Trigonometrik eşitsizlikler tgx. Basit trigonometrik eşitsizlikleri çözme

Eşitsizlikleri teğet kullanarak çözeceğiz birim çember.

Teğetsel eşitsizlikleri çözmek için algoritma:

1. yukarıdaki şekilde gösterilen klişeyi yeniden çizin;
2. teğet doğru üzerinde $a$ işaretliyoruz ve orijinden bu noktaya kadar düz bir çizgi çiziyoruz;
3. bu çizginin yarım daire ile kesişme noktası, eşitsizlik katı değilse gölgeli olacaktır ve eşitsizlik katı ise gölgeli olmayacaktır;
4. alan, eşitsizlik “$>$” işaretini içeriyorsa çizginin altında ve dairenin yukarısında, eşitsizlik “$>$ işaretini içeriyorsa çizginin altında ve dairenin yukarısında yer alacaktır.<$”;
5. Kesişme noktasını bulmak için arktanjant $a$'ı bulmak yeterlidir, yani. $x_(1)=(\rm arctg) a$;
6. yanıt olarak, ortaya çıkan aralık, uçlara $+ \pi n$ eklenerek yazılır.

Bir algoritma kullanarak eşitsizlikleri çözme örnekleri.

Örnek 1: Eşitsizliği çözün:

$(\rm tg)(x) \leq 1.$

Böylece çözüm şu şekli alacaktır:

$x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\right], \ n \in Z.$

Önemli! Teğet noktasında $-\frac(\pi)(2)$ ve $\frac(\pi)(2)$ noktaları her zaman (eşitsizlik işaretine bakılmaksızın) oyulmuş!

Örnek 2: Eşitsizliği çözün:

$(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$

Teğet doğrusu üzerinde $- \sqrt(3)$ noktasını işaretleyip orijinden ona doğru düz bir çizgi çiziyoruz. Eşitsizlik kesin olduğundan bu doğrunun yarım daire ile kesişme noktası gölgeli olmayacaktır. Eşitsizlik işareti $>$ olduğundan alan düz çizginin üzerinde ve daireye kadar yer alacaktır. kesişim noktasını bulalım:

$x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$

$t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$

Orijinal değişkene dönelim:

$\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\doğru).$

İkincisi eşitsizlik sistemine eşdeğerdir

$\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$

çözdükten sonra hangisinin cevabını alacağız. Gerçekten mi,

$\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$

$\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $

Ve sonunda şunu elde ediyoruz:

$x \in \left(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\right), \n \in Z.$

Öğrencilerin çoğu trigonometrik eşitsizlikler beğenilmedi. Ama boşuna. Bir karakterin söylediği gibi,

“Onları nasıl pişireceğini bilmiyorsun”

Peki nasıl "pişirilir" ve sinüs ile eşitsizliğin neyle sunulacağını bu makalede çözeceğiz. Karar vereceğiz basit bir şekilde– Birim çember kullanarak.

Yani öncelikle aşağıdaki algoritmaya ihtiyacımız var.

Eşitsizlikleri sinüsle çözmek için algoritma:

1. sinüs eksenine $a$ sayısını çizeriz ve daireyle kesişene kadar kosinüs eksenine paralel düz bir çizgi çizeriz;
2. bu çizginin daire ile kesişme noktaları, eşitsizlik katı değilse gölgeli olacaktır, eşitsizlik katı ise gölgeli olmayacaktır;
3. eşitsizliğin çözüm alanı, eşitsizlik “$>$” işaretini içeriyorsa çizginin üstünde ve daireye kadar, eşitsizlik “$ işaretini içeriyorsa çizginin altında ve daireye kadar yerleştirilecektir.<$”;
4. Kesişme noktalarını bulmak için trigonometrik denklemi $\sin(x)=a$ çözeriz, şunu elde ederiz: $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. $n=0$ ayarını yaparak ilk kesişim noktasını buluruz (birinci veya dördüncü çeyrekte bulunur);
6. ikinci noktayı bulmak için ikinci kesişme noktasına kadar alandan hangi yöne gittiğimize bakarız: pozitif yöndeyse $n=1$ almalıyız ve negatif yönde ise $n=- almalıyız 1$;
7. yanıt olarak aralık, daha küçük olan $+ 2\pi n$ kesişim noktasından daha büyük olan $+ 2\pi n$ noktasına doğru yazılır.

