Der größte und kleinste Wert der Funktionsdefinition ist kurz. Die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem Segment

Aus praktischer Sicht ist die Verwendung der Ableitung am interessantesten, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu finden. Womit ist es verbunden? Gewinne maximieren, Kosten minimieren, die optimale Auslastung der Ausrüstung bestimmen... Mit anderen Worten, in vielen Lebensbereichen muss man das Problem lösen, einige Parameter zu optimieren. Und das ist das Problem, den größten und kleinsten Wert der Funktion zu finden.

Es sollte beachtet werden, dass die größte kleinster Wert Die Funktion wird normalerweise in einem bestimmten Intervall X gesucht, das entweder der gesamte Umfang der Funktion oder ein Teil der Domäne ist. Das Intervall X selbst kann ein Liniensegment, ein offenes Intervall sein , ein unendliches Intervall .

In diesem Artikel werden wir darüber sprechen, den größten und kleinsten Wert einer explizit gegebenen Funktion einer Variablen y=f(x) zu finden.

Seitennavigation.

Der größte und kleinste Wert einer Funktion - Definitionen, Illustrationen.

Lassen Sie uns kurz auf die wichtigsten Definitionen eingehen.

Der größte Wert der Funktion , was für alle die Ungleichung ist wahr.

Der kleinste Wert der Funktion y=f(x) auf dem Intervall X heißt ein solcher Wert , was für alle die Ungleichung ist wahr.

Diese Definitionen sind intuitiv: Der größte (kleinste) Wert einer Funktion ist der größte (kleinste) Wert, der im betrachteten Intervall mit der Abszisse akzeptiert wird.

Stationäre Punkte sind die Werte des Arguments, bei denen die Ableitung der Funktion verschwindet.

Warum brauchen wir stationäre Punkte, um die größten und kleinsten Werte zu finden? Die Antwort auf diese Frage liefert der Satz von Fermat. Aus diesem Satz folgt: Wenn eine differenzierbare Funktion irgendwann ein Extremum (lokales Minimum oder lokales Maximum) hat, dann ist dieser Punkt stationär. Daher nimmt die Funktion oft ihren größten (kleinsten) Wert auf dem Intervall X an einem der stationären Punkte aus diesem Intervall an.

Auch kann eine Funktion oft die größten und kleinsten Werte an Stellen annehmen, an denen die erste Ableitung dieser Funktion nicht existiert, und die Funktion selbst definiert ist.

Lassen Sie uns gleich eine der häufigsten Fragen zu diesem Thema beantworten: "Ist es immer möglich, den größten (kleinsten) Wert einer Funktion zu bestimmen"? Nein nicht immer. Manchmal fallen die Grenzen des Intervalls X mit den Grenzen des Definitionsbereichs der Funktion zusammen, oder das Intervall X ist unendlich. Und einige Funktionen im Unendlichen und an den Grenzen des Definitionsbereichs können sowohl unendlich große als auch unendlich kleine Werte annehmen. In diesen Fällen kann nichts über den größten und kleinsten Wert der Funktion gesagt werden.

Zur Verdeutlichung geben wir eine grafische Darstellung. Schauen Sie sich die Bilder an - und vieles wird deutlich.

Auf dem Segment

In der ersten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y ) und kleinsten (min y ) Werte an stationären Punkten innerhalb des Segments [-6;6] an.

Betrachten Sie den in der zweiten Abbildung gezeigten Fall. Ändern Sie das Segment in . In diesem Beispiel wird der kleinste Wert der Funktion an einem stationären Punkt und der größte an einem Punkt erreicht, dessen Abszisse der rechten Grenze des Intervalls entspricht.

In Abbildung Nr. 3 sind die Randpunkte des Segments [-3; 2] die Abszissen der Punkte, die dem größten und kleinsten Wert der Funktion entsprechen.

Im offenen Bereich

In der vierten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y ) und kleinsten (min y ) Werte an stationären Punkten innerhalb des offenen Intervalls (-6;6) an.

Über das Intervall lassen sich keine Rückschlüsse auf den größten Wert ziehen.

Im Unendlichen

In dem in der siebten Abbildung gezeigten Beispiel nimmt die Funktion den größten Wert (max y ) an einem stationären Punkt mit x=1 Abszisse an, und der kleinste Wert (min y ) wird an der rechten Grenze des Intervalls erreicht. Bei minus unendlich nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y=3 .

