Der Kosinus ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse. Sinus, Cosinus, Tangens: Was ist das? So finden Sie Sinus, Cosinus und Tangens

In diesem Artikel zeigen wir, wie Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens von Winkel und Zahl in der Trigonometrie. Hier werden wir über Notation sprechen, Beispiele für Aufzeichnungen geben und grafische Illustrationen geben. Abschließend ziehen wir eine Parallele zwischen den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens in Trigonometrie und Geometrie.

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Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

Folgen wir der Bildung der Begriffe Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens im Schulmathematikkurs. Im Geometrieunterricht wird die Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens gegeben spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. Und später wird Trigonometrie studiert, die sich auf Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels und der Zahl bezieht. Wir geben all diese Definitionen, geben Beispiele und geben die notwendigen Kommentare.

Spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck

Aus dem Studium der Geometrie sind die Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt. Sie werden als Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks angegeben. Wir stellen ihre Formulierungen vor.

Definition.

Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse.

Definition.

Kosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.

Definition.

Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein.

Definition.

Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Beins zum gegenüberliegenden Bein.

Dort wird auch die Notation von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eingeführt - sin, cos, tg bzw. ctg.

Zum Beispiel, wenn ABC ist rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C, dann ist der Sinus des spitzen Winkels A gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels BC zur Hypotenuse AB, also sin∠A=BC/AB.

Mit diesen Definitionen können Sie die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels aus berechnen bekannte Längen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und bekannte Werte Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens und die Länge einer der Seiten, um die Längen der anderen Seiten zu finden. Wenn wir zum Beispiel wüssten, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Schenkel AC 3 und die Hypotenuse AB 7 ist, dann könnten wir per Definition den Kosinus des spitzen Winkels A berechnen: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Drehwinkel

In der Trigonometrie beginnen sie, den Winkel umfassender zu betrachten - sie führen das Konzept des Rotationswinkels ein. Der Rotationswinkel ist im Gegensatz zu einem spitzen Winkel nicht auf Frames von 0 bis 90 Grad beschränkt, der Rotationswinkel in Grad (und im Bogenmaß) kann durch eine beliebige reelle Zahl von −∞ bis +∞ ausgedrückt werden.

Vor diesem Hintergrund sind die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens kein spitzer Winkel mehr, sondern ein Winkel beliebiger Größe – der Rotationswinkel. Sie sind gegeben durch die x- und y-Koordinaten des Punktes A 1 , in den der sogenannte Anfangspunkt A(1, 0) übergeht, nachdem er sich um den Punkt O - den Anfang eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems - um den Winkel α gedreht hat und der Mittelpunkt des Einheitskreises.

Definition.

Sinus des Drehwinkelsα ist die Ordinate des Punktes A 1 , dh sinα = y .

Definition.

Kosinus des Drehwinkelsα wird die Abszisse des Punktes A 1 genannt, d. h. cosα = x .

Definition.

Tangens des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Ordinate des Punktes A 1 zu seiner Abszisse, dh tgα = y/x .

Definition.

Der Kotangens des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Abszisse des Punktes A 1 zu seiner Ordinate, dh ctgα = x/y.

Sinus und Cosinus sind für beliebige Winkel α definiert, da wir immer die Abszisse und Ordinate eines Punktes bestimmen können, die man durch Drehung des Startpunktes um den Winkel α erhält. Und Tangens und Kotangens sind für keinen Winkel definiert. Für solche Winkel α, bei denen der Anfangspunkt auf einen Punkt mit Nullabszisse (0, 1) oder (0, −1) geht, ist die Tangente nicht definiert, und dies geschieht bei den Winkeln 90°+180° k , k∈Z (π /2 + π k rad). Allerdings ist bei solchen Drehwinkeln der Ausdruck tgα=y/x nicht sinnvoll, da er eine Division durch Null enthält. Was den Kotangens betrifft, so ist er für solche Winkel α, bei denen der Startpunkt zu einem Punkt mit Null-Ordinate (1, 0) oder (−1, 0) geht, nicht definiert, und dies ist der Fall für Winkel 180 ° k , k ∈Z (π k rad).

Also sind Sinus und Cosinus für alle Rotationswinkel definiert, der Tangens ist für alle Winkel außer 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) definiert und der Kotangens ist für alle Winkel außer 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Die uns bereits bekannten Schreibweisen tauchen in den Definitionen sin, cos, tg und ctg auf, sie werden auch zur Bezeichnung von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels verwendet (manchmal findet man auch die Schreibweise tan und cot, die Tangente und entsprechen Kotangens). Der Sinus des Rotationswinkels von 30 Grad lässt sich also als sin30° schreiben, die Aufzeichnungen tg(−24°17′) und ctgα entsprechen dem Tangens des Rotationswinkels −24 Grad 17 Minuten und dem Kotangens des Rotationswinkels α . Denken Sie daran, dass beim Schreiben des Bogenmaßes eines Winkels die Notation "rad" oft weggelassen wird. Beispielsweise wird der Kosinus eines Rotationswinkels von drei Pi rad üblicherweise als cos3 π bezeichnet.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist anzumerken, dass bei der Rede von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels der Ausdruck „Rotationswinkel“ oder das Wort „Rotation“ oft weggelassen wird. Das heißt, anstelle des Ausdrucks "Sinus des Drehwinkels Alpha" wird normalerweise der Ausdruck "Sinus des Winkels Alpha" oder noch kürzer - "Sinus von Alpha" verwendet. Dasselbe gilt für Kosinus, Tangens und Kotangens.

