basit mekansal figürleri tasvir etmeye başlayabiliriz.

Dikdörtgen bir paralel uçlu veya küpün görüntüleri, rastgele bir paralel uçlu görüntüden farklı değildir, çünkü karelerin ve dikdörtgenlerin görüntüleri isteğe bağlı paralelkenarlar olabilir. Çoğu zaman küp, Şekil 2'de gösterildiği gibi tasvir edilir. 207, a). İncirde. 207, b)–d) küp görselleri de verilmiştir. Ancak Şekil'den farklı olarak. 207, a), bu görüntülerden küpün özellikleri hakkında fikir edinmek zordur. İncirde. 207, b), c) görseller basit ve doğrudur, yani paralel tasarım kanunlarına göre yapılmıştır. Ancak bunlar görsel değildir. Bu, bazı durumlarda verilen görsellerin her birine ihtiyacımız olmayacağı anlamına gelmez.

Paralel borulu görüntünün yapısını daha ayrıntılı olarak ele alalım. §7'de bir paralelyüz, yüzleri altı paralelkenar olan bir çokyüzlü olarak kabul edildi. §8'de parçalardan şekiller oluşturmaya yönelik bir yaklaşım düşündük. Haydi yararlanalım

onlara. Bu α düzleminde bir ABCD paralelkenarı oluşturacağız ve tüm köşeleri boyunca α düzlemiyle kesişen paralel çizgiler çizeceğiz (Şekil 208). Bu düz çizgiler üzerinde, α düzleminin bir tarafında, aynı uzunluktaki AA 1, BB 1, CС 1, DD 1 segmentlerini çiziyoruz. A 1, B 1, C 1, D 1 noktalarının aynı düzlemde bulunduğunu ve A 1 B 1 C 1 D 1 paralelkenarının köşeleri olduğunu kanıtlamak zor değildir. Aksiyon

Bu nedenle, AA 1 D 1 D , ABCD ve BB 1 C 1 C paralelkenar olduğundan, A 1 D 1 ||AD ,AD ||BC, BC ||B 1 C 1 ve paralel çizgiler kriterine göre ( Teorem 2 §8) ,A 1 D 1 ||B 1 C 1 . Bu özellikle bize A 1, B 1, C 1, D 1 noktalarının aynı düzlemde olduğunu iddia etme fırsatı verir.

Benzer şekilde, elimizde A 1 B 1 ||D 1 C 1 var, yani A 1 B 1 C 1 D 1 dörtgeni bir paralelkenardır.

ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 paralelkenarlarının noktalarını birleştiren doğru parçalarının tüm noktaları kümesi aşağıdaki şekildeki bir şekli oluşturur: paralel yüzlü(Şekil 209). Paralel borular oluştururken, paralelkenarların karşılık gelen noktalarını birbirine bağlayan paralel bölümlerle idare edebileceğiniz açıktır. Resim resimdeki gibi yapılıyor. 208, yalnızca paralel borunun noktalarla "dolu" olduğunu ve bazı çizgilerin gözlemci tarafından görülmediğini dikkate alarak. Çizimde olduğu gibi kesikli çizgiyle gösterilirler. Bir paralelyüz, köşeleriyle belirtilir:

ABCDA1 B 1 C 1 D 1 .

Paralel borunun ortak bir kenarı olan iki yüzüne bitişik, ortak kenarı olmayanlara ise bitişik denir. zıt. Aynı yüze ait olmayan iki köşeye denir zıt. Zıt köşelerini birleştiren doğru parçasına denir çapraz paralel

Piramitlerin, özellikle tetrahedronların görüntüsü, parçalardan yapılan yapılarıyla bağlantılı olarak §8'de ele alındı.

! Düz ve uzaysal görüntülerin dikkate alınması

yeni rakamlar izin veriyor görseller için gereklilikleri formüle edin:

1) görüntü doğru olmalı, yani belirli kuralları karşılamalıdır;

2) görüntü net olmalıdır;

3) resmin takip edilmesi kolay olmalıdır.

Görüntünün doğruluğu, paralel projeksiyonlar oluşturma kurallarına uyularak sağlanır. Netlik ve basitlik, tasarım yönünün seçimi, yani şeklin "görüş açısı" ve projeksiyon düzleminin konumu ile sağlanır. Böylece, Şekil 2'deki SABC tetrahedronun görüntüleri. 210, a), b) başarılı sayılamaz. İlk durumda ABC yüz düzlemine paralel izdüşüm kullanılır ve ikinci durumda tasarım yönü AB düz çizgisiyle belirlenir. Her iki durumda da şeklin hacmi kaybolur. Kural olarak üçüncü görüntü kullanılır (Şekil 210, c). AC ve SB köşegenlerinin çizildiği düz bir dörtgen ABCS'dir. AS'nin görünmez kenarı kesikli çizgiyle gösterilmiştir.

Görüntünün netliğini sağlamanın önemli bir yolu, şeklin öğelerinin (medyanlar, açıortaylar, orta çizgiler, köşegenler vb.) Ve basit bölümlerin görüntüsüdür.

Çeşitli şekillerin görüntülerini oluşturmak, stereometri problemlerini çözmenin ayrılmaz bir parçasıdır.

Genellikle problemleri çözerken, görüntü üzerinde belirli yapılar yapmak gerekir (medyan çizmek, yazılı dairenin merkezini belirtmek, bir bölüm oluşturmak vb.). Bu yapılar genellikle paralel tasarımın özellikleri kullanılarak gerçekleştirilir.

