Finden Sie online den Kosinus des Winkels zwischen zwei Geraden. Ermitteln des Winkels zwischen Linien

Gegeben seien Linien im Raum l und m. Durch einen Punkt A des Raums ziehen wir gerade Linien l 1 || l und m 1 || m(Abb. 138).

Beachten Sie, dass der Punkt A beliebig gewählt werden kann, insbesondere auf einer der vorgegebenen Geraden liegen kann. Wenn gerade l und m schneiden, dann kann A als Schnittpunkt dieser Geraden genommen werden ( l 1 = l und m 1 = m).

Winkel zwischen nicht parallelen Linien l und m ist der Wert des kleinsten der benachbarten Winkel, die durch sich schneidende Geraden gebildet werden l 1 und m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Der Winkel zwischen parallelen Linien wird mit Null angenommen.

Winkel zwischen Linien l und m bezeichnet mit \(\widehat((l;m)) \). Aus der Definition folgt, dass wenn es in Grad gemessen wird, dann 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, und wenn im Bogenmaß, dann 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Eine Aufgabe. Der Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ist gegeben (Abb. 139).

Finden Sie den Winkel zwischen den Geraden AB und DC 1 .

Gerade Kreuzung AB und DC 1. Da die Gerade DC parallel zur Geraden AB verläuft, ist der Winkel zwischen den Geraden AB und DC 1 laut Definition gleich \(\widehat(C_(1)DC)\).

Also \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direkte l und m genannt aufrecht, wenn \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Zum Beispiel in einem Würfel

Berechnung des Winkels zwischen Linien.

Das Problem, den Winkel zwischen zwei Geraden im Raum zu berechnen, wird auf die gleiche Weise gelöst wie in der Ebene. Bezeichne mit φ den Winkel zwischen den Linien l 1 und l 2 und durch ψ - den Winkel zwischen den Richtungsvektoren a und b diese Geraden.

Dann wenn

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Abb. 206.6), dann φ = 180° - ψ. Es ist offensichtlich, dass in beiden Fällen die Gleichheit cos φ = |cos ψ| gilt. Gemäß der Formel (der Kosinus des Winkels zwischen den Nicht-Null-Vektoren a und b ist gleich dem Skalarprodukt dieser Vektoren dividiert durch das Produkt ihrer Längen) haben wir

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

Folglich,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Die Linien seien durch ihre kanonischen Gleichungen gegeben

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; und \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Dann wird der Winkel φ zwischen den Linien mit der Formel bestimmt

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Wenn eine der Linien (oder beide) durch nicht-kanonische Gleichungen gegeben ist, müssen Sie zur Berechnung des Winkels die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Linien finden und dann Formel (1) verwenden.

Aufgabe 1. Winkel zwischen Linien berechnen

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;und\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Richtungsvektoren von Geraden haben Koordinaten:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Durch Formel (1) finden wir

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Daher beträgt der Winkel zwischen diesen Linien 60°.

Aufgabe 2. Winkel zwischen Linien berechnen

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) und \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cases) $$

Hinter dem Führungsvektor a nimm die erste Zeile Vektorprodukt normale Vektoren n 1 = (3; 0; -12) und n 2 = (1; 1; -3) Ebenen, die diese Linie definieren. Durch die Formel \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) erhalten wir

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Analog finden wir den Richtungsvektor der zweiten Geraden:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Aber Formel (1) berechnet den Kosinus des gewünschten Winkels:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Daher beträgt der Winkel zwischen diesen Linien 90°.

Aufgabe 3. Bei der dreieckigen Pyramide MAVS stehen die Kanten MA, MB und MC senkrecht zueinander (Abb. 207);

ihre Längen sind jeweils gleich 4, 3, 6. Punkt D ist die Mitte [MA]. Finden Sie den Winkel φ zwischen den Linien CA und DB.

Seien SA und DB die Richtungsvektoren der Linien SA und DB.

Nehmen wir den Punkt M als Koordinatenursprung. Durch die Aufgabenbedingung haben wir A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Also \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Wir verwenden Formel (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Gemäß der Kosinustabelle finden wir, dass der Winkel zwischen den Geraden CA und DB ungefähr 72 ° beträgt.

