Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels. Sätze von Kosinus und Sinus. Rechtwinkliges Dreieck und Trigonometrie

Als die Aufgaben zur Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet wurden, versprach ich, eine Technik zum Auswendiglernen der Definitionen von Sinus und Cosinus vorzustellen. Damit merken Sie immer schnell, welches Bein zur Hypotenuse gehört (neben oder gegenüber). Ich beschloss, es nicht auf unbestimmte Zeit aufzuschieben, notwendiges Material unten, siehe bitte

Tatsache ist, dass ich immer wieder beobachtet habe, wie Schüler in den Klassen 10-11 Schwierigkeiten haben, sich diese Definitionen zu merken. Sie erinnern sich sehr gut, dass sich das Bein auf die Hypotenuse bezieht, aber auf welche- vergessen und verwirrt. Der Preis eines Fehlers ist, wie Sie in der Prüfung wissen, eine verlorene Punktzahl.

Die Informationen, die ich direkt mit Mathematik präsentieren werde, haben nichts zu tun. Sie ist verbunden mit figuratives Denken, und mit den Methoden der verbal-logischen Verbindung. Das stimmt, ich selbst habe mich ein für alle Mal daran erinnertDefinitionsdaten. Wenn Sie sie trotzdem vergessen, dann ist es mit Hilfe der vorgestellten Techniken immer leicht, sich daran zu erinnern.

Ich möchte Sie an die Definitionen von Sinus und Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern:

Kosinus spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse:

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:

Also, welche Assoziationen weckt das Wort Cosinus in Ihnen?

Wahrscheinlich hat jeder seine eigeneErinnere dich an den Link:

So haben Sie sofort einen Ausdruck im Gedächtnis -

«… Verhältnis von benachbartem Bein zu Hypotenuse».

Das Problem mit der Definition des Kosinus ist gelöst.

Wenn Sie sich an die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern müssen und sich an die Definition des Kosinus erinnern müssen, können Sie leicht feststellen, dass der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist. Es gibt schließlich nur zwei Schenkel, wenn der benachbarte Schenkel mit dem Kosinus „besetzt“ ist, dann bleibt nur die gegenüberliegende Seite für den Sinus übrig.

Was ist mit Tangens und Kotangens? Gleiche Verwirrung. Die Schüler wissen, dass dies das Verhältnis der Beine ist, aber das Problem besteht darin, sich zu merken, welches sich auf welches bezieht - entweder entgegengesetzt zu benachbart oder umgekehrt.

Definitionen:

Tangente Ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten:

Kotangens Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden:

Wie kann man sich erinnern? Es gibt zwei Möglichkeiten. Der eine verwendet auch eine verbal-logische Verbindung, der andere - eine mathematische.

Mathematische Methode

Es gibt eine solche Definition - der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels zu seinem Kosinus:

* Wenn Sie sich an die Formel erinnern, können Sie immer feststellen, dass die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten ist.

Ebenfalls.Der Kotangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Kosinus eines Winkels zu seinem Sinus:

So! Wenn Sie sich an diese Formeln erinnern, können Sie immer Folgendes feststellen:

- Die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten

- Der Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.

VERBALOGISCHE METHODE

Über Tangente. Erinnere dich an den Link:

Das heißt, wenn Sie sich an die Definition der Tangente erinnern müssen, können Sie sich anhand dieser logischen Verbindung leicht daran erinnern, was es ist

"... das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten"

Wenn es um Kotangens geht, können Sie die Definition von Kotangens leicht aussprechen, wenn Sie sich an die Definition von Tangens erinnern -

"... das Verhältnis des angrenzenden Beins zum gegenüberliegenden"

Es gibt eine interessante Technik zum Auswendiglernen von Tangens und Kotangens auf der Website " Mathematisches Tandem " , suchen.

METHODE UNIVERSAL

Du kannst einfach schleifen.Aber wie die Praxis zeigt, erinnert sich eine Person dank verbal-logischer Verbindungen lange an Informationen und nicht nur an mathematische.

Ich hoffe, das Material war hilfreich für Sie.

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Was der Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens eines Winkels ist, wird dir helfen, ein rechtwinkliges Dreieck zu verstehen.

Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, die Hypotenuse und die Beine: Die Hypotenuse ist die gegenüberliegende Seite rechter Winkel(in unserem Beispiel ist dies die Seite \(AC \)); die Beine sind die beiden verbleibenden Seiten \ (AB \) und \ (BC \) (diejenigen, die an den rechten Winkel angrenzen), außerdem, wenn wir die Beine in Bezug auf den Winkel \ (BC \) betrachten, dann das Bein \ (AB \) ist das benachbarte Bein, und das Bein \ (BC \) ist das gegenüberliegende. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?

Sinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Winkel Tangente- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zum benachbarten (nahen).

In unserem Dreieck:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).

In unserem Dreieck:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC)\]

Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein durch was geteilt werden muss, müssen Sie das klar verstehen Tangente und Kotangens nur die Beine sitzen, und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieser:

Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;

Kotangens → Berührung → Berührung → benachbart.

Zunächst ist zu beachten, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (in einem Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann stellen Sie sicher, indem Sie sich das Bild ansehen:

Betrachten wir zum Beispiel den Kosinus des Winkels \(\beta \) . Per Definition aus einem Dreieck \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), aber wir können den Kosinus des Winkels \(\beta \) aus dem Dreieck \(AHI \) berechnen: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist derselbe. Somit hängen die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.

