Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig zum Gesetz wo. Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Aufgaben

Der Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie S \u003d t 4 +2t (S - in Metern t- in Sekunden). Finden Sie seine durchschnittliche Beschleunigung zwischen den Momenten t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, sowie seine wahre Beschleunigung im Moment t 3 = 6 s.

Entscheidung.

1. Finden Sie die Geschwindigkeit des Punktes als Ableitung des Weges S nach der Zeit t, jene.

2. Wenn wir anstelle von t seine Werte t 1 \u003d 5 s und t 2 \u003d 7 s ersetzen, finden wir die Geschwindigkeiten:

V 1 \u003d 4 5 3 + 2 \u003d 502 m / s; V 2 \u003d 4 7 3 + 2 \u003d 1374 m / s.

3. Geschwindigkeitsinkrement ΔV über die Zeit Δt = 7 - 5 = 2 s ermitteln:

ΔV \u003d V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Somit wird die durchschnittliche Beschleunigung des Punktes gleich sein

5. Um festzustellen wahrer Wert Beschleunigung des Punktes, leiten wir die Geschwindigkeit nach der Zeit ab:

6. Stattdessen ersetzen t Wert t 3 \u003d 6 s, wir erhalten die Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt

a cf \u003d 12-6 3 \u003d 432 m / s 2.

krummlinige Bewegung. Bei einer krummlinigen Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit eines Punktes in Größe und Richtung.

Stellen Sie sich einen Punkt vor M, die sich während der Zeit Δt entlang einer krummlinigen Trajektorie zu der Position bewegt hat M 1(Abb. 6).

Erhöhen (ändern) Sie den Vektor der Geschwindigkeit ΔV Wille

Für Wenn wir den Vektor ΔV finden, bewegen wir den Vektor V 1 zum Punkt M und konstruiere ein Geschwindigkeitsdreieck. Lassen Sie uns den durchschnittlichen Beschleunigungsvektor definieren:

Vektor eine Hochzeit ist parallel zum Vektor ΔV, da das Teilen des Vektors durch einen Skalarwert die Richtung des Vektors nicht ändert. Der wahre Beschleunigungsvektor ist die Grenze, bis zu der das Verhältnis des Geschwindigkeitsvektors zum entsprechenden Zeitintervall Δt gegen Null geht, d.h.

Eine solche Grenze heißt Vektorableitung.

Auf diese Weise, Die wahre Beschleunigung eines Punktes während einer krummlinigen Bewegung ist gleich der Vektorableitung in Bezug auf die Geschwindigkeit.

Von Abb. 6 zeigt das der Beschleunigungsvektor während der krummlinigen Bewegung ist immer auf die Konkavität der Trajektorie gerichtet.

Zur Vereinfachung der Berechnungen wird die Beschleunigung in zwei Komponenten zur Bewegungsbahn zerlegt: tangential, genannt tangentiale (tangentiale) Beschleunigung a, und entlang der Normalen, genannt Normalbeschleunigung a n (Abb. 7).

In diesem Fall wird die Gesamtbeschleunigung sein

Die Tangentialbeschleunigung fällt in Richtung mit der Geschwindigkeit des Punktes oder entgegengesetzt dazu zusammen. Sie charakterisiert die Änderung des Geschwindigkeitswerts und wird dementsprechend durch die Formel bestimmt

Die Normalbeschleunigung ist senkrecht zur Richtung der Punktgeschwindigkeit, und ihr numerischer Wert wird durch die Formel bestimmt

wo r - Krümmungsradius der Bahn am betrachteten Punkt.

Da die Tangenten- und Normalbeschleunigung senkrecht zueinander stehen, wird daher die Größe der Gesamtbeschleunigung durch die Formel bestimmt

und seine Richtung

Wenn ein , dann sind die tangentialen Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren in die gleiche Richtung gerichtet und die Bewegung wird beschleunigt.

Wenn ein , dann ist der tangentiale Beschleunigungsvektor in die entgegengesetzte Richtung zum Geschwindigkeitsvektor gerichtet, und die Bewegung wird langsam sein.

Der Vektor der Normalbeschleunigung ist immer zum Krümmungsmittelpunkt gerichtet, daher heißt er zentripetal.

− Lehrer Dumbadze V.A.
von der Schule 162 des Kirovsky-Bezirks von St. Petersburg.

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(wo x t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung). Finden Sie seine Geschwindigkeit (in m/s) zum Zeitpunkt t= 9 Sek.

