EingangGlättung mithilfe eines gleitenden Durchschnitts. Methode des gleitenden Durchschnitts in Microsoft Excel
Schauen wir uns zunächst einige einfache Prognosemethoden an, die das Vorhandensein von Saisonalität in einer Zeitreihe nicht berücksichtigen. Nehmen wir an, dass das RBC-Magazin eine Zusammenfassung der Preise für Orangen zum Börsenschluss der letzten 12 Tage (einschließlich heute) bereitstellt. Anhand dieser Daten müssen Sie den Kakaopreis von morgen (auch zum Börsenschluss) vorhersagen. Schauen wir uns verschiedene Möglichkeiten an, dies zu tun.
Wenn der letzte (heutige) Wert im Vergleich zu den anderen der aussagekräftigste ist, dann ist es die beste Prognose für morgen.
Möglicherweise sind aufgrund der schnellen Kursveränderung an der Börse die ersten sechs Werte bereits veraltet und nicht relevant, während die letzten sechs aussagekräftig und gleichwertig für die Prognose sind. Als Prognose für morgen können Sie dann den Durchschnitt der letzten sechs Werte heranziehen.
Wenn alle Werte signifikant sind, aber der heutige 12. Wert der signifikanteste ist und die vorherigen der 11., 10., 9. usw. sind. Wenn die Werte immer weniger aussagekräftig werden, sollten Sie den gewichteten Durchschnitt aller 12 Werte ermitteln. Darüber hinaus sollten die Gewichtungskoeffizienten für die letzten Werte größer sein als für die vorherigen und die Summe aller Gewichtungskoeffizienten sollte gleich 1 sein.
Die erste Methode wird als „naive“ Prognose bezeichnet und ist ziemlich offensichtlich. Schauen wir uns die anderen Methoden genauer an.
Methode des gleitenden Durchschnitts
Eine der dieser Methode zugrunde liegenden Annahmen besteht darin, dass eine genauere Prognose für die Zukunft erhalten werden kann, wenn aktuelle Beobachtungen verwendet werden, und je „neuer“ die Daten sind, desto größer ist ihr Gewicht für die Prognose. Überraschenderweise erweist sich dieser „naive“ Ansatz als äußerst nützlich für die Praxis. Beispielsweise verwenden viele Fluggesellschaften einen proprietären gleitenden Durchschnitt, um Prognosen zur Flugreisenachfrage zu erstellen, die wiederum in komplexen Mechanismen zur Umsatzverwaltung und -optimierung eingesetzt werden. Darüber hinaus enthalten fast alle Softwarepakete zur Bestandsverwaltung Module, die Prognosen auf der Grundlage eines gleitenden Durchschnitts erstellen.
Betrachten Sie das folgende Beispiel. Ein Vermarkter muss die Nachfrage nach den von seinem Unternehmen hergestellten Maschinen vorhersagen. Verkaufsdaten für Letztes Jahr Die Arbeit des Unternehmens befindet sich in der Datei „LR6.Example 1.Machines.xls“.
Einfacher gleitender Durchschnitt. Bei dieser Methode wird der Durchschnitt einer festen Anzahl von N aktuellen Beobachtungen verwendet, um den nächsten Wert der Zeitreihe zu schätzen. Wenn ein Manager beispielsweise die Verkaufsdaten von Werkzeugmaschinen für die ersten drei Monate des Jahres verwendet, erhält er mithilfe der folgenden Formel einen Wert für April:
Der Manager berechnete das Verkaufsvolumen anhand eines einfachen gleitenden Durchschnitts für 3 und 4 Monate. Es muss jedoch ermittelt werden, welche Knotenanzahl eine genauere Prognose liefert. Um die Genauigkeit von Prognosen zu beurteilen, verwenden wir Mittelwert der absoluten Abweichungen(SAO) und Durchschnitt der relativen Fehler, in Prozent (SOOP), berechnet mit den Formeln (3) und (4).
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Wo X ich –ich-ter reeller Wert der Variablen in ich Der Moment der Zeit, und X’ ich –ich Der vorhergesagte Wert der Variablen in ich Zeitpunkt, N ist die Anzahl der Prognosen.
Gemäß den auf dem Blatt „Simple sc. Durchschnitt“ der Arbeitsmappe „LR6.Beispiel 1.Maschinen.xls“ (siehe Abbildung 56) hat der gleitende Durchschnitt für drei Monate einen CAO-Wert von 12,67 ( Zelle D16), während für den gleitenden 4-Monats-Durchschnitt der CAO-Wert 15,59 beträgt ( Zelle F16). Es kann dann die Hypothese aufgestellt werden, dass die Verwendung weiterer Statistiken die Genauigkeit der Prognose des gleitenden Durchschnitts eher verschlechtert als verbessert.
Abbildung 56. Beispiel 1 – Prognoseergebnisse mit der einfachen Methode des gleitenden Durchschnitts
In der Grafik (siehe Abbildung 57), die aus den Ergebnissen von Beobachtungen und Prognosen im Abstand von 3 Monaten erstellt wurde, können Sie eine Reihe von Merkmalen erkennen, die allen Anwendungen der Methode des gleitenden Durchschnitts gemeinsam sind.
Abbildung 57. Beispiel 1 – Diagramm der Prognosekurve unter Verwendung der einfachen Methode des gleitenden Durchschnitts und Diagramm des tatsächlichen Verkaufsvolumens
Der durch die einfache Methode des gleitenden Durchschnitts erhaltene Prognosewert ist immer kleiner als der tatsächliche Wert, wenn die Originaldaten monoton steigend sind, und größer als der tatsächliche Wert, wenn die Originaldaten monoton fallend sind. Wenn die Daten monoton steigen oder fallen, kann die Verwendung eines einfachen gleitenden Durchschnitts daher keine genauen Prognosen liefern. Diese Methode eignet sich am besten für Daten mit kleinen zufälligen Abweichungen von einem konstanten oder sich langsam ändernden Wert.
