Ableitung externer und interner Funktionen. Ableitungsregel für komplexe Funktionen

Wenn wir der Definition folgen, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Inkrementverhältnisses der Funktion Δ j zum Inkrement des Arguments Δ x:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, nach dieser Formel zu berechnen, sagen wir, die Ableitung der Funktion f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x Sünde x. Wenn Sie per Definition alles tun, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Wege.

Zunächst sei darauf hingewiesen, dass die sogenannten Elementarfunktionen von der ganzen Vielfalt der Funktionen unterschieden werden können. Es ist relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in die Tabelle eingetragen wurden. Solche Funktionen sind leicht zu merken, zusammen mit ihren Ableitungen.

Ableitungen elementarer Funktionen

Elementare Funktionen sind alle unten aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Außerdem ist es nicht schwer, sie auswendig zu lernen - deshalb sind sie elementar.

Also die Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, ja, null!)
Grad mit rationalem Exponenten	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = Sünde x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− Sünde x(minus Sinus)
Tangente	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
natürlicher Logarithmus	f(x) = Protokoll x	1/x
Beliebiger Logarithmus	f(x) = Protokoll a x	1/(x ln a)
Exponentialfunktion	f(x) = e x	e x(nichts hat sich verändert)

Multipliziert man eine elementare Funktion mit einer beliebigen Konstanten, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · f)’ = C · f ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Zum Beispiel:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natürlich lassen sich elementare Funktionen addieren, multiplizieren, dividieren und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr ganz elementar, aber auch nach bestimmten Regeln differenzierbar. Diese Regeln werden unten diskutiert.

Ableitung von Summe und Differenz

Lassen Sie die Funktionen f(x) und g(x), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen elementaren Funktionen verwenden. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen finden:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Genau genommen gibt es in der Algebra keinen Begriff der "Subtraktion". Es gibt ein Konzept des "negativen Elements". Daher der Unterschied f − g kann als Summe umgeschrieben werden f+ (−1) g, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig - die Ableitung der Summe.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktion f(x) ist die Summe zweier elementarer Funktionen, also:

f ’(x) = (x 2+ Sünde x)’ = (x 2)' + (sünde x)’ = 2x+ cosx;

Ähnlich argumentieren wir für die Funktion g(x). Nur gibt es bereits drei Terme (aus algebraischer Sicht):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Antworten:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Ableitung eines Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, so viele Leute glauben, dass, wenn die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts schlagen"\u003e gleich dem Produkt von Derivaten. Aber Feigen für Sie! Die Ableitung des Produkts wird mit einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Das Ergebnis sind falsch gelöste Probleme.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktion f(x) ist ein Produkt zweier elementarer Funktionen, also ist alles einfach:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (Kos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sünde x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x)

Funktion g(x) Der erste Multiplikator ist etwas komplizierter, aber allgemeines Schema das ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Multiplikator der Funktion g(x) ist ein Polynom, und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Antworten:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht notwendig, aber die meisten Ableitungen werden nicht für sich allein berechnet, sondern um die Funktion zu untersuchen. Das bedeutet, dass weiterhin die Ableitung gleich Null gesetzt wird, ihre Vorzeichen ermittelt werden und so weiter. Für einen solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck in Faktoren zerlegen zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt f(x) und g(x), und g(x) ≠ 0 auf der uns interessierenden Menge können wir eine neue Funktion definieren h(x) = f(x)/g(x). Für eine solche Funktion finden Sie auch die Ableitung:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum g 2? Aber so! Dies ist einer der meisten komplexe Formeln Ohne Flasche geht es nicht. Daher ist es besser, es weiter zu studieren konkrete Beispiele.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Es gibt elementare Funktionen im Zähler und Nenner jedes Bruchs, also brauchen wir nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Traditionell faktorisieren wir den Zähler in Faktoren - dies vereinfacht die Antwort erheblich:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Beispielsweise genügt es, die Funktion zu übernehmen f(x) = Sünde x und ersetzen Sie die Variable x, sagen wir, auf x 2+ln x. Es stellt sich heraus f(x) = Sünde ( x 2+ln x) ist eine komplexe Funktion. Sie hat auch ein Derivat, aber es wird nicht funktionieren, es nach den oben diskutierten Regeln zu finden.

Wie sein? In solchen Fällen helfen der Variablenwechsel und die Ableitungsformel komplexe Funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', wenn x wird ersetzt durch t(x).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es mit konkreten Beispielen zu erklären detaillierte Beschreibung jeder Schritt.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = Sünde ( x 2+ln x)

Beachten Sie, dass if in der Funktion f(x) anstelle von Ausdruck 2 x+ 3 wird einfach sein x, dann erhalten wir eine elementare Funktion f(x) = e x. Deshalb nehmen wir eine Substitution vor: sei 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Wir suchen die Ableitung einer komplexen Funktion nach der Formel:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Und jetzt - Achtung! Durchführen einer umgekehrten Substitution: t = 2x+ 3. Wir erhalten:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an g(x). Muss natürlich ausgetauscht werden. x 2+ln x = t. Wir haben:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (Sünde t)’ · t' = cos t · t ’

Umgekehrter Ersatz: t = x 2+ln x. Dann:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das ganze Problem auf die Berechnung der Ableitung der Summe reduziert.