Örnek 1. ABC dik ikizkenar üçgeninin (C = 90°) rastgele bir görüntüsü üzerinde, aşağıdakilerin bir görüntüsünü oluşturun: 1) çevrel çemberin O merkezi; 2) iki tarafı bacakların üzerinde bulunan yazılı bir kare

üçgendir ve köşelerinden biri BA hipotenüsü üzerindedir.

 ABC dik ikizkenar üçgeninin (Şekil 211, a) görüntüsü A 1 B 1 C 1 üçgeni (Şekil 211, b) olsun.

1) Merkez hakkında anlatılanlar dik üçgen daire hipotenüsün orta noktasıdır. Bu nedenle görüntüsü hipotenüs görüntüsünün ortasıdır.

Yapı. A 1 B 1 parçasını ikiye bölelim, O 1 bölme noktası istenen noktadır (Şekil 211, c).

2) AB hipotenüsünün orta O'sundan bacaklara dik çizgiler çizersek (bkz. Şekil 211, a), o zaman görevin koşullarını karşılayan bir kare elde ederiz. Çizilen dikmeler bacaklara paraleldir. İstenilen görüntüyü oluşturmak için kullanacağımız şey budur.

Yapı. O 1 noktasından sırasıyla C 1 B 1 ve C 1 A 1'e paralel O 1 E 1 ve O 1 F 1 bölümlerini çiziyoruz (Şekil 211, d). DörtgenC 1 E 1 O 1 F 1 aradığımız şey bu.

Örnek 2. Bir küpün görüntüsü üzerinde, üç paralel kenarın orta noktalarından geçen bir düzlemle kesitini oluşturun.

 Şekil 2'de. ABCDA 1 B 1 С 1 D 1 küpünün AA 1, BB 1, СС 1, DD 1 kenarlarının 212 orta noktası sırasıyla А 2, В 2, С 2, D 2 ile gösterilir. Bu noktaların görüntüleri ilgili segmentlerin görüntülerinin ortasında yer alır (neden?). Kesme düzleminin A 2 , B 2 , D 2 noktalarından geçmesine izin verin. Küpün tüm yüzleri kare olduğundan, A 2 B 2 doğru parçası karşıt kenarın orta noktalarından geçer.

Sonra düz çizgi BE tasarım için istenilen yönü ayarlar

AA 1 B 1 B karesinin kenarları, AB karesinin kenarına (veya küpün kenarına) eşit ve bu kenara paraleldir.

Benzer şekilde D 2 C 2 ||DC ve D 2 C 2 =DC. uAB ||DC olduğundan paralellik bağıntısının geçişliliğine göre A 2 B 2 ||D 2 C 2 olur. A 2 B 2, D 2 C 2 paralel doğrularından geçen yalnızca bir düzlem vardır. A 2 , B 2 , D 2 noktaları bu düzlemde yer aldığından bu düzlem gerekli kesendir. Kesme düzlemi küpün yüzlerini A 2 B 2, B 2 C 2, C 2 D 2 ve D 2 A 2 eşit bölümleri boyunca keser. Sonuç olarak istenilen kesit olan A 2 B 2 C 2 D 2 dörtgeni eşkenar dörtgen şekline sahiptir. Bu eşkenar dörtgenin B 2 D 2 ve A 2 C 2 köşegenlerinin birbirine eşit olduğunu görmek kolaydır. Yani dörtgen A 2 B 2 C 2 D 2 - kare. Sadece bölümü inşa etmedik, aynı zamanda şeklini de belirledik.

Temel düzlem figürlerinin görüntüsüne ilişkin yukarıdaki sonuçların gerekçelerini ele alalım.

Teorem 1 (bir üçgenin görüntüsü hakkında).

Herhangi bir üçgen belirli bir üçgenin görüntüsü olabilir.

 ABC üçgeni verilsin. Rastgele bir KMN üçgenini ele alalım. ABC üçgeninin paralel izdüşümü KMN üçgenine benzer olacak şekilde bir izdüşüm düzlemi ve izdüşüm yönü varsa bu ABC üçgeninin bir görüntüsü olabilir.

α projeksiyon düzlemini ABC üçgeninin düzlemini AC düz çizgisi boyunca kesecek şekilde seçelim (Şekil 213). ABC üçgeninin α düzlemine izdüşümü KMN üçgenine benzer bir üçgen olacak şekilde tasarım yönünü seçmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için, α düzleminde benzerlik katsayısına sahip KMN üçgenine benzer bir CAE üçgeni oluşturuyoruz.

Biya MK AC

fitil. CAE üçgeni ABC üçgeninin paralel izdüşümü olduğundan ve CAE ile KMN üçgenleri benzer olduğundan, KMN üçgeni bir üçgenin görüntüsüdür.

yani ABC.

! Bu teorem ortaya çıkıyor geniş fırsatlar Belirli bir üçgenin görüntülerini seçmek için elbette orijinalin sahip olmadığı özelliklere sahip görüntüleri kullanmamalısınız. Örneğin rastgele bir üçgeni dik üçgen olarak tasvir etmek uygun değildir.

Diğer çokgenlerin görüntülerine geçerken, kural olarak Teorem 1'e benzer teoremlerin onlar için geçerli olmadığını, ancak bazı özelliklerinin tasvir edildiğinde korunmasına rağmen dikkat çekiyoruz. Öncelikle kenarların paralelliğinden (neden?) bahsedeceğiz. Bu bağlamda önemli bir teorem daha sunuyoruz.