Der Hauptnachteil der einfachen Methode des gleitenden Durchschnitts ergibt sich aus der Tatsache, dass bei der Berechnung des vorhergesagten Wertes die jüngste Beobachtung das gleiche Gewicht (d. h. die gleiche Signifikanz) hat wie die vorherigen. Dies liegt daran, dass das Gewicht aller letzten N Beobachtungen, die an der Berechnung des gleitenden Durchschnitts beteiligt sind, 1/N beträgt. Die gleiche Gewichtung widerspricht der Intuition, dass aktuelle Daten in vielen Fällen mehr darüber aussagen können, was in naher Zukunft passieren wird als frühere Daten.
Gewichteter gleitender Durchschnitt. Der Beitrag verschiedener Zeitpunkte kann berücksichtigt werden, indem für jeden Indikatorwert in einem gleitenden Intervall ein Gewicht eingeführt wird. Das Ergebnis ist eine Methode des gewichteten gleitenden Durchschnitts, die mathematisch wie folgt geschrieben werden kann:
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Wo ist das Gewicht, mit dem der Indikator in der Berechnung verwendet wird?
Gewicht ist immer positive Zahl. Wenn alle Gewichte gleich sind, degeneriert die einfache Methode des gleitenden Durchschnitts.
Jetzt kann der Vermarkter die Methode des gewichteten gleitenden 3-Monats-Durchschnitts verwenden. Aber zuerst müssen Sie verstehen, wie man Gewichte auswählt. Mit dem Tool „Lösung suchen“ können Sie das optimale Knotengewicht ermitteln. Führen Sie die folgenden Schritte aus, um mithilfe der Funktion „Lösung suchen“ die Gewichtung von Knoten zu bestimmen, bei denen der Mittelwert der absoluten Abweichungen minimal wäre:
Wählen Sie den Befehl Extras -> Nach einer Lösung suchen.
Legen Sie im Dialogfeld „Lösung suchen“ die Zelle G16 als Zielzelle fest (siehe Blatt „Gewichtungen“) und minimieren Sie sie.
Verwenden Sie die bearbeitbaren Zellen, um den Bereich B1:B3 anzugeben.
Setzen Sie die Grenzen B4 = 1,0; В1:ВЗ ≥ 0; B1:B3 ≤ 1; B1 ≤ B2 und B2 ≤ B3.
Beginnen Sie mit der Suche nach einer Lösung (das Ergebnis wird angezeigt).
Abbildung 58. Beispiel 1 – das Ergebnis der Suche nach Gewichtungen von Indikatorwerten mithilfe der Methode des gewichteten gleitenden Durchschnitts
Die Ergebnisse zeigen, dass die optimale Gewichtsverteilung so ist, dass sich die gesamte Gewichtung auf die jüngste Beobachtung konzentriert, mit einem mittleren absoluten Abweichungswert von 7,56 (siehe auch Abbildung 59). Dieses Ergebnis stützt die Annahme, dass neuere Beobachtungen mehr Gewicht haben sollten.
Abbildung 59. Beispiel 1 – ein Diagramm der Prognosekurve unter Verwendung der Methode des gewichteten gleitenden Durchschnitts und ein Diagramm des tatsächlichen Verkaufsvolumens
Eine gängige Technik zur Identifizierung von Entwicklungstrends ist die Glättung der Zeitreihen. Der Kern verschiedener Glättungstechniken besteht darin, tatsächliche Niveaus einer Zeitreihe durch berechnete Niveaus zu ersetzen, die in geringerem Maße Schwankungen unterliegen. Das trägt zu einer klareren Manifestation des Trends bei und Entwicklung. Manchmal wird die Glättung als vorläufiger Schritt verwendet, bevor andere Methoden zur Identifizierung von Trends eingesetzt werden.
Gleitende Durchschnitte ermöglichen es, sowohl zufällige als auch periodische Schwankungen zu glätten, einen bestehenden Trend in der Entwicklung eines Prozesses zu erkennen und sind daher ein wichtiges Werkzeug zur Filterung von Komponenten einer Zeitreihe.
Wenn das betrachtete Phänomen linear ist, wird ein einfacher gleitender Durchschnitt verwendet. Glättungsalgorithmus unter Verwendung eines einfachen gleitenden Durchschnitts kann als folgende Schrittfolge dargestellt werden:
1. Bestimmen Sie die Länge des Glättungsintervalls g, das g aufeinanderfolgende Ebenen der Reihe umfasst (g 2. Der gesamte Beobachtungszeitraum wird in Abschnitte unterteilt, wobei das Glättungsintervall mit einer Schrittweite von 1 entlang der Reihe gleitet. 3. Arithmetische Mittelwerte werden aus den Stufen der Reihen berechnet, die jeden Abschnitt bilden. 4. Ersetzen Sie die tatsächlichen Werte der Reihe in der Mitte jedes Abschnitts durch die entsprechenden Durchschnittswerte. In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Länge des Glättungsintervalls g in Form einer ungeraden Zahl anzunehmen: g=2p+1, weil In diesem Fall fallen die resultierenden gleitenden Durchschnittswerte auf die mittlere Laufzeit des Intervalls. Die Beobachtungen, die zur Berechnung des Durchschnitts herangezogen werden, werden aufgerufen aktive Glättungssektion.