Beim t= 9 c haben wir:

Warum berücksichtigen wir nicht die Zahl 17 aus der ursprünglichen Gleichung?

Finden Sie die Ableitung der ursprünglichen Funktion.

es gibt keine Zahl 17 in der Ableitung

Warum die Ableitung finden?

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung einer Koordinate nach der Zeit.

Das Problem fordert Sie auf, die Geschwindigkeit zu finden

x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung). Finden Sie seine Geschwindigkeit in (m/s) zur Zeit t= 6 s.

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16 nicht 20

erinnere dich an die Prozedur

Seit wann ist Addition besser als Subtraktion?

Multiplikation hat Vorrang vor Addition und Subtraktion. Denken Sie an das Beispiel der Kinderschule: 2 + 2 2. Ich möchte Sie daran erinnern, dass hier nicht 8 herauskommt, wie manche Leute denken, sondern 6.

Sie haben die Antwort des Gastes nicht verstanden.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Also das ist richtig, zähle selbst.

2) Multiplikation / Division (hängt von der Reihenfolge in der Gleichung ab, die die erste ist - dann wird sie zuerst gelöst);

3) Addition / Subtraktion (hängt ähnlich von der Reihenfolge im Beispiel ab).

Multiplikation = Division, Addition = Subtraktion =>

Nicht 54 - (36+2), sondern 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Zuerst für Sie - Sergey Batkovich. Zweitens: Haben Sie selbst verstanden, was Sie wem sagen wollten? Ich habe Sie nicht verstanden.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig (wobei x der Abstand vom Bezugspunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung). Finden Sie seine Geschwindigkeit in (m/s) zum Zeitpunkt c.

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: m/s. Wenn wir haben:

Unterricht zum Thema: "Differenzierungsregeln", 11. Klasse

Abschnitte: Mathematik

Unterrichtstyp: Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen.

Unterrichtsziele:

• lehrreich:
  • verallgemeinern, systematisieren Sie das Material des Themas, indem Sie die Ableitung finden;
  • die Unterscheidungsregeln festlegen;
  • den Studierenden die polytechnische, angewandte Bedeutung des Themas aufzuzeigen;
• Entwicklung:
  • Kontrolle der Assimilation von Wissen und Fähigkeiten;
  • Entwicklung und Verbesserung der Fähigkeit, Wissen in einer veränderten Situation anzuwenden;
  • Entwicklung einer Sprachkultur und der Fähigkeit, Schlussfolgerungen zu ziehen und zu verallgemeinern;
• lehrreich:
  • den kognitiven Prozess entwickeln;
  • vermitteln Sie den Schülern Genauigkeit im Design, Zielstrebigkeit.

Ausrüstung:

• Overheadprojektor, Leinwand;
• Karten;
• Computers;
• Tisch;
• differenzierte Aufgaben in Form von Multimedia-Präsentationen.

I. Überprüfung der Hausaufgaben.

1. Hören Sie sich die Berichte der Schüler zu Beispielen für den Einsatz von Derivaten an.

2. Betrachten Sie von Schülern vorgeschlagene Beispiele für die Verwendung des Derivats in Physik, Chemie, Technologie und anderen Branchen.

II. Wissensaktualisierung.

Lehrer:

1. Definieren Sie die Ableitung einer Funktion.
2. Welche Operation wird Differenzierung genannt?
3. Nach welchen Ableitungsregeln wird die Ableitung berechnet? (Studenten werden zum Vorstand eingeladen).
   • Ableitung der Summe;
   • Derivat der Arbeit;
   • Derivat mit konstantem Faktor;
   • die Ableitung des Quotienten;
   • Ableitung einer komplexen Funktion;
4. Geben Sie Beispiele für angewandte Probleme, die zum Konzept eines Derivats führen.

Eine Reihe besonderer Probleme aus verschiedenen Wissenschaftsbereichen.

Aufgabe Nummer 1. Der Körper bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x(t). Schreiben Sie die Formel auf, um die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers zum Zeitpunkt t zu ermitteln.

Aufgabe Nummer 2. Der Kreisradius R ändert sich nach dem Gesetz R = 4 + 2t 2 . Bestimmen Sie die Rate, mit der sich seine Fläche ändert. in Moment t = 2 s. Der Radius eines Kreises wird in Zentimetern gemessen. Antwort: 603 cm2/s.