Auf dem Intervall erreicht die Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert. Da x=2 nach rechts tendiert, tendieren die Funktionswerte gegen minus unendlich (die Gerade x=2 ist eine vertikale Asymptote), und da die Abszisse gegen plus unendlich tendiert, nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y=3 . Eine grafische Darstellung dieses Beispiels ist in Abbildung 8 dargestellt.

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion auf dem Segment.

Wir schreiben einen Algorithmus, der es uns ermöglicht, den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment zu finden.

1. Wir finden den Definitionsbereich der Funktion und prüfen, ob er das gesamte Segment enthält.
2. Wir finden alle Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert und die im Segment enthalten sind (normalerweise kommen solche Punkte in Funktionen mit einem Argument unter dem Modulzeichen und in vor Machtfunktionen mit einem gebrochenen rationalen Exponenten). Wenn es keine solchen Punkte gibt, fahren Sie mit dem nächsten Punkt fort.
3. Wir bestimmen alle stationären Punkte, die in das Segment fallen. Dazu setzen wir es mit Null gleich, lösen die resultierende Gleichung und wählen die passenden Wurzeln. Wenn es keine stationären Punkte gibt oder keiner von ihnen in das Segment fällt, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.
4. Wir berechnen die Werte der Funktion an den ausgewählten stationären Punkten (falls vorhanden), an Punkten, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), und auch bei x=a und x=b .
5. Aus den erhaltenen Werten der Funktion wählen wir den größten und den kleinsten aus - sie sind die gewünschten maximalen bzw. kleinsten Werte der Funktion.

Lassen Sie uns den Algorithmus analysieren, wenn Sie ein Beispiel zum Auffinden der größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem Segment lösen.

Beispiel.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

• auf dem Segment;
• im Intervall [-4;-1] .

Lösung.

Der Definitionsbereich der Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme von Null, also . Beide Segmente fallen in den Definitionsbereich.

Wir finden die Ableitung der Funktion nach:

Offensichtlich existiert die Ableitung der Funktion an allen Punkten der Segmente und [-4;-1] .

Stationäre Punkte werden aus der Gleichung bestimmt. Die einzige echte Wurzel ist x=2 . Dieser stationäre Punkt fällt in das erste Segment.

Für den ersten Fall berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments und an einem stationären Punkt, also für x=1 , x=2 und x=4 :

Daher der größte Wert der Funktion wird bei x=1 erreicht und dem kleinsten Wert – bei x=2 .

Für den zweiten Fall berechnen wir die Werte der Funktion nur an den Enden des Segments [-4;-1] (da es keinen einzigen stationären Punkt enthält):

Gegeben sei eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall definiert und stetig ist. Es ist erforderlich, den größten (kleinsten) Wert der Funktion in diesem Intervall zu finden.

Theoretische Basis.
Satz (Zweiter Satz von Weierstraß):

Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall definiert und stetig ist, dann erreicht sie in diesem Intervall ihre Maximal- und Minimalwerte.

Die Funktion kann ihre Maximal- und Minimalwerte entweder an den internen Punkten des Intervalls oder an seinen Grenzen erreichen. Lassen Sie uns alle möglichen Optionen veranschaulichen.

Erläuterung:
1) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am linken Rand des Intervalls im Punkt , und ihren Minimalwert am rechten Rand des Intervalls im Punkt .
2) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert an dem Punkt (dies ist der Maximalpunkt) und ihren Minimalwert an der rechten Grenze des Intervalls an dem Punkt.
3) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am linken Rand des Intervalls am Punkt , und ihren Minimalwert am Punkt (dies ist der Minimalpunkt).
4) Die Funktion ist auf dem Intervall konstant, d.h. es erreicht seine minimalen und maximalen Werte an jedem Punkt im Intervall, und die minimalen und maximalen Werte sind einander gleich.
5) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am Punkt und ihren Minimalwert am Punkt (trotz der Tatsache, dass die Funktion in diesem Intervall sowohl ein Maximum als auch ein Minimum hat).
6) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert an einem Punkt (dies ist der Maximalpunkt) und ihren Minimalwert an einem Punkt (dies ist der Minimalpunkt).
Kommentar:

"Maximum" und " Maximalwert" - Verschiedene Dinge. Dies ergibt sich aus der Definition des Maximums und dem intuitiven Verständnis des Begriffs „Maximalwert“.