Mit einem ungeraden Wert von g können alle Ebenen des aktiven Abschnitts wie folgt dargestellt werden: yt-p, yt-p+1, ... , yt-1, yt, yt+1, ... , yt+p- 1, yt+ p, und der gleitende Durchschnitt wird durch die Formel bestimmt: Das Glättungsverfahren führt zur vollständigen Eliminierung periodischer Schwingungen in einer Zeitreihe, wenn die Länge des Glättungsintervalls gleich oder einem Vielfachen des Zyklus, der Schwingungsperiode, angenommen wird. Um saisonale Schwankungen zu eliminieren, wäre es wünschenswert, gleitende Durchschnitte mit vier und zwölf Termen zu verwenden, aber in diesem Fall wird die Bedingung der Ungewöhnlichkeit der Länge des Glättungsintervalls nicht erfüllt. Daher ist es bei einer geraden Anzahl von Ebenen üblich, die erste und letzte Beobachtung im aktiven Abschnitt mit halber Gewichtung zu nehmen: Um saisonale Schwankungen bei der Arbeit mit Zeitreihen mit vierteljährlicher oder monatlicher Dynamik auszugleichen, können Sie dann die folgenden gleitenden Durchschnitte verwenden: Bei Verwendung eines gleitenden Durchschnitts mit der Länge des aktiven Abschnitts g=2p+1 können die ersten und letzten p-Ebenen der Reihe nicht geglättet werden, ihre Werte gehen verloren. Offensichtlich ist der Verlust der Werte der letzten Punkte ein erheblicher Nachteil, denn Für den Forscher haben die neuesten „frischen“ Daten den größten Informationswert. Lassen Sie uns überlegen Eine der Techniken, mit denen Sie verlorene Werte einer Zeitreihe wiederherstellen können
. Dazu benötigen Sie: 1. Berechnen Sie den durchschnittlichen Anstieg im letzten aktiven Abschnitt yt-p, yt-p+1, ... , yt, ... , yt+p-1, yt+p 2. Erhalten Sie P geglättete Werte am Ende der Zeitreihe, indem Sie nacheinander den durchschnittlichen absoluten Anstieg zum letzten geglätteten Wert addieren. Ein ähnliches Verfahren kann implementiert werden, um die ersten Ebenen einer Zeitreihe zu schätzen. Die einfache Methode des gleitenden Durchschnitts ist anwendbar, wenn die grafische Darstellung einer Zeitreihe einer geraden Linie ähnelt. Wenn der Trend der ausgerichteten Reihe Biegungen aufweist und es für den Forscher wünschenswert ist, kleine Wellen beizubehalten, ist die Verwendung eines einfachen gleitenden Durchschnitts ungeeignet. Wenn der Prozess durch eine nichtlineare Entwicklung gekennzeichnet ist, kann ein einfacher gleitender Durchschnitt zu erheblichen Verzerrungen führen. In diesen Fällen ist die Verwendung eines gewichteten gleitenden Durchschnitts zuverlässiger. Beim Bauen gewichteter gleitender Durchschnitt
In jedem Glättungsabschnitt wird der Wert des zentralen Niveaus durch den berechneten Wert ersetzt, der durch die Formel des gewichteten arithmetischen Mittels bestimmt wird, d. h. Die Zeilenebenen werden gewogen. Ein gewichteter gleitender Durchschnitt weist jeder Ebene eine Gewichtung zu, abhängig von der Entfernung dieser Ebene zur Ebene in der Mitte des Glättungsabschnitts. Bei der Glättung mit einem gewichteten gleitenden Durchschnitt werden Polynome zweiter (Parabel) oder dritter Ordnung verwendet. Die Glättung mit einem gewichteten gleitenden Durchschnitt erfolgt wie folgt: Für jeden Glättungsabschnitt wird ein Polynom der Form ausgewählt: Y i = a j + a 1 t Y i = a o + a 1 t + a 2 t 2 +… a p t p Die Parameter des Polynoms werden mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt. In diesem Fall wird der Startpunkt in die Mitte des Glättungsabschnitts verschoben. Wenn beispielsweise die Länge der Glättungsintervalle = 5 ist, sind die Pegelindizes des Glättungsabschnitts gleich: -2, -1, 0 , 1, 2. Dann ist der Glättungswert für die Ebene in der Mitte des Glättungsabschnitts der Wert des Parameters a 0. Es besteht keine Notwendigkeit, die Gewichtungskoeffizienten jedes Mal für die im Glättungsabschnitt enthaltenen Reihenebenen neu zu berechnen, da sie für jeden Glättungsabschnitt gleich sind, beispielsweise wenn das Glättungsintervall 5 aufeinanderfolgende Reihenebenen umfasst und die Ausrichtung gleich ist unter Verwendung einer Parabel durchgeführt, dann werden die Parabelkoeffizienten unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt, vorausgesetzt, dass t = 0. Die Methode der kleinsten Quadrate ergibt in dieser Situation das folgende Gleichungssystem: Um den Parameter a0 zu finden, verwenden Sie die Gleichungen 1 und 3 - 34-=5*34a0-10*10a0 34-=a0(170-100) a0= Wenn die Länge des Glättungsintervalls 7 beträgt, sind die Gewichtungsfaktoren wie folgt: Beachten wir die wichtigen Eigenschaften der angegebenen Skalen: 1) Sie sind symmetrisch zur zentralen Ebene. 2) Die Summe der Gewichte ist unter Berücksichtigung des aus Klammern herausgenommenen gemeinsamen Faktors gleich eins. 3) Das Vorhandensein sowohl positiver als auch negativer Gewichtungen ermöglicht es der geglätteten Kurve, verschiedene Biegungen der Trendkurve beizubehalten. Es gibt Techniken, die es ermöglichen, mit Hilfe zusätzlicher Berechnungen geglättete Werte für P des Anfangs- und Endniveaus der Reihe mit der Länge des Glättungsintervalls g=2p+1 zu erhalten. Gewichtungskoeffizienten zur Glättung mithilfe von Polynomen zweiter und dritter Ordnung Thema 5: Methoden zur Messung und Untersuchung der Stabilität von Zeitreihen. Ö Stabilität der Serienniveaus;
Ö Trendstabilität.