Für jeden Schüler, der sich auf die Prüfung in Mathematik vorbereitet, ist es nützlich, das Thema „Winkel zwischen Linien finden“ zu wiederholen. Wie Statistiken zeigen, bereiten Aufgaben in diesem Abschnitt der Stereometrie beim Bestehen eines Zertifizierungstests Schwierigkeiten für eine große Anzahl Studenten. Gleichzeitig finden sich Aufgaben, die das Finden des Winkels zwischen geraden Linien erfordern, sowohl in der Grund- als auch in der VERWENDUNG Profilebene. Das bedeutet, dass jeder in der Lage sein sollte, sie zu lösen.

Grundmomente

Es gibt 4 Arten der gegenseitigen Anordnung von Linien im Raum. Sie können zusammenfallen, sich schneiden, parallel sein oder sich schneiden. Der Winkel zwischen ihnen kann spitz oder gerade sein.

Um den Winkel zwischen den Linien im Einheitlichen Staatsexamen oder beispielsweise in der Lösung zu finden, können Schüler in Moskau und anderen Städten verschiedene Methoden zur Lösung von Problemen in diesem Teilbereich der Stereometrie anwenden. Sie können die Aufgabe durch klassische Konstruktionen erledigen. Dazu lohnt es sich, die grundlegenden Axiome und Theoreme der Stereometrie zu lernen. Der Schüler muss in der Lage sein, logisch zu argumentieren und Zeichnungen zu erstellen, um die Aufgabe auf ein planimetrisches Problem zu übertragen.

Sie können auch die Vektorkoordinatenmethode verwenden, indem Sie einfache Formeln, Regeln und Algorithmen verwenden. Die Hauptsache in diesem Fall ist, alle Berechnungen korrekt durchzuführen. Das Bildungsprojekt Shkolkovo wird Ihnen helfen, Ihre Fähigkeiten zur Lösung von Problemen in Stereometrie und anderen Abschnitten des Schulkurses zu verbessern.

Dieses Material widmet sich einem Konzept wie dem Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien. Im ersten Absatz erklären wir, was es ist, und zeigen es in Illustrationen. Dann werden wir analysieren, wie Sie den Sinus, den Kosinus dieses Winkels und den Winkel selbst finden können (wir werden Fälle mit einer Ebene und einem dreidimensionalen Raum getrennt betrachten), wir werden die notwendigen Formeln geben und anhand von Beispielen zeigen, wie sie angewendet werden trainieren.

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Um zu verstehen, was ein Winkel ist, der am Schnittpunkt zweier Linien gebildet wird, müssen wir uns an die eigentliche Definition eines Winkels, einer Rechtwinkligkeit und eines Schnittpunkts erinnern.

Bestimmung 1

Wir nennen zwei Geraden schneidend, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben. Dieser Punkt wird Schnittpunkt der beiden Geraden genannt.

Jede Linie wird durch den Schnittpunkt in Strahlen unterteilt. In diesem Fall bilden beide Linien 4 Winkel, von denen zwei vertikal und zwei benachbart sind. Wenn wir das Maß von einem von ihnen kennen, können wir die anderen verbleibenden bestimmen.

Nehmen wir an, wir wissen, dass einer der Winkel gleich α ist. In einem solchen Fall ist der senkrecht dazu stehende Winkel ebenfalls gleich α. Um die verbleibenden Winkel zu finden, müssen wir die Differenz 180 ° - α berechnen. Wenn α gleich 90 Grad ist, dann sind alle Winkel richtig. Linien, die sich rechtwinklig schneiden, werden senkrecht genannt (ein separater Artikel ist dem Konzept der Rechtwinkligkeit gewidmet).

Schau dir das Bild an:

Fahren wir mit der Formulierung der Hauptdefinition fort.

Bestimmung 2

Der Winkel, der von zwei sich schneidenden Linien gebildet wird, ist das Maß für den kleineren der 4 Winkel, die diese beiden Linien bilden.

Aus der Definition muss eine wichtige Schlussfolgerung gezogen werden: Die Größe des Winkels wird in diesem Fall durch eine beliebige reelle Zahl im Intervall (0 , 90 ] ausgedrückt. Wenn die Linien senkrecht sind, ist der Winkel zwischen ihnen in jedem Fall gleich 90 Grad.

