So vergleichen Sie Brüche mit demselben Nenner: Regel. Brüche vergleichen

Aus zwei Brüchen mit gleiche Nenner derjenige mit dem größeren Zähler ist größer und der mit dem kleineren Zähler ist kleiner. Tatsächlich zeigt der Nenner, in wie viele Teile ein ganzer Wert geteilt wurde, und der Zähler zeigt, wie viele solcher Teile genommen wurden.

Es stellt sich heraus, dass wir jeden ganzen Kreis durch dieselbe Zahl geteilt haben 5 , aber sie haben genommen unterschiedliche Mengen Teile: Sie nahmen mehr - einen größeren Bruchteil und es stellte sich heraus.

Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist der mit dem kleineren Nenner größer und der mit dem größeren Nenner kleiner. Nun, in der Tat, wenn wir einen Kreis in teilen 8 Teile und das andere weiter 5 Teile und nimm aus jedem der Kreise ein Teil. Welcher Teil wird größer sein?

Natürlich aus einem Kreis geteilt durch 5 Teile! Stellen Sie sich nun vor, dass sie keine Kreise, sondern Kuchen teilen würden. Welches Stück würden Sie bevorzugen bzw. welchen Anteil: eine Quinte oder eine Achtel?

Um Brüche mit unterschiedlichen Zählern zu vergleichen und verschiedene Nenner, müssen Sie Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren und dann Brüche mit demselben Nenner vergleichen.

Beispiele. Vergleichen Sie gemeinsame Brüche:

Lassen Sie uns diese Brüche auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren. NOZ(4 ; 6)=12. Wir finden für jeden der Brüche zusätzliche Faktoren. Für die 1. Fraktion ein zusätzlicher Faktor 3 (12: 4=3 ). Für die 2. Fraktion ein zusätzlicher Faktor 2 (12: 6=2 ). Nun vergleichen wir die Zähler der beiden resultierenden Brüche mit gleichen Nennern. Da der Zähler des ersten Bruchs kleiner ist als der Zähler des zweiten Bruchs ( 9<10) , dann ist der erste Bruch selbst kleiner als der zweite Bruch.

Im Alltag müssen wir oft gebrochene Mengen vergleichen. Meistens verursacht dies keine Schwierigkeiten. Tatsächlich versteht jeder, dass ein halber Apfel größer als ein Viertel ist. Aber wenn es darum geht, es als mathematischen Ausdruck aufzuschreiben, kann es verwirrend werden. Durch die Anwendung der folgenden mathematischen Regeln können Sie dieses Problem leicht lösen.

So vergleichen Sie Brüche mit demselben Nenner

Solche Brüche lassen sich am einfachsten vergleichen. Verwenden Sie in diesem Fall die Regel:

Von zwei Brüchen mit demselben Nenner, aber unterschiedlichen Zählern ist der größere derjenige, dessen Zähler größer ist, und der kleinere derjenige, dessen Zähler kleiner ist.

Vergleichen Sie zum Beispiel die Brüche 3/8 und 5/8. Die Nenner in diesem Beispiel sind gleich, daher wenden wir diese Regel an. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Wenn man nämlich zwei Pizzen in 8 Scheiben schneidet, dann sind 3/8 einer Scheibe immer weniger als 5/8.

Vergleichen von Brüchen mit gleichen Zählern und ungleichen Nennern

Dabei werden die Größen der Nenneranteile verglichen. Die anzuwendende Regel lautet:

Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler haben, ist der Bruch, dessen Nenner kleiner ist, größer.

Vergleichen Sie zum Beispiel die Brüche 3/4 und 3/8. In diesem Beispiel sind die Zähler gleich, was bedeutet, dass wir die zweite Regel verwenden. Der Bruch 3/4 hat einen kleineren Nenner als der Bruch 3/8. Daher 3/4>3/8

Wenn Sie 3 Stücke Pizza, aufgeteilt in 4 Teile, essen, werden Sie tatsächlich satt, als wenn Sie 3 Stücke Pizza, aufgeteilt in 8 Teile, essen würden.

Vergleichen von Brüchen mit unterschiedlichen Zählern und Nennern

Wenden wir die dritte Regel an:

Der Vergleich von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern sollte dazu führen, dass Brüche mit demselben Nenner verglichen werden. Dazu müssen Sie die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und die erste Regel anwenden.

Beispielsweise müssen Sie Brüche und vergleichen. Um den größeren Bruch zu ermitteln, bringen wir diese beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

• Finden wir nun den zweiten zusätzlichen Faktor: 6:3=2. Wir schreiben es über den zweiten Bruch:

In dieser Lektion lernen wir, wie man Brüche miteinander vergleicht. Dies ist eine sehr nützliche Fähigkeit, die zur Lösung einer ganzen Klasse komplexerer Probleme erforderlich ist.