Antworten:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) weil ( x 2+ln x).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Strich“. Zum Beispiel ein Strich aus der Summe ist gleich der Summe Schläge. Ist das übersichtlicher? Das ist gut.

Daher läuft die Berechnung der Ableitung darauf hinaus, genau diese Striche gemäß den oben diskutierten Regeln loszuwerden. Als letztes Beispiel kehren wir zur Potenz der Ableitung mit einem rationalen Exponenten zurück:

(x n)’ = n · x n − 1

Das wissen die wenigsten in der Rolle n kann gut handeln Bruchzahl. Die Wurzel ist zum Beispiel x 0,5 . Aber was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas kniffliges befindet? Auch hier wird sich eine komplexe Funktion herausstellen - solche Konstruktionen geben sie gerne auf Kontrollarbeit und Prüfungen.

Eine Aufgabe. Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lassen Sie uns zuerst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten umschreiben:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Jetzt nehmen wir eine Substitution vor: let x 2 + 8x − 7 = t. Wir finden die Ableitung durch die Formel:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Wir führen eine umgekehrte Substitution durch: t = x 2 + 8x− 7. Wir haben:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Abschließend zurück zu den Wurzeln:

Erste Ebene

Ableitung der Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen Sie sich eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal entlang der Straße und vertikal ausgerichtet ist, ist die Straßenlinie dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion sehr ähnlich:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null, im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als solches.

Wenn wir uns auf einer solchen Straße vorwärts bewegen, bewegen wir uns auch aufwärts oder abwärts. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die "Steilheit" unserer Straße bestimmen können. Was könnte dieser Wert sein? Ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich um eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? In der Tat werden wir auf verschiedenen Abschnitten der Straße, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der Abszissenachse) bewegen, steigen oder fallen unterschiedlicher Betrag Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der y-Achse).

Wir bezeichnen Fortschritt vorwärts (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt - dies ist eine Größenänderung, - eine Änderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Der Ausdruck ist eine einzelne Entität, eine Variable. Sie sollten niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben abreißen! Das heißt zum Beispiel.

Wir haben uns also horizontal vorwärts bewegt. Wenn wir die Linie der Straße mit dem Graphen einer Funktion vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Na sicher, . Das heißt, wenn wir uns vorwärts bewegen, steigen wir höher auf.

Es ist einfach, den Wert zu berechnen: Wenn wir uns am Anfang auf einer Höhe befanden und nach dem Umzug auf einer Höhe waren, dann. Wenn sich herausstellt, dass der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ - das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, wie stark (steil) die Höhe beim Vorwärtsbewegen pro Wegeinheit zunimmt:

Angenommen, auf einem Abschnitt des Weges steigt die Straße um Kilometer an, wenn sie um Kilometer vorrückt. Dann ist die Steilheit an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße beim Vorrücken um m um km sank? Dann ist die Steigung gleich.

Betrachten Sie nun die Spitze eines Hügels. Wenn Sie den Beginn des Abschnitts einen halben Kilometer nach oben und das Ende - einen halben Kilometer danach - nehmen, können Sie sehen, dass die Höhe fast gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier fast gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Nur wenige Kilometer entfernt kann sich viel ändern. Kleinere Bereiche müssen für eine angemessenere und genauere Schätzung der Steilheit berücksichtigt werden. Wenn Sie zum Beispiel die Höhenänderung messen, wenn Sie sich einen Meter bewegen, wird das Ergebnis viel genauer sein. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus - schließlich können wir, wenn mitten auf der Straße ein Mast steht, einfach durchrutschen. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

BEI wahres Leben Die millimetergenaue Abstandsmessung ist mehr als ausreichend. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher war das Konzept unendlich klein, das heißt, der Modulo-Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und Sie teilen diese Zahl durch - und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass der Wert unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x strebt gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht gleich Null ist! Aber ganz nah dran. Dies bedeutet, dass es unterteilt werden kann.

Das Gegenteil von unendlich klein ist unendlich groß (). Wahrscheinlich ist es Ihnen schon begegnet, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl hat einen größeren Modul als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie auf die größtmögliche Zahl kommen, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten noch mehr. Aber immer noch unendlich Darüber hinaus was wird funktionieren. Tatsächlich sind unendlich groß und unendlich klein zueinander invers, also at, und umgekehrt: at.

Nun zurück zu unserer Straße. Die ideal berechnete Steigung ist die für ein unendlich kleines Segment des Weges berechnete Steigung, das heißt:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung unendlich klein sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass unendlich klein nicht bedeutet Null. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man zum Beispiel eine ganz gewöhnliche Zahl. Das heißt, ein kleiner Wert kann genau doppelt so groß sein wie ein anderer.

Warum das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir fahren keine Rallye, aber wir lernen Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Das Konzept eines Derivats

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments.

