Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion einer der Stammfunktionen einer bestimmten Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung auf dem Intervall

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Inhaltselemente

Ableitung, Tangente, Stammfunktion, Funktionsgraphen und Ableitungen.

Derivat Die Funktion \(f(x)\) sei in einer Umgebung des Punktes \(x_0\) definiert.

Ableitung der Funktion \(f\) am Punkt \(x_0\) Grenze genannt

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

wenn diese Grenze existiert.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt charakterisiert die Änderungsrate dieser Funktion an einem bestimmten Punkt.

Derivatetabelle

Differenzierungsregeln\(f\) und \(g\) sind Funktionen abhängig von der Variablen \(x\); \(c\) ist eine Zahl.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - Ableitung einer komplexen Funktion

Geometrische Bedeutung der Ableitung Gleichung einer Geraden- nicht parallel zur Achse \(Oy\) kann in der Form \(y=kx+b\) geschrieben werden. Der Koeffizient \(k\) in dieser Gleichung heißt Steigung einer Geraden. Es ist gleich Tangens Neigungswinkel diese gerade Linie.

Geraden Winkel- der Winkel zwischen der positiven Richtung der \(Ox\)-Achse und dieser Geraden, gemessen in Richtung der positiven Winkel (also in Richtung der kleinsten Drehung von der \(Ox\)-Achse zur \ (Oy\)-Achse).

Die Ableitung der Funktion \(f(x)\) am Punkt \(x_0\) ist gleich der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt: \(f"(x_0)=\tg\ Alpha.\)

Wenn \(f"(x_0)=0\), dann ist die Tangente an den Graphen der Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) parallel zur Achse \(Ox\).

Tangentengleichung

Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonie der Funktion Wenn die Ableitung einer Funktion an allen Punkten des Intervalls positiv ist, dann nimmt die Funktion in diesem Intervall zu.

Wenn die Ableitung einer Funktion an allen Punkten des Intervalls negativ ist, dann nimmt die Funktion in diesem Intervall ab.

Minimum-, Maximum- und Wendepunkte positiv An Negativ An diesem Punkt ist \(x_0\) der Maximalpunkt der Funktion \(f\).

Wenn die Funktion \(f\) im Punkt \(x_0\) stetig ist und sich der Wert der Ableitung dieser Funktion \(f"\) mit ändert Negativ An positiv An diesem Punkt ist \(x_0\) der Minimalpunkt der Funktion \(f\).

Die Punkte, an denen die Ableitung \(f"\) gleich Null ist oder nicht existiert, werden aufgerufen kritische Punkte Funktionen \(f\).

Interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion \(f(x)\), in dem \(f"(x)=0\) Minimum-, Maximum- oder Wendepunkte sein können.

Physikalische Bedeutung der Ableitung Wenn sich ein materieller Punkt geradlinig bewegt und sich seine Koordinate in Abhängigkeit von der Zeit gemäß dem Gesetz \(x=x(t)\) ändert, dann ist die Geschwindigkeit dieses Punktes gleich der Ableitung der Koordinate nach der Zeit:

Die Beschleunigung eines materiellen Punktes ist gleich der Ableitung der Geschwindigkeit dieses Punktes nach der Zeit:

\(a(t)=v"(t).\)

51. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=f "(x)- Ableitung einer Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (− 4; 6). Finden Sie die Abszisse des Punktes, an dem die Tangente an den Funktionsgraphen verläuft y=f(x) parallel zur Linie y=3x oder fällt damit zusammen.

Antwort: 5

52. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) f(x) f(x) positiv?

Antwort: 7

53. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) eine der Stammfunktionen einer Funktion f(x) und auf der x-Achse sind acht Punkte markiert: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. An wie vielen dieser Punkte liegt die Funktion? f(x) Negativ?

Antwort: 3

54. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) eine der Stammfunktionen einer Funktion f(x) und auf der x-Achse sind zehn Punkte markiert: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. An wie vielen dieser Punkte liegt die Funktion? f(x) positiv?

Antwort: 6

55. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x f(x), definiert auf dem Intervall (− 7; 5). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x)=0 auf dem Segment [− 5; 2].

Antwort: 3

56. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) eine der Stammfunktionen einer Funktion f (X), definiert auf dem Intervall (− 8; 7). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x)= 0 auf dem Intervall [− 5; 5].

Antwort: 4

57. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(X) eine der Stammfunktionen einer Funktion F(X), definiert auf dem Intervall (1;13). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung F (X)=0 auf dem Segment .

