Bir küpün kesiti. Bölüm oluşturma görevleri

Kapsamlı okul I-III aşamaları No. 2

Kirovskoye Şehir İdaresi Eğitim Bakanlığı

“Uçakla küp kesiti

ve bunların problemlerdeki pratik uygulamaları.”

Bir matematik öğretmeni tarafından hazırlanmıştır.

öğretmen-metodolog

Chumakova G.V.

2015

Giriiş:

Çokyüzlülerin kesitlerinin oluşturulmasıyla ilgili problemler hem lise geometri derslerinde hem de sınavlarda önemli bir yer tutmaktadır. farklı seviyeler. Bu tür bir problemin çözülmesi, stereometri aksiyomlarının özümsenmesine, bilgi ve becerilerin sistemleştirilmesine, mekansal anlayış ve yapıcı becerilerin geliştirilmesine katkıda bulunur. Bölümlerin yapımıyla ilgili problemlerin çözümünde ortaya çıkan zorluklar iyi bilinmektedir.

Bölüm oluşturma yöntemini oluşturan ana eylemler, bir çizginin bir düzlemle kesişme noktasını bulmak, iki düzlemin kesişme çizgilerini oluşturmak, düzleme paralel bir düz çizgi oluşturmak, düz bir çizgi oluşturmaktır. düzleme dik.

Bir okul matematik dersindeki bir problemi kullanarak bir bölümün yapımını göstereceğim:

№1. Küpün en az iki bölümünü oluşturunABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AM uçağı 1 C, eğer M noktası 1 BB segmenti boyunca hareket eder 1 B'den B'ye 1 . M noktasından çizilen kesitin yüksekliğini ölçmenin sınırlarını bulun 1 .

Çözüm: M noktasını alarak gerekli iki kesiti oluşturalım. 1 B noktasına ve M noktasına daha yakın 2 B'ye daha yakın 1 . Şekilde her iki kesit de gösterilmiştir.Hareketin başlangıcında M noktası 1 B noktasından yeni uzaklaştım 1 kesiti AC tabanı ve yüksekliği M olan bir üçgendir 1 O, BO segmentinden biraz daha büyüktür, yani.
M noktası ise 1 M pozisyonunu alacak 2 B noktasına çok yakın konumda 1 , O AM 2 C neredeyse çakışacak AB 1 C ve yüksekliği M 1 O – B segmentli 1 O, uzunluğu
(OB1 =
=
).

Buradan süreklilik açısından şu sonuca varıyoruz:

Özellikle M 1 noktası B köşesinin konumunu alırsa ne olacağına bakmalısınız.

№2. Küpün kenarlarında bulunan A 1, E ve L noktalarından geçen bir düzlemle küpün bir bölümünü oluşturun.

A 1 ADD 1 ve DD 1 C 1 C yüzlerinin düzlemleri DD 1 düz çizgisi boyunca kesişir ve A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C yüzlerinin düzlemleri D 1 düz çizgisi boyunca kesişir Ç 1 . A ve E noktalarını bağlayarak, kesme düzleminin AA 1 D 1 D yüzünün düzlemi ile kesiştiği düz bir çizgi elde ederiz ve buna devam ederek üç düzleme ait N noktasını buluruz: kesme düzlemi ve kesme düzlemi yüzlerin düzlemleri AA 1 D 1 D u DD 1 C 1 C.

Benzer şekilde, üç düzlemde ortak olan M noktasını buluyoruz: kesit düzlemi ve A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C yüzlerinin düzlemleri. Böylece, N u M noktaları kesme düzlemine ve DD 1 C 1 C düzlemine aittir; MN düz çizgisi, kesit düzleminin DD 1 C 1 C yüzünün düzlemi ile kesişme çizgisidir ve F ve K, CD u CC 1 küpünün kenarları ile kesişme noktalarıdır. A 1 , E , F , Ku L noktalarını tutarlı bir şekilde düz çizgilerle birleştirerek A beşgenini elde ederiz! Bize istenilen bölümü verecek olan EFKL.

Düzlem kullanarak küpün bir bölümünü oluştururken X Bölümdeki noktaların rastgele düzenlenmesiyle sonuç şu şekildedir: üçgen, yamuk, dikdörtgen, beşgen veya altıgen. Doğal olarak, bölüm türünün bu bölümü tanımlayan noktaların konum türüne nasıl bağlı olduğu sorusu ortaya çıktı.

Bunu öğrenmek için bir araştırma yapmaya karar verdim.

Bir köşeli kenarlara ait üç nokta verildiğinde küpün kesitlerini bir düzlemle oluşturun.

D 1 köşesine ait olan ve kendileri küpün köşeleri olan üç A 1 , D , C 1 noktası alınır.

A 1 C 1 , A 1 D u DC 1 bu küpün yüzlerinin köşegenleri olduğundan kesit bir eşkenar üçgenle sonuçlanır.

Üç nokta: A 1 u C 1 küpün köşeleridir ve F noktası DD 1 küpünün kenarına aittir. Noktalar D 1 köşesinden çıkan düz çizgilere aittir.