Zuwachs in der Mathematik heißt Veränderung. Wie stark sich das Argument () beim Bewegen entlang der Achse geändert hat, wird aufgerufen Argumenterhöhung und bezeichnet durch Wie viel sich die Funktion (Höhe) geändert hat, wenn man sich entlang der Achse um eine Strecke vorwärts bewegt, wird aufgerufen Funktionsinkrement und ist gekennzeichnet.

Die Ableitung einer Funktion ist also die Beziehung zum Wann. Die Ableitung bezeichnen wir mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Strich von rechts oben: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie mit der Straße ist hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Aber ist die Ableitung gleich Null? Na sicher. Wenn wir zum Beispiel auf einer flachen horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit null. Tatsächlich ändert sich die Höhe überhaupt nicht. Also mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für alle Null ist.

Nehmen wir das Beispiel auf dem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ausfällt, dh das Segment parallel zur Achse ist:

Aber große Segmente sind ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir werden unser Segment parallel zu sich selbst anheben, dann wird seine Länge abnehmen.

Am Ende, wenn wir der Spitze unendlich nahe sind, wird die Länge des Segments unendlich klein. Gleichzeitig blieb es jedoch parallel zur Achse, dh der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (neigt nicht, ist aber gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße nur unwesentlich.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links oben nimmt die Funktion zu, rechts fällt sie ab. Wie wir bereits früher herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft, ohne Sprünge (weil die Straße ihre Neigung nirgendwo stark ändert). Also zwischen negativ und positive Werte muss sein. Es wird dort sein, wo die Funktion weder zunimmt noch abnimmt - am Scheitelpunkt.

Dasselbe gilt für das Tal (der Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Ein bisschen mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in einen Wert. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist aus ihm (Argument) geworden? Wir können einen beliebigen Punkt wählen, und jetzt werden wir von ihm aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Erhöhen Sie die Koordinate um. Was ist jetzt das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion jetzt? Wo das Argument hingehört, kommt die Funktion dorthin: . Was ist mit dem Funktionsinkrement? Nichts Neues: Um diesen Betrag hat sich die Funktion noch geändert:

Übe das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt mit einem Inkrement des Arguments gleich.
2. Dasselbe gilt für eine Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

An verschiedenen Punkten ist bei gleichem Inkrement des Arguments das Inkrement der Funktion unterschiedlich. Dies bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt ihre eigene hat (wir haben das ganz am Anfang besprochen - die Steilheit der Straße an verschiedenen Punkten ist unterschiedlich). Wenn wir also eine Ableitung schreiben, müssen wir angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion wird eine Funktion genannt, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, richtig?) ist.

Und - in jedem Fall: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Lassen Sie uns seine Ableitung an einem Punkt finden. Denken Sie an die Definition eines Derivats:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Funktionsinkrement?

Zuwachs ist. Aber die Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist:

Die Ableitung von ist:

b) Betrachten Sie nun quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Das bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund eines anderen Terms unbedeutend ist:

Also haben wir eine andere Regel:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf verschiedene Arten vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation des Würfels der Summe oder zerlegen Sie den gesamten Ausdruck in Faktoren mit der Formel für die Differenz von Würfeln. Versuchen Sie, es selbst auf eine der vorgeschlagenen Arten zu tun.

Also ich habe folgendes bekommen:

Und wieder, erinnere dich daran. Das bedeutet, dass wir alle Terme vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Sie können die Regel mit den Worten formulieren: „der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und nimmt dann um ab“.

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Sehen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung von Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch die Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung - durch Zählen des Inkrements der Funktion);

1. . Ob Sie es glauben oder nicht, das ist eine Potenzfunktion. Bei Fragen wie „Wie ist es? Und wo ist der Abschluss?“, Merkt euch das Thema „ “!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein gebrochener:.
   Unsere Quadratwurzel ist also nur eine Potenz mit einem Exponenten:
   .
   Wir suchen die Ableitung mit der neu gelernten Formel:

   Wenn es an dieser Stelle wieder unklar wurde, wiederholen Sie das Thema "" !!! (etwa ein Abschluss mit negativem Kennzeichen)

2. . Jetzt der Exponent:

   Und nun zur Definition (schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Term, der enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Beim Ausdruck.

Den Beweis lernst du im ersten Jahr des Instituts (und um dorthin zu gelangen, musst du die Prüfung gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass, wenn die Funktion nicht existiert, der Punkt auf dem Graphen punktiert ist. Aber je näher am Wert, desto näher an der Funktion, das ist das eigentliche „Streben“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nimm einen Taschenrechner, wir sind noch nicht bei der Prüfung.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, den Taschenrechner in den Radian-Modus zu schalten!

usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher der Wert des Verhältnisses.

a) Betrachten Sie eine Funktion. Wie üblich finden wir sein Inkrement:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema ""):.

Nun die Ableitung:

Nehmen wir eine Ersetzung vor: . Dann ist sie für unendlich klein auch unendlich klein: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt merken wir uns das mit dem Ausdruck. Und was ist, wenn ein unendlich kleiner Wert in der Summe vernachlässigt werden kann (dh at).