Nehmen wir auch an, dass die Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck mit den gerade gegebenen Definitionen für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Rotationswinkels im Bereich von 0 bis 90 übereinstimmen Grad. Wir werden dies belegen.

Zahlen

Definition.

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl t ist eine Zahl, die dem Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels in t Bogenmaß entspricht.

Beispielsweise ist der Kosinus von 8 π per Definition eine Zahl gleich dem Kosinus eines Winkels von 8 π rad. Und der Kosinus des Winkels ist 8 π rad gleich eins, daher ist der Kosinus der Zahl 8 π gleich 1 .

Es gibt einen anderen Ansatz zur Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl. Sie besteht darin, dass jeder reellen Zahl t ein Punkt zugeordnet ist Einheitskreis am Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems zentriert, und Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens werden in Bezug auf die Koordinaten dieses Punktes definiert. Lassen Sie uns näher darauf eingehen.

Lassen Sie uns zeigen, wie die Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Punkten des Kreises hergestellt wird:

• der Zahl 0 wird der Startpunkt A(1, 0) zugeordnet;
• positive Zahl t entspricht dem Punkt des Einheitskreises, den wir erreichen, wenn wir uns vom Startpunkt aus im Gegenuhrzeigersinn entlang des Kreises bewegen und einen Weg der Länge t durchlaufen;
• Eine negative Zahl t ist einem Punkt auf dem Einheitskreis zugeordnet, den wir erreichen, wenn wir den Kreis vom Startpunkt im Uhrzeigersinn umrunden und einen Weg der Länge |t| durchlaufen .

Kommen wir nun zu den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Zahl t. Angenommen, die Zahl t entspricht dem Punkt des Kreises A 1 (x, y) (zum Beispiel entspricht die Zahl &pi/2; dem Punkt A 1 (0, 1) ).

Definition.

Der Sinus einer Zahl t ist die Ordinate des Einheitskreispunktes, der der Zahl t entspricht, d. h. sint=y .

Definition.

Der Kosinus einer Zahl t wird die Abszisse des Punktes des Einheitskreises genannt, der der Zahl t entspricht, d. h. cost=x .

Definition.

Tangens einer Zahl t ist das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, dh tgt = y/x. In einer anderen äquivalenten Formulierung ist der Tangens der Zahl t das Verhältnis des Sinus dieser Zahl zum Kosinus, d. h. tgt = sint/cost .

Definition.

Kotangens einer Zahl t ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, dh ctgt = x/y. Eine andere Formulierung lautet wie folgt: Der Tangens der Zahl t ist das Verhältnis des Kosinus der Zahl t zum Sinus der Zahl t : ctgt=cost/sint .

Hier stellen wir fest, dass die gerade gegebenen Definitionen mit der am Anfang dieses Unterabschnitts gegebenen Definition übereinstimmen. Tatsächlich fällt der Punkt des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, mit dem Punkt zusammen, den man erhält, wenn man den Startpunkt um einen Winkel von t im Bogenmaß dreht.

Es lohnt sich auch, diesen Punkt zu klären. Nehmen wir an, wir haben einen sin3-Eintrag. Wie kann man verstehen, ob es sich um den Sinus der Zahl 3 oder den Sinus des Drehwinkels von 3 Radianten handelt? Das geht meist aus dem Kontext hervor, sonst ist es wahrscheinlich egal.

Trigonometrische Funktionen des Winkel- und Zahlenarguments

Gemäß den im vorherigen Absatz gegebenen Definitionen entspricht jeder Rotationswinkel α einem wohldefinierten Wert von sinα sowie dem Wert von cosα. Außerdem entsprechen alle Drehwinkel außer 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) den Werten tgα , und außer 180° k , k∈Z (π k rad ) sind die Werte von ctgα . Daher sind sinα, cosα, tgα und ctgα Funktionen des Winkels α. Mit anderen Worten, dies sind Funktionen des Winkelarguments.

Ebenso können wir über die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines numerischen Arguments sprechen. Tatsächlich entspricht jede reelle Zahl t einem wohldefinierten Wert von sint sowie cost . Außerdem entsprechen alle Zahlen außer π/2+π·k , k∈Z den Werten tgt , und die Zahlen π·k , k∈Z entsprechen den Werten ctgt .