Wenn Sie die Definitionen verstehen, dann machen Sie weiter und beheben Sie sie!

Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck \(ABC \) finden wir \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Na, hast du es verstanden? Dann versuchen Sie es selbst: Berechnen Sie dasselbe für den Winkel \(\beta \) .

Antworten: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Einheitskreis (trigonometrischer Kreis).

Nachdem wir die Konzepte von Grad und Radiant verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich \ (1 \) . Ein solcher Kreis heißt Single. Es ist sehr nützlich beim Studium der Trigonometrie. Deshalb gehen wir etwas ausführlicher darauf ein.

Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem aufgebaut. Kreisradius gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius \(AB \) ).

Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Koordinate entlang der Achse \(x \) und der Koordinate entlang der Achse \(y \) . Was sind diese Koordinatenzahlen? Und überhaupt, was haben sie mit dem Thema zu tun? Denken Sie dazu an das betrachtete rechtwinklige Dreieck. In der obigen Abbildung sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie das Dreieck \(ACG \) . Es ist rechteckig, weil \(CG \) senkrecht zur \(x \)-Achse steht.

Was ist \(\cos \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Alles ist richtig \(\cos\\alpha=\dfrac(AG)(AC)\). Außerdem wissen wir, dass \(AC \) der Radius ist Einheitskreis, was \(AC=1 \) bedeutet. Setzen Sie diesen Wert in unsere Kosinusformel ein. Folgendes passiert:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Und was ist \(\sin \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Nun, natürlich, \(\sin\alpha=\dfrac(CG)(AC)\)! Setzen Sie den Wert des Radius \ (AC \) in diese Formel ein und erhalten Sie:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Können Sie mir also sagen, was die Koordinaten des Punktes \(C \) sind, der zum Kreis gehört? Nun, auf keinen Fall? Aber was, wenn Sie erkennen, dass \(\cos \ \alpha \) und \(\sin \alpha \) nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht \(\cos \alpha \)? Nun, natürlich ist die Koordinate \(x \) ! Und welcher Koordinate entspricht \(\sin \alpha \)? Richtig, die \(y\)-Koordinate! Also der Punkt \(C(x;y)=C(\cos\alpha;\sin\alpha)\).

Was sind dann \(tg \alpha \) und \(ctg \alpha \) ? Das ist richtig, lass uns die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens verwenden und das bekommen \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Hier zum Beispiel, wie auf diesem Bild:

Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Finden wir es heraus. Dazu wenden wir uns wieder einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ein Winkel (als Nachbarwinkel \(\beta \) ). Welchen Wert haben Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate \ (y \) ; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate \ (x \) ; und die Werte von Tangens und Kotangens zu den entsprechenden Verhältnissen. Somit sind diese Beziehungen auf beliebige Drehungen des Radiusvektors anwendbar.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel einer bestimmten Größe, aber nur er wird negativ sein. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.

Wir wissen also, dass die gesamte Umdrehung des Radiusvektors um den Kreis \(360()^\circ \) oder \(2\pi \) ist. Ist es möglich, den Radiusvektor um \(390()^\circ \) oder um \(-1140()^\circ \) zu drehen? Nun, natürlich können Sie! Im ersten Fall, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), also macht der Radiusvektor eine volle Umdrehung und stoppt bei \(30()^\circ \) oder \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Im zweiten Fall \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), das heißt, der Radiusvektor macht drei vollständige Umdrehungen und stoppt an der Position \(-60()^\circ \) oder \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Aus den obigen Beispielen können wir also schließen, dass Winkel, die sich um \(360()^\circ \cdot m \) oder \(2\pi \cdot m \) unterscheiden (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist) entsprechen der gleichen Position des Radiusvektors.

Die folgende Abbildung zeigt den Winkel \(\beta =-60()^\circ \) . Dasselbe Bild entspricht der Ecke \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortführen. Alle diese Winkel können mit der allgemeinen Formel geschrieben werden \(\beta +360()^\circ \cdot m \) oder \(\beta +2\pi \cdot m \) (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Versuchen Sie nun, nachdem Sie die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen kennen und den Einheitskreis verwenden, zu beantworten, was die Werte gleich sind:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen hilft:

Irgendwelche Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Das wissen wir also:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: die Ecke rein \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten \(\left(0;1 \right) \) , also:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- existiert nicht;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Wenn wir uns an die gleiche Logik halten, stellen wir außerdem fest, dass die Ecken innen sind \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) entsprechen Punkten mit Koordinaten \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), bzw. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zuerst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- existiert nicht

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rechtspfeil \text(tg)\ 270()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin\360()^\circ=0\)

\(\cos\360()^\circ=1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- existiert nicht

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Somit können wir folgende Tabelle erstellen:

Es ist nicht nötig, sich all diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Muss sich merken oder ausgeben können!! \) !}

Und hier sind die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) In der folgenden Tabelle müssen Sie Folgendes beachten:

Keine Angst, jetzt zeigen wir eines der Beispiele für ein ziemlich einfaches Auswendiglernen der entsprechenden Werte:

Um diese Methode zu verwenden, ist es wichtig, sich die Sinuswerte für alle drei Winkelmaße zu merken ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), sowie den Wert des Tangens des Winkels in \(30()^\circ \) . Wenn Sie diese \(4 \)-Werte kennen, können Sie ganz einfach die gesamte Tabelle wiederherstellen - die Kosinuswerte werden gemäß den Pfeilen übertragen, dh:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Wenn Sie dies wissen, ist es möglich, die Werte für wiederherzustellen \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Der Zähler „\(1 \) “ entspricht \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , und der Nenner „\(\sqrt(\text(3)) \) “ entspricht \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung gezeigten Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich an das Schema mit Pfeilen erinnern, reicht es aus, sich nur \ (4 \) Werte aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden, wenn man die Koordinaten des Kreismittelpunkts, seinen Radius und seinen Rotationswinkel kennt? Nun, natürlich können Sie! Lassen Sie uns herausbringen allgemeine Formel um die Koordinaten eines Punktes zu finden. Hier haben wir zum Beispiel einen solchen Kreis:

Dieser Punkt ist uns gegeben \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist \(1,5 \) . Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes \(P \) zu finden, die durch Drehen des Punktes \(O \) um \(\delta \) Grad erhalten werden.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate \ (x \) des Punktes \ (P \) der Länge des Segments \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Die Länge des Segments \ (UK \) entspricht der Koordinate \ (x \) des Kreismittelpunkts, dh sie ist gleich \ (3 \) . Die Länge des Segments \(KQ \) kann mit der Definition von Kosinus ausgedrückt werden:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Dann haben wir für den Punkt \(P\) die Koordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Durch die gleiche Logik finden wir den Wert der y-Koordinate für den Punkt \(P\) . Auf diese Weise,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Also rein Gesamtansicht Punktkoordinaten werden durch die Formeln bestimmt:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), wo

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - Koordinaten des Kreismittelpunkts,

\(r\) - Kreisradius,

\(\delta \) - Rotationswinkel des Vektorradius.

Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Zentrums Null sind und der Radius gleich Eins ist:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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Anweisung

Wenn Sie den Kosinus finden müssen Winkel In einem beliebigen Dreieck muss der Kosinussatz verwendet werden:
wenn der Winkel spitz ist: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
wenn Winkel : cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), wobei a, b die Längen der an die Ecke angrenzenden Seiten sind, c die Länge der der Ecke gegenüberliegenden Seite ist.

Hilfreicher Rat

Die mathematische Notation für Kosinus ist cos.
Der Kosinuswert darf nicht größer als 1 und kleiner als -1 sein.

Quellen:

• wie berechnet man den cosinus eines winkels
• Trigonometrische Funktionen auf dem Einheitskreis

Kosinus- Das ist grundlegend Trigonometrische Funktion Winkel. Die Fähigkeit, den Kosinus zu bestimmen, ist in der Vektoralgebra nützlich, wenn die Projektionen von Vektoren auf verschiedene Achsen bestimmt werden.

Anweisung

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Es gibt ein Dreieck mit den Seiten a, b, c gleich 3, 4 bzw. 5 mm.

Finden Kosinus der zwischen den großen Seiten eingeschlossene Winkel.

Bezeichnen wir den der Seite a gegenüberliegenden Winkel durch?, dann gilt nach der oben hergeleiteten Formel:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Antwort: 0,8.

Wenn das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, dann zu finden Kosinus und es reicht aus, die Längen von zwei beliebigen Seiten des Winkels zu kennen ( Kosinus rechter Winkel ist 0).

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b, c, wobei c die Hypotenuse ist.

Ziehen Sie alle Optionen in Betracht:

Finden Sie cos?, wenn die Längen der Seiten a und b (eines Dreiecks) bekannt sind

Verwenden wir zusätzlich den Satz des Pythagoras:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Damit die resultierende Formel richtig ist, setzen wir sie aus Beispiel 1 ein, d.h.

Nach elementaren Berechnungen erhalten wir:

Ebenso gibt es Kosinus im Rechteck Dreieck in anderen Fällen:

Bekannte a und c (Hypotenuse und gegenüberliegendes Bein), weil finden?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Setzen wir die Werte a=3 und c=5 aus dem Beispiel ein, erhalten wir:

b und c sind bekannt (die Hypotenuse und das angrenzende Bein).

Finden Sie denn?

Nachdem wir ähnliche Transformationen durchgeführt haben (in den Beispielen 2 und 3 gezeigt), erhalten wir das in diesem Fall Kosinus in Dreieck nach einer ganz einfachen Formel berechnet:

Die Einfachheit der abgeleiteten Formel erklärt sich auf elementare Weise: in der Tat neben der Ecke? das Bein ist eine Projektion der Hypotenuse, seine Länge ist gleich der Länge der Hypotenuse multipliziert mit cos?.

Setzen wir die Werte b=4 und c=5 aus dem ersten Beispiel ein, erhalten wir:

Alle unsere Formeln sind also korrekt.

Tipp 5: So finden Sie einen spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck

Gerade Kohlensäure Das Dreieck ist aus historischer Sicht wohl eine der berühmtesten geometrischen Figuren. Pythagoräische "Hosen" können nur mit "Heureka" konkurrieren! Archimedes.

Du wirst brauchen

• - Zeichnen eines Dreiecks;
• - Herrscher;
• - Winkelmesser.

Anweisung

Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad. im Rechteck Dreieck ein Winkel (rechts) ist immer 90 Grad, und der Rest ist spitz, d.h. jeweils weniger als 90 Grad. Um zu bestimmen, welcher Winkel in einem Rechteck ist Dreieck gerade ist, messen Sie die Seiten des Dreiecks mit einem Lineal und bestimmen Sie die größte. Es ist die Hypotenuse (AB) und liegt dem rechten Winkel (C) gegenüber. Die verbleibenden zwei Seiten bilden einen rechten Winkel und Beine (AC, BC).