Aufgabe Nummer 3. Ein materieller Punkt mit einer Masse von 5 kg bewegt sich laut Gesetz geradlinig

S(t) = 2t+ , wo S- Entfernung in Metern t- Zeit in Sekunden. Finden Sie die Kraft, die im Moment auf den Punkt wirkt t = 4 s.

Antworten: N.

Aufgabe Nummer 4. Das von der Bremse gehaltene Schwungrad dreht sich nach hinten t s in einem Winkel von 3 t - 0,1 t 2 (rad). Finden:

a) die Winkelgeschwindigkeit des Schwungrades zum Zeitpunkt t = 7 mit;
b) zu welchem ​​Zeitpunkt das Schwungrad stoppt.

Antworten: a) 2,86; b) 150 s.

Beispiele für die Verwendung des Derivats können auch als Aufgaben zum Finden dienen: spezifische Wärme Substanzen Körper gegeben, lineare Dichte und kinetische Energie des Körpers usw.

III. Erfüllung differenzierter Aufgaben.

Wer Aufgaben der Stufe „A“ erledigen möchte, setzt sich an den Computer und führt einen Test mit einer programmierten Antwort durch. ( Anhang. )

1. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion am Punkt x 0 = 3.

2. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y \u003d xe x am Punkt x 0 \u003d 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Lösen Sie die Gleichung f / (x) \u003d 0, wenn f (x) \u003d (3x 2 + 1) (3x 2 - 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Berechnen Sie f / (1), wenn f (x) = (x 2 + 1) (x 3 - x).

5. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(t) = (t4 - 3)(t2 + 2) am Punkt t0 = 1.

6. Der Punkt bewegt sich geradlinig gemäß dem Gesetz: S(t) = t 3 - 3t 2 . Wählen Sie eine Formel, die die Bewegungsgeschwindigkeit dieses Punktes zum Zeitpunkt t angibt.

1) t2 - 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t3 + 6t.

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Die Verwendung des Derivats in Physik, Technik, Biologie, Leben

Präsentation für den Unterricht

Beachtung! Die Folienvorschau dient nur zu Informationszwecken und stellt möglicherweise nicht den vollen Umfang der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Unterrichtsart: integriert.

Das Ziel des Unterrichts: einige Aspekte der Anwendung des Derivats in verschiedenen Bereichen der Physik, Chemie, Biologie zu studieren.

Aufgaben: Erweiterung des Horizonts und der kognitiven Aktivität der Schüler, Entwicklung logisches Denken und die Fähigkeit, ihr Wissen anzuwenden.

Technischer Support: interaktive Tafel; Computer und Festplatte.

I. Organisatorischer Moment

II. Festlegung des Unterrichtsziels

- Ich möchte eine Lektion unter dem Motto von Alexei Nikolaevich Krylov, einem sowjetischen Mathematiker und Schiffbauer, durchführen: "Theorie ohne Praxis ist tot oder nutzlos, Praxis ohne Theorie ist unmöglich oder schädlich."

Sehen wir uns die grundlegenden Konzepte an und beantworten die Fragen:

Was ist die grundlegende Definition eines Derivats?
– Was weißt du über die Ableitung (Eigenschaften, Sätze)?
– Kennen Sie Beispiele für Ableitungsprobleme in Physik, Mathematik und Biologie?

Betrachtung der grundsätzlichen Definition des Derivats und seiner Begründung (Antwort auf die erste Frage):

Derivat ist eines der Grundkonzepte der Mathematik. Die Fähigkeit, Probleme mit der Ableitung zu lösen, erfordert gute Kenntnisse des theoretischen Materials und die Fähigkeit, verschiedene Situationen zu untersuchen.

Daher werden wir heute in der Lektion das gewonnene Wissen konsolidieren und systematisieren, die Arbeit jeder Gruppe betrachten und bewerten und am Beispiel einiger Aufgaben zeigen, wie die Ableitung zur Lösung anderer Probleme verwendet werden kann und nicht standardmäßige Aufgaben Verwendung eines Derivats.

III. Erklärung des neuen Materials

1. Momentanleistung ist die zeitliche Ableitung der Arbeit:

W = lim ∆A/∆t ∆A – Jobwechsel.

2. Dreht sich der Körper um eine Achse, so ist der Drehwinkel eine Funktion der Zeit t
Dann ist die Winkelgeschwindigkeit:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Stromstärke ist eine Ableitung Ι = lim Δg/Δt = g′, wo g- positive elektrische Ladung, die zeitlich durch den Querschnitt des Leiters übertragen wird Δt.