Die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens werden aufgerufen grundlegende trigonometrische Funktionen.

Aus dem Kontext geht meist hervor, dass es sich um trigonometrische Funktionen eines Winkelarguments oder eines Zahlenarguments handelt. Andernfalls können wir die unabhängige Variable sowohl als Maß für den Winkel (das Winkelargument) als auch als numerisches Argument betrachten.

Die Schule untersucht jedoch hauptsächlich numerische Funktionen, dh Funktionen, deren Argumente sowie die entsprechenden Funktionswerte Zahlen sind. Daher, wenn wir redenüber Funktionen ist es vernünftig, trigonometrische Funktionen als Funktionen numerischer Argumente zu betrachten.

Verbindung von Definitionen aus Geometrie und Trigonometrie

Wenn wir den Rotationswinkel α von 0 bis 90 Grad betrachten, stimmen die Daten im Zusammenhang mit der Trigonometrie der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels vollständig mit den Definitionen von Sinus, Cosinus überein , Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck, die im Geometriekurs gegeben werden. Lassen Sie uns das begründen.

Zeichnen Sie einen Einheitskreis im rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Oxy. Beachten Sie den Startpunkt A(1, 0) . Drehen wir es um einen Winkel α im Bereich von 0 bis 90 Grad, erhalten wir den Punkt A 1 (x, y) . Lassen Sie uns die Senkrechte A 1 H vom Punkt A 1 auf die Ox-Achse fallen lassen.

Es ist leicht zu sehen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Winkel A 1 OH ist gleich dem Winkel Windung &agr;, die Länge des Beins OH benachbart zu dieser Ecke ist gleich der Abszisse des Punktes A 1 , das heißt |OH| = x , die Länge des Beins gegenüber der Ecke A 1 H ist gleich der Ordinate des Punktes A 1 , das heißt |A 1 H| = y , und die Länge der Hypotenuse OA 1 ist gleich eins, da sie der Radius des Einheitskreises ist. Dann ist nach geometrischer Definition der Sinus eines spitzen Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck A 1 OH gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, also sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Und per Definition aus der Trigonometrie ist der Sinus des Drehwinkels α gleich der Ordinate des Punktes A 1, dh sinα = y. Dies zeigt, dass die Definition des Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck der Definition des Sinus des Drehwinkels α für α von 0 bis 90 Grad entspricht.

Ebenso kann gezeigt werden, dass die Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels α mit den Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels α übereinstimmen.

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Betrachten Sie zuerst einen Kreis mit dem Radius 1 und zentriert bei (0;0). Für jedes αЄR kann man einen Radius 0A zeichnen, sodass das Bogenmaß des Winkels zwischen 0A und der 0x-Achse gleich α ist. Die Richtung gegen den Uhrzeigersinn wird als positiv angesehen. Das Ende des Radius A habe die Koordinaten (a,b).

Definition von Sinus

Definition: Die Zahl b, gleich der Ordinate des auf die beschriebene Weise konstruierten Einheitsradius, wird mit sinα bezeichnet und heißt Sinus des Winkels α.

Beispiel: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Definition von Kosinus

Definition: Die Zahl a, gleich der Abszisse des Endes des auf die beschriebene Weise konstruierten Einheitsradius, wird mit cosα bezeichnet und heißt Kosinus des Winkels α.

Beispiel: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Diese Beispiele verwenden die Definition des Sinus und Cosinus eines Winkels in Bezug auf die Koordinaten des Endes des Einheitsradius und des Einheitskreises. Für eine visuellere Darstellung ist es notwendig, einen Einheitskreis zu zeichnen und die entsprechenden Punkte darauf zu zeichnen und dann ihre Abszissen zu berechnen, um den Kosinus zu berechnen, und ihre Ordinaten, um den Sinus zu berechnen.

Definition von Tangente

Definition: Die Funktion tgx=sinx/cosx für x≠π/2+πk, k´Z, heißt Kotangens des Winkels x. Domain tgx-Funktionen das sind alles reelle Zahlen außer x=π/2+πn, n´Z.

Beispiel: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Dieses Beispiel ähnelt dem vorherigen. Um den Tangens eines Winkels zu berechnen, musst du die Ordinate eines Punktes durch seine Abszisse teilen.

Definition von Kotangens

Definition: Die Funktion ctgx=cosx/sinx bei x≠πk, k´Z heißt Kotangens des Winkels x. Definitionsbereich der Funktion ctgx = - alle reellen Zahlen außer den Punkten x=πk, k´Z.

Betrachten Sie ein Beispiel für ein gewöhnliches rechtwinkliges Dreieck

Um es klarer zu machen, was ist Kosinus, Sinus, Tangens und Kotangens. Betrachten Sie ein Beispiel für ein gewöhnliches rechtwinkliges Dreieck mit Winkel y und Seiten a,b,c. Hypotenuse c, Beine a bzw. b. Winkel zwischen Hypotenuse c und Schenkel b y.