Die Fähigkeit, das Maß des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Linien zu finden, ist nützlich, um viele praktische Probleme zu lösen. Das Lösungsverfahren kann aus mehreren Optionen ausgewählt werden.

Für den Anfang können wir geometrische Methoden nehmen. Wenn wir etwas über zusätzliche Winkel wissen, können wir sie mit den Eigenschaften gleicher oder ähnlicher Formen zu dem benötigten Winkel verbinden. Wenn wir beispielsweise die Seiten eines Dreiecks kennen und den Winkel zwischen den Linien berechnen müssen, auf denen sich diese Seiten befinden, eignet sich der Kosinussatz zum Lösen. Wenn wir in der Bedingung sind rechtwinkliges Dreieck, dann benötigen wir für Berechnungen auch die Kenntnis von Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels.

Die Koordinatenmethode ist auch sehr praktisch, um Probleme dieser Art zu lösen. Lassen Sie uns erklären, wie Sie es richtig verwenden.

Wir haben ein rechteckiges (kartesisches) Koordinatensystem O x y mit zwei Geraden. Lassen Sie uns sie mit den Buchstaben a und b bezeichnen. Dabei können Geraden mit beliebigen Gleichungen beschrieben werden. Die ursprünglichen Linien haben einen Schnittpunkt M . Wie bestimmt man den gewünschten Winkel (nennen wir ihn mit α) zwischen diesen Linien?

Beginnen wir mit der Formulierung des Grundprinzips der Winkelfindung unter gegebenen Bedingungen.

Wir wissen, dass Konzepte wie Richtung und Normalenvektor eng mit dem Konzept einer geraden Linie verwandt sind. Wenn wir die Gleichung einer geraden Linie haben, können wir ihr die Koordinaten dieser Vektoren entnehmen. Wir können dies für zwei sich schneidende Linien gleichzeitig tun.

Der Winkel, der durch zwei sich schneidende Linien gebildet wird, kann gefunden werden mit:

• Winkel zwischen Richtungsvektoren;
• Winkel zwischen Normalenvektoren;
• der Winkel zwischen dem Normalenvektor einer Linie und dem Richtungsvektor der anderen.

Betrachten wir nun jede Methode separat.

1. Angenommen, wir haben eine Linie a mit Richtungsvektor a → = (a x , a y) und eine Linie b mit Richtungsvektor b → (b x , b y) . Lassen Sie uns nun zwei Vektoren a → und b → vom Schnittpunkt beiseite legen. Danach werden wir sehen, dass sie sich jeweils in einer eigenen Zeile befinden. Dann haben wir vier Optionen für ihre relative Position. Siehe Abbildung:

Wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren nicht stumpf ist, dann ist es der Winkel, den wir zwischen den sich schneidenden Linien a und b benötigen. Wenn es stumpf ist, ist der gewünschte Winkel gleich dem Winkel neben dem Winkel a → , b → ^ . Somit ist α = a → , b → ^ wenn a → , b → ^ ≤ 90 ° , und α = 180 ° - a → , b → ^ wenn a → , b → ^ > 90 ° .

Da die Kosinus gleiche Winkel gleich sind, können wir die resultierenden Gleichheiten wie folgt umschreiben: cos α = cos a → , b → ^ if a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ wenn a → , b → ^ > 90 ° .

Im zweiten Fall wurden Reduktionsformeln verwendet. Auf diese Weise,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Schreiben wir die letzte Formel in Worten:

Bestimmung 3

Der Kosinus des Winkels, der durch zwei sich schneidende Linien gebildet wird, ist gleich dem Betrag des Kosinus des Winkels zwischen seinen Richtungsvektoren.

Die allgemeine Form der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren a → = (a x, a y) und b → = (b x, b y) sieht so aus:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Daraus können wir die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei gegebenen Geraden ableiten:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dann kann der Winkel selbst mit der folgenden Formel gefunden werden:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dabei sind a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y) die Richtungsvektoren der gegebenen Geraden.

Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems geben.

Beispiel 1

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind zwei Schnittlinien a und b in der Ebene gegeben. Sie können durch Parametergleichungen x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R und x 5 = y - 6 - 3 beschrieben werden. Berechnen Sie den Winkel zwischen diesen Linien.