Damit erhalten wir folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dies sind grundlegende („Tabellen“)-Derivate. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch ein paar weitere hinzufügen, aber das sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Trainieren:

1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt;
2. Finde die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Zuerst finden wir die Ableitung in Gesamtansicht, und ersetzen Sie es dann durch seinen Wert:
   ;
   .
2. Hier haben wir etwas Ähnliches Machtfunktion. Versuchen wir, sie zu sich zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Ok, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen immer noch nicht, wie wir solche Derivate finden können. Hier haben wir eine Kombination aus mehreren Arten von Funktionen. Um mit ihnen zu arbeiten, müssen Sie einige weitere Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

Es gibt eine solche Funktion in der Mathematik, deren Ableitung für jede gleich dem Wert der Funktion selbst für dieselbe ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion ist eine Konstante – sie ist unendlich Dezimal, also eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Die Regel lautet also:

Es ist sehr leicht zu merken.

Nun, lass uns nicht weit gehen, lass uns sofort überlegen Umkehrfunktion. Was ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis eine Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennt man „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Notation: wir schreiben stattdessen.

Was ist gleich? Natürlich, .

Ableitung von natürlicher Logarithmus auch ganz einfach:

Beispiele:

1. Finde die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Der Exponent und der natürliche Logarithmus sind Funktionen, die in Bezug auf die Ableitung einzigartig einfach sind. Exponential- und Logarithmusfunktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Ableitungsregeln durchgegangen sind.

Abgrenzungsregeln

Welche Regeln? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Unterscheidung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Nur und alles. Was ist ein anderes Wort für diesen Vorgang? Nicht proizvodnovanie... Das Differential der Mathematik heißt das eigentliche Inkrement der Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir zwei Funktionen, zum Beispiel und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Es gibt insgesamt 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich funktioniert diese Regel auch für die Differenz: .

Beweisen wir es. Lassen Sie, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

1. am Punkt;
2. am Punkt;
3. am Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da sie es ist lineare Funktion, denken Sie daran?);

Ableitung eines Produkts

Hier ist alles ähnlich: Wir führen eine neue Funktion ein und finden ihre Schrittweite:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie Ableitungen von Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung der Exponentialfunktion

Jetzt reicht Ihr Wissen aus, um zu lernen, wie man die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion findet, und nicht nur den Exponenten (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Wo ist also eine Zahl.

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dafür verwenden wir einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier, prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung des Exponenten sehr ähnlich war: So wie es war, erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Antworten:

Dies ist nur eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet werden kann, dh es gibt keine Möglichkeit, sie weiter aufzuschreiben einfache Form. Daher belassen wir es in dieser Form in der Antwort.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Sie kennen bereits die Ableitung des natürlichen Logarithmus:

Um also eine beliebige aus dem Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus zur Basis bringen. Wie verändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Nur jetzt werden wir anstelle von schreiben:

Der Nenner war nur eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung ist ganz einfach:

Ableitungen von Exponential und Logarithmische Funktionen treten fast nie in der Prüfung auf, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (obwohl Ihnen der Logarithmus schwierig erscheint, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und alles wird funktionieren), aber in mathematischer Hinsicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen einige Aktionen mit einigen Objekten aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Es stellt sich ein solches zusammengesetztes Objekt heraus: ein Schokoriegel, der mit einem Band umwickelt und gebunden ist. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie das Gegenteil tun umgekehrte Reihenfolge.

Lassen Sie uns eine ähnliche mathematische Pipeline erstellen: Zuerst finden wir den Kosinus einer Zahl und dann quadrieren wir die resultierende Zahl. Sie geben uns also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Wrapper) und dann quadrierst du, was ich bekommen habe (binde es mit einem Band). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Wenn wir, um ihren Wert zu finden, die erste Aktion direkt mit der Variablen ausführen und dann eine weitere zweite Aktion mit dem, was als Ergebnis der ersten passiert ist.

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadrierst du, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl:. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders sein wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel, .

Zweites Beispiel: (gleich). .

Die letzte Aktion, die wir ausführen, wird aufgerufen "externe" Funktion, bzw. die zuerst durchgeführte Aktion "interne" Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst festzustellen, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Die Trennung von inneren und äußeren Funktionen ist sehr ähnlich wie beim Ändern von Variablen: zum Beispiel in der Funktion

1. Welche Maßnahmen ergreifen wir zuerst? Zuerst berechnen wir den Sinus und erst dann erhöhen wir ihn auf einen Würfel. Es ist also eine interne Funktion, keine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Schokolade extrahieren - suchen Sie nach dem Derivat. Dabei wird immer umgekehrt vorgegangen: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Für das ursprüngliche Beispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Formulieren wir also endlich die offizielle Regel:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Alles scheint einfach zu sein, oder?