Definition: Der Sinus des Winkels y ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse: siny \u003d a / c

Definition: Der Kosinus des Winkels y ist das Verhältnis des Nachbarschenkels zur Hypotenuse: сosy= v/s

Definition: Der Tangens des Winkels y ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten: tgy = a / b

Definition: Der Kotangens des Winkels y ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden: ctgy = in / a

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens werden auch trigonometrische Funktionen genannt. Jeder Winkel hat seinen eigenen Sinus und Kosinus. Und fast jeder hat seinen eigenen Tangens und Kotangens.

Es wird angenommen, dass uns Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens bekannt sind, wenn uns ein Winkel gegeben wird! Umgekehrt. Angesichts des Sinus bzw. jeder anderen trigonometrischen Funktion kennen wir den Winkel. Es wurden sogar spezielle Tabellen erstellt, in denen trigonometrische Funktionen für jeden Winkel geschrieben sind.

Die Begriffe Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind die Hauptkategorien der Trigonometrie – einem Zweig der Mathematik – und sind untrennbar mit der Definition eines Winkels verbunden. Der Besitz dieser mathematischen Wissenschaft erfordert das Auswendiglernen und Verstehen von Formeln und Theoremen sowie ein entwickeltes räumliches Denken. Deshalb Schüler und Studenten trigonometrische Berechnungen bereiten oft Schwierigkeiten. Um sie zu überwinden, sollten Sie sich mit trigonometrischen Funktionen und Formeln vertraut machen.

Begriffe in der Trigonometrie

Aussortieren grundlegendes Konzept Trigonometrie, sollten Sie zuerst entscheiden, was ein rechtwinkliges Dreieck und ein Winkel in einem Kreis sind und warum all die grundlegenden trigonometrischen Berechnungen damit verbunden sind. Ein Dreieck, in dem einer der Winkel 90 Grad beträgt, ist ein rechtwinkliges Dreieck. Historisch gesehen wurde diese Figur oft von Menschen in Architektur, Navigation, Kunst und Astronomie verwendet. Dementsprechend kamen die Leute beim Studium und der Analyse der Eigenschaften dieser Figur zur Berechnung der entsprechenden Verhältnisse ihrer Parameter.

Die Hauptkategorien, die mit rechtwinkligen Dreiecken verbunden sind, sind die Hypotenuse und die Schenkel. Die Hypotenuse ist die Seite eines Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Beine sind jeweils die anderen beiden Seiten. Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt immer 180 Grad.

Sphärische Trigonometrie ist ein Teilbereich der Trigonometrie, der nicht in der Schule studiert wird, aber in angewandten Wissenschaften wie Astronomie und Geodäsie von Wissenschaftlern verwendet wird. Ein Merkmal eines Dreiecks in der sphärischen Trigonometrie ist, dass es immer eine Winkelsumme von mehr als 180 Grad hat.

Winkel eines Dreiecks

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis des Schenkels gegenüber dem gewünschten Winkel zur Hypotenuse des Dreiecks. Dementsprechend ist der Kosinus das Verhältnis des benachbarten Schenkels und der Hypotenuse. Diese beiden Werte haben immer einen Wert Weniger als eins, da die Hypotenuse immer länger ist als das Bein.

Der Tangens eines Winkels ist ein Wert, der dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten Schenkel des gewünschten Winkels oder Sinus zu Cosinus entspricht. Der Kotangens wiederum ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels des gewünschten Winkels zum gegenüberliegenden Kakteen. Den Kotangens eines Winkels erhält man auch, indem man die Einheit durch den Wert des Tangens dividiert.

Einheitskreis

Ein Einheitskreis in der Geometrie ist ein Kreis, dessen Radius gleich eins ist. Ein solcher Kreis wird im kartesischen Koordinatensystem konstruiert, wobei der Kreismittelpunkt mit dem Ursprungspunkt zusammenfällt und die Anfangslage des Radiusvektors durch die positive Richtung der X-Achse (Abszissenachse) bestimmt wird. Jeder Punkt des Kreises hat zwei Koordinaten: XX und YY, dh die Koordinaten der Abszisse und der Ordinate. Wenn wir einen beliebigen Punkt auf dem Kreis in der XX-Ebene auswählen und die Senkrechte von ihm auf die Abszissenachse fallen lassen, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck, das durch einen Radius zum ausgewählten Punkt gebildet wird (lassen Sie uns ihn mit dem Buchstaben C bezeichnen), eine Senkrechte, die auf gezeichnet wird die X-Achse (der Schnittpunkt ist mit dem Buchstaben G bezeichnet) und ein Segment die Abszissenachse zwischen dem Ursprung (der Punkt ist mit dem Buchstaben A bezeichnet) und dem Schnittpunkt G. Das resultierende Dreieck ACG ist ein einbeschriebenes rechtwinkliges Dreieck ein Kreis, bei dem AG die Hypotenuse und AC und GC die Beine sind. Den Winkel zwischen dem Radius des Kreises AC und dem Segment der Abszissenachse mit der Bezeichnung AG definieren wir als α (Alpha). Also cos α = AG/AC. Da AC der Radius des Einheitskreises ist und gleich eins ist, stellt sich heraus, dass cos α = AG ist. In ähnlicher Weise ist sin α = CG.