Lösung

Wir haben eine Parametergleichung in der Bedingung, was bedeutet, dass wir für diese Gerade sofort die Koordinaten ihres Richtungsvektors aufschreiben können. Dazu müssen wir die Werte der Koeffizienten am Parameter nehmen, d.h. die Gerade x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R wird einen Richtungsvektor a → = (4 , 1) haben.

Die zweite Gerade wird durch die kanonische Gleichung x 5 = y - 6 - 3 beschrieben. Hier können wir die Koordinaten aus den Nennern entnehmen. Somit hat diese Gerade einen Richtungsvektor b → = (5 , - 3) .

Als nächstes gehen wir direkt zum Ermitteln des Winkels über. Ersetzen Sie dazu einfach die verfügbaren Koordinaten der beiden Vektoren in die obige Formel α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Wir erhalten Folgendes:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Antworten: Diese Linien bilden einen Winkel von 45 Grad.

Wir können ein ähnliches Problem lösen, indem wir den Winkel zwischen Normalenvektoren finden. Wenn wir eine Linie a mit einem Normalenvektor n a → = (n a x , n a y) und eine Linie b mit einem Normalenvektor n b → = (n b x , n b y) haben, dann ist der Winkel zwischen ihnen gleich dem Winkel zwischen n a → und n b → oder der Winkel, der an n a → , n b → ^ angrenzt. Diese Methode ist im Bild dargestellt:

Die Formeln zur Berechnung des Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Linien und dieses Winkels selbst unter Verwendung der Koordinaten von Normalenvektoren sehen folgendermaßen aus:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Dabei bezeichnen n a → und n b → die Normalenvektoren zweier gegebener Geraden.

Beispiel 2

Mit den Gleichungen 3 x + 5 y - 30 = 0 und x + 4 y - 17 = 0 werden zwei Geraden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angegeben. Finden Sie den Sinus, Cosinus des Winkels zwischen ihnen und die Größe dieses Winkels selbst.

Lösung

Die ursprünglichen Geraden werden durch normale Geradengleichungen der Form A x + B y + C = 0 gegeben. Bezeichne den Normalenvektor n → = (A , B) . Finden wir die Koordinaten des ersten Normalenvektors für eine Gerade und schreiben sie auf: n a → = (3 , 5) . Für die zweite Linie x + 4 y - 17 = 0 hat der Normalenvektor die Koordinaten n b → = (1 , 4) . Fügen Sie nun die erhaltenen Werte zur Formel hinzu und berechnen Sie die Summe:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Wenn wir den Kosinus eines Winkels kennen, können wir seinen Sinus mit der Basis berechnen trigonometrische Identität. Da der durch gerade Linien gebildete Winkel α nicht stumpf ist, ist sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

In diesem Fall ist α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Antwort: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analysieren wir den letzten Fall - das Finden des Winkels zwischen den Linien, wenn wir die Koordinaten des Richtungsvektors einer Linie und des Normalenvektors der anderen kennen.

Angenommen, die Linie a hat einen Richtungsvektor a → = (a x , a y) , und die Linie b hat einen Normalenvektor n b → = (n b x , n b y) . Wir müssen diese Vektoren vom Schnittpunkt verschieben und alle Optionen für ihre relative Position berücksichtigen. Siehe Bild:

Wenn der Winkel zwischen den angegebenen Vektoren nicht mehr als 90 Grad beträgt, stellt sich heraus, dass er den Winkel zwischen a und b zu einem rechten Winkel ergänzt.

a → , n b → ^ = 90 ° - α wenn a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Wenn es weniger als 90 Grad beträgt, erhalten wir Folgendes:

a → , n b → ^ > 90 ° , dann a → , n b → ^ = 90 ° + α

Unter Verwendung der Gleichheitsregel von Cosinus gleicher Winkel schreiben wir:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α für a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α bei a → , n b → ^ > 90 ° .

Auf diese Weise,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Lassen Sie uns ein Fazit formulieren.

Bestimmung 4

Um den Sinus des Winkels zwischen zwei geraden Linien zu finden, die sich in einer Ebene schneiden, müssen Sie den Betrag des Kosinus des Winkels zwischen dem Richtungsvektor der ersten Linie und dem Normalenvektor der zweiten berechnen.

