So finden Sie das Verhältnis des benachbarten Beins zur Hypotenuse. Definitionsbereiche und Werte, Zunahme, Abnahme. Graph der Tangensfunktion, y = tg x

Als die Aufgaben zur Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet wurden, versprach ich, eine Technik zum Auswendiglernen der Definitionen von Sinus und Cosinus vorzustellen. Damit merken Sie immer schnell, welches Bein zur Hypotenuse gehört (neben oder gegenüber). Ich beschloss, es nicht auf unbestimmte Zeit aufzuschieben, notwendiges Material unten, siehe bitte

Tatsache ist, dass ich immer wieder beobachtet habe, wie Schüler in den Klassen 10-11 Schwierigkeiten haben, sich diese Definitionen zu merken. Sie erinnern sich sehr gut, dass sich das Bein auf die Hypotenuse bezieht, aber auf welche- vergessen und verwirrt. Der Preis eines Fehlers ist, wie Sie in der Prüfung wissen, eine verlorene Punktzahl.

Die Informationen, die ich direkt mit Mathematik präsentieren werde, haben nichts zu tun. Sie ist verbunden mit figuratives Denken, und mit den Methoden der verbal-logischen Verbindung. Das stimmt, ich selbst habe mich ein für alle Mal daran erinnertDefinitionsdaten. Wenn Sie sie dennoch vergessen, dann ist es mit Hilfe der vorgestellten Techniken immer leicht, sich daran zu erinnern.

Erinnere dich an die Definitionen von Sinus und Cosinus in rechtwinkliges Dreieck:

Kosinus spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse:

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:

Also, welche Assoziationen weckt das Wort Cosinus in Ihnen?

Wahrscheinlich hat jeder seine eigeneErinnere dich an den Link:

So haben Sie sofort einen Ausdruck im Gedächtnis -

«… Verhältnis von benachbartem Bein zu Hypotenuse».

Das Problem mit der Definition des Kosinus ist gelöst.

Wenn Sie sich an die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern müssen und sich an die Definition des Kosinus erinnern, können Sie leicht feststellen, dass der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist. Es gibt schließlich nur zwei Schenkel, wenn der benachbarte Schenkel mit dem Kosinus „besetzt“ ist, dann bleibt nur die gegenüberliegende Seite für den Sinus übrig.

Was ist mit Tangens und Kotangens? Gleiche Verwirrung. Die Schüler wissen, dass dies das Verhältnis der Beine ist, aber das Problem besteht darin, sich zu merken, welches sich auf welches bezieht - entweder entgegengesetzt zu benachbart oder umgekehrt.

Definitionen:

Tangente Ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten:

Kotangens Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden:

Wie kann man sich erinnern? Es gibt zwei Möglichkeiten. Der eine verwendet auch eine verbal-logische Verbindung, der andere - eine mathematische.

Mathematische Methode

Es gibt eine solche Definition - der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels zu seinem Kosinus:

* Wenn Sie sich an die Formel erinnern, können Sie immer feststellen, dass die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten ist.

Ebenfalls.Der Kotangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Kosinus eines Winkels zu seinem Sinus:

So! Wenn Sie sich an diese Formeln erinnern, können Sie immer Folgendes feststellen:

- Die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten

- Der Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.

VERBALOGISCHE METHODE

Über Tangente. Erinnere dich an den Link:

Das heißt, wenn Sie sich an die Definition der Tangente erinnern müssen, können Sie sich anhand dieser logischen Verbindung leicht daran erinnern, was es ist

"... das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten"

Wenn es um Kotangens geht, dann können Sie sich an die Definition von Tangens erinnern und die Definition von Kotangens leicht aussprechen -

"... das Verhältnis des angrenzenden Beins zum gegenüberliegenden"

Es gibt eine interessante Technik zum Auswendiglernen von Tangens und Kotangens auf der Website " Mathematisches Tandem " , suchen.

METHODE UNIVERSAL

Du kannst einfach schleifen.Aber wie die Praxis zeigt, erinnert sich eine Person dank verbal-logischer Verbindungen lange an Informationen und nicht nur an mathematische.

Ich hoffe, das Material war hilfreich für Sie.

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Was der Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens eines Winkels ist, wird dir helfen, ein rechtwinkliges Dreieck zu verstehen.

Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite \ (AC \) ); die Beine sind die beiden verbleibenden Seiten \ (AB \) und \ (BC \) (diejenigen, die benachbart sind rechter Winkel), außerdem, wenn wir die Beine in Bezug auf den Winkel \ (BC \) betrachten, dann ist das Bein \ (AB \) das benachbarte Bein und das Bein \ (BC \) das gegenüberliegende. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?

Sinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Winkel Tangente- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zum benachbarten (nahen).

In unserem Dreieck:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).

In unserem Dreieck:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC)\]

Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein durch was geteilt werden muss, müssen Sie das klar verstehen Tangente und Kotangens nur die Beine sitzen, und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieser:

Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;

Kotangens → Berührung → Berührung → benachbart.

Zunächst ist zu beachten, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (in einem Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann stellen Sie sicher, indem Sie sich das Bild ansehen:

Betrachten wir zum Beispiel den Kosinus des Winkels \(\beta \) . Per Definition aus einem Dreieck \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), aber wir können den Kosinus des Winkels \(\beta \) aus dem Dreieck \(AHI \) berechnen: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist gleich. Somit hängen die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.

Wenn Sie die Definitionen verstehen, dann machen Sie weiter und beheben Sie sie!

Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck \(ABC \) finden wir \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Na, hast du es verstanden? Dann versuchen Sie es selbst: Berechnen Sie dasselbe für den Winkel \(\beta \) .

Antworten: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Einheitskreis (trigonometrischer Kreis).

Nachdem wir die Konzepte von Grad und Radiant verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich \ (1 \) . Ein solcher Kreis heißt Single. Es ist sehr nützlich beim Studium der Trigonometrie. Deshalb gehen wir etwas ausführlicher darauf ein.

Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem aufgebaut. Kreisradius gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius \(AB \) ).

Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Koordinate entlang der Achse \(x \) und der Koordinate entlang der Achse \(y \) . Was sind diese Koordinatenzahlen? Und überhaupt, was haben sie mit dem Thema zu tun? Denken Sie dazu an das betrachtete rechtwinklige Dreieck. In der obigen Abbildung sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie das Dreieck \(ACG \) . Es ist rechteckig, weil \(CG \) senkrecht zur \(x \)-Achse steht.

Was ist \(\cos \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Alles ist richtig \(\cos\\alpha=\dfrac(AG)(AC)\). Außerdem wissen wir, dass \(AC \) der Radius des Einheitskreises ist, also \(AC=1 \) . Setzen Sie diesen Wert in unsere Kosinusformel ein. Folgendes passiert:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Und was ist \(\sin \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Nun, natürlich, \(\sin\alpha=\dfrac(CG)(AC)\)! Setzen Sie den Wert des Radius \ (AC \) in diese Formel ein und erhalten Sie:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Können Sie mir also sagen, was die Koordinaten des Punktes \(C \) sind, der zum Kreis gehört? Nun, auf keinen Fall? Aber was, wenn Sie erkennen, dass \(\cos \ \alpha \) und \(\sin \alpha \) nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht \(\cos \alpha \)? Nun, natürlich ist die Koordinate \(x \) ! Und welcher Koordinate entspricht \(\sin \alpha \)? Richtig, die \(y\)-Koordinate! Also der Punkt \(C(x;y)=C(\cos\alpha;\sin\alpha)\).

Was sind dann \(tg \alpha \) und \(ctg \alpha \) ? Das ist richtig, lass uns die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens verwenden und das bekommen \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Hier zum Beispiel, wie auf diesem Bild:

Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Finden wir es heraus. Dazu wenden wir uns wieder einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ein Winkel (als Nebenwinkel \(\beta \) ). Welchen Wert haben Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate \ (y \) ; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate \ (x \) ; und die Werte von Tangens und Kotangens zu den entsprechenden Verhältnissen. Somit sind diese Beziehungen auf beliebige Drehungen des Radiusvektors anwendbar.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel einer bestimmten Größe, aber nur er wird negativ sein. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.