Wenn Sie diese Daten kennen, können Sie außerdem die Koordinate von Punkt C auf dem Kreis bestimmen, da cos α \u003d AG und sin α \u003d CG, was bedeutet, dass Punkt C hat angegebenen Koordinaten(cos α; sin α). Da wir wissen, dass der Tangens gleich dem Verhältnis von Sinus zu Kosinus ist, können wir bestimmen, dass tg α \u003d y / x und ctg α \u003d x / y. Betrachtet man die Winkel in einem negativen Koordinatensystem, so lässt sich berechnen, dass die Sinus- und Kosinuswerte einiger Winkel negativ sein können.

Berechnungen und Grundformeln

Werte trigonometrischer Funktionen

Nachdem wir das Wesen trigonometrischer Funktionen durch den Einheitskreis betrachtet haben, können wir die Werte dieser Funktionen für einige Winkel ableiten. Die Werte sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Die einfachsten trigonometrischen Identitäten

Gleichungen, in denen ein unbekannter Wert unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion steht, heißen trigonometrisch. Identitäten mit dem Wert sin x = α, k ist eine beliebige ganze Zahl:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. Sünde x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, keine Lösungen.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitäten mit dem Wert cos x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, keine Lösungen.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identitäten mit dem Wert tg x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identitäten mit dem Wert ctg x = a, wobei k eine beliebige Ganzzahl ist:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Gießen Sie Formeln

Diese Kategorie konstante Formeln bezeichnet Methoden, mit denen Sie von trigonometrischen Funktionen der Form zu Funktionen des Arguments wechseln können, dh Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels mit beliebigem Wert in die entsprechenden Indikatoren des Winkels des Intervalls von 0 bis umwandeln 90 Grad für einfachere Berechnungen.

Die Formeln zum Reduzieren von Funktionen für den Sinus eines Winkels sehen folgendermaßen aus:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Für den Kosinus eines Winkels:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cosα;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cosα;
• cos(3600 + α) = cosα.

Die Verwendung der obigen Formeln ist unter Beachtung von zwei Regeln möglich. Erstens, wenn der Winkel als Wert (π/2 ± a) oder (3π/2 ± a) dargestellt werden kann, ändert sich der Wert der Funktion:

• von der Sünde zum cos;
• von Kose zu Sünde;
• von tg bis ctg;
• von ctg bis tg.

Der Wert der Funktion bleibt unverändert, wenn der Winkel als (π ± a) oder (2π ± a) dargestellt werden kann.

Zweitens ändert sich das Vorzeichen der reduzierten Funktion nicht: Wenn es anfangs positiv war, bleibt es so. Dasselbe gilt für negative Funktionen.

Additionsformeln

Diese Formeln drücken die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Summe und Differenz zweier Drehwinkel in Bezug auf ihre trigonometrischen Funktionen aus. Winkel werden üblicherweise als α und β bezeichnet.

Die Formeln sehen so aus:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Diese Formeln gelten für beliebige Winkel α und β.

Doppel- und Dreifachwinkelformeln

Die trigonometrischen Formeln eines Doppel- und Dreifachwinkels sind Formeln, die die Funktionen der Winkel 2α bzw. 3α mit den trigonometrischen Funktionen des Winkels α in Beziehung setzen. Abgeleitet aus Additionsformeln:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Übergang von der Summe zum Produkt

Unter Berücksichtigung von 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) erhalten wir durch Vereinfachung dieser Formel die Identität sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Ähnlich ist sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Übergang vom Produkt zur Summe

Diese Formeln folgen aus den Identitäten für den Übergang der Summe zum Produkt:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Reduktionsformeln

In diesen Identitäten können die quadratischen und kubischen Potenzen von Sinus und Cosinus als Sinus und Cosinus der ersten Potenz eines Vielfachwinkels ausgedrückt werden:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universelle Substitution

Die universellen trigonometrischen Substitutionsformeln drücken trigonometrische Funktionen in Bezug auf die Tangente eines halben Winkels aus.

• Sünde x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), während x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), wobei x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), wobei x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), während x \u003d π + 2πn.

Spezialfälle

Sonderfälle der einfachsten trigonometrische Gleichungen sind unten angegeben (k ist eine beliebige ganze Zahl).