Algorithmus zur Lösung von Problem 2.



4) Wählen Sie aus den erhaltenen Werten den größten (kleinsten) und schreiben Sie die Antwort auf.

Beispiel 4:

Bestimme den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf dem Segment.
Lösung:
1) Finde die Ableitung der Funktion.

2) Finde stationäre Punkte (und extremverdächtige Punkte) durch Lösen der Gleichung . Achten Sie auf die Punkte, an denen es keine zweiseitige endliche Ableitung gibt.

3) Berechnen Sie die Werte der Funktion an stationären Punkten und an den Grenzen des Intervalls.

4) Wählen Sie aus den erhaltenen Werten den größten (kleinsten) und schreiben Sie die Antwort auf.

Die Funktion auf diesem Segment erreicht ihren Maximalwert an dem Punkt mit den Koordinaten .

Die Funktion auf diesem Segment erreicht ihren Minimalwert an dem Punkt mit den Koordinaten .

Sie können die Richtigkeit der Berechnungen überprüfen, indem Sie sich den Graphen der untersuchten Funktion ansehen.


Kommentar: Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am Maximalpunkt und ihren Minimalwert am Rand des Segments.

Besonderer Fall.

Angenommen, Sie möchten den maximalen und minimalen Wert einer Funktion auf einem Segment finden. Nach der Ausführung des ersten Absatzes des Algorithmus, d.h. Berechnung der Ableitung wird deutlich, dass es beispielsweise nur dauert negative Werte im gesamten betrachteten Segment. Denken Sie daran, dass die Funktion abnimmt, wenn die Ableitung negativ ist. Wir haben festgestellt, dass die Funktion im gesamten Intervall abnimmt. Diese Situation ist in der Tabelle Nr. 1 am Anfang des Artikels dargestellt.

Die Funktion nimmt im Intervall ab, d.h. es hat keine Extrempunkte. Aus dem Bild ist ersichtlich, dass die Funktion den kleinsten Wert am rechten Rand des Segments und den größten Wert am linken Rand annimmt. Wenn die Ableitung des Intervalls überall positiv ist, steigt die Funktion. Der kleinste Wert steht am linken Rand des Segments, der größte rechts.

Wie findet man die größten und kleinsten Werte einer Funktion auf einem Segment?

Dafür Wir folgen dem bekannten Algorithmus:

1 . Wir finden odz-Funktionen.

2 . Bestimmung der Ableitung einer Funktion

3 . Setze die Ableitung mit Null gleich

4 . Wir finden die Intervalle, in denen die Ableitung ihr Vorzeichen behält, und bestimmen daraus die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion:

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} nimmt in diesem Intervall zu.

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion , dann die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.

5 . Wir finden Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

BEI der Funktionshöchstpunkt, die Ableitung wechselt das Vorzeichen von "+" nach "-".

BEI Minimalpunkt der FunktionAbleitung ändert das Vorzeichen von "-" nach "+".

6 . Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Segments,

• dann vergleichen wir den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Maximalpunkten, und Wählen Sie die größte davon, wenn Sie den größten Wert der Funktion finden müssen
• oder wir vergleichen den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Minimalpunkten, und Wählen Sie die kleinste davon, wenn Sie den kleinsten Wert der Funktion finden müssen

Je nachdem, wie sich die Funktion auf dem Intervall verhält, kann dieser Algorithmus jedoch erheblich reduziert werden.

Betrachten Sie die Funktion . Der Graph dieser Funktion sieht so aus:

Betrachten wir einige Beispiele für die Lösung von Problemen aus der Open Task Bank für

eines . Aufgabe B15 (#26695)

Auf den Schnitt.

1. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, und die Ableitung ist für alle Werte von x positiv. Daher steigt die Funktion an und nimmt am rechten Ende des Intervalls, also bei x=0, den größten Wert an.

Antwort: 5.

2 . Aufgabe B15 (Nr. 26702)

Finden Sie den größten Wert einer Funktion auf dem Segment.

1.ODZ-Funktion title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Die Ableitung ist bei Null, ändert jedoch an diesen Stellen nicht das Vorzeichen:

Daher ist title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} steigt und nimmt den größten Wert am rechten Ende des Intervalls an, bei .