Wir wissen also, dass die gesamte Umdrehung des Radiusvektors um den Kreis \(360()^\circ \) oder \(2\pi \) ist. Ist es möglich, den Radiusvektor um \(390()^\circ \) oder um \(-1140()^\circ \) zu drehen? Nun, natürlich können Sie! Im ersten Fall, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), also macht der Radiusvektor eine volle Umdrehung und stoppt bei \(30()^\circ \) oder \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Im zweiten Fall \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), das heißt, der Radiusvektor macht drei vollständige Umdrehungen und stoppt an der Position \(-60()^\circ \) oder \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Aus den obigen Beispielen können wir also schließen, dass Winkel, die sich um \(360()^\circ \cdot m \) oder \(2\pi \cdot m \) unterscheiden (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist) entsprechen der gleichen Position des Radiusvektors.

Die folgende Abbildung zeigt den Winkel \(\beta =-60()^\circ \) . Dasselbe Bild entspricht der Ecke \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortführen. Alle diese Winkel können mit der allgemeinen Formel geschrieben werden \(\beta +360()^\circ \cdot m\) oder \(\beta +2\pi \cdot m \) (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Nun, die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen kennen und verwenden Einheitskreis, versuchen Sie zu beantworten, was die Werte gleich sind:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen hilft:

Irgendwelche Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Das wissen wir also:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: die Ecke rein \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten \(\left(0;1 \right) \) , also:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- existiert nicht;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Wenn wir uns an die gleiche Logik halten, stellen wir außerdem fest, dass die Ecken innen sind \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) entsprechen Punkten mit Koordinaten \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), bzw. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zuerst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- existiert nicht

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rechtspfeil \text(tg)\ 270()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin\360()^\circ=0\)

\(\cos\360()^\circ=1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- existiert nicht

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Somit können wir folgende Tabelle erstellen:

Es ist nicht nötig, sich all diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Muss sich merken oder ausgeben können!! \) !}

Und hier sind die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) In der folgenden Tabelle müssen Sie Folgendes beachten:

Keine Angst, jetzt zeigen wir eines der Beispiele für ein ziemlich einfaches Auswendiglernen der entsprechenden Werte:

Um diese Methode zu verwenden, ist es wichtig, sich die Sinuswerte für alle drei Winkelmaße zu merken ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), sowie den Wert des Tangens des Winkels in \(30()^\circ \) . Wenn Sie diese \(4 \)-Werte kennen, können Sie ganz einfach die gesamte Tabelle wiederherstellen - die Kosinuswerte werden gemäß den Pfeilen übertragen, dh:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Wenn Sie dies wissen, ist es möglich, die Werte für wiederherzustellen \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Der Zähler „\(1 \) “ entspricht \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , und der Nenner „\(\sqrt(\text(3)) \) “ entspricht \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung gezeigten Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich an das Schema mit Pfeilen erinnern, reicht es aus, sich nur \(4 \) Werte aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden, wenn man die Koordinaten des Kreismittelpunkts, seinen Radius und seinen Rotationswinkel kennt? Nun, natürlich können Sie! Lassen Sie uns herausbringen allgemeine Formel um die Koordinaten eines Punktes zu finden. Hier haben wir zum Beispiel einen solchen Kreis:

Dieser Punkt ist uns gegeben \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist \(1,5 \) . Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes \(P \) zu finden, die durch Drehen des Punktes \(O \) um \(\delta \) Grad erhalten werden.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate \ (x \) des Punktes \ (P \) der Länge des Segments \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Die Länge des Segments \ (UK \) entspricht der Koordinate \ (x \) des Kreismittelpunkts, dh sie ist gleich \ (3 \) . Die Länge des Segments \(KQ \) kann mit der Definition von Kosinus ausgedrückt werden:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Dann haben wir für den Punkt \(P\) die Koordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Durch die gleiche Logik finden wir den Wert der y-Koordinate für den Punkt \(P\) . Auf diese Weise,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Also rein Gesamtansicht Punktkoordinaten werden durch die Formeln bestimmt:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), wo

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - Koordinaten des Kreismittelpunkts,

\(r\) - Kreisradius,

\(\delta \) - Rotationswinkel des Vektorradius.

Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Zentrums Null sind und der Radius gleich Eins ist:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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Betrachten Sie zuerst einen Kreis mit dem Radius 1 und zentriert bei (0;0). Für jedes αЄR kann man einen Radius 0A zeichnen, sodass das Bogenmaß des Winkels zwischen 0A und der 0x-Achse gleich α ist. Die Richtung gegen den Uhrzeigersinn wird als positiv angesehen. Das Ende des Radius A habe die Koordinaten (a,b).