F, A 1 u C 1 noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan kesit bir ikizkenar üçgenle sonuçlanır.

Üç nokta: A 1 u C 1 küpün köşeleridir ve F noktası küp kenarı DD 1'in düz çizgisine aittir. Noktalar bir D 1 köşesinden çıkan düz çizgilere aittir.

F, A 1 u C 1 noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan, yani LA 1 = KC 1 olduğundan, kesit bir ikizkenar yamuk ile sonuçlanır.

Bir köşesi olan kenarlara ait üç nokta D 1. F u M noktaları sırasıyla D 1 D u D 1 C kenarlarının devamlarına aittir ve A 1 noktası küpün tepe noktasıdır.

Kesit bir beşgen A 1 KLNG ile sonuçlanır.

Sırasıyla D 1 D, D 1 C 1 ve D 1 A 1 kenarlarının devamında yer alacak şekilde üç F, M ve Q noktası alınır.

Kesit bir altıgen KLNGJH ile sonuçlanır.

Bir köşesi D 1 olan kenarlarda üç nokta bulunur.

Kesit keyfi bir üçgenle sonuçlanır, ancak noktalar D 1 Q =D 1 M =D 1 F olacak şekilde düzenlenirse, yani bunlar D 1 tepe noktasından eşit uzaklıktaysa, o zaman kesit elde edilir. eşkenar üçgende.

Kesme düzlemi H, Q ve M noktalarıyla tanımlanır. Kesit bir paralelkenar üretir, çünkü iki paralel düzlemin bir üçüncü ile kesişimi teoremine göre KC ││ MP ve MK ││ PC.

Eğer puan H, Q ve M, D'den uzakta, 2a mesafede kesme düzlemini tanımlar, burada a küpün kenarıdır, daha sonra kesitte normal bir ACB 1 üçgeni elde edilir.

Sonuç: Kesiti tanımlayan üç nokta, küpün ortak bir köşeye sahip üç kenarına aittir veya bunların devamıdır, bu durumda bölüm şu şekilde sonuçlanır: üçgen, beşgen, altıgen, yamuk, paralelkenar.

İkisi bitişik kenarlarda ve üçüncü nokta onlara bitişik olmayan bir kenarda yer alan üç nokta verildiğinde bir küpün bir kesitini bir düzlemle oluşturmak.

Üç nokta M, K u F, M u F'nin bir köşesi A 1 olan kenarlara ait olduğu ve K noktasının onlara bitişik olmayan bir kenarda yer aldığı şekilde alınır.

Kesit bir dikdörtgenle sonuçlanır, çünkü A 1 M = D 1 K ve üç dik teoremi kullanılarak MKLF'nin bir dikdörtgen olduğu kanıtlanabilir ve eğer A 1 M ise D 1 K, o zaman bir yamuk veya bir beşgen elde edebilirsiniz.

K u L'nin bir A 1 köşesinden çıkan kenarlara ait olması ve N noktasının bunlara bitişik olmayan CC 1 kenarına ait olması için üç nokta alınır. K, L u N kenarlarının orta noktaları sırasıyla A 1 A, A 1 B 1 u CC 1 –.

Kesit düzgün bir altıgen KLGNHM ile sonuçlanır

K u L'nin A 1 köşesinden çıkan kenarlara ait olması ve T noktasının DC kenarına ait olması için üç nokta alınır.

Kesit altıgen bir KLFRTZ ile sonuçlanır.

K u L'nin küpün bir A 1 köşesinden kenarlarına ait olması ve M noktasının DD 1 kenarına ait olması için üç nokta alınır.

Kesit yamuk bir LKQM ile sonuçlanır.

Üç nokta Bir köşesi A 1 olan ve BC kenarında yer alan bir R noktasına sahip kenarlara ait olan Ku L.

Kesit bir beşgen KLFRT ile sonuçlanır.

Sonuç: Kesme düzlemi, ikisi bitişik kenarlarda ve üçüncüsü bunlara bitişik olmayan bir kenarda bulunan üç nokta ile tanımlanıyorsa, o zaman kesit dikdörtgen, beşgen, altıgen, yamuk ile sonuçlanabilir.

Bir küpün kesitinde bir paralelkenar ve onun özel durumları vardır.

Puanlar Kesiti tanımlayan T, H, J öyle konumlandırılmıştır ki T.H. reklam, H.J. reklam. Kesit kare bir HTKJ ile sonuçlanır.

Kesit, DF = FD 1, BL = LB 1 ile C, F, L noktaları ile belirtilir. Kesit bir eşkenar dörtgen AFCL üretir.

Kesit C, G, H noktalarıyla tanımlanır. B1H =DG. Kesitte bir paralelkenar A 1 GCH vardır.

Kesiti tanımlayan noktalar A, D, C1 küpünün köşeleridir. Kesit bir dikdörtgenle sonuçlanır

Bir küpün kesitindeki düzenli çokgenler

ABC 1 üçgeni eşkenardır, çünkü kenarları küpün yüzlerinin köşegenleridir.