Um zu verdeutlichen, warum die Ableitung ihr Vorzeichen nicht ändert, formen wir den Ausdruck für die Ableitung wie folgt um:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Antwort: 5.

3. Aufgabe B15 (#26708)

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion im Intervall .

1. ODZ-Funktionen: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Lassen Sie uns die Wurzeln dieser Gleichung auf einem trigonometrischen Kreis platzieren.

Das Intervall enthält zwei Zahlen: und

Lassen Sie uns die Schilder aufstellen. Dazu bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle x=0: . Beim Durchlaufen der Punkte ändert auch die Ableitung das Vorzeichen.

Stellen wir den Vorzeichenwechsel der Ableitung der Funktion auf der Koordinatenlinie dar:

Offensichtlich ist der Punkt ein Minimalpunkt (wo die Ableitung das Vorzeichen von "-" zu "+" ändert), und um den kleinsten Wert der Funktion im Intervall zu finden, müssen Sie die Werte der Funktion vergleichen am Minimalpunkt und am linken Ende des Segments, .

In diesem Artikel werde ich darüber sprechen, wie man die Fähigkeit zum Finden auf das Studium einer Funktion anwendet: um ihren größten oder kleinsten Wert zu finden. Und dann werden wir einige Probleme aus Task B15 aus der Open Task Bank für lösen.

Wie üblich erinnern wir uns zuerst an die Theorie.

Am Anfang jeder Untersuchung einer Funktion finden wir sie

Um den größten oder kleinsten Wert der Funktion zu finden, müssen Sie untersuchen, in welchen Intervallen die Funktion ansteigt und in welchen sie abfällt.

Dazu müssen Sie die Ableitung der Funktion finden und ihre Intervalle mit konstantem Vorzeichen untersuchen, dh die Intervalle, in denen die Ableitung ihr Vorzeichen behält.

Die Intervalle, in denen die Ableitung einer Funktion positiv ist, sind Intervalle mit zunehmender Funktion.

Die Intervalle, in denen die Ableitung einer Funktion negativ ist, sind Intervalle mit abnehmender Funktion.

eines . Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 245184)

Um es zu lösen, folgen wir dem folgenden Algorithmus:

a) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion .

c) Gleich Null setzen.

d) Finden wir die Intervalle konstanten Vorzeichens der Funktion.

e) Finden Sie den Punkt, an dem die Funktion den größten Wert annimmt.

f) Finden Sie den Wert der Funktion an dieser Stelle.

Die detaillierte Lösung dieser Aufgabe erzähle ich in der VIDEO-LEKTION:

Wahrscheinlich wird Ihr Browser nicht unterstützt. Versuchen Sie, den Simulator „Unified State Examination Hour“ herunterzuladen
Feuerfuchs

2. Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 282862)

Finden Sie den größten Wert einer Funktion auf dem Segment

Es ist offensichtlich, dass die Funktion am höchsten Punkt, bei x=2, den größten Wert auf dem Segment annimmt. Finden Sie den Wert der Funktion an dieser Stelle:

Antwort: 5

3. Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 245180):

Finden Sie den größten Wert einer Funktion

1.title="(!LANG:ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Da der Umfang der ursprünglichen Funktion title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Zähler Null bei . Prüfen wir, ob die ODZ zur Funktion gehört. Überprüfen Sie dazu, ob die Bedingung title="(!LANG:4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

der Punkt gehört also zur ODZ der Funktion

Wir untersuchen das Vorzeichen der Ableitung rechts und links des Punktes:

Wir sehen, dass die Funktion am Punkt den größten Wert annimmt. Lassen Sie uns nun den Wert der Funktion bei finden:

Anmerkung 1. Beachten Sie, dass wir bei dieser Aufgabe den Definitionsbereich der Funktion nicht gefunden haben: Wir haben nur die Nebenbedingungen festgelegt und überprüft, ob der Punkt, an dem die Ableitung gleich Null ist, zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Bei diesem Problem stellte sich heraus, dass dies ausreichte. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Es kommt auf die Aufgabe an.