Teorem 2 (bir paralelkenarın görüntüsü hakkında).

Herhangi bir paralelkenar belirli bir paralelkenarın görüntüsü olabilir.

Bu teorem, paralelkenarları köşegenli üçgenlere bölerek ve Teorem 1'i kullanarak kanıtlanabilir (bkz.

pirinç. 206, a, b)

Planimetrik gerçeklerin uzayda benzerlerinin olduğu durumlarla zaten karşılaştık. Ve bu tür vakalar yaşanmaya devam edecek. En basit uzaysal şekil - tetrahedron - düzlemdeki bir üçgene karşılık gelir. Teorem 1'e göre herhangi bir üçgen, verilen bir üçgenin görüntüsü olabilir. Öte yandan, bir tetrahedron bir dörtgen içine yansıtılır ve bu, içine köşegenler çizildikten sonra bir tetrahedronun görüntüsü haline gelir. Şu soru ortaya çıkıyor: Rastgele bir dörtgen, belirli bir tetrahedronun görüntüsü olabilir mi? Buna olumlu bir cevap, Alman matematikçiler K. Polke (1810–1877) ve G. Schwartz'ın (1843–1921) teoremi tarafından verilmektedir. Buna dayanarak çokyüzlülerin bir görüntüsünü oluşturabilirsiniz. Bunu yapmak için aynı düzlemde yer almayan dört köşe seçmeniz gerekir. Bunlar bir tetrahedronun köşeleridir. Daha sonra bu noktaların görüntüsünü keyfi bir şekilde ayarlayın. Ve ancak o zaman tasarım özelliklerini kullanarak tüm şeklin görüntüsünü tamamlayın.

Örnek 3. Düzenli bir altıgenin görüntüsünü oluşturun.

 ABCDEF düzgün altıgenini düşünün (Şekil 214, a). Görüntülerinde korunması gereken özelliklere sahiptir. Altıgenin kenarları çiftler halinde paraleldir (AB ||ED, BC ||EF, CD ||AF). O simetri merkezine sahiptir ve O noktasını altıgenin köşelerine bağlayan parçalar birbirine ve kenarına eşittir. Artık altıgenin tamamının görüntüsünü tamamlamak için bir paralelkenarın (hatta bir eşkenar dörtgen) ABCO görüntüsünü oluşturmanın yeterli olduğunu görmek kolaydır.

A 1 B 1 C 1 O 1 paralelkenarının ABCO paralelkenarının görüntüsü olmasına izin verin (bu rastgele bir paralelkenar olabilir!). A 1 O 1 ve C 1 O 1'i O 1 noktasının ötesine uzatarak O 1 D 1 = A 1 O 1, O 1 F 1 = C 1 O 1 olacak şekilde bir F 1 O 1 D 1 E 1 paralelkenarı oluştururuz ( Şekil 214, b). Temel olarak, A 1 B 1 C 1 O 1 paralelkenarının O 1 tepe noktasına göre merkezi olarak simetrik olan bir paralelkenar inşa edilmiştir. A 1 ve F 1, C 1 ve D 1 noktalarını bağlayarak, düzenli bir altıgenin görüntüsünü elde ederiz (Şekil 214, c).

 Test soruları

1. Şekil 2'deki şekillerden hangisi 215, a)–d) bir karenin görüntüsü değil mi?

2. Şekil 2'deki şekillerden hangisi 216, a)–d) bir küpün görüntüsü değil mi?

3. İncirden hangisi. 217, a)–d) küpün görüntüsü doğru değil mi?

4. İncirden hangisi. 218, a)–d) Dört yüzlünün görüntüsü yanlış mı?

5. Bir figürün paralel izdüşümü onun görüntüsü müdür?

6. Bir dik üçgen ikizkenar üçgenin görüntüsü olarak düşünülebilir mi?

7. Bir üçgenin orta çizgisinin görüntüsünün, görüntünün orta çizgisi olduğu doğru mu?

8. Paralelkenar bir yamuğun görüntüsü olabilir mi?

9. Bir üçgen bir tetrahedronun görüntüsü olabilir mi?

10. Bir tetrahedronu, yüzlerinden tam olarak biri görünmeyecek şekilde tasvir etmek mümkün müdür?

11. Bir görüntüde görülebilecek en küçük küp kenarı sayısı nedir? Peki en büyüğü?

12. Aşağıdakilerin görüntüsü hangi şekildir: a) bir segment; b) üçgen; c) yamuk; d) paralelkenar; D) n-gon?

Grafik egzersizleri

1. Dört yüzlünün hangi yüzlerini belirleyin ABCD Şekil 2'de gösterilmektedir. 219, P, K, M noktalarına mı ait?

2. Hangi çift noktaŞekil 2'deki tetrahedronun görüntüsünde gösterilen X, Y, Z, T. 220, aynı yüze yatmıyor musunuz?

3. Bir küpün noktalardan geçen bir düzleme göre kesiti nedir M, N, P, Şekil 2'de gösterilmiştir. 221, a)–d)?

174°. Formdaki bir ikizkenar üçgenin görüntüsü verildiğinde eşkenar olmayan üçgen. Bu görüntünün üzerine bir görüntü oluşturun:

1) tepe noktasındaki açının açıortayları;

2) yan tarafın ortasından çizilen tabana dik; 3) iki bitişik tarafı yan tarafla çakışan bir eşkenar dörtgen

üçgenin karşıt kenarları.

