Как быстро решить систему уравнений. Графический метод решения систем уравнений. Решение легких задач с применением метода вычитания
1. Метод подстановки : из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.
Задача. Решить систему уравнений:
Решение. Из первого уравнения системы выражаем у через х и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему равносильную исходной.
После приведения подобных членов система примет вид:
Из второго уравнения находим: . Подставив это значение в уравнение у = 2 - 2х , получим у = 3. Следовательно, решением данной системы является пара чисел .
2. Метод алгебраического сложения : путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.
Задача. Решить систему уравнение:
Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему равносильную исходной. Сложив два уравнения этой системы, придем к системе
После приведения подобных членов данная система примет вид: Из второго уравнения находим . Подставив это значение в уравнение 3х + 4у = 5, получим , откуда . Следовательно, решением данной системы является пара чисел .
3. Метод введения новых переменных : ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.
Задача. Решить систему уравнений:
Решение. Запишем данную систему иначе:
Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему
Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u через v и подставим во второе уравнение системы. Получим систему т.е.
Из второго уравнение системы находим v 1 = 2, v 2 = 3.
Подставив эти значения в уравнение u
= 5 - v
, получим u
1 = 3,
u
2 = 2. Тогда имеем две системы
Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решить системы уравнений методом подстановки.
Напомним для начала определение решения системы уравнений с двумя переменными.
Определение 1
Пара чисел называется решением системы уравнений с двумя переменными, если при их подстановки в уравнение получается верное равенство.
В дальнейшем будем рассматривать системы из двух уравнений с двумя переменными.
Существуют четыре основных способа решения систем уравнений : способ подстановки, способ сложения, графический способ, способ ведения новых переменных. Рассмотрим эти способы на конкретных примерах. Для описания принципа использования первых трех способов будем рассматривать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Способ подстановки
Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$
Пример 1
Выразим из второго уравнения $y$ через $x$:
Подставим в первое уравнение, найдем $x$:
\ \ \
Найдем $y$:
Ответ: $(-2,\ 3)$
Способ сложения.
Рассмотрим данный способ на примере:
Пример 2
\[\left\{ \begin{array}{c} {2x+3y=5} \\ {3x-y=-9} \end{array} \right.\]
Умножим второе уравнение на 3, получим:
\[\left\{ \begin{array}{c} {2x+3y=5} \\ {9x-3y=-27} \end{array} \right.\]
Теперь сложим оба уравнения между собой:
\ \ \
Найдем $y$ из второго уравнения:
\[-6-y=-9\] \
Ответ: $(-2,\ 3)$
Замечание 1
Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».
Графический способ
Графический способ заключается в следующем: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.
Пример 3
\[\left\{ \begin{array}{c} {2x+3y=5} \\ {3x-y=-9} \end{array} \right.\]
Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:
\[\left\{ \begin{array}{c} {y=\frac{5-2x}{3}} \\ {y=3x+9} \end{array} \right.\]
Изобразим оба графика на одной плоскости:
Рисунок 1.
Ответ: $(-2,\ 3)$
Способ введения новых переменных
Этот способ рассмотрим на следующем примере:
Пример 4
\[\left\{ \begin{array}{c} {2^{x+1}-3^y=-1} \\ {3^y-2^x=2} \end{array} \right.\]
Решение.
Данная система равносильна системе
\[\left\{ \begin{array}{c} {{2\cdot 2}^x-3^y=-1} \\ {3^y-2^x=2} \end{array} \right.\]
Пусть $2^x=u\ (u>0)$, а $3^y=v\ (v>0)$, получим:
\[\left\{ \begin{array}{c} {2u-v=-1} \\ {v-u=2} \end{array} \right.\]
Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:
\ \
Тогда из второго уравнения, получим, что
Возвращаясь к замене, получим новую систему показательных уравнений:
\[\left\{ \begin{array}{c} {2^x=1} \\ {3^y=3} \end{array} \right.\]
Получаем:
\[\left\{ \begin{array}{c} {x=0} \\ {y=1} \end{array} \right.\]
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Правила ввода уравнений
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки
. При этом уравнения сначала упрощаются.
Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0
с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end{array} \right. $$
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\{ \begin{array}{l} y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end{array} \right. $$
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только
одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) - решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными . Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали
противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений,
получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x=33 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \(x-3y=38 \) получим уравнение с
переменной y: \(11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \(x=11; y=-9 \) или \((11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задачРешить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы .
Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в систему вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin{cases}3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end{cases}\)
А вот \(x=1\); \(y=-2\) - не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin{cases}1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end{cases}\)
Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо "\(x=3\); \(y=-1\)" пишут так: \((3;-1)\).
Как решить систему линейных уравнений?
Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:
- Способ подстановки.
-
\(\begin{cases}13x+9y=17\\12x-2y=26\end{cases}\)
Во втором уравнении каждое слагаемое - четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).
\(\begin{cases}13x+9y=17\\6x-y=13\end{cases}\)
Эту систему можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.
\(\begin{cases}13x+9y=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.
\(\begin{cases}13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Первое уравнение превратилась в обычное . Решаем его.
Сначала раскроем скобки.
\(\begin{cases}13x+54x-117=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.
\(\begin{cases}67x=134\\y=6x-13\end{cases}\)
Поделим обе части первого уравнения на \(67\).
\(\begin{cases}x=2\\y=6x-13\end{cases}\)
Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).
\(\begin{cases}x=2\\y=12-13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)
Запишем ответ.
\(\begin{cases}x-2y=5\\3x+2y=7 \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=5+2y\\3x+2y=7\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)
Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое уравнение системы.
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.