Privat für Sinus:

Sünde x Wert	x-Wert
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk oder 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk oder -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk oder 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk oder -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk oder 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk oder -2π/3 + 2πk

Kosinusquotienten:

cos x wert	x-Wert
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privat für Tangente:

tg x-Wert	x-Wert
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangensquotienten:

ctg x-Wert	x-Wert
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Sätze

Sinussatz

Es gibt zwei Versionen des Theorems - einfach und erweitert. Einfacher Satz Nebenhöhlen: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. In diesem Fall sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und α, β, γ sind die entgegengesetzten Winkel.

Erweiterter Sinussatz für ein beliebiges Dreieck: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In dieser Identität bezeichnet R den Radius des Kreises, in den das gegebene Dreieck eingeschrieben ist.

Kosinussatz

Die Identität wird folgendermaßen dargestellt: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. In der Formel sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und α ist der Winkel gegenüber der Seite a.

Tangentensatz

Die Formel drückt die Beziehung zwischen den Tangenten zweier Winkel und der Länge der ihnen gegenüberliegenden Seiten aus. Die Seiten sind mit a, b, c bezeichnet und die entsprechenden gegenüberliegenden Winkel sind α, β, γ. Die Formel des Tangentensatzes: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangenssatz

Ordnet den Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises der Länge seiner Seiten zu. Wenn a, b, c die Seiten eines Dreiecks sind und A, B bzw. C ihre gegenüberliegenden Winkel sind, ist r der Radius des einbeschriebenen Kreises und p der halbe Umfang des Dreiecks, die folgenden Identitäten halt:

• ctgA/2 = (p-a)/r;
• ctgB/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Anwendungen

Trigonometrie ist nicht nur eine theoretische Wissenschaft mathematische Formeln. Seine Eigenschaften, Theoreme und Regeln werden in der Praxis von verschiedenen Branchen verwendet Menschliche Aktivität- Astronomie, Luft- und Seeschifffahrt, Musiktheorie, Geodäsie, Chemie, Akustik, Optik, Elektronik, Architektur, Wirtschaftswissenschaften, Maschinenbau, Messarbeiten, Computergrafik, Kartographie, Ozeanographie und viele andere.

Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind die Grundbegriffe der Trigonometrie, mit der man den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seitenlängen in einem Dreieck mathematisch ausdrücken und durch Identitäten, Sätze und Regeln die gesuchten Größen finden kann.

Wichtige Notizen!
1. Wenn Sie anstelle von Formeln Abrakadabra sehen, leeren Sie Ihren Cache. Wie es in Ihrem Browser geht, steht hier:
2. Bevor Sie mit dem Lesen des Artikels beginnen, achten Sie am besten auf unseren Navigator nützliche Ressource zum

Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens

Die Begriffe Sinus (), Kosinus (), Tangens (), Kotangens () sind untrennbar mit dem Begriff Winkel verbunden. Um diese auf den ersten Blick komplexen Konzepte (die bei vielen Schulkindern einen Schreckenszustand auslösen) gut zu verstehen und sicherzustellen, dass „der Teufel nicht so gruselig ist, wie er dargestellt wird“, fangen wir ganz von vorne an und verstehen das Konzept eines Winkels.

Das Konzept des Winkels: Bogenmaß, Grad

Schauen wir uns das Bild an. Der Vektor "drehte" sich relativ zum Punkt um einen bestimmten Betrag. So wird das Maß dieser Drehung relativ zur Ausgangsposition sein Injektion.

Was müssen Sie sonst noch über das Konzept des Winkels wissen? Nun, Winkeleinheiten natürlich!

Winkel können sowohl in der Geometrie als auch in der Trigonometrie in Grad und Bogenmaß gemessen werden.

Ein Winkel von (einem Grad) wird genannt zentrale Ecke in einem Kreis, basierend auf einem Kreisbogen gleich einem Teil des Kreises. Somit besteht der gesamte Kreis aus "Stücken" von Kreisbögen, oder der durch den Kreis beschriebene Winkel ist gleich.

Das heißt, die obige Abbildung zeigt einen Winkel, der gleich ist, dh dieser Winkel basiert auf einem Kreisbogen mit der Größe des Umfangs.

Ein Winkel im Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel in einem Kreis, basierend auf einem Kreisbogen, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist. Na, hast du verstanden? Wenn nicht, schauen wir uns das Bild an.

Die Abbildung zeigt also einen Winkel, der einem Bogenmaß entspricht, dh dieser Winkel basiert auf einem Kreisbogen, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist (die Länge ist gleich der Länge oder der Radius ist gleich). die Bogenlänge). Somit wird die Länge des Bogens nach folgender Formel berechnet:

Wo ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß.