KV = MV = TV olduğundan KMT üçgeni eşkenardır.

KMTE bir karedir çünkü kesiti M, K, E ve MK noktalarıyla tanımlanır reklam, E.K. reklam.

Kesiti tanımlayan H, E, K noktaları sırasıyla CC 1, DC, AA 1 kenarlarının orta noktaları olduğundan kesit düzenli bir KMTNEO altıgenine sahiptir.

Küp ve Birleşik Devlet Sınavından stereometri ile ilgili çeşitli problemler.

“Birleşik Devlet Sınavı 2005. Matematik” kılavuzunda. Tipik test problemleri” (Kornikova T. A. ve diğerleri) Stereometride ortak bir fikirle birleştirilen 10 problem (C4) içerir: ABCA üçgen prizması verilmiştir. 1 İÇİNDE 1 İLE 1 AB ve BC tabanının kenarları karşılıklı olarak dik ve BB kenarına diktir 1 , AB=BC=BB 1 , A köşesi koninin tepesidir (veya silindirin tabanlarından birinin merkezi veya kürenin merkezi), koninin tabanı (küre veya silindirin ikinci tabanı) ortasından geçer Prizmanın bir kenarının uzunluğu bilinmektedir. Bir koninin (küre, silindir) hacmini veya yüzeyini bulmamız gerekiyor.

Genel örnekçözümler:

Bu prizmayı bir küpün içine ekleyin. Altıgen DEFKLM - dairesi A 1 B 1'in ortasından geçen bir koninin taban düzlemine göre bir küpün bir bölümü, A koninin tepe noktasıdır veya

DEFKLM, dairesi A 1 B 1'in ortasından geçen bir silindirin taban düzlemine göre bir küpün bir kesitidir, A, silindirin ikinci tabanının merkezidir veya bir kesittir. küresi A 1 B 1'in ortasından geçen, merkezi A olan bir kürenin büyük dairesinin düzlemine göre küp.

AltıgenDEFKLM– A kenarlarının ortasından geçen bir düzlemin küpün kesiti 1 İÇİNDE 1 BB 1 , VSZh noktaları oluştururken elde edilirk, L, Mkarşılık gelen kenarların orta noktalarıdır. Bu altıgenin kenarları üçgenlerin hipotenüsleridirD.B. 1 e, EBF, FCK, KQL, LRM, M.A. 1 Dbacakları küpün kenarının yarısına eşit olan. O zaman bu altıgenin merkezi, küpün kenarlarını noktalarda kesen, etrafını çevreleyen dairenin merkezidir.D, e, F, k, Lve M, bu dairenin yarıçapı
, burada bir 1 İÇİNDE 1 = A .

A.O. E.L. T. İle. EAL – ikizkenarlar:AL = A.E. .

( ABE sen EAL– dikdörtgen,AB= Soru-Cevap= A, OLMAK = L.Q. = )

DEFKLM altıgeninin EL köşegeninin orta noktası olarak EO =OL, yani AO ortancadır ve bir ikizkenar üçgenin özelliklerine göre yüksekliktir. AO benzer şekilde kanıtlanır Bilmiyorum. AO altıgen düzlemin kesişen iki düz çizgisine dik olduğundan, AO tüm düzleme diktir.

Eğer A koninin tepe noktası ise AO yüksekliği, eğer A silindirin ikinci tabanının merkezi ise AO silindirin yüksekliğidir.

ABC: AC=
, P – küp tabanının köşegenlerinin kesişme noktaları, AP=
, $$ 1 =AA 1 = A . VEYA=RR 1 = , o zaman dikdörtgenden ROA JSC=
. Ve böylece AO=
.

O halde bir koniden bahsediyorsak:

=

(itibaren
).

Cevap:

Bir silindirden bahsediyorsak:

Cevap:

Eğer küreden bahsediyorsak:

Cevap:

Kornikova T. A. ve diğer tipik test görevleri. Birleşik Devlet Sınavı - 2005

Seçenek 6.

Görev. Verilen bir ABCA 1 B 1 C 1 prizması ve bir silindirdir. Prizmanın tabanının AB ve BC kenarları BB 1 kenarına dik ve karşılıklı olarak diktir. Silindirin tabanının merkezi A 1 noktasıdır; ikinci tabanın dairesi A 1 B 1 kenarının ortasından geçer.

BB 1 =AB=BC=10 ise silindirin toplam yüzey alanını bulun. Hacmini bulun.

Çözüm:

.
.

1'DE. V. Küp. B Düzeyi. Yardım. İçinden bir düzlem geçen bir küpün bir bölümünü oluşturun A, K noktaları ve E. Bu a) düzleminin BB1 kenarıyla kesişme çizgisini bulun; b) düzlem (CC1D). E.C1. K.A1. D1. C. D. A. Menüsü.

Slayt 4 sunumdan “Bölüm oluşturma görevleri”. Sunumlu arşivin boyutu 198 KB'dir.