Wenn du festgestellt hast, welcher Winkel spitz ist, kannst du den Winkel entweder mit einem Winkelmesser oder mit berechnen mathematische Formeln.

Um den Wert des Winkels mit Hilfe eines Winkelmessers zu bestimmen, richten Sie seine Oberseite (nennen wir ihn mit dem Buchstaben A) an einer speziellen Markierung auf dem Lineal in der Mitte des Winkelmessers aus. Das AC-Bein muss mit seiner Oberkante übereinstimmen. Markieren Sie auf dem halbkreisförmigen Teil des Winkelmessers den Punkt, durch den die Hypotenuse AB verläuft. Der Wert an dieser Stelle entspricht dem Winkelwert in Grad. Wenn auf dem Winkelmesser 2 Werte angezeigt werden, müssen Sie für einen spitzen Winkel einen kleineren und für einen stumpfen einen größeren wählen.

Finden Sie den resultierenden Wert in den Referenz-Bradis und bestimmen Sie, welcher Winkel dem resultierenden Zahlenwert entspricht. Unsere Großmütter verwendeten diese Methode.

Bei uns genügt es, die Berechnungsfunktion mitzunehmen trigonometrische Formeln. Zum Beispiel der eingebaute Windows-Rechner. Starten Sie die Anwendung "Rechner", wählen Sie im Menüpunkt "Ansicht" den Punkt "Engineering". Berechnen Sie den Sinus des gewünschten Winkels, zum Beispiel sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Schalten Sie den Taschenrechner um Umkehrfunktionen indem Sie auf der Rechneranzeige auf die Schaltfläche INV klicken, und dann auf die Arcussinus-Funktionsschaltfläche (auf der Anzeige als sin auf minus ein Grad gekennzeichnet). Im Berechnungsfenster erscheint die folgende Beschriftung: asind (0,5) = 30. Das heißt, der gewünschte Winkel beträgt 30 Grad.

Quellen:

• Bradis-Tabellen (Sinus, Cosinus)

Der Kosinussatz in der Mathematik wird am häufigsten verwendet, wenn es notwendig ist, die dritte Seite durch einen Winkel und zwei Seiten zu finden. Manchmal ist die Bedingung des Problems jedoch umgekehrt: Es ist erforderlich, den Winkel für drei gegebene Seiten zu finden.

Anweisung

Stellen Sie sich vor, Sie hätten ein Dreieck mit bekannter Länge von zwei Seiten und dem Wert eines Winkels. Alle Winkel dieses Dreiecks sind nicht gleich, und seine Seiten sind auch unterschiedlich groß. Der Winkel γ liegt der mit AB bezeichneten Seite des Dreiecks gegenüber, was diese Figur ist. Durch diesen Winkel sowie durch die übrigen Seiten AC und BC kann man mit Hilfe des Kosinussatzes die unbekannte Seite des Dreiecks finden und daraus folgende Formel ableiten:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, wobei a=BC, b=AB, c=AC
Der Kosinussatz wird auch als verallgemeinerter Satz des Pythagoras bezeichnet.

Stellen Sie sich nun vor, dass alle drei Seiten der Figur gegeben sind, aber ihr Winkel γ unbekannt ist. Wenn Sie wissen, dass die Form a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ ist, transformieren Sie diesen Ausdruck so, dass der gewünschte Wert der Winkel γ ist: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Bringen Sie dann die obige Gleichung in eine etwas andere Form: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Dann ist dieser Ausdruck wie folgt umzuformen: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Es bleibt, die Zahlen in der Formel zu ersetzen und die Berechnungen durchzuführen.

Um den Kosinus zu finden, der als γ bezeichnet wird, muss er durch die inverse Trigonometrie ausgedrückt werden, die als inverser Kosinus bezeichnet wird. Der Arkuskosinus der Zahl m ist der Wert des Winkels γ, für den der Kosinus des Winkels γ gleich m ist. Die Funktion y=arccos m ist fallend. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass der Kosinus des Winkels γ die Hälfte ist. Dann lässt sich der Winkel γ über den Arcuscosinus wie folgt definieren:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, wobei m = 1/2.
In ähnlicher Weise können Sie die verbleibenden Winkel eines Dreiecks mit zwei anderen unbekannten Seiten finden.

Sinus und Cosinus sind zwei trigonometrische Funktionen, die „Geraden“ genannt werden. Sie müssen häufiger als andere berechnet werden, und jeder von uns hat heute eine beträchtliche Auswahl an Optionen, um dieses Problem zu lösen. Unten sind ein paar der meisten einfache Wege.

Anweisung

Verwenden Sie einen Winkelmesser, Bleistift und Papier, wenn andere Berechnungsmethoden nicht verfügbar sind. Eine der Definitionen des Kosinus wird durch spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben - er ist gleich dem Verhältnis zwischen der Länge des diesem Winkel gegenüberliegenden Schenkels und der Länge. Zeichne ein Dreieck, bei dem einer der Winkel recht ist (90°) und der andere der Winkel ist, den du berechnen möchtest. Die Länge der Seiten spielt keine Rolle - zeichnen Sie sie so, dass Sie bequemer messen können. Messen Sie die Länge des gewünschten Beins und der Hypotenuse und teilen Sie die erste durch die zweite auf beliebige Weise.