Algoritma sınırlaması

Önemli: d verilen algoritma çalışmıyor$\sin(x) > 1 formundaki eşitsizlikler için; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Eşitsizlikleri sinüsle çözerken özel durumlar

Yukarıdaki algoritmayı kullanmadan mantıksal olarak çözülmesi çok daha uygun olan aşağıdaki durumları da not etmek önemlidir.

Özel durum 1. Eşitsizliği çözün:

$\sin(x)\leq 1.$

Değer aralığının çok geniş olması nedeniyle trigonometrik fonksiyon$y=\sin(x)$ modulo $1$'dan büyük değil, bu durumda eşitsizliğin sol tarafı herhangi Tanım alanından $x$ (ve sinüs tanım kümesinin tamamı gerçek sayılardır) $1$'dan fazla değildir. Ve bu nedenle yanıtta şunu yazıyoruz: $x \in R$.

Sonuçlar:

$\sin(x)\geq -1.$

Özel durum 2. Eşitsizliği çözün:

$\sin(x)< 1.$

Özel durum 1'e benzer argümanlar uygulayarak, $\sin(x) = 1$ denkleminin çözümü olan noktalar hariç, tüm $x \in R$ için eşitsizliğin sol tarafının $1$'dan küçük olduğunu bulduk. Bu denklemi çözersek:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Ve bu nedenle yanıtta şunu yazıyoruz: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Sonuçlar: eşitsizlik benzer şekilde çözülür

$\sin(x) > -1.$

Bir algoritma kullanarak eşitsizlikleri çözme örnekleri.

Örnek 1: Eşitsizliği çözün:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. $\frac(1)(2)$ koordinatını sinüs ekseninde işaretleyelim.
2. Kosinüs eksenine paralel ve bu noktadan geçen bir doğru çizelim.
3. Kesişme noktalarını işaretleyelim. Eşitsizlik katı olmadığı için gölgelendirilecekler.
4. Eşitsizlik işareti $\geq$'dır, bu da çizginin üzerindeki alanı boyadığımız anlamına gelir; daha küçük yarım daire.
5. İlk kesişme noktasını buluyoruz. Bunu yapmak için eşitsizliği eşitliğe çevirip çözüyoruz: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Ayrıca $n=0$ ayarladık ve ilk kesişim noktasını bulduk: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. İkinci noktayı buluyoruz. Alanımız ilk noktadan itibaren pozitif yönde gidiyor, yani $n$'ı $1$'a eşit olarak ayarladık: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Böylece çözüm şu şekli alacaktır:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Örnek 2: Eşitsizliği çözün:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Sinüs ekseninde $-\frac(1)(2)$ koordinatını işaretleyip kosinüs eksenine paralel ve bu noktadan geçen düz bir çizgi çizelim. Kesişme noktalarını işaretleyelim. Eşitsizlik katı olduğundan gölgelenmeyecekler. Eşitsizlik işareti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Ayrıca $n=0$ varsayarsak, ilk kesişim noktasını buluruz: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Alanımız ilk noktadan itibaren negatif yönde gidiyor, yani $n$'ı $-1$'a eşit olarak ayarladık: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Dolayısıyla bu eşitsizliğin çözümü aralık olacaktır:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

Örnek 3: Eşitsizliği çözün:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Bu örnek bir algoritma kullanılarak hemen çözülemez. İlk önce onu dönüştürmeniz gerekiyor. Bir denklemle yapacağımız şeyin aynısını yaparız, ancak işareti unutmayız. Negatif bir sayıya bölmek veya çarpmak onu tersine çevirir!

O halde trigonometrik fonksiyon içermeyen her şeyi sağ tarafa taşıyalım. Şunu elde ederiz:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Sol ve sağ tarafları $-2$'a bölelim (işaretini unutmayın!). Sahip olacaklar:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Yine algoritma kullanarak çözemeyeceğimiz bir eşitsizlikle karşı karşıyayız. Ancak burada değişkeni değiştirmek yeterlidir:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Algoritma kullanılarak çözülebilecek bir trigonometrik eşitsizlik elde ediyoruz:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Bu eşitsizlik Örnek 1'de çözülmüştür, dolayısıyla cevabı buradan ödünç alalım:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ].$

Ancak karar henüz bitmedi. Orijinal değişkene geri dönmemiz gerekiyor.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ].$

Aralığı bir sistem olarak düşünelim:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.

Sistemin sol tarafında aralığa ait ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) ifadesi bulunmaktadır. Aralığın sol sınırı ilk eşitsizlikten, sağ sınır ise ikinci eşitsizlikten sorumludur. Dahası, parantezler önemli bir rol oynar: eğer parantez kare ise eşitsizlik gevşetilir, yuvarlaksa eşitsizlik katı olur. görevimiz soldan $x$ almak her iki eşitsizlikte.