Geometri 10. sınıf

özet diğer sunumlar

“Dihedral açıların belirlenmesi” - Kenardaki nokta isteğe bağlı olabilir. Hadi BK'yi inşa edelim. Görev. Problem çözme. Düzlem M. Rhombus. Tanımı ve özellikleri. Nerede görebilirsin üç teoremi dikler. Segmentin sonları. Bir ışın atalım. Özellikler. Dihedral açılar piramitlerde. M ve K noktaları burada yer alır farklı yüzler. AC ve BC segmentleri. Üçgen açının özelliği. Tanım. Dihedral açılar. Açıyı bulun. Bir dik çizin. Açının derece ölçüsü.

“Merkezi simetri örnekleri” - Düzlem. Planimetri aksiyomları. Noktalar. Merkezi simetri. Bir simetri merkezi. Otel "Pribaltiyskaya". Tren kapsülü. Segmentin uzunluğu. Bitkilerde simetri örnekleri. Mimaride merkezi simetri. Papatya. Bir segmentin belirli bir uzunluğu vardır. Çizgi segmenti. Stereometri ve planimetri aksiyomları. Stereometri aksiyomları. Karelerde merkezi simetri. Taşımada merkezi simetri. Çeşitli düz çizgiler.

"Eşkenar çokgenler" - Oktahedron Oktahedron sekiz taneden oluşur eşkenar üçgenler. "Edra" - bir "tetra"nın yüzü - 4 "heksa" - 6 "okta" - 8 "icos" - 20 "dedeka" - 12. Bir tetrahedronun 4 yüzü, 4 köşesi ve 6 kenarı vardır. Dodecahedronun 12 yüzü, 20 köşesi ve 30 kenarı vardır. Oktahedronun 8 yüzü, 6 köşesi ve 12 ayrıtı vardır. 5 tür düzenli çokyüzlü vardır. Onikiyüzlü Onikiyüzlü on iki eşkenar beşgenden oluşur.

“Düzenli çokyüzlülerin uygulanması” - Doğada çokyüzlüler. Euler teoremi. Proje hedefleri. Hayatta kullanın. Düzenli çokyüzlülerin dünyası. Mimarlıkta çokyüzlüler. Sanatta çokyüzlüler. Matematikte çokyüzlüler. Arşimet. Kepler. Çokyüzlüler teorisi. altın Oran dodecahedron ve icosahedron'da. Çözüm. Platon. Grup "Tarihçiler". Öklid. Düzenli çokyüzlülerin ortaya çıkış tarihi. “Altın oran” ile çokyüzlülerin kökeni arasındaki ilişki.

"Platonik katılar" - Oktahedron. Platon'un katıları. Altı yüzlü. Düzenli çokyüzlüler. Platon. Dodekahedron. İkilik. Icosahedron. Düzenli çokyüzlüler veya Platonik katılar. Tetrahedron.

“Çokyüzlülerin bölümlerini oluşturma yöntemleri” - Öz kontrol kuralları. Prizmanın bir kesitini oluşturun. Gemi. Çokgenler. En basit görevler. Düzlemin ve çokyüzlünün göreceli konumu. Kesişme noktaları. Çizgiler kesişiyor mu? Kesikler bir beşgen oluşturdu. Kesimler yapıyoruz. Geometri yasaları. Aksiyomatik yöntem. Kesme düzleminin izi. Görev. Düzlem kesme. Çokyüzlülerin bölümlerinin inşası. Bölüm. Anket. Herhangi bir uçak. Paralel borunun bölümleri.

D1 küpünün bölümlerini oluşturma görevleri
C1
e
A1
B1
D
A
F
B
İLE

Doğrulama çalışması.

1 seçenek
seçenek 2
1. tetrahedron
1. paralel yüzlü
2. Paralel borunun özellikleri

Bir küpün kesme düzlemi, her iki tarafında belirli bir küpün noktaları bulunan herhangi bir düzlemdir.

Sekant
düzlem küpün yüzleriyle kesişir
segmentler.
Kenarları olan bir çokgen
Bu bölümlere küpün bir bölümü denir.
Bir küpün bölümleri üçgen olabilir,
dörtgenler, beşgenler ve
altıgenler.
Bölümleri oluştururken şunu dikkate almak gerekir:
bir kesme düzleminin iki düzlemi kesmesi durumunda
bazı bölümler boyunca zıt yüzler, ardından
bu bölümler paraleldir. (Sebebini açıkla).

B1
C1
D1
A1
M
k
ÖNEMLİ!
B
İLE
D
Kesme düzlemi kesişiyorsa
zıt kenarlar, o zaman
K DCC1
onları paralel olarak kesiyor
M BCC1
segmentler.

kenarların orta noktaları olan verilen üç nokta. Kenar ise bölümün çevresini bulun

İçinden bir düzlem geçen küpün bir bölümünü oluşturun
kenarların orta noktaları olan verilen üç nokta.
Küpün kenarı a'ya eşitse kesitin çevresini bulun.
D1
N
k
A1
D
A
C1
B1
M
İLE
B

Küpün, köşeleri olan verilen üç noktadan geçen bir düzlemle bir kesiti oluşturun. Küpün kenarı ise bölümün çevresini bulun

İçinden bir düzlem geçen küpün bir bölümünü oluşturun
köşeleri olan üç verilen nokta. Bulmak
küpün kenarı a'ya eşitse bölümün çevresi.
D1
C1
A1
B1
D
A
İLE
B

D1
C1
A1
M
B1
D
A
İLE
B

Verilen üç noktadan geçen bir düzlemle küpün bir bölümünü oluşturun. Küpün kenarı a'ya eşitse kesitin çevresini bulun.