Bemerkung 2. Beim Studium des Verhaltens komplexe Funktion Sie können diese Regel verwenden:

• Wenn die äußere Funktion einer komplexen Funktion zunimmt, dann nimmt die Funktion an derselben Stelle, an der sie den größten Wert an interne Funktion nimmt den größten Wert an. Dies folgt aus der Definition einer steigenden Funktion: Eine Funktion wächst auf dem Intervall I if Größerer Wert ein Argument aus diesem Intervall entspricht einem größeren Wert der Funktion.
• Wenn die äußere Funktion einer komplexen Funktion abnimmt, dann nimmt die Funktion den größten Wert an der gleichen Stelle an, an der die innere Funktion den kleinsten Wert annimmt . Dies folgt aus der Definition einer fallenden Funktion: Die Funktion nimmt auf dem Intervall I ab, wenn der größere Wert des Arguments aus diesem Intervall dem kleineren Wert der Funktion entspricht

In unserem Beispiel nimmt die äußere Funktion - über den gesamten Definitionsbereich zu. Unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht der Ausdruck - quadratisches Trinom, die bei einem negativen führenden Koeffizienten an der Stelle den größten Wert annimmt . Als nächstes setzen wir diesen Wert von x in die Funktionsgleichung ein und finde seinen größten Wert.

Die Funktion $z=f(x,y)$ sei definiert und stetig in einem beschränkten geschlossenen Bereich $D$. Die gegebene Funktion habe in diesem Bereich endliche partielle Ableitungen erster Ordnung (mit der möglichen Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten). Um die größten und kleinsten Werte einer Funktion zweier Variablen in einem gegebenen geschlossenen Bereich zu finden, sind drei Schritte eines einfachen Algorithmus erforderlich.

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte der Funktion $z=f(x,y)$ im geschlossenen Bereich $D$.

1. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion $z=f(x,y)$, die zur Region $D$ gehören. Berechnen Sie Funktionswerte an kritischen Punkten.
2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion $z=f(x,y)$ auf der Grenze der Region $D$, indem Sie die Punkte möglicher Maximal- und Minimalwerte finden. Berechnen Sie die Funktionswerte an den erhaltenen Punkten.
3. Wählen Sie aus den in den beiden vorherigen Absätzen erhaltenen Funktionswerten den größten und den kleinsten aus.

Was sind kritische Punkte? Anzeigen Ausblenden

Unter kritische Punkte implizieren Punkte, an denen beide partielle Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind (also $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ und $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) oder mindestens eine partielle Ableitung existiert nicht.

Oft werden die Punkte genannt, an denen die partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind stationäre Punkte. Somit sind stationäre Punkte eine Teilmenge kritischer Punkte.

Beispiel 1

Finden Sie die maximalen und minimalen Werte der Funktion $z=x^2+2xy-y^2-4x$ in der geschlossenen Region, die durch die Linien $x=3$, $y=0$ und $y=x begrenzt ist +1$.

Wir werden dem Obigen folgen, aber zuerst werden wir uns mit der Zeichnung eines bestimmten Bereichs befassen, den wir mit dem Buchstaben $D$ bezeichnen werden. Wir sind gegeben Gleichungen von drei gerade Linien, die diesen Bereich begrenzen. Die Gerade $x=3$ geht durch den Punkt $(3;0)$ parallel zur y-Achse (Achse Oy). Die Gerade $y=0$ ist die Gleichung der Abszissenachse (Ox-Achse). Nun, um eine gerade Linie $y=x+1$ zu konstruieren, suchen wir zwei Punkte, durch die wir diese gerade Linie ziehen. Sie können natürlich ein paar beliebige Werte anstelle von $x$ ersetzen. Wenn wir zum Beispiel $x=10$ ersetzen, erhalten wir: $y=x+1=10+1=11$. Wir haben den Punkt $(10;11)$ gefunden, der auf der Geraden $y=x+1$ liegt. Es ist jedoch besser, die Punkte zu finden, an denen sich die Linie $y=x+1$ mit den Linien $x=3$ und $y=0$ schneidet. Warum ist es besser? Denn wir legen ein paar Fliegen mit einer Klappe: Wir bekommen zwei Punkte für die Konstruktion der Geraden $y=x+1$ und finden gleichzeitig heraus, an welchen Punkten diese Gerade andere Geraden schneidet, die das Gegebene begrenzen Bereich. Die Linie $y=x+1$ schneidet die Linie $x=3$ am Punkt $(3;4)$ und die Linie $y=0$ - am Punkt $(-1;0)$. Um den Ablauf der Lösung nicht mit Hilfserläuterungen zu verstopfen, werde ich die Frage nach der Gewinnung dieser beiden Punkte in einer Anmerkung festhalten.