Nach der statistischen Theorie enthält ein statistischer Indikator Elemente des Notwendigen und Zufälligen. Die Notwendigkeit manifestiert sich in Form eines Zeitreihentrends und die Zufälligkeit in Form von Schwankungen der Niveaus relativ zum Trend. Trend kennzeichnet den Prozess der Evolution. Die Aufteilung von Zeitreihen in Komponentenelemente ist eine herkömmliche Beschreibungstechnik. Ausschlaggebend für die Entwicklung ist jedoch gezieltes menschliches Handeln, Hauptgrund für die Schwankung sind Veränderungen der Lebensbedingungen. Daraus folgt, dass Nachhaltigkeit nicht unbedingt bedeutet, von Jahr zu Jahr das gleiche Niveau zu erreichen. Der Begriff der Serienstabilität als völliges Fehlen jeglicher Pegelschwankungen war zu eng. Die Reduzierung von Schwankungen der Serienpegel ist eine der Hauptaufgaben bei der Erhöhung der Stabilität. Stabilität von Zeitreihen- Dies ist das Vorhandensein des notwendigen Trends des untersuchten Indikators mit minimalem Einfluss ungünstiger Bedingungen darauf. Für Messung der Stabilität von Zeitreihenniveaus
Verwenden Sie Folgendes Indikatoren:
1) die Schwankungsbreite – ist definiert als die Differenz der durchschnittlichen Niveaus für günstige und ungünstige Zeiträume in Bezug auf das untersuchte Phänomen: R=y günstig – ungünstig Zu den günstigen Zeiträumen zählen alle Zeiträume mit Niveaus über dem Trend, zu den ungünstigen Zeiträumen solche unter dem Trend. 3) durchschnittliche lineare Abweichung: 1) Standardabweichung: S(t)= Eine Abnahme der Schwankungen im Laufe der Zeit ist gleichbedeutend mit einer Stabilität der Niveaus. Für Stabilitätseigenschaften
Darüber hinaus werden folgende Indikatoren empfohlen: 1) Prozentbereich (PR): Wmax/min – max./min. relativer Anstieg. W= 2) Der gleitende Durchschnitt (MA) schätzt den Wert der durchschnittlichen Abweichung vom Niveau der gleitenden Durchschnitte (хt): 3) Die durchschnittliche prozentuale Änderung (APC) bewertet den Durchschnittswert der absoluten Werte, relativen Zuwächse und quadrierten relativen Zuwächse: ARS= Zur Beurteilung der Stabilität von Zeitreihenniveaus werden relative Variabilitätsindikatoren verwendet: K=100 – V(t) – Stabilitätskoeffizient (in Prozent oder Bruchteilen von Einheiten). Für Messung der Stabilität des dynamischen Trends (Trend)
Verwenden Sie Folgendes Indikatoren:
1) Rangkorrelationskoeffizient (Spearman-Koeffizient): d ist die Differenz zwischen den Rängen der Stufen der untersuchten Reihe und den Rängen der Anzahl der Perioden oder Zeitpunkte. Um diesen Koeffizienten zu ermitteln, werden die Werte der Stufen in aufsteigender Reihenfolge nummeriert und bei identischen Stufen wird ihnen ein bestimmter Rang zugewiesen, der dem Quotienten aus der Division der Ränge pro Anzahl dieser gleichen Werte entspricht. Der Spearman-Koeffizient kann Werte im Bereich von 0 bis ±1 annehmen. Wenn jedes Niveau des Studienzeitraums höher ist als das vorherige, dann stimmen die Ränge der Niveaus der Reihe und die Anzahl der Jahre überein – Kp = +1. Dies bedeutet völlige Stabilität der Tatsache des Wachstums in den Ebenen der Reihe, also Kontinuität des Wachstums. Je näher Kp an +1 liegt, desto näher ist das Wachstum der Niveaus an einem kontinuierlichen Niveau, d. h. desto höher ist die Stabilität des Wachstums. Wenn Kp=0, ist das Wachstum völlig instabil. Bei negativen Werten ist der Rückgang des untersuchten Indikators umso stabiler, je näher Kp an -1 liegt. Ich= Der Korrelationsindex zeigt den Grad der Korrelation zwischen Schwankungen der untersuchten Indikatoren und einer Reihe von Faktoren, die sie im Laufe der Zeit verändern. Die Annäherung des Korrelationsindex an 1 bedeutet eine größere Stabilität der Änderungen in den Zeitreihenniveaus. Die Anzahl der Zeilenebenen für zwei Indikatoren muss gleich sein. Auch anwendbar umfassende Nachhaltigkeitsindikatoren
, deren Kern darin besteht, sie nicht anhand der Ebenen von Zeitreihen, sondern anhand von Indikatoren ihrer Dynamik zu bestimmen. 1. Der Kayakina-Indikator ist definiert als das Verhältnis des durchschnittlichen Anstiegs des linearen Trends, d.h. Parameter a1 zur Standardabweichung der Niveaus vom Trend: Je größer der Wert dieses Indikators ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass das Niveau der Reihe in der nächsten Periode niedriger sein wird als das vorherige. 