175. İkizkenar dik üçgenin görüntüsünü kullanarak, karenin kenarı şu şekilde ise, üçgenin düzleminde yatan bir karenin görüntüsünü oluşturun:

bu üçgenin 1°) ayağı; 2) Bu üçgenin hipotenüsü.

176. Eşkenar üçgen ABC'nin rastgele bir görüntüsü üzerinde bir görüntü oluşturun:

1°) üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktaları; Kenarlarından biri "sınırlandırılmış" bir dikdörtgenin 2°)

üçgenin bir tarafıyla çakışıyor, diğeri ise karşıt köşeyi içeriyor; 3) üçgenin dış açısının açıortayları.

177. Bir üçgenin ve onun iki yüksekliğinin görüntüsü verilmiştir. Bu üçgenin etrafında çevrelenen dairenin merkezinin bir görüntüsünü oluşturun.

178. Dik üçgen görüntüsünde aşağıdakilerden biri keskin köşeler 60° olan bir görüntü oluşturun: 1) bu açının açıortayları; 2) hipotenüse çizilen yükseklik;

3) yazılı dairenin merkezi.

179°. Eşkenar dörtgenin ve yüksekliğinin değeri 120° olan bir açının tepe noktasından çizildiği bir görüntü oluşturun.

180. Köşegenlerinin ve ikisinin kesişme noktasının görüntüsüne sahip bir kare görüntüsü oluşturun:

1°) komşu köşeler; 2*) zıt köşeler. 181. Tarafı daha küçük tabana eşit olan ikizkenar yamuğun rastgele bir görüntüsü üzerine,

resim:

1°) yamuğun simetri ekseni; 2) iki köşesi solda olan yazılı bir dikdörtgen

daha büyük bir taban üzerinde biçilmiş ve kenarlardan biri daha küçük tabana denk geliyor; 3) dairenin merkezi yanlara değiyor ve daha küçük

yamuğun tabanı.

182. Taban açıları 45°'ye eşit olan bir ikizkenar yamuğun görüntüsü verilmiştir. Resmi çizin:

1) bir yamuk etrafında çevrelenen bir dairenin merkezi;

2*) dairenin merkezi, daha küçük tabana ve kenarlara değiyor.

183. Bir dairenin ve onun çaplarından birinin görüntüsü verilmiştir. Bu çapa dik olan dairenin yarıçapının bir görüntüsünü oluşturun.

184. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünün görüntüsü verilmiştir.

1°) DA 1 C 1 ve B 1 D 1 D düzlemlerinin kesişme çizgisini oluşturun. 2) Küpün kenarı a'ya eşitse, küpün içerdiği bu doğru parçasının uzunluğunu bulun.

3) Küpün, üç çift komşu yüzünün merkezlerinden geçen bir düzlemle bir kesiti oluşturun.

185. Bir ABCD tetrahedronun görüntüsü verildiğinde, K, M ve P noktaları sırasıyla DC, AD ve ВD'nin ortasıdır.

1°) ACP ve VMK düzlemlerinin kesişim çizgisini oluşturun. 2) Tüm kenarlarının uzunlukları eşitse, bu doğrunun bir tetrahedrondaki parçasının uzunluğunu bulun.

3) Dört yüzlünün, üç yüzünün kenarortaylarının kesişim noktalarından geçen bir düzlemle bir kesiti oluşturun.

186. Dört yüzlü SABC'nin bir kesitini içinden geçen bir düzlemle inşa edin:

1°) SA, SC ve BC kaburgalarının orta noktaları;

2) AS üzerinde M noktası (AM :AS = 1:2), SC üzerinde N noktası (CN :NS = 1:2)

ve BC üzerindeki P noktası (CP:PB = 1:2);

3) AS, AB kenarlarının orta noktaları ve SBC yüzünün merkezi; 4*) ASB, ABC ve BSC yüzlerinin merkezleri.

187. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünün bir kesitini içinden geçen bir düzlemle oluşturun:

1) kenar CD ve yüzün merkeziAA 1 B 1 B;

2) diyagonal A 1 D ve yüzün merkezi ВСС 1В 1;

3*) AD, CD kenarları ve B noktasının orta noktaları;

4*) CDD 1 C 1, SVV 1 C 1 yüzlerinin merkezleri ve A noktası.

Tekrarlanacak egzersizler

188. İki paralel doğru üçüncü bir çizgiyle kesişiyor. Oluşan sekiz açıdan biri 50°'dir. Diğer açıların her birinin değeri nedir?

189. Verilen ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpü.

1) AA 1 kenarına paralel tüm kenarları belirtin.

2) DC kenarının ABC 1 ve A 1 B 1 D düzlemlerinin kesişimine paralel olduğunu kanıtlayın.

4) a, küpün yüzeyinde keyfi bir parça olsun. Küpün bitişik olmayan bir yüzündeki çizgi parçasına paralel bir çizgi parçası oluşturun.

Herhangi bir paralelkenar belirli bir paralelkenarın görüntüsü olabilir.