Wie wurden die Punkte $(3;4)$ und $(-1;0)$ erzielt? Anzeigen Ausblenden

Beginnen wir am Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $x=3$. Die Koordinaten des gewünschten Punktes gehören sowohl zur ersten als auch zur zweiten Linie. Um also unbekannte Koordinaten zu finden, müssen Sie das Gleichungssystem lösen:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Die Lösung eines solchen Systems ist trivial: Durch Einsetzen von $x=3$ in die erste Gleichung erhalten wir: $y=3+1=4$. Der Punkt $(3;4)$ ist der gewünschte Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $x=3$.

Suchen wir nun den Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $y=0$. Wiederum stellen wir das Gleichungssystem auf und lösen es:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Setzen wir $y=0$ in die erste Gleichung ein, erhalten wir: $0=x+1$, $x=-1$. Der Punkt $(-1;0)$ ist der gewünschte Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $y=0$ (Abszissenachse).

Alles ist bereit, um eine Zeichnung zu erstellen, die so aussehen wird:

Die Frage nach dem Zettel liegt auf der Hand, denn aus der Figur ist alles ersichtlich. Es sei jedoch daran erinnert, dass die Zeichnung nicht als Beweis dienen kann. Die Abbildung dient nur der Verdeutlichung.

Unser Bereich wurde unter Verwendung der Liniengleichungen festgelegt, die ihn begrenzen. Es ist offensichtlich, dass diese Linien ein Dreieck definieren, nicht wahr? Oder nicht ganz offensichtlich? Oder vielleicht bekommen wir einen anderen Bereich, der von denselben Linien begrenzt wird:

Die Bedingung besagt natürlich, dass der Bereich geschlossen ist, also ist das gezeigte Bild falsch. Aber um solche Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, ist es besser, Regionen durch Ungleichheiten zu definieren. Uns interessiert der Teil des Flugzeugs, der sich unter der Linie $y=x+1$ befindet? Ok, also $y ≤ x+1$. Unser Bereich soll oberhalb der Linie $y=0$? Großartig, also $y ≥ 0$. Die letzten beiden Ungleichungen lassen sich übrigens ganz einfach zu einer zusammenfassen: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Diese Ungleichungen definieren die Domäne $D$ und definieren sie eindeutig, ohne Mehrdeutigkeiten. Aber wie hilft uns das bei der Frage am Anfang der Fußnote? Es wird auch helfen :) Wir müssen prüfen, ob der Punkt $M_1(1;1)$ zur Region $D$ gehört. Lassen Sie uns $x=1$ und $y=1$ in das Ungleichungssystem einsetzen, das diese Region definiert. Wenn beide Ungleichungen erfüllt sind, liegt der Punkt innerhalb der Region. Wenn mindestens eine der Ungleichungen nicht erfüllt ist, gehört der Punkt nicht zur Region. So:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Beide Ungleichungen sind wahr. Der Punkt $M_1(1;1)$ gehört zur Region $D$.

Nun ist es an der Reihe, das Verhalten der Funktion am Rand des Definitionsbereichs zu untersuchen, d.h. gehe zu. Beginnen wir mit der Geraden $y=0$.

Die Gerade $y=0$ (Abszissenachse) begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $-1 ≤ x ≤ 3$. Ersetzen Sie $y=0$ in gegebene Funktion$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Die resultierende Substitutionsfunktion einer Variablen $x$ wird als $f_1(x)$ bezeichnet:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nun müssen wir für die Funktion $f_1(x)$ die größten und kleinsten Werte im Intervall $-1 ≤ x ≤ 3$ finden. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion und setzen Sie sie mit Null gleich:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Der Wert $x=2$ gehört zum Segment $-1 ≤ x ≤ 3$, also fügen wir der Punkteliste auch $M_2(2;0)$ hinzu. Außerdem berechnen wir die Werte der Funktion $z$ an den Enden der Strecke $-1 ≤ x ≤ 3$, also an den Punkten $M_3(-1;0)$ und $M_4(3;0)$. Übrigens, wenn der Punkt $M_2$ nicht zu dem betrachteten Segment gehören würde, wäre es natürlich nicht nötig, den Wert der Funktion $z$ darin zu berechnen.