2. Leitindikator, der durch Vergleich der Wachstumsrate der Serienniveaus mit der Schwankungsrate des Wertes erhalten wird: Wenn der Leitindikator > 1 ist, bedeutet dies, dass die Niveaus der Reihe im Durchschnitt schneller wachsen als die Schwankungen oder langsamer sinken als die Schwankungen. In diesem Fall nimmt der Koeffizient der Niveauschwankungen ab und der Koeffizient der Niveaustabilität nimmt zu. Wenn der Leitindikator kleiner als 1 ist, wachsen die Schwankungen schneller als die Trendniveaus und der Volatilitätskoeffizient steigt und der Niveaustabilitätskoeffizient nimmt ab, d. h. der Leitindikator bestimmt die Richtung der Dynamik des Niveaustabilitätskoeffizienten. Eine analytische Ausrichtung der Zeitreihenebenen ist nicht möglich gute Ergebnisse bei der Prognose, wenn die Reihenniveaus starke periodische Schwankungen aufweisen. In diesen Fällen wird zur Bestimmung des Entwicklungstrends des Phänomens eine Glättung der Zeitreihe mit der Methode des gleitenden Durchschnitts verwendet. Der Kern verschiedener Glättungstechniken besteht darin, tatsächliche Niveaus einer Zeitreihe durch berechnete Niveaus zu ersetzen, die in geringerem Maße Schwankungen unterliegen. Dies trägt zu einer klareren Darstellung des Entwicklungstrends bei. Glättungsmethoden können in zwei Klassen eingeteilt werden, die auf unterschiedlichen Ansätzen basieren: Analytischer Ansatz; Algorithmischer Ansatz. Der analytische Ansatz basiert auf der Annahme, dass der Forscher fragen kann generelle Form eine Funktion, die eine reguläre, nicht zufällige Komponente beschreibt. Bei der Verwendung eines algorithmischen Ansatzes werden die dem analytischen Ansatz innewohnenden Einschränkungen aufgegeben. Prozeduren dieser Klasse implizieren keine Beschreibung der Dynamik einer nicht zufälligen Komponente mithilfe einer einzelnen Funktion; sie implizieren eine Beschreibung der Dynamik einer nicht zufälligen Komponente mithilfe einer einzelnen Funktion; sie stellen dem Forscher lediglich einen Algorithmus dafür zur Verfügung Berechnen der nicht zufälligen Komponente in jedem dieser Moment Zeit Unter diesen Ansatz fallen Methoden zur Glättung von Zeitreihen mithilfe gleitender Durchschnitte. Manchmal werden gleitende Durchschnitte als vorläufiger Schritt vor der Modellierung eines Trends mithilfe von Verfahren im Zusammenhang mit dem analytischen Ansatz verwendet. Gleitende Durchschnitte ermöglichen es, sowohl zufällige als auch periodische Schwankungen zu glätten, einen bestehenden Trend in der Entwicklung eines Prozesses zu erkennen und dienen daher als wichtiges Werkzeug zur Filterung von Komponenten einer Zeitreihe. Der Glättungsalgorithmus unter Verwendung eines einfachen gleitenden Durchschnitts kann als folgender Algorithmus dargestellt werden. 1. Bestimmen Sie die Länge des Glättungsintervalls g, das g aufeinanderfolgende Ebenen der Reihe umfasst (g 2. Der gesamte Beobachtungszeitraum wird in Abschnitte unterteilt, wobei das Glättungsintervall mit einer Schrittweite von 1 entlang der Reihe gleitet. 3. Arithmetische Mittelwerte werden aus den Stufen der Reihen berechnet, die jeden Abschnitt bilden. 4. Ersetzen Sie die tatsächlichen Werte der Reihe in der Mitte jedes Abschnitts durch den entsprechenden Durchschnittswert In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Länge des Glättungsintervalls g in Form einer ungeraden Zahl g=2p+1 anzunehmen, weil In diesem Fall fallen die resultierenden gleitenden Durchschnittswerte auf die mittlere Laufzeit des Intervalls. Die Beobachtungen, die zur Berechnung des Durchschnitts herangezogen werden, werden als aktive Glättungsregion bezeichnet. Für einen ungeraden Wert von g können alle Ebenen des aktiven Zentrums wie folgt dargestellt werden: und der gleitende Durchschnitt wird durch die Formel bestimmt wo ist der tatsächliche Wert des th-Levels; − der aktuelle Wert des gleitenden Durchschnitts; − Länge des Glättungsintervalls. Das Glättungsverfahren führt zur vollständigen Eliminierung periodischer Schwingungen in einer Zeitreihe, wenn die Länge des Glättungsintervalls gleich oder einem Vielfachen der Schwingungsperiode angenommen wird. Um saisonale Schwankungen zu eliminieren, empfiehlt es sich, einen gleitenden Durchschnitt über vier und zwölf Zeiträume zu verwenden. Bei einer geraden Anzahl von Ebenen ist es üblich, die erste und letzte Beobachtung im aktiven Abschnitt mit halber Gewichtung zu nehmen: Um Schwankungen bei der Arbeit mit Zeitreihen vierteljährlicher oder monatlicher Dynamik auszugleichen, können Sie dann die folgenden gleitenden Durchschnitte verwenden: Betrachten wir die Verwendung eines gleitenden Durchschnitts basierend auf der durchschnittlichen Gesamtfläche der Wohnräume pro Einwohner im Gebiet Chabarowsk (Tabelle 2.1.1). Da der Glättungszeitraum nicht gerechtfertigt werden kann, beginnen die Berechnungen mit einem gleitenden 3-Term-Durchschnitt. Wir erhalten das erste geglättete