4. Lass ∆Q ist die Wärmemenge, die benötigt wird, um die Temperatur zu ändern Δt Zeit, dann lim ΔQ/Δt = Q′ = C – spezifische Wärme.

5. Das Problem der Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion

m(t) – m(t0) – die Menge einer Substanz, die im Laufe der Zeit reagiert t0 Vor t

V= lim ∆m/∆t = m ∆t → 0

6. Sei m die Masse der radioaktiven Substanz. Radioaktive Zerfallsrate: V = lim ∆m/∆t = m׳(t) ∆t→0

In differenzierter Form hat das Gesetz des radioaktiven Zerfalls die Form: dN/dt = – λN, wo N ist die Anzahl der Kerne, die im Laufe der Zeit nicht zerfallen sind t.

Integrieren wir diesen Ausdruck, erhalten wir: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const beim t = 0 Anzahl radioaktiver Kerne N = N0, also haben wir: log N0 = const, somit

nN = – λt + lnN0.

Durch Potenzieren dieses Ausdrucks erhalten wir:

ist das Gesetz des radioaktiven Zerfalls, wo N0 ist die Anzahl der Kerne gleichzeitig t0 = 0, N ist die Anzahl der Kerne, die im Laufe der Zeit nicht zerfallen sind t.

7. Nach Newtons Wärmeübertragungsgleichung der Wärmestrom dQ/dt ist direkt proportional zur Fensterfläche S und der Temperaturdifferenz ΔT zwischen Innen- und Außenglas und umgekehrt proportional zu seiner Dicke d:

dQ/dt = AS/d ∆T

8. Das Phänomen der Diffusion ist der Prozess der Herstellung einer Gleichgewichtsverteilung

Innerhalb der Phasen der Konzentration. Die Diffusion geht zur Seite und gleicht Konzentrationen aus.

m = D∆c/∆xc – Konzentration
m = D cγx x - Koordinate, D- Diffusionskoeffizient

9. Es war bekannt, dass das elektrische Feld entweder elektrische Ladungen oder ein magnetisches Feld anregt, das eine einzige Quelle hat - einen elektrischen Strom. James Clark Maxwell führte eine Änderung der vor ihm entdeckten Gesetze des Elektromagnetismus ein: Ein Magnetfeld entsteht auch, wenn elektrisches Feld. Auf den ersten Blick klein, hatte die Änderung grandiose Folgen: Ein völlig neues physikalisches Objekt erschien, wenn auch an der Spitze des Stifts, - eine elektromagnetische Welle. Maxwell besaß im Gegensatz zu Faraday, der seine Existenz möglich schien, meisterhaft die Gleichung für das elektrische Feld:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Eine Änderung des elektrischen Feldes verursacht das Erscheinen Magnetfeld an jedem Punkt im Raum, mit anderen Worten, die Änderungsrate des elektrischen Feldes bestimmt die Größe des magnetischen Feldes. Unter dem Großen elektrischer Schock- ein größeres Magnetfeld.

IV. Festigung des Gelernten

– Wir haben das Derivat und seine Eigenschaften untersucht. Ich möchte Gilberts philosophische Aussage vorlesen: „Jeder Mensch hat eine bestimmte Einstellung. Wenn sich dieser Horizont auf das Infinitesimale verengt, wird er zu einem Punkt. Dann sagt die Person, dass dies ihre Sichtweise ist.
Versuchen wir, den Standpunkt zur Anwendung der Ableitung zu messen!

Handlung "Blatt"(Anwendung der Ableitung in Biologie, Physik, Leben)

Betrachten Sie den Fall als eine ungleichmäßige Bewegung in Abhängigkeit von der Zeit.

So: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Theoretischer Überblick: Die mechanische Bedeutung der Ableitung).

1. Probleme lösen

Probleme selbstständig lösen.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Schreiben wir das Gesetz von Porton II und unter Berücksichtigung der mechanischen Bedeutung der Ableitung schreiben wir es in der Form um: F = mV′ F = mS″

Die Handlung von "Wölfe, Gophers"

Kehren wir zu den Gleichungen zurück: Betrachten Sie die Differentialgleichungen von exponentiellem Wachstum und Abnahme: F = ma F = mV' F = mS"
Lösen vieler Probleme der Physik, Technischen Biologie u Sozialwissenschaften werden auf das Problem der Funktionsfindung reduziert f"(x) = kf(x), Erfüllung der Differentialgleichung, wobei k = konst .