Nutzen Sie den Wert trigonometrischer Funktionen mit dem integrierten Taschenrechner Suchmaschine Nigma, wenn Sie einen Internetzugang haben. Wenn Sie beispielsweise den Kosinus eines Winkels von 20° berechnen möchten, dann durch Laden Startseite Service http://nigma.ru geben Sie die Suchanfrage „Cosinus 20“ ein und klicken Sie auf die Schaltfläche „Find!“. Sie können „Grad“ weglassen und das Wort „Cosinus“ durch cos ersetzen – in jedem Fall zeigt die Suchmaschine das Ergebnis mit einer Genauigkeit von bis zu 15 Dezimalstellen an (0,939692620785908).

Öffnen Sie das Standardprogramm - installiert mit dem Betriebssystem Windows-System wenn kein Internetzugang vorhanden ist. Dies kann beispielsweise durch gleichzeitiges Drücken der Tasten win und r erfolgen, dann der Befehl calc eingegeben und auf die Schaltfläche OK geklickt werden. Um trigonometrische Funktionen zu berechnen, gibt es hier eine Schnittstelle namens "Engineering" oder "Scientific" (je nach Betriebssystemversion) - wählen Sie das gewünschte Element im Abschnitt "Ansicht" des Taschenrechnermenüs aus. Geben Sie danach den Wert des Winkels ein und klicken Sie auf die cos-Schaltfläche in der Programmoberfläche.

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Tipp 8: So bestimmen Sie Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck

Rechteckig zeichnet sich durch bestimmte Verhältnisse zwischen Winkeln und Seiten aus. Wenn Sie die Werte einiger von ihnen kennen, können Sie andere berechnen. Dazu werden Formeln verwendet, die wiederum auf den Axiomen und Theoremen der Geometrie beruhen.

Kosinus ist eine bekannte trigonometrische Funktion, die auch eine der Hauptfunktionen der Trigonometrie ist. Der Kosinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels des Dreiecks zur Hypotenuse des Dreiecks. Meistens ist die Definition von Kosinus mit einem Dreieck von genau rechteckigem Typ verbunden. Aber es kommt auch vor, dass der Winkel, für den der Kosinus in einem Dreieck vom rechteckigen Typ berechnet werden muss, nicht in diesem Dreieck vom rechteckigen Typ liegt. Was dann tun? Wie findet man den Kosinus des Winkels eines Dreiecks?

Wenn Sie den Kosinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen möchten, dann ist alles ganz einfach. Sie müssen sich nur an die Definition des Kosinus erinnern, in der die Lösung für dieses Problem liegt. Sie müssen nur das richtige Verhältnis zwischen finden benachbartes Bein, sowie die Hypotenuse des Dreiecks. Tatsächlich ist es hier nicht schwierig, den Kosinus eines Winkels auszudrücken. Die Formel sieht so aus: - cosα = a/c, hier ist "a" die Beinlänge bzw. die Seite "c" die Länge der Hypotenuse. Mit dieser Formel kann beispielsweise der Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ermittelt werden.

Wenn Sie sich dafür interessieren, was der Kosinus eines Winkels in einem beliebigen Dreieck ist, hilft Ihnen der Kosinussatz, der in solchen Fällen verwendet werden sollte. Der Kosinussatz besagt, dass das Seitenquadrat eines Dreiecks a priori ist ist gleich der Summe die Quadrate der übrigen Seiten desselben Dreiecks, jedoch ohne das doppelte Produkt dieser Seiten mit dem Kosinus des dazwischen liegenden Winkels.

1. Wenn Sie den Kosinus eines spitzen Winkels in einem Dreieck finden müssen, müssen Sie die folgende Formel verwenden: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Wenn in einem Dreieck der Kosinus eines stumpfen Winkels ermittelt werden muss, müssen Sie die folgende Formel verwenden: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Die Bezeichnungen in der Formel - a und b - sind die Längen der Seiten, die dem gewünschten Winkel benachbart sind, c ist die Länge der Seite, die dem gewünschten Winkel gegenüberliegt.

Auch der Kosinus eines Winkels kann mit dem Sinussatz berechnet werden. Sie besagt, dass alle Seiten eines Dreiecks proportional zum Sinus der gegenüberliegenden Winkel sind. Mit dem Sinussatz können Sie die restlichen Elemente eines Dreiecks berechnen, wenn Sie nur zwei Seiten und einen Winkel kennen, der einer Seite gegenüberliegt, oder zwei Winkel und eine Seite. Betrachten Sie ein Beispiel. Problembedingungen: a=1; b=2; c=3. Der Winkel, der der Seite "A" gegenüberliegt, bezeichnet - α, dann haben wir gemäß den Formeln: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Antwort 1.

Wenn der Kosinus des Winkels nicht in einem Dreieck, sondern in einem anderen beliebigen Dreieck berechnet werden muss geometrische Figur, hier wird es etwas komplizierter. Zuerst muss der Wert des Winkels in Bogenmaß oder Grad bestimmt werden und erst dann der Kosinus aus diesem Wert berechnet werden. Kosinus durch numerischen Wert wird unter Verwendung von Bradis-Tabellen, technischen Taschenrechnern oder speziellen mathematischen Anwendungen bestimmt.

Spezielle mathematische Anwendungen können Funktionen wie die automatische Berechnung des Kosinus von Winkeln in einer gegebenen Figur haben. Das Schöne an solchen Anwendungen ist, dass sie die richtige Antwort geben und der Benutzer seine Zeit nicht damit verbringt, manchmal recht komplexe Probleme zu lösen. Andererseits gehen mit der ständigen Verwendung ausschließlich von Anwendungen zur Problemlösung alle Fähigkeiten zur Arbeit mit der Lösung mathematischer Probleme zur Bestimmung des Kosinus von Winkeln in Dreiecken sowie anderer willkürlicher Figuren verloren.