Lassen Sie uns anhand von Beispielen überprüfen:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt nicht zu reduzieren! Nichts wird unter dem Kosinus herausgenommen, erinnern Sie sich?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich hier um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies an sich schon eine komplexe Funktion, und wir extrahieren noch die Wurzel daraus, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (Schokolade in eine Hülle stecken und mit einem Band in einer Aktentasche). Aber kein Grund zur Angst: Jedenfalls werden wir diese Funktion in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: von hinten.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es zweckmäßig, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto "externer" wird die entsprechende Funktion. Die Reihenfolge der Aktionen - wie zuvor:

Hier ist die Verschachtelung im Allgemeinen 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise bestimmen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Nebenhöhlen. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Ableitung der Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments:

Basische Derivate:

Unterscheidungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen:

Ableitung der Summe:

Derivatprodukt:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die "interne" Funktion, finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die "externe" Funktion, finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Seit Sie hierher gekommen sind, haben Sie diese Formel wahrscheinlich schon im Lehrbuch gesehen

und mach ein Gesicht wie dieses:

Freund, mach dir keine Sorgen! In der Tat ist alles einfach zu blamieren. Sie werden auf jeden Fall alles verstehen. Nur eine Bitte - lesen Sie den Artikel langsam versuche jeden Schritt zu verstehen. Ich habe so einfach und klar wie möglich geschrieben, aber Sie müssen sich noch mit der Idee befassen. Und lösen Sie unbedingt die Aufgaben aus dem Artikel.

Was ist eine komplexe Funktion?

Stellen Sie sich vor, Sie ziehen in eine andere Wohnung und packen deshalb Sachen in große Kartons. Lassen Sie es notwendig sein, einige kleine Gegenstände zu sammeln, zum Beispiel Schulsachen. Wenn Sie sie einfach in eine riesige Kiste werfen, gehen sie unter anderem verloren. Um dies zu vermeiden, steckt man sie zum Beispiel zuerst in eine Tüte, die man dann in eine große Kiste steckt, die man dann verschließt. Dieser „härteste“ Prozess ist im folgenden Diagramm dargestellt:

Es scheint, woher kommt die Mathematik? Und außerdem wird eine komplexe Funktion auf GENAU DIE GLEICHE Weise gebildet! Nur „packen“ wir nicht Hefte und Stifte, sondern \(x\), indem wir verschiedene „Pakete“ und „Kisten“ bedienen.

Nehmen wir zum Beispiel x und "packen" es in eine Funktion:

Als Ergebnis erhalten wir natürlich \(\cos⁡x\). Das ist unsere „Tüte“. Und jetzt packen wir es in eine "Box" - wir packen es zum Beispiel in eine kubische Funktion.

Was wird am Ende passieren? Ja, das ist richtig, es wird ein "Paket mit Dingen in einer Schachtel" geben, dh "Kosinus von x in Würfel".

Die resultierende Konstruktion ist eine komplexe Funktion. Darin unterscheidet sie sich von der einfachen MEHRERE „Impacts“ (Pakete) werden hintereinander auf ein X angewendet und es stellt sich sozusagen "eine Funktion von einer Funktion" - "ein Paket in einem Paket" heraus.

Im Schulkurs gibt es nur sehr wenige Arten dieser gleichen „Pakete“, nur vier:

„Packen“ wir nun x erst in eine Exponentialfunktion zur Basis 7 und dann in eine trigonometrische Funktion. Wir bekommen:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Und jetzt "packen" wir x zweimal rein trigonometrische Funktionen, zuerst in und dann in :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Einfach, oder?

Schreiben Sie nun selbst die Funktionen, wobei x:
- zuerst wird es in einen Kosinus „gepackt“, und dann in eine Exponentialfunktion mit Basis \(3\);
- zuerst zur fünften Potenz und dann zur Tangente;
- zuerst zum Basislogarithmus \(4\) , dann hoch \(-2\).

Die Antworten auf diese Frage finden Sie am Ende des Artikels.

Aber können wir x nicht zwei-, sondern dreimal „packen“? Kein Problem! Und viermal und fünfmal und fünfundzwanzigmal. Hier ist zum Beispiel eine Funktion, in der x \(4\) mal "gepackt" wird:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Aber solche Formeln werden in der Schulpraxis nicht zu finden sein (Schüler haben mehr Glück - sie können schwieriger sein☺).

"Auspacken" einer komplexen Funktion

Sehen Sie sich die vorherige Funktion noch einmal an. Können Sie die Reihenfolge des "Verpackens" herausfinden? In was X wurde zuerst hineingestopft, was dann und so weiter bis zum Schluss. Das heißt, welche Funktion ist in welcher verschachtelt? Nimm ein Blatt Papier und schreibe auf, was du denkst. Sie können dies mit einer Pfeilkette tun, wie wir oben geschrieben haben, oder auf andere Weise.

Nun ist die richtige Antwort: zuerst wurde x in die \(4\)-te Potenz „gepackt“, dann wurde das Ergebnis in den Sinus gepackt, dieser wiederum zur Basis logarithmiert \(2\), und in Am Ende wurde die ganze Konstruktion in die Power Fives geschoben.