Menschliche Formel

Ein Mensch ist so oft größer als ein Atom, wie er kleiner als ein Stern ist:

Daraus folgt das
Dies ist die Formel, die den Platz des Menschen im Universum bestimmt. Demnach repräsentieren die Dimensionen einer Person das durchschnittliche Verhältnis von Stern und Atom.

Ich möchte die Lektion mit den Worten von Lobachevsky beenden: „Es gibt kein einziges Gebiet der Mathematik, egal wie abstrakt es sein mag, das nicht eines Tages auf die Phänomene der realen Welt anwendbar sein wird.“

v. Lösung von Zahlen aus der Sammlung:

Eigenständige Problemlösung am Board, gemeinsame Analyse von Problemlösungen:

№ 1 Finden Sie die Geschwindigkeit der Bewegung materieller Punkt am Ende der 3. Sekunde, wenn die Bewegung des Punktes durch die Gleichung s = t^2 –11t + 30 gegeben ist.

№ 2 Der Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s = 6t – t^2. An welchem ​​Punkt wird seine Geschwindigkeit sein Null?

№ 3 Zwei Körper bewegen sich in einer geraden Linie: einer nach dem Gesetz s \u003d t ^ 3 - t ^ 2 - 27 t, der andere - nach dem Gesetz s \u003d t ^ 2 + 1. Bestimmen Sie den Moment, in dem die Geschwindigkeiten dieser sind Körper sind gleich.

№ 4 Für ein Auto, das sich mit einer Geschwindigkeit von 30 m/s bewegt, wird der Anhalteweg durch die Formel s(t) = 30t-16t^2 bestimmt, wobei s(t) die Entfernung in Metern und t die Bremszeit in Sekunden ist . Wie lange dauert es, bis das Auto langsamer wird, bis es vollständig zum Stehen kommt? Welche Entfernung wird vergehen das Auto vom Beginn des Bremsens bis zum vollständigen Stillstand?

№5 Ein Körper der Masse 8 kg bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s = 2t^2+ 3t - 1. Find kinetische Energie Körper (mv^2/2) 3 Sekunden nach Beginn der Bewegung.

Entscheidung: Finden Sie jederzeit die Geschwindigkeit des Körpers:
V=ds/dt=4t+3
Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 3:
V t \u003d 3 \u003d 4 * 3 + 3 \u003d 15 (m / s).
Bestimmen wir die kinetische Energie des Körpers zum Zeitpunkt t = 3:
mv2/2 = 8 - 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Ermitteln Sie die kinetische Energie des Körpers 4 s nach dem Beginn der Bewegung, wenn seine Masse 25 kg beträgt und das Bewegungsgesetz s = 3t^2-1 lautet.

№7 Ein Körper mit einer Masse von 30 kg bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s = 4t^2 + t. Beweisen Sie, dass die Bewegung des Körpers unter Einwirkung einer konstanten Kraft erfolgt.
Entscheidung: Wir haben s' = 8t + 1, s" = 8. Also ist a(t) = 8 (m/s^2), d.h. nach dem gegebenen Bewegungsgesetz bewegt sich der Körper mit einer konstanten Beschleunigung von 8 m /s^2. Da die Masse des Körpers konstant ist (30 kg), ist die auf ihn wirkende Kraft F = ma = 30 * 8 = 240 (H) gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz ebenfalls ein konstanter Wert.

№8 Ein Körper mit einer Masse von 3 kg bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s(t) = t^3 - 3t^2 + 2. Finden Sie die Kraft, die zum Zeitpunkt t = 4s auf den Körper wirkt.

№9 Der materielle Punkt bewegt sich nach dem Gesetz s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Finden Sie seine Beschleunigung am Ende der 3. Sekunde.

VI. Anwendung der Ableitung in der Mathematik:

Die Ableitung in Mathematik zeigt numerischer Ausdruck der Grad der Änderung einer am selben Punkt befindlichen Größe unter dem Einfluss verschiedener Bedingungen.

Die Ableitungsformel stammt aus dem 15. Jahrhundert. Der große italienische Mathematiker Tartaglia, der die Frage in Betracht zieht und entwickelt, wie sehr die Reichweite des Projektils von der Neigung der Waffe abhängt, verwendet sie in seinen Schriften.