Nun, wenn Sie das wissen, können Sie beantworten, wie viele Bogenmaße ein Winkel enthält, der durch einen Kreis beschrieben wird? Ja, dazu müssen Sie sich die Formel für den Umfang eines Kreises merken. Da ist sie:

Lassen Sie uns nun diese beiden Formeln korrelieren und erhalten, dass der durch den Kreis beschriebene Winkel gleich ist. Das heißt, wenn wir den Wert in Grad und Bogenmaß korrelieren, erhalten wir das. Bzw, . Wie Sie sehen, wird im Gegensatz zu „Grad“ das Wort „Bogenmaß“ weggelassen, da die Maßeinheit meist aus dem Kontext klar wird.

Wie viele Radiant sind? Alles ist richtig!

Ich habs? Dann nach vorne befestigen:

Irgendwelche Schwierigkeiten? Dann schau Antworten:

Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens eines Winkels

Also, mit dem Konzept des Winkels herausgefunden. Aber was ist der Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens eines Winkels? Finden wir es heraus. Dabei hilft uns ein rechtwinkliges Dreieck.

Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite); die Beine sind die beiden verbleibenden Seiten und (die angrenzenden rechter Winkel), außerdem, wenn wir die Beine relativ zum Winkel betrachten, dann ist das Bein benachbartes Bein, und das Bein ist gegenüber. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?

Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Schenkels zur Hypotenuse.

in unserem Dreieck.

Kosinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Beins zur Hypotenuse.

in unserem Dreieck.

Winkel Tangente- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zum benachbarten (nahen).

in unserem Dreieck.

Kotangens eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).

in unserem Dreieck.

Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein durch was geteilt werden muss, müssen Sie das klar verstehen Tangente und Kotangens nur die Beine sitzen, und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieser:

Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;

Kotangens → Berührung → Berührung → benachbart.

Zunächst ist zu beachten, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (in einem Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann stellen Sie sicher, indem Sie sich das Bild ansehen:

Betrachten Sie zum Beispiel den Kosinus eines Winkels. Per Definition aus einem Dreieck: , aber wir können den Kosinus eines Winkels aus einem Dreieck berechnen: . Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist gleich. Somit hängen die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.

Wenn Sie die Definitionen verstehen, dann machen Sie weiter und beheben Sie sie!

Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck finden wir.

Na, hast du es verstanden? Dann probieren Sie es selbst aus: Rechnen Sie dasselbe für die Ecke aus.

Einheitskreis (trigonometrischer Kreis).

Nachdem wir die Konzepte von Grad und Bogenmaß verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich. Ein solcher Kreis heißt Single. Es ist sehr nützlich beim Studium der Trigonometrie. Deshalb gehen wir etwas ausführlicher darauf ein.

Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem aufgebaut. Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius).

Jeder Punkt des Kreises entspricht zwei Zahlen: der Koordinate entlang der Achse und der Koordinate entlang der Achse. Was sind diese Koordinatenzahlen? Und überhaupt, was haben sie mit dem Thema zu tun? Denken Sie dazu an das betrachtete rechtwinklige Dreieck. In der obigen Abbildung sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie ein Dreieck. Es ist rechteckig, weil es senkrecht zur Achse steht.

Was ist gleich aus einem Dreieck? Alles ist richtig. Außerdem wissen wir, dass dies der Radius des Einheitskreises ist, und daher . Setzen Sie diesen Wert in unsere Kosinusformel ein. Folgendes passiert:

Und was ist gleich aus einem Dreieck? Nun, natürlich, ! Setzen Sie den Wert des Radius in diese Formel ein und erhalten Sie:

Können Sie mir also sagen, was die Koordinaten eines Punktes sind, der zum Kreis gehört? Nun, auf keinen Fall? Und wenn Sie das erkennen und nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht es? Nun, natürlich, die Koordinate! Welcher Koordinate entspricht es? Richtig, koordinieren! Daher der Punkt.

Und was sind dann gleich und? Das ist richtig, verwenden wir die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens und bekommen das, a.

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Hier zum Beispiel, wie auf diesem Bild:

Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Finden wir es heraus. Dazu wenden wir uns wieder einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck: einen Winkel (als Nachbar eines Winkels). Welchen Wert haben Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate; und die Werte von Tangens und Kotangens zu den entsprechenden Verhältnissen. Somit sind diese Beziehungen auf beliebige Drehungen des Radiusvektors anwendbar.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel einer bestimmten Größe, aber nur er wird negativ sein. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.

Wir wissen also, dass eine ganze Umdrehung des Radiusvektors um den Kreis oder ist. Ist es möglich, den Radiusvektor um oder um zu drehen? Nun, natürlich können Sie! Im ersten Fall macht der Radiusvektor also eine vollständige Umdrehung und hält an der Position oder an.

Im zweiten Fall macht der Radiusvektor also drei vollständige Umdrehungen und hält an der Position oder an.

Aus den obigen Beispielen können wir also schließen, dass Winkel, die sich um oder unterscheiden (wobei eine beliebige ganze Zahl ist), der gleichen Position des Radiusvektors entsprechen.