Antwort: 4

58. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x)(zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt). Berechnen Sie anhand der Zahl F(−1)−F(−8), Wo F(x) f(x).

Antwort: 20

59. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x) (zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt). Berechnen Sie anhand der Zahl F(−1)−F(−9), Wo F(x)- eine der primitiven Funktionen f(x).

Antwort: 24

60. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x). Funktion

-eine der primitiven Funktionen f(x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

Antwort: 6

61. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x). Funktion

Eine der primitiven Funktionen f(x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

Antwort: 14.5

parallel zur Tangente an den Funktionsgraphen

Antwort:0,5

Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Antwort 1

ist tangential zum Graphen der Funktion

Finden C.

Antwort: 20

ist tangential zum Graphen der Funktion

Finden A.

Antwort: 0,125

ist tangential zum Graphen der Funktion

Finden B, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Abszisse des Tangentenpunkts größer als 0 ist.

Antwort: -33

67. Materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X T- Zeit in Sekunden, gemessen ab dem Moment, in dem die Bewegung begann. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 96 m/s?

Antwort: 18

68. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab dem Moment, in dem die Bewegung begann. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 48 m/s?

Antwort: 9

69. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X T T=6 Mit.

Antwort: 20

70. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Ermitteln Sie die aktuelle Geschwindigkeit (in m/s). T=3 Mit.

Antwort: 59

Die Gerade y=3x+2 tangiert den Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10. Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist kleiner als Null.

Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10, durch den die Tangente an diesen Graphen verläuft.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Andererseits gehört der Tangentenpunkt gleichzeitig zu beiden Graphen des Funktion und Tangente, also -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(Fälle)

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte kleiner als Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.

Antwort

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) (eine gestrichelte Linie bestehend aus drei geraden Segmenten). Berechnen Sie anhand der Abbildung F(9)-F(5), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist.

Lösung

Nach der Newton-Leibniz-Formel ist die Differenz F(9)-F(5), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist, gleich der Fläche des begrenzten krummlinigen Trapezes durch den Graphen der Funktion y=f(x), Geraden y=0 , x=9 und x=5. Aus der Grafik bestimmen wir, dass das angegebene gebogene Trapez ein Trapez mit den Basen 4 und 3 und der Höhe 3 ist.

Seine Fläche ist gleich \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen von y=f"(x) - der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-4; 10). Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion f(x). In Ihrer Antwort: Geben Sie die Länge des größten von ihnen an.

Lösung

Bekanntlich nimmt die Funktion f(x) in den Intervallen an jedem Punkt ab, deren Ableitung f"(x) kleiner als Null ist. Da es notwendig ist, die Länge des größten von ihnen zu ermitteln, gibt es drei solcher Intervalle natürlich von der Zahl unterschieden: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Die Länge des größten von ihnen – (5; 9) – beträgt 4.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen von y=f"(x) - der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-8; 7). Ermitteln Sie die Anzahl der Maximalpunkte der Funktion f(x), die dazu gehört das Intervall [-6; -2].

Lösung

Die Grafik zeigt, dass die Ableitung f"(x) der Funktion f(x) an genau einem Punkt (zwischen -5 und -4) aus dem Intervall [ -6; -2 ] Daher gibt es im Intervall [-6; -2] genau einen Maximalpunkt.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), definiert im Intervall (-2; 8). Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) gleich 0 ist.

Lösung

Die Gleichheit der Ableitung an einem Punkt mit Null bedeutet, dass die Tangente an den Graphen der an diesem Punkt gezeichneten Funktion parallel zur Ox-Achse verläuft. Daher finden wir Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse verläuft. In diesem Diagramm sind solche Punkte Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen, gibt es 5 Extrempunkte.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Zustand

Die Gerade y=-3x+4 verläuft parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Lösung

Der Winkelkoeffizient der Geraden zum Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7 an einem beliebigen Punkt x_0 ist gleich y"(x_0). Aber y"=-2x+5, was y" bedeutet (x_0)=-2x_0+5. Winkelkoeffizient der in der Bedingung angegebenen Geraden y=-3x+4 ist gleich -3. Parallele Geraden haben das Gleiche Pisten. Daher finden wir einen Wert von x_0 mit =-2x_0 +5=-3.