D1
C1
A1
B1
N
D
A
İLE
B

Küpün, kenarlarının orta noktaları olan verilen üç noktadan geçen bir düzlemle bir kesiti oluşturun.

C1
D1
B1
A1
k
D
İLE
N
e
A
M
B

Ders türü: Birleştirilmiş ders.

Amaçlar ve hedefler:

• eğitici – öğrencilerde mekânsal kavramların oluşumu ve gelişimi; en basit çokyüzlülerin bölümlerini oluşturmayı içeren problemleri çözme becerilerini geliştirmek;
• eğitici - en basit çokyüzlülerin bölümlerini oluştururken nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azmi geliştirin; Matematik öğrenmeye karşı sevgi ve ilgiyi teşvik edin.
• gelişen – öğrenci gelişimi mantıksal düşünme, mekansal temsiller, öz kontrol becerilerinin geliştirilmesi.

Ekipman: özel olarak geliştirilmiş bir programa sahip bilgisayarlar, görevleri içeren hazır çizimler şeklinde bildiriler, çokyüzlülerin katıları, ödevli bireysel kartlar.

Ders yapısı:

1. Dersin konusunu ve amacını belirtin (2 dk).
2. Bilgisayarda görevlerin nasıl tamamlanacağına ilişkin talimatlar (2 dakika).
3. Öğrencilerin temel bilgi ve becerilerinin güncellenmesi (4 dk).
4. Kendi kendine test (3 dk).
5. Öğretmenin çözümü açıklayarak problem çözme (15 dk).
6. Bağımsız iş kendi kendine test ile (10 dakika).
7. Ödev verme (2 dk).
8. Özetleme (2 dk).

Dersler sırasında

1. Dersin konusunu ve amacını aktarma

Öğretmen, sınıfın derse hazır olup olmadığını kontrol ettikten sonra, bugün “Çokyüzlülerin bölümlerinin oluşturulması” konulu bir ders olduğunu bildirir; bazı basit çokyüzlülerin kenarlarına ait üç noktadan geçen düzlemlerle bölümlerinin oluşturulmasında sorunlar ele alınacaktır. çokyüzlü. Ders Power Point'te yapılacak bilgisayar sunumu kullanılarak işlenecektir.

2. Bilgisayar laboratuvarında çalışırken güvenlik talimatları

Öğretmen. Bilgisayar dersinde çalışmaya başladığınıza, davranış kurallarına uymanız ve bilgisayarda çalışmanız gerektiğine dikkatinizi çekiyorum. Geri çekilebilir masa üstlerini sabitleyin ve uygun şekilde oturduğundan emin olun.

3. Öğrencilerin temel bilgi ve becerilerini güncellemek

Öğretmen. Çokyüzlülerle ilgili birçok geometrik problemi çözmek için, farklı düzlemler kullanarak bunların kesitlerini bir çizimde oluşturmak, belirli bir çizginin belirli bir düzlemle kesişme noktasını bulmak ve verilen iki düzlemin kesişim çizgisini bulmak faydalıdır. . Önceki derslerde çokyüzlülerin kenarlarına ve yüzlerine paralel düzlemlerle çokyüzlülerin bölümlerine baktık. Bu dersimizde çokyüzlülerin kenarlarında yer alan üç noktadan geçen bir düzlemle kesit oluşturma problemlerine bakacağız. Bunu yapmak için en basit çokyüzlüyü düşünün. Bu çokyüzlüler nelerdir? (Küp, tetrahedron, düzgün dörtgen piramit ve dik üçgen prizma modelleri gösterilmiştir).

Öğrenciler çokyüzlünün türünü belirlemelidir.

Öğretmen. Monitör ekranında nasıl göründüklerini görelim. Farenin sol tuşuna basarak görüntüden görüntüye geçiyoruz.

Adı geçen çokyüzlülerin görüntüleri birbiri ardına ekranda beliriyor.

Öğretmen. Çokyüzlünün kesiti olarak adlandırılan şeyi hatırlayalım.

Öğrenci. Kenarları çokyüzlünün yüzlerine ait bölümler olan, uçları çokhedronun kenarlarında olan, çokyüzlünün isteğe bağlı bir kesme düzlemiyle kesişmesiyle elde edilen bir çokgen.

Öğretmen. Bu çokyüzlülerin bölümleri hangi çokgenler olabilir?

Öğrenci. Bir küpün bölümleri: üç - altıgen. Bir tetrahedronun bölümleri: üçgenler, dörtgenler. Dörtgen piramidin ve üçgen prizmanın bölümleri: üç - beşgen.