Das heißt, es ist notwendig, die Sequenz IN DER UMGEKEHRTEN REIHENFOLGE abzuwickeln. Und hier ist ein Tipp, wie es einfacher geht: Schauen Sie einfach auf das X - Sie müssen davon tanzen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Hier ist zum Beispiel eine Funktion: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Wir schauen uns X an - was passiert zuerst mit ihm? Von ihm genommen. Und dann? Der Tangens des Ergebnisses wird genommen. Und die Reihenfolge wird die gleiche sein:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ein weiteres Beispiel: \(y=\cos⁡((x^3))\). Wir analysieren - zuerst wurde x gewürfelt und dann wurde der Kosinus aus dem Ergebnis genommen. Die Sequenz lautet also: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Achtung, die Funktion scheint der allerersten ähnlich zu sein (wobei mit Bildern). Aber das ist eine ganz andere Funktion: hier im Würfel x (also \(\cos⁡((x x x))))\), und dort im Würfel der Kosinus \(x\) (also \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Dieser Unterschied ergibt sich aus unterschiedlichen "Verpackungs"-Sequenzen.

Das letzte Beispiel (mit wichtige Informationen darin): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Offensichtlich wurde hier zuerst was gemacht. Rechenoperationen mit x, dann wurde aus dem Ergebnis ein Sinus gezogen: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Und das wichtiger Punkt: Obwohl Rechenoperationen an sich keine Funktionen sind, wirken sie hier auch als "Verpackung". Lassen Sie uns ein wenig tiefer in diese Subtilität eintauchen.

Wie ich oben sagte, wird x in einfachen Funktionen einmal "gepackt" und in komplexen Funktionen - zwei oder mehr. Darüber hinaus ist jede Kombination einfacher Funktionen (dh ihre Summe, Differenz, Multiplikation oder Division) ebenfalls eine einfache Funktion. Beispielsweise ist \(x^7\) eine einfache Funktion, ebenso wie \(ctg x\). Daher sind alle ihre Kombinationen einfache Funktionen:

\(x^7+ ctg x\) - einfach,
\(x^7 ctg x\) ist einfach,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) ist einfach, und so weiter.

Wenn jedoch eine weitere Funktion auf eine solche Kombination angewendet wird, wird es bereits eine komplexe Funktion sein, da es zwei „Pakete“ geben wird. Siehe Zeichnung:

Okay, machen wir jetzt weiter. Schreiben Sie die Abfolge der „Wrapping“-Funktionen:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Die Antworten sind wieder am Ende des Artikels.

Interne und externe Funktionen

Warum müssen wir die Verschachtelung von Funktionen verstehen? Was bringt uns das? Der Punkt ist, dass wir ohne eine solche Analyse nicht in der Lage sein werden, die Ableitungen der oben diskutierten Funktionen zuverlässig zu finden.

Und um weiterzukommen, brauchen wir zwei weitere Konzepte: interne und externe Funktionen. Dies ist eine sehr einfache Sache, im Übrigen haben wir sie bereits oben analysiert: Wenn wir uns an unsere Analogie ganz am Anfang erinnern, dann ist die innere Funktion das „Paket“ und die äußere die „Box“. Diese. was X zuerst „verpackt“ ist, ist eine interne Funktion, und was das Interne „verpackt“ ist, ist bereits extern. Nun, es ist verständlich, warum - es ist außerhalb, es bedeutet extern.

Hier in diesem Beispiel: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), die Funktion \(\log_2⁡x\) ist intern, und
- extern.

Und in diesem: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ist intern, und
- extern.

Führen Sie die letzte Übung zur Analyse komplexer Funktionen durch und gehen Sie schließlich zu dem Punkt über, an dem alles begonnen hat - wir werden Ableitungen komplexer Funktionen finden:

Füllen Sie die Lücken in der Tabelle aus:

Ableitung einer zusammengesetzten Funktion

Bravo, wir sind immer noch beim "Boss" dieses Themas angelangt - tatsächlich bei der Ableitung einer komplexen Funktion und insbesondere bei dieser sehr schrecklichen Formel vom Anfang des Artikels.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Diese Formel lautet wie folgt:

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion nach der konstanten internen Funktion und der Ableitung der internen Funktion.

Und sehen Sie sich sofort das Parsing-Schema entsprechend den Wörtern an, um zu verstehen, worauf Sie sich beziehen sollen:

Ich hoffe, die Begriffe "Derivat" und "Produkt" bereiten keine Schwierigkeiten. "Komplexe Funktion" - haben wir bereits demontiert. Der Haken liegt in der „Ableitung der äußeren Funktion nach der inneren Konstante“. Was ist das?

Antwort: Dies ist die übliche Ableitung der äußeren Funktion, bei der sich nur die äußere Funktion ändert, während die innere gleich bleibt. Noch unklar? Okay, nehmen wir ein Beispiel.

Nehmen wir an, wir haben eine Funktion \(y=\sin⁡(x^3)\). Es ist klar, dass die innere Funktion hier \(x^3\) ist und die äußere
. Finden wir nun die Ableitung des Äußeren nach dem konstanten Inneren.