Lassen Sie mich zunächst an die Definition der Bruchgleichheit erinnern:

Die Brüche a /b und c /d gelten als gleich, wenn ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, da 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, da 3 18 = 2 27 = 54.

In allen anderen Fällen sind die Brüche ungleich und für sie gilt eine der folgenden Aussagen:

1. Der Bruch a/b ist größer als der Bruch c/d;
2. Der Bruch a/b ist kleiner als der Bruch c/d.

Der Bruch a /b heißt größer als der Bruch c /d, wenn a /b − c /d > 0.

Ein Bruch x /y heißt kleiner als ein Bruch s /t, wenn x /y − s /t< 0.

Bezeichnung:

Beim Vergleichen von Brüchen kommt es also darauf an, sie zu subtrahieren. Frage: Wie kann man nicht mit den Notationen „mehr als“ (>) und „weniger als“ () verwechselt werden?<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Der ausgestellte Teil der Dohle zeigt immer zur größeren Zahl;
2. Die spitze Nase einer Dohle weist immer auf eine niedrigere Zahl hin.

Bei Problemen, bei denen Sie Zahlen vergleichen müssen, wird häufig ein „∨“-Zeichen dazwischen gesetzt. Dabei handelt es sich um eine Dohle mit gesenkter Nase, was anzudeuten scheint: Die größere der Zahlen steht noch nicht fest.

Aufgabe. Zahlen vergleichen:

Subtrahieren Sie die Brüche entsprechend der Definition voneinander:

Bei jedem Vergleich mussten wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Insbesondere die Verwendung der Kreuzmethode und die Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Ich habe mich bewusst nicht auf diese Punkte konzentriert, aber wenn etwas nicht klar ist, schauen Sie sich die Lektion „Brüche addieren und subtrahieren“ an – sie ist ganz einfach.

Vergleich von Dezimalzahlen

Bei Dezimalbrüchen ist alles viel einfacher. Hier müssen Sie nichts subtrahieren – vergleichen Sie einfach die Ziffern. Es ist eine gute Idee, sich den signifikanten Teil einer Zahl zu merken. Für diejenigen, die es vergessen haben, empfehle ich, die Lektion „Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren“ zu wiederholen – auch dies dauert nur ein paar Minuten.

Eine positive Dezimalzahl X ist größer als eine positive Dezimalzahl Y, wenn sie eine Dezimalstelle enthält, sodass:

1. Die Ziffer an dieser Stelle im Bruch X ist größer als die entsprechende Ziffer im Bruch Y;
2. Alle höheren Ziffern der Brüche X und Y sind gleich.

1. 12.25 > 12.16. Die ersten beiden Ziffern sind gleich (12 = 12) und die dritte ist größer (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Mit anderen Worten: Wir gehen die Dezimalstellen nacheinander durch und suchen nach dem Unterschied. In diesem Fall entspricht eine größere Zahl einem größeren Bruch.

Diese Definition bedarf jedoch einer Klarstellung. Wie schreibt und vergleicht man beispielsweise Dezimalstellen? Denken Sie daran: Jeder in Dezimalform geschriebenen Zahl können links beliebig viele Nullen hinzugefügt werden. Hier noch ein paar Beispiele:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (wir reden überüber den Senior-Rang).
2. 2300,5 > 0,0025, weil 0,0025 = 0000,0025 - links wurden drei Nullen hinzugefügt. Jetzt können Sie sehen, dass der Unterschied bereits bei der ersten Ziffer beginnt: 2 > 0.

Natürlich gab es in den angegebenen Beispielen mit Nullen einen offensichtlichen Overkill, aber der Punkt ist genau dieser: Füllen Sie die fehlenden Bits auf der linken Seite aus und vergleichen Sie dann.

Aufgabe. Brüche vergleichen:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Per Definition haben wir:

1. 0,029 > 0,007. Die ersten beiden Ziffern fallen zusammen (00 = 00), dann beginnt die Differenz (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Hier müssen Sie die Nullen sorgfältig zählen. Die ersten 5 Ziffern in beiden Brüchen sind Null, aber dann gibt es im ersten Bruch 3 und im zweiten - 0. Offensichtlich ist 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Schreiben wir den zweiten Bruch als 0000,99501 um und fügen links drei Nullen hinzu. Jetzt ist alles klar: 1 > 0 – der Unterschied wird in der ersten Ziffer erkannt.

Leider ist das angegebene Vergleichsschema Dezimalzahlen nicht universell. Diese Methode kann nur vergleichen positive Zahlen. Im allgemeinen Fall lautet der Betriebsalgorithmus wie folgt:

1. Ein positiver Bruch ist immer größer als ein negativer Bruch;
2. Zwei positive Brüche werden mit dem obigen Algorithmus verglichen;
3. Zwei negative Brüche werden auf die gleiche Weise verglichen, am Ende wird jedoch das Ungleichheitszeichen umgekehrt.