Die folgende Abbildung zeigt einen Winkel. Dasselbe Bild entspricht der Ecke und so weiter. Diese Liste lässt sich beliebig fortführen. Alle diese Winkel können mit der allgemeinen Formel geschrieben werden oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist)

Versuchen Sie nun, nachdem Sie die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen kennen und den Einheitskreis verwenden, zu beantworten, was die Werte gleich sind:

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen hilft:

Irgendwelche Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Das wissen wir also:

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: Die Ecke bei entspricht einem Punkt mit Koordinaten, also:

Existiert nicht;

Weiterhin finden wir unter Beachtung derselben Logik heraus, dass die Ecken in jeweils Punkten mit Koordinaten entsprechen. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zuerst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

Somit können wir folgende Tabelle erstellen:

Es ist nicht nötig, sich all diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:

Aber die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und, angegeben in der folgenden Tabelle, muss daran erinnert werden:

Keine Angst, jetzt zeigen wir eines der Beispiele eher einfaches Auswendiglernen der entsprechenden Werte:

Um diese Methode zu verwenden, ist es wichtig, sich die Sinuswerte für alle drei Winkelmaße () sowie den Wert des Tangens des Winkels in zu merken. In Kenntnis dieser Werte ist es recht einfach, die gesamte Tabelle wiederherzustellen - die Kosinuswerte werden gemäß den Pfeilen übertragen, das heißt:

Wenn Sie dies wissen, können Sie die Werte für wiederherstellen. Der Zähler „ “ wird übereinstimmen und der Nenner „ “ wird übereinstimmen. Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung gezeigten Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich an das Diagramm mit Pfeilen erinnern, reicht es aus, sich den gesamten Wert aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden, Kenntnis der Koordinaten des Kreismittelpunkts, seines Radius und Drehwinkels?

Nun, natürlich können Sie! Lassen Sie uns herausbringen allgemeine Formel um die Koordinaten eines Punktes zu finden.

Hier haben wir zum Beispiel einen solchen Kreis:

Wir nehmen an, dass der Punkt der Mittelpunkt des Kreises ist. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, den man erhält, indem man den Punkt um Grad dreht.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate des Punktes der Länge des Segments. Die Länge des Segments entspricht der Koordinate des Kreismittelpunkts, dh sie ist gleich. Die Länge eines Segments kann mit der Definition von Kosinus ausgedrückt werden:

Dann haben wir für den Punkt die Koordinate.

Durch die gleiche Logik finden wir den Wert der y-Koordinate für den Punkt. Auf diese Weise,

Also rein Gesamtansicht Punktkoordinaten werden durch die Formeln bestimmt:

Koordinaten des Kreismittelpunktes,

Kreisradius,

Drehwinkel des Radiusvektors.

Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Zentrums Null sind und der Radius gleich Eins ist:

Nun, lassen Sie uns diese Formeln für einen Vorgeschmack ausprobieren und üben, Punkte auf einem Kreis zu finden?

1. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf einem Einheitskreis, den Sie erhalten, indem Sie einen Punkt einschalten.

2. Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes auf einem Einheitskreis, den Sie durch Drehen eines Punktes erhalten.

3. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf einem Einheitskreis, den Sie erhalten, indem Sie einen Punkt einschalten.

4. Punkt - der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des Anfangsradiusvektors um erhalten wird.

5. Punkt - der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des Anfangsradiusvektors um erhalten wird.

Haben Sie Probleme, die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis zu finden?

Lösen Sie diese fünf Beispiele (oder verstehen Sie die Lösung gut) und Sie werden lernen, wie Sie sie finden!

ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Schenkels zur Hypotenuse.

Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.

Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Schenkels zum benachbarten (nahen).

Der Kotangens eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zum gegenüberliegenden (fernen).

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

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Aber das ist nicht die Hauptsache.

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Probleme finden und lösen!

Dieser Artikel hat gesammelt Tabellen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Zunächst geben wir eine Tabelle mit Grundwerten trigonometrischer Funktionen an, dh eine Tabelle mit Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 Grad ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π Bogenmaß). Danach geben wir eine Tabelle mit Sinus und Kosinus sowie eine Tabelle mit Tangenten und Kotangens von V. M. Bradis und zeigen, wie diese Tabellen verwendet werden, wenn die Werte trigonometrischer Funktionen ermittelt werden.

Seitennavigation.

Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenstabelle für Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ... Grad

Referenzliste.

• Algebra: Proz. für 9 Zellen. durchschn. Schule / Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 S.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra und Beginn der Analysis: Proc. für 10-11 Zellen. durchschn. Schule - 3. Aufl. - M.: Aufklärung, 1993. - 351 S.: Abb. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra und Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. Aufl.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 S.: Abb.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.
• Bradis V.M. Vierstellige mathematische Tabellen: Für die allgemeine Bildung. Lehrbuch Betriebe. - 2. Aufl. - M.: Bustard, 1999.- 96 S.: mit Abb. ISBN 5-7107-2667-2