4. Kendi kendini test etme

Öğretmen. Çokyüzlülerin bölümleri kavramına, stereometri aksiyomlarına ve çizgilerin ve düzlemlerin uzaydaki göreceli konumuna ilişkin bilgiye uygun olarak test sorularını yanıtlamanız istenir. Bilgisayar seni takdir edecek. Maksimum puan 3 puan – 3 doğru cevap için. Her slaytta doğru cevabın numarasını içeren düğmeye tıklamanız gerekir. Çiftler halinde çalışırsınız, böylece her biriniz bilgisayar tarafından belirlenen aynı sayıda puan alırsınız. Sonraki slayt göstergesini tıklayın. Görevi tamamlamak için 3 dakikanız var.

I. Hangi şekil bir küpün kesitini düzlemle göstermektedir? ABC?

II. Hangi şekilde bir piramidin tabanının köşegeninden geçen bir düzlemin kesiti gösterilmektedir? BD kenara paralel S.A.?

III. Hangi şekilde bir noktadan geçen bir tetrahedronun kesiti gösterilmektedir M düzleme paralel ABS'ler?

5. Öğretmenin çözüm açıklamasını yaparak problemleri çözme

Öğretmen. Doğrudan sorunları çözmeye geçelim. Sonraki slayt göstergesini tıklayın.

Görev 1 Bu görevi, yapının monitör ekranında adım adım gösterilmesiyle sözlü olarak ele alacağız. Geçiş fareye tıklanarak gerçekleştirilir.

Bir küp verildi ABCDAA 1 B 1 C 1 D 1. Onun kenarında BB 1 verilen puan M. Bir çizginin kesişme noktasını bulun Ç 1 M küp yüzünün düzlemi ile ABCD.

Bir küpün görüntüsünü düşünün ABCDAA 1 B 1 C 1 D 1 noktalı M sınırda BB 1 Puan M Ve İLE 1 uçağa ait BB 1 İLE 1 Düz çizgi hakkında ne söylenebilir? Ç 1 M ?

Öğrenci. Dümdüz Ç 1 M uçağa ait BB 1 İLE 1

Öğretmen. Aranan nokta Xçizgiye ait C 1M, ve dolayısıyla uçaklar BB 1 İLE 1. Nasıl bir şey karşılıklı düzenleme yüzeyleri BB 1 İLE 1 ve ABC?

Öğrenci. Bu düzlemler düz bir çizgide kesişiyor M.Ö..

Öğretmen. Bu, düzlemlerin tüm ortak noktalarının BB 1 İLE 1 ve ABCçizgiye ait M.Ö.. Aranan nokta X aynı anda iki yüzün düzlemlerine ait olmalıdır: ABCD Ve BB 1 C 1 C; bundan, X noktasının kesişme çizgisinde, yani düz çizgide olması gerektiği sonucu çıkar. Güneş. Bu, X noktasının aynı anda iki düz çizgi üzerinde bulunması gerektiği anlamına gelir: İLE 1 M Ve Güneş ve dolayısıyla onların kesişme noktasıdır. Monitör ekranında istenilen noktanın yapımına bakalım. Farenin sol tuşuna bastığınızda yapım sırasını göreceksiniz: devam et İLE 1 M Ve Güneş noktasındaki kavşakta Xçizginin istenen kesişme noktası olan İLE 1 M yüz düzlemi ile ABCD.

Öğretmen. Bir sonraki göreve geçmek için sonraki slayt göstergesini kullanın. Bu sorunu inşaatın kısa bir açıklamasıyla ele alalım.

A) Noktalardan geçen bir düzlemle bir küpün bir bölümünü oluşturun A 1 , MD 1 C 1 ve NGG 1 ve B) Kesme düzleminin küpün alt tabanının düzlemi ile kesişme çizgisini bulun.

Çözüm. I. Kesme düzleminin bir yüzü vardır A 1 B 1 C 1 D 1 iki ortak nokta A 1 ve M ve dolayısıyla bu noktalardan geçen düz bir çizgi boyunca onunla kesişir. Noktaları birleştirmek A 1 ve M düz bir çizgi parçası kullanarak, gelecek bölümün düzlemi ile üst yüzün düzleminin kesişme çizgisini buluruz. Bu gerçeği şu şekilde yazacağız: A 1 M. Farenin sol tuşuna basın, tekrar bastığınızda bu düz çizgi oluşturulur.

Benzer şekilde kesme düzleminin yüzlerle kesişme çizgilerini de buluyoruz. AA 1 D 1 D Ve GG 1 İLE 1 İLE. Fare düğmesine tıkladığınızda kısa bir kayıt ve inşaat ilerlemesini göreceksiniz.

Böylece, A 1 NM? istenilen bölüm.

Gelelim sorunun ikinci kısmına. Kesme düzleminin küpün alt taban düzlemi ile kesişme çizgisini bulalım.