Ich denke, du verdienst mehr als das. Hier ist mein Schlüssel zur Trigonometrie:

• Zeichne Kuppel, Wand und Decke
• Trigonometrische Funktionen sind nichts anderes als Prozentsatz diese drei Formen.

Metapher für Sinus und Kosinus: Kuppel

Anstatt nur die Dreiecke selbst zu betrachten, stellen Sie sie sich in Aktion vor, indem Sie ein bestimmtes Beispiel aus dem wirklichen Leben finden.

Stellen Sie sich vor, Sie befinden sich mitten in einer Kuppel und möchten eine Filmleinwand aufhängen. Sie zeigen mit Ihrem Finger in einem "x" -Winkel auf die Kuppel, und an diesem Punkt sollte ein Bildschirm aufgehängt werden.

Der Winkel, auf den Sie zeigen, bestimmt:

• sin(x) = sin(x) = Bildschirmhöhe (Befestigungspunkt vom Boden bis zur Kuppel)
• cosinus(x) = cos(x) = Entfernung von Ihnen zum Bildschirm (pro Etage)
• Hypotenuse, der Abstand von Ihnen zum oberen Rand des Bildschirms, immer gleich, gleich dem Radius der Kuppel

Möchten Sie, dass der Bildschirm so groß wie möglich ist? Hänge es direkt über dir auf.

Möchten Sie, dass der Bildschirm so weit wie möglich von Ihnen entfernt hängt? Hängen Sie es gerade senkrecht auf. Der Bildschirm hat an dieser Position eine Höhe von Null und hängt so weit nach hinten, wie Sie es angefordert haben.

Die Höhe und der Abstand zum Bildschirm sind umgekehrt proportional: Je näher der Bildschirm hängt, desto höher wird seine Höhe sein.

Sinus und Cosinus sind Prozentangaben

Leider hat mir in meinen Studienjahren niemand erklärt, dass die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus nichts anderes als Prozentzahlen sind. Ihre Werte reichen von +100 % über 0 bis -100 % oder von einem positiven Maximum über Null bis zu einem negativen Maximum.

Nehmen wir an, ich habe eine Steuer von 14 Rubel bezahlt. Du weißt nicht, wie viel es ist. Aber wenn Sie sagen, dass ich 95 % Steuern bezahlt habe, werden Sie verstehen, dass ich einfach wie ein Klebriges gehäutet wurde.

Absolute Höhe bedeutet nichts. Aber wenn der Sinuswert 0,95 beträgt, dann verstehe ich, dass der Fernseher fast über Ihrer Kuppel hängt. Sehr bald wird es erreichen maximale Höhe in der Mitte der Kuppel und beginnen dann wieder zu sinken.

Wie können wir diesen Prozentsatz berechnen? Ganz einfach: Teilen Sie die aktuelle Bildschirmhöhe durch die maximal mögliche (den Radius der Kuppel, auch Hypotenuse genannt).

Deshalb uns wird gesagt, dass „Kosinus = Gegenschenkel / Hypotenuse“. Dies ist alles, um einen Prozentsatz zu erhalten! Der beste Weg, den Sinus zu definieren, ist „der Prozentsatz der aktuellen Höhe vom maximal möglichen“. (Der Sinus wird negativ, wenn Ihr Winkel „unterirdisch“ zeigt. Der Kosinus wird negativ, wenn der Winkel auf den Kuppelpunkt hinter Ihnen zeigt.)

Vereinfachen wir die Berechnungen, indem wir annehmen, dass wir uns im Mittelpunkt des Einheitskreises befinden (Radius = 1). Wir können die Division überspringen und einfach den Sinus gleich der Höhe nehmen.

Jeder Kreis ist tatsächlich ein einziger, vergrößert oder verkleinert auf die gewünschte Größe. Ermitteln Sie also die Verhältnisse auf dem Einheitskreis und wenden Sie die Ergebnisse auf Ihre jeweilige Kreisgröße an.

Experiment: Nehmen Sie eine beliebige Ecke und sehen Sie, wie viel Prozent von Höhe zu Breite sie anzeigt:

Der Graph des Wachstums des Sinuswerts ist nicht nur eine gerade Linie. Die ersten 45 Grad decken 70 % der Höhe ab, die letzten 10 Grad (von 80° bis 90°) nur 2 %.

Dadurch wird Ihnen klar: Wenn Sie im Kreis gehen, steigen Sie bei 0 ° fast senkrecht auf, aber wenn Sie sich der Spitze der Kuppel nähern, ändert sich die Höhe immer weniger.

Tangente und Sekante. Wand

Eines Tages baute ein Nachbar eine Mauer gleich Rücken an Rücken zu deiner Kuppel. Ihren Blick aus dem Fenster geweint und Guter Preis zum Weiterverkauf!

Aber ist es möglich, in dieser Situation irgendwie zu gewinnen?

Ja natürlich. Was wäre, wenn wir eine Kinoleinwand direkt an die Wand des Nachbarn hängen würden? Du zielst auf die Ecke (x) und erhältst:

• tan(x) = tan(x) = Bildschirmhöhe an der Wand
• Abstand von dir zur Wand: 1 (das ist der Radius deiner Kuppel, die Wand bewegt sich nicht von dir weg, oder?)
• secant(x) = sec(x) = „Länge der Leiter“ von Ihnen, der in der Mitte der Kuppel steht, bis zur Spitze des aufgehängten Bildschirms

Lassen Sie uns ein paar Dinge über die Tangente oder Bildschirmhöhe klären.