Die Ableitungsformel findet sich häufig in Werken berühmte Mathematiker 17. Jahrhundert. Es wird von Newton und Leibniz verwendet.

Widmet eine ganze Abhandlung der Rolle der Ableitung in der Mathematik Wissenschaftler Galileo Galileo. Dann fanden sich die Ableitung und verschiedene Darstellungen mit ihrer Anwendung in den Werken von Descartes, dem französischen Mathematiker Roberval und dem Engländer Gregory. Einen großen Beitrag zum Studium der Ableitung leisteten Köpfe wie Lopital, Bernoulli, Langrange und andere.

1. Zeichnen und untersuchen Sie die Funktion:

Lösung für dieses Problem:

Ein Moment der Entspannung

VII. Anwendung der Ableitung in der Physik:

Bei der Untersuchung bestimmter Prozesse und Phänomene stellt sich oft das Problem, die Geschwindigkeit dieser Prozesse zu bestimmen. Ihre Lösung führt zum Konzept einer Ableitung, dem Grundkonzept der Differentialrechnung.

Die Methode der Differentialrechnung entstand im 17. und 18. Jahrhundert. Die Namen zweier großer Mathematiker, I. Newton und G.V. Leibniz.

Newton kam zur Entdeckung der Differentialrechnung, als er Probleme über die Geschwindigkeit eines materiellen Punktes löste dieser Moment Zeit (Momentangeschwindigkeit).

In der Physik wird die Ableitung hauptsächlich zur Berechnung des größten oder verwendet die kleinsten Werte beliebige Mengen.

№1 Potenzielle Energie U das Feld eines Teilchens, in dem sich ein anderes, genau dasselbe Teilchen befindet, hat die Form: U = a/r 2 – b/r, wo a und b sind positive Konstanten, r- Abstand zwischen Partikeln. Suche: a) Wert r0 entsprechend der Gleichgewichtslage des Partikels; b) herauszufinden, ob diese Situation stabil ist; in) Fmax der Wert der Anziehungskraft; d) ungefähre Abhängigkeitsgraphen darstellen U(r) und F(r).

Lösung dieses Problems: Feststellen r0 entsprechend der Gleichgewichtslage des Teilchens untersuchen wir f = U(r) bis zum Äußersten.

Verwendung der Beziehung zwischen der potentiellen Energie des Feldes

U und F, dann F = -dU/dr, wir bekommen F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; dabei r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Stabiles oder instabiles Gleichgewicht wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Stellen Sie sich den Fall vor, wenn Sand aus einer gefüllten Plattform austritt.
Impulsänderung über einen kurzen Zeitraum:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Term Δ tu ist der Impuls der Sandmenge, die während der Zeit Δ aus der Plattform geschüttet wurde t. Dann:
Δ p = MΔ u-µtΔ u- Δ µtΔ u=FΔ t
Teile durch Δ t und zum Grenzwert Δ übergehen t → 0
(M – µt)du/dt = F
Oder a1= du/dt= F/(M – µt)

Antworten: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Selbstständige Arbeit:

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Die Linie y \u003d 2x tangiert die Funktion: y \u003d x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Finden Sie die Abszisse des Kontaktpunkts.

IX. Fazit der Lektion:

- Was waren die Themen des Unterrichts?
- Was hast du im Unterricht gelernt?
Welche theoretischen Fakten wurden im Unterricht zusammengefasst?
– Was waren die schwierigsten Aufgaben? Wieso den?

Referenzliste:

1. Amelkin V. V., Sadovsky A. P. Mathematische Modelle und Differentialgleichungen. - Minsk: Höhere Schule, 1982. - 272 p.
2. Amelkin V.V. Differentialgleichungen in Anwendungen. M.: Wissenschaft. Hauptausgabe der physikalischen und mathematischen Literatur, 1987. - 160p.
3. Erugin N.P. Buch zum Nachlesen über den allgemeinen Ablauf der Differentialgleichungen. - Minsk: Wissenschaft und Technologie, 1979. - 744 p.
4. .Magazin "Potenzial" November 2007 №11
5. "Algebra und die Anfänge der Analysis" Klasse 11 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov und andere.
6. "Algebra und mathematische Analyse" N.Ya. Wilenkin und andere.
7. "Mathematik" V. T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

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Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Aufgaben!