Lassen Sie uns die notwendigen Formeln aufschreiben. Den Sinus eines Winkels finden:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Die Ecke selbst finden:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Dabei ist a → der Richtungsvektor der ersten Linie und n b → der Normalenvektor der zweiten.

Beispiel 3

Zwei sich schneidende Geraden sind durch die Gleichungen x - 5 = y - 6 3 und x + 4 y - 17 = 0 gegeben. Finde den Schnittwinkel.

Lösung

Die Koordinaten des Richtungs- und Normalenvektors entnehmen wir den gegebenen Gleichungen. Es stellt sich heraus a → = (- 5 , 3) ​​​​und n → b = (1 , 4) . Wir nehmen die Formel α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 und betrachten:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Beachten Sie, dass wir die Gleichungen aus dem vorherigen Problem genommen haben und genau das gleiche Ergebnis erhalten haben, aber auf andere Weise.

Antworten:α = a r c sin 7 2 34

Hier ist ein anderer Weg zu finden gewünschten Winkel unter Verwendung der Steigungskoeffizienten der gegebenen Linien.

Wir haben eine Linie a , die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem unter Verwendung der Gleichung y = k 1 · x + b 1 definiert ist, und eine Linie b, die als y = k 2 · x + b 2 definiert ist. Das sind Geradengleichungen mit Steigung. Um den Schnittwinkel zu finden, verwenden Sie die Formel:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , wobei k 1 und k 2 sind Neigungsfaktoren gegebene Linien. Um diese Aufzeichnung zu erhalten, wurden Formeln zur Bestimmung des Winkels durch die Koordinaten von Normalenvektoren verwendet.

Beispiel 4

Es gibt zwei Geraden, die sich in einer Ebene schneiden, durch Gleichungen gegeben y = - 3 5 x + 6 und y = - 1 4 x + 17 4 . Berechne den Schnittwinkel.

Lösung

Die Steigungen unserer Geraden sind gleich k 1 = – 3 5 und k 2 = – 1 4 . Fügen wir sie zur Formel α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 hinzu und berechnen:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Antworten:α = a r c cos 23 2 34

Zum Schluss dieses Absatzes sei darauf hingewiesen, dass die hier angegebenen Formeln zur Winkelbestimmung nicht auswendig gelernt werden müssen. Dazu reicht es aus, die Koordinaten der Hilfslinien und/oder Normalenvektoren der gegebenen Linien zu kennen und sie mit verschiedenen Arten von Gleichungen bestimmen zu können. Aber die Formeln zur Berechnung des Kosinus eines Winkels sind besser zu merken oder aufzuschreiben.

So berechnen Sie den Winkel zwischen sich schneidenden Linien im Raum

Die Berechnung eines solchen Winkels kann auf die Berechnung der Koordinaten der Richtungsvektoren und die Bestimmung der Größe des durch diese Vektoren gebildeten Winkels reduziert werden. Für solche Beispiele verwenden wir die gleiche Argumentation, die wir zuvor angegeben haben.

Nehmen wir an, wir haben ein rechteckiges Koordinatensystem, das sich im 3D-Raum befindet. Sie enthält zwei Geraden a und b mit dem Schnittpunkt M . Um die Koordinaten der Richtungsvektoren zu berechnen, müssen wir die Gleichungen dieser Linien kennen. Bezeichne die Richtungsvektoren a → = (a x , a y , a z) und b → = (b x , b y , b z) . Um den Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu berechnen, verwenden wir die Formel:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Um den Winkel selbst zu finden, brauchen wir diese Formel:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Beispiel 5

Wir haben eine gerade Linie im 3D-Raum unter Verwendung der Gleichung x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 definiert. Es ist bekannt, dass sie die O z -Achse schneidet. Berechnen Sie den Schnittwinkel und den Kosinus dieses Winkels.

Lösung

Bezeichnen wir den zu berechnenden Winkel mit dem Buchstaben α. Schreiben wir die Koordinaten des Richtungsvektors für die erste Gerade auf - a → = (1 , - 3 , - 2) . Für die Anwendungsachse können wir den Koordinatenvektor k → = (0 , 0 , 1) als Richtwert nehmen. Wir haben die notwendigen Daten erhalten und können sie der gewünschten Formel hinzufügen:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Als Ergebnis erhalten wir, dass der Winkel, den wir brauchen, gleich a r c cos 1 2 = 45 ° ist.