Sich entscheiden körperliche Aufgaben oder Beispiele in der Mathematik ist ohne Kenntnis der Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung völlig unmöglich. Die Ableitung ist eine von die wichtigsten Begriffe mathematische Analyse. Wir haben uns entschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist ein Derivat, was ist sein physisches und geometrische bedeutung Wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen können zu einer kombiniert werden: Wie versteht man die Ableitung?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Es gebe eine Funktion f(x) , gegeben in einem gewissen Intervall (a,b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich die Funktion selbst. Argumentänderung - Unterschied seiner Werte x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Die Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten der Funktion an zwei Punkten. Ableitungsdefinition:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem gegebenen Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn letzteres gegen Null geht.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Was bringt es, eine solche Grenze zu finden? Aber welcher:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

physikalische Bedeutung Derivat: die zeitliche Ableitung des Weges ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein Privatweg ist. x=f(t) und Zeit t . Durchschnittsgeschwindigkeit seit einiger Zeit:

Um die Geschwindigkeit der Bewegung zu einem Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen die Grenze berechnen:

Regel eins: Nimm die Konstante heraus

Die Konstante kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Außerdem muss es gemacht werden. Nehmen Sie beim Lösen von Beispielen in Mathematik in der Regel - Wenn Sie den Ausdruck vereinfachen können, vereinfachen Sie ihn unbedingt .

Beispiel. Lassen Sie uns die Ableitung berechnen:

Regel zwei: Ableitung der Summe von Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Differenz von Funktionen.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Regel drei: die Ableitung des Produkts von Funktionen

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Hier ist es wichtig, über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel begegnen wir dem Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, betrachten wir zuerst die Ableitung der externen Funktion in Bezug auf das Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst in Bezug auf die unabhängige Variable.

Regel 4: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es sich anhört, seien Sie also gewarnt: In den Beispielen gibt es oft Fallstricke, also seien Sie vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Bei allen Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. In kurzer Zeit helfen wir Ihnen, die schwierigsten Steuerungs- und Aufgabenstellungen zu lösen, auch wenn Sie sich noch nie mit der Berechnung von Derivaten beschäftigt haben.

Komplexe Funktionen passen nicht immer zur Definition einer komplexen Funktion. Wenn es eine Funktion der Form y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 gibt, kann sie im Gegensatz zu y \u003d sin 2 x nicht als komplex betrachtet werden.

Dieser Artikel zeigt das Konzept einer komplexen Funktion und ihre Identifizierung. Lassen Sie uns mit Formeln arbeiten, um die Ableitung mit Lösungsbeispielen im Schluss zu finden. Die Verwendung der Ableitungstabelle und der Ableitungsregeln verkürzen die Zeit zum Auffinden der Ableitung erheblich.

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Grundlegende Definitionen

Bestimmung 1

Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument ebenfalls eine Funktion ist.

Es wird so bezeichnet: f (g (x)) . Wir haben, dass die Funktion g (x) als Argument f (g (x)) betrachtet wird.

Bestimmung 2

Wenn es eine Funktion f gibt und eine Kotangensfunktion ist, dann ist g(x) = ln x die natürliche Logarithmusfunktion. Wir erhalten, dass die komplexe Funktion f (g (x)) als arctg (lnx) geschrieben wird. Oder eine Funktion f, bei der es sich um eine zur 4. Potenz erhobene Funktion handelt, bei der g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 als vollständige rationale Funktion betrachtet wird, erhalten wir, dass f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Offensichtlich kann g(x) schwierig sein. Aus dem Beispiel y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 ist ersichtlich, dass der Wert von g hat Kubikwurzel mit Bruchteil. Dieser Ausdruck kann als y = f (f 1 (f 2 (x))) bezeichnet werden. Daraus ergibt sich, dass f eine Sinusfunktion ist und f 1 eine Funktion unter der Quadratwurzel ist, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 ist eine gebrochene rationale Funktion.

Bestimmung 3

Der Verschachtelungsgrad wird durch beliebig definiert natürliche Zahl und wird geschrieben als y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Bestimmung 4

Das Konzept der Funktionskomposition bezieht sich auf die Anzahl der verschachtelten Funktionen gemäß der Problemstellung. Für die Lösung die Formel zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion der Form

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Beispiele

Beispiel 1

Finde die Ableitung einer komplexen Funktion der Form y = (2 x + 1) 2 .

Lösung

Konventionsgemäß ist f eine quadrierende Funktion und g(x) = 2 x + 1 wird als lineare Funktion betrachtet.

Wir wenden die Ableitungsformel auf eine komplexe Funktion an und schreiben:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Es ist notwendig, eine Ableitung mit einer vereinfachten Anfangsform der Funktion zu finden. Wir bekommen:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Daher haben wir das

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Die Ergebnisse stimmten überein.

Beim Lösen von Problemen dieser Art ist es wichtig zu verstehen, wo sich die Funktion der Form f und g (x) befinden wird.

Beispiel 2

Sie sollten die Ableitungen komplexer Funktionen der Form y \u003d sin 2 x und y \u003d sin x 2 finden.