physikalische Bedeutung Derivat. Die USE in Mathematik umfasst eine Gruppe von Aufgaben, für deren Lösung Kenntnisse und Verständnis der physikalischen Bedeutung der Ableitung erforderlich sind. Insbesondere gibt es Aufgaben, bei denen das Bewegungsgesetz eines bestimmten Punktes (Objekts) gegeben ist, ausgedrückt durch eine Gleichung, und es erforderlich ist, seine Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt der Bewegung oder der Zeit, nach der das Objekt annimmt, zu finden eine bestimmte vorgegebene Geschwindigkeit. Die Aufgaben sind sehr einfach, sie werden in einem Schritt gelöst. So:

Gegeben sei das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes x (t) entlang der Koordinatenachse, wobei x die Koordinate des sich bewegenden Punktes, t die Zeit ist.

Die Geschwindigkeit zu einem gegebenen Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung der Koordinate. Dies ist die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Ebenso ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

Somit ist die physikalische Bedeutung der Ableitung Geschwindigkeit. Dies kann die Bewegungsgeschwindigkeit, die Geschwindigkeit einer Änderung in einem Prozess (z. B. das Wachstum von Bakterien), die Arbeitsgeschwindigkeit (und so weiter, es gibt viele angewandte Aufgaben) sein.

Außerdem müssen Sie die Ableitungstabelle kennen (Sie müssen sie ebenso kennen wie das Einmaleins) und die Ableitungsregeln. Konkret ist es zur Lösung der angegebenen Probleme erforderlich, die ersten sechs Ableitungen zu kennen (siehe Tabelle):

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

wobei x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 5 s.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist Geschwindigkeit (Bewegungsgeschwindigkeit, Prozessänderungsgeschwindigkeit, Arbeitsgeschwindigkeit usw.)

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 6t 2 - 48t + 17, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 9 s.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 0,5t 3 - 3t 2 + 2t, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 6 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 3 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

wobei x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 6 m/s?

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

Um herauszufinden, zu welchem ​​Zeitpunkt t Die Geschwindigkeit war gleich 3 m / s, es ist notwendig, die Gleichung zu lösen:

Ein materieller Punkt bewegt sich in einer geraden Linie nach dem Gesetz x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 3 m/s?

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3 t 2 - 5 t + 3

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 2 m/s?

Ich stelle fest, dass es sich nicht lohnt, sich nur auf diese Art von Aufgaben in der Prüfung zu konzentrieren. Sie können völlig unerwartet Aufgaben einführen, die umgekehrt zu den präsentierten sind. Wenn das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung gegeben ist, stellt sich die Frage nach der Bestimmung des Bewegungsgesetzes.

Hinweis: In diesem Fall müssen Sie das Integral der Geschwindigkeitsfunktion finden (dies sind auch Aufgaben in einer Aktion). Wenn Sie die für einen bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Entfernung ermitteln müssen, müssen Sie die Zeit in die resultierende Gleichung einsetzen und die Entfernung berechnen. Wir werden aber auch solche Aufgaben analysieren, verpassen Sie es nicht! Ich wünsche Ihnen Erfolg!

matematikalegko.ru

Algebra und Anfänge mathematische Analyse, Klasse 11 (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Seitenzahl 094.

Lehrbuch:

OCR-Version der Seite aus dem Tutorial (Text der Seite oben):

Wie aus den zu Beginn dieses Abschnitts betrachteten Problemen hervorgeht, sind die folgenden Aussagen wahr:

1. Wenn bei geradlinige Bewegung der vom Punkt zurückgelegte Weg s eine Funktion der Zeit t ist, also s = f(t), dann ist die Geschwindigkeit des Punktes die Ableitung des Weges nach der Zeit, also v(t) =

Diese Tatsache drückt die mechanische Bedeutung der Ableitung aus.

2. Wenn am Punkt x 0 eine Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d f (jc) gezogen wird, dann ist die Zahl f "(xo) die Tangente des Winkels a zwischen dieser Tangente und der positiven Richtung der Ochsenachse, d.h. /" (x 0) \u003d

Tga. Dieser Winkel wird als Neigungswinkel der Tangente bezeichnet.

Diese Tatsache drückt sich aus geometrische bedeutung Derivat.

BEISPIEL 3. Finden wir die Tangente der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d 0,5jc 2 - 2x + 4 am Punkt mit der Abszisse x \u003d 0.