Berechnen wir also die Werte der Funktion $z$ an den Punkten $M_2$, $M_3$, $M_4$. Sie können natürlich die Koordinaten dieser Punkte im ursprünglichen Ausdruck $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ersetzen. Zum Beispiel erhalten wir für den Punkt $M_2$:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Die Berechnungen können jedoch etwas vereinfacht werden. Um dies zu tun, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir auf dem Segment $M_3M_4$ $z(x,y)=f_1(x)$ haben. Ich buchstabiere es im Detail:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(ausgerichtet)

Natürlich sind solche detaillierten Einträge normalerweise nicht erforderlich, und wir werden in Zukunft beginnen, alle Berechnungen in kürzerer Form aufzuschreiben:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Wenden wir uns nun der Geraden $x=3$ zu. Diese Linie begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $0 ≤ y ≤ 4$. Ersetzen Sie $x=3$ in die gegebene Funktion $z$. Als Ergebnis einer solchen Substitution erhalten wir die Funktion $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Für die Funktion $f_2(y)$ müssen Sie den größten und kleinsten Wert im Intervall $0 ≤ y ≤ 4$ finden. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion und setzen Sie sie mit Null gleich:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Der Wert $y=3$ gehört zum Segment $0 ≤ y ≤ 4$, also fügen wir $M_5(3;3)$ zu den zuvor gefundenen Punkten hinzu. Außerdem ist es notwendig, den Wert der Funktion $z$ an den Punkten an den Enden der Strecke $0 ≤ y ≤ 4$ zu berechnen, d.h. an den Punkten $M_4(3;0)$ und $M_6(3;4)$. An der Stelle $M_4(3;0)$ haben wir bereits den Wert von $z$ berechnet. Berechnen wir den Wert der Funktion $z$ an den Punkten $M_5$ und $M_6$. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir auf dem Segment $M_4M_6$ $z(x,y)=f_2(y)$ haben, also:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(ausgerichtet)

Und schließlich überlegen letzte Grenze Domäne $D$, d.h. Zeile $y=x+1$. Diese Linie begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $-1 ≤ x ≤ 3$. Setzen wir $y=x+1$ in die Funktion $z$ ein, erhalten wir:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Wieder haben wir eine Funktion einer Variablen $x$. Und wieder müssen Sie den größten und kleinsten Wert dieser Funktion auf dem Segment $-1 ≤ x ≤ 3$ finden. Finden Sie die Ableitung der Funktion $f_(3)(x)$ und setzen Sie sie mit Null gleich:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Der Wert $x=1$ gehört zum Intervall $-1 ≤ x ≤ 3$. Wenn $x=1$, dann $y=x+1=2$. Lassen Sie uns $M_7(1;2)$ zur Liste der Punkte hinzufügen und herausfinden, welchen Wert die Funktion $z$ an dieser Stelle hat. Die Punkte an den Enden des Segments $-1 ≤ x ≤ 3$, d.h. Die Punkte $M_3(-1;0)$ und $M_6(3;4)$ wurden früher betrachtet, wir haben den Wert der Funktion bereits darin gefunden.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Der zweite Schritt der Lösung ist abgeschlossen. Wir haben sieben Werte:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Wenden wir uns zu. Wenn wir die größten und kleinsten Werte aus den im dritten Absatz erhaltenen Zahlen auswählen, haben wir:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Das Problem ist gelöst, es bleibt nur die Antwort aufzuschreiben.

Antworten: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Beispiel #2

Finde den größten und kleinsten Wert der Funktion $z=x^2+y^2-12x+16y$ im Bereich $x^2+y^2 ≤ 25$.

Lassen Sie uns zuerst eine Zeichnung erstellen. Die Gleichung $x^2+y^2=25$ (das ist die Grenzlinie der gegebenen Fläche) definiert einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung (d.h. am Punkt $(0;0)$) und einem Radius von 5. Die Ungleichung $x^2 +y^2 ≤ 25$ erfüllt alle Punkte innerhalb und auf dem erwähnten Kreis.