Niveau für 1993: Durch konsequente Verschiebung des Beginns der Gleitperiode um ein Jahr finden wir geglättete Niveaus für die Folgejahre. Für 1994 wird der gleitende Durchschnitt sein für 1995 Da sich der gleitende Durchschnitt auf die Mitte des Intervalls bezieht, für das er berechnet wird, wird die dynamische Reihe geglätteter Niveaus um ein Niveau mit ungerader Gleitperiode und um Niveaus mit gerader Gleitperiode reduziert. Daher wurde in unserem Beispiel die geglättete Reihe bei einem Drei-Zeit-Durchschnitt um zwei Terme und bei einem Fünf-Zeit-Durchschnitt um vier Terme kürzer (Tabelle 2.1.1). Bei der Berechnung mit geraden gleitenden Durchschnitten (in unserem Beispiel ein gleitender Durchschnitt mit 4 Elementen) werden die Berechnungen wie folgt durchgeführt: Für 1994 1995 1996 Tabelle 2.1.1 – Glättungsergebnisse mit der Methode des gleitenden Durchschnitts Wie aus Tabelle 2.1.1 ersichtlich ist, zeigt der dreistufige gleitende Durchschnitt eine ausgerichtete dynamische Reihe mit einer unidirektionalen Tendenz für die Bewegung der Niveaus. Die Glättung mit einem gleitenden Drei-Term-Durchschnitt ergab eine glattere Reihe, da für einen gleitenden Drei-Term-Durchschnitt die Summe der quadratischen Abweichungen der tatsächlichen Daten () von den geglätteten Daten () ( = 0,179) geringer war (Tabelle 2.1.1). . Mit anderen Worten: Ein dreistufiger gleitender Durchschnitt repräsentiert am besten das Bewegungsmuster der Niveaus einer dynamischen Reihe. Die Methode des gleitenden Durchschnitts ist ein statistisches Werkzeug, mit dem verschiedene Arten von Problemen gelöst werden können. Insbesondere wird es häufig bei Prognosen eingesetzt. Auch in Excel können Sie mit diesem Tool eine Reihe von Problemen lösen. Sehen wir uns an, wie ein gleitender Durchschnitt in Excel verwendet wird. Der Sinn dieser Methode besteht darin, dass sie durch Glättung der Daten dazu beiträgt, die absoluten dynamischen Werte der ausgewählten Reihe für einen bestimmten Zeitraum in arithmetische Mittelwerte umzuwandeln. Dieses Tool wird für wirtschaftliche Berechnungen, Prognosen, beim Handel an der Börse usw. verwendet. Am besten verwenden Sie die Methode des gleitenden Durchschnitts in Excel mithilfe eines leistungsstarken statistischen Datenverarbeitungstools namens Analysepaket. Darüber hinaus können Sie für die gleichen Zwecke die integrierte Excel-Funktion nutzen DURCHSCHNITT. Analysepaket ist ein Excel-Add-In, das standardmäßig deaktiviert ist. Daher müssen Sie es zunächst aktivieren. Nach dieser Aktion das Paket "Datenanalyse" aktiviert und die entsprechende Schaltfläche erschien im Menüband der Registerkarte "Daten". Schauen wir uns nun an, wie Sie die Funktionen des Pakets direkt nutzen können Datenanalyse für die Arbeit mit der Methode des gleitenden Durchschnitts. Lassen Sie uns eine Prognose für den zwölften Monat erstellen, basierend auf Informationen über die Einnahmen des Unternehmens für 11 frühere Perioden. Dazu verwenden wir eine mit Daten gefüllte Tabelle sowie Tools Analysepaket. Auf dem Feld „Eingabeintervall“ Wir geben die Adresse des Bereichs an, in dem sich der monatliche Umsatzbetrag befindet, ohne die Zelle, in der die Daten berechnet werden sollen. Auf dem Feld "Intervall" Sie sollten das Intervall für die Verarbeitung von Werten mithilfe der Glättungsmethode angeben. Stellen Sie zunächst den Glättungswert auf drei Monate ein und geben Sie daher die Zahl ein "3". Auf dem Feld „Ausgabeintervall“ Sie müssen auf dem Blatt, in dem die Daten nach der Verarbeitung angezeigt werden, einen beliebigen leeren Bereich angeben, der eine Zelle größer als das Eingabeintervall sein sollte. Sie sollten außerdem das Kontrollkästchen neben dem Parameter aktivieren „Standardfehler“. Bei Bedarf können Sie auch das Kästchen neben dem Artikel ankreuzen „Grafikausgabe“ zur visuellen Demonstration, obwohl dies in unserem Fall nicht notwendig ist. Nachdem alle Einstellungen vorgenommen wurden, klicken Sie auf die Schaltfläche "OK". Auf dem Feld „Eingabeintervall“ Wir belassen die gleichen Werte wie im vorherigen Fall. Auf dem Feld "Intervall" gib eine Zahl ein „2“. Auf dem Feld „Ausgabeintervall“ Wir geben die Adresse des neuen leeren Bereichs an, der wiederum eine Zelle größer sein muss als das Eingabeintervall. Die restlichen Einstellungen lassen wir gleich. Klicken Sie anschließend auf die Schaltfläche "OK". Es gibt eine andere Möglichkeit, die Methode des gleitenden Durchschnitts in Excel zu verwenden. Um es zu verwenden, müssen Sie eine Reihe von Standardprogrammfunktionen verwenden, die für unseren Zweck grundlegend sind DURCHSCHNITT. Beispielsweise verwenden