Definition von Sinus

Definition: Die Zahl b, gleich der Ordinate des auf die beschriebene Weise konstruierten Einheitsradius, wird mit sinα bezeichnet und heißt Sinus des Winkels α.

Beispiel: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Definition von Kosinus

Definition: Die Zahl a, gleich der Abszisse des Endes des auf die beschriebene Weise konstruierten Einheitsradius, wird mit cosα bezeichnet und heißt Kosinus des Winkels α.

Beispiel: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Diese Beispiele verwenden die Definition des Sinus und Cosinus eines Winkels in Bezug auf die Koordinaten des Endes des Einheitsradius und des Einheitskreises. Für eine visuellere Darstellung ist es notwendig, einen Einheitskreis zu zeichnen und die entsprechenden Punkte darauf zu zeichnen und dann ihre Abszissen zu berechnen, um den Kosinus zu berechnen, und ihre Ordinaten, um den Sinus zu berechnen.

Definition von Tangente

Definition: Die Funktion tgx=sinx/cosx für x≠π/2+πk, k´Z, heißt Kotangens des Winkels x. Domain tgx-Funktionen das sind alles reelle Zahlen außer x=π/2+πn, n´Z.

Beispiel: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Dieses Beispiel ähnelt dem vorherigen. Um den Tangens eines Winkels zu berechnen, musst du die Ordinate eines Punktes durch seine Abszisse teilen.

Definition von Kotangens

Definition: Die Funktion ctgx=cosx/sinx bei x≠πk, k´Z heißt Kotangens des Winkels x. Definitionsbereich der Funktion ctgx = - alle reellen Zahlen außer den Punkten x=πk, k´Z.

Betrachten Sie ein Beispiel für ein gewöhnliches rechtwinkliges Dreieck

Um es klarer zu machen, was ist Kosinus, Sinus, Tangens und Kotangens. Betrachten Sie ein Beispiel für ein gewöhnliches rechtwinkliges Dreieck mit Winkel y und Seiten a,b,c. Hypotenuse c, Beine a bzw. b. Winkel zwischen Hypotenuse c und Schenkel b y.

Definition: Der Sinus des Winkels y ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse: siny \u003d a / c

Definition: Der Kosinus des Winkels y ist das Verhältnis des Nachbarschenkels zur Hypotenuse: сosy= v/s

Definition: Der Tangens des Winkels y ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten: tgy = a / b

Definition: Der Kotangens des Winkels y ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden: ctgy = in / a

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens werden auch trigonometrische Funktionen genannt. Jeder Winkel hat seinen eigenen Sinus und Kosinus. Und fast jeder hat seinen eigenen Tangens und Kotangens.

Es wird angenommen, dass uns Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens bekannt sind, wenn uns ein Winkel gegeben wird! Umgekehrt. Angesichts des Sinus bzw. jeder anderen trigonometrischen Funktion kennen wir den Winkel. Es wurden sogar spezielle Tabellen erstellt, in denen trigonometrische Funktionen für jeden Winkel geschrieben sind.

Die Trigonometrie als Wissenschaft hat ihren Ursprung im Alten Osten. Die ersten trigonometrischen Verhältnisse wurden von Astronomen entwickelt, um einen genauen Kalender zu erstellen und sich an den Sternen zu orientieren. Diese Berechnungen beziehen sich auf die sphärische Trigonometrie, während sie im Schulkurs das Seiten- und Winkelverhältnis eines flachen Dreiecks untersuchen.

Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und der Beziehung zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken befasst.

Während der Blütezeit von Kultur und Wissenschaft im 1. Jahrtausend n. Chr. verbreitete sich das Wissen vom Alten Orient bis nach Griechenland. Aber die wichtigsten Entdeckungen der Trigonometrie sind das Verdienst der Männer des arabischen Kalifats. Insbesondere der turkmenische Wissenschaftler al-Marazvi führte Funktionen wie Tangens und Kotangens ein und erstellte die ersten Wertetabellen für Sinus, Tangens und Kotangens. Das Konzept von Sinus und Cosinus wurde von indischen Wissenschaftlern eingeführt. In den Werken so großer Persönlichkeiten der Antike wie Euklid, Archimedes und Eratosthenes wird der Trigonometrie viel Aufmerksamkeit geschenkt.

Grundgrößen der Trigonometrie

Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen eines numerischen Arguments sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Jeder von ihnen hat seinen eigenen Graphen: Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.