Aksonometrik projeksiyonlar oluştururken distorsiyon katsayılarını kullanmak sakıncalıdır. Bu nedenle, genellikle GOST 2.317-69 (ST SEV 1979-79) tarafından önerilen standart dikdörtgen izometri ve dimetriyi oluştururlar ve izometri için 1,22 kat ve dimetri için 1,06 kat karşılık gelen büyütme ölçeklerini alırlar. Bu ölçeklerin kullanılması, aksonometrik eksenler boyunca çizilen boyutları azaltmadan aksonometrik projeksiyonların oluşturulmasını mümkün kılar. Dimetrik bir projeksiyon için y ekseni 0 boyunca boyutlar yarıya indirilir.

A. Düz çizgiler ve düzlem kesitlerle sınırlanan geometrik şekillerin aksonometrik izdüşümlerinin oluşturulması.

Bir düzleme paralel projeksiyonla, düz çizgiler düz çizgiler halinde yansıtılır (bkz. § 6, 1a), bu nedenle, Düz bir çizginin aksonometrik görüntüsünü oluşturmak için a, ona ait iki noktanın aksonometrik izdüşümlerini belirlemek yeterlidir, düz çizgiyi (a) benzersiz bir şekilde belirleyen, düz çizginin (a) aksonometrik izdüşümüdür.

Çokyüzlülerin aksonometrik projeksiyonlarının inşası, özellikle çokgenler durumunda, daha sonra düz çizgi parçalarıyla birbirine bağlanan köşelerinin aksonometrik projeksiyonlarının belirlenmesine indirgenir.

İncirde. Şekil 311.6, dik çıkıntıları Şekil 2'de verilen altıgen bir piramidin standart bir izometrik çıkıntısının yapımını göstermektedir. 311, a. İnşaatı şu sırayla gerçekleştiriyoruz: doğal koordinat sisteminin eksenleri olarak aldığımız x, y, z düz çizgilerini çizin; Koordinatların orijini olarak O(O", O") noktasını alıyoruz. Daha sonra x 0, y 0, z 0 aksonometrik eksenlerini çiziyoruz. Piramidin tabanının köşelerinin (1, 2, 3, 4, 5, 6 noktaları) ve tepesinin (S noktası) doğal koordinatlarını ortogonal bir çizimde ölçtükten sonra, aksonometrik projeksiyonlarını (1 0 noktaları) oluştururuz. 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0, 6 0, S 0). Piramidin izometrik bir izdüşümünü elde etmek için, ortaya çıkan noktaları, dik çıkıntılara bağlandıkları sırayla düz çizgi parçalarıyla birleştiririz.

B. Eğri çizgiler ve yüzeylerle sınırlanan geometrik şekillerin aksonometrik izdüşümlerinin oluşturulması.

Genel olarak, eğri bir çizginin (veya yüzeyin) aksonometrik izdüşümü aynı zamanda eğri bir çizgi (yüzey) olacaktır.

Rastgele bir uzaysal eğri l'nin standart bir izometrisinin oluşturulmasına bir örnek, Şekil 2'de gösterilmektedir. 312. Aksonometrik Yapı

l eğrisine ait noktaların projeksiyonları aşağıda belirtilen sırayla gerçekleştirilir.

1. Bu doğruyu Oxyz doğal koordinat sistemine atadık.

2. l eğrisi üzerinde 1, 2, 3, ... noktalarını işaretliyoruz ve bunların dik koordinatlarını belirliyoruz (Şekil 312, a).

3. 1, 2, 3, ... noktalarının koordinatlarını kullanarak onların ikincil projeksiyonlarını 1 1 0, 2 1 0, 3 1 0, ... oluşturuyoruz (Şekil 312.6).

4. Noktaların ikincil izdüşümleri aracılığıyla z 0 aksonometrik eksenine paralel düz çizgiler çizeriz ve üzerlerine bölümler çizeriz, değere eşit karşılık gelen uygulama noktaları (1, 2, 3, ...); 1 0, 2 0, 3 0, ... noktalarını bulun

5. 1 0, 2 0, 3 0, ... noktalarının bulunan aksonometrik projeksiyonlarını düz bir çizgiyle birleştirerek, l 0 eğrisinin aksonometrik bir projeksiyonunu elde ederiz.

Mühendislik parçalarının aksonometrik projeksiyonlarının oluşturulması uygulamasında, genellikle dairelerin aksonometrik projeksiyonlarının oluşturulması gerekir. Çoğu durumda dairelerin düzlemleri herhangi bir koordinat düzlemine paraleldir. Hadi düşünelim olası seçenekler izometrik ve dimetrik projeksiyonlarda bir daire oluşturma.

Dairelerin yansıtıldığı elipslerin eksenlerinin konumu ve boyutu hakkında daha görsel bir fikre sahip olmak için, ikincisi küpün yüzlerine yazılmıştır. İncirde. Şekil 313a, küpün izometrideki izdüşümünü göstermektedir ve Şekil 313a'da küpün izdüşümünü göstermektedir. 313.6 - dimetri cinsinden. Bir küpün yüzüne yazılan bir daire, ortasındaki kenarlarına dokunuyor. Teğetlik paralel projeksiyonun değişmezi olduğundan, aksonometrik projeksiyonlarda dairelerin dönüştürüldüğü elipslerin teğet noktaları da küpün kenarlarının orta noktalarında yer alacaktır. Bu dört noktaya ek olarak elipsin büyük ve küçük çaplarının uçlarına ait dört nokta daha belirtebilirsiniz. Dikdörtgen izometrik ve dimetrik projeksiyonlarda, elipsin ana eksenlerinin yönleri serbest aksonometrik eksenlere diktir ve elipsin küçük eksenleri serbest aksonometrik eksenlerle aynı doğrultudadır.