wir dieselbe Unternehmenseinkommenstabelle wie im ersten Fall. Genau wie beim letzten Mal müssen wir geglättete Zeitreihen erstellen. Aber dieses Mal werden die Aktionen nicht so automatisiert sein. Um die Ergebnisse vergleichen zu können, sollten Sie den Durchschnitt alle zwei und dann alle drei Monate berechnen. Berechnen wir zunächst mit der Funktion die Durchschnittswerte der beiden Vorperioden DURCHSCHNITT. Wir können dies erst ab März tun, da es für spätere Termine zu einem Wertebruch kommt. DURCHSCHNITT(Anzahl1,Anzahl2,…) Es ist nur ein Argument erforderlich. In unserem Fall auf dem Feld "Nummer 1" Wir müssen einen Link zu dem Bereich bereitstellen, in dem die Einnahmen für die beiden vorherigen Perioden (Januar und Februar) angegeben sind. Platzieren Sie den Cursor im Feld und wählen Sie die entsprechenden Zellen auf dem Blatt in der Spalte aus "Einkommen". Klicken Sie anschließend auf die Schaltfläche "OK". SQRT(SUMVARE(B6:B12,C6:C12)/COUNT(B6:B12)) Wir kopieren es in andere Zellen der Spalte und berechnen die Standardabweichung mithilfe der Füllmarkierung. Wir haben die Prognose mithilfe der Methode des gleitenden Durchschnitts auf zwei Arten berechnet. Wie Sie sehen, lässt sich dieser Vorgang mit Werkzeugen viel einfacher durchführen Analysepaket. Allerdings vertrauen manche Nutzer der automatischen Berechnung nicht immer und nutzen lieber die Funktion für Berechnungen DURCHSCHNITT und begleitende Bediener, um die zuverlässigste Option zu prüfen. Wenn jedoch alles richtig gemacht wird, sollte das Endergebnis der Berechnungen völlig gleich sein. Gleitende Durchschnitte fallen in die Kategorie der Analysetools, die „dem Trend folgen“ sollen. Sein Zweck besteht darin, den Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem ein neuer Trend beginnt, und vor seinem Abschluss oder seiner Umkehr zu warnen. Methoden des gleitenden Durchschnitts dienen dazu, Trends zu verfolgen, während sie sich entfalten, und können als gekrümmte Trendlinien betrachtet werden. Allerdings sind Methoden des gleitenden Durchschnitts nicht darauf ausgelegt, Marktbewegungen in dem Sinne vorherzusagen, wie dies durch grafische Analysen möglich wäre, da sie immer der Marktdynamik folgen, anstatt sie zu steuern. Mit anderen Worten: Diese Indikatoren sagen beispielsweise keine Preisdynamik voraus, sondern reagieren nur darauf. Sie verfolgen immer die Preisbewegungen auf dem Markt und signalisieren den Beginn eines neuen Trends, jedoch erst, nachdem dieser aufgetreten ist. Die Bildung eines gleitenden Durchschnitts ist eine spezielle Methode zur Glättung von Indikatoren. Tatsächlich wird bei der Mittelung von Preisindikatoren deren Kurve merklich geglättet und es wird viel einfacher, den Marktentwicklungstrend zu beobachten. Allerdings scheint der gleitende Durchschnitt naturgemäß hinter der Marktdynamik zurückzubleiben. Ein kurzfristiger gleitender Durchschnitt vermittelt Preisbewegungen genauer als ein längerfristiger gleitender Durchschnitt, d. h. für einen längeren Zeitraum berechnet. Die Verwendung eines kurzfristigen gleitenden Durchschnitts kann die Zeitverzögerung verringern, es ist jedoch unmöglich, sie mit einer Methode des gleitenden Durchschnitts vollständig zu beseitigen. Der einfache gleitende Durchschnitt, definiert als arithmetisches Mittel, wird unter Verwendung der folgenden Formel berechnet, vorausgesetzt, dass M
- ungerade Zahl: wobei y der tatsächliche Wert der i-ten Ebene ist; M
- Anzahl der im Glättungsintervall enthaltenen Stufen Glättungsintervall, d.h. Anzahl der darin enthaltenen Ebenen M
, werden nach den folgenden Regeln bestimmt. Wenn kleinere, unregelmäßige Schwankungen geglättet werden müssen, wird das Glättungsintervall als groß angenommen. Wenn es jedoch erforderlich ist, unbedeutendere Schwankungen beizubehalten und nur periodisch wiederkehrende Emissionen zu beseitigen, wird das Glättungsintervall normalerweise verkürzt. Die einfache Methode des gleitenden Durchschnitts wird normalerweise in Fällen verwendet, in denen das Zeitreihendiagramm eine gerade Linie ist, da die Dynamik des untersuchten Phänomens nicht verzerrt wird. Für den Fall, dass der Trend der Reihe eindeutig nichtlinear ist und es wünschenswert ist, geringfügige Schwankungen in der Dynamik der Werte beizubehalten, wird diese Methode nicht verwendet, da ihre Verwendung zu erheblichen Verzerrungen des untersuchten Prozesses führen kann. In solchen Fällen werden ein gewichteter gleitender Durchschnitt oder exponentielle Glättungsverfahren verwendet. Die Praxis zeigt, dass Sie mit der einfachen Methode des gleitenden Durchschnitts beispielsweise im Bereich Trading eine objektive Strategie und klar definierte Regeln entwickeln können. Deshalb ist diese Methode die Grundlage vieler Computersysteme für Handelsorganisationen. Wie können Sie die Methode des gleitenden Durchschnitts verwenden? Die gebräuchlichsten Methoden zur Verwendung eines gleitenden Durchschnitts sind wie folgt. 1