Antworten: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

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WINKEL ZWISCHEN DEN EBENEN

Betrachten wir zwei Ebenen α 1 und α 2, die jeweils durch die Gleichungen gegeben sind:

Unter Ecke zwischen zwei Ebenen werden wir eine davon verstehen Diederwinkel von diesen Flugzeugen gebildet. Offensichtlich ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren und den Ebenen α 1 und α 2 gleich einem der angegebenen benachbarten Flächenwinkel oder . Deshalb . Da und , dann

.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen Ebenen x+2j-3z+4=0 und 2 x+3j+z+8=0.

Bedingung der Parallelität zweier Ebenen.

Zwei Ebenen α 1 und α 2 sind genau dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren und parallel sind, also .

Zwei Ebenen sind also genau dann parallel zueinander, wenn die Koeffizienten an den entsprechenden Koordinaten proportional sind:

oder

Bedingung der Rechtwinkligkeit von Ebenen.

Es ist klar, dass zwei Ebenen genau dann senkrecht stehen, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht stehen, also oder .

Auf diese Weise, .

Beispiele.

DIREKT IM RAUM.

VEKTORGLEICHUNG DIREKT.

PARAMETRISCHE GLEICHUNGEN DIREKT

Die Lage einer Geraden im Raum wird durch die Angabe eines beliebigen ihrer Fixpunkte vollständig bestimmt M 1 und einem Vektor parallel zu dieser Linie.

Ein Vektor parallel zu einer Geraden heißt führen der Vektor dieser Linie.

Also lass das gerade l geht durch einen Punkt M 1 (x 1 , j 1 , z 1) liegt auf einer geraden Linie parallel zum Vektor .

Betrachten Sie einen beliebigen Punkt M(x,y,z) auf einer geraden Linie. Das ist aus der Abbildung ersichtlich .

Die Vektoren und sind kollinear, also gibt es eine solche Zahl t, was , wo ist der Multiplikator t kann je nach Position des Punktes jeden numerischen Wert annehmen M auf einer geraden Linie. Faktor t heißt Parameter. Bezeichnet die Radiusvektoren von Punkten M 1 und M bzw. durch und erhalten wir . Diese Gleichung heißt Vektor Gerade Gleichung. Es zeigt, dass jeder Parameterwert t entspricht dem Radiusvektor eines Punktes M auf einer geraden Linie liegen.

Wir schreiben diese Gleichung in Koordinatenform. Beachte das , und von hier

Die resultierenden Gleichungen werden aufgerufen parametrisch Gerade Gleichungen.

Beim Ändern des Parameters t Koordinaten ändern x, j und z und Punkt M bewegt sich auf einer geraden Linie.

KANONISCHE GLEICHUNGEN DIREKT

Lassen M 1 (x 1 , j 1 , z 1) - ein Punkt, der auf einer geraden Linie liegt l, und ist sein Richtungsvektor. Nehmen Sie wieder einen beliebigen Punkt auf einer geraden Linie M(x,y,z) und betrachte den Vektor .

Es ist klar, dass die Vektoren und kollinear sind, daher müssen ihre jeweiligen Koordinaten proportional sein

– kanonisch Gerade Gleichungen.

Bemerkung 1. Beachten Sie, dass die kanonischen Gleichungen der Linie aus den parametrischen Gleichungen durch Eliminieren des Parameters erhalten werden könnten t. Tatsächlich erhalten wir aus den parametrischen Gleichungen oder .

Beispiel. Schreibe die Geradengleichung auf auf parametrische Weise.

Bezeichnen , somit x = 2 + 3t, j = –1 + 2t, z = 1 –t.

Bemerkung 2. Die Linie sei senkrecht zu einer der Koordinatenachsen, zum Beispiel der Achse Ochse. Dann steht der Richtungsvektor der Geraden senkrecht Ochse, Folglich, m=0. Folglich nehmen die parametrischen Gleichungen der Geraden die Form an

Eliminieren des Parameters aus den Gleichungen t, erhalten wir die Gleichungen der Geraden in der Form

Aber auch in diesem Fall vereinbaren wir, die kanonischen Gleichungen der Geraden formal in die Form zu schreiben . Wenn also der Nenner eines der Brüche Null ist, bedeutet dies, dass die Linie senkrecht zur entsprechenden Koordinatenachse steht.