II. Kesme düzlemi küpün taban düzlemi ile düz bir çizgide kesişir. Bu çizgiyi tasvir etmek için bu çizgiye ait iki noktayı bulmak yeterlidir; kesme düzlemi ile yüz düzleminin ortak noktaları ABCD. Önceki probleme göre bu tür noktalar şöyle olacaktır: nokta X=. tuşuna basın, kısa bir kayıt ve yapım göreceksiniz. Ve dönem e, siz ne düşünüyorsunuz, nasıl elde edilir?

Öğrenci. e =

Öğretmen. Ekrandaki yapımına bakalım. Fare düğmesini tıklayın. Noktaları birleştirmek X Ve e(Kayıt X-e), istenilen düz çizgiyi elde ederiz - kesme düzleminin küpün alt tabanının düzlemi ile kesişme çizgisi. Farenin sol tuşuna basın - kısa kayıt ve yapım.

Sorun 3 Noktalardan geçen bir düzlemle küpün bir bölümünü oluşturun:

Ayrıca fare tuşuna bastığınızda monitör ekranında inşaatın ilerleyişini ve kısa bir kaydı göreceksiniz. Kesit kavramına dayanarak, kesme düzlemi ile küpün her yüzünün düzleminin kesişim çizgisini oluşturmak için her yüzün düzleminde iki nokta bulmamız yeterlidir. Puanlar M Ve N uçağa ait A 1 İÇİNDE 1 İLE 1. Bunları bağlayarak kesme düzlemi ile küpün üst yüzünün düzleminin kesişme çizgisini elde ederiz (fare düğmesine basın). Düz çizgilere devam edelim MN Ve D 1 C 1 kavşaktan önce. Bir noktaya değinelim X her iki uçağa da ait A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 ve uçak GG 1 C 1 (fare tıklaması). Puanlar N Ve İLE uçağa ait BB 1 İLE 1. Bunları bağlayarak kesme düzlemi ile yüzün kesişme çizgisini elde ederiz. BB 1 İLE 1 İLE. (Fare tıklaması). Noktaları birleştirmek X Ve İLE, ve düz devam edin HCçizgiyle kesiştiği noktaya DC. Bir noktaya değinelim R ve bölüm KR – kesme düzlemi ile yüzün kesişme çizgisi GG 1 C 1 C. (Fare tıklaması). Düz devam ediyorum Kore Ve GG 1 kavşaktan önce bir puan alırız e, uçağa ait AA 1 D 1. (Fare tıklaması). Bu yüzün düzleminde çizgilerin kesişmesi sonucu elde ettiğimiz bir noktaya daha ihtiyacımız var. MN Ve A 1 D 1. asıl nokta bu . (Fare tıklaması). Noktaları birleştirmek e Ve Z, alıyoruz Ve . (Fare tıklaması). Bağlanıyor Q Ve R, R Ve M, alacak mıyız? istenilen bölüm.

Yapının kısa açıklaması:

2) ;

6) ;

7) ;

13)? istenilen bölüm.

Ders konusu: Bölüm oluşturma görevleri.

Dersin amacı:

Bir tetrahedronun ve paralelkenarın bölümlerinin oluşturulmasını içeren problemleri çözme becerilerini geliştirmek.

Dersler sırasında

I. Organizasyon anı.

II. Ödev kontrol ediliyor

14, 15. soruların cevapları.

14. Yüzünde beş dik açı bulunan bir tetrahedron var mı?

(Cevap: hayır, çünkü sadece 4 yüz vardır, bunlar üçgendir ve iki dik açılı üçgen yoktur.)

15. Aşağıdakilere sahip bir paralelyüz var mı: a) yalnızca bir yüzü - bir dikdörtgen;

b) yalnızca iki bitişik eşkenar dörtgen yüz; c) yüzlerin tüm köşeleri keskindir; d) yüzlerin tüm açıları doğrudur; e) Tüm keskin kenarların sayısı, yüzlerin tüm geniş açılarının sayısına eşit değil mi?

(Cevap: a) hayır (karşı taraflar eşittir); b) hayır (aynı sebepten dolayı); c) hayır (bu tür paralelkenarlar mevcut değildir); d) evet (dikdörtgen paralel yüzlü); e) hayır (her yüzün iki dar ve iki geniş açısı veya tamamı düz çizgileri vardır).

III. Yeni materyal öğrenme

Teorik kısım. Pratik kısım. Teorik kısım.

Birçok şeyi çözmek için geometrik problemler bir tetrahedron ve bir paralelyüz ile ilişkili olduğundan, bir çizimde bunların kesitlerini farklı düzlemlerde çizebilmek faydalıdır. Bölüm derken, her iki tarafında da belirli bir şeklin (yani dört yüzlü veya paralel yüzlü) noktaları bulunan herhangi bir düzlemi (buna kesme düzlemi diyelim) kastediyoruz. Kesme düzlemi tetrahedronla (paralel borulu) bölümler boyunca kesişir. Bu parçaların oluşturacağı çokgen şeklin kesitidir. Bir tetrahedronun dört yüzü olduğundan kesiti üçgen ve dörtgen olabilir. Paralel yüzlünün altı yüzü vardır. Kesiti üçgenler, dörtgenler, beşgenler, altıgenler olabilir.