• es beginnt bei 0 und kann unendlich hoch werden. Sie können den Bildschirm immer höher an der Wand spannen, um eine endlose Leinwand zum Ansehen Ihres Lieblingsfilms zu erhalten! (Für so einen großen muss man natürlich viel Geld ausgeben).
• Tangens ist nur eine vergrößerte Version des Sinus! Und während sich das Wachstum des Sinus verlangsamt, wenn Sie sich der Spitze der Kuppel nähern, wächst die Tangente weiter!

Sekansu hat auch etwas zu prahlen:

• die sekante beginnt bei 1 (die leiter steht auf dem boden, von dir weg zur wand) und beginnt von dort aus nach oben zu gehen
• Die Sekante ist immer länger als die Tangente. Die schräge Leiter, mit der Sie Ihren Bildschirm aufhängen, muss länger sein als der Bildschirm selbst, oder? (Bei unrealistischen Größen, wenn der Bildschirm sooooo lang ist und die Leiter fast senkrecht aufgestellt werden muss, sind ihre Größen fast gleich. Aber selbst dann wird die Sekante etwas länger sein).

Denken Sie daran, die Werte sind Prozent. Wenn Sie sich entscheiden, den Bildschirm in einem Winkel von 50 Grad aufzuhängen, ist tan(50)=1,19. Ihr Bildschirm ist 19% größer als der Abstand zur Wand (Kuppelradius).

(Geben Sie x=0 ein und testen Sie Ihre Intuition - tan(0) = 0 und sec(0) = 1.)

Kotangens und Kosekan. Decke

Unglaublich, Ihr Nachbar hat jetzt beschlossen, eine Decke über Ihrer Kuppel zu bauen. (Was ist mit ihm los? Er will anscheinend nicht, dass du ihn anstarrst, während er nackt auf dem Hof ​​herumläuft...)

Nun, es ist Zeit, einen Ausgang zum Dach zu bauen und mit dem Nachbarn zu sprechen. Sie wählen den Neigungswinkel und beginnen mit dem Bau:

• der vertikale Abstand zwischen Dachgully und Boden ist immer 1 (Radius der Kuppel)
• Kotangens(x) = Kinderbett(x) = Abstand zwischen Kuppeloberseite und Austrittspunkt
• Kosekans (x) = csc (x) = Länge Ihres Weges zum Dach

Tangens und Sekante beschreiben die Wand, während Kotangens und Kosekan den Boden beschreiben.

Unsere intuitiven Schlussfolgerungen sind diesmal ähnlich wie die vorherigen:

• Wenn Sie einen Winkel von 0° wählen, dauert Ihr Ausgang zum Dach ewig, da er niemals die Decke erreicht. Problem.
• Die kürzeste „Treppe“ zum Dach erhalten Sie, wenn Sie sie in einem Winkel von 90 Grad zum Boden bauen. Der Kotangens ist gleich 0 (wir bewegen uns überhaupt nicht entlang des Daches, wir treten streng senkrecht aus), und der Kosekan ist gleich 1 („die Länge der Leiter“ ist minimal).

Verbindungen visualisieren

Werden alle drei Fälle in einer Kuppel-Wand-Boden-Kombination gezeichnet, ergibt sich:

Nun, wow, es ist alles das gleiche Dreieck, vergrößert, um die Wand und die Decke zu erreichen. Wir haben vertikale Seiten (Sinus, Tangens), horizontale Seiten (Kosinus, Kotangens) und „Hypotenusen“ (Sekante, Kosekan). (Sie können anhand der Pfeile sehen, wie weit jedes Element reicht. Der Kosekan ist die Gesamtentfernung von Ihnen bis zum Dach).

Ein bisschen Magie. Alle Dreiecke haben die gleichen Gleichheiten:

Aus dem Satz des Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2) sehen wir, wie die Seiten jedes Dreiecks verbunden sind. Außerdem müssen auch die Höhen-Breiten-Verhältnisse für alle Dreiecke gleich sein. (Bewegen Sie sich einfach vom größten Dreieck zum kleineren zurück. Ja, die Größe hat sich geändert, aber die Proportionen der Seiten bleiben gleich).

Wenn wir wissen, welche Seite in jedem Dreieck 1 ist (der Radius der Kuppel), können wir leicht berechnen, dass "sin/cos = tan/1".

Ich habe immer versucht, mir diese Tatsachen durch einfache Visualisierung zu merken. Auf dem Bild können Sie diese Abhängigkeiten deutlich sehen und verstehen, woher sie kommen. Diese Technik ist viel besser als das Auswendiglernen trockener Formeln.

Vergessen Sie nicht andere Winkel

Shh… Sie müssen sich nicht an einem Diagramm aufhängen und denken, dass die Tangente immer kleiner als 1 ist. Wenn Sie den Winkel vergrößern, können Sie die Decke erreichen, ohne die Wand zu erreichen:

Pythagoreische Verbindungen funktionieren immer, aber die relativen Größen können unterschiedlich sein.

(Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass das Verhältnis von Sinus und Cosinus immer am kleinsten ist, weil sie in einer Kuppel eingeschlossen sind.)

Zusammenfassend: Woran müssen wir uns erinnern?

