Arithmetische Gleichungen. Was ist die Summe einer arithmetischen Folge: Formel. Arithmetische Progression. Mittelstufe

Unterrichtstyp: neuen Stoff lernen.

Unterrichtsziele:

• Erweiterung und Vertiefung der Vorstellungen der Schüler zu Aufgaben, die mit arithmetischer Progression gelöst werden; Organisation der Suchtätigkeit der Studierenden bei der Herleitung der Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge;
• Entwicklung von Fähigkeiten zum selbstständigen Erwerb neuer Kenntnisse, Nutzung bereits erworbener Kenntnisse zur Erfüllung der Aufgabe;
• Entwicklung des Wunsches und der Notwendigkeit, die gewonnenen Fakten zu verallgemeinern, Entwicklung der Selbständigkeit.

Aufgaben:

• das vorhandene Wissen zum Thema „Arithmetische Progression“ zu verallgemeinern und zu systematisieren;
• Formeln zur Berechnung der Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge herleiten;
• lehren, wie man die erhaltenen Formeln zur Lösung verschiedener Probleme anwendet;
• Machen Sie die Schüler auf das Verfahren aufmerksam, mit dem der Wert eines numerischen Ausdrucks ermittelt wird.

Ausrüstung:

• Karten mit Aufgaben für Gruppen- und Paararbeit;
• Bewertungspapier;
• Präsentation"Arithmetische Progression".

I. Aktualisierung von Grundkenntnissen.

1. Selbstständige Arbeit in Paaren.

1. Möglichkeit:

Definieren Sie eine arithmetische Progression. Schreiben Sie eine rekursive Formel auf, die ergibt arithmetische Progression. Geben Sie ein Beispiel für eine arithmetische Progression und geben Sie deren Unterschied an.

2. Möglichkeit:

Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf. Finden Sie den 100. Term einer arithmetischen Folge ( ein}: 2, 5, 8 …
Zu diesem Zeitpunkt zwei Studenten Rückseite Boards bereiten Antworten auf die gleichen Fragen vor.
Die Schüler bewerten die Arbeit des Partners, indem sie sie mit der Tafel vergleichen. (Broschüren mit Antworten werden ausgehändigt).

2. Spielmoment.

Übung 1.

Lehrer. Ich habe mir eine arithmetische Progression ausgedacht. Stellen Sie mir nur zwei Fragen, damit Sie nach den Antworten schnell das 7. Mitglied dieser Progression nennen können. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 …)

Fragen von Studenten.

1. Was ist das sechste Glied der Progression und was ist der Unterschied?
2. Was ist das achte Glied der Progression und was ist der Unterschied?

Wenn es keine Fragen mehr gibt, kann der Lehrer sie anregen - ein „Verbot“ von d (Unterschied), dh es darf nicht gefragt werden, was der Unterschied ist. Sie können Fragen stellen: Was ist das 6. Glied der Progression und was ist das 8. Glied der Progression?

Aufgabe 2.

Auf der Tafel sind 20 Zahlen geschrieben: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Der Lehrer steht mit dem Rücken zur Tafel. Die Schüler sagen die Nummer der Nummer, und der Lehrer ruft sofort die Nummer selbst an. Erklären Sie, wie ich es tun kann?

Der Lehrer erinnert sich an die Formel des n-ten Begriffs ein n \u003d 3n - 2 und findet durch Ersetzen der gegebenen Werte von n die entsprechenden Werte ein .

II. Erklärung des Erziehungsauftrags.

Ich schlage vor, ein altes Problem aus dem 2. Jahrtausend v. Chr. zu lösen, das in ägyptischen Papyri gefunden wurde.

Aufgabe:„Lasst euch sagen: Teilt 10 Maß Gerste auf 10 Personen auf, die Differenz zwischen jedem und seinem Nächsten beträgt 1/8 des Maßes.“

• Wie hängt dieses Problem mit dem Thema der arithmetischen Progression zusammen? (Jede nächste Person bekommt 1/8 des Maßes mehr, also ist die Differenz d=1/8, 10 Personen, also n=10.)
• Was bedeutet deiner Meinung nach die Zahl 10? (Die Summe aller Mitglieder der Progression.)
• Was müssen Sie sonst noch wissen, um Gerste einfach und unkompliziert nach Problemzustand zu teilen? (Das erste Glied der Progression.)

Unterrichtsziel- Ermittlung der Abhängigkeit der Summe der Glieder der Progression von ihrer Anzahl, dem ersten Glied und der Differenz, und Überprüfung, ob das Problem in der Antike richtig gelöst wurde.

Bevor wir die Formel herleiten, sehen wir uns an, wie die alten Ägypter das Problem gelöst haben.

Und sie haben es so gelöst:

1) 10 Maßnahmen: 10 = 1 Maßnahme - durchschnittlicher Anteil;
2) 1 Takt ∙ = 2 Takte - verdoppelt Durchschnitt Teilen.
verdoppelt Durchschnitt der Anteil ist die Summe der Anteile der 5. und 6. Person.
3) 2 Takte - 1/8 Takt = 1 7/8 Takte - doppelter Anteil der fünften Person.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - der Anteil der Quinte; und so weiter, können Sie den Anteil jeder vorherigen und nachfolgenden Person finden.

Wir erhalten die Folge:

III. Die Lösung der Aufgabe.

1. Arbeiten Sie in Gruppen

1. Gruppe: Finden Sie die Summe von 20 aufeinanderfolgenden natürliche Zahlen: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Im Allgemeinen

Gruppe II: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 (Legende von Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Fazit:

III. Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 21.

Lösung: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Fazit:

IV-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 101.

Fazit:

Diese Methode zur Lösung der betrachteten Probleme wird als „Gauß-Methode“ bezeichnet.

2. Jede Gruppe präsentiert die Lösung des Problems an der Tafel.

3. Verallgemeinerung der Lösungsvorschläge für eine beliebige arithmetische Folge:

ein 1 , ein 2 , ein 3 ,…, ein n-2 , ein n-1 , ein n .
S n \u003d ein 1 + ein 2 + ein 3 + ein 4 + ... + ein n-3 + ein n-2 + ein n-1 + ein n.

Wir finden diese Summe, indem wir ähnlich argumentieren:

4. Haben wir die Aufgabe gelöst?(Ja.)

IV. Primäres Verständnis und Anwendung der erhaltenen Formeln bei der Lösung von Problemen.

1. Überprüfen der Lösung eines alten Problems anhand der Formel.

2. Anwendung der Formel zur Lösung verschiedener Probleme.

3. Übungen zur Bildung der Fähigkeit, die Formel bei der Lösung von Problemen anzuwenden.

A) Nr. 613

Gegeben :( und n) - arithmetische Progression;

(an): 1, 2, 3, ..., 1500

Finden: S1500

Entscheidung: , und 1 = 1 und 1500 = 1500,

B) Gegeben: ( und n) - arithmetische Progression;
(und n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Finden: n
Entscheidung:

V. Eigenständiges Arbeiten mit gegenseitiger Überprüfung.

Denis ging als Kurier zur Arbeit. Im ersten Monat betrug sein Gehalt 200 Rubel, in jedem weiteren Monat stieg es um 30 Rubel. Wie viel hat er in einem Jahr verdient?

Gegeben :( und n) - arithmetische Progression;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Finden: S12
Entscheidung:

Antwort: Denis erhielt 4380 Rubel für das Jahr.

VI. Hausaufgabenbetreuung.

1. S. 4.3 - lerne die Herleitung der Formel.
2. №№ 585, 623 .
3. Stellen Sie ein Problem auf, das mit der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge gelöst werden würde.

VII. Zusammenfassung der Lektion.

1. Spielberichtsbogen

2. Setzen Sie die Sätze fort

• Heute habe ich im Unterricht gelernt...
• Gelernte Formeln ...
• Ich glaube, dass …

3. Können Sie die Summe der Zahlen von 1 bis 500 finden? Welche Methode werden Sie anwenden, um dieses Problem zu lösen?

Referenzliste.

1. Algebra, 9. Klasse. Anleitung für Bildungsinstitutionen. Ed. G.V. Dorofejewa. Moskau: Aufklärung, 2009.

Worin Hauptpunkt Formeln?

Mit dieser Formel können Sie finden irgendein NACH SEINER NUMMER" n" .

Natürlich müssen Sie den ersten Term kennen eine 1 und Verlaufsunterschied d Nun, ohne diese Parameter können Sie keinen bestimmten Verlauf aufschreiben.

Es reicht nicht, diese Formel auswendig zu lernen (oder zu betrügen). Es ist notwendig, seine Essenz zu assimilieren und die Formel bei verschiedenen Problemen anzuwenden. Ja, und zur rechten Zeit nicht vergessen, ja ...) Wie nicht vergessen- Ich weiß nicht. Und hier wie man sich erinnert Bei Bedarf gebe ich dir einen Tipp. Für diejenigen, die die Lektion bis zum Ende meistern.)

Beschäftigen wir uns also mit der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.

Was ist eine Formel im Allgemeinen - stellen wir uns vor.) Was eine arithmetische Progression, eine Elementnummer, eine Progressionsdifferenz ist - wurde in der vorherigen Lektion klar gesagt. Schau mal rein, falls du es nicht gelesen hast. Da ist alles einfach. Es bleibt herauszufinden, was ntes Mitglied.

Die Progression im Allgemeinen kann als eine Reihe von Zahlen geschrieben werden:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

eine 1- bezeichnet den ersten Term einer arithmetischen Folge, eine 3- drittes Mitglied eine 4- vierte, und so weiter. Wenn wir an der fünften Amtszeit interessiert sind, nehmen wir an, wir arbeiten mit eine 5, wenn einhundertzwanzigste - von eine 120.

Wie allgemein definieren irgendein Mitglied einer arithmetischen Folge, s irgendein Anzahl? Sehr einfach! So:

ein

Das ist es n-tes Glied einer arithmetischen Folge. Unter dem Buchstaben n sind alle Mitgliedernummern auf einmal versteckt: 1, 2, 3, 4 und so weiter.

Und was gibt uns ein solcher Rekord? Denken Sie nur, statt einer Zahl haben sie einen Buchstaben aufgeschrieben ...

Diese Notation gibt uns ein mächtiges Werkzeug für die Arbeit mit arithmetischen Progressionen. Verwendung der Notation ein, können wir schnell finden irgendein Mitglied irgendein arithmetische Progression. Und eine Reihe von Aufgaben, die nach und nach gelöst werden müssen. Sie werden weiter sehen.

In der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge:

ein n = ein 1 + (n-1)d

eine 1- das erste Glied der arithmetischen Folge;

n- Mitgliedsnummer.

Die Formel verbindet die Schlüsselparameter jeder Progression: ein ; a 1 ; d und n. Um diese Parameter drehen sich alle Rätsel nacheinander.

Die n-te Termformel kann auch verwendet werden, um eine bestimmte Progression zu schreiben. Beispielsweise kann in der Aufgabe gesagt werden, dass die Progression durch die Bedingung gegeben ist:

ein n = 5 + (n-1) 2.

Ein solches Problem kann sogar verwirren ... Es gibt keine Reihe, keinen Unterschied ... Aber wenn man die Bedingung mit der Formel vergleicht, kann man das in dieser Progression leicht herausfinden a 1 \u003d 5 und d \u003d 2.

Und es kann noch wütender sein!) Wenn wir die gleiche Bedingung nehmen: ein n = 5 + (n-1) 2, ja, öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche ein? Werden neue Formel:

an = 3 + 2n.

Das Nur nicht allgemein, sondern für einen bestimmten Verlauf. Hier liegt die Falle. Manche Leute denken, dass das erste Glied eine Drei ist. Obwohl das erste Mitglied in Wirklichkeit eine Fünf ist ... Etwas niedriger werden wir mit einer solchen modifizierten Formel arbeiten.

Bei Aufgaben zum Fortschreiten gibt es eine andere Notation - ein n+1. Dies ist, Sie haben es erraten, der „n plus das erste“ Glied der Progression. Seine Bedeutung ist einfach und harmlos.) Dies ist ein Mitglied der Progression, deren Anzahl um eins größer ist als die Anzahl n. Zum Beispiel, wenn wir bei einem Problem für ein fünfte Amtszeit also ein n+1 wird das sechste Mitglied. Und dergleichen.

Meistens die Bezeichnung ein n+1 kommt in rekursiven Formeln vor. Haben Sie keine Angst vor diesem schrecklichen Wort!) Dies ist nur eine Art, einen Begriff einer arithmetischen Folge auszudrücken durch das vorherige. Angenommen, wir erhalten eine arithmetische Progression in dieser Form unter Verwendung der wiederkehrenden Formel:

ein n+1 = ein n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Vom vierten bis zum dritten, vom fünften bis zum vierten und so weiter. Und wie man sofort zählt, sagen wir den zwanzigsten Begriff, eine 20? Aber auf keinen Fall!) Während das 19. Semester nicht bekannt ist, kann das 20. nicht gezählt werden. Dies ist der grundlegende Unterschied zwischen der rekursiven Formel und der Formel des n-ten Terms. Rekursiv funktioniert nur durch Bisherige Begriff und die Formel des n-ten Begriffs - durch Erste und erlaubt sofort Finden Sie jedes Mitglied anhand seiner Nummer. Nicht die ganze Reihe von Zahlen der Reihe nach zählen.

In einer arithmetischen Folge kann eine rekursive Formel leicht in eine reguläre umgewandelt werden. Zählen Sie ein Paar aufeinanderfolgender Begriffe, berechnen Sie die Differenz d, Finden Sie ggf. den ersten Term eine 1, schreibe die Formel in der üblichen Form und arbeite damit. Im GIA sind solche Aufgaben oft zu finden.

Anwendung der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.

Schauen wir uns zunächst die direkte Anwendung der Formel an. Am Ende der vorherigen Lektion gab es ein Problem:

Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n). Finden Sie a 121, wenn a 1 = 3 und d = 1/6.

Dieses Problem lässt sich ganz ohne Formeln lösen, einfach anhand der Bedeutung der arithmetischen Folge. Füge hinzu, ja füge hinzu ... Ein oder zwei Stunden.)

Und laut Formel dauert die Lösung weniger als eine Minute. Sie können es timen.) Wir entscheiden.

Die Bedingungen liefern alle Daten für die Anwendung der Formel: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Es bleibt abzuwarten, was n. Kein Problem! Wir müssen finden eine 121. Hier schreiben wir:

Bitte pass auf! Anstelle eines Index n eine bestimmte Zahl erschien: 121. Was ziemlich logisch ist.) Uns interessiert das Glied der arithmetischen Folge Nummer einhunderteinundzwanzig. Das wird unser sein n. Es ist diese Bedeutung n= 121 setzen wir weiter in die Formel ein, in Klammern. Ersetzen Sie alle Zahlen in der Formel und berechnen Sie:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Das ist alles dazu. Genauso schnell konnte man das fünfhundertzehnte Mitglied und das tausenddrittste Mitglied finden. Wir setzen stattdessen n die gewünschte Nummer im Index des Buchstabens " a" und in Klammern, und wir betrachten.

Lassen Sie mich Sie an die Essenz erinnern: Diese Formel ermöglicht es Ihnen, zu finden irgendein Term einer arithmetischen Progression NACH SEINER NUMMER" n" .

Lassen Sie uns das Problem intelligenter lösen. Nehmen wir an, wir haben folgendes Problem:

Finden Sie den ersten Term der arithmetischen Folge (a n), wenn a 17 =-2; d=-0,5.

Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten haben, werde ich den ersten Schritt vorschlagen. Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf! Ja Ja. Schreiben Sie handschriftlich direkt in Ihr Notizbuch:

ein n = ein 1 + (n-1)d

Und jetzt, wenn wir uns die Buchstaben der Formel ansehen, verstehen wir, welche Daten wir haben und was fehlt? Erhältlich d=-0,5, es gibt ein siebzehntes Mitglied ... Alles? Wenn Sie denken, das ist alles, dann können Sie das Problem nicht lösen, ja ...

Wir haben auch eine Nummer n! Im Zustand a 17 = –2 versteckt zwei Optionen. Dies ist sowohl der Wert des siebzehnten Elements (-2) als auch seine Nummer (17). Jene. n = 17. Diese „Kleinigkeit“ rutscht oft am Kopf vorbei, und ohne sie (ohne die „Kleinigkeit“, nicht den Kopf!) ist das Problem nicht zu lösen. Obwohl ... und auch ohne Kopf.)

Jetzt können wir unsere Daten einfach dumm in die Formel einsetzen:

ein 17 \u003d ein 1 + (17-1) (-0,5)

Oh ja, eine 17 wir wissen, dass es -2 ist. Okay, setzen wir es ein:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Das ist im Wesentlichen alles. Es bleibt, den ersten Term der arithmetischen Folge aus der Formel auszudrücken und zu berechnen. Sie erhalten die Antwort: eine 1 = 6.

Eine solche Technik – eine Formel schreiben und bekannte Daten einfach ersetzen – hilft bei einfachen Aufgaben sehr. Nun, Sie müssen natürlich in der Lage sein, eine Variable aus einer Formel auszudrücken, aber was tun!? Ohne diese Fähigkeit kann Mathematik überhaupt nicht studiert werden ...

Ein weiteres beliebtes Problem:

Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge (a n), wenn a 1 =2; a 15 = 12.

Was machen wir? Sie werden überrascht sein, wir schreiben die Formel!)

ein n = ein 1 + (n-1)d

Bedenken Sie, was wir wissen: a 1 = 2; a 15 = 12; und (besonderes Highlight!) n = 15. Fühlen Sie sich frei, in der Formel zu ersetzen:

12=2 + (15-1)d

Rechnen wir mal.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Dies ist die richtige Antwort.

Also Aufgaben ein n, eine 1 und d beschlossen. Es bleibt zu lernen, wie man die Nummer findet:

Die Zahl 99 ist Mitglied einer arithmetischen Folge (a n), wobei a 1 = 12; d=3. Finden Sie die Nummer dieses Mitglieds.

Wir setzen die bekannten Größen in die Formel des n-ten Terms ein:

ein n = 12 + (n-1) 3

Hier gibt es auf den ersten Blick zwei Unbekannte: ein n und n. Aber ein ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer n... Und dieses Mitglied der Progression kennen wir! Es ist 99. Wir kennen seine Nummer nicht. n, also muss diese Nummer auch gefunden werden. Setzen Sie den Progressionsterm 99 in die Formel ein:

99 = 12 + (n-1) 3

Wir drücken aus der Formel aus n, wir denken. Wir bekommen die Antwort: n = 30.

Und jetzt ein Problem zum gleichen Thema, aber kreativer):

Bestimmen Sie, ob die Zahl 117 ein Mitglied einer arithmetischen Folge ist (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Schreiben wir die Formel noch einmal. Was, es gibt keine Parameter? Hm ... Warum brauchen wir Augen?) Sehen wir das erste Mitglied der Progression? Wir sehen. Dies ist -3,6. Sie können sicher schreiben: ein 1 \u003d -3,6. Unterschied d kann aus der Serie bestimmt werden? Es ist einfach, wenn Sie wissen, was der Unterschied einer arithmetischen Progression ist:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Ja, wir haben das Einfachste gemacht. Es bleibt, sich mit einer unbekannten Nummer zu befassen n und eine unverständliche Zahl 117. Bei der vorherigen Aufgabe war zumindest bekannt, dass es sich um den Begriff der Progression handelte, der angegeben wurde. Aber hier wissen wir das nicht einmal ... How to be!? Nun, wie zu sein, wie zu sein ... Schalten Sie ein Kreative Fähigkeiten!)

Wir annehmen dass 117 schließlich ein Mitglied unserer Progression ist. Mit unbekannter Nummer n. Und, genau wie im vorigen Problem, versuchen wir, diese Nummer zu finden. Jene. wir schreiben die Formel (ja-ja!)) und ersetzen unsere Zahlen:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Wieder drücken wir aus der Formel ausn, wir zählen und erhalten:

Hoppla! Die Nummer stellte sich heraus Bruchteil! Einhunderteineinhalb. Und Bruchzahlen in Progressionen kann nicht sein. Welches Fazit ziehen wir? Ja! Nummer 117 ist nicht Mitglied unserer Progression. Es liegt irgendwo zwischen dem 101. und 102. Mitglied. Wenn sich herausstellte, dass die Zahl natürlich ist, d.h. positive ganze Zahl, dann wäre die Zahl ein Mitglied der Progression mit der gefundenen Zahl. Und in unserem Fall lautet die Antwort auf das Problem: Nein.

Aufgabe basierend auf einer realen Version des GIA:

Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben:

ein n \u003d -4 + 6,8n

Finde den ersten und zehnten Term der Progression.

Hier wird die Progression auf ungewöhnliche Weise gesetzt. Eine Art Formel ... Es passiert.) Diese Formel (wie ich oben geschrieben habe) - auch die Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge! Sie lässt es auch zu Finden Sie jedes Mitglied der Progression anhand seiner Nummer.

Wir suchen das erste Mitglied. Der, der denkt. dass der erste Term minus vier ist, ist ein fataler Irrtum!) Weil die Formel in der Aufgabe modifiziert wird. Das erste Glied einer arithmetischen Progression darin versteckt. Nichts, wir werden es jetzt finden.)

Genau wie in den vorherigen Aufgaben ersetzen wir n=1 in diese Formel:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Hier! Der erste Term ist 2,8, nicht -4!

Ebenso suchen wir nach dem zehnten Term:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Das ist alles dazu.

Und jetzt, für diejenigen, die bis zu diesen Zeilen gelesen haben, der versprochene Bonus.)

Angenommen, Sie haben in einer schwierigen Kampfsituation des GIA oder des Einheitlichen Staatsexamens die nützliche Formel des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge vergessen. Etwas fällt mir ein, aber irgendwie unsicher... Ob n dort, bzw n+1, bzw n-1... Wie sein!?

Ruhig! Diese Formel lässt sich leicht ableiten. Nicht sehr streng, aber sicher und richtige Entscheidung das reicht!) Für den Schluss genügt es, sich an die elementare Bedeutung der arithmetischen Folge zu erinnern und ein paar Minuten Zeit zu haben. Sie müssen nur ein Bild zeichnen. Zur Klarheit.

Wir zeichnen eine numerische Achse und markieren die erste darauf. zweite, dritte usw. Mitglieder. Und beachten Sie den Unterschied d zwischen Mitgliedern. So:

Wir sehen uns das Bild an und denken: Was ist der zweite Term gleich? Zweite ein d:

a 2 = a 1 + 1 d

Was ist der dritte Begriff? Der dritte Term ist gleich erster Term plus zwei d.

a 3 = a 1 + 2 d

Verstehst du es? Ich habe nicht umsonst einige Worte fett gedruckt. Okay, noch ein Schritt.)

Was ist der vierte Begriff? Vierte Term ist gleich erster Term plus drei d.

a 4 = a 1 + 3 d

Es ist Zeit zu erkennen, dass die Anzahl der Lücken, d.h. d, stets eins weniger als die Nummer des gesuchten Mitglieds n. Das heißt, bis auf die Zahl n, Anzahl der Lücken Wille n-1. Die Formel lautet also (keine Optionen!):

ein n = ein 1 + (n-1)d

Im Allgemeinen sind visuelle Bilder sehr hilfreich bei der Lösung vieler Probleme in der Mathematik. Vernachlässigen Sie die Bilder nicht. Aber wenn es schwierig ist, ein Bild zu zeichnen, dann ... nur eine Formel!) Darüber hinaus können Sie mit der Formel des n-ten Begriffs das gesamte mächtige Arsenal der Mathematik mit der Lösung verbinden - Gleichungen, Ungleichungen, Systeme usw. Man kann kein Bild in eine Gleichung einfügen...

Aufgaben zur selbstständigen Entscheidung.

Zum Aufwärmen:

1. In arithmetischer Folge (a n) a 2 =3; ein 5 \u003d 5.1. Finde eine 3.

Hinweis: Laut Bild ist das Problem in 20 Sekunden gelöst ... Laut Formel gestaltet es sich schwieriger. Aber zum Beherrschen der Formel ist es nützlicher.) In Abschnitt 555 wird dieses Problem sowohl durch das Bild als auch durch die Formel gelöst. Spüre den Unterschied!)

Und das ist kein Aufwärmen mehr.)

2. In arithmetischer Progression (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Finde a 3 .

Was, Zurückhaltung, ein Bild zu zeichnen?) Immer noch! Es ist besser in der Formel, ja ...

3. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben:ein 1 \u003d -5,5; ein n+1 = ein n +0,5. Finden Sie das einhundertfünfundzwanzigste Glied dieser Progression.

Bei dieser Aufgabe wird die Progression wiederkehrend vorgegeben. Aber bis zum einhundertfünfundzwanzigsten Term hochzählen... Nicht jeder kann so etwas vollbringen.) Aber die Formel des n-ten Terms liegt in der Macht eines jeden!

4. Gegeben eine arithmetische Progression (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Finden Sie die Nummer des kleinsten positiven Glieds der Progression.

5. Finden Sie gemäß der Bedingung von Aufgabe 4 die Summe der kleinsten positiven und größten negativen Glieder der Progression.

6. Das Produkt des fünften und zwölften Glieds einer ansteigenden arithmetischen Folge ist -2,5, und die Summe des dritten und elften Glieds ist Null. Finden Sie eine 14 .

Nicht die einfachste Aufgabe, ja ...) Hier funktioniert die Methode "an den Fingern" nicht. Sie müssen Formeln schreiben und Gleichungen lösen.

Antworten (durcheinander):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Passiert? Es ist schön!)

Nicht alles klappt? Es passiert. Übrigens gibt es in der letzten Aufgabe einen subtilen Punkt. Aufmerksamkeit beim Lesen des Problems ist erforderlich. Und Logik.

Die Lösung all dieser Probleme wird ausführlich in Abschnitt 555 diskutiert. Und ein Element der Fantasie für die vierte und ein subtiles Moment für die sechste und allgemeine Ansätze zur Lösung von Problemen mit der Formel des n-ten Mitglieds - alles ist gemalt. Empfehlen.

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Numerische Folge

Setzen wir uns also hin und schreiben ein paar Zahlen. Zum Beispiel:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten (in unserem Fall sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche von ihnen die erste, welche die zweite und so weiter bis zur letzten ist, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Numerische Folge
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Folgenummer spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Folge. Die zweite Zahl (wie die -te Zahl) ist immer gleich.
Die Zahl mit der Zahl heißt das -te Glied der Folge.

Wir nennen die ganze Sequenz normalerweise einen Buchstaben (zum Beispiel) und jedes Mitglied dieser Sequenz - denselben Buchstaben mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge, in der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Zum Beispiel:

usw.
Eine solche Zahlenfolge wird als arithmetische Folge bezeichnet.
Der Begriff „Progression“ wurde bereits im 6. Jahrhundert vom römischen Autor Boethius eingeführt und im weiteren Sinne als endlose Zahlenfolge verstanden. Der Name "Arithmetik" wurde aus der Theorie der kontinuierlichen Proportionen übernommen, mit der sich die alten Griechen beschäftigten.

Dies ist eine numerische Folge, deren jedes Glied gleich der vorherigen ist, hinzugefügt mit der gleichen Nummer. Diese Zahl wird als Differenz einer arithmetischen Folge bezeichnet und bezeichnet.

Versuchen Sie herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine arithmetische Folge sind und welche nicht:

a)
b)
c)
d)

Ich habs? Vergleichen Sie unsere Antworten:
Ist ein arithmetische Progression - b, c.
Ist nicht arithmetische Progression - a, d.

Kehren wir zur gegebenen Progression () zurück und versuchen, den Wert ihres th-Mitglieds zu finden. Existieren zwei Weg, es zu finden.

1. Methode

Wir können zum vorherigen Wert der Progressionsnummer addieren, bis wir das te Glied der Progression erreichen. Gut, dass wir nicht viel zusammenzufassen haben – nur drei Werte:

Das -te Glied der beschriebenen arithmetischen Folge ist also gleich.

2. Methode

Was wäre, wenn wir den Wert des th-Terms der Progression finden müssten? Die Summierung hätte uns mehr als eine Stunde gekostet, und es ist keine Tatsache, dass wir beim Addieren der Zahlen keine Fehler gemacht hätten.
Natürlich haben sich Mathematiker einen Weg ausgedacht, bei dem man die Differenz einer arithmetischen Progression nicht zum vorherigen Wert addieren muss. Schauen Sie sich das gezeichnete Bild genau an ... Sicher ist Ihnen schon ein bestimmtes Muster aufgefallen, nämlich:

Sehen wir uns zum Beispiel an, was den Wert des -ten Elements dieser arithmetischen Folge ausmacht:


Mit anderen Worten:

Versuchen Sie auf diese Weise selbstständig den Wert eines Gliedes dieser arithmetischen Folge zu finden.

Berechnet? Vergleichen Sie Ihre Eingaben mit der Antwort:

Beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl erhalten haben wie bei der vorherigen Methode, als wir die Glieder einer arithmetischen Folge sukzessive zum vorherigen Wert addiert haben.
Versuchen wir, diese Formel zu "entpersonalisieren" - bringen wir sie hinein generelle Form und bekomme:

Arithmetische Progressionsgleichung.

Arithmetische Progressionen nehmen entweder zu oder ab.

Zunehmend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme größer ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Absteigend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme kleiner ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung von Termen sowohl in zunehmenden als auch in abnehmenden Termen einer arithmetischen Progression verwendet.
Schauen wir es uns in der Praxis an.
Wir erhalten eine arithmetische Folge bestehend aus den folgenden Zahlen:

Seit damals:

Daher waren wir davon überzeugt, dass die Formel sowohl bei abnehmender als auch bei zunehmender arithmetischer Progression funktioniert.
Versuchen Sie selbst, die -ten und -ten Glieder dieser arithmetischen Folge zu finden.

Vergleichen wir die Ergebnisse:

Arithmetische Progressionseigenschaft

Lassen Sie uns die Aufgabe komplizieren – wir leiten die Eigenschaft einer arithmetischen Folge ab.
Angenommen, wir haben die folgende Bedingung:
- Arithmetische Progression, finden Sie den Wert.
Ganz einfach, sagst du und zählst nach der Formel, die du schon kennst:

Sei a, dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, dass wir zuerst finden, es dann zur ersten Zahl addieren und bekommen, wonach wir suchen. Wenn die Progression durch kleine Werte dargestellt wird, ist es nicht kompliziert, aber was ist, wenn uns Zahlen in der Bedingung gegeben werden? Stimmen Sie zu, es besteht die Möglichkeit, Fehler in den Berechnungen zu machen.
Überlegen Sie nun, ist es möglich, dieses Problem mit einer Formel in einem Schritt zu lösen? Natürlich, ja, und wir werden versuchen, es jetzt herauszubringen.

Bezeichnen wir den gewünschten Term der arithmetischen Folge so, dass wir die Formel kennen, um ihn zu finden - dies ist die gleiche Formel, die wir am Anfang hergeleitet haben:
, dann:

• Das vorherige Mitglied der Progression ist:
• Das nächste Glied der Progression ist:

Lassen Sie uns die vorherigen und nächsten Mitglieder der Progression zusammenfassen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und nachfolgenden Mitglieder der Progression doppelt so groß ist wie der Wert des Mitglieds der Progression, das sich zwischen ihnen befindet. Mit anderen Worten, um den Wert eines Progressionsmitglieds mit bekannten vorherigen und nachfolgenden Werten zu finden, ist es notwendig, sie zu addieren und durch zu dividieren.

Richtig, wir haben die gleiche Nummer. Lassen Sie uns das Material reparieren. Berechnen Sie den Wert für die Progression selbst, denn es ist überhaupt nicht schwierig.

Gut erledigt! Sie wissen fast alles über Progression! Es bleibt nur eine Formel herauszufinden, die der Legende nach einer der größten Mathematiker aller Zeiten, der "König der Mathematiker" - Karl Gauß, leicht für sich selbst herleiten konnte ...

Als Carl Gauß 9 Jahre alt war, stellte der Lehrer, der damit beschäftigt war, die Arbeiten von Schülern anderer Klassen zu überprüfen, im Unterricht die folgende Aufgabe: „Berechnen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von bis einschließlich (nach anderen Quellen bis einschließlich). " Was war die Überraschung des Lehrers, als einer seiner Schüler (es war Karl Gauß) nach einer Minute die richtige Antwort auf die Aufgabe gab, während die meisten Klassenkameraden des Draufgängers nach langem Rechnen das falsche Ergebnis erhielten ...

Der junge Carl Gauss bemerkte ein Muster, das Sie leicht erkennen können.
Nehmen wir an, wir haben eine arithmetische Folge, die aus -ti Mitgliedern besteht: Wir müssen die Summe der gegebenen Mitglieder der arithmetischen Folge finden. Natürlich können wir alle Werte manuell summieren, aber was ist, wenn wir die Summe ihrer Terme in der Aufgabe finden müssen, wie Gauß gesucht hat?

Lassen Sie uns die uns gegebene Progression darstellen. Schauen Sie sich die hervorgehobenen Zahlen genau an und versuchen Sie, verschiedene mathematische Operationen damit durchzuführen.


Versucht? Was haben Sie bemerkt? Korrekt! Ihre Summen sind gleich

Nun antworte, wie viele solcher Paare wird es in der uns gegebenen Progression geben? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen, also.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe zweier Terme einer arithmetischen Folge gleich ist, und ähnliche gleiche Paare, erhalten wir, dass die Gesamtsumme gleich ist:
.
Somit lautet die Formel für die Summe der ersten Terme jeder arithmetischen Folge:

Bei manchen Problemen kennen wir den Term nicht, aber wir kennen den Progressionsunterschied. Versuchen Sie, in der Summenformel die Formel des th-Gliedes einzusetzen.
Was hast du bekommen?

Gut erledigt! Kehren wir nun zu dem Problem zurück, das Carl Gauß gegeben wurde: Berechnen Sie selbst, was die Summe der Zahlen ist, die mit dem -ten beginnen, und die Summe der Zahlen, die mit dem -ten beginnen.

Wie viel hast du bekommen?
Gauß stellte sich heraus, dass die Summe der Terme gleich ist, und die Summe der Terme. Hast du dich so entschieden?

Tatsächlich wurde die Formel für die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge bereits im 3. Jahrhundert von dem antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus bewiesen, und während dieser ganzen Zeit nutzten witzige Menschen die Eigenschaften einer arithmetischen Folge mit Macht und Kraft.
Stellen Sie sich zum Beispiel vor Antikes Ägypten und die meisten Großbauweise jener Zeit - der Bau der Pyramide ... Die Abbildung zeigt eine Seite davon.

Wo ist hier der Fortschritt, sagst du? Schauen Sie genau hin und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Pyramidenwand.


Warum nicht eine arithmetische Progression? Zählen Sie, wie viele Blöcke benötigt werden, um eine Mauer zu bauen, wenn Blocksteine ​​​​in die Basis gelegt werden. Ich hoffe, Sie werden nicht zählen, indem Sie Ihren Finger über den Monitor bewegen. Erinnern Sie sich an die letzte Formel und alles, was wir über arithmetische Progression gesagt haben?

In diesem Fall sieht der Verlauf so aus:
Arithmetische Progressionsdifferenz.
Die Anzahl der Mitglieder einer arithmetischen Folge.
Lassen Sie uns unsere Daten in die letzten Formeln einsetzen (wir zählen die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt können Sie auch am Monitor rechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Hat es zugestimmt? Gut gemacht, Sie haben die Summe der Terme einer arithmetischen Folge gemeistert.
Natürlich kann man aus den Blöcken an der Basis keine Pyramide bauen, aber aus? Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Sandziegel benötigt werden, um eine Mauer mit dieser Bedingung zu bauen.
Hast du es geschafft?
Die richtige Antwort lautet Blöcke:

Trainieren

Aufgaben:

1. Mascha macht sich fit für den Sommer. Jeden Tag steigert sie die Anzahl der Kniebeugen um. Wie oft wird Masha in Wochen Kniebeugen machen, wenn sie beim ersten Training Kniebeugen gemacht hat?
2. Wie groß ist die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen?
3. Beim Lagern von Stämmen stapeln Holzfäller sie so, dass jede oberste Schicht einen Stamm weniger enthält als die vorherige. Wie viele Baumstämme befinden sich in einem Mauerwerk, wenn die Basis des Mauerwerks Baumstämme sind.

Antworten:

1. Lassen Sie uns die Parameter der arithmetischen Folge definieren. In diesem Fall
   (Wochen = Tage).

   Antworten: In zwei Wochen soll Mascha einmal täglich in die Hocke gehen.

2. Zuerst ungerade Zahl, letzte Zahl.
   Arithmetische Progressionsdifferenz.
   Die Anzahl der ungeraden Zahlen in - halbieren Sie diese Tatsache jedoch mit der Formel zum Auffinden des -ten Gliedes einer arithmetischen Folge:

   Die Zahlen enthalten ungerade Zahlen.
   Wir setzen die verfügbaren Daten in die Formel ein:

   Antworten: Die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen ist gleich.

3. Erinnern Sie sich an das Problem mit den Pyramiden. Da in unserem Fall a jede obere Ebene um einen Balken reduziert wird, gibt es nur eine Reihe von Ebenen.
   Ersetzen Sie die Daten in der Formel:

   Antworten: Es gibt Baumstämme im Mauerwerk.

Zusammenfassen

1. - eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es nimmt zu und ab.
2. Formel finden Glied einer arithmetischen Folge wird durch die Formel - geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Folge ist.
3. Eigenschaft von Gliedern einer arithmetischen Folge- - wo - die Anzahl der Zahlen in der Progression.
4. Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge kann auf zwei Arten gefunden werden:
   
   , wobei die Anzahl der Werte ist.

ARITHMETISCHER FORTSCHRITT. MITTELSTUFE

Numerische Folge

Setzen wir uns hin und schreiben ein paar Zahlen. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten. Aber Sie können immer sagen, welcher von ihnen der erste ist, welcher der zweite ist und so weiter, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge.

Numerische Folge ist eine Reihe von Nummern, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugeordnet werden kann.

Mit anderen Worten, jede Zahl kann einer bestimmten natürlichen Zahl zugeordnet werden, und zwar nur einer. Und wir werden diese Nummer keiner anderen Nummer aus diesem Set zuweisen.

Die Zahl mit der Zahl heißt das -te Glied der Folge.

Wir nennen die ganze Sequenz normalerweise einen Buchstaben (zum Beispiel) und jedes Mitglied dieser Sequenz - denselben Buchstaben mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

Es ist sehr praktisch, wenn das -te Glied der Sequenz durch irgendeine Formel angegeben werden kann. Zum Beispiel die Formel

legt die Reihenfolge fest:

Und die Formel ist die folgende Sequenz:

Beispielsweise ist eine arithmetische Folge eine Folge (der erste Term ist hier gleich und die Differenz). Oder (, Unterschied).

n-te Termformel

Wir nennen eine wiederkehrende Formel eine solche Formel, bei der Sie, um den . Term herauszufinden, den vorherigen oder mehrere vorherige kennen müssen:

Um beispielsweise den ten Term der Progression mit einer solchen Formel zu finden, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Lassen Sie zum Beispiel. Dann:

Nun, jetzt ist klar, was die Formel ist?

In jeder Zeile addieren wir, multipliziert mit einer Zahl. Für was? Ganz einfach: Das ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Viel bequemer jetzt, oder? Wir überprüfen:

Entscheide dich selbst:

Finden Sie in einer arithmetischen Folge die Formel für den n-ten Term und finden Sie den hundertsten Term.

Entscheidung:

Das erste Mitglied ist gleichberechtigt. Und was ist der Unterschied? Und hier ist was:

(Schließlich wird sie Differenz genannt, weil sie gleich der Differenz aufeinanderfolgender Glieder der Progression ist).

Die Formel lautet also:

Dann ist der hundertste Term:

Was ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Der Legende nach, großer Mathematiker Carl Gauß, ein 9-jähriger Junge, berechnete diesen Betrag in wenigen Minuten. Er bemerkte, dass die Summe der ersten und der letzten Zahl gleich ist, die Summe der zweiten und der vorletzten Zahl gleich ist, die Summe der dritten und der 3. vom Ende gleich ist und so weiter. Wie viele solcher Paare gibt es? Richtig, genau die Hälfte aller Zahlen also. So,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge lautet:

Beispiel:
Finden Sie die Summe von allem zweistellige Zahlen, Vielfache.

Entscheidung:

Die erste solche Zahl ist diese. Jede nächste wird durch Hinzufügen einer Zahl zur vorherigen erhalten. Die uns interessierenden Zahlen bilden also mit dem ersten Glied und der Differenz eine arithmetische Folge.

Die Formel für das te Glied dieser Progression lautet:

Wie viele Begriffe sind in der Reihe, wenn sie alle zweistellig sein müssen?

Sehr leicht: .

Das letzte Glied der Progression ist gleich. Dann die Summe:

Antworten: .

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Jeden Tag läuft der Athlet 1m mehr als am Vortag. Wie viele Kilometer wird er in Wochen laufen, wenn er am ersten Tag km m laufen würde?
2. Ein Radfahrer fährt jeden Tag mehr Kilometer als der vorherige. Am ersten Tag reiste er km. Wie viele Tage muss er fahren, um einen Kilometer zurückzulegen? Wie viele Kilometer legt er am letzten Reisetag zurück?
3. Der Preis eines Kühlschranks im Geschäft wird jedes Jahr um denselben Betrag reduziert. Bestimmen Sie, um wie viel der Preis eines Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn er sechs Jahre später für Rubel zum Verkauf angeboten wurde.

Antworten:

1. Das Wichtigste dabei ist, die arithmetische Progression zu erkennen und ihre Parameter zu bestimmen. In diesem Fall (Wochen = Tage). Sie müssen die Summe der ersten Terme dieser Progression bestimmen:
   .
   Antworten:
2. Hier ist es gegeben:, man muss finden.
   Offensichtlich müssen Sie dieselbe Summenformel wie in der vorherigen Aufgabe verwenden:
   .
   Ersetzen Sie die Werte:

   Die Wurzel passt offensichtlich nicht, also die Antwort.
   Berechnen wir die am letzten Tag zurückgelegte Strecke mit der Formel des -ten Terms:
   (km).
   Antworten:

3. Gegeben: . Finden: .
   Einfacher geht es nicht:
   (reiben).
   Antworten:

ARITHMETISCHER FORTSCHRITT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Dies ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Die arithmetische Progression nimmt zu () und ab ().

Zum Beispiel:

Die Formel zum Auffinden des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge

wird als Formel geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Progression ist.

Eigenschaft von Gliedern einer arithmetischen Folge

Es macht es einfach, ein Mitglied der Progression zu finden, wenn seine benachbarten Mitglieder bekannt sind - wo ist die Anzahl der Zahlen in der Progression.

Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Summe zu finden:

Wo ist die Anzahl der Werte.

Wo ist die Anzahl der Werte.

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Probleme finden und lösen!

Jemand behandelt das Wort "Progression" mit Vorsicht, als einen sehr komplexen Begriff aus den Abschnitten höhere Mathematik. In der Zwischenzeit ist die einfachste arithmetische Progression die Arbeit des Taxischalters (wo sie immer noch bleiben). Und die Essenz einer arithmetischen Folge zu verstehen (und in der Mathematik gibt es nichts Wichtigeres als „die Essenz zu verstehen“), ist nicht so schwierig, nachdem man einige elementare Konzepte analysiert hat.

Mathematische Zahlenfolge

Es ist üblich, eine Zahlenfolge als eine Reihe von Zahlen zu bezeichnen, von denen jede ihre eigene Nummer hat.

und 1 das erste Mitglied der Sequenz ist;

und 2 das zweite Mitglied der Sequenz ist;

und 7 ist das siebte Glied der Folge;

und n das n-te Mitglied der Sequenz ist;

Uns interessiert jedoch nicht irgendein beliebiges Zahlen- und Zahlenwerk. Wir werden unsere Aufmerksamkeit auf eine Zahlenfolge richten, bei der der Wert des n-ten Gliedes durch eine mathematisch eindeutig formulierbare Abhängigkeit von seiner Ordnungszahl abhängt. Mit anderen Worten: Der Zahlenwert der n-ten Zahl ist eine Funktion von n.

a - Wert eines Mitglieds der Zahlenfolge;

n - sein Ordnungsnummer;

f(n) ist eine Funktion, bei der die Ordnungszahl in der Zahlenfolge n das Argument ist.

Definition

Eine arithmetische Folge wird normalerweise als Zahlenfolge bezeichnet, bei der jeder nachfolgende Term um die gleiche Zahl größer (kleiner) als der vorherige ist. Die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge lautet wie folgt:

a n - der Wert des aktuellen Mitglieds der arithmetischen Folge;

a n+1 - die Formel der nächsten Zahl;

d - Unterschied (eine bestimmte Zahl).

Es ist leicht festzustellen, dass, wenn die Differenz positiv ist (d > 0), jedes nachfolgende Mitglied der betrachteten Reihe größer sein wird als das vorherige, und eine solche arithmetische Progression zunehmen wird.

In der folgenden Grafik ist leicht zu erkennen, warum die Zahlenfolge "steigend" genannt wird.

In Fällen, in denen die Differenz negativ ist (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Der Wert des angegebenen Members

Manchmal ist es notwendig, den Wert eines beliebigen Gliedes an einer arithmetischen Folge zu bestimmen. Sie können dies tun, indem Sie nacheinander die Werte aller Mitglieder der arithmetischen Folge berechnen, vom ersten bis zum gewünschten. Dieser Weg ist jedoch nicht immer akzeptabel, wenn es beispielsweise darum geht, den Wert des fünftausendsten oder des achtmillionsten Terms zu finden. Die traditionelle Berechnung wird lange dauern. Mit bestimmten Formeln kann jedoch ein bestimmter arithmetischer Verlauf untersucht werden. Auch für den n-ten Term gibt es eine Formel: Der Wert eines beliebigen Gliedes einer arithmetischen Folge lässt sich ermitteln als Summe des ersten Gliedes der Folge mit der Differenz der Folge, multipliziert mit der Nummer des gewünschten Gliedes minus eins .

Die Formel ist universell für zunehmende und abnehmende Progression.

Ein Beispiel für die Berechnung des Werts eines bestimmten Mitglieds

Lassen Sie uns das folgende Problem lösen, um den Wert des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge zu finden.

Bedingung: Es gibt eine arithmetische Folge mit Parametern:

Das erste Mitglied der Sequenz ist 3;

Die Differenz in der Zahlenreihe beträgt 1,2.

Aufgabe: Es ist notwendig, den Wert von 214 Termen zu finden

Lösung: Um den Wert eines bestimmten Mitglieds zu bestimmen, verwenden wir die Formel:

a(n) = a1 + d(n-1)

Wenn wir die Daten aus der Problemstellung in den Ausdruck einsetzen, haben wir:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Antwort: Das 214. Glied der Folge ist gleich 258,6.

Die Vorteile dieser Berechnungsmethode liegen auf der Hand - die gesamte Lösung dauert nicht länger als 2 Zeilen.

Summe einer bestimmten Anzahl von Mitgliedern

Sehr oft ist es in einer bestimmten arithmetischen Reihe erforderlich, die Summe der Werte einiger ihrer Segmente zu bestimmen. Es muss auch nicht die Werte der einzelnen Terme berechnen und dann aufsummieren. Dieses Verfahren ist anwendbar, wenn die Anzahl der Terme, deren Summe gefunden werden muss, klein ist. In anderen Fällen ist es bequemer, die folgende Formel zu verwenden.

Die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge von 1 bis n ist gleich der Summe der ersten und n-ten Glieder, multipliziert mit der Gliednummer n und dividiert durch zwei. Wenn in der Formel der Wert des n-ten Elements durch den Ausdruck aus dem vorherigen Absatz des Artikels ersetzt wird, erhalten wir:

Rechenbeispiel

Lassen Sie uns beispielsweise ein Problem mit den folgenden Bedingungen lösen:

Der erste Term der Folge ist Null;

Der Unterschied beträgt 0,5.

In der Aufgabe ist es erforderlich, die Summe der Terme der Reihe von 56 bis 101 zu bestimmen.

Entscheidung. Verwenden wir die Formel zur Bestimmung der Summe der Progression:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Zuerst bestimmen wir die Summe der Werte von 101 Mitgliedern der Progression, indem wir die gegebenen Bedingungen unseres Problems in die Formel einsetzen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Um die Summe der Terme der Progression vom 56. zum 101. zu ermitteln, ist es offensichtlich notwendig, S 55 von S 101 zu subtrahieren.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Die Summe der arithmetischen Progression für dieses Beispiel ist also:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Beispiel für die praktische Anwendung der arithmetischen Progression

Kehren wir am Ende des Artikels zum Beispiel der arithmetischen Folge aus dem ersten Absatz zurück - einem Taxameter (Taxiautozähler). Betrachten wir ein solches Beispiel.

Das Einsteigen in ein Taxi (das 3 km umfasst) kostet 50 Rubel. Jeder weitere Kilometer wird mit 22 Rubel / km bezahlt. Fahrstrecke 30 km. Berechnen Sie die Reisekosten.

1. Lassen Sie uns die ersten 3 km verwerfen, deren Preis in den Landekosten enthalten ist.

30 - 3 = 27 km.

2. Weiterrechnen ist nichts anderes als das Parsen einer arithmetischen Zahlenreihe.

Die Mitgliedsnummer ist die Anzahl der gefahrenen Kilometer (abzüglich der ersten drei).

Der Wert des Mitglieds ist die Summe.

Der erste Term in diesem Problem entspricht einer 1 = 50 Rubel.

Progressionsdifferenz d = 22 p.

die uns interessierende Zahl ist der Wert des (27 + 1)-ten Gliedes der arithmetischen Folge - der Zählerstand am Ende des 27. Kilometers ist 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Berechnungen von Kalenderdaten für einen beliebig langen Zeitraum basieren auf Formeln, die bestimmte Zahlenfolgen beschreiben. In der Astronomie ist die Länge der Umlaufbahn geometrisch abhängig vom Abstand des Himmelskörpers zum Leuchtkörper. Darüber hinaus werden verschiedene Zahlenreihen erfolgreich in der Statistik und anderen angewandten Teilgebieten der Mathematik eingesetzt.

Eine andere Art von Zahlenfolge ist geometrisch

Eine geometrische Progression ist durch eine große, verglichen mit einer arithmetischen, Änderungsrate gekennzeichnet. Es ist kein Zufall, dass in Politik, Soziologie und Medizin oft gesagt wird, dass sich der Prozess exponentiell entwickelt, um die hohe Ausbreitungsgeschwindigkeit eines bestimmten Phänomens, beispielsweise einer Krankheit während einer Epidemie, zu zeigen.

Das N-te Mitglied der geometrischen Zahlenreihe unterscheidet sich von der vorherigen dadurch, dass es mit einer konstanten Zahl multipliziert wird - der Nenner, zum Beispiel, das erste Mitglied ist 1, der Nenner ist jeweils 2, dann:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - der Wert des aktuellen Mitglieds der geometrischen Folge;

b n+1 - die Formel des nächsten Mitglieds der geometrischen Folge;

q ist der Nenner einer geometrischen Folge (konstante Zahl).

Wenn der Graph einer arithmetischen Progression eine Gerade ist, dann zeichnet die geometrische ein etwas anderes Bild:

Wie bei der Arithmetik hat eine geometrische Folge eine Formel für den Wert eines beliebigen Mitglieds. Jeder n-te Term einer geometrischen Progression ist gleich dem Produkt aus dem ersten Term und dem Nenner der Progression hoch n, reduziert um eins:

Beispiel. Wir haben eine geometrische Progression mit dem ersten Term gleich 3 und dem Nenner der Progression gleich 1,5. Finden Sie das 5. Glied der Progression

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Die Summe einer bestimmten Anzahl von Mitgliedern wird ebenfalls nach einer speziellen Formel berechnet. Die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge ist gleich der Differenz zwischen dem Produkt des n-ten Glieds der Folge und ihrem Nenner und dem ersten Glied der Folge, dividiert durch den um eins reduzierten Nenner:

Wenn b n mit der oben diskutierten Formel ersetzt wird, nimmt der Wert der Summe der ersten n Mitglieder der betrachteten Zahlenreihe die Form an:

Beispiel. Die geometrische Progression beginnt mit dem ersten Term gleich 1. Der Nenner wird gleich 3 gesetzt. Lassen Sie uns die Summe der ersten acht Terme finden.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Die Summe einer arithmetischen Progression.

Die Summe einer arithmetischen Folge ist eine einfache Sache. Sowohl in der Bedeutung als auch in der Formel. Aber es gibt allerlei Aufgaben zu diesem Thema. Von elementar bis ziemlich solide.

Beschäftigen wir uns zunächst mit der Bedeutung und Formel der Summe. Und dann entscheiden wir. Zu Ihrem eigenen Vergnügen.) Die Bedeutung der Summe ist so einfach wie Lowing. Um die Summe einer arithmetischen Folge zu finden, müssen Sie nur alle ihre Mitglieder sorgfältig addieren. Wenn diese Terme wenige sind, können Sie ohne Formeln hinzufügen. Aber wenn es viel ist, oder viel ... Addition ist ärgerlich.) In diesem Fall spart die Formel.

Die Summenformel ist einfach:

Lassen Sie uns herausfinden, welche Art von Buchstaben in der Formel enthalten sind. Das wird einiges aufklären.

Sn ist die Summe einer arithmetischen Folge. Additionsergebnis alles Mitglieder, mit Erste An letzte. Es ist wichtig. Füge genau hinzu alles Mitglieder in einer Reihe, ohne Lücken und Sprünge. Und, genau, ab Erste. Bei Problemen wie dem Ermitteln der Summe des dritten und achten Glieds oder der Summe der Glieder fünf bis zwanzig wird die direkte Anwendung der Formel enttäuschend sein.)

eine 1 - Erste Mitglied der Progression. Hier ist alles klar, es ist einfach Erste Zeilennummer.

ein- letzte Mitglied der Progression. Die letzte Zahl der Zeile. Kein sehr geläufiger Name, aber auf die Menge bezogen sehr passend. Dann wirst du es selbst sehen.

n ist die Nummer des letzten Mitglieds. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Zahl in der Formel enthalten ist stimmt mit der Anzahl der hinzugefügten Mitglieder überein.

Lassen Sie uns das Konzept definieren letzte Mitglied ein. Füllfrage: Welche Art von Mitglied wird letzte, falls gegeben endlos arithmetische Folge?

Für eine sichere Antwort müssen Sie die elementare Bedeutung einer arithmetischen Folge verstehen und ... die Aufgabe sorgfältig lesen!)

Bei der Aufgabe, die Summe einer arithmetischen Folge zu finden, erscheint immer der letzte Term (direkt oder indirekt), was begrenzt werden soll. Andernfalls eine endliche, bestimmte Menge existiert einfach nicht. Für die Lösung spielt es keine Rolle, welche Progression gegeben ist: endlich oder unendlich. Es spielt keine Rolle, wie es gegeben ist: durch eine Reihe von Zahlen oder durch die Formel des n-ten Glieds.

Das Wichtigste ist zu verstehen, dass die Formel vom ersten Glied der Progression bis zum Glied mit der Zahl funktioniert n. Eigentlich sieht der vollständige Name der Formel so aus: die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge. Die Zahl dieser allerersten Mitglieder, d.h. n, wird allein durch die Aufgabenstellung bestimmt. In der Aufgabe werden all diese wertvollen Informationen oft verschlüsselt, ja ... Aber nichts, in den folgenden Beispielen werden wir diese Geheimnisse enthüllen.)

Beispiele für Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge.

Erstmal nützliche Informationen:

Die Hauptschwierigkeit bei Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge ist die richtige Bestimmung der Elemente der Formel.

Die Autoren der Aufgaben verschlüsseln genau diese Elemente mit grenzenloser Fantasie.) Die Hauptsache hier ist, keine Angst zu haben. Um die Essenz der Elemente zu verstehen, genügt es, sie zu entziffern. Schauen wir uns einige Beispiele im Detail an. Beginnen wir mit einer Aufgabe, die auf einem echten GIA basiert.

1. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben: a n = 2n-3,5. Finde die Summe der ersten 10 Terme.

Gut gemacht. Einfach.) Was müssen wir wissen, um die Menge nach der Formel zu bestimmen? Erstes Mitglied eine 1, das letzte Semester ein, ja die Nummer des letzten Begriffs n.

Wo bekommt man die letzte Mitgliedsnummer n? Ja, an gleicher Stelle, im Zustand! Es sagt, finden Sie die Summe ersten 10 Mitglieder. Nun, welche Nummer wird es sein letzte, zehntes Mitglied?) Sie werden es nicht glauben, seine Nummer ist das zehnte!) Daher statt ein wir werden in die Formel einsetzen eine 10, aber stattdessen n- zehn. Auch hier ist die Nummer des letzten Mitglieds gleich der Anzahl der Mitglieder.

Es bleibt zu bestimmen eine 1 und eine 10. Dies lässt sich leicht durch die Formel des n-ten Terms berechnen, die in der Aufgabenstellung angegeben ist. Sie wissen nicht, wie es geht? Besuchen Sie die vorherige Lektion, ohne dies - nichts.

eine 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

eine 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

Sn = S10.

Wir haben die Bedeutung aller Elemente der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge herausgefunden. Es bleibt, sie zu ersetzen und zu zählen:

Das ist alles dazu. Antwort: 75.

Eine weitere Aufgabe basierend auf dem GIA. Etwas komplizierter:

2. Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n), deren Differenz 3,7 beträgt; ein 1 \u003d 2,3. Finde die Summe der ersten 15 Terme.

Wir schreiben sofort die Summenformel:

Diese Formel ermöglicht es uns, den Wert eines beliebigen Mitglieds anhand seiner Nummer zu ermitteln. Wir suchen nach einer einfachen Substitution:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Es bleibt übrig, alle Elemente in der Formel durch die Summe einer arithmetischen Folge zu ersetzen und die Antwort zu berechnen:

Antwort: 423.

Übrigens, wenn in der Summenformel statt ein ersetzen Sie einfach die Formel des n-ten Terms, wir erhalten:

Geben wir ähnliche an, erhalten wir eine neue Formel für die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge:

Wie Sie sehen, wird hier der n-te Term nicht benötigt. ein. Bei manchen Aufgaben hilft diese Formel sehr, ja ... Sie können sich diese Formel merken. Und Sie können es einfach zum richtigen Zeitpunkt abheben, wie hier. Schließlich muss man sich die Formel für die Summe und die Formel für den n-ten Term unbedingt merken.)

Nun die Aufgabe in Form einer kurzen Verschlüsselung):

3. Finden Sie die Summe aller positiven zweistelligen Zahlen, die ein Vielfaches von drei sind.

Wie! Kein erstes Mitglied, kein letztes, überhaupt keine Progression ... Wie soll man leben!?

Sie müssen mit Ihrem Kopf denken und aus der Bedingung alle Elemente der Summe einer arithmetischen Folge ziehen. Was sind zweistellige Zahlen - wir wissen es. Sie bestehen aus zwei Zahlen.) Welche zweistellige Zahl wird Erste? 10, vermutlich.) letztes Ding zweistellige Zahl? 99 natürlich! Die dreistelligen werden ihm folgen ...

Vielfache von drei... Hm... Das sind hier Zahlen, die ohne Rest durch drei teilbar sind! Zehn ist nicht durch drei teilbar, 11 ist nicht teilbar... 12... ist teilbar! Es entsteht also etwas. Sie können je nach Problemstellung bereits eine Reihe schreiben:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Wird diese Reihe eine arithmetische Folge sein? Sicherlich! Jeder Begriff unterscheidet sich vom vorherigen strikt um drei. Wenn dem Term beispielsweise 2 oder 4 hinzugefügt wird, ist das Ergebnis, d.h. eine neue Zahl wird nicht mehr durch 3 geteilt. Sie können sofort die Differenz der arithmetischen Progression zum Haufen feststellen: d = 3. Nützlich!)

Wir können also sicher einige Progressionsparameter aufschreiben:

Wie wird die Nummer sein n letztes Mitglied? Wer denkt, dass 99 irrt, der irrt gewaltig ... Zahlen - sie gehen immer hintereinander, und unsere Mitglieder springen über die ersten Drei. Sie passen nicht zusammen.

Hier gibt es zwei Lösungen. Ein Weg ist für die super Fleißigen. Sie können den Verlauf, die ganze Zahlenreihe malen und die Anzahl der Begriffe mit dem Finger zählen.) Der zweite Weg ist für die Nachdenklichen. Sie müssen sich die Formel für den n-ten Term merken. Wenn wir die Formel auf unser Problem anwenden, erhalten wir, dass 99 das dreißigste Mitglied der Progression ist. Jene. n = 30.

Wir betrachten die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge:

Wir schauen und freuen uns.) Wir haben alles Notwendige herausgezogen, um den Betrag aus dem Zustand des Problems zu berechnen:

eine 1= 12.

eine 30= 99.

Sn = S30.

Was bleibt, ist elementare Arithmetik. Ersetzen Sie die Zahlen in der Formel und berechnen Sie:

Antwort: 1665

Eine andere Art von beliebten Rätseln:

4. Eine arithmetische Progression ist gegeben:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Ermitteln Sie die Summe der Terme vom zwanzigsten bis zum vierunddreißigsten.

Wir sehen uns die Summenformel an und ... wir sind verärgert.) Die Formel, ich möchte Sie daran erinnern, berechnet die Summe vom ersten Mitglied. Und in dem Problem müssen Sie die Summe berechnen seit dem zwanzigsten... Die Formel wird nicht funktionieren.

Sie können natürlich die gesamte Progression hintereinander malen und die Mitglieder von 20 bis 34 setzen. Aber ... irgendwie stellt sich das als dumm und lang heraus, oder?)

Es gibt eine elegantere Lösung. Lassen Sie uns unsere Serie in zwei Teile aufteilen. Der erste Teil wird von der ersten Amtszeit bis zum neunzehnten. Zweiter Teil - zwanzig bis vierunddreißig. Das ist klar, wenn wir die Summe der Terme des ersten Teils berechnen S1-19, addieren wir es zur Summe der Mitglieder des zweiten Teils S 20-34, erhalten wir die Summe der Progression vom ersten Term bis zum vierunddreißigsten S1-34. So:

S1-19 + S 20-34 = S1-34

Dies zeigt, dass die Summe zu finden S 20-34 kann durch einfache Subtraktion erfolgen

S 20-34 = S1-34 - S1-19

Beide Summen auf der rechten Seite werden berücksichtigt vom ersten Mitglied, d.h. die Standard-Summenformel ist durchaus anwendbar auf sie. Fangen wir an?

Wir extrahieren die Progressionsparameter aus der Aufgabenbedingung:

d = 1,5.

eine 1= -21,5.

Um die Summen der ersten 19 und der ersten 34 Terme zu berechnen, benötigen wir den 19. und 34. Term. Wir zählen sie nach der Formel des n-ten Terms, wie in Aufgabe 2:

eine 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

eine 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nichts ist übriggeblieben. Subtrahiere die Summe von 19 Termen von der Summe von 34 Termen:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Antwort: 262.5

Ein wichtiger Hinweis! Es gibt eine sehr nützliche Funktion zur Lösung dieses Problems. Statt direkter Berechnung was du brauchst (S 20-34), wir haben gezählt was anscheinend nicht benötigt wird - S 1-19. Und dann haben sie entschieden S 20-34, wobei das Unnötige aus dem vollständigen Ergebnis verworfen wird. Eine solche "Täuschung mit den Ohren" erspart oft böse Rätsel.)

In dieser Lektion haben wir Probleme untersucht, für die es ausreicht, die Bedeutung der Summe einer arithmetischen Folge zu verstehen. Nun, Sie müssen ein paar Formeln kennen.)

Praktische Ratschläge:

Wenn Sie ein Problem für die Summe einer arithmetischen Folge lösen, empfehle ich, die beiden Hauptformeln aus diesem Thema sofort aufzuschreiben.

Formel des n-ten Terms:

Diese Formeln sagen Ihnen sofort, wonach Sie suchen müssen, in welche Richtung Sie denken müssen, um das Problem zu lösen. Hilft.

Und nun die Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

5. Finde die Summe aller zweistelligen Zahlen, die nicht durch drei teilbar sind.

Cool?) Der Hinweis ist in der Notiz zu Aufgabe 4 versteckt. Nun, Aufgabe 3 wird helfen.

6. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben: a 1 = –5,5; ein n+1 = ein n +0,5. Finde die Summe der ersten 24 Terme.

Ungewöhnlich?) Dies ist eine wiederkehrende Formel. Sie können darüber in der vorherigen Lektion lesen. Ignorieren Sie den Link nicht, solche Rätsel sind häufig im GIA zu finden.

7. Vasya hat Geld für den Urlaub gespart. So viel wie 4550 Rubel! Und ich beschloss, der am meisten geliebten Person (mich) ein paar Tage des Glücks zu schenken). Lebe schön, ohne dir etwas zu versagen. Geben Sie am ersten Tag 500 Rubel aus und geben Sie an jedem weiteren Tag 50 Rubel mehr aus als am vorherigen! Bis das Geld aufgebraucht ist. Wie viele glückliche Tage hatte Vasya?

Ist es schwierig?) Eine zusätzliche Formel aus Aufgabe 2 hilft weiter.

Antworten (in Unordnung): 7, 3240, 6.

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.