. Vergleich des aktuellen Preiswerts mit einem gleitenden Durchschnitt, in diesem Fall als Trendindikator verwendet. Wenn die Preise also über dem gleitenden 65-Tage-Durchschnitt liegen, liegt ein mittelfristiger (kurzfristiger) Aufwärtstrend auf dem Markt vor. Für einen längerfristigen Trend sollten die Preise über dem gleitenden 40-Wochen-Durchschnitt liegen. 2
. Verwendung eines gleitenden Durchschnitts als Unterstützungs- oder Widerstandsniveau. Schlusskurse über diesem gleitenden Durchschnitt dienen als „bullisches“ Signal, während Schlusskurse darunter als „bärisches“ Signal dienen. 3
. Verfolgen eines gleitenden Durchschnittsbands (ein anderer häufig verwendeter Name ist „Hüllkurve“). Dieses Band wird durch zwei parallele Linien begrenzt, die sich um einen bestimmten Prozentsatz über und unter der Kurve des gleitenden Durchschnitts befinden. Diese Grenzen können als Indikatoren für Unterstützungs- bzw. Widerstandsniveaus dienen. 4
. Beobachten der Steigungsrichtung der Kurve des gleitenden Durchschnitts. Wenn sich der Kurs nach einem langen Anstieg einpendelt oder nach unten tendiert, könnte dies ein rückläufiges Signal sein. 5
. Eine weitere einfache Beobachtungsmethode besteht darin, Trendlinien mithilfe einer gleitenden Durchschnittskurve zu zeichnen. Manchmal kann es auch ratsam sein, eine Kombination aus zwei gleitenden Durchschnitten zu verwenden. Microsoft Excel hat eine Funktion Gleitender Durchschnitt(Gleitender Durchschnitt), der normalerweise verwendet wird, um die Niveaus einer empirischen Zeitreihe basierend auf der einfachen Methode des gleitenden Durchschnitts zu glätten. Um diese Funktion aufzurufen, wählen Sie den Menübefehl Extras^Datenanalyse (Service1*Datenanalyse). Auf dem Bildschirm wird das Fenster „Datenanalyse“ geöffnet, in dem Sie den Wert des gleitenden Durchschnitts auswählen sollten. Als Ergebnis wird das in Abb. gezeigte Dialogfeld „Gleitender Durchschnitt“ angezeigt. 11.1. Im Dialogfeld Gleitender Durchschnitt Folgende Parameter werden eingestellt. 1. Eingabebereich – In dieses Feld wird der Zellbereich eingegeben, der die Werte des untersuchten Parameters enthält. 2. Beschriftungen in der ersten Zeile – Dieses Optionskästchen ist aktiviert, wenn die erste Zeile/Spalte des Eingabebereichs einen Titel enthält. Wenn kein Titel vorhanden ist, sollte das Kontrollkästchen deaktiviert werden. In diesem Fall werden automatisch Standardnamen für die Ausgabebereichsdaten erstellt. 3. Intervall – In dieses Feld wird die Anzahl der Stufen m eingegeben, die im Glättungsintervall enthalten sind. Standardmäßig ist v = 3. 4. Ausgabeoptionen – in dieser Gruppe können Sie zusätzlich zur Angabe des Zellbereichs für die Ausgabedaten im Feld „Ausgabebereich“ auch anfordern, dass das Diagramm automatisch generiert wird, indem Sie die Option „Diagrammausgabe“ aktivieren, und Standardfehler durch Aktivieren berechnen die Option „Standardfehler“. Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an. Nehmen wir an, dass es für den angegebenen Zeitraum (1999-2002) notwendig ist, den Haupttrend bei Änderungen des tatsächlichen Produktionsvolumens und die Art der saisonalen Schwankungen dieses Indikators zu ermitteln. Die Beispieldaten sind in Abb. dargestellt. 11.2. In Abb. Abbildung 11.3 zeigt die mit der Funktion „Gleitender Durchschnitt“ berechneten geglätteten Niveaus und die Werte m=3.
bei T T T
y1 -2
y2 -1
y3
y4
y5
t=0
,
,
. 
.
,
, usw.
;
;
.Jahre Die Gesamtfläche der Wohnräume, durchschnittlich pro 1 Einwohner.m², Geglättete Ebenen
Einfacher gleitender Durchschnitt
3-gliedrig, 4-gliedrig, 5-gliedrig, 3-köpfig 4-köpfig 5-köpfig
15,4
-
-
-
-
-
-
16,1
16,0
-
-
0,01
-
-
16,5
16,4
16,3
16,3
0,01
0,026
0,040
16,6
16,7
16,6
16,6
0,004
0,001
0,000
16,9
16,8
16,8
16,8
0,004
0,006
0,006
17,0
17,0
17,1
17,1
0,003
0,010
17,1
17,3
17,4
17,4
0,05
0,083
0,102
17,9
17,7
17,7
17,7
0,03
0,026
0,026
18,2
18,2
18,2
18,2
0,00
0,000
0,000
18,5
18,7
18,7
18,7
0,03
0,031
0,032
19,3
19,1
19.1
19,0
0,04
0,056
0,068
19,5
19,5
19,4
19,4
0,006
0,014
19,7
19,7
-
-
-
-
19,9
-
-
-
-
-
-
Gesamt 248,6
-
-
-
0,179
0,239
0,299
Methode 1: Analysepaket
Methode 2: Verwendung der AVERAGE-Funktion
- aktuelles Niveau der Dynamikreihe; ich- Seriennummer des Niveaus im Glättungsintervall; R- wenn seltsam M
hat die Bedeutung p = (M
- 1)/2.