$\frac(\pi)(6)$'ı sol taraftan sağ tarafa taşıyalım, şunu elde ederiz:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.

Basitleştirirsek, elimizde:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n \end(array) \right.$

Sol ve sağ tarafları $4$ ile çarparsak şunu elde ederiz:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n.\end(array) \right. $

Sistemi aralığa monte ederek cevabı elde ederiz:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$

Trigonometrik fonksiyonlar içeren eşitsizlikler çözülürken bunlar cos(t)>a, sint(t)=a ve benzeri formdaki en basit eşitsizliklere indirgenir. Ve zaten en basit eşitsizlikler çözüldü. Basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmenin çeşitli yol örneklerine bakalım.

örnek 1. Sin(t) > = -1/2 eşitsizliğini çözün.

Bir birim çember çizin. Sin(t) tanımı gereği y koordinatı olduğundan, Oy ekseninde y = -1/2 noktasını işaretliyoruz. Üzerinden Ox eksenine paralel düz bir çizgi çiziyoruz. Düz çizginin birim çember grafiğiyle kesiştiği noktada Pt1 ve Pt2 noktalarını işaretleyin. Koordinatların kökenini Pt1 ve Pt2 noktalarına iki parça ile bağlarız.

Bu eşitsizliğin çözümü birim çemberin bu noktaların üzerinde yer alan tüm noktaları olacaktır. Başka bir deyişle çözüm l yayı olacaktır. Şimdi keyfi bir noktanın l yayına ait olacağı koşulları belirtmek gerekir.

Pt1 sağ yarım dairede yer alır, ordinatı -1/2'dir, bu durumda t1=arcsin(-1/2) = - pi/6 olur. Pt1 noktasını tanımlamak için aşağıdaki formülü yazabilirsiniz:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Sonuç olarak t için aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz:

Eşitsizlikleri koruyoruz. Sinüs fonksiyonu periyodik olduğundan çözümlerin her 2*pi'de bir tekrarlanacağı anlamına gelir. Bu koşulu t için elde edilen eşitsizliğe ekliyoruz ve cevabı yazıyoruz.

Cevap: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Örnek 2. Cos(t) eşitsizliğini çözme<1/2.

Birim çember çizelim. Tanıma göre cos(t) x koordinatı olduğundan Ox eksenindeki grafikte x = 1/2 noktasını işaretliyoruz.
Bu noktadan Oy eksenine paralel düz bir çizgi çiziyoruz. Düz çizginin birim çember grafiğiyle kesiştiği noktada Pt1 ve Pt2 noktalarını işaretleyin. Koordinatların kökenini Pt1 ve Pt2 noktalarına iki parça ile bağlarız.

Çözümler birim çemberin l yayına ait tüm noktaları olacaktır. t1 ve t2 noktalarını bulalım.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

t için eşitsizliği elde ettik: pi/3

Kosinüs periyodik bir fonksiyon olduğundan çözümler her 2*pi'de bir tekrarlanacaktır. Bu koşulu t için elde edilen eşitsizliğe ekliyoruz ve cevabı yazıyoruz.

Cevap: pi/3+2*pi*n

Örnek 3. tg(t) eşitsizliğini çözün< = 1.

Teğet periyodu pi'ye eşittir. Sağ yarım dairenin (-pi/2;pi/2) aralığına ait çözümler bulalım. Daha sonra teğetin periyodikliğini kullanarak bu eşitsizliğin tüm çözümlerini yazıyoruz. Bir birim çember çizelim ve üzerine teğetlerden oluşan bir çizgi çizelim.

Eğer t eşitsizliğin bir çözümü ise, o zaman T = tg(t) noktasının ordinatı 1'den küçük veya 1'e eşit olmalıdır. Bu tür noktaların kümesi AT ışınını oluşturacaktır. Bu ışının noktalarına karşılık gelecek Pt noktaları kümesi l yayındır. Üstelik P(-pi/2) noktası bu yaya ait değil.

Eşitsizlikler a › b biçimindeki ilişkilerdir; burada a ve b, en az bir değişken içeren ifadelerdir. Eşitsizlikler katı - ‹, › olabilir ve katı olmayan - ≥, ≤ olabilir.

Trigonometrik eşitsizlikler şu formdaki ifadelerdir: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, burada F(x) bir veya daha fazla trigonometrik fonksiyonla temsil edilir .