Dikdörtgen (pratik) izometri için elipsin büyük çapı dairenin l.22d'sine eşittir ve küçük çap .0.71d'dir (bkz. Şekil 313, a). Dikdörtgen dimetride elipsin büyük çapı l.06d'ye eşittir, küpün Oxy ve Oyz koordinat düzlemlerine paralel yüzlerinde bulunan elipslerin küçük çapı 0.35d'ye eşittir. Bir küpün günahlarına ait bir elips için, düzleme paralel Oxz'nin küçük çapı 0,95d olarak belirlenmiştir (bkz. Şekil 313.6).

Segmentlerin uzunluklarının distorsiyon ölçeğinin değeriyle çarpılması sırasında aritmetik hesaplamaları ortadan kaldırmak için orantılı bir ölçek kullanmalısınız. Bunu oluşturmak için, karşılıklı olarak dik iki düz çizgi a ve b çizmek (Şekil 314) ve bunlardan birinde, K kesişme noktasından 100 birime eşit [KO] ertelemek ve diğerinde yeterlidir. - , [KII], , , , [КVI ] bölümleri sırasıyla 35, 50, 71, 95, 106, 122 ölçüm birimine eşittir. I, II, ...VI noktaları O noktasına bağlanır. Şimdi OK düz çizgisi üzerindeki O noktasından ve [OB] doğru parçasının B ucundan belirli bir l uzunluğuna sahip [OB]'yi bir kenara bırakırsak, bir dik çizin. [OK]'e giderseniz, (0I), (OII), (OIII), (OIV), (OV), (OVI) doğrularını 1, 2, 3, 4, 5, 6 noktalarında kesecektir. [B1], [B2], [VZ], [ B4], [B5], [B6] segmentleri sırasıyla 0,35l, 0,5l, 0,71l, 0,95l, 1,06l, 1,22l'ye eşit olacaktır.

Çemberin düzlemi koordinat düzlemlerine göre keyfi bir pozisyonda bulunuyorsa, o zaman dairenin aksonometrik izdüşümünün oluşturulması, bir eğrinin aksonometrik izdüşümü oluşturulurken yapıldığı gibi gerçekleştirilir (bkz. s. 215). , paragraf B, Şekil 312). Geometrik şekilleri sınırlayan yüzeylerin aksonometrik projeksiyonlarının yapımı iki şekilde yapılabilir:

1. Bölüm yöntemi. Bu yöntem aşağıdaki gibidir:

1) yüzey geometrik şekil aksonometrik projeksiyonunun oluşturulması gereken, γ 1, γ 2, γ 3,..., γ n düzlemleri tarafından disseke edilir (Şekil 315);

2) belirli bir Ф şeklinin kesişme çizgilerini γ j (l 1, l 2, l 3, ..., l n) düzlemleriyle belirleriz;

3) l 1, l 2, l 3, ..., l n → l 0 1, l 0 2, l 0 3, ..., l 0 n çizgilerinin aksonometrik projeksiyonlarını oluşturun; l j çizgilerinin tanımını ve bunların aksonometrik projeksiyonlarının yapımını basitleştirmek için kesme düzlemleri herhangi bir projeksiyon düzlemine paralel olarak alınmalıdır;

4) l 0 1, l 0 2, l 0 3, ..., l 0 n çizgilerini saran d 0 eğrisi bir anahat çizgisidir - Ф 0 şeklinin görünür konturunun çizgisi.

2. Küresel yüzeyleri yazma yöntemi. Bu yöntemi kullanmanın fizibilitesi doğrudan

Karbon aksonometride kürenin yüzeyi resim düzlemine daire şeklinde yansıtılır. Şeklin bir dönme yüzeyi ile sınırlı olduğu durumlarda bu yöntem kullanılmalıdır. Küresel yüzeyler herhangi bir dönüş yüzeyine yazılabildiğinden, dönüş yüzeyinin aksonometrik izdüşümü bu kürelerin bir zarfı olarak düşünülebilir.

Yöntemin özü şu şekilde gösterilecektir: spesifik örnek. Bir halkanın aksonometrik bir projeksiyonunun (dikdörtgen izometri) oluşturulması gerekli olsun (Şekil 316,a). İnşaatları aşağıdaki sırayla gerçekleştiriyoruz:

1) 0'lı bir elips oluşturun - (ACBD)'li bir dairenin aksonometrik izdüşümü;

2) elipsin 0, O 0 1, O 0 2, O 0 3, ..., O 0 n, (∀ O 0 j; O 0 j ∈ c 0) ile rastgele noktalarından yarıçaplı b j daireleri çizeriz r - küresel yüzeyler β ile işaretlenmiş aksonometrik projeksiyonlar;

3) bj dairelerinin d 0 ve d 0 2 zarfları, halkanın aksonometrik projeksiyonunun görünür bir taslağıdır (Şekil 316.6)

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Stereometri dersinde iki tür inşaat görevi dikkate alınır: hayali (koşullu) yapılar ve projeksiyon çizimi üzerindeki yapılar.