Lösung

Der erste Eintrag der Funktion besagt, dass f die Quadrierfunktion und g(x) die Sinusfunktion ist. Dann bekommen wir das

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Der zweite Eintrag zeigt, dass f eine Sinusfunktion ist und g (x) = x 2 die Potenzfunktion bezeichnet. Daraus folgt, dass das Produkt einer komplexen Funktion geschrieben werden kann als

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Die Formel für die Ableitung y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) wird geschrieben als y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x )) )) . . . f n "(x)

Beispiel 3

Finde die Ableitung der Funktion y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Lösung

Dieses Beispiel zeigt die Komplexität des Schreibens und Bestimmens der Position von Funktionen. Dann y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) bezeichnen, wobei f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) die Sinusfunktion ist, die Funktion der Erhöhung auf 3 Grad, eine Funktion mit Logarithmus und Basis e, eine Funktion des Arkustangens und eine lineare.

Aus der Formel zur Definition einer komplexen Funktion haben wir das

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Erhalten, was zu finden ist

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) als Ableitung des Sinus in der Ableitungstabelle, dann f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)). ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) als Ableitung einer Potenzfunktion, dann f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 Bogen t g (2 x) = 3 ln 2 Bogen t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) als logarithmische Ableitung, dann f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) als Ableitung des Arkustangens, dann f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Wenn Sie die Ableitung f 4 (x) \u003d 2 x finden, nehmen Sie 2 aus dem Vorzeichen der Ableitung heraus, indem Sie die Formel für die Ableitung der Potenzfunktion mit einem Exponenten von 1 verwenden, dann f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Wir kombinieren die Zwischenergebnisse und erhalten das

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Die Analyse solcher Funktionen ähnelt Verschachtelungspuppen. Ableitungsregeln können nicht immer explizit über eine Ableitungstabelle angewendet werden. Oft müssen Sie die Formel anwenden, um Ableitungen komplexer Funktionen zu finden.

Es gibt einige Unterschiede zwischen einer komplexen Ansicht und einer komplexen Funktion. Mit einer klaren Fähigkeit, dies zu unterscheiden, wird das Auffinden von Derivaten besonders einfach.

Beispiel 4

Es ist notwendig, darüber nachzudenken, ein solches Beispiel zu bringen. Wenn es eine Funktion der Form y = t g 2 x + 3 t g x + 1 gibt, dann kann sie als komplexe Funktion der Form g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 betrachtet werden . Offensichtlich ist es notwendig, die Formel für die komplexe Ableitung anzuwenden:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Eine Funktion der Form y = t g x 2 + 3 t g x + 1 wird nicht als komplex angesehen, da sie die Summe t g x 2 , 3 t g x und 1 hat. t g x 2 wird jedoch als komplexe Funktion betrachtet, dann erhalten wir eine Potenzfunktion der Form g (x) \u003d x 2 und f, die eine Funktion der Tangente ist. Dazu müssen Sie nach der Menge differenzieren. Das verstehen wir

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 wegen 2 x

Gehen wir weiter zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Wir erhalten, dass y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funktionen einer komplexen Form können in komplexe Funktionen eingeschlossen werden, und die komplexen Funktionen selbst können es sein zusammengesetzte Funktionen komplexer Typ.

Beispiel 5

Betrachten Sie zum Beispiel eine komplexe Funktion der Form y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Diese Funktion kann als y = f (g (x)) dargestellt werden, wobei der Wert von f eine Funktion des Logarithmus zur Basis 3 ist und g (x) als Summe zweier Funktionen der Form h (x) = angesehen wird x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 und k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Offensichtlich ist y = f (h (x) + k (x)) .

Betrachten Sie die Funktion h(x) . Dies ist das Verhältnis von l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 zu m (x) = e x 2 + 3 3

Wir haben, dass l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) die Summe zweier Funktionen n (x) = x 2 + 7 und p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , wobei p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) eine komplexe Funktion mit einem numerischen Koeffizienten von 3 und p 1 ist eine Würfelfunktion, p 2 Kosinusfunktion, p 3 (x) = 2 x + 1 - lineare Funktion.

Wir haben festgestellt, dass m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) die Summe der beiden Funktionen q (x) = e x 2 und r (x) = 3 3 ist, wobei q (x) = q 1 (q 2 (x)) ist eine komplexe Funktion, q 1 ist eine Funktion mit einem Exponenten, q 2 (x) = x 2 ist eine Potenzfunktion.

Dies zeigt, dass h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Beim Übergang zu einem Ausdruck der Form k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) ist klar, dass die Funktion als Komplex s (x) \ dargestellt wird u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) mit ganzzahligem rationalem t (x) = x 2 + 1, wobei s 1 die Quadrierfunktion ist und s 2 (x) = ln x mit der Basis e logarithmisch ist .

Daraus folgt, dass der Ausdruck die Form k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) annehmen wird.

Dann bekommen wir das

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Anhand der Strukturen der Funktion wurde deutlich, wie und welche Formeln angewendet werden müssen, um den Ausdruck beim Differenzieren zu vereinfachen. Um sich mit solchen Problemen vertraut zu machen und ihre Lösung zu verstehen, ist es notwendig, sich auf den Punkt der Ableitung einer Funktion zu beziehen, dh ihre Ableitung zu finden.

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