Ebenso die kanonischen Gleichungen entspricht einer geraden Linie senkrecht zu den Achsen Ochse und Ey oder Parallelachse Unze.

Beispiele.

ALLGEMEINE GLEICHUNGEN EINE DIREKTE LINIE ALS SCHNITTLINIE ZWEI EBENEN

Durch jede gerade Linie im Raum verläuft eine unendliche Anzahl von Ebenen. Jeweils zwei von ihnen, die sich schneiden, definieren es im Raum. Daher sind die Gleichungen zweier solcher Ebenen, zusammen betrachtet, die Gleichungen dieser Geraden.

Im Allgemeinen zwei beliebige parallele Ebenen durch die allgemeinen Gleichungen gegeben

bestimmen ihre Schnittlinie. Diese Gleichungen werden aufgerufen allgemeine Gleichungen gerade.

Beispiele.

Konstruieren Sie eine durch Gleichungen gegebene Gerade

Um eine Linie zu konstruieren, genügt es, zwei ihrer Punkte zu finden. Am einfachsten ist es, die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen zu wählen. Zum Beispiel der Schnittpunkt mit der Ebene xOy erhalten wir aus den Gleichungen einer Geraden, vorausgesetzt z= 0:

Wenn wir dieses System lösen, finden wir den Punkt M 1 (1;2;0).

Ebenso vorausgesetzt j= 0 erhalten wir den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene xOz:

Von den allgemeinen Gleichungen einer Geraden kann man zu ihren kanonischen oder parametrischen Gleichungen übergehen. Dazu müssen Sie einen Punkt finden M 1 auf der Linie und dem Richtungsvektor der Linie.

Punktkoordinaten M 1 erhalten wir aus diesem Gleichungssystem, indem wir einer der Koordinaten einen beliebigen Wert geben. Um den Richtungsvektor zu finden, beachten Sie, dass dieser Vektor senkrecht zu beiden Normalenvektoren stehen muss und . Also für den Richtungsvektor der Geraden l Sie können das Kreuzprodukt von Normalenvektoren nehmen:

.

Beispiel. Führen allgemeine Gleichungen gerade zur kanonischen Form.

Finden Sie einen Punkt auf einer geraden Linie. Dazu wählen wir willkürlich eine der Koordinaten, zum Beispiel j= 0 und löse das Gleichungssystem:

Die Normalenvektoren der Ebenen, die die Linie definieren, haben Koordinaten Daher ist der Richtungsvektor gerade

. Folglich, l: .

WINKEL ZWISCHEN DEN RECHTEN

Ecke zwischen geraden Linien im Raum nennen wir jeden der benachbarten Winkel, die durch zwei gerade Linien gebildet werden, die durch einen beliebigen Punkt parallel zu den Daten gezogen werden.

Gegeben seien zwei Geraden im Raum:

Offensichtlich kann der Winkel φ zwischen den Linien als der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren und genommen werden. Da erhalten wir dann gemäß der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren

Ecke zwischen geraden Linien im Raum nennen wir jeden der benachbarten Winkel, die durch zwei gerade Linien gebildet werden, die durch einen beliebigen Punkt parallel zu den Daten gezogen werden.

Gegeben seien zwei Geraden im Raum:

Offensichtlich kann der Winkel φ zwischen den Linien als der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren und genommen werden. Da erhalten wir dann gemäß der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren

Die Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden sind äquivalent zu den Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit ihrer Richtungsvektoren und:

Zwei gerade parallel genau dann, wenn ihre jeweiligen Koeffizienten proportional sind, d.h. l 1 parallel l 2 wenn und nur wenn parallel .

Zwei gerade aufrecht genau dann, wenn die Summe der Produkte der entsprechenden Koeffizienten gleich Null ist: .