Finden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 an jedem Punkt x unter Verwendung von Gleichung (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Berechnen wir den Wert dieser Ableitung am Punkt x = 0:

Daher ist tga = -2. Der Graph x der Funktion y \u003d / (jc) und die Tangente an ihren Graphen am Punkt mit der Abszisse jc \u003d 0 sind in Abbildung 95 dargestellt.

4.1 Der Punkt bewege sich geradlinig nach dem Gesetz s = t 2 . Finden:

a) das Zeitinkrement Д£ im Zeitintervall von t x \u003d 1 bis £ 2 - 2;

b) Inkrement des Weges As auf dem Zeitintervall von t x = 1 bis t 2 = 2;

in) Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall von t x \u003d 1 bis t 2 \u003d 2.

4.2 Finden Sie in Aufgabe 4.1:

b) Durchschnittsgeschwindigkeit über das Zeitintervall von t bis t + At;

c) momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t;

d) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 1.

4.3 Der Punkt bewege sich geradlinig nach dem Gesetz:

1) s = 3t + 5; 2) s \u003d t 2 - bt.

a) Inkrement des Weges As auf dem Zeitintervall von t bis t + At;

Lehrbuch: Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 11: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - 8. Aufl. - M.: Bildung, 2009. - 464 S.: Abb.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Die USE in Mathematik umfasst eine Gruppe von Aufgaben, für deren Lösung Kenntnisse und Verständnis der physikalischen Bedeutung der Ableitung erforderlich sind. Insbesondere gibt es Aufgaben, bei denen das Bewegungsgesetz eines bestimmten Punktes (Objekts) gegeben ist, ausgedrückt durch eine Gleichung, und es erforderlich ist, seine Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt der Bewegung oder der Zeit, nach der das Objekt annimmt, zu finden eine bestimmte vorgegebene Geschwindigkeit.Die Aufgaben sind sehr einfach, sie werden in einem Schritt gelöst. So:

Gegeben sei das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes x (t) entlang der Koordinatenachse, wobei x die Koordinate des sich bewegenden Punktes, t die Zeit ist.

Die Geschwindigkeit zu einem gegebenen Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung der Koordinate. Dies ist die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Ebenso ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

Somit ist die physikalische Bedeutung der Ableitung Geschwindigkeit. Dies kann die Bewegungsgeschwindigkeit, die Geschwindigkeit einer Änderung in einem Prozess (z. B. das Wachstum von Bakterien), die Arbeitsgeschwindigkeit (und so weiter, es gibt viele angewandte Aufgaben) sein.

Außerdem müssen Sie die Ableitungstabelle kennen (Sie müssen sie ebenso kennen wie das Einmaleins) und die Ableitungsregeln. Konkret ist es zur Lösung der angegebenen Probleme erforderlich, die ersten sechs Ableitungen zu kennen (siehe Tabelle):

Betrachten Sie die Aufgaben:

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

wobei x t die Zeit in Sekunden ist, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 5 s.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist Geschwindigkeit (Bewegungsgeschwindigkeit, Prozessänderungsgeschwindigkeit, Arbeitsgeschwindigkeit usw.)

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Für t = 5 gilt:

Antwort: 3

Entscheiden Sie selbst:

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 6t 2 - 48t + 17, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 9 s.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, wo xt- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 6 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern,t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 3 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

wobei x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 6 m/s?

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

Um herauszufinden, zu welchem ​​ZeitpunkttDie Geschwindigkeit war gleich 3 m / s, es ist notwendig, die Gleichung zu lösen:

Antwort: 3

Entscheide dich selbst:

Ein materieller Punkt bewegt sich in einer geraden Linie nach dem Gesetz x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 3 m/s?

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3 t 2 - 5 t + 3

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 2 m/s?

Ich stelle fest, dass es sich nicht lohnt, sich nur auf diese Art von Aufgaben in der Prüfung zu konzentrieren. Sie können völlig unerwartet Aufgaben einführen, die umgekehrt zu den präsentierten sind. Wenn das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung gegeben ist, stellt sich die Frage nach der Bestimmung des Bewegungsgesetzes.

Hinweis: In diesem Fall müssen Sie das Integral der Geschwindigkeitsfunktion finden (dies sind auch Aufgaben in einer Aktion). Wenn Sie die für einen bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Entfernung ermitteln müssen, müssen Sie die Zeit in die resultierende Gleichung einsetzen und die Entfernung berechnen. Wir werden aber auch solche Aufgaben analysieren, verpassen Sie es nicht!Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.