En basit trigonometrik eşitsizliğe bir örnek: sin x ‹ 1/2. Bu tür problemleri grafiksel olarak çözmek gelenekseldir; bunun için iki yöntem geliştirilmiştir.

Yöntem 1 - Bir fonksiyonun grafiğini çizerek eşitsizlikleri çözme

Sin x ‹ 1/2 eşitsizliği koşullarını karşılayan bir aralık bulmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1. Y = sin x koordinat ekseninde bir sinüzoid oluşturun.
2. Aynı eksende, eşitsizliğin sayısal argümanının bir grafiğini, yani OY ordinatının ½ noktasından geçen düz bir çizgiyi çizin.
3. İki grafiğin kesişim noktalarını işaretleyin.
4. Örneğin çözümü olan segmenti gölgeleyin.

Bir ifadede katı işaretler mevcut olduğunda kesişim noktaları çözüm değildir. Bir sinüzoidin en küçük pozitif periyodu 2π olduğundan cevabı şu şekilde yazıyoruz:

İfadenin işaretleri kesin değilse, çözüm aralığı köşeli parantez - içine alınmalıdır. Sorunun cevabı aşağıdaki eşitsizlik olarak da yazılabilir:

Yöntem 2 - Birim çemberi kullanarak trigonometrik eşitsizlikleri çözme

Benzer problemler trigonometrik çember kullanılarak kolayca çözülebilir. Cevap bulma algoritması çok basittir:

1. Öncelikle birim çember çizmeniz gerekiyor.
2. Daha sonra dairenin yayındaki eşitsizliğin sağ tarafının argümanının yay fonksiyonunun değerini not etmeniz gerekir.
3. Yay fonksiyonunun değerinden apsis eksenine (OX) paralel geçen düz bir çizgi çizmek gerekir.
4. Bundan sonra geriye kalan tek şey trigonometrik eşitsizliğin çözüm kümesi olan daire yayının seçilmesidir.
5. Cevabı gerekli forma yazın.

Sin x › 1/2 eşitsizliği örneğini kullanarak çözümün aşamalarını analiz edelim. Daire üzerinde α ve β noktaları işaretlenmiştir - değerler

Yayın α ve β'nın üzerinde bulunan noktaları, verilen eşitsizliği çözme aralığıdır.

Cos için bir örnek çözmeniz gerekiyorsa, cevap yayı OY'ye değil OX eksenine simetrik olarak yerleştirilecektir. Sin ve cos için çözüm aralıkları arasındaki farkı metinde aşağıdaki diyagramlarda düşünebilirsiniz.

Teğet ve kotanjant eşitsizliklerinin grafik çözümleri hem sinüs hem de kosinüs çözümlerinden farklı olacaktır. Bu, fonksiyonların özelliklerinden kaynaklanmaktadır.

Arktanjant ve arkkotanjant, trigonometrik bir daireye teğettir ve her iki fonksiyon için minimum pozitif periyot π'dir. İkinci yöntemi hızlı ve doğru bir şekilde kullanmak için sin, cos, tg ve ctg değerlerinin hangi eksende çizildiğini hatırlamanız gerekir.

Teğet teğet OY eksenine paralel uzanır. Arctan a'nın değerini birim çember üzerine çizersek, gerekli ikinci nokta köşegen çeyrekte yer alacaktır. Açılar

Bunlar fonksiyon için kırılma noktalarıdır, çünkü grafik onlara yönelir ancak asla onlara ulaşmaz.

Kotanjant durumunda, teğet OX eksenine paralel uzanır ve fonksiyon π ve 2π noktalarında kesintiye uğrar.

Karmaşık trigonometrik eşitsizlikler

Eşitsizlik fonksiyonunun argümanı sadece bir değişkenle değil, bilinmeyeni içeren bir ifadenin tamamıyla temsil ediliyorsa, o zaman karmaşık bir eşitsizlikten bahsediyoruz demektir. Bunu çözme süreci ve prosedürü yukarıda açıklanan yöntemlerden biraz farklıdır. Aşağıdaki eşitsizliğe bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım:

Grafiksel çözüm, keyfi olarak seçilen x değerlerini kullanarak sıradan bir sinüzoid y = sin x oluşturmayı içerir. Grafiğin kontrol noktalarının koordinatlarını içeren bir tablo hesaplayalım:

Sonuç güzel bir eğri olmalıdır.

Çözüm bulmayı kolaylaştırmak için karmaşık fonksiyon argümanını değiştirelim