Paralel borunun bir bölümünü oluştururken, eğer bir kesme düzlemi bazı bölümler boyunca iki zıt yüzle kesişiyorsa, bu bölümlerin paralel olduğu gerçeğini dikkate alırız (özellik 1, paragraf 11: Eğer iki ise) paralel düzlemlerüçüncüsü kesişiyorsa kesişme çizgileri paraleldir).

Bir bölüm oluşturmak için, kesme düzleminin tetrahedronun kenarlarıyla (paralel borulu) kesişme noktalarını oluşturmak ve ardından aynı yüz üzerinde bulunan her iki yapılandırılmış noktayı birleştiren bölümler çizmek yeterlidir.

Bir tetrahedron bir düzlemle şekilde gösterilen dörtgene kesilebilir mi?

https://pandia.ru/text/78/630/images/image002_130.gif" width = "626" height = "287 src = ">

2.2. Noktalardan geçen bir düzlemle bir küpün bir bölümünü oluşturun e, F, G, küpün kenarlarında yatıyor.

e, F, G,

hadi doğrudan yapalım E.F. ve belirtmek P ile kesiştiği nokta reklam.

Haydi belirtelim Qçizgilerin kesişme noktası PG Ve AB.

Noktaları birleştirelim e Ve Q, F Ve G.

Ortaya çıkan yamuk EFGQİstenilen bölüm olacaktır.

https://pandia.ru/text/78/630/images/image004_91.gif" width="624" height="287">

2.4. Noktalardan geçen bir düzlemle bir küpün bir bölümünü oluşturun e, F, küpün ve tepe noktasının kenarlarında yer alan B.

Çözüm. Noktalardan geçen bir küpün bir bölümünü oluşturmak için e, F ve üst B,

Noktaları segmentlerle birleştirelim e Ve B, F Ve B.

Noktalardan e Ve F hadi paralel çizgiler çizelim B.F. Ve OLMAK, sırasıyla.

Ortaya çıkan paralelkenar BFGEİstenilen bölüm olacaktır.

2.5. Noktalardan geçen bir düzlemle bir küpün bir bölümünü oluşturun e, F, G, küpün kenarlarında yatıyor.

Çözüm. Noktalardan geçen bir küpün bir bölümünü oluşturmak için e, F, G,

hadi doğrudan yapalım E.F. ve belirtmek P ile kesiştiği nokta reklam.

Haydi belirtelim Q,Rçizgi kesişme noktaları PGİle AB Ve DC.

Haydi belirtelim S kesişim noktası FR C SS 1.

Noktaları birleştirelim e Ve Q, G Ve S.

Ortaya çıkan beşgen EFSGQİstenilen bölüm olacaktır.

2.6. Noktalardan geçen bir düzlemle bir küpün bir bölümünü oluşturun e, F, G, küpün kenarlarında yatıyor.

Çözüm. Noktalardan geçen bir küpün bir bölümünü oluşturmak için e, F, G,

hadi bir nokta bulalım P düz bir çizginin kesişimi E.F. ve yüz düzlemi ABCD.

Haydi belirtelim Q, Rçizgi kesişme noktaları PGİle AB Ve CD.

Direkt yapalım RF ve belirtmek S, T ile kesiştiği noktalar CC 1 ve GG 1.

Direkt yapalım T.E. ve belirtmek sen ile kesiştiği nokta A 1D 1.

Noktaları birleştirelim e Ve Q, G Ve S, F ve U.

Ortaya çıkan altıgen EUFSGQİstenilen bölüm olacaktır.

2.7. Bir tetrahedronun kesitini oluşturun ABCD reklam ve noktalardan geçerek e, F.

Çözüm. Noktaları birleştirelim e Ve F. NoktadanF düz bir çizgi çizelimFG, paralelMS.

Noktaları birleştirelim G Ve e.

Ortaya çıkan üçgen EFGİstenilen bölüm olacaktır.

2.8. Bir tetrahedronun kesitini oluşturun ABCD kenara paralel düzlem CD ve noktalardan geçerek e, F .

Çözüm. Noktalardan e Ve F hadi düz çizgiler çizelim ÖRNEĞİN. Ve FH, paralel CD.

Noktaları birleştirelim G Ve F, e Ve H.

Ortaya çıkan üçgen EFGİstenilen bölüm olacaktır.

2.9. Bir tetrahedronun kesitini oluşturun ABCD noktalardan geçen uçak e, F, G.

Çözüm. Noktalardan geçen bir tetrahedronun bir bölümünü oluşturmak e, F, G,

hadi doğrudan yapalım E.F. ve belirtmek P ile kesiştiği nokta BD.

Haydi belirtelim Qçizgilerin kesişme noktası PG Ve CD.

Noktaları birleştirelim F Ve Q, e Ve G.

Ortaya çıkan dörtgen EFQGİstenilen bölüm olacaktır.

IV. Ders özeti.

V. Ev ödevi paragraf 14, sayfa 27 No. 000 – seçenek 1, 2.