Uzamsal şekiller düz bir desenle tasvir edilmiştir, bu da böyle bir desenin büyük ölçüde geleneksel olduğu anlamına gelir: doğrusal ve açısal boyutlar onun üzerinde çarpıktır. Hayali yapılar zihinsel olarak gerçekleştirilir. Onlara eşlik eden çizim yalnızca açıklama amaçlıdır. Stereometrik çizimlerin belirtilen özellikleri öğrenciler açısından zorluk yaratmaktadır. Okul çocukları genellikle bunları anlayamıyor veya çizemiyor. Stereometrik problemlerin çözümü ise genellikle iki aşamada gerçekleşir.

Aşama 1 – yapıcı ve grafik. Okul çocukları problemin koşullarına göre çizim yapar, çözüm arar ve gerekli ek inşaatları gerçekleştirir.

Aşama 2 – teknik. Bu işlem sırasında problemin çözümü kayıt altına alınır.

Öğrencilerin grafik becerilerinin oluşturulması ve mekansal kavramlarının geliştirilmesi süreci 1. aşamada gerçekleştirilir. Ancak uygulamada öğretmen 2. aşamaya, yani çözümün hazırlanmasına daha fazla önem verir. Ders sırasında öğretmen genellikle problem için önceden bir çizim yapar ve bitmiş çizime dayanarak onu analiz eder ve bir çözüm planı hazırlar. Bu şekilde ders zamanından tasarruf edilir, ancak öğrenciler çoğunlukla anlamını anlamadan tahtadan “resmi kopyalarlar”.

Uzamsal figürlerin görüntüsünün incelenmesi 5-6. Sınıflarda küp ve topla başlar. Stereometri kursu bir tetrahedron ve bir paralelyüzlü görüntüleri ile başlar. Geometrik şekillerin tasvir edilmesi sorunu, bu şekillerin projeksiyonlarının oluşturulmasına indirgenmektedir. Dolayısıyla geometrik şekillerin görüntülerini oluşturmanın temeli projeksiyon teorisidir. Okulda düz görüntüler oluşturmak zorunda olduğumuz için paralel ve merkezi projeksiyonlardan bahsedebiliriz. N.F. Chetverukhin ders kitabıöğretmenler için “Sterometride Şekillerin Görüntüsü”, görüntülerin karşılaması gereken gereksinimleri formüle etmiştir: 1. Görüntü, tasvir edilen şeklin projeksiyonlarından birini temsil etmelidir; 2. Görüntü net olmalıdır; orijinalin mekansal bir temsilini uyandırmak; 3. Resmin takip edilmesi kolay olmalıdır. Tüm bu gereksinimler en iyi şekilde paralel projeksiyonla karşılanır. Bu nedenle, belirli bir şeklin veya geometrik şekillerin görüntüsüne benzer bir şeyin paralel projeksiyonunun alınması tavsiye edilir.

Okul kursunda incelenen bölümleri oluşturma yöntemleri!

Ders kitabının L.S. Atanasyan 10-11. sınıflar. "Geometri"

L.S.'nin ders kitabına göre. Atanasyan, bölümlerin inşası I. bölümde “Doğruların ve düzlemlerin paralelliği” paragrafında “Dörtyüzlü ve paralelyüzlü” “Bölümlerin inşasına ilişkin görevler” 1 ders olarak kabul edilir. 3 problem, dörtyüzlü ve paralelyüzlü kesitlerin inşasına örnek olarak ele alınmıştır. Toplamda, bölümlerin oluşturulması için 11 görev verilmiştir; bunlardan 3'ü bir tetrahedronda bölümler oluşturmak için, 8'i paralelyüzlü bölümler oluşturmak için ve 4'ü temel düzeyde isteğe bağlıdır.

L.S. ders kitabında. Atanasyan 10-11. Sınıf Geometri konusu “Uzaysal şekillerin görüntüsü” 4 alt maddeden oluşan tek bir soru olarak başvuruda verilmektedir:

rakamların paralel projeksiyonu

şekil resmi

düz figürlerin görüntüsü

uzaysal figürlerin görüntüsü

Altbölüm 4'te tetrahedron, paralelyüzlü ve piramit şekilleri incelenmektedir. Bu ders kitabında, bir figürün görüntüsü kavramı, belirli bir figürün paralel izdüşümü kullanılarak tanıtılmaktadır.

Ders kitabının I.F. Sharygina.

I.F.'nin ders kitabındaki çokyüzlülerin bölümü. Sharygina “Geometri” 10-11. sınıflar. Bölüm II “Çokyüzlüler”de “Bir görüntü üzerinde yapılanma” paragrafı olarak verilmiştir. “İz Yöntemi” ve yardımcı düzlemler konusunu inceliyor ve çokyüzlülerin (piramitler) bölümlerindeki problemlerin çözümüne ilişkin 2 örneği ele alıyor. Daha sonra 4'ü zor, 1'i önemli olan 11 görevin konsolidasyonu gelir. Bu bölüm ayrıca, problemlerin çözümünde yardımcı bir bölüm olarak kabul edildiği “Yardımcı düzlemler, kesitler” paragraf 1'in altındaki “Sterometrinin sorunları ve yöntemleri” başlıklı 4. bölümde de tartışılmaktadır. Problem kitabı 6 problemden oluşmaktadır.

• Edinilen bilginin pratikte nasıl uygulanacağını, bir model, bir algoritma kullanarak ve bir ipucu ile öğretin.
• Stereometri aksiyomlarını kullanarak bölüm oluşturma becerilerini güçlendirin.
• Öğrencilerin mekansal düşünmesini geliştirin.