Wir werden handeln. Lassen Sie uns partielle Ableitungen finden und die kritischen Punkte herausfinden.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Es gibt keine Punkte, an denen die gefundenen partiellen Ableitungen nicht existieren. Finden wir heraus, an welchen Stellen beide partiellen Ableitungen gleichzeitig gleich Null sind, d.h. stationäre Punkte finden.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$

Wir haben einen stationären Punkt $(6;-8)$. Der gefundene Punkt gehört jedoch nicht zur Region $D$. Dies ist leicht zu zeigen, ohne auf Zeichnen zurückzugreifen. Prüfen wir, ob die Ungleichung $x^2+y^2 ≤ 25$, die unseren Definitionsbereich $D$ definiert, gilt. Wenn $x=6$, $y=-8$, dann $x^2+y^2=36+64=100$, d.h. die Ungleichung $x^2+y^2 ≤ 25$ ist nicht erfüllt. Fazit: Der Punkt $(6;-8)$ gehört nicht zur Region $D$.

Somit gibt es keine kritischen Punkte innerhalb von $D$. Lass uns weitergehen zu. Wir müssen das Verhalten der Funktion am Rand der gegebenen Fläche untersuchen, d.h. auf dem Kreis $x^2+y^2=25$. Sie können natürlich $y$ durch $x$ ausdrücken und dann den resultierenden Ausdruck in unsere Funktion $z$ einsetzen. Aus der Kreisgleichung erhalten wir: $y=\sqrt(25-x^2)$ oder $y=-\sqrt(25-x^2)$. Wenn wir beispielsweise $y=\sqrt(25-x^2)$ in die gegebene Funktion einsetzen, erhalten wir:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5 ≤ x ≤ 5. $$

Die weitere Lösung ist völlig identisch mit der Untersuchung des Verhaltens der Funktion am Rand der Region im vorherigen Beispiel Nr. 1. Sinnvoller erscheint mir in dieser Situation jedoch die Anwendung der Lagrange-Methode. Uns interessiert nur der erste Teil dieser Methode. Nachdem wir den ersten Teil der Lagrange-Methode angewendet haben, werden wir Punkte erhalten und die Funktion $z$ auf die minimalen und maximalen Werte untersuchen.

Wir bilden die Lagrange-Funktion:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Wir finden die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion und stellen das entsprechende Gleichungssystem auf:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (ausgerichtet) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(ausgerichtet) \ rechts. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( ausgerichtet)\right.$$

Um dieses System zu lösen, lassen Sie uns sofort angeben, dass $\lambda\neq -1$. Warum $\lambda\neq -1$? Versuchen wir, $\lambda=-1$ in die erste Gleichung einzusetzen:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Der resultierende Widerspruch $0=6$ besagt, dass der Wert $\lambda=-1$ ungültig ist. Ausgabe: $\lambda\neq -1$. Lassen Sie uns $x$ und $y$ durch $\lambda$ ausdrücken:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+λ)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+λ)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(ausgerichtet)

Ich glaube, hier wird deutlich, warum wir gerade die Bedingung $\lambda\neq -1$ festgelegt haben. Dies wurde gemacht, um den Ausdruck $1+\lambda$ störungsfrei in die Nenner einzufügen. Das heißt, um sicherzugehen, dass der Nenner $1+\lambda\neq 0$ ist.

Lassen Sie uns die erhaltenen Ausdrücke für $x$ und $y$ in die dritte Gleichung des Systems einsetzen, d.h. in $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+λ)^2)+\frac(64)((1+λ)^2)=25;\\ \frac(100)((1+λ)^2)=25 ; \; (1+λ)^2=4. $$

Aus der erhaltenen Gleichheit folgt $1+\lambda=2$ bzw. $1+\lambda=-2$. Daher haben wir zwei Werte des Parameters $\lambda$, nämlich: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Dementsprechend erhalten wir zwei Wertepaare $x$ und $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(ausgerichtet)

Wir haben also zwei Punkte eines möglichen bedingten Extremums, d.h. $M_1(3;-4)$ und $M_2(-3;4)$. Finden Sie die Werte der Funktion $z$ an den Punkten $M_1$ und $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(ausgerichtet)

Wir sollten die größten und kleinsten Werte aus denen auswählen, die wir im ersten und zweiten Schritt erhalten haben. Aber in diesem Fall ist die Auswahl klein :) Wir haben:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Antworten: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.