Na ja, nicht schlecht? Schauen wir uns nun an konkrete Beispiele- und alles wird klar.

Aufgabe. Brüche vergleichen:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Brüche sind negativ, die 2. Ziffer ist unterschiedlich. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Positive Zahl immer negativer;
4. 19,032 > 0,091. Es genügt, den zweiten Bruch in der Form 00,091 umzuschreiben, um zu sehen, dass der Unterschied bereits in der 1. Ziffer entsteht;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Der Unterschied liegt in der ersten Kategorie.

Lernziele:

1. Lehrreich: lehren, wie man Brüche vergleicht verschiedene Arten Verwendung verschiedener Techniken;
2. Lehrreich: Entwicklung grundlegender Techniken der geistigen Aktivität, Verallgemeinerung des Vergleichs, Hervorhebung des Wesentlichen; Entwicklung von Gedächtnis, Sprache.
3. Lehrreich: lernen, einander zuzuhören, gegenseitige Hilfe, eine Kommunikations- und Verhaltenskultur zu fördern.

Unterrichtsschritte:

1. Organisatorisch.

Beginnen wir die Lektion mit den Worten des französischen Schriftstellers A. France: „Lernen kann Spaß machen ... Um Wissen zu verdauen, muss man es mit Appetit aufnehmen.“

Befolgen wir diesen Rat, versuchen wir aufmerksam zu sein und das Wissen mit großem Verlangen aufzunehmen, denn... Sie werden uns in Zukunft nützlich sein.

2. Aktualisierung des Wissens der Studierenden.

1.) Frontale mündliche Arbeit der Studierenden.

Ziel: Den behandelten Stoff wiederholen, was beim Erlernen neuer Dinge erforderlich ist:

A) regelmäßige und unechte Brüche;
B) Brüche auf einen neuen Nenner bringen;
C) Finden des kleinsten gemeinsamen Nenners;

(Wir arbeiten mit Dateien. Den Schülern stehen sie in jeder Unterrichtsstunde zur Verfügung. Sie schreiben Antworten mit einem Filzstift darauf und löschen dann unnötige Informationen.)

Aufgaben für mündliche Arbeiten.

1. Benennen Sie den zusätzlichen Bruch in der Kette:

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Reduzieren Sie Brüche auf einen neuen Nenner 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen:

1/5 und 2/7; 3/4 und 1/6; 2/9 und 1/2.

2.) Spielsituation.

Leute, unser Freund, der Clown (die Schüler trafen ihn zu Beginn des Schuljahres), bat mich, ihm bei der Lösung eines Problems zu helfen. Aber ich glaube, dass ihr unserem Freund ohne mich helfen könnt. Und die Aufgabe kommt als nächstes.

„Vergleiche Brüche:

a) 1/2 und 1/6;
b) 3/5 und 1/3;
c) 5/6 und 1/6;
d) 12/7 und 4/7;
e) 3 1/7 und 3 1/5;
e) 7 5/6 und 3 1/2;
g) 1/10 und 1;
h) 10/3 und 1;
i) 7/7 und 1.“

Leute, was sollten wir lernen, um dem Clown zu helfen?

Der Zweck des Unterrichts, Aufgaben (Schüler formulieren selbstständig).

Der Lehrer hilft ihnen, indem er Fragen stellt:

a) Welche Bruchpaare können wir bereits vergleichen?

b) Welches Werkzeug benötigen wir, um Brüche zu vergleichen?

3. Jungs in Gruppen (in permanenten mehrstufigen Gruppen).

Jede Gruppe erhält eine Aufgabe und Anweisungen zur Lösung.

Erste Gruppe : Vergleichen Sie gemischte Brüche:

a) 1 1/2 und 2 5/6;
b) 3 1/2 und 3 4/5

und leiten Sie die Gleichungsregel ab gemischte Brüche mit gleichen und unterschiedlichen Ganzteilen.

Anleitung: Gemischte Brüche vergleichen (mit Zahlenstrahl)

1. Vergleichen Sie ganze Teile von Brüchen und ziehen Sie eine Schlussfolgerung.
2. Bruchteile vergleichen (Regel zum Vergleichen von Bruchteilen nicht anzeigen);
3. Machen Sie eine Regel - einen Algorithmus:

Zweite Gruppe: Vergleichen Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern und unterschiedlichen Zählern. (Zahlenstrahl verwenden)

a) 07.06. und 14.09.;
b) 11.05. und 22.01

Anweisungen

1. Nenner vergleichen
2. Überlegen Sie, ob es möglich ist, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen
3. Beginnen Sie die Regel mit den Worten: „Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, müssen Sie …“

Dritte Gruppe: Vergleich von Brüchen mit Eins.

a) 2/3 und 1;
b) 8/7 und 1;
c) 10/10 und 1 und formulieren Sie eine Regel.