Für die meisten von uns würde ich sagen, dass dies ausreichen wird:

• Trigonometrie erklärt die Anatomie mathematischer Objekte wie Kreise und sich wiederholende Intervalle
• Die Kuppel/Wand/Dach-Analogie zeigt die Beziehung zwischen verschiedenen trigonometrischen Funktionen
• das Ergebnis der trigonometrischen Funktionen sind die Prozentsätze, die wir auf unser Szenario anwenden.

Formeln wie 1 2 + Kinderbett 2 = csc 2 müssen Sie sich nicht merken. Sie eignen sich nur für dumme Tests, bei denen das Wissen um einen Sachverhalt als Verstehen präsentiert wird. Nehmen Sie sich eine Minute Zeit, um einen Halbkreis in Form einer Kuppel, einer Wand und eines Dachs zu zeichnen, unterschreiben Sie die Elemente, und alle Formeln werden für Sie auf Papier angefordert.

Anwendung: Umkehrfunktionen

Jede trigonometrische Funktion nimmt einen Winkel als Eingabe und gibt das Ergebnis als Prozentsatz zurück. sin(30) = 0,5. Das bedeutet, dass ein Winkel von 30 Grad 50 % der maximalen Höhe einnimmt.

Die inverse trigonometrische Funktion wird als sin -1 oder arcsin („arxine“) geschrieben. Es wird auch oft in verschiedenen Programmiersprachen geschrieben.

Wenn unsere Höhe 25 % der Höhe der Kuppel beträgt, welchen Winkel haben wir dann?

In unserer Proportionstabelle finden Sie das Verhältnis, bei dem die Sekante durch 1 geteilt wird. Zum Beispiel ist die Sekante durch 1 (die Hypotenuse zur Horizontalen) gleich 1 geteilt durch den Kosinus:

Nehmen wir an, unsere Sekante ist 3,5, d.h. 350 % des Einheitskreisradius. Welchem ​​Neigungswinkel zur Wand entspricht dieser Wert?

Anhang: Einige Beispiele

Beispiel: Finden Sie den Sinus des Winkels x.

Langweilige Aufgabe. Verkomplizieren wir das banale „Finde den Sinus“ zu „Was ist die Höhe in Prozent des Maximums (Hypotenuse)?“.

Beachten Sie zunächst, dass das Dreieck gedreht ist. Daran ist nichts auszusetzen. Das Dreieck hat auch eine Höhe, die in der Abbildung grün dargestellt ist.

Was ist die Hypotenuse gleich? Nach dem Satz des Pythagoras wissen wir:

3 2 + 4 2 = Hypotenuse 2 25 = Hypotenuse 2 5 = Hypotenuse

Also! Der Sinus ist der Prozentsatz der Höhe von der längsten Seite des Dreiecks oder der Hypotenuse. In unserem Beispiel ist der Sinus 3/5 oder 0,60.

Natürlich können wir mehrere Wege gehen. Jetzt wissen wir, dass der Sinus 0,60 ist und wir können einfach den Arkussinus finden:

Asin(0,6)=36,9

Und hier ist ein weiterer Ansatz. Beachten Sie, dass das Dreieck "von Angesicht zu Angesicht mit der Wand" ist, sodass wir Tangente anstelle von Sinus verwenden können. Die Höhe ist 3, der Abstand zur Wand ist 4, also ist die Tangente ¾ oder 75%. Wir können den Bogentangens verwenden, um vom Prozentsatz zurück zum Winkel zu gehen:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Beispiel: Wirst du ans Ufer schwimmen?

Sie sitzen in einem Boot und haben genug Treibstoff, um 2 km zu segeln. Sie sind jetzt 0,25 km von der Küste entfernt. In welchem ​​maximalen Winkel zum Ufer können Sie es anschwimmen, damit Sie genug Treibstoff haben? Ergänzung zur Bedingung des Problems: Wir haben nur eine Tabelle mit Arcus-Cosinus-Werten.

Was wir haben? Küste kann man sich in unserem berühmten Dreieck als „Mauer“ vorstellen, und die „Länge einer Leiter“, die an der Mauer befestigt ist, ist die maximal mit dem Boot überwindbare Distanz zum Ufer (2 km). Es entsteht eine Sekante.

Zuerst müssen Sie zu Prozentsätzen wechseln. Wir haben 2 / 0,25 = 8, was bedeutet, dass wir die 8-fache direkte Distanz zum Ufer (oder zur Wand) schwimmen können.

Es stellt sich die Frage „Was ist die Sekante 8?“. Aber wir können darauf keine Antwort geben, da wir nur Arkuskosinus haben.

Wir verwenden unsere zuvor abgeleiteten Abhängigkeiten, um die Sekante auf den Kosinus abzubilden: „sec/1 = 1/cos“

Die Sekante von 8 ist gleich dem Kosinus von ⅛. Ein Winkel, dessen Kosinus ⅛ ist, ist acos(1/8) = 82,8. Und das ist der größte Winkel, den wir uns auf einem Boot mit der angegebenen Kraftstoffmenge leisten können.

Nicht schlecht, oder? Ohne die Kuppel-Wand-Decke-Analogie wäre ich in einer Reihe von Formeln und Berechnungen verwirrt. Die Visualisierung des Problems vereinfacht die Suche nach einer Lösung erheblich, außerdem ist es interessant zu sehen, welche trigonometrische Funktion letztendlich hilft.

Denken Sie bei jeder Aufgabe so: Bin ich an einer Kuppel (sin/cos), einer Wand (tan/sec) oder einer Decke (cot/csc) interessiert?

Und Trigonometrie wird viel angenehmer. Einfache Berechnungen für Sie!