Die Formeln zur Berechnung der Werte dieser Größen basieren auf dem Satz des Pythagoras. Schulkindern ist sie besser bekannt in der Formulierung: „Pythagoreische Hose, in allen Richtungen gleich“, da der Beweis am Beispiel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks geführt wird.

Sinus, Cosinus und andere Abhängigkeiten stellen eine Beziehung zwischen spitzen Winkeln und Seiten eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks her. Wir geben Formeln zur Berechnung dieser Größen für den Winkel A an und verfolgen die Beziehung trigonometrischer Funktionen:

Wie Sie sehen können, sind tg und ctg Umkehrfunktionen. Wenn wir Bein a als Produkt von sin A und Hypotenuse c und Bein b als cos A * c darstellen, erhalten wir die folgenden Formeln für Tangens und Kotangens:

trigonometrischer Kreis

Grafisch lässt sich das Verhältnis der genannten Größen wie folgt darstellen:

Der Kreis repräsentiert in diesem Fall alle möglichen Werte des Winkels α - von 0° bis 360°. Wie Sie der Abbildung entnehmen können, nimmt jede Funktion ein negatives Oder an positiver Wert je nach Winkel. Zum Beispiel wird sin α mit einem „+“-Zeichen versehen, wenn α zu den Vierteln I und II des Kreises gehört, dh im Bereich von 0 ° bis 180 ° liegt. Bei α von 180° bis 360° (III. und IV. Viertel) kann sin α nur ein negativer Wert sein.

Versuchen wir, trigonometrische Tabellen für bestimmte Winkel zu erstellen und die Bedeutung der Größen herauszufinden.

Die Werte von α gleich 30°, 45°, 60°, 90°, 180° usw. werden als Sonderfälle bezeichnet. Die Werte der trigonometrischen Funktionen für sie werden berechnet und in Form von speziellen Tabellen dargestellt.

Diese Winkel wurden nicht zufällig gewählt. Die Bezeichnung π in den Tabellen steht für Radiant. Rad ist der Winkel, bei dem die Länge eines Kreisbogens seinem Radius entspricht. Dieser Wert wurde eingeführt, um einen allgemeingültigen Zusammenhang herzustellen, bei der Berechnung im Bogenmaß spielt die tatsächliche Länge des Radius in cm keine Rolle.

Die Winkel in den Tabellen für trigonometrische Funktionen entsprechen Radiantwerten:

Es ist also nicht schwer zu erraten, dass 2π ein Vollkreis oder 360° ist.

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen: Sinus und Cosinus

Um die grundlegenden Eigenschaften von Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens zu betrachten und zu vergleichen, ist es notwendig, ihre Funktionen zu zeichnen. Dies kann in Form einer in einem zweidimensionalen Koordinatensystem liegenden Kurve erfolgen.

Betrachten Sie eine Vergleichstabelle mit Eigenschaften für eine Sinuswelle und eine Kosinuswelle:

sinusförmig	Kosinuswelle
y = Sünde x	y = cos x
ODZ [-1; ein]	ODZ [-1; ein]
sin x = 0, für x = πk, wobei k ϵ Z	cos x = 0, für x = π/2 + πk, wobei k ϵ Z
sin x = 1, für x = π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z	cos x = 1, für x = 2πk, wobei k ϵ Z
sin x = - 1, bei x = 3π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z	cos x = - 1, für x = π + 2πk, wobei k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, also ungerade Funktion	cos (-x) = cos x, d.h. die Funktion ist gerade
	die Funktion ist periodisch, die kleinste Periode ist 2π
sin x › 0, wobei x zu den Vierteln I und II oder von 0° bis 180° gehört (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, wobei x zu den Vierteln I und IV oder von 270° bis 90° gehört (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, wobei x zu den Vierteln III und IV oder von 180° bis 360° gehört (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, wobei x zu den Vierteln II und III oder von 90° bis 270° gehört (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
steigt auf dem Intervall [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	nimmt auf dem Intervall [-π + 2πk, 2πk] zu
nimmt auf den Intervallen [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] ab	nimmt in Intervallen ab
Ableitung (sin x)' = cos x	Ableitung (cos x)’ = - sin x

Zu bestimmen, ob eine Funktion gerade ist oder nicht, ist sehr einfach. Es reicht aus, sich einen trigonometrischen Kreis mit Vorzeichen trigonometrischer Größen vorzustellen und den Graphen mental relativ zur OX-Achse zu „falten“. Bei gleichen Vorzeichen ist die Funktion gerade, sonst ungerade.