Dersler sırasında.

I. Organizasyonel kısım.

II. Ödev analizi.

Ev ödevi üç zorluk seviyesindeydi

Görev 1 ve 2 - birinci seviye

Görev 3 ve 4 – ikinci seviye

Görev 5 ve 6 – üçüncü seviye

Görev 1. ABCA 1 C 1 – üçgen prizma, nokta F – kaburganın ortası AB , nokta HAKKINDA kaburganın devamında yatıyor Güneş Bu yüzden İLE arasında yer alan İÇİNDE Ve HAKKINDA . Prizmanın bir bölümünü düzlemle oluşturun 1 F.O. .

Görev 2. Nokta HAKKINDA – kaburganın ortası GG 1 Küba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Çizgilerin kesişme noktalarını oluşturun A 1 Ç Ve C1O taban düzlemi ile ABCD Küpün kenarının uzunluğu 2 cm ise aralarındaki mesafeyi hesaplayınız.

Problem 3. Üçgen bir piramit verildiğinde SABC Puanlar R Ve R kaburgaların üzerine yat S.A. Ve Güneş, nokta F kaburganın devamında yatıyor AC yani mesele bu İLE noktalar arasında yatıyor A Ve F. Bir düzlem kullanarak piramidin bir bölümünü oluşturun PRF

Görev 4. SABCD- dörtgen piramit. Nokta R kenarda yatıyor SCD, Bir nokta F kaburganın devamında DC yani mesele bu D arasında yatıyor F Ve İLE. PFB.

Görev 5. DABC- kenar uzunluğu 4 cm olan düzenli tetrahedron Nokta HAKKINDA - kaburganın ortası D.B.. Nokta F kaburganın devamında yatıyor Güneş Bu yüzden İLE - segmentin ortası B.F., nokta T kaburganın devamında yatıyor AC Bu yüzden İLE - segmentin ortası AT. Düzlemle bir tetrahedronun bir bölümünü oluşturun FTO ve çevresini hesaplayın.

Görev 6. DABC- üçgen piramit Noktası F kenarda yatıyor D.B., nokta T kaburganın devamında yatıyor AB yani mesele bu A noktalar arasında yer alan T Ve İÇİNDE, Bir nokta R kaburganın devamında yatıyor CD yani mesele bu İLE noktalar arasında yatıyor D Ve R. Bir düzlem kullanarak piramidin bir bölümünü oluşturun TFR.

Her gruba zorluk seviyesine göre görevler sunulur. Öğrenciler bu görevleri tamamlarlar ve ardından sorunun nasıl çözüleceği konusunda beyin fırtınası yaparlar.

Durum: Tasvir edilen çokyüzlülerin gölgeli şekilleri bir düzleme göre kesitler mi? PQR ? Bölümün hatalı gösterildiği durumlarda, doğru çözüm.

Resimler düzenli paralelyüzlüleri göstermektedir.

Birinci seviye görev:

İkinci seviye görev:

Seviye 3 görevi:

Her gruba bir ana görev ve bir de ek görev verilir. Ek görevde resimlerde üçgen prizmalar (seviye 1 ve 2) ve üçgen piramit (seviye 3) gösterilmektedir.

Çalışma öğretmen tarafından değerlendirilir ve ardından günlüğe not edilir.

Birinci seviye görev:

• Üçgen bir piramitte DABC nokta HAKKINDA - yüzün medyanlarının kesişme noktası DBC. Nokta F düz bir çizgi üzerinde yatıyor AB Bu yüzden İÇİNDE noktalar arasında yatıyor A Ve F, Bir nokta e düz bir çizgi üzerinde yatıyor AC yani mesele bu İLE arasında yatıyor A Ve e. Bir düzlem kullanarak piramidin bir bölümünü oluşturun O.E.F..

• PQR

İkinci seviye görev:

• ABCA 1'İ 1 İLE 1 - üçgen prizma. Nokta HAKKINDA kenarda yatıyor bir 1 C 1 ,. Nokta F kaburganın devamında yatıyor AC Bu yüzden İLE arasında yatıyor A Ve F. Nokta İLE kaburganın devamında yatıyor AB Bu yüzden İÇİNDE arasında yer alan A Ve İLE. Prizmanın bir bölümünü düzlemle oluşturun OKF.

• Ek görev: Gölgeli şekiller tasvir edilen çokyüzlülerin bölümleri midir? PQR ? Bölümün hatalı gösterildiği durumlarda doğru çözümü bulun.

Üçüncü seviye görev:

• Dikdörtgen paralel yüzlü tabanı A BCDA l B 1 C 1 D 1 - kenar uzunluğu 2 cm olan bir kare. HAKKINDA - yan kaburganın ortası GG 1 ve noktalar İLE Ve F kaburgaların devamında uzanmak Güneş Ve AB buna göre böylece Güneş = 2SK, AB = 2FA . Bir paralel borunun kesit alanını bir düzlemle hesaplayın OFK , Eğer GG 1 = 4cm.

• Ek görev: Gölgeli şekiller tasvir edilen çokyüzlülerin bölümleri midir? PQR ? Bölümün hatalı gösterildiği durumlarda doğru çözümü bulun.

Öğrenciler uygun zorluk seviyesini seçerler.

İlk zorluk seviyesi için görev:

İkinci zorluk seviyesi için görev:

Üçüncü zorluk seviyesi için görev: