Definition des Sinus des Cosinus der Tangente eines spitzen rechten Winkels. Konsolidierung von neuem Material. Reduktionsformeln

Betrachten Sie zuerst einen Kreis mit dem Radius 1 und zentriert bei (0;0). Für jedes αЄR kann man einen Radius 0A zeichnen, sodass das Bogenmaß des Winkels zwischen 0A und der 0x-Achse gleich α ist. Die Richtung gegen den Uhrzeigersinn wird als positiv angesehen. Das Ende des Radius A habe die Koordinaten (a,b).

Definition von Sinus

Definition: Die Zahl b, gleich der Ordinate des auf die beschriebene Weise konstruierten Einheitsradius, wird mit sinα bezeichnet und heißt Sinus des Winkels α.

Beispiel: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Definition von Kosinus

Definition: Die Zahl a, gleich der Abszisse des Endes des auf die beschriebene Weise konstruierten Einheitsradius, wird mit cosα bezeichnet und heißt Kosinus des Winkels α.

Beispiel: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Diese Beispiele verwenden die Definition des Sinus und Cosinus eines Winkels in Bezug auf die Koordinaten der Einheit Radius end und Einheitskreis. Für eine visuellere Darstellung ist es notwendig, einen Einheitskreis zu zeichnen und die entsprechenden Punkte darauf zu zeichnen und dann ihre Abszissen zu berechnen, um den Kosinus zu berechnen, und ihre Ordinaten, um den Sinus zu berechnen.

Definition von Tangente

Definition: Die Funktion tgx=sinx/cosx für x≠π/2+πk, k´Z, heißt Kotangens des Winkels x. Domain tgx-Funktionen das sind alles reelle Zahlen außer x=π/2+πn, n´Z.

Beispiel: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Dieses Beispiel ähnelt dem vorherigen. Um den Tangens eines Winkels zu berechnen, musst du die Ordinate eines Punktes durch seine Abszisse teilen.

Definition von Kotangens

Definition: Die Funktion ctgx=cosx/sinx bei x≠πk, k´Z heißt Kotangens des Winkels x. Definitionsbereich der Funktion ctgx = - alle reellen Zahlen außer den Punkten x=πk, k´Z.

Betrachten Sie ein Beispiel für ein gewöhnliches rechtwinkliges Dreieck

Um es klarer zu machen, was ist Kosinus, Sinus, Tangens und Kotangens. Betrachten Sie ein Beispiel für ein gewöhnliches rechtwinkliges Dreieck mit Winkel y und Seiten a,b,c. Hypotenuse c, Beine a bzw. b. Winkel zwischen Hypotenuse c und Schenkel b y.

Definition: Der Sinus des Winkels y ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse: siny \u003d a / c

Definition: Der Kosinus des Winkels y ist das Verhältnis des Nachbarschenkels zur Hypotenuse: сosy= v/s

Definition: Der Tangens des Winkels y ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten: tgy = a / b

Definition: Der Kotangens des Winkels y ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden: ctgy = in / a

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens werden auch trigonometrische Funktionen genannt. Jeder Winkel hat seinen eigenen Sinus und Kosinus. Und fast jeder hat seinen eigenen Tangens und Kotangens.

Es wird angenommen, dass uns Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens bekannt sind, wenn uns ein Winkel gegeben wird! Umgekehrt. Angesichts des Sinus bzw. jeder anderen trigonometrischen Funktion kennen wir den Winkel. Es wurden sogar spezielle Tabellen erstellt, in denen trigonometrische Funktionen für jeden Winkel geschrieben sind.

Was der Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens eines Winkels ist, wird dir helfen, ein rechtwinkliges Dreieck zu verstehen.

Wie heißen die Seiten? rechtwinkliges Dreieck? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite \ (AC \) ); die Beine sind die beiden verbleibenden Seiten \ (AB \) und \ (BC \) (diejenigen, die benachbart sind rechter Winkel), außerdem, wenn wir die Beine in Bezug auf den Winkel \ (BC \) betrachten, dann ist das Bein \ (AB \) das benachbarte Bein und das Bein \ (BC \) das gegenüberliegende. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?

Sinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Winkel Tangente- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zum benachbarten (nahen).

In unserem Dreieck:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).

In unserem Dreieck:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC)\]

Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein durch was geteilt werden muss, müssen Sie das klar verstehen Tangente und Kotangens nur die Beine sitzen, und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieser:

Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;

Kotangens → Berührung → Berührung → benachbart.

Zunächst ist zu beachten, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (in einem Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann stellen Sie sicher, indem Sie sich das Bild ansehen:

Betrachten wir zum Beispiel den Kosinus des Winkels \(\beta \) . Per Definition aus einem Dreieck \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), aber wir können den Kosinus des Winkels \(\beta \) aus dem Dreieck \(AHI \) berechnen: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist gleich. Somit hängen die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.

Wenn Sie die Definitionen verstehen, dann machen Sie weiter und beheben Sie sie!

Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck \(ABC \) finden wir \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Na, hast du es verstanden? Dann versuchen Sie es selbst: Berechnen Sie dasselbe für den Winkel \(\beta \) .

Antworten: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Einheitskreis (trigonometrischer Kreis).

Nachdem wir die Konzepte von Grad und Radiant verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich \ (1 \) . Ein solcher Kreis heißt Single. Es ist sehr nützlich beim Studium der Trigonometrie. Deshalb gehen wir etwas ausführlicher darauf ein.

Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem aufgebaut. Kreisradius gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius \(AB \) ).

Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Koordinate entlang der Achse \(x \) und der Koordinate entlang der Achse \(y \) . Was sind diese Koordinatenzahlen? Und überhaupt, was haben sie mit dem Thema zu tun? Denken Sie dazu an das betrachtete rechtwinklige Dreieck. In der obigen Abbildung sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie das Dreieck \(ACG \) . Es ist rechteckig, weil \(CG \) senkrecht zur \(x \)-Achse steht.

Was ist \(\cos \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Alles ist richtig \(\cos\\alpha=\dfrac(AG)(AC)\). Außerdem wissen wir, dass \(AC \) der Radius des Einheitskreises ist, also \(AC=1 \) . Setzen Sie diesen Wert in unsere Kosinusformel ein. Folgendes passiert:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Und was ist \(\sin \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Nun, natürlich, \(\sin\alpha=\dfrac(CG)(AC)\)! Setzen Sie den Wert des Radius \ (AC \) in diese Formel ein und erhalten Sie:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Können Sie mir also sagen, was die Koordinaten des Punktes \(C \) sind, der zum Kreis gehört? Nun, auf keinen Fall? Aber was, wenn Sie erkennen, dass \(\cos \ \alpha \) und \(\sin \alpha \) nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht \(\cos \alpha \)? Nun, natürlich ist die Koordinate \(x \) ! Und welcher Koordinate entspricht \(\sin \alpha \)? Richtig, die \(y\)-Koordinate! Also der Punkt \(C(x;y)=C(\cos\alpha;\sin\alpha)\).

Was sind dann \(tg \alpha \) und \(ctg \alpha \) ? Das ist richtig, lass uns die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens verwenden und das bekommen \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Hier zum Beispiel, wie auf diesem Bild:

Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Finden wir es heraus. Dazu wenden wir uns wieder einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ein Winkel (als Nebenwinkel \(\beta \) ). Welchen Wert haben Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate \ (y \) ; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate \ (x \) ; und die Werte von Tangens und Kotangens zu den entsprechenden Verhältnissen. Somit sind diese Beziehungen auf beliebige Drehungen des Radiusvektors anwendbar.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel einer bestimmten Größe, aber nur er wird negativ sein. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.

Wir wissen also, dass die gesamte Umdrehung des Radiusvektors um den Kreis \(360()^\circ \) oder \(2\pi \) ist. Ist es möglich, den Radiusvektor um \(390()^\circ \) oder um \(-1140()^\circ \) zu drehen? Nun, natürlich können Sie! Im ersten Fall, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), also macht der Radiusvektor eine volle Umdrehung und stoppt bei \(30()^\circ \) oder \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Im zweiten Fall \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), das heißt, der Radiusvektor macht drei vollständige Umdrehungen und stoppt an der Position \(-60()^\circ \) oder \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Aus den obigen Beispielen können wir also schließen, dass Winkel, die sich um \(360()^\circ \cdot m \) oder \(2\pi \cdot m \) unterscheiden (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist) entsprechen der gleichen Position des Radiusvektors.

Die folgende Abbildung zeigt den Winkel \(\beta =-60()^\circ \) . Dasselbe Bild entspricht der Ecke \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortführen. Alle diese Winkel können mit der allgemeinen Formel geschrieben werden \(\beta +360()^\circ \cdot m\) oder \(\beta +2\pi \cdot m \) (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Versuchen Sie nun, nachdem Sie die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen kennen und den Einheitskreis verwenden, zu beantworten, was die Werte gleich sind:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen hilft:

Irgendwelche Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Das wissen wir also:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: die Ecke rein \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten \(\left(0;1 \right) \) , also:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- existiert nicht;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Wenn wir uns an die gleiche Logik halten, stellen wir außerdem fest, dass die Ecken innen sind \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) entsprechen Punkten mit Koordinaten \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), bzw. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zuerst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- existiert nicht

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rechtspfeil \text(tg)\ 270()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin\360()^\circ=0\)

\(\cos\360()^\circ=1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- existiert nicht

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Somit können wir folgende Tabelle erstellen:

Es ist nicht nötig, sich all diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Muss sich merken oder ausgeben können!! \) !}

Und hier sind die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) In der folgenden Tabelle müssen Sie Folgendes beachten:

Keine Angst, jetzt zeigen wir eines der Beispiele für ein ziemlich einfaches Auswendiglernen der entsprechenden Werte:

Um diese Methode zu verwenden, ist es wichtig, sich die Sinuswerte für alle drei Winkelmaße zu merken ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), sowie den Wert des Tangens des Winkels in \(30()^\circ \) . Wenn Sie diese \(4 \)-Werte kennen, können Sie ganz einfach die gesamte Tabelle wiederherstellen - die Kosinuswerte werden gemäß den Pfeilen übertragen, dh:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Wenn Sie dies wissen, ist es möglich, die Werte für wiederherzustellen \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Der Zähler „\(1 \) “ entspricht \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , und der Nenner „\(\sqrt(\text(3)) \) “ entspricht \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung gezeigten Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich an das Schema mit Pfeilen erinnern, reicht es aus, sich nur \(4 \) Werte aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden, wenn man die Koordinaten des Kreismittelpunkts, seinen Radius und seinen Rotationswinkel kennt? Nun, natürlich können Sie! Lassen Sie uns herausbringen allgemeine Formel um die Koordinaten eines Punktes zu finden. Hier haben wir zum Beispiel einen solchen Kreis:

Dieser Punkt ist uns gegeben \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist \(1,5 \) . Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes \(P \) zu finden, die durch Drehen des Punktes \(O \) um \(\delta \) Grad erhalten werden.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate \ (x \) des Punktes \ (P \) der Länge des Segments \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Die Länge des Segments \ (UK \) entspricht der Koordinate \ (x \) des Kreismittelpunkts, dh sie ist gleich \ (3 \) . Die Länge des Segments \(KQ \) kann mit der Definition von Kosinus ausgedrückt werden:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Dann haben wir für den Punkt \(P\) die Koordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Durch die gleiche Logik finden wir den Wert der y-Koordinate für den Punkt \(P\) . Auf diese Weise,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Also rein Gesamtansicht Punktkoordinaten werden durch die Formeln bestimmt:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), wo

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - Koordinaten des Kreismittelpunkts,

\(r\) - Kreisradius,

\(\delta \) - Rotationswinkel des Vektorradius.

Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Zentrums Null sind und der Radius gleich Eins ist:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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Lektion zum Thema "Sinus, Cosinus und Tangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks"

Unterrichtsziele:

pädagogisch - Einführung in das Konzept von Sinus, Cosinus, Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck, Erforschung der Abhängigkeiten und Beziehungen zwischen diesen Größen;

Entwicklung - die Bildung des Konzepts von Sinus, Cosinus, Tangens als Funktionen eines Winkels, Definitionsbereich trigonometrischer Funktionen, Entwicklung logisches Denken, die Entwicklung der korrekten mathematischen Sprache;

pädagogisch - Entwicklung der Fähigkeit zur unabhängigen Arbeit, Verhaltenskultur, Genauigkeit bei der Führung von Aufzeichnungen.

Ablauf der Lektion:

1. Zeit organisieren

„Bildung ist nicht die Anzahl der gehörten Lektionen, sondern die Anzahl der verstandenen. Wenn Sie also vorwärts gehen wollen, dann beeilen Sie sich langsam und seien Sie vorsichtig.

2. Unterrichtsmotivation.

Ein weiser Mann sagte: „Die höchste Manifestation des Geistes ist der Verstand. Die höchste Manifestation des Geistes ist die Geometrie. Die Geometriezelle ist ein Dreieck. Es ist so unerschöpflich wie das Universum. Der Kreis ist die Seele der Geometrie. Kenne den Umfang, und du wirst nicht nur die Seele der Geometrie kennen, sondern du wirst deine Seele erheben.“

Gemeinsam werden wir versuchen, ein wenig zu recherchieren. Lassen Sie uns alle Ideen teilen, die Ihnen in den Sinn kommen, und haben Sie keine Angst, einen Fehler zu machen, jeder Gedanke kann uns eine neue Richtung für die Suche geben. Lassen Sie unsere Errungenschaften niemandem groß erscheinen, aber sie werden unsere eigenen Errungenschaften sein!

3. Aktualisierung des Grundwissens.

Was sind die Winkel?

Was sind Dreiecke?

Was sind die Hauptelemente, die ein Dreieck definieren?

Was sind Dreiecke basierend auf Seiten?

Was sind Dreiecke basierend auf Winkeln?

Was ist ein Kathet?

Was ist eine Hypotenuse?

Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks?

Welche Beziehungen bestehen zwischen den Seiten und Winkeln dieses Dreiecks?

Warum müssen Sie die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln kennen?

Welche Aufgaben aus dem Leben können dazu führen, dass unbekannte Seiten in einem Dreieck berechnet werden müssen?

Der Begriff „Hypotenuse“ kommt vom griechischen Wort „iponeinous“ und bedeutet „über etwas strecken“, „ziehen“. Das Wort stammt vom Bild der antiken griechischen Harfen, bei denen die Saiten an den Enden zweier senkrecht zueinander stehender Ständer gespannt sind. Der Begriff „katetos“ kommt vom griechischen Wort „katetos“, was den Anfang von „Senklot“, „senkrecht“ bedeutet.

Euklid sagte: "Die Beine sind die Seiten, die einen rechten Winkel bilden."

BEIM Antikes Griechenland ein Verfahren zum Konstruieren eines rechtwinkligen Dreiecks auf dem Boden war bereits bekannt. Dazu wurde ein Seil verwendet, an dem 13 Knoten im gleichen Abstand zueinander gebunden waren. Beim Bau der Pyramiden in Ägypten wurden auf diese Weise rechtwinklige Dreiecke hergestellt. Das ist wahrscheinlich der Grund, warum ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 3,4,5 das ägyptische Dreieck genannt wurde.

4. Neues Material lernen.

In der Antike folgten die Menschen den Koryphäen und führten auf der Grundlage dieser Beobachtungen einen Kalender, berechneten die Aussaatdaten, die Zeit der Flut von Flüssen; Schiffe auf dem Meer, Karawanen an Land wurden von den Sternen geleitet. All dies führte dazu, dass man lernen musste, wie man die Seiten eines Dreiecks berechnet, von dem zwei Eckpunkte auf dem Boden liegen und der dritte durch einen Punkt am Sternenhimmel dargestellt wird. Basierend auf diesem Bedürfnis entstand eine Wissenschaft – die Trigonometrie – eine Wissenschaft, die die Beziehungen zwischen den Seiten in einem Dreieck untersucht.

Was meinen Sie, reichen die uns bereits bekannten Zusammenhänge aus, um solche Probleme zu lösen?

Ziel der heutigen Lektion ist es, neue Zusammenhänge und Abhängigkeiten zu erforschen, Beziehungen abzuleiten, anhand derer Sie in den nächsten Geometrielektionen solche Probleme lösen können.

Versetzen wir uns in die Rolle von Wissenschaftlern und folgen wir den antiken Genies Thales, Euklid, Pythagoras den Weg der Wahrheitssuche.

Dazu brauchen wir eine theoretische Grundlage.

Markiere Ecke A und Bein BC rot.

Markieren in grün Katheter AS.

Lassen Sie uns berechnen, welcher Teil das gegenüberliegende Bein für einen spitzen Winkel A zu seiner Hypotenuse ist, dazu setzen wir das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse zusammen:

Diese Beziehung hat einen besonderen Namen – so dass jeder Mensch in jedem Punkt des Planeten das versteht wir redenüber die Zahl, die das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels des spitzen Winkels zur Hypotenuse darstellt. Das Wort ist Sinus. Schreib es auf. Da das Wort Sinus ohne den Namen des Winkels jede Bedeutung verliert, lautet die mathematische Notation wie folgt:

Machen Sie nun das Verhältnis des angrenzenden Beins zur Hypotenuse für den spitzen Winkel A:

Dieses Verhältnis wird Kosinus genannt. Seine mathematische Notation:

Betrachten Sie eine weitere Beziehung für einen spitzen Winkel A: das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein:

Dieses Verhältnis wird Tangente genannt. Seine mathematische Notation:

5. Konsolidierung von neuem Material.

Konsolidieren wir unsere Zwischenentdeckungen.

Sinus ist ...

Kosinus ist ...

Tangente ist ...

Sünde A =	Sünde Ö =	Sünde A 1 =
cos A =	cos Ö =	cos A 1 =
Tan A =	tg Ö =	tg A 1 =

Nr. 88, 889, 892 mündlich lösen (zu zweit arbeiten).

Anwendung des erworbenen Wissens zur Lösung eines praktischen Problems:

„Vom Turm des Leuchtturms, 70 m hoch, ist ein Schiff in einem Winkel von 3 zum Horizont sichtbar. Was ist

Entfernung vom Leuchtturm zum Schiff?

Die Aufgabe wird frontal gelöst. Während der Diskussion machen wir eine Zeichnung und die notwendigen Notizen an der Tafel und in Heften.

Bei der Lösung des Problems werden Bradis-Tabellen verwendet.

Betrachten Sie die Lösung des Problems S.175.

Löse #902(1).

6. Fizminutka für die Augen.

Schauen Sie, ohne den Kopf zu drehen, im Uhrzeigersinn um die Wand des Klassenzimmers herum, im Gegenuhrzeigersinn auf die Tafel um den Umfang herum, im Uhrzeigersinn auf das auf dem Ständer abgebildete Dreieck und im Gegenuhrzeigersinn auf das gleiche Dreieck. Drehen Sie Ihren Kopf nach links und schauen Sie auf die Horizontlinie und jetzt auf Ihre Nasenspitze. Schließe deine Augen, zähle bis 5, öffne deine Augen und...

Wir halten unsere Hände an unsere Augen,
Lasst uns unsere Beine stark machen.
Rechts abbiegen
Lassen Sie uns majestätisch aussehen.
Und nach links auch
Schauen Sie unter den Palmen hervor.
Und - nach rechts! Und weiter
Über die linke Schulter!
und jetzt werden wir weiter arbeiten.

7. Selbstständige Arbeit Studenten.

Lösung Nr.

8. Die Ergebnisse des Unterrichts. Betrachtung. D / s.

Was hast du neu gelernt? Im Unterricht:

hast du überlegt...

hast du analysiert...

Sie erhielten …

du hast geschlussfolgert...

Sie haben Ihren Wortschatz mit folgenden Begriffen ergänzt ...

Die Weltwissenschaft begann mit der Geometrie. Ein Mensch kann sich kulturell und spirituell nicht wirklich entwickeln, wenn er nicht Geometrie in der Schule studiert hat. Die Geometrie entstand nicht nur aus den praktischen, sondern auch aus den spirituellen Bedürfnissen des Menschen.

So erklärte sie auf poetische Weise ihre Liebe zur Geometrie

Ich liebe Geometrie...

Ich studiere Geometrie, weil ich liebe

Geometrie wird benötigt, ohne sie sind wir nirgendwo.

Sinus, Cosinus, Kreis - hier ist alles wichtig,

Hier wird alles benötigt

Man muss nur sehr klar sein und alles verstehen.

Erledigen Sie Aufgaben und Checklisten rechtzeitig.

Kosinus ist eine bekannte trigonometrische Funktion, die auch eine der Hauptfunktionen der Trigonometrie ist. Der Kosinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels des Dreiecks zur Hypotenuse des Dreiecks. Meistens ist die Definition von Kosinus mit einem Dreieck von genau rechteckigem Typ verbunden. Aber es kommt auch vor, dass der Winkel, für den der Kosinus in einem Dreieck vom rechteckigen Typ berechnet werden muss, nicht in diesem Dreieck vom rechteckigen Typ liegt. Was dann tun? Wie findet man den Kosinus des Winkels eines Dreiecks?

Wenn Sie den Kosinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen möchten, dann ist alles ganz einfach. Sie müssen sich nur an die Definition des Kosinus erinnern, in der die Lösung für dieses Problem liegt. Sie müssen nur das richtige Verhältnis zwischen finden benachbartes Bein, sowie die Hypotenuse des Dreiecks. Tatsächlich ist es hier nicht schwierig, den Kosinus eines Winkels auszudrücken. Die Formel sieht so aus: - cosα = a/c, hier ist "a" die Beinlänge bzw. die Seite "c" die Länge der Hypotenuse. Mit dieser Formel kann beispielsweise der Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ermittelt werden.

Wenn Sie sich dafür interessieren, was der Kosinus eines Winkels in einem beliebigen Dreieck ist, hilft Ihnen der Kosinussatz, der in solchen Fällen verwendet werden sollte. Der Kosinussatz besagt, dass das Seitenquadrat eines Dreiecks a priori ist ist gleich der Summe die Quadrate der übrigen Seiten desselben Dreiecks, jedoch ohne das doppelte Produkt dieser Seiten mit dem Kosinus des dazwischen liegenden Winkels.

1. Wenn Sie den Kosinus eines spitzen Winkels in einem Dreieck finden müssen, müssen Sie die folgende Formel verwenden: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Wenn in einem Dreieck der Kosinus eines stumpfen Winkels ermittelt werden muss, müssen Sie die folgende Formel verwenden: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Die Bezeichnungen in der Formel - a und b - sind die Längen der Seiten, die dem gewünschten Winkel benachbart sind, c ist die Länge der Seite, die dem gewünschten Winkel gegenüberliegt.

Auch der Kosinus eines Winkels kann mit dem Sinussatz berechnet werden. Sie besagt, dass alle Seiten eines Dreiecks proportional zum Sinus der gegenüberliegenden Winkel sind. Mit dem Sinussatz können Sie die restlichen Elemente eines Dreiecks berechnen, wenn Sie nur zwei Seiten und einen Winkel kennen, der einer Seite gegenüberliegt, oder zwei Winkel und eine Seite. Betrachten Sie ein Beispiel. Problembedingungen: a=1; b=2; c=3. Der Winkel, der der Seite "A" gegenüberliegt, bezeichnen wir mit - α, dann haben wir gemäß den Formeln: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Antwort 1.

Wenn der Kosinus des Winkels nicht in einem Dreieck, sondern in einem anderen beliebigen Dreieck berechnet werden muss geometrische Figur, hier wird es etwas komplizierter. Zuerst muss der Wert des Winkels in Bogenmaß oder Grad bestimmt werden und erst dann der Kosinus aus diesem Wert berechnet werden. Kosinus durch numerischen Wert wird unter Verwendung von Bradis-Tabellen, technischen Taschenrechnern oder speziellen mathematischen Anwendungen bestimmt.

Spezielle mathematische Anwendungen können Funktionen wie die automatische Berechnung des Kosinus von Winkeln in einer gegebenen Figur haben. Das Schöne an solchen Anwendungen ist, dass sie die richtige Antwort geben und der Benutzer seine Zeit nicht damit verbringt, manchmal recht komplexe Probleme zu lösen. Andererseits gehen mit der ständigen Verwendung ausschließlich von Anwendungen zur Problemlösung alle Fähigkeiten zur Arbeit mit der Lösung mathematischer Probleme zur Bestimmung des Kosinus von Winkeln in Dreiecken sowie anderer willkürlicher Figuren verloren.

Das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse wird genannt Sinus eines spitzen Winkels rechtwinkliges Dreieck.

\sin\alpha=\frac(a)(c)

Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks

Das Verhältnis des nächsten Schenkels zur Hypotenuse wird genannt Kosinus eines spitzen Winkels rechtwinkliges Dreieck.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangente eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks

Das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein wird genannt spitzer Winkel Tangente rechtwinkliges Dreieck.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks

Das Verhältnis des nahegelegenen Schenkels zu gegenüberliegendes Bein namens Kotangens eines spitzen Winkels rechtwinkliges Dreieck.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus eines beliebigen Winkels

Die Ordinate des Punktes auf dem Einheitskreis, dem der Winkel \alpha entspricht, wird genannt Sinus eines beliebigen Winkels Drehung \alpha .

\sin \alpha=y

Kosinus eines beliebigen Winkels

Die Abszisse eines Punktes auf dem Einheitskreis, dem der Winkel \alpha entspricht, wird genannt Kosinus eines beliebigen Winkels Drehung \alpha .

\cos \alpha=x

Tangente eines beliebigen Winkels

Das Verhältnis des Sinus eines beliebigen Drehwinkels \alpha zu seinem Kosinus wird als bezeichnet Tangens eines beliebigen Winkels Drehung \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens eines beliebigen Winkels

Das Verhältnis des Kosinus eines beliebigen Drehwinkels \alpha zu seinem Sinus wird genannt Kotangens eines beliebigen Winkels Drehung \alpha .

ctg \alpha=x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Ein Beispiel für das Finden eines beliebigen Winkels

Wenn \alpha ein Winkel AOM ist, wobei M ein Punkt auf dem Einheitskreis ist, dann

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Zum Beispiel, wenn \angle AOM = -\frac(\pi)(4), dann: die Ordinate des Punktes M ist -\frac(\sqrt(2))(2), die Abszisse ist \frac(\sqrt(2))(2) und deshalb

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left(-\frac(\pi)(4)\right)=-1.

Tabelle der Werte von Sinus von Cosinus von Tangenten von Kotangens

Die Werte der wichtigsten häufig vorkommenden Winkel sind in der Tabelle angegeben:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\links(\pi\rechts)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\links(2\pi\rechts)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—