Bei Ziel zwischen Linie und Ebene

Lassen Sie die Linie d- nicht senkrecht zur Ebene θ;
d′− Projektion einer Geraden d zur Ebene θ;
Der kleinste Winkel zwischen geraden Linien d und d' Wir werden anrufen Winkel zwischen Gerade und Ebene.
Bezeichnen wir es als φ=( d,θ)
Wenn ein d⊥θ , dann ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− rechteckiges Koordinatensystem.
Ebenengleichung:

θ: Axt+Durch+cz+D=0

Wir nehmen an, dass die Linie durch einen Punkt und einen Richtungsvektor gegeben ist: d[M 0,p→]
Vektor n→(EIN,B,C)⊥θ
Dann bleibt noch der Winkel zwischen den Vektoren herauszufinden n→ und p→, bezeichne es als γ=( n→,p→).

Wenn der Winkel γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Wenn der Winkel γ > π/2 ist, dann ist der erforderliche Winkel φ = γ – π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Dann, Winkel zwischen Gerade und Ebene kann mit der Formel berechnet werden:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ App 1+bp 2+vgl 3∣ ∣ √EIN 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Frage 29. Das Konzept einer quadratischen Form. Die Zeichenbestimmtheit quadratischer Formen.

Quadratische Form j (x 1, x 2, ..., x n) n reelle Variablen x 1, x 2, ..., x n heißt Summe der Form
, (1)

wo aij sind einige Zahlen, die Koeffizienten genannt werden. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen aij = ein Ji.

Die quadratische Form heißt gültig, wenn aij ОGR. Matrix quadratischer Form heißt die aus ihren Koeffizienten zusammengesetzte Matrix. Die quadratische Form (1) entspricht einer eindeutigen symmetrischen Matrix
d.h. EIN T = A. Daher kann die quadratische Form (1) in Matrixform geschrieben werden j ( X) = x T Ah, wo xT = (X 1 X 2 … x n). (2)

Und umgekehrt entspricht jede symmetrische Matrix (2) bis auf die Notation der Variablen einer eindeutigen quadratischen Form.

Der Rang der quadratischen Form heißt Rang ihrer Matrix. Die quadratische Form heißt nicht entartet, wenn seine Matrix nichtsingulär ist ABER. (Denken Sie daran, dass die Matrix ABER heißt nicht entartet, wenn es ihre Determinante nicht ist Null). Andernfalls ist die quadratische Form entartet.

positiv bestimmt(oder streng positiv) wenn

j ( X) > 0 , für jeden X = (X 1 , X 2 , …, x n), Neben X = (0, 0, …, 0).

Matrix ABER positiv bestimmte quadratische Form j ( X) wird auch positiv definit genannt. Daher entspricht eine positive definite quadratische Form einer eindeutigen positiven definiten Matrix und umgekehrt.

Die quadratische Form (1) wird aufgerufen negativ bestimmt(oder streng negativ) wenn

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Neben X = (0, 0, …, 0).

Ähnlich wie oben wird eine negativ-definite quadratische Matrix auch als negativ-definit bezeichnet.

Daher ist eine positiv (negativ) bestimmte quadratische Form j ( X) erreicht den minimalen (maximalen) Wert j ( X*) = 0 für X* = (0, 0, …, 0).

Beachten Sie, dass die meisten quadratischen Formen nicht vorzeichenbestimmend sind, das heißt, sie sind weder positiv noch negativ. Solche quadratischen Formen verschwinden nicht nur am Ursprung des Koordinatensystems, sondern auch an anderen Punkten.

Wann n> 2, sind besondere Kriterien erforderlich, um die Vorzeicheneindeutigkeit einer quadratischen Form zu prüfen. Betrachten wir sie.

Major Minderjährige quadratische Form werden Minoren genannt:

das heißt, dies sind Minderjährige der Ordnung 1, 2, …, n Matrizen ABER, befindet sich in der oberen linken Ecke, der letzte von ihnen stimmt mit der Determinante der Matrix überein ABER.

Kriterium für positive Bestimmtheit (Silvester-Kriterium)

X) = x T Ah positiv definit ist, ist es notwendig und ausreichend, dass alle Hauptminoren der Matrix ABER waren positiv, das heißt: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterium der negativen Gewissheit Damit für die quadratische Form j ( X) = x T Ah negativ definit ist, ist es notwendig und ausreichend, dass seine Hauptminoren geradzahliger Ordnung positiv und die ungeradzahliger Ordnung negativ sind, d. h.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n