Wir erhalten: x_0 = 4.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und auf der Abszisse sind die Punkte -6, -1, 1, 4 markiert. An welchem ​​dieser Punkte ist die Ableitung am kleinsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Hallo Freunde! In diesem Artikel werden wir uns mit Aufgaben für Stammfunktionen befassen. Diese Aufgaben sind Teil des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Trotz der Tatsache, dass die Abschnitte selbst – Differenzierung und Integration – im Algebrakurs recht umfangreich sind und einen verantwortungsvollen Umgang mit dem Verständnis erfordern, werden die Aufgaben selbst, die in der offenen Aufgabenbank der Mathematik enthalten sind, im Unified äußerst einfach sein Staatsexamen und kann in ein oder zwei Schritten gelöst werden.

Es ist wichtig, das Wesen der Stammfunktion und insbesondere die geometrische Bedeutung des Integrals genau zu verstehen. Betrachten wir kurz die theoretischen Grundlagen.

Geometrische Bedeutung des Integrals

Über das Integral können wir kurz sagen: Das Integral ist die Fläche.

Definition: Auf der Koordinatenebene sei ein Graph einer auf dem Segment definierten positiven Funktion f gegeben. Ein Untergraph (oder krummliniges Trapez) ist eine Figur, die durch den Graphen einer Funktion f, die Linien x = a und x = b und die x-Achse begrenzt wird.

Definition: Gegeben sei eine positive Funktion f, definiert auf einer endlichen Strecke. Das Integral einer Funktion f auf einem Segment ist die Fläche seines Untergraphen.

Wie bereits gesagt: F′(x) = f (x).Was können wir daraus schließen?

Es ist einfach. Wir müssen bestimmen, wie viele Punkte es auf diesem Graphen gibt, an denen F′(x) = 0 ist. Wir wissen, dass an den Punkten die Tangente an den Graphen der Funktion parallel zur x-Achse verläuft. Lassen Sie uns diese Punkte im Intervall [–2;4] zeigen:

Dies sind die Extrempunkte einer gegebenen Funktion F (x). Es gibt zehn davon.

Antwort: 10

323078. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y = f (x) (zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Startpunkt). Berechnen Sie anhand der Abbildung F (8) – F (2), wobei F (x) eine der Stammfunktionen der Funktion f (x) ist.

Schreiben wir das Newton-Leibniz-Theorem noch einmal auf:Sei f diese Funktion, F ist seine beliebige Stammfunktion. Dann

Und dies ist, wie bereits gesagt, die Fläche des Untergraphen der Funktion.

Das Problem besteht also darin, die Fläche des Trapezes zu finden (Intervall von 2 bis 8):

Es ist nicht schwer, es anhand von Zellen zu berechnen. Wir erhalten 7. Das Vorzeichen ist positiv, da sich die Figur oberhalb der x-Achse (bzw. in der positiven Halbebene der y-Achse) befindet.

Auch in diesem Fall könnte man sagen: Die Differenz der Werte der Stammfunktionen an den Punkten ist die Fläche der Figur.

Antwort: 7

323079. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y = f (x). Die Funktion F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 ist eine der Stammfunktionen der Funktion y = f (x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

Wie bereits gesagt geometrischer Sinn Das Integral ist die Fläche der Figur, die durch den Graphen der Funktion f(x), die Geraden x = a und x = b und die Ochsenachse begrenzt wird.

Satz (Newton–Leibniz):

Die Aufgabe besteht also darin, das bestimmte Integral einer bestimmten Funktion im Intervall von –11 bis –9 zu berechnen, oder mit anderen Worten, wir müssen den Unterschied in den Werten der Stammfunktionen ermitteln, die an den angegebenen Punkten berechnet wurden:

Antwort: 6

323080. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y = f (x).

Funktion F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 ist eine der Stammfunktionen der Funktion f (x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

Satz (Newton–Leibniz):

Das Problem besteht darin, das bestimmte Integral einer gegebenen Funktion über das Intervall von –10 bis –8 zu berechnen:

Antwort: 4 Sie können sehen .

Ableitungen und Differenzierungsregeln sind ebenfalls enthalten. Man muss sie kennen, nicht nur um solche Aufgaben zu lösen.

Sie können auch schauen Hintergrundinformation auf der Website und .

Sehen Sie sich ein kurzes Video an, dies ist ein Ausschnitt aus dem Film „The Blind Side“. Wir können sagen, dass dies ein Film über Bildung ist, über Barmherzigkeit, über die Bedeutung vermeintlich „zufälliger“ Begegnungen in unserem Leben ... Aber diese Worte werden nicht ausreichen, ich empfehle, den Film selbst anzuschauen, ich kann ihn nur wärmstens empfehlen.

Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.