Anweisungen

Berücksichtigen Sie alle Fälle: (Zahlenstrahl verwenden)

a) Wenn der Zähler eines Bruchs gleich dem Nenner ist, ………;
b) Wenn der Zähler eines Bruchs kleiner als der Nenner ist,………;
c) Wenn der Zähler eines Bruchs größer als der Nenner ist,………. .

Formulieren Sie eine Regel.

Vierte Gruppe: Brüche vergleichen:

a) 5/8 und 3/8;
b) 1/7 und 4/7 und formulieren Sie eine Regel zum Vergleichen von Brüchen mit demselben Nenner.

Anweisungen

Benutze den Zahlenstrahl.

Vergleichen Sie die Zähler und ziehen Sie eine Schlussfolgerung, beginnend mit den Worten: „Von zwei Brüchen mit demselben Nenner .....“

Fünfte Gruppe: Brüche vergleichen:

a) 1/6 und 1/3;
b) 4/9 und 4/3, unter Verwendung des Zahlenstrahls:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Formulieren Sie eine Regel zum Vergleichen von Brüchen mit gleichen Zählern.

Anweisungen

Vergleichen Sie die Nenner und ziehen Sie eine Schlussfolgerung, beginnend mit den Worten:

„Von zwei Brüchen mit gleichen Zählern………..“

Sechste Gruppe: Brüche vergleichen:

a) 4/3 und 5/6; b) 7/2 und 1/2 mit Zahlenbalken

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Formulieren Sie eine Regel zum Vergleich echter und unechter Brüche.

Anweisungen.

Überlegen Sie, welcher Bruch immer größer, richtig oder unechten ist.

4. Diskussion der Schlussfolgerungen in Gruppen.

Ein Wort für jede Gruppe. Formulierung studentischer Regeln und Vergleich dieser mit den Standards der entsprechenden Regeln. Als nächstes werden Ausdrucke der Regeln zum Vergleich verschiedener Typen gegeben. gewöhnliche Brüche jeder Student.

5. Kehren wir zur zu Beginn der Lektion gestellten Aufgabe zurück. (Wir lösen das Clownproblem gemeinsam).

6. Arbeiten Sie in Notizbüchern. Anhand der Regeln zum Vergleichen von Brüchen vergleichen die Schüler unter Anleitung des Lehrers Brüche:

a) 13.08. und 25.08.;
b)11/42 und 3/42;
c)7/5 und 1/5;
d) 18/21 und 7/3;
e) 2 1/2 und 3 1/5;
e) 5 1/2 und 5 4/3;

(Es besteht die Möglichkeit, den Studierenden in den Vorstand einzuladen.)

7. Die Schüler werden gebeten, einen Test zum Vergleich von Brüchen mit zwei Optionen zu absolvieren.

Option 1.

1) Brüche vergleichen: 1/8 und 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12

2) Was ist größer: 5/13 oder 7/13?

a) 5/13;
b) 7/13;
c) gleich

3) Was ist kleiner: 2\3 oder 4/6?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) gleich

4) Welcher Bruch ist kleiner als 1: 3/5; 17/9; 7/7?

a) 3/5;
b) 17/9;
c) 7/7

5) Welcher Bruch ist größer als 1: ?; 7/8; 4/3?

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) Vergleichen Sie Brüche: 2 1/5 und 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 >1 7/9

Option 2.

1) Brüche vergleichen: 3/5 und 3/10

a) 3/5 > 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10

2) Was ist größer: 10/12 oder 1/12?

a) gleich;
b) 10/12;
c) 1/12

3) Was ist weniger: 3/5 oder 1/10?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) gleich

4) Welcher Bruch ist kleiner als 1: 4/3;1/15;16/16?

a) 4/3;
b) 1/15;
c) 16/16

5) Welcher Bruch ist größer als 1: 2/5;9/8;11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
c) 11.12

6) Vergleichen Sie Brüche: 3 1/4 und 3 2/3

a) 3 1/4=3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

Antworten zum Test:

Option 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

Option 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Wir kehren noch einmal zum Zweck der Lektion zurück.

Wir überprüfen die Vergleichsregeln und geben differenzierte Hausaufgaben:

Gruppen 1,2,3 – überlegen Sie sich für jede Regel zwei Vergleichsbeispiele und lösen Sie diese.

4,5,6 Gruppen - Nr. 83 a, b, c, Nr. 84 a, b, c (aus dem Lehrbuch).