Die Einführung des Bogenmaßes und die Aufzählung der Haupteigenschaften der Sinus- und Cosinuswelle ermöglichen uns, das folgende Muster zu bringen:

Es ist sehr einfach, die Richtigkeit der Formel zu überprüfen. Zum Beispiel ist für x = π/2 der Sinus gleich 1, ebenso wie der Kosinus von x = 0. Die Überprüfung kann erfolgen, indem man sich Tabellen ansieht oder Funktionskurven für gegebene Werte verfolgt.

Eigenschaften von Tangenten und Kotangenten

Die Graphen der Tangens- und Kotangensfunktionen unterscheiden sich erheblich von der Sinus- und Kosinuswelle. Die Werte tg und ctg sind zueinander invers.

1. Y = tx.
2. Die Tangente strebt bei x = π/2 + πk den Werten von y zu, erreicht sie aber nie.
3. Die kleinste positive Periode der Tangente ist π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, d. H. Die Funktion ist ungerade.
5. Tg x = 0, für x = πk.
6. Die Funktion nimmt zu.
7. Tg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, für x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Ableitung (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Betrachten Sie die grafische Darstellung des Kotangens unten im Text.

Die Haupteigenschaften des Kotangens:

1. Y = ctgx.
2. Im Gegensatz zu den Sinus- und Kosinusfunktionen kann Y in der Tangente die Werte der Menge aller reellen Zahlen annehmen.
3. Der Kotangens strebt bei x = πk den Werten von y zu, erreicht sie aber nie.
4. Die kleinste positive Periode des Kotangens ist π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, d. H. Die Funktion ist ungerade.
6. Ctg x = 0, für x = π/2 + πk.
7. Die Funktion nimmt ab.
8. Ctg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, für x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Ableitung (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Sinus Der spitze Winkel α eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis Gegenteil Katheter zur Hypotenuse.
Sie wird wie folgt bezeichnet: sin α.

Kosinus Der spitze Winkel α eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.
Er wird wie folgt bezeichnet: cos α.

Tangente Der spitze Winkel α ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein.
Sie wird wie folgt bezeichnet: tg α.

Kotangens Der spitze Winkel α ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.
Er wird wie folgt bezeichnet: ctg α.

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels hängen nur von der Größe des Winkels ab.

Regeln:

Hauptsächlich trigonometrische Identitäten im rechtwinkligen Dreieck:

(α - spitzer Winkel gegenüber dem Bein b und neben dem Bein a . Seite mit - Hypotenuse. β - der zweite spitze Winkel).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos2α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Wenn der spitze Winkel zunimmtsinα undtg α erhöhen, undcos α nimmt ab.

Für jeden spitzen Winkel α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Erklärendes Beispiel:

Lassen Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC ein
AB = 6,
BC = 3,
Winkel A = 30º.

Berechne den Sinus von Winkel A und den Kosinus von Winkel B.

Entscheidung .

1) Zuerst finden wir den Wert des Winkels B. Hier ist alles einfach: Da in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der spitzen Winkel 90º beträgt, ist der Winkel B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Berechnen Sie sin A. Wir wissen, dass der Sinus gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist. Für Winkel A gegenüberliegendes Bein ist die BC-Seite. So:

BC 3 1
Sünde A = -- = - = -
AB 6 2

3) Jetzt berechnen wir cos B. Wir wissen, dass der Cosinus gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse ist. Für Winkel B ist das benachbarte Bein die gleiche Seite BC. Das bedeutet, dass wir wieder BC durch AB teilen müssen, also die gleichen Aktionen ausführen wie bei der Berechnung des Sinus des Winkels A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Das Ergebnis ist:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Daraus folgt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Sinus eines spitzen Winkels gleich dem Kosinus eines anderen spitzen Winkels ist – und umgekehrt. Genau das bedeuten unsere beiden Formeln:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Schauen wir es uns noch einmal an:

1) Sei α = 60º. Setzen wir den Wert von α in die Sinusformel ein, erhalten wir:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Sei α = 30º. Setzen wir den Wert von α in die Kosinusformel ein, erhalten wir:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.

(Weitere Informationen zur Trigonometrie finden Sie im Abschnitt Algebra.)